AOL 4 - Cálculo Integral

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AOL 4 – Cálculo Integral 
 
Conteúdo do exercício 
1. Pergunta 1Crédito total dado 
/1 
As técnicas de integração servem para possibilitar a resolução do cálculo de uma 
integral indefinida, onde muitas vezes não há um passo direto para encontrarmos a 
primitiva F(x) de uma certa função f(x). Dessa forma, dependendo do arranjo algébrico 
dos termos de f(x), decidimos por diferentes técnicas de integração, como o método da 
substituição, o da integração por partes, o das frações parciais, e etc. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida 
pelo método de integração por partes e com seus conhecimentos sobre funções 
trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F 
para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A integral da função f(x) = (x+1)³(x-1) só pode ser calculada pela regra da 
integração por partes, por se tratar do produto de duas funções. 
II. ( ) A técnica de integração por partes é dada pela seguinte fórmula: 
III. ( ) A primitiva de g(x) = ln(x) é G(x) = xln(x) - x + C. 
IV. ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = xsen(x) é aproximadamente 
igual a 6,28. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
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1. 
F, F, V, F. 
2. 
F, V, V, V. 
Resposta correta 
3. 
F, V, F, V. 
4. 
V, V, F, F. 
5. 
V, F, F, V. 
2. Pergunta 2 
/1 
As substituições trigonométricas são úteis para facilitar a resolução de inúmeras 
integrais com integrandos que são compostos de raízes específicas. Busca-se substituir 
os argumentos dessas raízes por algumas funções trigonométricas, tais como sen(x), 
sec(x) e tg(x). 
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica do método de 
substituições trigonométricas e dos conceitos estudados em Cálculo Diferencial e 
integral, associe os itens a seguir com os processos de substituição descritos: 
1) x²/√(4 – x²). 
2) 1/√(16 + x²). 
3) (x² -16)/ √(x² + 8x + 16). 
4) (x² – 16). 
( ) Substituição x = 2sen(w). 
( ) Substituição x = 4sec(w). 
( ) Substituição x = 4tg(w). 
( ) Não é necessário realizar substituição trigonométrica. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
2, 1, 3, 4. 
2. 
1, 4, 3, 2. 
3. 
1, 4, 2, 3. 
Resposta correta 
4. 
1, 3, 2, 4. 
5. 
2, 3, 1, 4. 
3. Pergunta 3 
/1 
A matemática pauta sua construção de conhecimento com base em seus axiomas, que 
são premissas assumidas como verdadeiras, isto é, proposições inquestionáveis. A partir 
dessas proposições, outros conhecimentos são gerados, tais como teoremas, 
propriedades, corolários e afins. Esses conhecimentos vão gerando outros, e assim 
sucessivamente. 
Considerando essas informações, pode-se afirmar que a propriedade da derivada do 
produto de duas funções é relevante para a integração por partes porque: 
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1. 
as derivadas do produto são equivalentes as integrais dos produtos. 
2. 
deve-se derivar as funções antes de integrá-las 
3. 
a propriedade derivativa é utilizada para a resolução de problemas que envolvem 
integral por partes. 
4. 
funciona como uma premissa verdadeira que serve como base para a dedução do 
método de integração por partes. 
Resposta correta 
5. 
ambas são axiomas da matemática. 
4. Pergunta 4 
/1 
A escolha de um método de integração para a resolução de uma determinada integral 
pauta-se na identificação dos integrandos presentes nas integrais, ou seja, identificar se 
eles se tornam mais fáceis de serem resolvidos por um método ou outro. Os métodos 
mais comuns para esse uso são os de substituições trigonométricas, frações parciais, 
integrais por partes e afins. 
Utilizando seus conhecimentos sobre os métodos de integração, analise as afirmativas a 
seguir: 
I. pode ser resolvida pelo método de frações parciais. 
II. pode ser resolvida pelo método de substituição u du. 
III. é solúvel pelo método das substituições trigonométricas. 
IV. pode ser resolvida pelo método de substituição trigonométrica 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
II e IV. 
2. 
III e IV. 
3. 
I, II e III. 
4. 
I, II e IV. 
Resposta correta 
5. 
II, III e IV. 
5. Pergunta 5 
/1 
O estudo acerca das integrais é essencial para aqueles que estudam cálculo. Por meio 
delas, obtém-se uma medida analítica de algumas áreas, volumes e comprimentos. 
Portanto, reconhecê-las e utilizá-las é essencial. Existem inúmeros métodos de 
integração, cada um para um fim definido. O método de integração por partes é um 
deles, e é extremamente útil para a integração de uma categoria de funções. 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração por partes, 
analise as afirmativas a seguir: 
I. A integração por partes é útil para se integrar certos tipos de produtos de funções. 
II. A integração por partes pode ser concebida por meio da regra do produto das 
derivadas, realizando manipulações algébricas e integrando ambos lados da igualdade. 
III. Esse método de integração consiste em transformar uma integral em termos de dv 
em outra em termos de du e um termo independente de integral. 
IV. A função cos(x) é integrável por esse método. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
I, II e IV. 
2. 
I, II e III. 
Resposta correta 
3. 
II e IV. 
4. 
II e III. 
5. 
I, III e IV. 
6. Pergunta 6 
/1 
Os conhecimentos acerca dos métodos de integração são essenciais para os estudantes 
de Cálculo Integral. Esses métodos possibilitam a reescrita de algumas integrais que, 
sem eles, não seriam resolvidas. Um dos métodos importantes de integração é o método 
conhecido como frações parciais. 
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as 
etapas de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a 
utilização desse método de integração: 
( ) Fragmentar a integral inicial em outras integrais solúveis e efetuar os cálculos dessas 
integrais. 
( ) Reescrever o denominador da função racional em fatoração polinomial. 
( ) Substituir os valores nas integrais. 
( ) Fragmentar a fração racional em outras frações. 
( ) Encontrar os numeradores de cada uma dessas frações 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
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1. 
2, 4, 1, 5, 3. 
2. 
5, 2, 3, 4, 1. 
3. 
3, 4, 2, 1, 5 
4. 
5, 1, 4, 2, 3. 
Resposta correta 
5. 
2, 1, 3, 4, 5. 
7. Pergunta 7 
/1 
Algumas funções algébricas requerem substituições especiais para a resolução analítica 
de sua integral. Utiliza-se o recurso de substituição para conseguir evidenciar algum 
termo que possua integração mais simples, e isso ocorre, por exemplo, em integrais de 
funções com raízes, nas quais nos valemos, muitas das vezes, de identidades 
trigonométricas. 
Dessa forma, considerando as funções f(x) = √(x²-4) e g(x) = 1/√(x²+4) e também seus 
conhecimentos sobre o método da integração por substituições trigonométricas desses 
tipos de funções, é correto afirmar que: 
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1. 
f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = atg(w). 
Resposta correta 
2. 
ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais 
3. 
ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica 
correspondente restrito no intervalo [0, pi/2[ ou [pi, 3pi/2]. 
4. 
f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = asen(w). 
5. 
ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica 
correspondente restrito no intervalo [-pi/2, pi/2]. 
8. Pergunta 8 
/1 
As funções racionais possuem diversas aplicações em diversos estudos de fenômenos 
modelados matematicamente, de forma que o conhecimento da regra de integração de 
funções racionais por frações parciais é essencial para o bomaproveitamento dos 
conceitos estudados. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre regras de integração de 
funções racionais por frações parciais, é correto afirmar que: 
I. f(x) = cos(x)/sen(x) é uma função integrável pelo fato de ser possível aplicar o 
método das frações parciais ou fazer alguma outra substituição para sua resolução. 
II. Funções racionais podem ser expressas como a soma de frações mais simples, 
chamadas frações parciais, as quais são mais fáceis de se integrar. 
III. Sendo f a função racional tal que f(x) = P(x)/Q(x), então f pode ser expressa como 
uma soma de frações parciais desde que o grau de Q seja menor que o grau de P. 
IV. g(x) = (x+5)/(x² + x - 2) pode ser reescrita como g(x) = 2/(x-1) – 1/(x+2). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, II e IV. 
Resposta correta 
2. 
III e IV. 
3. 
I e III. 
4. 
II e III. 
5. 
II e IV. 
9. Pergunta 9 
/1 
Para a resolução de integrais, deve-se saber identificar qual método utilizar pela forma 
de seus integrandos, ou seja, pela forma das funções que estão dentro das integrais. 
Certos tipos de métodos só são aplicáveis a integrandos específicos, como é o caso do 
método de integração por substituições trigonométricas. 
De acordo com seus conhecimentos sobre o método de integração por substituições 
trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F 
para a(s) falsa(s). 
I. ( ) é um integrando que pode ser resolvido por substituição trigonométrica. 
II. ( ) é um integrando que pode ser resolvido por substituição trigonométrica. 
III. ( ) é um integrando que pode ser resolvido por substituição trigonométrica. 
IV. ( ) é um integrando que pode ser resolvido por substituição trigonométrica. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
2. 
V, F, F, V. 
3. 
V, V, F, F. 
4. 
F, F, V, F. 
5. 
F, V, F, V. 
10. Pergunta 10 
/1 
Os métodos de integração auxiliam na resolução de integrais não triviais, ou seja, 
auxiliam na resolução daqueles que não podem ser facilmente determinada pelo 
conhecimento de algumas derivadas e antiderivadas. Um dos métodos importantes de 
integração é o método conhecido como integral por partes. 
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as 
etapas de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a 
utilização desse método de integração: 
( ) Orientar-se pelo LIATE. 
( ) Determinação de du e v. 
( ) Identificar os tipos de funções. 
( ) Substituição do u e dv. 
( ) Substituição na fórmula de integração por partes e resolução da integral. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
5, 2, 3, 4, 1. 
2. 
2, 4, 1, 3, 5. 
Resposta correta 
3. 
2, 1, 3, 4, 5. 
4. 
2, 4, 1, 5, 3. 
5. 
3, 4, 2, 1, 5.