Lista 7_ Cone

Prévia do material em texto

GEOM. ESPACIAL-7: CONE 
 
 
Prof. Marcão 
 
1 
1. (FUVEST 2006) Um torneiro mecânico dispõe de uma peça de 
metal maciça na forma de um cone circular reto de 15 cm de altura e 
cuja base B tem raio 8 cm (Figura 1). Ele deverá furar o cone, a 
partir de sua base, usando uma broca, cujo eixo central coincide 
com o eixo do cone. A broca perfurará a peça até atravessa-la 
completamente, abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo a obter-
se o sólido da Figura 2. Se a área da base deste novo sólido é 2/3 
da área de B, determine seu volume. 
 
 
 
2. (ITA 2012) A superfície lateral de um cone circular reto é um setor 
circular de 120º a área igual a 3π cm2. A área total e o volume deste 
cone medem, em cm2 e cm3, respectivamente 
 
3. Um plano paralelo a base de um cone e que passa pelo centro da 
esfera inscrita divide esse cone em duas partes com mesmo volume. 
Determine o ângulo entre a geratriz e o plano do base. 
 
4. (ITA 2009) Uma esfera é colocada no interior de um cone circular 
reto de 8 cm de altura e de 60º de ângulo de vértice. Os pontos de 
contato da esfera com a superfície lateral do cone definem uma 
circunferência e distam 2√3 cm do vértice do cone. O volume do 
cone não ocupado pela 
esfera, em cm3, é igual a 
 
5.(Ita 2016) Uma esfera 1S , de raio R 0, está inscrita num cone 
circular reto K. Outra esfera, 2S , de raio r, com 0 r R,  está 
contida no interior de K e é simultaneamente tangente à esfera 1S e 
à superfície lateral de K. O volume de K é igual a 
a) 
5R
.
3r(R r)


 b) 
52 R
.
3r(R r)


 c) 
5R
.
r(R r)


 
d) 
54 R
.
3r(R r)


 e) 
55 R
.
3r(R r)


 
 
6. (ITA 2000) Um cone circular reto com altura de 8 cm e raio da 
base de 2cm está inscrito numa esfera que, por sua vez, está 
inscrita num cilindro. A razão entre as áreas das superfícies totais 
do cilindro e do cone é igual a 
 a)  3 2 1
2
 b)  9 2 1
4
 c)  9 6 1
4
 
 d)  13
8
27
 e)  27 3 1
16
 
 
 
 
7. A área lateral de um cone é igual a soma das áreas da base e da 
secção meridiana. Se o raio da base é igual R , então o volume do 
cone é : 
2a)2 R 3b) 2 R  2c)3 1  
 
2 3
2
2 R
d)
3 1

 
   3e) 1 2 R  
 
8. (ITA 1988) Considere um cone circular reto circunscrito a uma esfera 
de raio 2 cm . Sabendo-se que a área do círculo, limitado pela 
circunferência formada por pontos de tangência as duas superfícies, é 
22 cm , calcule a altura desse cone. 
 
9. (ITA 2007) Um cone eqüilátero está inscrito numa esfera de raio igual 
a 4 m. Determine a que distancia do centro da esfera deve-se traçar um 
plano paralelo à base do cone, para que a diferença das áreas das 
secções (na esfera e no cone) seja igual à área da base do cone. 
 
10. (ITA 2004) A área total da superfície de um cone circular reto, cujo 
raio da base mede R cm, é igual à terça parte da área de um círculo de 
diâmetro igual ao perímetro da seção meridiana do cone. O volume 
deste cone, em cm³, é igual a 
 a) R³ b) 2R³ 
 
c) R³
2
 d) 3R³ e) R³ 
3

 


 
 
11. (Ufmg 2013) Um cone circular reto de raio r 3 e altura h 2 3 
é iluminado pelo sol a um ângulo de 45°, como ilustrado a seguir. 
 
 
 
A sombra projetada pelo cone é delimitada pelos segmentos PA e PB, 
tangentes ao círculo da base do cone nos pontos A e B, 
respectivamente. 
Com base nessas informações, 
a) DETERMINE a distância de P ao centro O do círculo. 
b) DETERMINE o ângulo ˆAOB. 
c) DETERMINE a área da sombra projetada pelo cone 
 
12. (ITA 2002) Seja S a área total da superfície de um cone circular reto 
de altura h, e seja m a 
razão entre as áreas lateral e da base desse cone. Obtenha uma 
expressão que forneça h em função apenas de S e m. 
 
 
 
 
 2 
4D
2D
2D
D
13. (IME 2002) Um cone e um cilindro circulares retos têm uma base 
comum e o vértice do cone se encontra no centro base do cilindro. 
Determine o ângulo formado pelo eixo do cone e sua geratriz, 
sabendo-se que a razão entre a área total do cilindro e a área total 
do cone é 7/4. 
 
14. (Ita 2001) O raio da base de um cone circular reto é igual à 
média aritmética da altura e a geratriz do cone. Sabendo-se que o 
volume do cone é 128ðm3, temos que o raio da base e a altura do 
cone medem, respectivamente, em metros: 
a) 9 e 8 b) 8 e 6 c) 8 e 7 
d) 9 e 6 e) 10 e 8 
 
15. (ITA 1999) Num cone circular reto, a altura é a média geométrica 
entre o raio da base e a geratriz. A razão entre a altura e o raio da 
base é: 
 a) 
2
51
 b)
2
15 
 c)
2
15  
 d) 3
153 
 e)
2
15  
 
16. Determine o volume de um cone com superfície lateral igual a 
um setor de raio 24cm e ângulo 240°. 
 
17. (ITA 1984) A figura abaixo é a seção de dois cones retos 
cortados por um plano paralelo às bases. O volume da seção 
hachurada é: 
a) 3
5
D
6
  b) 3
7
D
12
 c) 3
1
D
3
 
d) 3D  e) 32 D  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18.(ITA 1989) Justapondo-se as bases de dois cones retos e 
idênticos de altura H, forma-se um sólido de volume v. Admitindo-se 
que a área da superfície deste sólido é igual a área da superfície de 
uma esfera de raio H e volume V, a razão 
V
v
 vale: 
a) 
11 1
4

 b) 
13 1
4

 c)
15 1
4

 d)
17 1
4

 e)
19 1
4

 
 
19. (ITA 2006) As medidas, em metros, do raio da base, da altura e 
da geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem, uma 
progressão aritmética de razão 2 metros. Calcule a área total deste 
cone em 2m 
 
20. (ITA 2005) Um dos catetos de um triangulo retângulo mede 
3 2cm . O volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em 
trono da hipotenusa é cm³ . Determine os ângulos deste 
triângulo. 
 
21. (ITA 2003) Considere o triângulo isósceles OAB, com lados OA e 
OB de comprimento 2 R e lado ABde comprimento 2R. O volume 
do sólido, obtido pela rotação deste triângulo em torno da reta que 
passa por O e é paralela ao lado AB , é igual a: 
a) 3R
2

 b) 3R c) 3R
3
4
 
d) 
3R2 e) 3R3 
 
22. (Epcar (Afa) 2016) Considere a região E do plano cartesiano dada 
por 
 
y x
1
3 3
y x 1E
x 0
y 0
  
   
 


 
 
O volume do sólido gerado, se E efetuar uma rotação de 270 em 
torno do eixo Ox

 em unidades de volume, é igual a 
a) 
26
3

 b) 26 c) 
13
2

 d) 
13
3

 
 
23. (Ita 2014) Três circunferências C1, C2 e C3 são tangentes entre si, 
duas a duas, externamente. Os raios r1, r2 e r3 destas circunferências 
constituem, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão 
1
.
3
 A 
soma dos comprimentos de C1, C2 e C3 é igual a 26 cm.π Determine: 
a) a área do triângulo cujos vértices são os centros de C1, C2 e C3. 
b) o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do triângulo em 
torno da reta que contém o maior lado. 
 
24. (OCM–1989) – Gira-se um triângulo qualquer em torno de um de 
seus lados e obtem-se um sólido. Qual deve ser o lado escolhido para 
que o volume do sólido seja máximo? 
 
25. (IME – 1982) - Seja (T) um triângulo retângulo em A, sendo os 
outros vértices B e C. 
a) Dá-se a razão 
2p
m
a
 onde a é a hipotenusa e p o semiperímetro. 
Indique entre que valores m pode variar para que o problema tenha 
solução, e calcule ˆB̂ e C em função de m. 
b) São dados a hipotenusa a de (T) e volume 
3a
V
48

 , gerado quando 
(T) gira em torno da hipotenusa. Calcule ˆB̂ e C em graus ou o valor 
numérico de uma de suas linhas trigonométricas. 
 
26. (IME – 1984) Um triângulo eqüilátero ABC, de lado a, gira, em trono 
de um eixo XX’ de seu plano, passando por A sem atravessar o 
triângulo. Sendo S a área total da superfície gerada pelo triângulo e 
designando por  o ângulo ˆXAB , pede-se determinar os valores de 
 para que: 
a) S seja máximo. 
b) S seja mínimo 
c) S 3 a²  . 
 
27. (IME 2002) Um cone e um cilindro circulares retos têm uma base 
comum e o vérticedo cone se encontra no centro base do cilindro. 
Determine o ângulo formado pelo eixo do cone e sua geratriz, sabendo-
se que a razão entre a área total do cilindro e a área total do cone é 7/4. 
 
 3 
 
28. (IFT Moscou) Em um cone se inscreveu um cilindro cuja altura é 
igual ao raio da base do cone. Encontrar o ângulo entre o eixo do 
cone e a geratriz, sabendo que a razão entre a área total do cilindro 
e a área da base do cone é 3/2. 
 
29. (OCM 1985) – Um plano passando pelo vértice de um cone 
sólido circular reto, formando com a base deste cone um ângulo 
45º  , determina sobre esta base uma corda AB de 
comprimento igual a 2 3cm . Se o arco AB corresponde a um 
ângulo central 60º  , determine o raio r da base, a altura h e o 
volume do cone. (Veja figura abaixo). 
 
30. (IFT Moscou) Pelo vértice de um cone traça-se um plano que 
forma com a base do cone um ângulo  . Este plano corta a base 
por uma corda AB de tamanho a , que corresponde a um arco  . 
Determine o volume do cone. 
 
31. Em um cone de revolução de vértice V, traçam-se as geratrizes 
diametralmente opostas VA e VB, assim como VC e VD. Um plano 
não paralelo a base intersecta a VA, VB, VC e VD nos pontos P, Q, 
R e S respectivamente. Demonstre que: 
1
𝑉𝑃
+
1
𝑉𝑄
=
1
𝑉𝑅
+
1
𝑉𝑆
 
 
32. Em um cone de revolução a área da base é A e a área da 
superfície lateral é B. Calcule o raio da esfera inscrita no cone. 
 
33. Se tem um cone de revolução de vértice V e um cilindro de 
revolução, de tal modo que a base do cilindro está contida na base 
do cone e o vértice V é o centro da outra base do cilindro. A geratriz 
VB do cone intercepta uma geratirz do cilindro em N. O cilindro 
determina no cone, outro cone equivalente a um dos cilindros 
parciais. Se 𝑁𝐵 = √6 e a área da coroa circular determinada na 
base do cone é 28𝜋, calcule o volume do cone inicial.