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GEOM. ESPACIAL-7: CONE Prof. Marcão 1 1. (FUVEST 2006) Um torneiro mecânico dispõe de uma peça de metal maciça na forma de um cone circular reto de 15 cm de altura e cuja base B tem raio 8 cm (Figura 1). Ele deverá furar o cone, a partir de sua base, usando uma broca, cujo eixo central coincide com o eixo do cone. A broca perfurará a peça até atravessa-la completamente, abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo a obter- se o sólido da Figura 2. Se a área da base deste novo sólido é 2/3 da área de B, determine seu volume. 2. (ITA 2012) A superfície lateral de um cone circular reto é um setor circular de 120º a área igual a 3π cm2. A área total e o volume deste cone medem, em cm2 e cm3, respectivamente 3. Um plano paralelo a base de um cone e que passa pelo centro da esfera inscrita divide esse cone em duas partes com mesmo volume. Determine o ângulo entre a geratriz e o plano do base. 4. (ITA 2009) Uma esfera é colocada no interior de um cone circular reto de 8 cm de altura e de 60º de ângulo de vértice. Os pontos de contato da esfera com a superfície lateral do cone definem uma circunferência e distam 2√3 cm do vértice do cone. O volume do cone não ocupado pela esfera, em cm3, é igual a 5.(Ita 2016) Uma esfera 1S , de raio R 0, está inscrita num cone circular reto K. Outra esfera, 2S , de raio r, com 0 r R, está contida no interior de K e é simultaneamente tangente à esfera 1S e à superfície lateral de K. O volume de K é igual a a) 5R . 3r(R r) b) 52 R . 3r(R r) c) 5R . r(R r) d) 54 R . 3r(R r) e) 55 R . 3r(R r) 6. (ITA 2000) Um cone circular reto com altura de 8 cm e raio da base de 2cm está inscrito numa esfera que, por sua vez, está inscrita num cilindro. A razão entre as áreas das superfícies totais do cilindro e do cone é igual a a) 3 2 1 2 b) 9 2 1 4 c) 9 6 1 4 d) 13 8 27 e) 27 3 1 16 7. A área lateral de um cone é igual a soma das áreas da base e da secção meridiana. Se o raio da base é igual R , então o volume do cone é : 2a)2 R 3b) 2 R 2c)3 1 2 3 2 2 R d) 3 1 3e) 1 2 R 8. (ITA 1988) Considere um cone circular reto circunscrito a uma esfera de raio 2 cm . Sabendo-se que a área do círculo, limitado pela circunferência formada por pontos de tangência as duas superfícies, é 22 cm , calcule a altura desse cone. 9. (ITA 2007) Um cone eqüilátero está inscrito numa esfera de raio igual a 4 m. Determine a que distancia do centro da esfera deve-se traçar um plano paralelo à base do cone, para que a diferença das áreas das secções (na esfera e no cone) seja igual à área da base do cone. 10. (ITA 2004) A área total da superfície de um cone circular reto, cujo raio da base mede R cm, é igual à terça parte da área de um círculo de diâmetro igual ao perímetro da seção meridiana do cone. O volume deste cone, em cm³, é igual a a) R³ b) 2R³ c) R³ 2 d) 3R³ e) R³ 3 11. (Ufmg 2013) Um cone circular reto de raio r 3 e altura h 2 3 é iluminado pelo sol a um ângulo de 45°, como ilustrado a seguir. A sombra projetada pelo cone é delimitada pelos segmentos PA e PB, tangentes ao círculo da base do cone nos pontos A e B, respectivamente. Com base nessas informações, a) DETERMINE a distância de P ao centro O do círculo. b) DETERMINE o ângulo ˆAOB. c) DETERMINE a área da sombra projetada pelo cone 12. (ITA 2002) Seja S a área total da superfície de um cone circular reto de altura h, e seja m a razão entre as áreas lateral e da base desse cone. Obtenha uma expressão que forneça h em função apenas de S e m. 2 4D 2D 2D D 13. (IME 2002) Um cone e um cilindro circulares retos têm uma base comum e o vértice do cone se encontra no centro base do cilindro. Determine o ângulo formado pelo eixo do cone e sua geratriz, sabendo-se que a razão entre a área total do cilindro e a área total do cone é 7/4. 14. (Ita 2001) O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética da altura e a geratriz do cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128ðm3, temos que o raio da base e a altura do cone medem, respectivamente, em metros: a) 9 e 8 b) 8 e 6 c) 8 e 7 d) 9 e 6 e) 10 e 8 15. (ITA 1999) Num cone circular reto, a altura é a média geométrica entre o raio da base e a geratriz. A razão entre a altura e o raio da base é: a) 2 51 b) 2 15 c) 2 15 d) 3 153 e) 2 15 16. Determine o volume de um cone com superfície lateral igual a um setor de raio 24cm e ângulo 240°. 17. (ITA 1984) A figura abaixo é a seção de dois cones retos cortados por um plano paralelo às bases. O volume da seção hachurada é: a) 3 5 D 6 b) 3 7 D 12 c) 3 1 D 3 d) 3D e) 32 D 18.(ITA 1989) Justapondo-se as bases de dois cones retos e idênticos de altura H, forma-se um sólido de volume v. Admitindo-se que a área da superfície deste sólido é igual a área da superfície de uma esfera de raio H e volume V, a razão V v vale: a) 11 1 4 b) 13 1 4 c) 15 1 4 d) 17 1 4 e) 19 1 4 19. (ITA 2006) As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão 2 metros. Calcule a área total deste cone em 2m 20. (ITA 2005) Um dos catetos de um triangulo retângulo mede 3 2cm . O volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em trono da hipotenusa é cm³ . Determine os ângulos deste triângulo. 21. (ITA 2003) Considere o triângulo isósceles OAB, com lados OA e OB de comprimento 2 R e lado ABde comprimento 2R. O volume do sólido, obtido pela rotação deste triângulo em torno da reta que passa por O e é paralela ao lado AB , é igual a: a) 3R 2 b) 3R c) 3R 3 4 d) 3R2 e) 3R3 22. (Epcar (Afa) 2016) Considere a região E do plano cartesiano dada por y x 1 3 3 y x 1E x 0 y 0 O volume do sólido gerado, se E efetuar uma rotação de 270 em torno do eixo Ox em unidades de volume, é igual a a) 26 3 b) 26 c) 13 2 d) 13 3 23. (Ita 2014) Três circunferências C1, C2 e C3 são tangentes entre si, duas a duas, externamente. Os raios r1, r2 e r3 destas circunferências constituem, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão 1 . 3 A soma dos comprimentos de C1, C2 e C3 é igual a 26 cm.π Determine: a) a área do triângulo cujos vértices são os centros de C1, C2 e C3. b) o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do triângulo em torno da reta que contém o maior lado. 24. (OCM–1989) – Gira-se um triângulo qualquer em torno de um de seus lados e obtem-se um sólido. Qual deve ser o lado escolhido para que o volume do sólido seja máximo? 25. (IME – 1982) - Seja (T) um triângulo retângulo em A, sendo os outros vértices B e C. a) Dá-se a razão 2p m a onde a é a hipotenusa e p o semiperímetro. Indique entre que valores m pode variar para que o problema tenha solução, e calcule ˆB̂ e C em função de m. b) São dados a hipotenusa a de (T) e volume 3a V 48 , gerado quando (T) gira em torno da hipotenusa. Calcule ˆB̂ e C em graus ou o valor numérico de uma de suas linhas trigonométricas. 26. (IME – 1984) Um triângulo eqüilátero ABC, de lado a, gira, em trono de um eixo XX’ de seu plano, passando por A sem atravessar o triângulo. Sendo S a área total da superfície gerada pelo triângulo e designando por o ângulo ˆXAB , pede-se determinar os valores de para que: a) S seja máximo. b) S seja mínimo c) S 3 a² . 27. (IME 2002) Um cone e um cilindro circulares retos têm uma base comum e o vérticedo cone se encontra no centro base do cilindro. Determine o ângulo formado pelo eixo do cone e sua geratriz, sabendo- se que a razão entre a área total do cilindro e a área total do cone é 7/4. 3 28. (IFT Moscou) Em um cone se inscreveu um cilindro cuja altura é igual ao raio da base do cone. Encontrar o ângulo entre o eixo do cone e a geratriz, sabendo que a razão entre a área total do cilindro e a área da base do cone é 3/2. 29. (OCM 1985) – Um plano passando pelo vértice de um cone sólido circular reto, formando com a base deste cone um ângulo 45º , determina sobre esta base uma corda AB de comprimento igual a 2 3cm . Se o arco AB corresponde a um ângulo central 60º , determine o raio r da base, a altura h e o volume do cone. (Veja figura abaixo). 30. (IFT Moscou) Pelo vértice de um cone traça-se um plano que forma com a base do cone um ângulo . Este plano corta a base por uma corda AB de tamanho a , que corresponde a um arco . Determine o volume do cone. 31. Em um cone de revolução de vértice V, traçam-se as geratrizes diametralmente opostas VA e VB, assim como VC e VD. Um plano não paralelo a base intersecta a VA, VB, VC e VD nos pontos P, Q, R e S respectivamente. Demonstre que: 1 𝑉𝑃 + 1 𝑉𝑄 = 1 𝑉𝑅 + 1 𝑉𝑆 32. Em um cone de revolução a área da base é A e a área da superfície lateral é B. Calcule o raio da esfera inscrita no cone. 33. Se tem um cone de revolução de vértice V e um cilindro de revolução, de tal modo que a base do cilindro está contida na base do cone e o vértice V é o centro da outra base do cilindro. A geratriz VB do cone intercepta uma geratirz do cilindro em N. O cilindro determina no cone, outro cone equivalente a um dos cilindros parciais. Se 𝑁𝐵 = √6 e a área da coroa circular determinada na base do cone é 28𝜋, calcule o volume do cone inicial.
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