Matemática - Livro 4-157-159

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F
R
E
N
T
E
 3
157
33 Uern 2012 A figura representa um sorvete de casquinha,
no qual todo o volume interno está preenchido por sor-
vete e a parte externa apresenta um volume de meia
bola de sorvete. Considerando que o cone tem 12 cm
de altura e raio 6 cm, então o volume total de sorvete é
A 216π cm3.
b 360π cm3.
C 288π cm3.
d 264π cm3.
34 Cefet-MG 2014 Um artesão resolveu fabricar uma
ampulheta de volume total V constituída de uma se-
miesfera de raio 4 cm e de um cone reto, com raio e
altura 4 cm, comunicando-se pelo vértice do cone, de
acordo com a figura abaixo.
Para seu funcionamento, o artesão depositará na am
pulheta areia que corresponda a 25% de V. Portanto,
o volume de areia, em cm3, é
A 16π.
b 64
3
π .
C 32π.
d 128
3
π .
E 64π.
35 Enem 2016 Em regiões agrícolas, é comum a pre-
sença de silos para armazenamento e secagem da
produção de grãos, no formato de um cilindro reto,
sobreposto por um cone, e dimensões indicadas na
figura. O silo fica cheio e o transporte dos grãos é
feito em caminhões de carga cuja capacidade é de
20 m3. Uma região possui um silo cheio e apenas um
caminhão para transportar os grãos para a usina de
beneficiamento.
Utilize 3 como aproximação para π.
O número mínimo de viagens que o caminhão pre-
cisará fazer para transportar todo o volume de grãos
armazenados no silo é
A 6.
b 16.
C 17.
d 18.
E 21.
36 UEMG 2017 Observe as figuras.
Nas guras acima, tem-se um cilindro circular equilá-
tero (S1), circunscrevendo um cone (S2), e um cilindro
circular oblíquo (S3). A razão determinada pelo volume
de S3 com a superfície total de S2 é
A
5 1
4
 cm
−
.
b 5 1 cm− .
C
5 16
4
 cm
+
.
d 5 16 cm+ .
37 IFPE 2016 Uma bola maciça, totalmente vedada, em
formato de uma esfera perfeita, de diâmetro igual a
6 cm, foi lançada em uma panela cilíndrica cujo raio
da base mede 5 cm e altura 10 cm. Sabendo que ini-
cialmente a panela estava com água até a altura de
5 cm e que a bola ficou completamente submersa
pela água, quantos centímetros o nível da água se
elevará? (Dado: considere π = 3)
A 36
25
b 5
3
C 25
3
d 30
25
E 25
15
38 UFU 2018 Um recipiente, no formato de um cilindro
circular reto de raio de base r cm, possui um líquido
solvente em seu interior. A altura h desse solvente
presente no recipiente é igual a 16
3
 cm, conforme
ilustra a Figura 1.
Figura 1 Figura 2
(Ilustrativa e sem escalas) (Ilustrativa e sem escalas)
MATEMÁTICA Capítulo 15 Cones e esferas158
Quando uma peça maciça, no formato de uma esfera de raio igual a 3 cm, é mergulhada nesse recipiente até encos-
tar no fundo, observa-se que o solvente cobre exatamente a esfera, conforme ilustra a Figura 2.
Segundo as condições apresentadas, o raio r, em cm, é igual a
A 4 3 . b 2 7 . C 5 2 . d 3 6 .
39 Enem Um artista plástico construiu, com certa quantidade de massa modeladora, um cilindro circular reto cujo diâ-
metro da base mede 24 cm e cuja altura mede 15 cm. Antes que a massa secasse, ele resolveu transformar aquele
cilindro em uma esfera.
Volume da esfera: V
4
3
R
esfera
3
= π
Analisando as características das guras geométricas envolvidas, conclui-se que o raio R da esfera assim construída é
igual a
A 15 b 12 C 24 d 3 603 E 6 303
40 Enem Os três recipientes da figura têm formas diferentes, mas a mesma altura e o mesmo diâmetro da boca. Em cada
um deles é colocado líquido até a metade de sua altura, conforme indicado nas figuras.
Representando por V1, V2 e V3 o volume de líquido em cada um dos recipientes, tem-se:
A V1 = V2 = V3
b V1 < V3 < V2
C V1 = V3 < V2
d V3 < V1 < V2
E V1 < V2 = V3
41 Udesc 2019 Arquimedes de Siracusa (287 a.C.-212 a.C.) foi um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Ele fez
grandes descobertas e sempre foi muito rigoroso ao provar essas descobertas. Dentre seus vários trabalhos, a esfera
foi um dos elementos geométricos aos quais ele se dedicou, estabelecendo relações para obter o seu volume. No
Quadro 1, têm-se três dessas relações para o volume de uma esfera de raio R.
Método Relação
Equilíbrio
Considerando uma balança com ponto de apoio em O, a esfera e um cone de raio e altura 2R colocados a
uma distância 2R do ponto O equilibram um cilindro de raio e altura 2R colocado a uma distância R de O.
Dupla redução ao
absurdo
O volume da esfera é igual a 4 vezes o volume de um cone de raio e altura R.
Cilindro circunscrito O cilindro circunscrito à esfera é igual a uma vez e meia à esfera, em área e volume.
Tab. 1 Relações de Arquimedes para o volume da esfera de raio R.
Se o cone do método da dupla redução ao absurdo tiver volume igual a 243π cm3, então a diferença do volume entre
o cilindro do método do equilíbrio e do cilindro circunscrito é:
A 972π cm3
b 0 cm3
C 546,75π cm3
d 4  374π cm3
E 1  701π cm3
42 Fuvest Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma
semiesfera de raio r; a outra, no formato de um cone reto de base circular de raio 2r e altura h; e a última, no formato
de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h.
Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando completamente cheias, comportam a mesma quantidade de vinho,
é correto armar que a razão x
h
 é igual a
A 3
6
b 3
3
C 2 3
3
d 3 E 4 3
3
F
R
E
N
T
E
 3
159
43 Unifesp 2015 O pingente de um colar é constituído por
duas peças, A e B, feitas de materiais homogêneos
e transparentes, de índices de refração absolutos
n 1,6 3
A
= ⋅ e nB = 1,6. A peça A tem o formato de um
cone reto e a peça B, de uma semiesfera.
Um raio de luz monocromático R propaga-se pelo ar e
incide, paralelamente ao eixo do cone, no ponto P da
superfície cônica, passando a se propagar pelo material
da peça A. Atinge o ponto C, no centro da base do cone,
onde sofre nova refração, passando a propagar-se pelo
material da peça B, emergindo do pingente no ponto Q
da superfície esférica. Desde a entrada até a sua saída
do pingente, esse raio propaga-se em um mesmo pla-
no que contém o vértice da superfície cônica. A gura
1 representa o pingente pendurado verticalmente e em
repouso e a gura 2, a intersecção do plano que contém
o raio R com o pingente. As linhas tracejadas, indicadas
na gura 2, são paralelas entre si e α = 30o.
a) Calcule o valor do ângulo β indicado na figura 2,
em graus.
b) Considere que a peça B possa ser substituída
por outra peça B', com o mesmo formato e com
as mesmas dimensões, mas de maneira que o
raio de luz vertical R sempre emerja do pingente
pela superfície esférica. Qual o menor índice de
refração do material de B' para que o raio R não
emerja pela superfície cônica do pingente?
44 Enem Assim como na relação entre o perfil de um
corte de um torno e a peça torneada, sólidos de revo-
lução resultam da rotação de figuras planas em torno
de um eixo. Girando-se as figuras a seguir em torno da
haste indicada, obtêm-se os sólidos de revolução que
estão na coluna da direita.
A correspondência correta entre as guras planas e
os sólidos de revolução obtidos é:
 1A, 2B, 3C, 4D, 5E.
 1B, 2C, 3D, 4E, 5A.
c 1B, 2D, 3E, 4A, 5C.
d 1D, 2E, 3A, 4B, 5C.
e 1D, 2E, 3B, 4C, 5A.
45 Mackenzie 2016 Em um triângulo retângulo, a medida
do menor cateto é 6 cm. Rotacionando esse triângulo
ao redor desse cateto, obtém-se um sólido de revo-
lução cujo volume é 128π cm3. Nessas condições, a
área total da superfície do sólido obtido na revolução,
em cm
2
, é
 144π
 120π
c 80π
d 72π
e 64π
46 Ifal 2016 Girando, em uma volta completa, um triân-
gulo retângulo de catetos 3 cm e 4 cm, em torno de
seu cateto maior, teremos o sólido abaixo com suas
características:
 pirâmide com área lateral 30 cm
2
 e volume 10 cm
3
.
 cone com área lateral 15π cm2 e volume 12π cm3.
c cone com área da base 16π cm2 e volume 12π cm3.
d pirâmide com área da base e área lateral iguais a
12π cm3.
e cone com área da base e área lateral iguais a 15π cm3.
47 FGV-SP 2018 Um trapézio é delimitado pelos eixos x
e y do plano cartesiano e pelas retas de equaçõesy = 2x + 1 e x = 4. O sólido de revolução obtido quando
esse trapézio sofre uma rotação completa em torno
do eixo y tem volume, em unidades cúbicas de com-
primento dos eixos cartesianos, igual a

304
3
π
 101π
c
302
3
π
d 96π
e
286
3
π
48 PUC-RS 2014 Uma esfera de raio 1 cm está inscrita em
um cubo cujo volume, em cm
3
, é
 1
 2
c 4
d 8
e 16
49 PUC-RS 2016 A circunferência de uma bola de voleibol
é 66 cm. Para colocá-la em uma caixa cúbica, essa
caixa deve ter, no mínimo, uma aresta interna, em cen-
tímetros, de
 33

33
π
c 66
d
66
π
e
66
π
50 Uece 2017 Um cubo cuja medida de cada aresta é
3 dm está inscrito em uma esfera de raio R. A medida
de um diâmetro (2R) da esfera é
 2 3 dm .
 3 2 dm .
c 3 3 dm .
d 4 3 dm .