ListadeExerccios-ProdutoVetorialMatemtica

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Conteúdo licenciado para Jose Nazareno da Silva - 197.378.258-88
Teoria: O produto vetorial, assim como o produto escalar, é uma operação entre
dois vetores, cujo resultado é um terceiro vetor que é ortogonal aos outros
vetores, ou seja, forma um ângulo de 90 graus em relação aos dois vetores que
deram origem a ele.
Esta operação pode ser representada de duas formas: u ⨯ v ou u ˄ v, que
por sua vez, é lido como “u vetorial v”, em outras palavras, o produto vetorial
entre o vetor u e o vetor v.
Para se calcular o produto vetorial entre dois vetores, basta calcular um
determinante 3x3, formado pelas bases canônicas “i, j e k”, na primeira linha e
as componentes dos vetores, respectivamente, na segunda e terceira linha.
Exemplo: Dados os vetores u = 2ı̂ + 3ȷ̂ + k� e v = ı̂ − ȷ̂+ 2k� , calcule u⨯ v.
Passo 1: Organizar o determinante 3x3.
Passo 2: Resolver o determinante.
= 7ı̂ − 3ȷ̂ − 5k�
O módulo do vetor resultante do produto vetorial é numericamente igual a
área de um paralelogramo formado pelos vetores que o originaram:
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Teoria: O produto vetorial, assim como o produto escalar, é uma operação entre
dois vetores, cujo resultado é um terceiro vetor que é ortogonal aos outros
vetores, ou seja, forma um ângulo de 90 graus em relação aos dois vetores que
deram origem a ele.
Esta operação pode ser representada de duas formas: u ⨯ v ou u ˄ v, que
por sua vez, é lido como “u vetorial v”, em outras palavras, o produto vetorial
entre o vetor u e o vetor v.
Para se calcular o produto vetorial entre dois vetores, basta calcular um
determinante 3x3, formado pelas bases canônicas “i, j e k”, na primeira linha e
as componentes dos vetores, respectivamente, na segunda e terceira linha.
Exemplo: Dados os vetores u = 2ı̂ + 3ȷ̂ + k� e v = ı̂ − ȷ̂+ 2k� , calcule u⨯ v.
Passo 1: Organizar o determinante 3x3.
Passo 2: Resolver o determinante.
= 7ı̂ − 3ȷ̂ − 5k�
O módulo do vetor resultante do produto vetorial é numericamente igual a
área de um paralelogramo formado pelos vetores que o originaram:
Há duas maneiras de calcular o módulo desse vetor, a primeira, é através da
equação:
u ⨯ v = u . v . sen θ
OBS: O ângulo θ é o ângulo formado entre os vetores u e v.
E a segunda forma de calcular seu módulo é tirando a raiz quadrada das
componentes do vetor u ⨯ v ao quadrado.
Exemplo:
u ⨯ v = ı̂ + 2ȷ̂+ 2k�
u⨯ v = 12 + 22 + 22 = 3 unidades de área (u. a. )
E para calcular a altura do paralelogramo, basta dividir a área do
paralelogramo, pela sua base (que será o vetor u ou v, dependendo de qual deles
você escolher para ser a base):
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1. Dados os vetores a = 2,0,−1 e b = 3,2,0 , calcule a ⨯ b.
2. Dados os vetores x = 0,4,3 e y = 6,1,2 , calcule x ⨯ y.
3. Dados os vetores b = 3,−5,1 e d = −1,4,1 , calcule b ˄ d.
4. Dados os vetores z⃗ = 2,−1,−2 e w = 2,−1,−2 , calcule z⃗ ˄ w.
5. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores u =
1,0,1 e v = 2,2,−1 , é ortogonal aos vetores u e v.
6. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores a =
−1,1,−1 e b = 1,−1,1 , é ortogonal aos vetores a e b.
7. Sejam os vetores u = 2,1,−1 e v = 5,2,0 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 2
c) Tenha cota igual a 1
8. Sejam os vetores u = 3,1,−3 e v = −1,4,2 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 4
c) Tenha ordenada igual a - 6
9. Dedos os vetores c⃗ = 2, 1,0 e d = 2, 2,0 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por c⃗ e d
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por d
10. Dedos os vetores a = 5, 0,−2 e b = 5, 0,2 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por a e b
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por b
11. Dados os vetores u = 2,𝐦, 1 e v = −2,0,−1 , calcule m para que 
a área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 61.
12. Dados os vetores u = 1,−1,1 e v = 2,1,𝐦 , calcule m para que a 
área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 26.
13. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A −2,1,0 , B 3,−1,1 e C 0,2,−1 .
14. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A 2,−2,3 , B 1,0,1 e C 3,0,−1 .
Gabarito:
1.
a ⨯ b = 2î − 3ĵ + 4k�
2.
x ⨯ y = 5î + 18ĵ− 24k�
3.
b ˄ d = −9î− 4ĵ + 7k�
4.
z⃗ ˄ w = 0î − 0ĵ + 0k�
5.
u . u ⨯ v = 0
v . u ⨯ v = 0
6.
a . a ⨯ b = 0
b . a ⨯ b = 0
7.
a)
b)
c)
C = −2î + 5ĵ + k�
8.
a)
b)
c)
C = 28î− 6ĵ + 26k�
9.
a)
Aparal. = c⃗⨯ d = 2 u. a.
b)
10.
a)
Aparal. = a⨯ b = 80 u. a.
b)
11.
𝐦 = −3 e 𝐦 = 3
12.
𝐦 = −2 e 𝐦 = 3
13.
a)
b)
14.
a)
b)
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1. Dados os vetores a = 2,0,−1 e b = 3,2,0 , calcule a ⨯ b.
2. Dados os vetores x = 0,4,3 e y = 6,1,2 , calcule x ⨯ y.
3. Dados os vetores b = 3,−5,1 e d = −1,4,1 , calcule b ˄ d.
4. Dados os vetores z⃗ = 2,−1,−2 e w = 2,−1,−2 , calcule z⃗ ˄ w.
5. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores u =
1,0,1 e v = 2,2,−1 , é ortogonal aos vetores u e v.
6. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores a =
−1,1,−1 e b = 1,−1,1 , é ortogonal aos vetores a e b.
7. Sejam os vetores u = 2,1,−1 e v = 5,2,0 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 2
c) Tenha cota igual a 1
8. Sejam os vetores u = 3,1,−3 e v = −1,4,2 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 4
c) Tenha ordenada igual a - 6
9. Dedos os vetores c⃗ = 2, 1,0 e d = 2, 2,0 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por c⃗ e d
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por d
10. Dedos os vetores a = 5, 0,−2 e b = 5, 0,2 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por a e b
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por b
11. Dados os vetores u = 2,𝐦, 1 e v = −2,0,−1 , calcule m para que 
a área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 61.
12. Dados os vetores u = 1,−1,1 e v = 2,1,𝐦 , calcule m para que a 
área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 26.
13. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A −2,1,0 , B 3,−1,1 e C 0,2,−1 .
14. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A 2,−2,3 , B 1,0,1 e C 3,0,−1 .
Gabarito:
1.
a ⨯ b = 2î − 3ĵ + 4k�
2.
x ⨯ y = 5î + 18ĵ− 24k�
3.
b ˄ d = −9î− 4ĵ + 7k�
4.
z⃗ ˄ w = 0î − 0ĵ + 0k�
5.
u . u ⨯ v = 0
v . u ⨯ v = 0
6.
a . a ⨯ b = 0
b . a ⨯ b = 0
7.
a)
b)
c)
C = −2î + 5ĵ + k�
8.
a)
b)
c)
C = 28î− 6ĵ + 26k�
9.
a)
Aparal. = c⃗⨯ d = 2 u. a.
b)
10.
a)
Aparal. = a⨯ b = 80 u. a.
b)
11.
𝐦 = −3 e 𝐦 = 3
12.
𝐦 = −2 e 𝐦 = 3
13.
a)
b)
14.
a)
b)
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1. Dados os vetores a = 2,0,−1 e b = 3,2,0 , calcule a ⨯ b.
2. Dados os vetores x = 0,4,3 e y = 6,1,2 , calcule x ⨯ y.
3. Dados os vetores b = 3,−5,1 e d = −1,4,1 , calcule b ˄ d.
4. Dados os vetores z⃗ = 2,−1,−2 e w = 2,−1,−2 , calcule z⃗ ˄ w.
5. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores u =
1,0,1 e v = 2,2,−1 , é ortogonal aos vetores u e v.
6. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores a =
−1,1,−1 e b = 1,−1,1 , é ortogonal aos vetores a e b.
7. Sejam os vetores u = 2,1,−1 e v = 5,2,0 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 2
c) Tenha cota igual a 1
8. Sejam os vetores u = 3,1,−3 e v = −1,4,2 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 4
c) Tenha ordenada igual a - 6
9. Dedos os vetores c⃗ = 2, 1,0 e d = 2, 2,0 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por c⃗ e d
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por d
10. Dedos os vetores a = 5, 0,−2 e b = 5, 0,2 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por a e b
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por b
11. Dados os vetoresu = 2,𝐦, 1 e v = −2,0,−1 , calcule m para que 
a área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 61.
12. Dados os vetores u = 1,−1,1 e v = 2,1,𝐦 , calcule m para que a 
área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 26.
13. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A −2,1,0 , B 3,−1,1 e C 0,2,−1 .
14. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A 2,−2,3 , B 1,0,1 e C 3,0,−1 .
Gabarito:
1.
a ⨯ b = 2î − 3ĵ + 4k�
2.
x ⨯ y = 5î + 18ĵ− 24k�
3.
b ˄ d = −9î− 4ĵ + 7k�
4.
z⃗ ˄ w = 0î − 0ĵ + 0k�
5.
u . u ⨯ v = 0
v . u ⨯ v = 0
6.
a . a ⨯ b = 0
b . a ⨯ b = 0
7.
a)
b)
c)
C = −2î + 5ĵ + k�
8.
a)
b)
c)
C = 28î− 6ĵ + 26k�
9.
a)
Aparal. = c⃗⨯ d = 2 u. a.
b)
10.
a)
Aparal. = a⨯ b = 80 u. a.
b)
11.
𝐦 = −3 e 𝐦 = 3
12.
𝐦 = −2 e 𝐦 = 3
13.
a)
b)
14.
a)
b)
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1. Dados os vetores a = 2,0,−1 e b = 3,2,0 , calcule a ⨯ b.
2. Dados os vetores x = 0,4,3 e y = 6,1,2 , calcule x ⨯ y.
3. Dados os vetores b = 3,−5,1 e d = −1,4,1 , calcule b ˄ d.
4. Dados os vetores z⃗ = 2,−1,−2 e w = 2,−1,−2 , calcule z⃗ ˄ w.
5. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores u =
1,0,1 e v = 2,2,−1 , é ortogonal aos vetores u e v.
6. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores a =
−1,1,−1 e b = 1,−1,1 , é ortogonal aos vetores a e b.
7. Sejam os vetores u = 2,1,−1 e v = 5,2,0 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 2
c) Tenha cota igual a 1
8. Sejam os vetores u = 3,1,−3 e v = −1,4,2 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 4
c) Tenha ordenada igual a - 6
9. Dedos os vetores c⃗ = 2, 1,0 e d = 2, 2,0 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por c⃗ e d
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por d
10. Dedos os vetores a = 5, 0,−2 e b = 5, 0,2 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por a e b
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por b
11. Dados os vetores u = 2,𝐦, 1 e v = −2,0,−1 , calcule m para que 
a área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 61.
12. Dados os vetores u = 1,−1,1 e v = 2,1,𝐦 , calcule m para que a 
área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 26.
13. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A −2,1,0 , B 3,−1,1 e C 0,2,−1 .
14. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A 2,−2,3 , B 1,0,1 e C 3,0,−1 .
Gabarito:
1.
a ⨯ b = 2î − 3ĵ + 4k�
2.
x ⨯ y = 5î + 18ĵ− 24k�
3.
b ˄ d = −9î− 4ĵ + 7k�
4.
z⃗ ˄ w = 0î − 0ĵ + 0k�
5.
u . u ⨯ v = 0
v . u ⨯ v = 0
6.
a . a ⨯ b = 0
b . a ⨯ b = 0
7.
a)
b)
c)
C = −2î + 5ĵ + k�
8.
a)
b)
c)
C = 28î− 6ĵ + 26k�
9.
a)
Aparal. = c⃗⨯ d = 2 u. a.
b)
10.
a)
Aparal. = a⨯ b = 80 u. a.
b)
11.
𝐦 = −3 e 𝐦 = 3
12.
𝐦 = −2 e 𝐦 = 3
13.
a)
b)
14.
a)
b)
Conteúdo licenciado para Jose Nazareno da Silva - 197.378.258-88
1. Dados os vetores a = 2,0,−1 e b = 3,2,0 , calcule a ⨯ b.
2. Dados os vetores x = 0,4,3 e y = 6,1,2 , calcule x ⨯ y.
3. Dados os vetores b = 3,−5,1 e d = −1,4,1 , calcule b ˄ d.
4. Dados os vetores z⃗ = 2,−1,−2 e w = 2,−1,−2 , calcule z⃗ ˄ w.
5. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores u =
1,0,1 e v = 2,2,−1 , é ortogonal aos vetores u e v.
6. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores a =
−1,1,−1 e b = 1,−1,1 , é ortogonal aos vetores a e b.
7. Sejam os vetores u = 2,1,−1 e v = 5,2,0 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 2
c) Tenha cota igual a 1
8. Sejam os vetores u = 3,1,−3 e v = −1,4,2 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 4
c) Tenha ordenada igual a - 6
9. Dedos os vetores c⃗ = 2, 1,0 e d = 2, 2,0 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por c⃗ e d
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por d
10. Dedos os vetores a = 5, 0,−2 e b = 5, 0,2 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por a e b
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por b
11. Dados os vetores u = 2,𝐦, 1 e v = −2,0,−1 , calcule m para que 
a área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 61.
12. Dados os vetores u = 1,−1,1 e v = 2,1,𝐦 , calcule m para que a 
área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 26.
13. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A −2,1,0 , B 3,−1,1 e C 0,2,−1 .
14. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A 2,−2,3 , B 1,0,1 e C 3,0,−1 .
Gabarito:
1.
a ⨯ b = 2î − 3ĵ + 4k�
2.
x ⨯ y = 5î + 18ĵ− 24k�
3.
b ˄ d = −9î− 4ĵ + 7k�
4.
z⃗ ˄ w = 0î − 0ĵ + 0k�
5.
u . u ⨯ v = 0
v . u ⨯ v = 0
6.
a . a ⨯ b = 0
b . a ⨯ b = 0
7.
a)
b)
c)
C = −2î + 5ĵ + k�
8.
a)
b)
c)
C = 28î− 6ĵ + 26k�
9.
a)
Aparal. = c⃗⨯ d = 2 u. a.
b)
10.
a)
Aparal. = a⨯ b = 80 u. a.
b)
11.
𝐦 = −3 e 𝐦 = 3
12.
𝐦 = −2 e 𝐦 = 3
13.
a)
b)
14.
a)
b)
Conteúdo licenciado para Jose Nazareno da Silva - 197.378.258-88
1. Dados os vetores a = 2,0,−1 e b = 3,2,0 , calcule a ⨯ b.
2. Dados os vetores x = 0,4,3 e y = 6,1,2 , calcule x ⨯ y.
3. Dados os vetores b = 3,−5,1 e d = −1,4,1 , calcule b ˄ d.
4. Dados os vetores z⃗ = 2,−1,−2 e w = 2,−1,−2 , calcule z⃗ ˄ w.
5. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores u =
1,0,1 e v = 2,2,−1 , é ortogonal aos vetores u e v.
6. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores a =
−1,1,−1 e b = 1,−1,1 , é ortogonal aos vetores a e b.
7. Sejam os vetores u = 2,1,−1 e v = 5,2,0 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 2
c) Tenha cota igual a 1
8. Sejam os vetores u = 3,1,−3 e v = −1,4,2 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 4
c) Tenha ordenada igual a - 6
9. Dedos os vetores c⃗ = 2, 1,0 e d = 2, 2,0 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por c⃗ e d
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por d
10. Dedos os vetores a = 5, 0,−2 e b = 5, 0,2 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por a e b
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por b
11. Dados os vetores u = 2,𝐦, 1 e v = −2,0,−1 , calcule m para que 
a área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 61.
12. Dados os vetores u = 1,−1,1 e v = 2,1,𝐦 , calcule m para que a 
área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 26.
13. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A −2,1,0 , B 3,−1,1 e C 0,2,−1 .
14. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A 2,−2,3 , B 1,0,1 e C 3,0,−1 .
Gabarito:
1.
a ⨯ b = 2î − 3ĵ + 4k�
2.
x ⨯ y = 5î + 18ĵ− 24k�
3.
b ˄ d = −9î− 4ĵ + 7k�
4.
z⃗ ˄ w = 0î − 0ĵ + 0k�
5.
u . u ⨯ v = 0
v . u ⨯ v = 0
6.
a . a ⨯ b = 0
b . a ⨯ b = 0
7.
a)
b)
c)
C = −2î + 5ĵ + k�
8.
a)
b)
c)
C = 28î− 6ĵ + 26k�
9.
a)
Aparal. = c⃗⨯ d = 2 u. a.
b)
10.
a)
Aparal. = a⨯ b = 80 u. a.
b)
11.
𝐦 = −3 e 𝐦 = 3
12.
𝐦 = −2 e 𝐦 = 3
13.
a)
b)
14.
a)
b)
Conteúdo licenciado para Jose Nazareno da Silva - 197.378.258-88
1. Dados os vetores a = 2,0,−1 e b = 3,2,0 , calcule a ⨯ b.
2. Dados os vetores x = 0,4,3 e y = 6,1,2 , calcule x ⨯ y.
3. Dados os vetores b = 3,−5,1 e d = −1,4,1 , calcule b ˄ d.
4. Dados os vetores z⃗ = 2,−1,−2 e w = 2,−1,−2 , calcule z⃗ ˄ w.
5. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores u =
1,0,1 e v = 2,2,−1 , é ortogonal aos vetores u e v.
6. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores a =
−1,1,−1 e b = 1,−1,1 , é ortogonal aos vetores a e b.
7. Sejam os vetores u = 2,1,−1 e v = 5,2,0 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 2
c) Tenha cota igual a 1
8. Sejam os vetores u = 3,1,−3 e v = −1,4,2 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 4
c) Tenha ordenada igual a - 6
9. Dedos os vetores c⃗ = 2, 1,0 e d = 2, 2,0, calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por c⃗ e d
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por d
10. Dedos os vetores a = 5, 0,−2 e b = 5, 0,2 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por a e b
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por b
11. Dados os vetores u = 2,𝐦, 1 e v = −2,0,−1 , calcule m para que 
a área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 61.
12. Dados os vetores u = 1,−1,1 e v = 2,1,𝐦 , calcule m para que a 
área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 26.
13. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A −2,1,0 , B 3,−1,1 e C 0,2,−1 .
14. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A 2,−2,3 , B 1,0,1 e C 3,0,−1 .
Gabarito:
1.
a ⨯ b = 2î − 3ĵ + 4k�
2.
x ⨯ y = 5î + 18ĵ− 24k�
3.
b ˄ d = −9î− 4ĵ + 7k�
4.
z⃗ ˄ w = 0î − 0ĵ + 0k�
5.
u . u ⨯ v = 0
v . u ⨯ v = 0
6.
a . a ⨯ b = 0
b . a ⨯ b = 0
7.
a)
b)
c)
C = −2î + 5ĵ + k�
8.
a)
b)
c)
C = 28î− 6ĵ + 26k�
9.
a)
Aparal. = c⃗⨯ d = 2 u. a.
b)
10.
a)
Aparal. = a⨯ b = 80 u. a.
b)
11.
𝐦 = −3 e 𝐦 = 3
12.
𝐦 = −2 e 𝐦 = 3
13.
a)
b)
14.
a)
b)
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1. Dados os vetores a = 2,0,−1 e b = 3,2,0 , calcule a ⨯ b.
2. Dados os vetores x = 0,4,3 e y = 6,1,2 , calcule x ⨯ y.
3. Dados os vetores b = 3,−5,1 e d = −1,4,1 , calcule b ˄ d.
4. Dados os vetores z⃗ = 2,−1,−2 e w = 2,−1,−2 , calcule z⃗ ˄ w.
5. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores u =
1,0,1 e v = 2,2,−1 , é ortogonal aos vetores u e v.
6. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores a =
−1,1,−1 e b = 1,−1,1 , é ortogonal aos vetores a e b.
7. Sejam os vetores u = 2,1,−1 e v = 5,2,0 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 2
c) Tenha cota igual a 1
8. Sejam os vetores u = 3,1,−3 e v = −1,4,2 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 4
c) Tenha ordenada igual a - 6
9. Dedos os vetores c⃗ = 2, 1,0 e d = 2, 2,0 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por c⃗ e d
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por d
10. Dedos os vetores a = 5, 0,−2 e b = 5, 0,2 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por a e b
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por b
11. Dados os vetores u = 2,𝐦, 1 e v = −2,0,−1 , calcule m para que 
a área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 61.
12. Dados os vetores u = 1,−1,1 e v = 2,1,𝐦 , calcule m para que a 
área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 26.
13. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A −2,1,0 , B 3,−1,1 e C 0,2,−1 .
14. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A 2,−2,3 , B 1,0,1 e C 3,0,−1 .
Gabarito:
1.
a ⨯ b = 2î − 3ĵ + 4k�
2.
x ⨯ y = 5î + 18ĵ− 24k�
3.
b ˄ d = −9î− 4ĵ + 7k�
4.
z⃗ ˄ w = 0î − 0ĵ + 0k�
5.
u . u ⨯ v = 0
v . u ⨯ v = 0
6.
a . a ⨯ b = 0
b . a ⨯ b = 0
7.
a)
b)
c)
C = −2î + 5ĵ + k�
8.
a)
b)
c)
C = 28î− 6ĵ + 26k�
9.
a)
Aparal. = c⃗⨯ d = 2 u. a.
b)
10.
a)
Aparal. = a⨯ b = 80 u. a.
b)
11.
𝐦 = −3 e 𝐦 = 3
12.
𝐦 = −2 e 𝐦 = 3
13.
a)
b)
14.
a)
b)
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1. Dados os vetores a = 2,0,−1 e b = 3,2,0 , calcule a ⨯ b.
2. Dados os vetores x = 0,4,3 e y = 6,1,2 , calcule x ⨯ y.
3. Dados os vetores b = 3,−5,1 e d = −1,4,1 , calcule b ˄ d.
4. Dados os vetores z⃗ = 2,−1,−2 e w = 2,−1,−2 , calcule z⃗ ˄ w.
5. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores u =
1,0,1 e v = 2,2,−1 , é ortogonal aos vetores u e v.
6. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores a =
−1,1,−1 e b = 1,−1,1 , é ortogonal aos vetores a e b.
7. Sejam os vetores u = 2,1,−1 e v = 5,2,0 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 2
c) Tenha cota igual a 1
8. Sejam os vetores u = 3,1,−3 e v = −1,4,2 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 4
c) Tenha ordenada igual a - 6
9. Dedos os vetores c⃗ = 2, 1,0 e d = 2, 2,0 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por c⃗ e d
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por d
10. Dedos os vetores a = 5, 0,−2 e b = 5, 0,2 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por a e b
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por b
11. Dados os vetores u = 2,𝐦, 1 e v = −2,0,−1 , calcule m para que 
a área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 61.
12. Dados os vetores u = 1,−1,1 e v = 2,1,𝐦 , calcule m para que a 
área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 26.
13. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A −2,1,0 , B 3,−1,1 e C 0,2,−1 .
14. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A 2,−2,3 , B 1,0,1 e C 3,0,−1 .
Gabarito:
1.
a ⨯ b = 2î − 3ĵ + 4k�
2.
x ⨯ y = 5î + 18ĵ− 24k�
3.
b ˄ d = −9î− 4ĵ + 7k�
4.
z⃗ ˄ w = 0î − 0ĵ + 0k�
5.
u . u ⨯ v = 0
v . u ⨯ v = 0
6.
a . a ⨯ b = 0
b . a ⨯ b = 0
7.
a)
b)
c)
C = −2î + 5ĵ + k�
8.
a)
b)
c)
C = 28î− 6ĵ + 26k�
9.
a)
Aparal. = c⃗⨯ d = 2 u. a.
b)
10.
a)
Aparal. = a⨯ b = 80 u. a.
b)
11.
𝐦 = −3 e 𝐦 = 3
12.
𝐦 = −2 e 𝐦 = 3
13.
a)
b)
14.
a)
b)
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1. Dados os vetores a = 2,0,−1 e b = 3,2,0 , calcule a ⨯ b.
2. Dados os vetores x = 0,4,3 e y = 6,1,2 , calcule x ⨯ y.
3. Dados os vetores b = 3,−5,1 e d = −1,4,1 , calcule b ˄ d.
4. Dados os vetores z⃗ = 2,−1,−2 e w = 2,−1,−2 , calcule z⃗ ˄ w.
5. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores u =
1,0,1 e v = 2,2,−1 , é ortogonal aos vetores u e v.
6. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores a =
−1,1,−1 e b = 1,−1,1 , é ortogonal aos vetores a e b.
7. Sejam os vetores u = 2,1,−1 e v = 5,2,0 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 2
c) Tenha cota igual a 1
8. Sejam os vetores u = 3,1,−3 e v = −1,4,2 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 4
c) Tenha ordenada igual a - 6
9. Dedos os vetores c⃗ = 2, 1,0 e d = 2, 2,0 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por c⃗ e d
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por d
10. Dedos os vetores a = 5, 0,−2 e b = 5, 0,2 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por a e b
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por b
11. Dados os vetores u = 2,𝐦, 1 e v = −2,0,−1 , calcule m para que 
a área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 61.
12. Dados os vetores u = 1,−1,1 e v = 2,1,𝐦 , calcule m para que a 
área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 26.
13. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A −2,1,0 , B 3,−1,1 e C 0,2,−1 .
14. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A 2,−2,3 , B 1,0,1 e C 3,0,−1 .
Gabarito:
1.
a ⨯ b = 2î − 3ĵ + 4k�
2.
x ⨯ y = 5î + 18ĵ− 24k�
3.
b ˄ d = −9î− 4ĵ + 7k�
4.
z⃗ ˄ w = 0î − 0ĵ + 0k�
5.
u . u ⨯ v = 0
v . u ⨯ v = 0
6.
a . a ⨯ b = 0
b . a ⨯ b = 0
7.
a)
b)
c)
C = −2î + 5ĵ + k�
8.
a)
b)
c)
C = 28î− 6ĵ + 26k�
9.
a)
Aparal. = c⃗⨯ d = 2 u. a.
b)
10.
a)
Aparal. = a⨯ b = 80 u. a.
b)
11.
𝐦 = −3 e 𝐦 = 3
12.
𝐦 = −2 e 𝐦 = 3
13.
a)
b)
14.
a)
b)
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1. Dados os vetores a = 2,0,−1 e b = 3,2,0 , calcule a ⨯ b.
2. Dados os vetores x = 0,4,3 e y = 6,1,2 , calcule x ⨯ y.
3. Dados os vetores b = 3,−5,1 e d = −1,4,1 , calcule b ˄ d.
4. Dados os vetores z⃗ = 2,−1,−2 e w = 2,−1,−2 , calcule z⃗ ˄ w.
5. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores u =
1,0,1 e v = 2,2,−1 , é ortogonal aos vetores u e v.
6. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores a =
−1,1,−1 e b = 1,−1,1 , é ortogonal aos vetores a e b.
7. Sejam os vetores u = 2,1,−1 e v= 5,2,0 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 2
c) Tenha cota igual a 1
8. Sejam os vetores u = 3,1,−3 e v = −1,4,2 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 4
c) Tenha ordenada igual a - 6
9. Dedos os vetores c⃗ = 2, 1,0 e d = 2, 2,0 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por c⃗ e d
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por d
10. Dedos os vetores a = 5, 0,−2 e b = 5, 0,2 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por a e b
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por b
11. Dados os vetores u = 2,𝐦, 1 e v = −2,0,−1 , calcule m para que 
a área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 61.
12. Dados os vetores u = 1,−1,1 e v = 2,1,𝐦 , calcule m para que a 
área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 26.
13. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A −2,1,0 , B 3,−1,1 e C 0,2,−1 .
14. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A 2,−2,3 , B 1,0,1 e C 3,0,−1 .
Gabarito:
1.
a ⨯ b = 2î − 3ĵ + 4k�
2.
x ⨯ y = 5î + 18ĵ− 24k�
3.
b ˄ d = −9î− 4ĵ + 7k�
4.
z⃗ ˄ w = 0î − 0ĵ + 0k�
5.
u . u ⨯ v = 0
v . u ⨯ v = 0
6.
a . a ⨯ b = 0
b . a ⨯ b = 0
7.
a)
b)
c)
C = −2î + 5ĵ + k�
8.
a)
b)
c)
C = 28î− 6ĵ + 26k�
9.
a)
Aparal. = c⃗⨯ d = 2 u. a.
b)
10.
a)
Aparal. = a⨯ b = 80 u. a.
b)
11.
𝐦 = −3 e 𝐦 = 3
12.
𝐦 = −2 e 𝐦 = 3
13.
a)
b)
14.
a)
b)
Conteúdo licenciado para Jose Nazareno da Silva - 197.378.258-88
1. Dados os vetores a = 2,0,−1 e b = 3,2,0 , calcule a ⨯ b.
2. Dados os vetores x = 0,4,3 e y = 6,1,2 , calcule x ⨯ y.
3. Dados os vetores b = 3,−5,1 e d = −1,4,1 , calcule b ˄ d.
4. Dados os vetores z⃗ = 2,−1,−2 e w = 2,−1,−2 , calcule z⃗ ˄ w.
5. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores u =
1,0,1 e v = 2,2,−1 , é ortogonal aos vetores u e v.
6. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores a =
−1,1,−1 e b = 1,−1,1 , é ortogonal aos vetores a e b.
7. Sejam os vetores u = 2,1,−1 e v = 5,2,0 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 2
c) Tenha cota igual a 1
8. Sejam os vetores u = 3,1,−3 e v = −1,4,2 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 4
c) Tenha ordenada igual a - 6
9. Dedos os vetores c⃗ = 2, 1,0 e d = 2, 2,0 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por c⃗ e d
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por d
10. Dedos os vetores a = 5, 0,−2 e b = 5, 0,2 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por a e b
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por b
11. Dados os vetores u = 2,𝐦, 1 e v = −2,0,−1 , calcule m para que 
a área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 61.
12. Dados os vetores u = 1,−1,1 e v = 2,1,𝐦 , calcule m para que a 
área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 26.
13. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A −2,1,0 , B 3,−1,1 e C 0,2,−1 .
14. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A 2,−2,3 , B 1,0,1 e C 3,0,−1 .
Gabarito:
1.
a ⨯ b = 2î − 3ĵ + 4k�
2.
x ⨯ y = 5î + 18ĵ− 24k�
3.
b ˄ d = −9î− 4ĵ + 7k�
4.
z⃗ ˄ w = 0î − 0ĵ + 0k�
5.
u . u ⨯ v = 0
v . u ⨯ v = 0
6.
a . a ⨯ b = 0
b . a ⨯ b = 0
7.
a)
b)
c)
C = −2î + 5ĵ + k�
8.
a)
b)
c)
C = 28î− 6ĵ + 26k�
9.
a)
Aparal. = c⃗⨯ d = 2 u. a.
b)
10.
a)
Aparal. = a⨯ b = 80 u. a.
b)
11.
𝐦 = −3 e 𝐦 = 3
12.
𝐦 = −2 e 𝐦 = 3
13.
a)
b)
14.
a)
b)
Conteúdo licenciado para Jose Nazareno da Silva - 197.378.258-88
1. Dados os vetores a = 2,0,−1 e b = 3,2,0 , calcule a ⨯ b.
2. Dados os vetores x = 0,4,3 e y = 6,1,2 , calcule x ⨯ y.
3. Dados os vetores b = 3,−5,1 e d = −1,4,1 , calcule b ˄ d.
4. Dados os vetores z⃗ = 2,−1,−2 e w = 2,−1,−2 , calcule z⃗ ˄ w.
5. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores u =
1,0,1 e v = 2,2,−1 , é ortogonal aos vetores u e v.
6. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores a =
−1,1,−1 e b = 1,−1,1 , é ortogonal aos vetores a e b.
7. Sejam os vetores u = 2,1,−1 e v = 5,2,0 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 2
c) Tenha cota igual a 1
8. Sejam os vetores u = 3,1,−3 e v = −1,4,2 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 4
c) Tenha ordenada igual a - 6
9. Dedos os vetores c⃗ = 2, 1,0 e d = 2, 2,0 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por c⃗ e d
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por d
10. Dedos os vetores a = 5, 0,−2 e b = 5, 0,2 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por a e b
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por b
11. Dados os vetores u = 2,𝐦, 1 e v = −2,0,−1 , calcule m para que 
a área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 61.
12. Dados os vetores u = 1,−1,1 e v = 2,1,𝐦 , calcule m para que a 
área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 26.
13. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A −2,1,0 , B 3,−1,1 e C 0,2,−1 .
14. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A 2,−2,3 , B 1,0,1 e C 3,0,−1 .
Gabarito:
1.
a ⨯ b = 2î − 3ĵ + 4k�
2.
x ⨯ y = 5î + 18ĵ− 24k�
3.
b ˄ d = −9î− 4ĵ + 7k�
4.
z⃗ ˄ w = 0î − 0ĵ + 0k�
5.
u . u ⨯ v = 0
v . u ⨯ v = 0
6.
a . a ⨯ b = 0
b . a ⨯ b = 0
7.
a)
b)
c)
C = −2î + 5ĵ + k�
8.
a)
b)
c)
C = 28î− 6ĵ + 26k�
9.
a)
Aparal. = c⃗⨯ d = 2 u. a.
b)
10.
a)
Aparal. = a⨯ b = 80 u. a.
b)
11.
𝐦 = −3 e 𝐦 = 3
12.
𝐦 = −2 e 𝐦 = 3
13.
a)
b)
14.
a)
b)
Conteúdo licenciado para Jose Nazareno da Silva - 197.378.258-88
1. Dados os vetores a = 2,0,−1 e b = 3,2,0 , calcule a ⨯ b.
2. Dados os vetores x = 0,4,3 e y = 6,1,2 , calcule x ⨯ y.
3. Dados os vetores b = 3,−5,1 e d = −1,4,1 , calcule b ˄ d.
4. Dados os vetores z⃗ = 2,−1,−2 e w = 2,−1,−2 , calcule z⃗ ˄ w.
5. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores u =
1,0,1 e v = 2,2,−1 , é ortogonal aos vetores u e v.
6. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores a =
−1,1,−1 e b = 1,−1,1 , é ortogonal aos vetores a e b.
7. Sejam os vetores u = 2,1,−1 e v = 5,2,0 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 2
c) Tenha cota igual a 1
8. Sejam os vetores u = 3,1,−3 e v = −1,4,2 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 4
c) Tenha ordenada igual a - 6
9. Dedos os vetores c⃗ = 2, 1,0 e d = 2, 2,0 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por c⃗ e d
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por d
10. Dedos os vetores a = 5, 0,−2 e b = 5, 0,2 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por a e b
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por b
11. Dados os vetores u = 2,𝐦, 1 e v = −2,0,−1 , calcule m para que 
a área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 61.
12. Dados os vetores u = 1,−1,1 e v = 2,1,𝐦 , calcule m para que a 
área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 26.
13. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A −2,1,0 , B 3,−1,1 e C 0,2,−1 .
14. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A 2,−2,3 , B 1,0,1 e C 3,0,−1 .
Gabarito:
1.
a ⨯ b = 2î − 3ĵ + 4k�
2.
x ⨯ y = 5î + 18ĵ− 24k�
3.
b ˄ d = −9î− 4ĵ + 7k�
4.
z⃗ ˄ w = 0î − 0ĵ + 0k�
5.
u . u ⨯ v = 0
v . u ⨯ v = 0
6.
a . a ⨯ b = 0
b . a ⨯ b = 0
7.
a)
b)
c)
C = −2î + 5ĵ + k�
8.
a)
b)
c)
C = 28î− 6ĵ + 26k�
9.
a)
Aparal. = c⃗⨯ d = 2 u. a.
b)
10.
a)
Aparal. = a⨯ b = 80 u. a.
b)
11.
𝐦 = −3 e 𝐦 = 3
12.
𝐦 = −2 e 𝐦 = 3
13.
a)
b)
14.
a)
b)
Conteúdo licenciado para Jose Nazareno da Silva - 197.378.258-88
1. Dados os vetores a = 2,0,−1 e b = 3,2,0 , calcule a ⨯ b.
2. Dados os vetores x = 0,4,3 e y = 6,1,2 , calcule x ⨯ y.
3. Dados os vetores b = 3,−5,1 e d = −1,4,1 , calcule b ˄ d.
4. Dados os vetores z⃗ = 2,−1,−2 e w = 2,−1,−2, calcule z⃗ ˄ w.
5. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores u =
1,0,1 e v = 2,2,−1 , é ortogonal aos vetores u e v.
6. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores a =
−1,1,−1 e b = 1,−1,1 , é ortogonal aos vetores a e b.
7. Sejam os vetores u = 2,1,−1 e v = 5,2,0 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 2
c) Tenha cota igual a 1
8. Sejam os vetores u = 3,1,−3 e v = −1,4,2 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 4
c) Tenha ordenada igual a - 6
9. Dedos os vetores c⃗ = 2, 1,0 e d = 2, 2,0 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por c⃗ e d
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por d
10. Dedos os vetores a = 5, 0,−2 e b = 5, 0,2 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por a e b
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por b
11. Dados os vetores u = 2,𝐦, 1 e v = −2,0,−1 , calcule m para que 
a área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 61.
12. Dados os vetores u = 1,−1,1 e v = 2,1,𝐦 , calcule m para que a 
área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 26.
13. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A −2,1,0 , B 3,−1,1 e C 0,2,−1 .
14. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A 2,−2,3 , B 1,0,1 e C 3,0,−1 .
Gabarito:
1.
a ⨯ b = 2î − 3ĵ + 4k�
2.
x ⨯ y = 5î + 18ĵ− 24k�
3.
b ˄ d = −9î− 4ĵ + 7k�
4.
z⃗ ˄ w = 0î − 0ĵ + 0k�
5.
u . u ⨯ v = 0
v . u ⨯ v = 0
6.
a . a ⨯ b = 0
b . a ⨯ b = 0
7.
a)
b)
c)
C = −2î + 5ĵ + k�
8.
a)
b)
c)
C = 28î− 6ĵ + 26k�
9.
a)
Aparal. = c⃗⨯ d = 2 u. a.
b)
10.
a)
Aparal. = a⨯ b = 80 u. a.
b)
11.
𝐦 = −3 e 𝐦 = 3
12.
𝐦 = −2 e 𝐦 = 3
13.
a)
b)
14.
a)
b)
1. Dados os vetores a = 2,0,−1 e b = 3,2,0 , calcule a ⨯ b.
2. Dados os vetores x = 0,4,3 e y = 6,1,2 , calcule x ⨯ y.
3. Dados os vetores b = 3,−5,1 e d = −1,4,1 , calcule b ˄ d.
4. Dados os vetores z⃗ = 2,−1,−2 e w = 2,−1,−2 , calcule z⃗ ˄ w.
5. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores u =
1,0,1 e v = 2,2,−1 , é ortogonal aos vetores u e v.
6. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores a =
−1,1,−1 e b = 1,−1,1 , é ortogonal aos vetores a e b.
7. Sejam os vetores u = 2,1,−1 e v = 5,2,0 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 2
c) Tenha cota igual a 1
8. Sejam os vetores u = 3,1,−3 e v = −1,4,2 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 4
c) Tenha ordenada igual a - 6
9. Dedos os vetores c⃗ = 2, 1,0 e d = 2, 2,0 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por c⃗ e d
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por d
10. Dedos os vetores a = 5, 0,−2 e b = 5, 0,2 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por a e b
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por b
11. Dados os vetores u = 2,𝐦, 1 e v = −2,0,−1 , calcule m para que 
a área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 61.
12. Dados os vetores u = 1,−1,1 e v = 2,1,𝐦 , calcule m para que a 
área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 26.
13. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A −2,1,0 , B 3,−1,1 e C 0,2,−1 .
14. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A 2,−2,3 , B 1,0,1 e C 3,0,−1 .
Gabarito:
1.
a ⨯ b = 2î − 3ĵ + 4k�
2.
x ⨯ y = 5î + 18ĵ− 24k�
3.
b ˄ d = −9î− 4ĵ + 7k�
4.
z⃗ ˄ w = 0î − 0ĵ + 0k�
5.
u . u ⨯ v = 0
v . u ⨯ v = 0
6.
a . a ⨯ b = 0
b . a ⨯ b = 0
7.
a)
b)
c)
C = −2î + 5ĵ + k�
8.
a)
b)
c)
C = 28î− 6ĵ + 26k�
9.
a)
Aparal. = c⃗⨯ d = 2 u. a.
b)
10.
a)
Aparal. = a⨯ b = 80 u. a.
b)
11.
𝐦 = −3 e 𝐦 = 3
12.
𝐦 = −2 e 𝐦 = 3
13.
a)
b)
14.
a)
b)
Conteúdo licenciado para Jose Nazareno da Silva - 197.378.258-88
1. Dados os vetores a = 2,0,−1 e b = 3,2,0 , calcule a ⨯ b.
2. Dados os vetores x = 0,4,3 e y = 6,1,2 , calcule x ⨯ y.
3. Dados os vetores b = 3,−5,1 e d = −1,4,1 , calcule b ˄ d.
4. Dados os vetores z⃗ = 2,−1,−2 e w = 2,−1,−2 , calcule z⃗ ˄ w.
5. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores u =
1,0,1 e v = 2,2,−1 , é ortogonal aos vetores u e v.
6. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores a =
−1,1,−1 e b = 1,−1,1 , é ortogonal aos vetores a e b.
7. Sejam os vetores u = 2,1,−1 e v = 5,2,0 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 2
c) Tenha cota igual a 1
8. Sejam os vetores u = 3,1,−3 e v = −1,4,2 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 4
c) Tenha ordenada igual a - 6
9. Dedos os vetores c⃗ = 2, 1,0 e d = 2, 2,0 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por c⃗ e d
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por d
10. Dedos os vetores a = 5, 0,−2 e b = 5, 0,2 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por a e b
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por b
11. Dados os vetores u = 2,𝐦, 1 e v = −2,0,−1 , calcule m para que 
a área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 61.
12. Dados os vetores u = 1,−1,1 e v = 2,1,𝐦 , calcule m para que a 
área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 26.
13. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A −2,1,0 , B 3,−1,1 e C 0,2,−1 .
14. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A 2,−2,3 , B 1,0,1 e C 3,0,−1 .
Gabarito:
1.
a ⨯ b = 2î − 3ĵ + 4k�
2.
x ⨯ y = 5î + 18ĵ− 24k�
3.
b ˄ d = −9î− 4ĵ + 7k�
4.
z⃗ ˄ w = 0î − 0ĵ + 0k�
5.
u . u ⨯ v = 0
v . u ⨯ v = 0
6.
a . a ⨯ b = 0
b . a ⨯ b = 0
7.
a)
b)
c)
C = −2î + 5ĵ + k�
8.
a)
b)
c)
C = 28î− 6ĵ + 26k�
9.
a)
Aparal. = c⃗⨯ d = 2 u. a.
b)
10.
a)
Aparal. = a⨯ b = 80 u. a.
b)
11.
𝐦 = −3 e 𝐦 = 3
12.
𝐦 = −2 e 𝐦 = 3
13.
a)
b)
14.
a)
b)
Conteúdo licenciado para Jose Nazareno da Silva - 197.378.258-88
1. Dados os vetores a = 2,0,−1 e b = 3,2,0 , calcule a ⨯ b.
2. Dados os vetores x = 0,4,3 e y = 6,1,2 , calcule x ⨯ y.
3. Dados os vetores b = 3,−5,1 e d = −1,4,1 , calcule b ˄ d.
4. Dados os vetores z⃗ = 2,−1,−2 e w = 2,−1,−2 , calcule z⃗ ˄ w.
5. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores u =
1,0,1 e v = 2,2,−1 , é ortogonal aos vetores u e v.
6. Mostre que o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores a =
−1,1,−1 e b = 1,−1,1 , é ortogonal aos vetores a e b.
7. Sejam os vetores u = 2,1,−1 e v = 5,2,0 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 2
c) Tenha cota igual a 1
8. Sejam os vetores u = 3,1,−3 e v = −1,4,2 . Determine um vetor 
ortogonal a u e v que:
a) Seja unitário
b) Tenha módulo 4
c) Tenha ordenada igual a - 6
9. Dedos os vetores c⃗ = 2, 1,0 e d = 2, 2,0 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por c⃗ e d
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por d
10. Dedos os vetores a = 5, 0,−2 e b = 5, 0,2 , calcule:
a) A área do paralelogramo determinado por a e b
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida por b
11. Dados os vetores u = 2,𝐦, 1 e v = −2,0,−1 , calcule m para que 
a área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 61.
12. Dados os vetores u = 1,−1,1 e v = 2,1,𝐦 , calcule m para que a 
área do paralelogramo formado por u e v seja igual a 26.
13. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A −2,1,0 , B 3,−1,1 e C 0,2,−1 .
14. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que 
A 2,−2,3 , B 1,0,1 e C 3,0,−1 .
Gabarito:
1.
a ⨯ b = 2î − 3ĵ + 4k�
2.
x ⨯ y = 5î + 18ĵ− 24k�
3.
b ˄ d = −9î− 4ĵ + 7k�
4.
z⃗ ˄ w = 0î − 0ĵ + 0k�
5.
u . u ⨯ v = 0
v . u ⨯ v = 0
6.
a . a ⨯ b = 0
b . a ⨯ b = 0
7.
a)
b)
c)
C = −2î + 5ĵ + k�
8.
a)
b)
c)
C = 28î− 6ĵ + 26k�
9.
a)
Aparal. = c⃗⨯ d = 2 u. a.
b)
10.
a)
Aparal. = a⨯ b = 80 u. a.
b)
11.
𝐦 = −3 e 𝐦 = 3
12.
𝐦 = −2 e 𝐦 = 3
13.
a)
b)
14.
a)
b)
Conteúdo licenciado para Jose Nazareno da Silva - 197.378.258-88