Tarefa Complementar - Aulas 5 e 6 - Radiciação e Sistema Decimal

Prévia do material em texto

Tarefa Complementar – Matemática/ Frente 2 
Aulas 5 e 6 – Radiciação e Sistema Decimal 
 
Prof. Rodolfo Pereira Borges 
 
 
Página 1 de 9 
1. (Pucrj 2015) O valor de      2 6 0 3 63 1 1,2 4      é: 
a) 13 
b) 15 
c) 17 
d) 19 
e) 21 
2. (Pucrj 2016) Quanto vale 
3 3
3
3 9
?
3

 
a) 3 3 
b) 3 9 
c) 31 3 
d) 31 9 
e) 32 3 
 
3. ( ifce 2019) Ao ordenar corretamente os números reais 
X 2 5; Y 3 2 e Z 5 3, obtemos 
a) X Y Z.  
b) Z Y X.  
c) Y X Z.  
d) X Z Y.  
e) Y Z X.  
 
4. (Ufrgs 2020) O valor de 
1 1 1 1
1 1 1 1
2 3 4 100
                     
       
 é 
a) 
1
.
10
 
b) 
1
.
100
 
c) 1. 
d) 2. 
e) 3. 
 
5. (cmrj 2019) Assinale a opção que contém a afirmação correta. 
a) Para a e b reais e 𝑛 natural, nn a b b a.   
b) Para a e b reais positivos, 2 2a b a b.   
c) Para a e b reais, se 2 2a b então a b. 
d) Para a e b reais positivos, 6 2 33 a b a b .   
e) Para qualquer 𝑎 real, 2 2a ( a) . 
 
 
6. (Upe2018) Qual é o valor da expressão 
 
2 2
4 4
?
(2 6) (2 6)

 
 
a) 0 
b) 4 
c) 2 6 
d) 4 6 
e) 2 2 6 
 
7. (Puccamp 2017) Usando a tecnologia de uma calculadora pode-
se calcular a divisão de 2 por 3 4 e obter um resultado igual a 
a) 4. 
b) 3 3. 
c) 5. 
d) 3 2. 
e) 24 . 
 
8. (Pucrj 2018) Simplificando 33 3
3
1
9 ( 3 24),
3
 
  
 
 
encontramos: 
a) 9 
b) 10 
c) 3 3 
d) 12 
e) 1 
 
9. (Enem 2012) Dentre outros objetos de pesquisa, a Alometria 
estuda a relação entre medidas de diferentes partes do corpo 
humano. Por exemplo, segundo a Alometria, a área A da superfície 
corporal de uma pessoa relaciona-se com a sua massa m pela 
fórmula 
2
3A k m ,  em que k e uma constante positiva. 
Se no período que vai da infância até a maioridade de um indivíduo 
sua massa é multiplicada por 8, por quanto será multiplicada a área 
da superfície corporal? 
a) 3 16 
b) 4 
c) 24 
d) 8 
e) 64 
 
10. (Unisinos 2016) Simplificando-se a expressão 
37
35 38 39
2
,
2 2 2 
 obtém-se o número 
a) 
19
4
 
b) 
19
2
 
c) 0,4 
d) 0,16 
e) 
37
2
2
 
 
11. (G1 - ifce 2016) O número 3
3 5
2
2
2
 é igual a 
a) 0. 
b) 2. 
c) 1. 
 
 
 
Página 2 de 9 
d) 3. 
e) 1 2. 
 
 
Sistema Decimal 
 
12. (Unicamp 2019) A representação decimal de certo número 
inteiro positivo tem dois algarismos. Se o triplo da soma desses 
algarismos é igual ao próprio número, então o produto dos 
algarismos é igual a 
a) 10. 
b) 12. 
c) 14. 
d) 16. 
 
13. (Pucsp 2017) A soma dos quatro algarismos distintos do 
número N abcd, é 16. A soma dos três primeiros algarismos é 
igual ao algarismo da unidade e o algarismo do milhar é igual à 
soma dos algarismos da centena e da dezena. O produto dos 
algarismos da dezena e da centena é 
a) 4 
b) 3 
c) 2 
d) 1 
 
14. (Pucpr 2018) A doutora Cristiane não quer revelar o dia de seu 
aniversário, mas seus amigos Jorge e Evandro insistem. Então 
Cristiane propôs o seguinte problema: ABC ABC ABC BBB   
A 15 é igual ao dia de meu aniversário e B 5 é o meu mês. 
 
Com base nessas informações, conclui-se que Cristiane faz 
aniversário: 
a) 15 de setembro. 
b) 15 de novembro. 
c) 30 de outubro. 
d) 30 de novembro. 
e) 30 de agosto. 
 
15. (Enem 2016) O ábaco é um antigo instrumento de cálculo que 
usa notação posicional de base dez para representar números 
naturais. Ele pode ser apresentado em vários modelos, um deles é 
formado por hastes apoiadas em uma base. Cada haste corresponde 
a uma posição no sistema decimal e nelas são colocadas argolas; a 
quantidade de argolas na haste representa o algarismo daquela 
posição. Em geral, colocam-se adesivos abaixo das hastes com os 
símbolos U, D, C, M, DM e CM que correspondem, 
respectivamente, a unidades, dezenas, centenas, unidades de 
milhar, dezenas de milhar e centenas de milhar, sempre começando 
com a unidade na haste da direita e as demais ordens do número no 
sistema decimal nas hastes subsequentes (da direita para esquerda), 
até a haste que se encontra mais à esquerda. 
Entretanto, no ábaco da figura, os adesivos não seguiram a 
disposição usual. 
 
 
 
Nessa disposição, o número que está representado na figura é 
a) 46.171. 
b) 147.016. 
c) 171.064. 
d) 460.171. 
e) 610.741. 
 
16. (cftmg 2014) Sobre um número natural n formado por dois 
algarismos, sabe-se que: 
 
- o algarismo das unidades excede o triplo do das dezenas em 1; 
- a inversão da ordem dos algarismos produz um número que 
excederá o dobro do original em 18 unidades. 
 
A soma dos algarismos do número n, que atende as condições 
acima, é 
a) 5. 
b) 7. 
c) 9. 
d) 11. 
 
 
APROFUNDANDO 
 
 
1. (Upf 2018) Considere as afirmações abaixo, onde a e b são 
números reais. 
 
I. 2a a 
II. 2 2a b a b   
III. 2 2 2 2a b a b   
IV. 
2 2
2 2
a a
, b 0
b b
  
a) Apenas III e IV são verdadeiras. 
b) Apenas IV é verdadeira. 
c) Apenas II é falsa. 
d) Apenas I, II e IV são verdadeiras. 
e) Todas são verdadeiras. 
 
 
 
2. (ifce 2012) Para todo número real positivo a, a expressão 
3 5a a a
a
 
é equivalente a 
a) 1 + a + a. 
b) 1 + a + a2. 
 
 
 
Página 3 de 9 
c) a + a. 
d) a + a2. 
e) 1 + a. 
 
3. (Pucrj 2017) Assinale a alternativa correta. 
a) 2 16 32 
b) 50 32 2  
c) 2 3 5  
d) 2 3 5 2   
e) 5 2 2 2 14  
 
 
4. (Pucrj 2016) Considere x, y e z reais positivos tais que 
3x 2015 , 2 43 y 2015 , 3 6z 2015 . 
 
A expressão 
1
x y z 
 vale: 
a) 72015 
b) 132015 
c) 172015 
d) 52015 
e) 72015 
 
5. (Pucrj 2016) Quanto vale 
1
?
2 1
 
a) 
1
1
2
 
b) 2 1 
c) 
2
1
2
 
d) 
5
2
 
e) 1 
 
 
6. (Puccamp 1999) Simplificando-se a expressão ( 2 3 )2 + 
1/(5 + 2 6 ), obtém-se 
a) 10 
b) 25 
c) 10 - 2 6 
d) 10 + 2 6 
e) 10 + 4 6 
 
 
7. (Uel 1997) O valor da expressão 
1 1 1
2 1 2 2 2
 
 
 
 
a) 2 
b) -1/2 
c) 0 
d) 
2
2
 
e) 2 
 
 
Sistema Decimal 
 
8. (Fatec 2017) Seja N um número natural de dois algarismos não 
nulos. Trocando-se a posição desses dois algarismos, obtém-se um 
novo número natural M de modo que N M 63.  
 
A soma de todos os números naturais N que satisfazem as 
condições dadas é 
a) 156 
b) 164 
c) 173 
d) 187 
e) 198 
 
9. (Espm 2017) Um número natural é formado por 3 algarismos 
que somam 10. Trocando-se entre si os algarismos das centenas e 
das unidades, ele aumenta 99 unidades. Trocando-se os al-
garismos das dezenas e das unidades, ele diminui 18 unidades. 
Podemos afirmar que esse número é múltiplo de: 
a) 11 
b) 13 
c) 7 
d) 5 
e) 4 
 
10. (Uece 2017) Se x representa um dígito, na base 10, em cada 
um dos três números 11x, 1x1 e x11, e se a soma desses números 
for igual a 777, então, o valor de x é 
a) 4. 
b) 5. 
c) 6. 
d) 7. 
 
11. (Fgv 2017) A conta armada a seguir indica a adição de três 
números naturais, cada um com três algarismos, resultando em um 
número natural de quatro algarismos. Os algarismos que compõem 
os números envolvidos na conta, indicados pelas letras A, C, D e 
E, representam números primos distintos entre si. 
 

AEC
CDD
EAE
1CDC
 
 
Assim, o valor de E D A C   é igual a 
a) 35. 
b) 33. 
c) 31. 
d) 29. 
e) 27. 
 
 
12. (Espm 2012) Um número natural N é formado por 2 algarismos 
cuja soma é igual a 9. A diferença entre esse número e o número 
que se obtém invertendo-se a ordem dos seus algarismos é igual a 
27. A quantidade de divisores naturais de N é: 
a) 4 
b) 2 
 
 
 
Página 4 de 9 
c) 8 
d) 6e) 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
     2 6 0 3 63 1 1,2 4 3 1 1 16 19.           
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
Tem-se que 
 
3 3 3 3
3 3 3
3
3
3 9 3 9
3 3 3
9
1
3
1 3.

 
 
 
 
 
Resposta da questão 3: 
 [C] 
 
2X 2 5 2 5 20    
 
2Y 3 2 3 2 18    
 
2Z 5 3 5 3 75    
 
18 20 75 Y X Z.     
 
 
Resposta da questão 4: 
 [A] 
 
Tem-se que 
1 1 1 1 1 2 3 98 99
1 1 1 1
2 3 4 100 2 3 4 99 100
1
100
1
.
10
                           
       


 
 
 
Resposta da questão 5: 
 [D] 
 
[A] Falsa. Tomando a 9, b 3  e n 2, vem 2( 3) 9.  
Porém, sabemos que 9 3. 
 
[B] Falsa. Considere a 1 e b 2. Logo, temos 
2 21 2 5 1 2 3.     
 
[C] Falsa. Tomando a 1  e b 1, temos 2 2( 1) 1 .  Mas, é 
claro que 1 1.  
 
[D] Verdadeira. Com efeito, pois 3 2 62 23 a a a  e 
3 2 63 3b b b .  Logo, segue que 
6 6 62 3 2 3a b a b .   
 
[E] Falsa. Considere a 1.  Tem-se que 2 2( 1) i 1    e 
2( 1) 1.  
 
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
Desde que 2
, se 0
,
, se 0
α α
α
α α

  
 temos 
 
2 2
4 4 2 2
6 2 6 2(2 6) (2 6)
6 2 ( 6 2)
4.
  
  
   

 
 
Resposta da questão 7: 
 [D] 
 
3 3
3
3 33 32 3
2 2 2 2 2
2
4 22 2

    
 
 
Resposta da questão 8: 
 [D] 
 
   
3
33 3 3 3 3
3 3 3
1 27 1 3 1
9 3 24 3 2 3 3 3 12
3 3 3
   
           
 
 
 
 
 
 
Página 5 de 9 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
   
2 2 22 233 3 33k 8m 8 k m 8 k m 4 A        
 
Logo, a área ficará multiplicada por 4. 
 
Resposta da questão 10: 
 [C] 
 
Tem-se que 
 
 
37 37
35 38 39 35 3 4
2
2 2
2 2 2 2 (1 2 2 )
2
25
2
5
0,4.

   



 
 
Resposta da questão 11: 
 [C] 
 
6 63 5
6 23
6 65 53 5
2 2 2
2 2 1
2 22
     
 
 
 
 
Resposta da questão 12: 
 [C] 
 
Seja ab o número inteiro positivo cujos algarismos queremos 
determinar. Logo, temos 
3(a b) 10a b 7a 2b
2b
a .
7
    
 
 
 
Em consequência, temos b 7 e a 2. 
A resposta é a b 2 7 14.    
 
Resposta da questão 13: 
 [B] 
 
Calculando: 
b c ?
a b c d 16
a b c d
2a d
a b c
 
   
  

 
 
 
Logo, 
a a 2a 16 4a 16 a 4 d 8
b 3; c 1
b c 4; b c ou
b 1; c 3
b c 3 1 3
        
 
   
 
   
 
 
 
Resposta da questão 14: 
 [A] 
 
De acordo com as informações acima, podemos concluir que 
A 1 ou A 2. 
E que: 
     
     
300A 30B 3C 111B 300A 3C 81B
100A C 27B C 27B 100A.
 
 
Considerando A 1, temos C 27B 100,  ou seja o único valor 
possível para B é 4, pois 108 100 8  (valor possível para C). 
 
Considerando A 2, temos C 27B 200,  ou seja não existe um 
valor possível para B a fim de obter um C de apenas um 
algarismo. 
 
Portanto, o dia do aniversário será 1 15 15  e o mês de 
aniversário será 4 5 9.  
 
A alternativa [A] está correta. 
 
Resposta da questão 15: 
 [D] 
 
É imediato que a resposta é 460.171. Pois, 
 
CM DM M C D U 
4 6 0 1 7 1 
 
 
Resposta da questão 16: 
 [C] 
 
Seja n ab, com a, b {1, 2, 3, , 9}.  De acordo com as 
informações, temos 
 
ba 2ab 18 10b a 2(10a b) 18
8b 19a 18.
      
  
 
 
Mas b 3a 1.  Logo, 
 
8(3a 1) 19a 18 5a 10
a 2
    
 
 
 
e, portanto, b 3 2 1 7.    
 
O resultado pedido é igual a a b 2 7 9.    
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 6 de 9 
 
APROFUNDANDO 
 
Resposta da questão 1: 
 [A] 
 
[I] Falsa. Se a 4,  então 2 2( 4) 4 4.   Contradição. 
 
[II] Falsa. Se a 1 e b 2, então 2 21 2 5.  Mas 1 2 3.  
 
[III] Verdadeira. De fato, seja r tal que 2 2r a b .  Logo, 
temos 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
r ( a b )
( a ) ( b )
a b .
 
 
 
 
 
Portanto, segue que 2 2r a b .  
 
[IV] Verdadeira. Com efeito, de acordo com raciocínio 
inteiramente análogo ao aplicado em [III]. 
 
 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
3 5a a a
a
 
=
   
23 5 2
2
a. 1 a aa a a a a a a a
1 a a .
a a a
    
     
 
Resposta da questão 3: 
 [B] 
 
Calculando: 
50 32 2
5 2 4 2 2
 
 
 
 
 
Resposta da questão 4: 
 [A] 
 
Tem-se que 3x 2015 implica em 6x 2015 , 2 43 y 2015 
implica em 6y 2015 e 3 6z 2015 implica em 2z 2015 . 
Portanto, segue que 
 
6 6 2
14
7
1 1
x y z 2015 2015 2015
1
2015
2015 .

   


 
 
 
 
Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
Racionalizando o denominador, obtemos 
 
2 2
1 1 2 1
2 1 2 1 2 1
2 1
( 2) 1
2 1.

 
  



 
 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
De acordo com as informações do problema, podemos escrever 
que: 
N 10x y
M 10y x
 
 
 
 
Fazendo M N, temos: 
9x 9y 63 x y 7     
 
Temos duas opções para os valores de x e y, são elas: 
x 8 e y 1 ou x 9 e y 2 
 
Portanto, 
N 81 ou N 92 
 
Logo: 
81 92 173.  
 
Resposta da questão 9: 
 [A] 
 
Seja abc o número natural. Tem-se que 
a b c 10 a b c 10
cba abc 99 100c 10b a 100a 10b c 99
acb abc 18 100a 10c b 100a 10b c 18
a b c 10
a c 1
b c 2
a 2
b 5 .
c 3
      
         
         
  
  
  

 
 



 
 
Em consequência, o número é 253 11 23,  ou seja, um múltiplo 
de 11. 
 
Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
 
 
Página 7 de 9 
 
Desde que  1 x 9 e x , temos 
 
            
  
 
11x 1x1 x11 777 100 10 x 100 10x 1 100x 10 1 777
111x 777 222
x 5.
 
 
Resposta da questão 11: 
 [C] 
 
Se A, C, D e E são primos distintos, então 
{A, C, D, E} {2, 3, 5, 7}. Além disso, temos 
AEC CDD EAE 1CDC 110(A E) D E 1000.        
 
Donde segue que D E 10  e, portanto, A E 9.  Em 
consequência, só pode ser A 2, D 3, E 7 e C 5. 
 
A resposta é 7 3 2 5 31.    
 
 
Resposta da questão 12: 
 [D] 
 
Seja N ab, com a e b naturais menores do que ou iguais a 9. 
Invertendo-se a ordem dos algarismos de N, obtemos o número 
ba, tal que 
 
ab ba 27 10a b (10b a) 27
9a 9b 27
a b 3.
      
  
  
 
 
Além disso, como a soma dos algarismos de N é igual a 9, vem 
 
a b 9 a 6
.
a b 3 b 3
   
    
 
 
Daí, 2N ab 63 3 7    e, portanto, segue que a quantidade de 
divisores naturais de N é 
 
(2 1)(1 1) 3 2 6.     
 
 
 
 
 
Página 8 de 9 
 
 
 
 
 
Página 9 de 9