Lista 8_ Semelhança e Troncos

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GEO. ESPACIAL-8: SEMELHANÇA E TRONCOS 
 
 
Prof. Marcão 
 
1 
1. Seja um tronco de Pirâmide onde: 
 B é a área da base maior 
 b é área da base menor 
 h é a altura do tronco 
 V é o volume do tronco 
Demonstre que 
h
V B Bb b
3
   
 
 
Estenda o resultado para um tronco de cone. 
 
2. Seja um tronco de cone de raios R e r e geratriz g. Prove que a área 
lateral do tronco é dada por:  lA R r g   
 
3. (OBM 2004) Uma ampulheta é formada por dois cones idênticos. 
Inicialmente, o cone superior está cheio de areia e o cone inferior está 
vazio. A areia flui do cone superior para o inferior com vazão constante. 
O cone superior se esvazia em exatamente uma hora e meia. Quanto 
tempo demora até que a altura da areia no cone inferior seja metade da 
altura da areia no cone superior? 
a) 30min b)10h c) 1h03min20s 
d)1h10min12s e) 1h14min30s 
 
4. (Ita 2014) Considere o sólido de revolução obtido pela rotação de 
um triângulo isósceles ABC em torno de uma reta paralela à base BC 
que dista 0, 25 cm do vértice A e 0, 75 cm da base BC. Se o lado AB 
mede 
2 1
cm,
2
 

 o volume desse sólido, em cm3, é igual a 
a) 
9
.
16
 b) 
13
.
96
 c) 
7
.
24
 d) 
9
.
24
 e) 
11
.
96
 
 
5. (Ita 2012) Um cone circular reto de altura 1 cm e geratriz 
2 3
3
 é 
interceptado por um plano paralelo à sua base, sendo determinado, 
assim, um novo cone. Para que este novo cone tenha o mesmo volume 
de um cubo de aresta 
1 3
243
 
 
 
 cm, é necessário que a distância do 
plano à base do cone original seja, em cm, igual a 
a) 
1
4
 b) 
1
3
 c) 
1
2
 d) 
2
3
 e) 
3
4
 
 
6. (ITA 1997) A altura e o raio da base de um cone de revolução 
medem 1cm e 5 cm respectivamente. Por um ponto do eixo do cone 
situado a d cm de distância do vértice, traçamos um plano paralelo a 
base, obtendo um tronco de cone. O volume deste tronco é a média 
geométrica entre os volumes do cone dado e do cone menor formado. 
Então d é igual a: 
a) 3
2 3
3

 b) 3
3 5
2

 c) 3
3 5
2

 
d) 
3 2
2

 e) 
2 3
3

 
 
7. (ITA 1971) Dado um cone reto de geratriz g e altura h, calcular a que 
distância do vértice devemos passar um plano paralelo à base, a fim de 
que a secção obtida seja equivalente à área lateral do tronco formado. 
   2 2a) g g h b) g g g h  
2 2 2 2 2 2c) g g h d) h g g h    e)n.d.a
 
8. (ITA 2007) Considere uma pirâmide regular de base hexagonal, cujo 
apótema da base mede 3 cm. Secciona-se a pirâmide por um plano 
paralelo à base, obtendo-se um tronco de volume igual a 1 cm³ e uma 
nova pirâmide. Dado que a razão entre as alturas das pirâmides é
1
2
, 
a altura do tronco, em centímetros, é igual a 
     
   
a) 6 2 / 4 b) 6 3 / 3 c) 3 3 6 / 21
d) 3 2 2 3 / 6 e) 2 6 2 / 22
  
 
 
 
9. (IME 2007) Sejam C e C* dois círculos tangentes exteriores de raios r 
e r* e centros O e O*, respectivamente , e seja t uma reta tangente 
comum a C e C* nos pontos não coincidentes A e A* . Considere o 
sólido de revolução gerado a partir da rotação do segmento AA* em 
torno do eixo OO* , e seja S a sua correspondente área lateral. 
Determine S em função de r e r* . 
 
10. (FGV 2007) Um tronco de cone circular reto foi dividido em quatro 
partes idênticas por planos perpendiculares entre si e perpendiculares 
ao plano da sua base, como indica a figura. 
 
 
Se a altura do tronco é 10 cm, a medida da sua geratriz, em cm é igual a 
a) 101 b) 102 c) 103 d) 2 26 e) 105 
 
11. (Unesp 2014) A imagem mostra uma taça e um copo. A forma da 
taça é, aproximadamente, de um cilindro de altura e raio medindo R e de 
um tronco de cone de altura R e raios das bases medindo R e r. A forma 
do copo é, aproximadamente, de um tronco de cone de altura 3R e raios 
das bases medindo R e 2r. 
 
 
 
 
 2 
Sabendo que o volume de um tronco de cone de altura h e raios das 
bases B e b é 2 2
1
h (B B b b )
3
     e dado que 65 8, determine 
o raio aproximado da base do copo, em função de R, para que a 
capacidade da taça seja 
2
3
 da capacidade do copo. 
 
12. (Esc. Naval 2014) A área da superfície de revolução gerada pela 
rotação do triângulo equilátero ABC em torno do eixo XY na figura 
abaixo, em unidade de área é 
 
 
 
a) 29 a b) 29 2 a c) 29 3 a d) 26 3 a e) 26 2 a 
 
13. (Fuvest 2011) Na figura abaixo, o cubo de vértices A, B, C, D, E, F, 
G, H tem lado ℓ. Os pontos M e N são pontos médios das arestas AB e 
BC , respectivamente. Calcule a área da superfície do tronco de 
pirâmide de vértices M, B, N, E, F, G. 
 
 
 
14. (UNICAMP 2006) Um abajur de tecido tem a forma de um tronco de 
cone circular reto, com bases paralelas. As aberturas do abajur têm 25 
cm e 50 cm de diâmetro,e a geratriz do tronco de cone mede 30 cm. O 
tecido do abajur se rasgou e deseja-se substituí-lo 
a) Determine os raios dos arcos que devem ser demarcados sobre um 
novo tecido para que se possa cortar um revestimento igual àquele que 
foi danificado 
b) Calcule a área da região a ser demarcada sobre o tecido que 
revestirá o abajur. 
 
15. (Esc. Naval 2013) A Marinha do Brasil comprou um reservatório 
para armazenar combustível com o formato de um tronco de cone 
conforme figura abaixo. Qual é a capacidade em litros desse 
reservatório? 
 
 
 
a) 2
40
10
3
 b) 
51910
2
 c) 
49
10
3
 
d) 4
49
10
3
 e) 3
19
10
3
 
 
16. (Ime 2010) Sejam ABC um triângulo equilátero de lado 2 cm e r 
uma reta situada no seu plano, distante 3 cm do seu baricentro. Calcule 
a área da superfície gerada pela rotação deste triângulo em torno da 
reta r. 
a) 28 cm b) 29 cm c) 212 cm d) 216 cm e) 236 cm 
 
17. (Uerj 2015) Um recipiente com a forma de um cone circular reto de 
eixo vertical recebe água na razão constante de 
31 cm s. A altura do 
cone mede 24 cm, e o raio de sua base mede 3 cm. Conforme ilustra a 
imagem, a altura h do nível da água no recipiente varia em função do 
tempo t em que a torneira fica aberta. A medida de h corresponde à 
distância entre o vértice do cone e a superfície livre do líquido. 
 
 
 
Admitindo 3,  a equação que relaciona a altura h, em centímetros, 
e o tempo t , em segundos, é representada por: 
a) 3h 4 t b) 3h 2 t c) h 2 t d) h 4 t 
 
18. (Uerj 2011) Um sólido com a forma de um cone circular reto, 
constituído de material homogêneo, flutua em um líquido, conforme a 
ilustração abaixo. 
 
 
 
Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meio pelo nível 
do líquido, a razão entre o volume submerso e o volume do sólido será 
igual a: 
a) 
1
2
 b) 
3
4
 c) 
5
6
 d) 
7
8
 
 
 3 
19. (Uerj 2010) A figura abaixo representa um recipiente cônico com 
solução aquosa de hipoclorito de sódio a 27%. O nível desse líquido tem 
12 cm de altura. 
 
 
 
Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solução inicial com água, 
até completar o recipiente, obtendo-se a solução aquosa do hipoclorito 
de sódio a 8%. 
Esse recipiente tem altura H, em centímetros, equivalente a 
a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 
 
20. (ITA 2002) Seja uma pirâmide regular de base hexagonal e altura 
10 m. a que distancia do vértice devemos corta-la por um plano paralelo 
à base de forma que o volume da pirâmide obtida seja 
1
8
 do volume da 
pirâmide original? 
a) 2 m b)4 m c)5 m d)6 m e)8 m 
 
21. (ITA 2000) Considere uma pirâmide regular com altura de 
3
6
cm
9
. 
Aplique a esta pirâmide dois cortes planos e paralelos à base de tal 
maneira que a nova pirâmide e os dois troncos obtidos tenham, os três, 
o mesmo volume. A altura do tronco cuja base é abase da pirâmide 
original é igual a 
a)  3 32 9 6 cm b)  332 6 2 cm c)  3 32 6 3 cm 
d)  332 3 2 cm e)  3 32 9 3 cm 
 
22. (ITA 1985) Um tronco de cone reto com bases paralelas está inscrito 
em uma esfera cujo raio mede 2m . Se os raios das bases do tronco de 
cone medirem, respectivamente rm e 2rm , então o seu volume 
medirá: 
a)  2 2 22 r 4 r 1 r
3
     
b)  2 2 23 r 4 r 1 r
2
       
c)  2 2 27 r 4 r 2 1 r
3
     
d)  2 2 27 r 4 r 2 1 r
3
     
e)  2 2 23 r 4 r 2 1 r
2
       
 
23. (IME 1969) Calcule o volume de um tronco de cone circunscrito a 
uma esfera de raio r , sabendo que a circunferência de tangência da 
esfera com a superfície lateral do tronco está em um plano cuja 
distância à base maior do tronco é o dobro da distância à base menor. 
 
24. (ITA 1989) O lado da base maior de um tronco de pirâmide 
hexagonal regular, com bases paralelas, mede L cm. A altura do tronco 
é igual à metade do apótema desta mesma base. As faces laterais 
formam um ângulo de 30 graus com a base. Calcule o apótema (a), a 
lado (l), ambos da base menor, a altura (h) da face lateral e a área total 
(S) do tronco, todos em função de L. 
25. (IME 1964) Um tronco de cone de revolução, de bases paralelas, 
tem a sua geratriz igual à soma dos raios das suas bases. Sabendo-se 
que a sua área lateral é igual a 
266,56 cm , e que a sua altura é de 
4 cm , calcular o seu volume. Considerar 3,14 
 
26.(IME 1990) Dois círculos de raios R e r são, ao mesmo tempo, 
bases de um tronco de cone e bases de dois cones opostos de mesmo 
vértice e mesmo eixo. Seja k a razão entre o volume do tronco e a 
soma dos volumes dos dois cones opostos e seja m a razão 
R
r
. 
Determine m em função de k