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GEO_ESPACIAL-5: OCTAEDROS E PIRÂMIDES 
QUAISQUER 
 
 
Prof. MARCÃO 
 
1 
 OCTAEDROS 
 
1. (Pucrj 2010) Um octaedro é um poliedro regular cujas faces são oito 
triângulos equiláteros, conforme indicado na figura. 
 
 
Para um octaedro de aresta a: 
a) Qual é a sua área total? 
b) Qual é o seu volume? 
c) Qual é a distância entre duas faces opostas? 
 
2. (ITA1996) A aresta de um cubo mede x cm . A razão entre o 
volume e a área total do poliedro cujos vértices são os centros das 
faces do cubo será: 
3 3 3
a) x cm b) x cm c) x cm
9 18 6
 
3 3
d) x cm e) x cm
3 2
 
 
3. (ITA 2009) Os pontos A=(3;4) e B=(4;3) são vértices de um cubo em 
que AB é uma de suas arestas. A área lateral do octaedro cujos 
vértices são os pontos médios das faces do cubo é: 
 
4. (FEIUC1964) Determinar o volume do octaedro cujos vértices são os 
pontos médios das faces do paralelepípedo reto-retângulo de 
dimensões , ,a b c . 
 
5. Determine o volume do sólido que se obtém ligando os centros das 
faces de um octaedro regular. 
 
6. Indique que tipo de região é a secção determinada no octaedro 
regular PABCDL, por um plano que contem os pontos médios das 
arestas PC, AD e LC. 
 
7. Em um hexaedro regular ABCD-EFGH, tomam-se os centros O1 e 
O2 das faces DCGH e EFGH respectivamente, tal que a distância de 
O1 a BO2 é √33 . Calcule a área da superfície do poliedro conjugado 
inscrito no hexaedro. 
 
8. Em um octaedro regular L-ABCD-S , tomam-se os pontos K e E em 
BL e SD respectivamente, tal que KE contem o centro O do 
octaedro, SE=2KB e a área da região triangular EOD é 3. Calcule o 
volume do octaedro. 
 
9. Em um octaedro regular P-ABCD-Q, tomam-se os pontos médios 
M,N, T e H de AQ, DQ, CQ e QB respectivamente. Calcule a razão 
dos volumes entre o octaedro e a pirâmide P-MHTN. 
 
10. (EESCUSP1955) Dado um tetraedro regular, estudar o poliedro P 
que tem como vértice os pontos médios das arestas do tetraedro. Se 
� é o lado do tetraedro, calcular a área total e o volume de P. 
 
11. (Ime 2015) Seja um tetraedro regular ABCD de aresta a e um 
octaedro inscrito no tetraedro, com seus vértices posicionados nos 
pontos médios das arestas do tetraedro. Obtenha a área da seção 
do octaedro formada pelo plano horizontal paralelo à base do 
tetraedro BCD, distando desta base de um quarto da altura do 
tetraedro. 
a) 2
3
a
192
 b) 2
3
a
96
 c) 2
3 3
a
32
 d) 2
3 3
a
64
 
e) 2
9 3
a
64
 
 
12. (IME 1983) Uma pirâmide de vértice V e base ABCD constitui a 
metade de um octaedro regular de aresta a . 
a) Determine em função de a , os raios das esferas mediais( esferas 
que passam pelos pontos médios das arestas do poliedro) , 
circunscrita e inscrita. 
b) Marcam-se sobre VA e VB os segmentos VA’=VB’=x ; marcam-se 
sobre VC e VD os segmentos VC’=VD’ =y .Supõe-se que x e y 
variam sob a condição de x+y=a. Determine x e y , em função de a , 
de forma que a área do quadrilátero A’B’C’D’ seja igual a 
2a
4
. 
 
13. (UNICAMP2003) Considere um cubo cuja aresta mede 10 cm. O 
sólido cujos vértices são os centros das faces do cubo é um 
octaedro regular, cujas faces são triângulos eqüiláteros congruentes. 
a) Calcule o comprimento da aresta desse octaedro regular 
b) Calcule o volume de mesmo octaedro. 
 
14. (IME 2008) Um plano corta um cubo com aresta de comprimento 1 
passando pelo ponto médio de três arestas concorrentes no vértice 
A e formando uma pirâmide, conforme a figura a seguir. Este 
processo é repetido para todos os vértices. As pirâmides obtidas são 
agrupadas formando um octaedro cuja área da superfície externa é 
igual a: 
 
a) 
2
3
 b) 3 c) 1 d) 2 e) 2 2 
 
15. (IME 2007) O volume do octaedro cujos vértices são os pontos 
médios das arestas de um tetraedro regular do volume V é: 
a) 
V
2
 b) 
V
4
 c) 
V
8
 d) 
2
V
2
 e) 
3
V
2
 
 
 
 2 
16. Seja PABCDQ um octaedro regular cuja aresta mede 6√2 . Se o 
plano determinado pelos pontos médios de ������	, �
	�����	�	�
���� 
intercepta a ������ em T, calcule quanto dista T do plano do 
quadrilátero ABCD. 
 
17. Em um octaedro regular ABCDEF de centro O se traçam 
�
����		�	�������	perpendiculares a ������	�	������ 
respectivamente. Se �� � �, calcule a distancia entre as retas OM 
e BQ. 
 
PIRAMIDES QUAISQUER 
 
18. Em uma pirâmide regular temos que o produto do número total de 
vértices e arestas é 84. Se as arestas da base e laterais medem 
respectivamente 6 e 6√2 respectivamente, calcule o volume da 
pirâmide. 
 
19. (Ita 2014) Uma pirâmide de altura e volume 
 tem como base um polígono convexo de lados. A 
partir de um dos vértices do polígono traçam-se diagonais 
que o decompõem em triângulos cujas áreas 
 constituem uma progressão aritmética na qual 
 e Então é igual a 
a) 22. b) 24. c) 26. d) 28. e) 32. 
 
 
20. (FEIUC-55) A base de uma pirâmide de vértice V é um hexágono 
regular ABCDEF, sendo AB=6cm. A aresta lateral VA é 
perpendicular ao plano da base e igual ao segmento AD . 
a) Provar que quatro faces laterais são triângulos retângulos e achar 
suas áreas. 
b) Determinar o volume da pirâmide. 
 
21. (Insper 2014) Uma empresa fabrica porta-joias com a forma de 
prisma hexagonal regular, com uma tampa no formato de pirâmide 
regular, como mostrado na figura. 
 
 
 
As faces laterais do porta-joias são quadrados de lado medindo 6 
cm e a altura da tampa também vale 6 cm. A parte externa das faces 
laterais do porta-joias e de sua tampa são revestidas com um 
adesivo especial, sendo necessário determinar a área total revestida 
para calcular o custo de fabricação do produto. A área da parte 
revestida, em cm2, é igual a 
a) 72(3 3).+ b) 36(6 5).+ c) 108(2 5).+ 
d) 27(8 7).+ e) 54(4 7).+ 
 
22. (Epcar (Afa) 2012) Um sólido maciço foi obtido quando a base de 
uma pirâmide hexagonal regular de altura 6 cm foi colada à base de 
uma pirâmide reta de base retangular e altura 3 cm, de forma que 4 
dos 6 vértices da base da primeira coincidam com os vértices da 
base da segunda, conforme figura. Desprezando-se o volume da 
cola, se a aresta da base da pirâmide hexagonal mede 5 cm, 
então, o volume do sólido obtido, em 3cm , é igual a 
 
 
 
a) 15 3 b) 20 3 c) 25 3 d) 30 3 
 
23. (IME1980) Dada uma pirâmide hexagonal regular de vértice V e 
base ABCDEF, de lado da base igual a b e altura igual a 
3b
2
, 
traça-se o plano perpendicular à aresta VB no ponto M, tal que este 
plano contenha os vértices A e C. Determine, para a pirâmide de 
vértice M e base ABC, assim formada: 
a) o comprimento da aresta AM; 
b) o volume 
 
24. (Ita 2011) Uma esfera está inscrita em uma pirâmide regular 
hexagonal cuja altura mede 12 cm e a aresta da base mede 
10
3cm.
3
. Então o raio da esfera, em cm, é igual a 
a) 
10
3.
3
 b) 
13
.
3
 c) 
15
.
4
 d) 2 3. e) 
10
.
3
 
 
25. (IFT MOSCOU) Uma pirâmide regular pentagonal SABCDE foi 
cortada por um plano que passa pelos vértices A e C da base e 
pelos pontos médios das arestas DS e ES . Achar a área da secção 
, se q é o tamanho do lado da base da pirâmide e b é o tamanho da 
aresta lateral. 
 
26. (ITA 2009) A razão entre a área lateral e a área da base octogonal 
de uma pirâmide regular é igual a √5 . Exprima o volume dessa 
pirâmide em termos da medida a do ápotema da base. 
 
27. (IFT MOSCOU) A base de uma pirâmide é um trapézio isósceles , 
cujos lados paralelos são iguais a a e b , ( )a b> e as diagonais 
( da base) formam um angulo ϕ ( que é o angulo que enxerga os 
lados não paralelos).Achar o volume da pirâmide sabendo que sua 
altura , traçada desde o vértice, passa pelo ponto de intersecção das 
diagonais da base , e que os ângulos diédricos contíguos aos lados 
paralelos da base estão entre si na razão 2:1. 
 
28. (ITA 2006) Uma pirâmide regular tem por base um hexágono cuja 
diagonal menor mede 3 3cm .As faces laterais desta pirâmide 
formam diedros de 60º com o plano da base. A área total da 
pirâmide, em cm², é: 
a) 81 3 / 2 b) 81 2 / 2 c) 81 / 2 d) 27 3 e) 27 2 
h 1 cm=
3
V 50 cm= n
n 3−
n 2− iS ,
i 1, 2, ..., n 2,= −
2
3
3
S cm
2
=
2
6S 3 cm .= n
 
 3 
29. (IME 2004) Considere uma pirâmide regular de altura h , cuja base é 
um hexágono ABCDEF de lado a . Um plano perpendicular á base e 
contendo os pontos médios das arestas AB e BC divide a pirâmide 
em dois poliedros . Calcule a razão entre os volumes destes dois 
poliedros. 
 
30. (IME 2000) As arestas laterais de uma pirâmide regular com n faces 
têm medida l. Determine: 
a) a expressão do raio do círculo circunscrito à base, em função de 
l, de modo que o produto do volume da pirâmide pela sua altura 
seja o máximo. 
b) a expressão desse produto máximo, em função de l e n. 
 
31. (Ime 2012) Uma pirâmide regular possui como base um 
dodecágono de aresta a. As faces laterais fazem um ângulo de 
15° com o plano da base. Determine o volume desta pirâmide em 
função de a. 
a) 
3a 3 2
2 2 - 3
+
 b) 
3a 3 2
2 2 3
−
+
 c) 
3 3 2a
2 3
+
−
 
d) 
3 3 2a
2 3
−
+
 e) 
3 2 3a
3 2
−
+
 
 
32. Mostre que o volume de um dodecaedro regular de aresta a é igual 
a 
���
� ������√��� . 
 
33. Mostre que o volume de um icosaedro regular de aresta a é igual a 
���
� ��� √�� � ��� !3 " √5#� . 
 
34. (ITA1988) As arestas laterais de uma pirâmide regular de 12 faces 
laterais têm comprimento � . O raio do círculo circunscrito ao 
polígono da base desta pirâmide mede 
2
2
⋅� . Então o volume 
desta pirâmide vale: 
a) 33 2 ⋅� b) 
3
2 ⋅� c) 
33
2
⋅� 
 d) 32 ⋅� e) 
32
4
⋅� 
 
 
GABARITO 
1) �$	� � 2√3��		%$	& � √� � 		'$	( � �√� 2) B 
 
3) 2√3 4) & � �)*� 5) & � �√��� � 6) hexagonal 
 
7) 66√3 8) & � 72√2 9) �� 
 
10) & � √��� , 		�		� � √ � ,� 11) C 
 
12) �$	�√�� b) - � . � �� 13) a) 5√2 b) 125 √� 
 
14) B 15) A 16) x=5 17) ( � �√���� 
 
18) x=6 e & � 108√3 19) C 
20) a) ∆&��	�	∆&�3	(�	,�(45	6,12, 6√5 
∆&
�	�	∆&��	(�	,�(45	6, 667, 	12√2 
b) & � 216√3 
 
21) E 22) B 23) a) �� � �√ 7� % b) & � √ �� % 
 
24) E 25) 8 � 9�� !2 " √5#64%� " 3;� 
 
26) & � �� !√2 < 1#� 27) & �
=��)$>
�� . @A� B� 6�=� < 2%$ 
 
28) A 29) 95 30) a) C � D � E√�� b) &. CF�G � HE
IJKHLM
�� 
 
31) A 32) demonstração 33) demonstração 
 
34) E