Tarefa Complementar - OCTA - Sistemas Lineares - Copia

Prévia do material em texto

Tarefa Complementar – Matemática/ Frente 2 
Sistemas Lineares 
 
Prof. Rodolfo Pereira Borges 
 
 
Página 1 de 13 
Exercício TREINO: Resolva os sistemas abaixo. 
 
a) 
2 9
2 3
3 2 4
x y z
x y z
x y z
  
   
    
 
 
b) 
2 1
2
2 2
x y z
x y z
x y z
  
    
    
 
 
c) 
3 5 2 26
7 16
5 3 14
x y z
x y z
x y z
  
    
   
 
 
d) 
1
1
2 2
2 1
x y z t
x y z t
y z t
x z t
   
     
   
    
 
1. (Uel 2020) Um agricultor tinha uma quantidade M de mudas de 
hortaliças para replantar em uma quantidade C de canteiros. 
Pensou em plantar 8 mudas de hortaliças em cada um dos 
canteiros, mas, dessa forma, sobrariam 32 mudas de hortaliças 
sem plantar. Tentou reorganizar o pensamento simulando o plantio 
de 12 mudas de hortaliças em cada um dos canteiros. Desse modo, 
todas as hortaliças seriam plantadas, porém sobrariam 8 canteiros 
sem muda alguma plantada. Finalmente, organizou o plantio da 
seguinte forma: 10 mudas de hortaliças de cor verde-escuro por 
canteiro, ocupando metade da quantidade de canteiros, e 8 mudas 
de hortaliças de cor verde-claro por canteiro, ocupando a outra 
metade da quantidade de canteiros. Assim, todas as mudas de 
hortaliças seriam plantadas e nenhum canteiro ficaria vazio. 
 
A partir das informações desse problema, determine a quantidade 
de mudas de hortaliças de cor verde-escuro e de cor verde-claro. 
 
Apresente os cálculos realizados na resolução desta questão. 
 
2. (cmrj 2020) Um casal de feirantes estα em sua barraca fazendo 
cαlculos com o peso das frutas. Descobriram que 3 melυes e 8 
mangas pesam ao todo 5.000 gramas. Admitindo-se que as frutas 
de mesmo tipo tenham o mesmo peso, se um melγo pesa tanto 
quanto 4 mangas, quanto pesa cada melγo? 
a) 250 g 
b) 1kg 
c) 0,85 kg 
d) 900 g 
e) 0,75 kg 
 
3. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2016) Saulo sacou R$ 75,00 
do caixa eletrônico de um Banco num dia em que este caixa emitia 
apenas cédulas de R$ 5,00 e R$ 10,00. De quantos modos 
poderiam ter sido distribuídas as cédulas que Saulo recebeu? 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) Mais do que 8. 
 
 
4. (Pucsp 2016) Dizem que o autor do poema seguinte não foi 
outro senão o próprio geômetra Euclides da Alexandria - nascido 
por volta do ano 330 a.C. -, o que prova que também os grandes 
matemáticos se dedicam, ocasionalmente, a pequenos problemas, 
sem baixar a sua dignidade. 
 
Asno e mulo vinham pela estrada carregados de sacos. 
Sob o peso dos fardos, o asno gemia e resmungava, inconformado. 
Aquele o notou, e assim falou ao apoquentado companheiro: 
“Dize-me, velhinho, que choras e lamentas qual inocente rapariga, 
O dobro do que tu levas carregaria eu, se me desses um volume; 
Se me tomasses um, ah!, então sim, conduziríamos ambos a mesma 
carga.” 
Tu, geômetra perito, dize-me quantos fardos transportavam? 
 
Fonte: A Magia dos Números; Paul Karlson - Coleção Tapete 
Mágico XXXI - Editora Globo, RJ – 1961 
 
 
Com base nas informações dadas pelo mulo, é correto afirmar que, 
o produto das quantidades de sacos que cada um carregava é um 
número 
a) primo. 
b) múltiplo de 7. 
c) divisível por 6. 
d) quadrado perfeito. 
 
5. (Unicamp 2012) As companhias aéreas costumam estabelecer 
um limite de peso para a bagagem de cada passageiro, cobrando 
uma taxa por quilograma de excesso de peso. Quando dois 
passageiros compartilham a bagagem, seus limites são 
considerados em conjunto. Em um determinado voo, tanto um casal 
como um senhor que viajava sozinho transportaram 60 kg de 
bagagem e foram obrigados a pagar pelo excesso de peso. O valor 
que o senhor pagou correspondeu a 3,5 vezes o valor pago pelo 
casal. 
Para determinar o peso excedente das bagagens do casal (x) e do 
senhor que viajava sozinho (y), bem como o limite de peso que um 
passageiro pode transportar sem pagar qualquer taxa (z), pode-se 
resolver o seguinte sistema linear: 
a) 
 x 2z 60
 y z 60
3,5x y 0
 
  
  
 
b) 
 x z 60
 y 2z 60
3,5x y 0
 
  
  
 
c) 
 x 2z 60
 y z 60
3,5x y 0
 
  
  
 
 
 
 
Página 2 de 13 
d) 
 x z 60
 y 2z 60
3,5x y 0
 
  
  
 
 
6. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2018) Um parque tem 3 pistas 
para caminhada, X, Y e Z. Ana deu 2 voltas na pista X, 3 voltas 
na pista Y e 1 volta na pista Z, tendo caminhado um total de 
8.420 metros. João deu 1 volta na pista X, 2 voltas na pista Y e 
2 voltas na pista Z, num total de 7.940 metros. Marcela deu 4 
voltas na pista X e 3 voltas na pista Y, num total de 8.110 
metros. O comprimento da maior dessas pistas, excede o 
comprimento da menor pista em 
a) 1.130 metros. 
b) 1.350 metros. 
c) 1.570 metros. 
d) 1.790 metros. 
 
7. (Udesc 2017) Um supermercado publicou três anúncios: 
 
Anúncio 1: 2 facas, 2 garfos e 3 colheres por 27 reais; 
Anúncio 2: 3 facas, 4 garfos e 4 colheres por 44 reais; 
Anúncio 3: 4 facas, 5 garfos e 6 colheres por 59 reais. 
 
Supondo que o preço unitário de cada tipo de talher é o mesmo nos 
três anúncios, sendo x, y e z o preço de cada faca, garfo e colher, 
respectivamente, tem-se que: 
a) x y z  
b) z x y  
c) y z x  
d) z y x  
e) y x z  
 
8. (Pucpr 2017) Clarice e suas colegas de Engenharia resolveram 
organizar uma festa junina para arrecadar fundos para a formatura. 
Com esse intuito, montaram três quiosques, nos quais eram 
vendidos pipoca, cachorro quente e quentão. Ao término da festa, 
foi feito o levantamento das vendas nos três quiosques: 
 
No primeiro, foram vendidos 10 sacos de pipoca, 20 cachorros 
quentes e 10 copos de quentão. 
No segundo, foram vendidos 50 sacos de pipoca, 40 cachorros 
quentes e 20 copos de quentão. 
No terceiro, foram vendidos 20 sacos de pipoca, 10 cachorros 
quentes e 30 copos de quentão. 
Os três quiosques lucraram R$ 150,00, R$ 450,00 e R$ 
R$ 250,00 respectivamente. 
 
Assinale a alternativa que apresenta o preço de cada saco de pipoca, 
cachorro quente e copo de quentão, respectivamente. 
a) R$ 3,00, R$ 2,00 e R$ 4,00 
b) R$ 3,00, R$ 4,00 e R$ 5,00 
c) R$ 3,50, R$ 4,50 e R$ 5,50 
d) R$ 1,50, R$ 2,50 e R$ 3,50 
e) R$ 5,00, R$ 3,00 e R$ 4,00 
 
9. (Uel 2016) A Internet armazena uma quantidade enorme de 
informações. Ao fazer uma busca na rede, os sites são listados em 
ordem decrescente segundo o seu grau de importância. Considere 
que, para calcular o grau de importância, são analisados três 
fatores: a quantidade de pessoas que se inscrevem no site, a 
quantidade de atualizações do site e a quantidade de visualizações 
do site. Cada um desses fatores recebe uma pontuação determinada. 
 
- Para que o site obtenha 9000 pontos e seja considerado de grande 
importância, são necessárias 600 pessoas inscritas, 600 
atualizações e 800 visualizações. 
- Para que o site obtenha 6300 pontos e seja considerado de média 
importância, são necessárias 300 pessoas inscritas, 600 
atualizações e 300 visualizações. 
- Para que o site obtenha 2000 pontos e seja considerado de 
importância satisfatória, são necessárias 100 pessoas inscritas, 
100 atualizações e 300 visualizações. 
 
A partir dessas informações, determine a pontuação obtida por um 
site que apresenta 900 pessoas inscritas, 450 atualizações e 700 
visualizações. 
Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na 
resolução desta questão. 
 
 
10. (Fuvest 2020) Uma agência de turismo vendeu um total de 78 
passagens para os destinos: Lisboa, Paris e Roma. Sabe‐se que o 
número de passagens vendidas para Paris foi o dobro do número de 
passagens vendidas para os outros dois destinos conjuntamente. 
Sabe‐se também que, para Roma, foram vendidas duas passagens a 
mais que a metade das vendidas para Lisboa. Qual foio total de 
passagens vendidas, conjuntamente, para Paris e Roma? 
a) 26 
b) 38 
c) 42 
d) 62 
e) 68 
 
11. (Ufms 2020) Uma cerâmica da cidade de Três Lagoas 
comercializa 3 tipos de tijolos: T1, T2 e T3. A tabela a seguir 
indica pedidos de tijolos realizados por três clientes: 
 
 T1 T2 T3 
Cliente 1 5.000 2.000 3.000 
Cliente 2 1.000 4.500 6.000 
Cliente 3 2.500 4.000 5.500 
 
Sabendo que o cliente 1, o cliente 2 e o cliente 3 pagaram por seus 
pedidos, respectivamente, a quantia de R$ 16.000,00, 
R$ 19.500,00 e R$ 20.000,00, é correto afirmar que: 
a) o valor de cada unidade do tijolo T1 é R$ 2,00. 
b) os três tipos de tijolo possuem o mesmo preço por unidade. 
c) o valor de cada unidade do tijolo T3 é R$ 1,50. 
d) a matriz formada pelos valores de cada unidade dos três tipos de 
tijolo é de ordem 1 3. 
e) o valor de cada unidade do tijolo T2 é R$ 1,00. 
 
12. (Uel 2019) Uma mãe, com o intuito de organizar os brinquedos 
dos seus filhos, teve a ideia de colocá-los em caixas coloridas. Ela 
classificou os brinquedos em três categorias, de acordo com seus 
tamanhos, sendo elas: brinquedos pequenos, médios e grandes. Para 
a organização, a mãe utilizou caixas de acrílico amarelas, verdes e 
azuis, as quais comportam as seguintes quantidades de brinquedos: 
 
- Caixas Amarelas: 2 grandes, 8 médios e 10 pequenos. 
- Caixas Verdes: 2 grandes, 20 médios e 16 pequenos. 
 
 
 
Página 3 de 13 
- Caixas Azuis: 1 grande, 10 médios e 14 pequenos. 
 
Considere que as crianças possuem 12 brinquedos grandes, 72 
brinquedos de tamanho médio e 84 pequenos e que foi colocada, 
em cada caixa, exatamente a quantidade de brinquedos de cada 
categoria que ela comporta. Quantas caixas de cada cor esta mãe 
utilizou para acomodar todos os brinquedos de seus filhos? 
 
Apresente os cálculos realizados na resolução da questão. 
 
13. ( ifpe 2019) Uma instituição de caridade arrecadou, durante 
uma campanha de recebimento de donativos tecnológicos, cerca de 
183 equipamentos, entre televisores, computadores e dispositivos 
eletrônicos portáteis (tablets ou celulares). Sabe-se que o número 
de computadores é uma unidade a mais que o triplo do número de 
televisores, enquanto que o número de dispositivos eletrônicos 
portáteis é a metade do número de computadores. Determine o 
número de televisores doados. 
a) 33 
b) 50 
c) 83 
d) 60 
e) 57 
 
14. (Ufjf 2021) Determine a, b, c (a 0)  de modo que os 
pontos P(1, 1), Q(2, 2) e R(4, 2) pertençam ao gráfico da função 
quadrática 2y ax bx c (x ).    
a) a 1 3,  b 2 e c 2 3  
b) a 1 4,  b 3 e c 5 3  
c) a 1,  b 2 e c 2  
d) a 4 3,  b 7 e c 3  
e) a 3,  b 2 e c 2 3  
 
15. (Fmj 2021) André, Beto e Carlos colecionam figurinhas e o 
número médio de figurinhas que cada um deles tem é igual a 332. 
Carlos deu 45 figurinhas para André e assim, André e Beto, juntos, 
ficaram com um total de 490 figurinhas. Inicialmente o número de 
figurinhas de Carlos era 
a) 551. 
b) 491. 
c) 521. 
d) 461. 
e) 431. 
 
 
 
Aprofundando: 
 
1. (Puccamp 2018) No início de um dia de coleta de lixo para 
reciclagem, foram usados quatro recipientes de coleta, todos vazios 
e de mesmo peso. 
 
 
 
Ao final do dia, o recipiente com vidro pesava 3 kg, a soma do 
peso dos recipientes com metal e com plástico era igual ao peso do 
recipiente com papel e, por fim, o peso do recipiente com metal 
superava o peso do recipiente com plástico em 1,2 kg. Se a soma 
dos pesos dos quatro recipientes, ao final desse dia, era igual a 
8 kg, então, a coleta de papel superou a de metal em 
a) 500 g. 
b) 450 g. 
c) 1,45 kg. 
d) 1,85 kg. 
e) 650 g. 
 
2. (Fgv 2018) Rita compra bijuterias para revender. Em julho, ela 
comprou 3 pulseiras iguais e 10 colares iguais, pagando, no total, 
R$ 87,00. Em agosto, ela comprou 10 das mesmas pulseiras, 
com desconto de 10%, e 25 dos mesmos colares, com acréscimo 
de 10%, gastando, nessa compra, R$ 243,00. Em julho, o preço 
de cada colar superava o preço de cada pulseira em 
a) 30%. 
b) 32%. 
c) 36%. 
d) 40%. 
e) 44%. 
 
3. (Enem PPL 2018) Visando atingir metas econômicas 
previamente estabelecidas, é comum no final do mês algumas lojas 
colocarem certos produtos em promoção. Uma determinada loja de 
departamentos colocou em oferta os seguintes produtos: televisão, 
sofá e estante. Na compra da televisão mais o sofá, o cliente 
pagaria R$ 3.800,00. Se ele levasse o sofá mais a estante, pagaria 
R$ 3.400,00. A televisão mais a estante sairiam por 
R$ 4.200,00. Um cliente resolveu levar duas televisões e um sofá 
que estavam na promoção, conseguindo ainda mais 5% de 
desconto pelo pagamento à vista. 
 
O valor total, em real, pago pelo cliente foi de 
a) 3.610,00. 
b) 5.035,00. 
c) 5.415,00. 
d) 5.795,00. 
e) 6.100,00. 
 
 
4. (Unicamp 2017) A figura abaixo exibe três círculos no plano, 
 
 
 
Página 4 de 13 
tangentes dois a dois, com centros em A, B e C e raios de 
comprimentos a, b e c, respectivamente. 
 
 
 
a) Determine os valores de a,b e c, sabendo que a distância entre 
A e B é de 5 cm, a distância entre A e C é de 6cm e a 
distância entre B e C é de 9 cm. 
b) Para a 2cm e b 3cm, determine o valor de c b de 
modo que o triângulo de vértices em A,B e C seja retângulo. 
 
5. (Unicamp 2017) Sejam a e b números reais. Considere, 
então, os dois sistemas lineares abaixo, nas variáveis x, y e z: 
 
x y a,
z y 1,
 
  
 e 
x y 2,
y z b.
 
  
 
 
Sabendo que esses dois sistemas possuem uma solução em comum, 
podemos afirmar corretamente que 
a) a b 0.  
b) a b 1.  
c) a b 2.  
d) a b 3.  
 
6. (Fgv 2017) As cidades A,B, C e D estão ligadas por uma 
rodovia, como mostra a figura seguinte, feita fora de escala. 
 
 
 
Por essa rodovia, a distância entre A e C é o triplo da distância 
entre C e D, a distância entre B e D é a metade da distância 
entre A e B, e a distância entre B e C é igual a 5 km. Por essa 
estrada, se a distância entre C e D corresponde a x% da 
distância entre A e B, então x é igual a 
a) 36. 
b) 36,5. 
c) 37. 
d) 37,5. 
e) 38. 
 
 
7. (Pucmg 2016) Cada grama do sal P custa R$1,20 e cada 
grama do sal Q, R$1,15. Cada quilo de certa mistura desses dois 
sais, feita por um laboratório, custa R$1.179,00. Com base 
nesses dados, pode-se afirmar que a quantidade do sal P, utilizada 
para fazer um quilograma dessa mistura, é: 
a) 420 g 
b) 480 g 
c) 520 g 
d) 580 g 
 
8. (Unicamp 2016) Considere o sistema linear nas variáveis reais 
x, y, z e w, 
 
x y 1,
y z 2,
w z 3.
 
  
  
 
 
Logo, a soma x y z w   é igual a 
a) 2. 
b) 0. 
c) 6. 
d) 8. 
 
 
 
9. (Pucrs 2016) Nas olimpíadas de 2016, serão disputadas 306 
provas com medalhas, que serão distribuídas entre competidores de 
esportes masculinos, femininos e, ainda, de esportes mistos. Sabe-
se que o total de competições femininas e mistas é 145. Sabe-se, 
também, que a diferença entre o número de provas disputadas 
somente por homens e somente por mulheres é de 25. Então, o 
número de provas mistas é 
a) 3 
b) 9 
c) 2 5 
d) 136 
e) 161 
 
10. (Mackenzie 2015) Um teste de matemática tem questões 
valendo 1 ponto, 2 pontos e 3 pontos. Se um estudante obteve 
5 5 pontos em 3 0 questões desse teste e acertou 5 questões de 
2 pontos a mais do que o número de questões de 1 ponto que ele 
acertou, o número de questões de 3 pontos, respondidas 
corretamente por ele, foi 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
11. (Uece 2014) Um hotel possui exatamente 58 unidades de 
hospedagem assim distribuídas: m quartos duplos, p quartos triplos 
e q suítes para quatro pessoas. A capacidademáxima de lotação do 
hotel é 166 pessoas, sendo que destas, 40 lotam completamente 
todas as suítes. A diferença entre o número de quartos triplos e o 
número de quartos duplos é 
a) 8. 
 
 
 
Página 5 de 13 
b) 10. 
c) 12. 
d) 14. 
 
 
12. (Unicamp 2019) Sabendo que a e b são números reais, 
considere a matriz quadrada de ordem 2, 
 
1 1
A .
a b
 
  
 
 
 
a) Determine todos os valores de a e b para os quais 
T TA A AA , em que TA é a transposta da matriz A. 
b) Para a b 2,  sejam k e θ números reais tais que 
 
cos cos
A k .
sen sen
θ θ
θ θ
   
   
   
 
 
Determine os possíveis valores de tan .θ 
 
 
13. (Epcar (Afa) 2020) Três amigas: Tereza, Ana e Kely entram 
juntas numa loja de chocolates. 
 
A tabela abaixo indica a quantidade de caixas e o tipo de trufas que 
cada uma comprou na loja. 
 
 
Trufas de 
morango 
Trufas de 
nozes 
Trufaz de 
coco 
Tereza 3 7 1 
Ana 4 10 1 
Kely 1 1 1 
 
Com as compras, Tereza gastou 315 reais e Kely gastou 105 reais. 
 
Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) 
Falsa. 
 
( ) O valor da caixa de trufas de coco é o dobro do valor da caixa 
de trufas de nozes. 
( ) Ana gastou o quádruplo do que Kely gastou. 
( ) As três juntas gastaram menos de 800 reais. 
 
Sobre as proposições, tem-se que 
a) todas são verdadeiras. 
b) apenas uma é falsa. 
c) apenas duas são falsas. 
d) todas são falsas. 
 
14. ( cftmg 2019) Considere duas situações distintas de equilíbrio 
entre os pratos de uma mesma balança, em que foram pesados um 
mesmo saco de cenouras e um mesmo saco de batatas, conforme 
representados abaixo. 
 
 
 
A razão 
C
B
 entre o peso do saco de cenouras (C) e o peso do saco 
de batatas (B) é 
a) 1. 
b) 
37
.
61
 
c) 
3
.
5
 
d) 
13
.
22
 
 
 
15. (Ueg 2019) Considerando o sistema 
 
x y 1
,
x y 2
 
  
 
 
verifica-se que 
a) as retas que representam esse sistema são paralelas. 
b) as retas que representam esse sistema são coincidentes. 
c) o determinante da matriz dos coeficientes desse sistema é igual a 
zero. 
d) esse sistema não possui solução. 
e) a solução desse sistema é 
3 1
, .
2 2
    
  
 
 
16. (Unioeste 2019) José precisa pesar três peças de metal A,B e 
C. Mas, a balança que ele dispõe não é precisa para pesos menores 
do que 1kg. José decide então pesar as peças de duas em duas. A 
e B juntas pesam 1.600g, B e C juntas pesam 1.400g e A e 
C juntas pesam 1700 g. 
 
Nestas condições, qual o peso da peça mais leve? 
a) 550 g 
b) 650g. 
c) 700g. 
d) 950g. 
e) 1.400g. 
 
17. (Ufms 2019) Para atrair clientes no fim de semana, uma 
padaria da cidade reduziu o preço das sobremesas. Bia, Nina e 
Duda decidiram aproveitar a promoção, mas quando chegaram só 
havia um bolo, um pudim e uma torta, todos vendidos por pedaços 
de mesmo peso. Bia comprou 3 pedaços de bolo, 2 pedaços de 
 
 
 
Página 6 de 13 
pudim e 2 pedaços de torta; no total a compra saiu por 
R$ 29,00. Nina comprou 1 pedaço de cada uma das sobremesas, 
e o valor da compra foi R$13,00. Duda comprou 2 pedaços de 
bolo, 4 pedaços de pudim e 2 pedaços de torta. Sua compra 
totalizou R$ 35,00. Qual o valor do pedaço do bolo, do pudim e 
da torta, respectivamente? 
a) R$5,00;R$5,00;R$ 2,00. 
b) R$3,00;R$ 4,50;R$5,50. 
c) R$ 2,00;R$5,00;R$ 6,50. 
d) R$3,00;R$5,00;R$5,00. 
e) R$1,00;R$6,00;R$2,00. 
 
18. (Famema 2019) Em um grupo de 150 estudantes, 25% das 
mulheres e 50% dos homens falam espanhol. Sabendo que 34% 
dos estudantes desse grupo falam espanhol, o número de mulheres 
desse grupo que falam espanhol é 
a) 38. 
b) 51. 
c) 45. 
d) 24. 
e) 54. 
 
19. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2019) Fabiana é representante 
de vendas de um fabricante de glicerina. A tabela descreve as 
formas de fornecimento do produto, o preço e a comissão de 
Fabiana. 
 
Tipo de 
embalagem 
Quantidade Preço Comissão 
Bombona 
pequena 
50mL R$300,00 R$18,00 
Bombona 
grande 
200mL R$950,00 R$47,50 
Container 1.000 mL R$ 5.200,00 R$260,00 
 
Na segunda quinzena de novembro, as vendas feitas por Fabiana 
totalizaram R$ 50.100, gerando uma comissão de R$2.565,00. 
Dado que, nessa quinzena, o número de bombonas grandes 
vendidas foi dez vezes o número de containers vendidos, a 
quantidade total de glicerina vendida nessa quinzena foi igual a 
a) 9.600L. 
b) 10.000L. 
c) 9.000L. 
d) 31.000L. 
e) 31.600L. 
 
 
 
 
 
Página 7 de 13 
 
 
 
 
GABARITO: 
 
Resposta do Exercício TREINO: 
A)   1,3,2S  
B)   11, 6, 3S     
C)   1,3,4S  
D) 
1 1 2
,1, ,
5 5 5
S
      
  
 
 
Resposta da questão 1: 
 Do enunciado, segue que: 
 
   
M 8C 32 i
M 12 C 8 ii
  

  
 
 
Das equações (i) e (ii), 
8C 32 12C 96
4C 128
C 32
  


 
 
Substituindo C 32 na equação (i), 
M 8 32 32
M 288
  

 
 
O total de mudas de hortaliças de cor verde-escuro é igual a: 
10 16 160  
 
O total de hortaliças de cor verde-claro é igual a: 
288 160 128  
 
Resposta: Há 160 hortaliças de cor verde-escuro e 128 hortaliças 
de cor verde-claro. 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
Massa de cada melão: x g 
Massa de cada manga: y g 
 
Podemos, então, obter o seguinte sistema: 
3x 8y 5000
x 4y
 
 
 
 
Resolvendo o sistema, obtemos x 1000 g 1kg  e y 250 g. 
Portanto, a massa de um melão é de 1kg. 
 
 
Resposta da questão 3: 
 [C] 
 
Considerando que foram retiradas x notas de R$5,00 e y notas 
de R$10,00, temos a seguinte equação: 
5x 10y 75  
 
Ou seja: 
x 2y 15
x 15 2y
 
 
 
 
o que nos leva a concluir que x poderá ser qualquer inteiro de 0 
(zero) até 7, para que x seja um número inteiro não negativo. 
Temos portanto, 8 possibilidades para se sacar o dinheiro 
utilizando apenas notas de R$5 e de R$10. 
 
 
Resposta da questão 4: 
 [B] 
 
Considerando que o asno carregava x volumes e mulo carregava 
y volumes, podemos escrever, partindo das observações do mulo, 
o seguinte sistema. 
 
y 1 2 (x 1) y 2x 3
2x 3 x 2 x 5 e y 7
y 1 x 1 y x 2
      
             
 
 
Portanto, o produto das quantidades de sacos é 35 (múltiplo de 7). 
 
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
O excesso de bagagem do casal foi x, logo x + 2z = 60; 
O excesso de bagagem do senhor foi y, logo y + z = 60; 
O valor pago pelo senhor é 3,5 vezes o valor pagão pelo casal: y = 
3,5x. 
 
Portanto, temos o sistema 
x 2z 60 x 2z 60
y z 60 y z 60
y 3,5x 3,5x y 0
    
      
    
 
 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
Calculando: 
      
         
     
      
         
    

 

   
2x 3y z 8420 2x 3y z 8420
x 2y 2z 7940 3x 4y 8900
4x 3y 8110 4x 3y 8110
2x 3y z 8420 2x 3y z 8420
9x 12y 26700 3x 4y 8900
16x 12y 32440 7x 5740
x 820
y 1610
z 1950
z x 1950 820 1130m
 
 
Resposta da questão 7: 
 [B] 
 
 
 
 
Página 8 de 13 
2x 2y 3z 27
3
3x 4y 4z 44
2
4x 5y 6z 59 ( 2)
2x 2y 3z 27 (i)
z 7
y (ii)
2 2
y 5
  

        
 
     
  
  


 
 
Substituindo y na equação (ii), 
z 7
5
2 2
z 3
 

 
 
Substituindo y 5 e z 3 na equação (i), 
2x 2 5 3 3 27
2x 8
x 4
    


 
 
Assim, 
z x y  
 
 
Resposta da questão 8: 
 [E] 
 
Calculando: 
x
y
10x 20y 10z 150
50x 40y 20z 450
20x 10y 30z 250
1 2 1
D 5 4 2 15
2 1 3
15 2 1
75
D 45 4 2 75 x 5
15
25 1 3
1 15 1
45
D 5 45 2 45 y 3
15
2 25 3
10x 20y 10z 150 50 60 10z 150 z 4
  
   
   
 
    
  
 
        
  
 
        
  
        
 
 
Resposta da questão 9: 
 Sejam x, y e z, respectivamente, o número de pontos 
correspondente a cada pessoainscrita, o número de pontos 
correspondente a cada atualização e o número de pontos 
correspondente a cada visualização. Tem-se que 
 
100x 100y 300z 2000 x y 3z 20
300x 600y 300z 6300 x 2y z 21
600x 600y 800z 9000 3x 3y 4z 45
x 20 y 3z
y 2z 1
5z 15
x 4
y 7.
z 3
      
       
       
  
  
 

 
 



 
 
Por conseguinte, a resposta é 900 4 450 7 700 3 8850.      
 
Resposta da questão 10: 
 [D] 
 
Sejam , p e r, respectivamente, o número de passagens vendidas 
para Lisboa, Paris e Roma. Logo, tem-se que 
p 2( r)
p 2(78 p)
r 2 2r 4
2
r 78 p
p r 78
p 52
2r 4
r 26
p 52
r 10 .
16
        
       

  
  

 
 

  

 



 
 
A resposta é p r 52 10 62.    
 
Resposta da questão 11: 
 [C] 
 
Sejam x, y e z, respectivamente, os preços unitários dos tijolos 
dos tipos T1, T2 e T3. Desse modo, o sistema linear que expressa 
os totais gastos pelos três clientes é dado por 
5000 2000 3000 x 16000
1000 4500 6000 y 19500
2500 4000 5500 z 20000
     
           
     
     
 
 
É imediato que a ordem da matriz 
x
y
z
 
 
 
 
 
 é igual a 3 1. 
Resolvendo o sistema, encontramos 
 
 
 
Página 9 de 13 
5000x 2000y 3000z 16000 2x 9y 12z 39
1000x 4500y 6000z 19500 5x 2y 3z 16
2500x 4000y 5500z 20000 5x 8y 11z 40
2x 3
20x y 28
12 3y
z
4
x R$ 1,50
y R$ 2,00 .
z R$ 1,50
      
       
       

  

 

 
 



 
 
Portanto, segue que o valor de cada unidade do tijolo do tipo T3 é 
R$ 1,50. 
 
Resposta da questão 12: 
 Considerando que x seja o número de caixas amarelas, y o 
número de caixas verde e z o número de caixas azuis, podemos 
escrever o seguinte sistema. 
2x 2y z 12
8x 20y 10z 72
10x 16y 14z 84
  
   
   
 
 
O primeiro passo para a resolução será multiplicar a primeira 
equação por 10 e somar com a segunda. 
12x 48 x 4     
 
O segundo passo para a resolução será multiplicar a primeira 
equação por 8 e somar com a terceira. 
6x 6z 12 6z 12 z 2        
 
Substituindo x 4 e z 2 na primeira equação, obtemos: y 1. 
 
Portanto, a resposta é 4 caixas amarelas, 1 caixa verde e 2 
caixas azuis. 
 
Resposta da questão 13: 
 [A] 
 
Sendo p o número de eletrônicos portáteis, c o número de 
computadores e t o número de televisores, pode-se calcular: 
c 3t 1
c 3t 1cp p2 2 2
p c t 183
 
     

  
 
 
Assim: 
3t 1 3t 1 6t 2 2t
3t 1 t 183 183 11t 363 t 33
2 2
    
          
 
Resposta da questão 14: 
 [A] 
 
Para que as condições sejam satisfeitas, devemos ter: 
2
2
2
a 1 b 1 c 1 a b c 1 (I)
a 2 b 2 c 2 4a 2b c 2 (II)
16a 4b c 2 (III)a 4 b 4 c 2
                  
        
 
 
Resolvendo o sistema: 
 
 
 
 
4 I (II) :
4a 4b 4c 4a 2b c 4 2 2b 3c 2 (IV)
4(II) (III) :
16a 8b 4c 16a 4b c 8 2 4b 3c 6 (V)
(V) (IV) :
4b 3c 2b 3c 6 2 2b 4 b 2 (VI)
(VI) em (IV) :
2
2 2 3c 2 3c 2 c (VII)
3
(VI) e (VII) em (I) :
2 2 1
a 2 1 a 1 a
3 3 3

         

         

        
        
         
 
 
Portanto: 
a 1 3,  b 2 e c 2 3  
 
Resposta da questão 15: 
 [A] 
 
Sendo A, B e C, respectivamente, o número de figurinhas de 
André, Beto e Carlos, temos: 
 
A B C 3 332 (I)
A 45 B 490 (II)
(I) (II) : A B C A 45 B 3 332 490
C 45 506
C 551
   
   
        
 
 
 
 
 
Aprofundando: 
 
 
Resposta da questão 1: 
 [E] 
 
Sem V o peso do recipiente de vidro, M o peso do recipiente de 
metal, P o peso do recipiente de plástico e K o peso do recipiente 
de papel, pode-se escrever: 
V 3 kg
M P K
M P 1,2
V M P K 8
3 K K 8 3 2K 8 K 2,5 kg
P 1,2 P K 2P 1,2 K 2P 1,2 2,5 P 0,65 kg
M 0,65 1,2 1,85 kg

  

 
    
       
          
  
 
 
Assim, 
K P 2,5 1,85 0,65 650gramas     
 
Resposta da questão 2: 
 [E] 
 
Calculando: 
 
 
 
Página 10 de 13 
3x 10y 87 3x 10y 87
10 0,9x 25 1,1y 243 9x 27,5y 243
9x 9y 30y 27,5y 261 243 2,5y 18 y 7,2 x 5
7,2 5
0,44 44%
5
    
       
            

 
 
 
Resposta da questão 3: 
 [D] 
 
Sejam t, s e e, respectivamente, o preço de uma televisão, o 
preço de um sofá e o preço de uma estante. Logo, vem 
t s 3800
t s 3800
s e 3400
t s 800
t e 4200
t 2300
.
s 1500
 
 
       

  
 
 
A resposta é 
0,95 (2 2300 1500) R$5.795,00.    
 
 
Resposta da questão 4: 
 a) Tem-se que 
a b 5 a b 5
a c 6 a b 3
b c 9 c 9 b
a 1cm
b 4cm.
c 5cm
    
      
     

 
 


 
 
b) Se c b, então a hipotenusa do triângulo ABC é BC. Portanto, 
pelo Teorema de Pitágoras, vem 
2 2 2(c 3) (c 2) 5 (c 3 c 2)(c 3 c 2) 25
2c 5 25
c 10cm.
           
  
 
 
 
Resposta da questão 5: 
 [D] 
 
Se o sistema possui solução em comum, o sistema formado pelas 
quatro equações tem solução. Portanto, pode-se escrever: 
x y a
z y 1
x y 2
y z b
z y 1
z x 3
x y 2
a b 3
x y a
z x a b
y z b
 
  
  
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
Resposta da questão 6: 
 [D] 
 
Sejam y e z, respectivamente, a distância entre A e B e a 
distância entre C e D, pela rodovia. Logo, vem 
y 5 3z
y 3z 5
y
y 2z 105 z
2
y 40km
.
z 15km
   
     

 


 
 
Portanto, segue que 
15
100% 37,5%
40
  e, assim, a resposta é 
37,5. 
 
 
 
Resposta da questão 7: 
 [D] 
 
Calculando: 
 
1200 P 1150 Q 1179
P Q 1
1200P 1150 1 P 1179
50P 29 P 0,58 kg 580 g
   
  
   
   
 
 
Resposta da questão 8: 
 [D] 
 
Somando todas as equações do sistema, vem x w 6.  Logo, 
somando essa equação à segunda, obtemos 
x y z w 6 2 8.      
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Sejam x, y e z, respectivamente, o número de provas disputadas 
apenas por homens, apenas por mulheres e mistas. Desse modo, 
vem 
 
x y z 306 x 161
y z 145 y 136.
x y 25 z 9
    
    
    
 
 
Portanto, a resposta é 9. 
 
Resposta da questão 10: 
 [E] 
 
Suponhamos que o estudante tenha pontuado em todas as 3 0 
questões. Logo, se x, y e z denotam, respectivamente, o número 
de questões de 1 ponto, o número de questões de 2 pontos e o 
número de questões de 3 pontos que o estudante acertou, então 
 
x 2y 3z 55 x 2y 3z 55
x y z 30 y 2z 25
x y 5 y z 20
x 2y 3z 55
y 2z 25 .
z 5
      
      
      
  
  
 


 
 
 
 
Página 11 de 13 
 
Portanto, a resposta é 5. 
 
Resposta da questão 11: 
 [C] 
 
De acordo com as informações do problema, temos o seguinte 
sistema linear: 
m p q 58
2m 3p 4q 166
4q 40
  
   
 
 
 
Resolvendo o sistema, temos q = 10, p = 30 e m = 18, logo, p – m = 
30 – 18 = 12. 
 
Resposta da questão 12: 
 a) Do enunciado, temos: 
 
 
2
2 22
2
1 a 1 1 1 1 1 a
1 b a b a b 1 b
2 a b1 a 1 ab
a b a b1 ab 1 b
a 1 2 i
1 ab a b ii
       
         
       
    
    
        
  

  
 
 
Da equação (i), 
2a 1 
a 1 ou a 1  
 
Substituindo a 1 na equação (ii), 
1 b 1 b   
 
Logo, b é um número real qualquer. 
Substituindo a 1  na equação (ii), 
1 b 1 b
2b 2
b 1
   


 
 
Assim, temos: 
a 1 e b é um número real qualquer ou a 1  e b 1. 
 
b) Do enunciado, temos: 
   
   
1 1 cos cos
k
2 2 sen sen
1 k cos sen 0 icos sen k cos
2 cos 2 sen k sen 2 cos 2 k sen 0 ii
θ θ
θ θ
θ θθ θ θ
θ θ θ θ θ
     
       
     
        
          
 
 
Note que o sistema linear nas variáveis sen θ e cos θ é um 
sistema linear homogêneo com infinitas soluções,pois se tivesse 
somente a solução trivial, teríamos sen 0θ e cos 0,θ ou 
seja, tanθ não estaria definida. 
Portanto, 
   
 
2
2
1 k 1
0
2 2 k
1 k 2 k 2 0
2 k 2k k 2 0
k 3k 0
k k 3 0



    
    
 
  
 
k 0 ou k 3 
 
Substituindo k 0 na equação (i), 
 cos 1 0 sen 0
sen cos
sen
1
cos
tan 1
θ θ
θ θ
θ
θ
θ
   
 
 
 
 
 
Substituindo k 3 na equação (i), 
 cos 1 3 sen 0
2cos sen 0
sen 2 cos
sen
2
cos
tan 2
θ θ
θ θ
θ θ
θ
θ
θ
   
  
 


 
 
Portanto, os possíveis valores de tanθ são: 
tan 1θ  e tan 2θ 
 
Resposta: 
a) a 1 e b é um número real qualquer ou a 1  e b 1; 
b) tan 1θ  e tan 2.θ 
 
 
Resposta da questão 13: 
 [B] 
 
Admitindo que: 
x seja o preço da caixa de trufas de morango. 
y seja o preço da caixa de trufas de nozes. 
z seja o preço da caixa de trufas de coco, temos o seguinte 
sistema: 
 
3x 7y z 315
x y z 105
  
   
 
 
Multiplicando a segunda equação do sistema por 3 e somando 
com a primeira, obtemos: 
4y 2z 0 z 2y.    
 
Portanto, a primeira proposição é verdadeira: 
Verdadeira. O valor da caixa de trufas de coco é o dobro do valor 
da caixa de trufas de nozes. 
 
Escrevendo, agora, x em função de y. 
x y z 105 x y 2y 105 x 105 3y          
 
 
 
 
Página 12 de 13 
Podemos, então concluir, que Ana gastou: 
4x 10y z 4 (105 3y) 10y 2y 420        
 
Logo, a segunda proposição também é verdadeira. 
Verdadeira. Ana gastou o quádruplo do que Kely gastou. 
(420 4 105).  
 
A proposição três é falsa: 
Falsa. As três juntas gastaram menos de 800 reais, pois 
315 105 420 R$840,00   
 
Resposta: [B] apenas uma é falsa. 
 
 
 
Resposta da questão 14: 
 [D] 
 
Calculando: 
B C 0,25 2 0,8 2,2 5 5 1,25 2 0,75 B C 5,25 14 B C 8,75
B 5,5 1,5 C 0,5 0,5 8,25 B C 2,25
B C 8,75
B C 2,25
2B 11 B 5,5 C 3,25
C 3,25 13
B 5,5 22
                
        
 

 
    
 
 
 
 
Resposta da questão 15: 
 [E] 
 
x y 1
x y 2
  
  
 
 
Somando as equações, obtemos: 
3
2x 3 x
2
   
 
Portanto: 
3 1
y 1 y
2 2
     
 
Logo, a solução desse sistema é 
3 1
, .
2 2
    
  
 
 
Resposta da questão 16: 
 [B] 
 
De acordo com o problema podemos estabelecer o seguinte 
sistema: 
A B 1600
B C 1400
A C 1700
 
  
  
 
 
Somando as equações, obtemos: 
 
2 (A B C) 4700 A B C 2350.
B C 1400 A 950 g
A C 1700 B 650 g
A B 1600 C 750 g
       
   
   
   
 
 
Portanto, a peça mais leve é de 650g. 
 
Resposta da questão 17: 
 [B] 
 
Sejam b,p e t , respectivamente, o valor do pedaço do bolo, do 
pudim e da torta. Logo, temos 
b p t 13 t 13 b p
2b 4p 2t 35 2p 9
3b 2p 2t 29 b 3
b R$ 3,00
p R$ 4,50 .
t R$ 5,50
      
     
     

 
 


 
 
Resposta da questão 18: 
 [D] 
 
Calculando: 
h m 150
h m 150 h m 150
h m
2h m 4 0,34 150 2h m 2040,34 150
2 4
mulheres que falam espanhol 96 25% 24 mulheres
                       
  
 
Resposta da questão 19: 
 [B] 
 
Considerando que x seja a quantidade de bombonas pequenas 
vendidas, y a quantidade de bombonas médias vendidas e z a 
quantidade de Containers, temos o seguinte sistema. 
 
300x 950y 5200z 50100 (I)
18x 47,5y 260z 2565 (II)
y 10z (III)
  
   
 
 
 
Multiplicando a equação (II) por 2 0 e subtraindo deste produto a 
equação (I), obtemos: 
60x 1200 x 20   
 
Substituindo x 20 e y 10z na equação (II), obtemos: 
360 475z 260z 2565
735z 2205
z 3
  


 
 
Logo, y 30 
 
Calculando, agora, o volume de Glicerina vendida: 
20 50 30 200 3 100 10.000L      
 
 
 
 
Página 13 de 13