AOL 1 a 4 Cálculo Integral

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Módulo C - Cálculo Integral - D.20212.C 
Avaliação On-Line 1 (AOL 1) - Questionário 
1. Pergunta 1 
Compreender com quais categorias de funções se está lidando em um determinado 
problema pode auxiliar no encaminhamento para a solução. É fundamental compreender 
as distinções e semelhanças das funções transcendentes, explícitas e implícitas. 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre funções 
transcendentes, explícitas e implícitas, associe as funções apresentadas a seguir com 
suas respectivas categorias: 
1) y= cos(x). 
2) x²+y² = 25. 
3) y= 2. 
4) lnx + 2y = 0. 
( ) Função transcendente definida explicitamente. 
( ) Função transcendente definida implicitamente. 
( ) Função algébrica definida implicitamente. 
( ) Função algébrica definida explicitamente. 
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
a) 1, 4, 2, 3.Resposta correta 
b) 4, 2, 3, 1. 
c) 2, 1, 3, 4. 
d) 1, 2, 4, 3. 
e) 3, 4, 2, 1. 
2. Pergunta 2 
O conhecimento acerca de métodos de derivação é muito útil para encontrar retas 
tangentes e taxas de variações. Entender suas propriedades é de fundamental 
importância para que eles façam parte do repertório matemático dos estudantes. 
Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca dos distintos métodos 
de derivação, associe os métodos a seguir com suas características: 
1) Diferenciação implícita. 
2) Regra da Cadeia. 
3) Regra do tombo. 
4) Regra do produto. 
( ) Deriva-se um produto de duas funções. 
( ) Deriva-se funções compostas. 
( ) Deriva-se funções polinomiais. 
( ) Deriva-se funções que não têm variáveis isoladas. 
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
a) 1, 4, 3, 2. 
b) 4, 1, 2, 3. 
c) 2, 1, 3, 4. 
d) 4, 2, 1, 3. 
e) 4, 2, 3, 1.Resposta correta 
 
3. Pergunta 3 
Funções transcendentes são definidas por conta de sua condição de independência 
algébrica. Elas são funções que não podem ser construídas somente com um número 
finito de operações algébricas usuais. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos acerca de funções 
transcendentes, analise as afirmativas a seguir: 
I. f(x) = c^(x) não é uma função transcendente, onde c é uma constante diferente de 0 e 
1. 
II. f(x)= x^(x) não é uma função transcendente. 
III. f(x) = x² + 2x + 3 não é uma função transcendente. 
IV. f(x) = 3 não é uma função transcendente. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
a) I, III e IV. 
b) II e III. 
c) I e IV. 
d) II, III e IV. 
e) III e IV.Resposta correta 
 
4. Pergunta 4 
O estudo acerca dos logaritmos contribui para a resolução de alguns problemas 
matemáticos que seriam difíceis de se resolver de outra forma, como é o caso da 
derivada de 2^x. Para isso, é necessário que se tenha o conhecimento básico sobre a 
definição e propriedades dos logaritmos. 
Com base nessas informações e em seus conhecimentos sobre os logaritmos, analise as 
afirmativas a seguir com relação à veracidade e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F 
para a(s) falsa(s). 
I. ( ) log(e) = ln(e). 
II. ( ) O número de Euler, base do logaritmo neperiano, é definido a partir de um limite 
fundamental. 
III. ( ) A função exponencial é a função inversa da logarítmica 
IV. ( ) A base de um logaritmo deve ser, somente maior do que zero 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
a) F, V, V, F.Resposta correta 
b) V, F, F, V. 
c) V, V, V, F. 
d) F, F, V, V. 
e) V, V, F, V. 
 
5. Pergunta 5 
As funções explícitas são aquelas que não possuem variáveis que estejam de forma 
isolada na expressão. O estudo delas de modo separado das demais é relevante, pois 
esse tipo de função é um impeditivo para o cálculo de algumas derivadas pelo método 
condicional. Porém, existem alguns fatores não muito claros quando se estuda essa 
categoria de expressão algébrica. 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre funções explícitas, 
implícitas e transcendentes, é correto afirmar que em alguns casos as funções explícitas 
sequer são funções, porque: 
a) apresentam as condições necessárias para serem chamadas de função, 
porém, esse nome só é atribuído quando se escreve na forma explícita. 
b) não são escritas na forma y=ax + b. 
c) não respeitam as condições necessárias para serem chamadas de função, 
tal como a não atribuição de dois valores diferentes do contra domínio para 
um mesmo valor do domínio.Resposta correta 
d) impedem o cálculo das derivadas. 
e) não são diferenciáveis. 
 
6. Pergunta 6 
O número de Euler está associado a diversos fenômenos da natureza, tais como um 
decaimento radioativo e o crescimento de uma colônia de bactérias. Porém, ele também 
se relaciona com questões financeiras, referentes a juros compostos. Imagine o cenário 
hipotético: 
Uma criança de 10 anos recebe de seus pais em seu nome, inicialmente, uma quantia de 
R$ 100.000,00 que irá ser investida em uma determinada aplicação que renderá, em 
juros compostos, 10% ao ano. A família dessa criança pretende utilizar esse dinheiro 
para comprar uma casa para ela, quando a mesma atingir a maioridade e o dinheiro for 
suficiente. Supondo que o valor da casa é de R$ 500.000,00 e . 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre limite fundamental 
exponencial e Sistema Neperiano, pode-se afirmar que a então criança poderá comprar a 
casa com: 
a) 23 anos. 
b) 21 anos. 
c) 20 anos. 
d) 26 anos.Resposta correta 
e) 24 anos. 
 
7. Pergunta 7 
A diferenciação implícita é um método de derivação para certos tipos de funções, isto é, 
as que não se consegue isolar o valor de uma de suas variáveis. É necessário conhecer 
as aplicações e propriedades desse tipo de derivação. 
Utilizando essas informações e seus conhecimentos acerca dessas derivadas, analise as 
afirmativas a seguir: 
I. Quando se deriva implicitamente, deve-se derivar ambos os lados da igualdade. 
II. Ao derivar implicitamente, utiliza-se a regra da cadeia. 
III. Derivar implicitamente não exclui a necessidade de utilizar outros métodos de 
derivação. 
IV. A derivação implícita sempre resultará em valores positivos. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
a) I, II e III.Resposta correta 
b) III e IV. 
c) I e II. 
d) II e III. 
e) II, III e IV. 
 
8. Pergunta 8 
O estudo do cálculo é importante em diversas áreas do conhecimento. Por exemplo, em 
física ele é utilizado para descrever as equações horárias de movimento, que são funções 
polinomiais. Considere que a derivada da equação horária do movimento, S’(t), é igual à 
equação horária da velocidade, v(t), e a derivada segunda da equação horária do 
movimento, S’’(t), é a equação horária da aceleração, a(t). 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre derivação, analise as 
afirmativas a seguir: 
I. Em movimentos nos quais a v(t) é uma função constante, S(t) também é constante. 
II. Para equações horárias de 2ºgrau, a’(t) = constante. 
III. Se S(t) = x³ + 2x² + 2, no instante 3s a velocidade é de 39m/s. 
IV. Em movimentos nos quais v(t) é uma função de primeiro grau crescente, S(t) é uma 
função quadrática e a aceleração é variável. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
a) I, II e IV. 
b) I, II e III. 
c) II e III.Resposta correta 
d) II e IV. 
e) III e IV. 
 
9. Pergunta 9 
Os limites fundamentais delimitam as bases do cálculo integral. Por isso, compreendê-
los é compreender como se constituem os alicerces matemáticos que dão origem às 
derivadas e integrais. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos acerca dos limites fundamentais, 
analise as afirmativas a seguir: 
I. é um limite fundamental. 
II. e são equivalentes. 
III. 
IV. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
a) II e IV. 
b) I, II, III e IV. 
c) III e IV. 
d) II, III e IV. 
e) I, II e III.Resposta correta 
 
10. Pergunta 10 
A independência algébrica de algumas funções delimita algumas categorias de funções. 
Saber reconhecer quando umafunção é ou não algébrica auxilia em algumas 
manipulações matemáticas, tal como a derivação. 
Tendo em vista os conhecimentos acerca das funções algébricas, analise as afirmativas a 
seguir: 
I. As funções algébricas são aquelas definidas apenas pelas operações básicas da 
álgebra. 
II. Existem funções explícitas não algébricas. 
III. As funções transcendentes são funções algébricas. 
IV. f(x) = ln(x) não é uma função algébrica. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
a) II e III. 
b) I, II e IV.Resposta correta 
c) I e IV. 
d) II, III e IV. 
e) I, III e IV. 
 
 
 
Módulo C - Cálculo Integral - D.20212.C 
Avaliação On-Line 2 (AOL 2) - Questionário 
1. Pergunta 1 
A Regra de L’Hospital contribui para a solução de algumas categorias de 
indeterminações. Com essa regra tenta-se resolver o que não é solucionável apenas com 
a aplicação de um limite. Ela pode ser aplicada, também, inúmeras vezes, caso as 
indeterminações se mantenham, até o momento em que cessam. 
Considerando essas informações e com base em seus conhecimentos sobre a regra de 
L’Hospital, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para 
a(s) falsa(s): 
I. ( ) Indeterminações do tipo 1/0 podem ser resolvidas por essa regra. 
II. ( ) Em determinações do tipo 0/0, pode-se utilizar a regra de L’Hospital. 
III. ( ) Em determinações do tipo infinito/infinito, pode-se utilizar a regra de L’Hospital. 
IV. ( ) A sua aplicação envolve um processo de integralização. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
a) V, V, F, V. 
b) F, V, V, F.Resposta correta 
c) F, F, F, V. 
d) F, F, V, V. 
e) V, V, V, F. 
 
2. Pergunta 2 
Os conhecimentos acerca do significado geométrico das operações de derivada e 
integral são muito úteis para resolvermos uma série de problemas difíceis de aplicações 
práticas em Engenharia. Mensurar áreas e encontrar a inclinação da reta tangente são 
funções de derivadas e integrais. Saber distingui-las é essencial. 
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica dos conceitos 
estudados em Cálculo Diferencial e integral, associe os itens a seguir com seus 
respectivos significados: 
1. Integral definida. 
2. Limites fundamentais. 
3. Derivada da função no ponto. 
4. Diferencial. 
( ) São expressões algébricas para as quais temos um resultado notavelmente conhecido. 
( ) Área abaixo da curva em uma região delimitada. 
( ) É uma parte infinitesimal de uma variável. 
( ) Coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
a) 2, 1, 3, 4. 
b) 1, 2, 3, 4. 
c) 1, 2, 4, 3. 
d) 3, 4, 2, 1. 
e) 1, 4, 2, 3.Resposta correta 
 
3. Pergunta 3 
O estudo das derivadas permitiu a compreensão de como se dá a inclinação de uma reta 
tangente a uma curva em um determinado ponto e qual a taxa de variação instantânea 
referente a ele. Somado a isso, em algumas situações é preferível que, ao se saber a 
derivada de uma função desconhecida, realize-se a operação inversa a ela, para se 
descobrir a função que a gerou, chamada função primitiva ou antiderivada. 
Considerando essas informações e tendo em vista o conteúdo estudado sobre integrais 
indefinidas e antiderivadas, analise as afirmativas a seguir. 
I. Se uma função F’(x) = f(x), diz-se que F(x) é uma antiderivada de f(x). 
II. Tomando determinada função, pressupõe-se que esta função tem uma antiderivada. 
III. é uma representação notacional de uma integral indefinida. 
IV. é uma propriedade de uma integral definida. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
a) II e III. 
b) I e III.Resposta correta 
c) I, III e IV. 
d) II, III e IV. 
e) I e IV. 
 
4. Pergunta 4 
Saber calcular o valor de uma derivada é fundamental para o estudo de cálculo integral, 
já que este valor possui um significado prático para análise da curva do gráfico de uma 
determinada função que indica uma taxa de variação instantânea. Isso pode significar 
encontrar uma taxa de variação referente a outra função ou algo similar, o que implica 
na possibilidade de se aplicar a operação reversa à derivada. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integral indefinida, pode-
se afirmar que aplicar a operação inversa à derivada é relevante porque: 
a) passa a ser possível derivar outros tipos de funções. 
b) tem uma interpretação geométrica diferente da derivada. 
c) vale para qualquer tipo de função e intervalo. 
d) permite determinar a função primitiva de uma derivada, ou seja, a 
função que a gerou.Resposta correta 
e) elimina indeterminações em que a regra de L’Hospital falha. 
 
5. Pergunta 5 
O círculo trigonométrico é objeto de estudo da humanidade desde os povos antigos. 
Existem inúmeras relações presentes nesse objeto, tal como a relação fundamental 
trigonométrica, que relaciona os quadrados do seno e cosseno com o raio unitário do 
círculo trigonométrico, entre outras. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o limite fundamental 
trigonométrico e acerca dessas relações, analise as afirmativas a seguir e assinale V para 
a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s): 
I. ( ) é uma relação trigonométrica. 
II. ( ) é uma relação trigonométrica. 
III. ( ) A tg(x) pode ser escrita em função do sen(x) e cos(x). 
IV. ( ) cos(x) e sen(x) são equivalentes. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
a) F, F, V, V. 
b) V, V, V, F. 
c) V, F, F, F. 
d) V, F, V, V. 
e) V, F, V, F. Resposta correta 
 
6. Pergunta 6 
O estudo do cálculo é importante em diversas áreas do conhecimento. Por exemplo, em 
física, é utilizado para descrever as equações horárias de movimento, que são funções 
polinomiais. Essas funções polinomiais podem ser integradas e derivadas conforme o 
estudo de cálculo integral para, a partir daí, obter outros conhecimentos. 
Considere que a integral da equação horária da aceleração a(t) é igual à equação horária 
da velocidade v(t), e a integral desta é igual à equação horária do movimento S(t). 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivação, analise as 
afirmativas a seguir. 
I. Em movimentos em que a(t) é uma função constante e não nula, S(t) é uma função do 
primeiro grau. 
II. Para a função horária S(t) = cos(x), a aceleração a(t) também é a(t) = cos(x). 
III. Se a velocidade de um corpo é de 4 m/s e constante, pode-se afirmar que S(t) é uma 
função do primeiro grau. 
IV. Dada a equação horária da posição S(t) = x² + 2x − 3, tem-se que v(2) = 6m/s e que 
a aceleração é constante e vale 2m/s². 
Está correto apenas o que se afirma em: 
a) I, II e IV. 
b) II, III. 
c) I, II, III. 
d) III e IV. Resposta correta 
e) II e IV. 
 
7. Pergunta 7 
A regra de L’Hospital é muito utilizada para tratar de alguns limites específicos. Ela 
auxilia no entendimento de algumas funções e na eliminação de inconsistências, que 
ocorrem em casos onde, ao substituir os valores de x de uma função pelo valor ao qual x 
tende no cálculo do limite, encontramos expressões da forma 0/0, por exemplo. 
Considerando essas informações e os estudos acerca da definição da regra de L’Hospital 
e suas propriedades, analise as afirmações a seguir: 
I. Ela pode ser aplicada inúmeras vezes sobre uma razão se a indeterminação 0/0 ou 
infinito/infinito ainda estiver valendo. 
II. Existem funções que têm a indeterminação, mas o L’Hospital não as resolve. 
III. A regra é aplicada por um processo de derivação. 
IV. L’Hospital elimina quaisquer indeterminações. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
a) II e III. 
b) I e II. 
c) I, II e III.Resposta correta 
d) III e IV. 
e) I, II e IV. 
 
8. Pergunta 8 
As funções circulares são aquelas definidas a partir do círculo unitário, e podem ser 
categorizadas entre dois grupos, aquelas que são diretas e as que são inversas. 
Considerando essas informações e tendo em vista os conhecimentos acerca das funções 
circulares, analiseas afirmativas a seguir: 
I. Sen(x) e Log(x) são funções circulares. 
II. As funções trigonométricas são circulares. 
III. As funções inversas são funções circulares. 
IV. x²+y² = 25 é uma função circular. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
a) II e III. Resposta correta 
b) I e IV. 
c) II, III e IV. 
d) I, III e IV. 
e) II e IV. 
 
9. Pergunta 9 
Intuitivamente, ao imaginar uma divisão por um número muito pequeno, podemos 
constatar que, quanto menor o denominador, maior o resultado dessa divisão, pois 
menor seria o número de parcelas dessa divisão. No Ensino Superior, nas disciplinas de 
Cálculo, estudamos isso através dos limites, onde aproximamos nossas funções para um 
ponto em que x tende a algum valor (nesse caso, a zero). No entanto, algumas funções 
apresentam indeterminações ao realizar o cálculo do limite, e para fugir dessas 
indeterminações adotamos a regra de L’Hospital, que utiliza a derivada das funções para 
o cálculo do limite desconhecido. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre derivadas e a regra de 
L’Hospital, analise as afirmativas a seguir: 
I. O limite de x/e^x, com x tendendo a zero, é igual a 1. 
II. O limite de (x+sen(x))/(x²-sen(x)), com x tendendo a zero, é igual a −2. 
III. O limite e^(x)/x², quando x tende a mais infinito, é igual a mais infinito. 
IV. A regra de L’Hospital é aplicável somente nos casos em que existe uma 
indeterminação, não podendo ser aplicada a qualquer caso, pois poderia gerar respostas 
incorretas. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
a) I, II, III. 
b) I, II, III e IV. 
c) II, e IV. 
d) II, III e IV.Resposta correta 
e) III e IV. 
 
10. Pergunta 10 
Ao estudar cálculo diferencial e integral, vemos que essas duas operações são inversas. 
Ou seja, tendo uma função f(x), a integral de sua derivada f’(x) é a própria f(x). A esta 
constatação damos o nome de Teorema Fundamental do Cálculo. Já fisicamente, a 
derivada significa uma taxa de variação, ou seja, um coeficiente angular de uma reta 
tangente à curva em um dado ponto da função, enquanto a integral representa a área sob 
a curva do gráfico da função em um intervalo definido. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o Teorema Fundamental 
do Cálculo e as propriedades de derivação e integração, analise as afirmativas a seguir. 
I. A integral da terceira derivada de i(x) = e^(2x) + 3x² + sen(x) é igual a 4e^(2x) + 6 − 
sen(x). 
II. Ao integrarmos oito vezes a função g(x) = x³ + 2 e, após isso, derivarmos a expressão 
obtida por 9 vezes, obtemos uma nova função que intercepta o gráfico na origem. 
III. A derivada de h(x) = cos(2x) é igual a −4sen(x)cos(x). 
IV. A integral da função f(x) = x² + 2x + 1 é igual a x³ + 2x² + x. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
a) II e III. 
b) I e II. 
c) I, II e III.Resposta correta 
d) II e IV. 
e) I e III. 
 
 
 
Módulo C - Cálculo Integral - D.20212.C 
Avaliação On-Line 3 (AOL 3) - Questionário 
1. Pergunta 1 
As integrais de funções têm inúmeros significados dentro da física, sendo que nosso 
primeiro contato com esses conceitos nessa área do conhecimento ocorre no estudo de 
movimento de corpos, trabalho de forças, volumes, pressões etc. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida 
e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir 
e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A integral definida de uma função no intervalo [a,b] pode ser calculada dividindo a 
figura formada pela curva e o eixo x no maior número possível de retângulos de mesmo 
comprimento e somando as áreas dos mesmos. 
II. ( ) A integral de e(x) = x² definida no intervalo [0,9] é igual a 243. 
III. ( ) A integral definida de f(x) no intervalo [a,b] é dada por A1 – A2, onde A1 é a 
área entre a curva e o eixo x nas regiões onde f(x) > 0 e A2 é área das regiões onde f(x) 
< 0. 
IV. ( ) A integral de g(x) = |x| no intervalo [-10,10] é igual a 0, pois essa é uma função 
par. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
a) V, V, F, F. 
b) V, V, V, F.Resposta correta 
c) F, V, F, V. 
d) V, F, F, V. 
e) F, F, V, F. 
 
2. Pergunta 2 
A integral definida de funções tem importantes aplicações em diversos estudos de 
fenômenos modelados matematicamente, de forma que o conhecimento das regras de 
integração definida em um intervalo [a,b] é essencial para o bom aproveitamento dos 
conceitos estudados. 
Considerando isso e seus conhecimentos sobre regras de integração definida, analise as 
afirmativas a seguir. 
I. A integral de uma constante no intervalo [a,b] é igual a c(a-b). 
II. A integral definida no intervalo [a,b] do produto de duas funções é igual ao produto 
das integrais dessas funções nesse intervalo. 
III. A integral definida no intervalo [a,b] da soma de duas funções é igual à soma das 
integrais dessas funções nesse intervalo. 
IV. Se f(x) > 0 em um intervalo [a,b], então sua integral nesse intervalo também é maior 
que zero. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
a) II e III. 
b) I e III. 
c) III e IV.Resposta correta 
d) II e III. 
e) I e IV. 
 
3. Pergunta 3 
Funções exponenciais e logarítmicas têm comportamentos peculiares quando 
comparadas, já que a potência e o logaritmo são operações inversas, de forma que, 
quando aplicamos um expoente a uma base, calculamos o resultado por meio de uma 
multiplicação, enquanto, quando aplicamos o logaritmo de uma determinada base a um 
logaritmando, o resultado é o expoente a que se eleva essa base para chegarmos ao 
logaritmando. 
Dessa forma, considerando as funções f(x) = e^x e g(x) = ln(x) e também seus 
conhecimentos sobre as derivadas e integrais desses tipos de funções, é correto afirmar 
que: 
a) No intervalo 0 < x < 1, a integral definida de ambas as funções é positiva. 
b) Ambas as funções não possuem taxa de variação em x = 0. 
c) No intervalo 0 < x < 1, a integral de f(x) é positiva e a de g(x) é negativa.Resposta 
correta 
d) Para x < 0, a taxa de variação de ambas as funções é negativa. 
e) Ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais. 
 
4. Pergunta 4 
O Teorema Fundamental do Cálculo uniu o Cálculo Integral ao Diferencial, 
possibilitando o cálculo de integrais definidas a partir da seguinte 
igualdade: 
Utilizando os seus conhecimentos acerca das integrais definidas e o Teorema 
Fundamental do Cálculo, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) Diferente das integrais indefinidas, as definidas resultam em uma resposta apenas, 
e não uma família de soluções. 
II. ( ) Esse teorema alia as antiderivadas às integrais. 
III. ( ) Para utilizá-lo, não é necessário definir os limites de integração. 
IV. ( ) 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
a) V, V, F, V.Resposta correta 
b) V, F, V, V. 
c) V, V, V, F. 
d) V, F, F, F. 
e) F, F, V, V. 
 
5. Pergunta 5 
O estudo das funções exponenciais e logarítmicas e suas propriedades têm fundamental 
importância para o Cálculo, pois essas funções descrevem uma série de fenômenos 
observados nas ciências naturais. 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre o significado da derivada 
como limite e seu uso em problemas da reta tangente e de velocidade instantânea, 
analise as afirmativas a seguir: 
I. A integral de qualquer função exponencial é a própria função. 
II. Diferentemente da derivada, a integral não pode ser calculada por meio de limites. 
III.A integral de 4e^(2x) é igual a 2e^(2x). 
IV.Os gráficos de f(x) = e^x e de g(x) = ln(x) são simétricos em relação à reta y = x. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
a) II e III. 
b) I, e IV. 
c) II, III e IV.Resposta correta 
d) II e IV. 
e) I, II e III. 
 
6. Pergunta 6 
O estudo acerca das integrais é fundamental para alunos que estudam Cálculo. Por meio 
delas,tem-se uma medida analítica de algumas áreas, volumes e comprimentos, 
portanto, reconhecê-las e utilizá-las é essencial. 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração 
indefinida, analise as afirmativas a seguir: 
I. Uma Integral indefinida é delimitada na forma . 
II. As integrais indefinidas dão somente uma resposta específica, ou seja, só há uma 
resposta possível. 
III. Com a integração indefinida, é possível calcular o valor da integral em um 
determinado ponto. 
IV. A constante adicionada ao final da integração indica que há uma família de 
respostas possível para o cálculo. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
a) II e IV. 
b) I, II, III. 
c) I, II e IV. 
d) I e IV.Resposta correta 
e) II, III. 
 
7. Pergunta 7 
As integrais de funções possuem inúmeros significados dentro da física, sendo que 
nosso primeiro contato com esses conceitos nessa área do conhecimento ocorre no 
estudo de movimento de corpos, trabalho de forças, volumes, pressões etc. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida 
e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir 
e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A primitiva de f(x) = sen(x) é F(x) = cos(x) + C. 
II. ( ) A integral de uma função sempre é calculável em um intervalo, pois, 
diferentemente da derivada, é possível calcular uma área que seja um número real para 
qualquer função, mesmo que seja descontínua no ponto. 
III. ( ) A primitiva de g(x) = cos(x) é G(x) = sen(x). 
IV. ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = 2cos(x) é igual a 0. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
a) F, F, F, V.Resposta correta 
b) F, F, V, F. 
c) V, F, F, V. 
d) V, V, F, F. 
e) F, V, F, V. 
 
8. Pergunta 8 
Funções exponenciais são importantes funções que modelam fenômenos naturais, 
econômicos e sociais e, por esse motivo, como sabemos que a derivada e a integral 
possuem significados práticos para esses modelos, o estudo do Cálculo se faz 
indispensável para a análise quantitativa e qualitativa desses fenômenos. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida 
e com seus conhecimentos sobre funções exponenciais e logarítmicas, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A função f(x) = -e^(x) apresenta apenas valores negativos de integral, qualquer que 
seja o intervalo de integração. 
II. ( ) A área entre o eixo x e o gráfico de g(x) = 4/x no intervalo [1, e] é igual a 4. 
III. ( ) A integral indefinida de h(x) = 2e^(2x) resulta na primitiva H(x) = 4e^(2x). 
IV. ( ) A integral indefinida de i(x) = x³ + e^x resulta na primitiva I(x) = 3x^4 + e^x + 
C. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
a) V, V, F, F.Resposta correta 
b) V, F, F, F. 
c) V, V, V, F. 
d) F, F, V, V. 
e) V, V, F, V. 
 
9. Pergunta 9 
O estudo acerca das funções exponenciais é extremamente relevante para o estudante de 
exatas, ainda mais aquele que busca aplicações no dia a dia. Compreender algumas 
operações, tais como derivada e integral, passa a ser essencial para o desenvolvimento 
desse aluno. 
Com base nos seus conhecimentos acerca das integrais exponenciais, associe os itens a 
seguir com os significados descritos: 
1) Integral exponencial geral. 
2) Integral exponencial. 
3) Integral com número de Euler na base. 
4) Função exponencial. 
( ) 
( ) , em que d é uma constante. 
( ) 
( ) 
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
a) 1, 2, 3, 4. 
b) 2, 1, 3, 4. 
c) 3, 4, 2, 1. 
d) 2, 1, 4, 3.Resposta correta 
e) 1, 2, 4, 3. 
 
10. Pergunta 10 
No cálculo de integrais definidas de funções, após fazer a integral indefinida da função, 
é necessário substituir os limites do intervalo na fórmula da primitiva e realizar um 
cálculo. E isso significa calcular a área entre a curva da função e o eixo x, de forma a 
atribuir valores positivos onde a função é positiva e negativos caso contrário. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integração de funções 
polinomiais, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
I. A primitiva da função f(x) = 2x + 1 é F(x) = x(x + 1) + C, e a integral definida no 
intervalo [1,2] vale 4. 
Porque: 
II. A integral de f(x) num intervalo [a,b] qualquer equivale à área definida pelo eixo x, 
pelas retas y = a, y = b e pela curva dessa função, e esse valor equivale a F(b) – F(a). 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
a) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma 
justificativa correta da I. 
b) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição 
falsa.Resposta correta 
c) As asserções I e II são proposições falsas. 
d) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma 
justificativa correta da I. 
e) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição 
verdadeira. 
 
 
 
Módulo C - Cálculo Integral - D.20212.C 
Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - Questionário 
1. Pergunta 1 
As funções racionais possuem diversas aplicações em diversos estudos de fenômenos 
modelados matematicamente, de forma que o conhecimento da regra de integração de 
funções racionais por frações parciais é essencial para o bom aproveitamento dos 
conceitos estudados. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre regras de integração de 
funções racionais por frações parciais, é correto afirmar que: 
I. f(x) = cos(x)/sen(x) é uma função integrável pelo fato de ser possível aplicar o 
método das frações parciais ou fazer alguma outra substituição para sua resolução. 
II. Funções racionais podem ser expressas como a soma de frações mais simples, 
chamadas frações parciais, as quais são mais fáceis de se integrar. 
III. Sendo f a função racional tal que f(x) = P(x)/Q(x), então f pode ser expressa como 
uma soma de frações parciais desde que o grau de Q seja menor que o grau de P. 
IV. g(x) = (x+5)/(x² + x - 2) pode ser reescrita como g(x) = 2/(x-1) – 1/(x+2). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
a) II e III. 
b) II e IV. 
c) I e III. 
d) III e IV. 
e) I, II e IV.Resposta correta 
 
2. Pergunta 2 
A matemática pauta sua construção de conhecimento com base em seus axiomas, que 
são premissas assumidas como verdadeiras, isto é, proposições inquestionáveis. A partir 
dessas proposições, outros conhecimentos são gerados, tais como teoremas, 
propriedades, corolários e afins. Esses conhecimentos vão gerando outros, e assim 
sucessivamente. 
Considerando essas informações, pode-se afirmar que a propriedade da derivada do 
produto de duas funções é relevante para a integração por partes porque: 
a) funciona como uma premissa verdadeira que serve como base para a dedução do 
método de integração por partes.Resposta correta 
b) deve-se derivar as funções antes de integrá-las 
c) as derivadas do produto são equivalentes as integrais dos produtos. 
d) ambas são axiomas da matemática. 
e) a propriedade derivativa é utilizada para a resolução de problemas que envolvem 
integral por partes. 
 
3. Pergunta 3 
As substituições trigonométricas são úteis para facilitar a resolução de inúmeras 
integrais com integrandos que são compostos de raízes específicas. Busca-se substituir 
os argumentos dessas raízes por algumas funções trigonométricas, tais como sen(x), 
sec(x) e tg(x). 
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica do método de 
substituições trigonométricas e dos conceitos estudados em Cálculo Diferencial e 
integral, associe os itens a seguir com os processos de substituição descritos: 
1) x²/√(4 – x²). 
2) 1/√(16 + x²). 
3) (x² -16)/ √(x² + 8x + 16). 
4) (x² – 16). 
( ) Substituição x = 2sen(w). 
( ) Substituição x = 4sec(w). 
( ) Substituição x = 4tg(w). 
( ) Não é necessário realizar substituiçãotrigonométrica. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
a) 1, 4, 3, 2. 
b) 2, 3, 1, 4. 
c) 1, 4, 2, 3.Resposta correta 
d) 1, 3, 2, 4. 
e) 2, 1, 3, 4. 
 
4. Pergunta 4 
As técnicas de integração servem para possibilitar a resolução do cálculo de uma 
integral indefinida, onde muitas vezes não há um passo direto para encontrarmos a 
primitiva F(x) de uma certa função f(x). Dessa forma, dependendo do arranjo algébrico 
dos termos de f(x), decidimos por diferentes técnicas de integração, como o método da 
substituição, o da integração por partes, o das frações parciais, e etc. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida 
pelo método de integração por partes e com seus conhecimentos sobre funções 
trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F 
para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A integral da função f(x) = (x+1)³(x-1) só pode ser calculada pela regra da 
integração por partes, por se tratar do produto de duas funções. 
II. ( ) A técnica de integração por partes é dada pela seguinte fórmula: 
III. ( ) A primitiva de g(x) = ln(x) é G(x) = xln(x) - x + C. 
IV. ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = xsen(x) é aproximadamente 
igual a 6,28. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
a) V, F, F, V. 
b) V, V, F, F. 
c) F, F, V, F. 
d) F, V, F, V. 
e) F, V, V, V.Resposta correta 
 
5. Pergunta 5 
As integrais são instrumentos matemáticos valiosos para o cálculo de áreas, volumes e 
comprimentos de arcos de funções. Para o cálculo de áreas entre curvas, 
especificamente, elas podem ser manipuladas com somas e subtrações para a 
determinação de uma área de interesse. 
Considere o cálculo da seguinte área, definida por uma reta e uma parábola: 
1.png 
Com base no seu conhecimento acerca do cálculo de áreas entre curvas por meio de 
integrais e do entendimento acerca de funções quadráticas e lineares, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A área hachurada na figura pode ser calculada pela fórmula da área de um 
triângulo, (base*altura)/2, que resultaria em 3/2. 
II. ( ) As funções referentes a essa representação são y= x²+1 e y= 2. 
III. ( ) A área hachurada na figura pode ser encontrada resolvendo as seguintes 
integrais: 
IV. ( ) É possível a determinação dessa área hachurada com apenas uma integral. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
a) F, V, F, F. 
b) F, F, V, V. 
c) V, F, F, V. 
d) V, F, V, F. 
e) F, V, V, F.Resposta correta 
 
6. Pergunta 6 
Os métodos de integração buscam auxiliar na resolução das integrais, em geral 
reescrevendo as integrais complexas em integrais mais simples e facilmente 
solucionáveis. 
Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca dos métodos de 
integração, associe os itens a seguir com os significados descritos: 
1) Integração por partes. 
2) Integração por substituição trigonométrica. 
3) Integração por frações parciais. 
4) Integração por substituição u du. 
( ) Método de substituição mais simples, que pode ser utilizado em inúmeros casos de 
integrais. 
( ) Útil para integração de certos tipos de produtos de funções. 
( ) Útil para a eliminação de tipos específicos de radicais nos integrandos. 
( ) Utilizado para integração de funções racionais. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
a) 2, 1, 3, 4. 
b) 1, 2, 4, 3. 
c) 1, 2, 3, 4. 
d) 3, 4, 2, 1. 
e) 4, 1, 2, 3.Resposta correta 
 
7. Pergunta 7 
O método da integração trigonométrica possui fundamental importância no que diz 
respeito à integração de funções mais complexas do que as habituais, que aparecem em 
tabelas de integração. Esse método consiste em substituir um dos termos por uma 
função trigonométrica, para que se encontre alguma identidade que simplifica a 
expressão, possibilitando a sua integração. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por 
substituições trigonométricas, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre 
elas. 
I. A integral de 1/[x²√(x²+4)] é igual a √(x²+4)/4x + C, e pode ser calculada pelo método 
da substituição trigonométrica, por meio da substituição x = 2sec(w). 
Porque: 
II. Consideramos a regra da integração por substituição trigonométrica e com x = 
2sec(w), temos que √(x²+4) = √[4sec²(w)+4] = √[4(sec²(w)+1), e como sec²(w) + 1 = 
tg²(w), √(x²+4) = 2tg(w). Substituindo na fórmula inicial e integrando, encontramos a 
expressão dada. 
Agora, assinale a alternativa correta: 
a) As asserções I e II são proposições falsas.Resposta correta 
b) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta 
da I 
c) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
d) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
e) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa 
correta da I. 
 
8. Pergunta 8 
A integral definida possui diversas interpretações geométricas importantes. A mais 
simples é a da integral de uma função definida em um intervalo, que nos dá o valor da 
área da região sob a curva. Os intervalos de integração da integral definida podem ser 
manipulados para a resolução dessas integrais de outras maneiras. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral definida e com seus 
conhecimentos acerca dos diversos métodos de integração, analise as afirmativas a 
seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A área delimitada pela curva f(x) = 1/x, o eixo x e as retas x = 1 e x = e² vale 2. 
II. ( ) Mesmo que a função não seja convergente, é possível calcular sua área dividindo 
o intervalo em subintervalos. 
III. ( ) A área delimitada pela curva h(x) = 2/x, o eixo x e as retas x = 1 e x = e² vale 2. 
IV. ( ) A força em um deslocamento de 100m é dada por f(x) = x - 50. Sabendo que o 
trabalho dessa força é dado pela integral da força vezes o deslocamento, pode-se dizer 
que o trabalho dessa força é nulo para esse deslocamento. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
a) V, F, F, F. 
b) F, F, V, F. 
c) V, V, F, F. 
d) F, V, F, V. 
e) V, F, F, V.Resposta correta 
 
9. Pergunta 9 
A escolha de um método de integração para a resolução de uma determinada integral 
pauta-se na identificação dos integrandos presentes nas integrais, ou seja, identificar se 
eles se tornam mais fáceis de serem resolvidos por um método ou outro. Os métodos 
mais comuns para esse uso são os de substituições trigonométricas, frações parciais, 
integrais por partes e afins. 
Utilizando seus conhecimentos sobre os métodos de integração, analise as afirmativas a 
seguir: 
I. pode ser resolvida pelo método de frações parciais. 
II. pode ser resolvida pelo método de substituição u du. 
III. é solúvel pelo método das substituições trigonométricas. 
IV. pode ser resolvida pelo método de substituição trigonométrica 
Está correto apenas o que se afirma em: 
a) II, III e IV. 
b) II e IV. 
c) I, II e IV.Resposta correta 
d) I, II e III. 
e) III e IV. 
 
10. Pergunta 10 
O método da integração por partes possui fundamental importância no que diz respeito à 
integração de funções mais complexas em relação às habituais, que aparecem em 
tabelas de integração. Esse método consiste em separar a função em duas partes, de 
preferência de forma que uma das expressões seja mais fácil de se derivar, e a outra, 
mais fácil de se integrar. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por 
partes, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
I. A integral indefinida da função f(x) = (e^x)cos(x) é igual a (e^x)[sen(x)+cos(x)]/2 + 
C. 
Porque: 
II. Consideramos a regra da integração por partes e tomando inicialmente u =e^x e dv = 
cos(x)dx, de forma que du = (e^x)dx e v = sen(x), ao integrar a função dada por partes, 
obtém-se outra expressão com uma integral parecida, e novamente é realizada a técnica 
de integração por partes. Após isso, se isola a integral cujo cálculo é desejado para 
encontrar a primitiva F(x) da função f(x). 
Agora, assinale a alternativa correta: 
a) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição 
verdadeira. 
b) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição 
falsa. 
c) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma 
justificativa correta da I. Resposta correta 
d) As asserções I e II são proposições falsas. 
e) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma 
justificativa correta da I.