Lista 9_ Esferas

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GEO. ESPACIAL-9: ESFERA 
 
 
Prof. Marcão 
 
1 
1. Demonstre que : 
a) o volume de uma esfera de raio R é 3
4
R
3
 
b) a área da superfície esférica é 24 R 
 
2. (Unesp 2012) Diferentes tipos de nanomateriais são descobertos a 
cada dia, viabilizando produtos mais eficientes, leves, adequados e, 
principalmente, de baixo custo. 
São considerados nanomateriais aqueles cujas dimensões variam entre 
1 e 100 nanômetros (nm), sendo que 1 nm equivale a 10–9 m, ou seja, 
um bilionésimo de metro. 
Uma das características dos nanomateriais refere-se à relação entre seu 
volume e sua área superficial total. 
Por exemplo, em uma esfera maciça de 1 cm de raio, a área superficial 
e o volume valem 
24 cm  e 
3(4/3) cm ,  respectivamente. O 
conjunto de nanoesferas de 1 nm de raio, que possui o mesmo volume 
da esfera dada, tem a soma de suas áreas superficiais 
a) 10 vezes maior que a da esfera. b) 103 vezes maior que a da esfera. 
c) 105 vezes maior que a da esfera. d) 107 vezes maior que a da esfera. 
e) 109 vezes maior que a da esfera. 
 
3. (Ufg 2012) Considere que o planeta Terra é aproximadamente 
esférico, tendo a linha do Equador um comprimento de, 
aproximadamente, 40.000 km e que 30% da área do planeta é de terras 
emersas. 
Dados: 
Área da esfera =
24 r 
Comprimento do círculo = 2 r 
3,14 
Aproximando a atual população da Terra para um número inteiro de 
bilhões de pessoas, responda: 
a) Qual é a densidade demográfica nas terras emersas do planeta? 
b) Quantos metros quadrados caberiam a cada pessoa, se as terras 
emersas fossem divididas igualmente entre os habitantes da Terra? 
(Aproxime para um número inteiro de milhares de metros quadrados). 
 
4. (ITA 2005) A circunferência inscrita num triângulo eqüilátero com 
lados de 6 cm de comprimento é a interseção de uma esfera de raio 
igual a 4 cm com o plano do triângulo. Então, a distância do centro da 
esfera aos vértices do triângulo é ( em cm ) 
a)3 3 b)6 c)5 d)4 e)2 5 
 
5. (FGV 2006) Um observador colocado no centro de uma esfera de raio 
5m vê o arco AB sob um ângulo  de 72º, como mostra a figura. Isso 
significa que a área do fuso esférico determinado por  é: 
a) 20 m² b) 15 m² c) 10 m² d) 5 m² e) m² 
 
 
6. (Fuvest 2016) Dois aviões vão de Brasília a Moscou. O primeiro voa 
diretamente para o norte, até atingir o paralelo de Moscou, quando 
então muda o rumo para o leste, seguindo para o seu destino final. O 
segundo voa para o leste até atingir o meridiano de Moscou, tomando 
então o rumo norte até chegar a esta cidade. 
a) Desprezando as variações de altitude, qual avião terá percorrido a 
maior distância em relação ao solo? Justifique sua resposta. 
b) Calcule a diferença entre as distâncias percorridas, supondo que a 
Terra seja esférica. 
 
Note e adote: 
cos 56 0,56; sen 56 0,83; cos16 0,96; sen16 0,28        
Latitude e longitude de Brasília: 16 S e 48 W 
Latitude e longitude de Moscou: 56 N e 37 E 
Raio da Terra: 6.400 km 
 
7. (Fuvest 2014) 
 
 
Esta foto é do relógio solar localizado no campus do Butantã, da USP. A 
linha inclinada (tracejada na foto), cuja projeção ao chão pelos raios 
solares indica a hora, é paralela ao eixo de rotação da Terra. Sendo μ 
e ,ρ respectivamente, a latitude e a longitude do local, medidas em 
graus, pode-se afirmar, corretamente, que a medida em graus do ângulo 
que essa linha faz com o plano horizontal é igual a 
Nota: 
Entende-se por “plano horizontal”, em um ponto da superfície terrestre, o 
plano perpendicular à reta que passa por esse ponto e pelo centro da 
Terra. 
a)  b) μ c) 90 d) 90 e) 180 
 
8. (AFA 2007) Considere um triângulo retângulo inscrito em uma 
circunferência de raio R, al que a projeção de um dos catetos sobre a 
hipotenusa mede, em cm,  
R
m 1
m
 . Considere a esfera gerada pela 
rotação desta circunferência em torno de um dos seus diâmetros. O 
volume da parte desta esfera, que não pertence ao sólido gerado pela 
rotação do triangulo em torno da hipotenusa é, em cm³, dado por: 
a) 
2
32 m 1R 1
3 m
  
   
   
 b) 
2
32 m 1R 1
3 m
 
  
 
 
c) 
2
32 m 1R
3 m
 
  
 
 d) 
2
32 m 1R
3 m
 
  
 
 
 
 
 
 2 
9. (Uerj 2014) Uma esfera de centro A e raio igual a 3dm é tangente 
ao plano  de uma mesa em um ponto T. Uma fonte de luz encontra-
se em um ponto F de modo que F, A e T são colineares. Observe a 
ilustração: 
 
 
 
Considere o cone de vértice F cuja base é o círculo de centro T 
definido pela sombra da esfera projetada sobre a mesa. 
Se esse círculo tem área igual à da superfície esférica, então a distância 
FT , em decímetros, corresponde a: 
a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 
 
10. (Uerj 2013) Na fotografia abaixo, observam-se duas bolhas de 
sabão unidas. 
 
 
 
Quando duas bolhas unidas possuem o mesmo tamanho, a parede de 
contato entre elas é plana, conforme ilustra o esquema: 
 
 
 
Considere duas bolhas de sabão esféricas, de mesmo raio R, unidas de 
tal modo que a distância entre seus centros A e B é igual ao raio R. A 
parede de contato dessas bolhas é um círculo cuja área tem a seguinte 
medida: 
a) 
2R
2

 b) 
23 R
2

 c) 
23 R
4

 d) 
24 R
3

 
 
 
11. (ITA1983) Ao girarmos o gráfico da função 
2
x, x [0,1]
f(x)
2x x , x (1,2]

 
 
 em torno do eixo das abscissas (eixo x), 
obtemos uma superfície de revolução cujo volume é: 
a) 
3

 b) 
2

 c)  d) 2 e) 3 
 
12. (ITA 2005) A circunferência inscrita num triângulo eqüilátero com 
lados de 6 cm de comprimento é a interseção de uma esfera de raio 
igual a 4 cm com o plano do triângulo. Então, a distância do centro da 
esfera aos vértices do triângulo é (em cm) 
a) 3 3 b) 6 c) 5 d) 4 e) 2 5 
 
13. (ITA 2005) Uma esfera de raio r é seccionada por n planos 
meridianos. Os volumes das respectivas cunhas esféricas contidas em 
uma semi-esfera formam uma progressão aritmética de razão 
r³
45

. Se 
o volume da menor cunha for igual a
r³
18

, então n é igual a: 
a) 4 b) 3 c) 6 d) 5 e)7 
 
14. (ITA 2002) Considere a região do plano cartesiano xy definida pela 
desigualdade x² 4x y² 4y 8 0     . Quando esta região rodar um 
ângulo de 
6

 radianos em torno da reta x + y = 0, ela irá gerar um sólido 
de superfície externa total com área igual a 
a) 
128
3
 b) 
128
4
 c) 
128
5
 d) 
128
6
 e) 
128
7
 
 
15. (OCM-88) Sobre o fundo horizontal de um vaso cilíndrico circular 
reto , contendo água coloca-se uma esfera sólida de raio R com a 
propriedade de que a superfície superior do líquido fique tangente à 
esfera . Deseja-se que o mesmo aconteça se , em vez da esfera de raio 
R for colocada outra esfera de raio m.R (suponha não haver variação no 
volume de água). Calcule o raio x do cilindro e a variação dos valores de 
m para os quais a situação é realizável . 
 
16. Demonstre que o volume de um segmento esférico de duas bases é 
dado por :  2 2 21 2
h
V 3 r r h
6
    
 
 . A partir daí deduza o volume da 
calota ( segmento esférico de uma base ) e do setor esférico. 
 
17. Mostre que a área da calota e da zona esférica é dado por 2 Rh . 
 
18. (Esc. Naval 2013) Um astronauta, em sua nave espacial, consegue 
observar, em certo momento, exatamente 
1
10
 da superfície da Terra. 
Que distância ele está do nosso planeta? Considere o raio da Terra 
igual a 6400 km 
a) 1200 km b) 1280 km c) 1600 km d) 3200 km e) 4200 km 
 
20. (OCM-99) Um aviador está a uma distância h da Terra que vamos 
admitir como sendo uma esfera de raio r. Se S é a porção total da 
superfície da Terra visível pelo aviador ,encontre S em termos de r e h . 
 
21. (ITA 1990) Considere a região do plano cartesiano xOy definida 
pelas desigualdades 
2 2x y 1, x y 1 e (x 1) y 2       . O volume 
do sólido gerado pela rotação desta região em torno do eixo x é igual a: 
 
 
 
4 8 4
a) b) c) 2 2
3 3 3
8
d) 2 1 e)n.d.a
3
  
 
 
 
 
 
 
 3 
22. (Unicamp 2010) Uma peça esférica de madeira maciça foi 
escavada, adquirindo o formato de anel, como mostra a figura a seguir. 
Observe que, na escavação, retirou-se um cilindro de madeira com duas 
tampas em formato de calota esférica.Sabe-se que uma calota esférica 
tem volume 
2
cal
h
V (3R h)
3

  , em que h é a altura da calota e R é o raio da 
esfera. Além disso, a área da superfície da calota esférica (excluindo a 
porção plana da base) é dada por Acal =2 π Rh. Atenção: não use um 
valor aproximado para π. 
 
 
 
a) Supondo que h = R/2, determine o volume do anel de madeira, em 
função de R. 
b) Depois de escavada, a peça de madeira receberá uma camada de 
verniz, tanto na parte externa, como na interna. Supondo, novamente, 
que h = R/2, determine a área sobre a qual o verniz será aplicado. 
 
23. (ENE 1963) Determinar o raio da esfera na qual seja possível 
destacar uma calota de altura 2m e cuja área seja igual ao triplo da 
superfície lateral do cone, tendo para vértice o centro da esfera e por 
base a base da calota. 
 
24. (IME 2006) Considere um tetraedro regular de arestas de 
comprimento a e uma esfera de raio R tangente a todas as arestas do 
tetraedro. Em função de a, calcule: 
a) o volume total da esfera; 
b) o volume da parte da esfera situada no interior do tetraedro 
 
25. (ITA 2008) Seja C uma circunferência de raio r e centro O e AB um 
diâmetro de C. Considere o triangulo eqüilátero BDE inscrito em C. 
Traça-se a reta s passando pelos ponto O e E até interceptar em F a 
reta t tangente à circunferência C no ponto A. Determine o volume do 
sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pelo arco 
AE e pelos segmentos AFe EF em torno do diâmetro AB . 
 
26. (IME 2008) A área de uma calota esférica é o dobro da área do seu 
círculo base. Determine o raio do círculo base da calota em função do 
raio R da esfera. 
 
27. (ITA 2012) Em um plano estão situados uma circunferência ω de 
raio 2 cm e um ponto P que dista 2√2 cm do centro de ω. Considere os 
segmentos PA e PB tangentes a ω nos pontos A e B, respectivamente. 
Ao girar a região fechada delimitada pelos segmentos PA e PB e pelo 
arco menor 𝐴�̂� em torno de um eixo passando pelo centro de ω e 
perpendicular ao segmento PA, obtém-se um sólido de revolução. 
Determine: 
a) A área total da superfície do sólido. 
b) O volume do sólido. 
 
28. (ITA 2011) Considere uma esfera Ω com centro em C e raio r = 6 cm 
e um plano Σ que dista 2 cm de C. Determine a área da intersecção do 
plano Σ com uma cunha esférica de 30º em Ω que tenha aresta 
ortogonal a Σ. 
 
29. (ITA 2010) As superfícies de duas esferas se interceptam 
ortogonalmente (isto é, em cada ponto da intersecção os respectivos 
planos tangentes são perpendiculares). Sabendo que os raios destas 
esferas medem 2 e 
3
2
 cm respectivamente, calcule 
a) a distância entre os centros das duas esferas. 
b) a área da superfície do sólido obtido pela intersecção das duas 
esferas. 
 
INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO 
 
1. (ITA 1987) A razão entre o volume de uma esfera de raio R e o 
volume de um cubo nela inscrita é: 
a) 
3 2
2
 b) 
2

 c) 2 d) 
2
2

 e) 3 
 
2. (IME 1995) Seis esferas idênticas de raio R encontram-se 
posicionadas no espaço de tal forma que cada uma delas seja tangente 
a quatro esferas. Dessa forma, determine a aresta do cubo que 
tangencie todas as esferas. 
 
3. (ITA 1966) No interior de um cubo regular de aresta a existem 9 
esferas de mesmo raio r . O centro de uma dessas esferas coincide 
com o centro do cubo e cada uma das demais esferas tangencia a 
esfera do centro e três faces do cubo. Exprima a em função de r . 
 
4. (ITA 2007) Os quatro vértices de um tetraedro regular, de volume 8/3 
cm³, encontram-se nos vértices de um cubo. Cada vértice do cubo é 
centro de uma esfera de 1 cm de raio. Calcule o volume da parte do 
cubo exterior às esferas. 
 
5. (ITA 1985) Uma esfera de raio = 3 cm está inscrita num prisma 
hexagonal regular que, por sua vez, está inscrito numa esfera de raio 
R . Pode-se afirmar que a medida do raio R vale: 
a) 7 cm b) 
7
cm
3
 c) 2 3 cm d) 
7
cm
2
 e) 4 3 cm 
 
6. (ITA 1976) Considere um tetraedro regular circunscrito a uma esfera 
de raio R . Designando por , ,H a h e V respectivamente a altura, a 
aresta, a altura da base e o volume desse tetraedro, temos: 
3
3
3
3
2 3.R 3 2.H 6.H
a)V e h b)V 8 3.R e a
3 4 2
4 2.R
c)V e H 4H d)V 6 2R e H 4R
3
e)n.r.a
   
    
 
7. (ITA 1979) Considere um tetraedro regular (4 faces iguais) inscrito em 
uma esfera de raio R = 3 cm. A soma das medidas de todas as arestas 
do tetraedro é dada por: 
a) 16 3 cm
b) 13 6 cm
c) 12 6 cm
d) 8 3 cm
e) 6 3 cm
 
A 
B 
C 
D 
H M 
 
 4 
8. (ITA 1979) Considere o problema anterior, isto é, o tetraedro regular 
inscrito em uma esfera de raio R , onde R mede 3 cm, sendo HD sua 
altura ( figura 2 ) . A diferença entre o volume do tetraedro e o volume do 
sólido gerado pela rotação do triângulo DHM em torno de HD é dada 
por: 
3 3
3
8 1
a) 8 3 cm b) 5 2 5 cm
3 2
4
c) 4 2 3 cm
5
   
      
   
 
  
 
 
3 33 5d) 3 3 3 cm e) 7 2 cm
5 3
  
          
 
 
9. (FGV 2006) Uma pirâmide reta de base quadrada e altura de 4 m está 
inscrita numa esfera de raio 4m. Adotando  = 3, pode-se afirmar que 
a) Vesfera = 6 . Vpirâmide b) Vesfera = 5 . Vpirâmide 
c) Vesfera = 4 . Vpirâmide d) Vesfera = 3 . Vpirâmide 
e) Vesfera = 2 . Vpirâmide 
 
10.(Unicamp 2014) Considere a pirâmide reta de base quadrada, 
ilustrada na figura abaixo, com lado da base b = 6 m e altura a. 
 
 
 
a) Encontre o valor de a de modo que a área de uma face triangular 
seja igual a 15 m2. 
b) Para a = 2 m, determine o raio da esfera circunscrita à pirâmide. 
 
11. (ITA 2003) Quatro esferas de mesmo raio R > 0 são tangentes 
externamente duas a duas, de forma que seus centros formam um 
tetraedro regular com arestas de comprimento 2R. Determine, em 
função de R, a expressão do volume do tetraedro circunscrito às quatro 
esferas. 
 
12. (ITA 1996) Numa pirâmide triangular regular, a área da base é igual 
ao quadrado da altura H . Seja R o raio da esfera inscrita nesta 
pirâmide. Deste modo, a razão 
H
R
 é igual a: 
a) 3 1 b) 3 1 c)1 3 3 1
d)1 3 3 1 e) 3 1
   
  
 
 
13. (UNICAMP 2001) A base de uma pirâmide é um triângulo eqüilátero 
de lado L = 6cm e arestas laterais das faces A = 4cm. 
a) Calcule a altura da pirâmide. 
b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide? 
 
14. (IME 2006) Considere um tetraedro regular de arestas de 
comprimento a e uma esfera de raio R tangente a todas as arestas do 
tetraedro. Em função de a, calcule: 
c) o volume total da esfera; 
d) o volume da parte da esfera situada no interior do tetraedro 
 
15. (OCM 2005) Três faces de um tetraedro regular de aresta 1 são 
tangentes a uma esfera e o plano que contém a quarta face do tetraedro 
passa pelo centro da esfera . Determine a superfície total da esfera). 
 
16. (IFT Moscow) Em uma pirâmide regular triangular inscreve-se uma 
esfera . Achar o ângulo de inclinação da face em relação a base , 
sabendo que a razão entre o volume da pirâmide e o volume da esfera é 
igual a 
27 3
4
. 
 
17. (EESCUSP 1953) Duas esferas são circunscrita e inscrita a um 
mesmo octaedro. Calcular a razão entre seus volumes. 
 
18. Uma esfera está inscrita em um cilindro reto de 
2150 cm de área 
total. Determine a área e o volume dessa esfera. 
 
19. A área lateral de um cilindro reto é 
248 cm , e sua altura é 8 cm . 
Sabendo que o cilindroestá inscrito em uma esfera , determine o raio da 
esfera. Calcule também a razão entre o cilindro eqüilátero inscrito nessa 
esfera e o cilindro considerado. 
 
20. (Ita 2016) Uma esfera 1S , de raio R 0, está inscrita num cone 
circular reto K. Outra esfera, 2S , de raio r, com 0 r R,  está contida 
no interior de K e é simultaneamente tangente à esfera 1S e à superfície 
lateral de K. O volume de K é igual a 
a) 
5R
.
3r(R r)


 b) 
52 R
.
3r(R r)


 c) 
5R
.
r(R r)


 
d) 
54 R
.
3r(R r)


 e) 
55 R
.
3r(R r)


 
 
21. (ITA 1995) Um cone circular reto tem altura 12 cm e raio da base 5 
cm. O raio da esfera inscrita neste cone mede, em cm, 
10 7 12
a) b) c) d)3 e)2
3 4 5
 
 
23. (ITA 1961) Deduzir a fórmula do volume de um cone eqüilátero 
circunscrito a uma esfera, em função do raio da esfera. 
 
24. (ITA 1989) Um cone e um cilindro, ambos retos, possuem o mesmo 
volume e bases idênticas. Sabendo-se que ambos são inscritíveis em 
uma esfera de raio R, então a altura H do cone será igual a: 
a) 
6
R
5
 b) 
3
R
2
 c) 
4
R
3
 d) 
2
R
3
 e) 
7
R
5
 
 
25. (IME 1997 e IMO 1960) Considere uma esfera inscrita e tangente à 
base de um cone de revolução. Um cilindro está circunscrito á esfera de 
tal forma que uma de suas bases está apoiada na base do cone . Seja 
1V o volume do cone e 2V o volume do cilindro . Encontre o menor valor 
da constante k para o qual 1 2V kV . 
 
26. (OBM) Cinco esferas de raio r estão dentro de um cone circular reto, 
da seguinte maneira: quatro delas tangenciam a base do cone e a 
superfície lateral, e cada uma destas quatro tangencia duas outras; a 
quinta esfera tangencia as quatro primeiras e a superfície lateral do 
cone. Calcule o volume desse cone . 
 
 
 
 
 
 5 
27. (AFA 2007) Num cone reto, a medida do raio da base, da altura, e 
da geratriz estão, nessa ordem, em progressão aritmética de razão igual 
a 1. sabendo-se que a soma destas medidas é 12 dm e que a área total 
de superfície deste cone é igual à área ds superfície de uma esfera, a 
medida do raio da esfera, em dm, é: 
a) 6 b) 
15
2
 c) 5 d) 2 
 
28. (ITA 1968) Uma esfera é colocada no interior de um vaso cônico 
com 55 cm de geratriz e 30 cm de altura. Sabendo-se que os 
pontos de tangência estão a 3 cm do vértice, o raio da esfera vale: 
35 30
a)2 30 cm b) cm c) cm
2 2
 
d)3 cm e)nra 
 
29. (ITA 1992) Um cone de revolução está circunscrito a uma esfera de 
raio R cm. Se a altura do cone for igual ao dobro do raio da base, então 
a área de sua superfície lateral mede: 
a)  
2
2 21 5 R cm
4

   b)  
2
2 25 1 5 R cm
4

   
c)   2 2
5
1 5 R cm
4

   d)   2 25 1 5 R cm    
e) n.d.a. 
 
30. (ITA 1978) Se numa esfera de raio R, circunscrevemos um cone reto 
cuja geratriz é igual ao diâmetro da base, então a expressão do volume 
deste cone em função do raio da esfera é dada por: 
3 3 3
3
3 3
a)3 R b) R c)3 3 R
2
4 3
d) R e)n.d.a
3
  

 
 
31. Em um cone inscrevemos uma semi-esfera de tal modo que o circulo 
maior dessa semi-esfera está contido na base do cone. Determine o 
ângulo do vértice do cone, sabendo que a superfície do cone e a 
superfície da semi-esfera estão entre si como 
18
5
. 
 
32. (IME 1989) Mostre que a área total do cilindro eqüilátero inscrito em 
uma esfera é a média geométrica entre a área da esfera e a área total 
do cone equilátero inscrito nessa esfera. 
 
33. (ITA2014) Seis esferas de mesmo raio R são colocadas sobre uma 
superfície horizontal de tal forma que seus centros definam os vértices 
de um hexágono regular de aresta 2R . Sobre estas esferas é colocada 
uma sétima esfera de raio 2R que tangencia todas as demais. 
Determine a distância do centro da sétima esfera à superfície horizontal. 
 
34. (Ita 2011) Uma esfera está inscrita em uma pirâmide regular 
hexagonal cuja altura mede 12 cm e a aresta da base mede 
10
3
√3 cm. 
Então o raio da esfera, em cm, é igual a 
 
a) ( ) 
10
3
3
 b) ( )
13
3
 c) ( )
15
4
 
d) ( ) 2 3 e) ( ) 
10
3
 
 
 
35. (ITA 2009) Uma esfera é colocada no interior de um cone circular 
reto de 8 cm de altura e de 60º de ângulo de vértice. Os pontos de 
contato da esfera com a superfície lateral do cone definem uma 
circunferência e distam 2√3 cm do vértice do cone. O volume do cone 
não ocupado pela esfera, em cm3, é igual a 
 
36. (Ifsc 2014) Ao comprar material para jogar beisebol, um rapaz 
pergunta ao vendedor se há um conjunto de bolas de beisebol à venda. 
O vendedor diz que sim, que a embalagem é em formato de prisma 
hexagonal, com bolinhas (iguais) empilhadas na vertical no seu interior 
formando uma única coluna. Sabe-se que a altura do prisma é 21 cm, 
que o raio da bolinha é maior possível para que ela caiba no prisma 
(desprezando a espessura da embalagem) e que a área da base da 
embalagem é 
218 3 cm . Com base nas informações, analise as 
proposições abaixo e assinale a soma da(s) CORRETA(S). 
01) A quantidade máxima de bolinhas na embalagem é 7. 
02) A aresta da base é 2 3 cm. 
04) O raio das bolinhas é 4 cm. 
08) Não há sobra em relação à altura entre a embalagem e a pilha com 
quantidade máxima de bolinhas. 
16) O volume da embalagem ocupado pela quantidade máxima de 
bolinhas é 
3108 cm .