Lista 02 - Funções Trigonométricas

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Lista 02 – Funções Trigonométricas 
 
 
Prof. Erickson 
1 
 
 
Olá, queridos! 
 
Esta lista tem como objetivo a consolidação das Aulas 17 a 20 – Fun-
ções Trigonométricas. Essas aulas são muito importantes para uma 
boa preparação para os vestibulares que prestarão e, por isso, a lista 
está extensa. 
 
Muita atenção: escolha as questões de acordo com suas necessidades, 
isto é, de acordo com o nível que precisa treinar e de acordo com as pro-
vas que irão prestar. Não é preciso resolver tudo!!!!!! 
 
Separei as questões em diferentes seções para facilitar essa seleção por 
vocês. Em todo caso, a seguir deixo uma sugestão de estudo 
 
SUGESTÃO DE ESTUDO – FOCO 100% ENEM 
 
ENEM: TODOS! 
TREINO: 9, 16, 21, 22 
CONSOLIDAÇÃO: 29, 35 
APROFUNDAMENTO: 39, 40 
 
SUGESTÃO DE ESTUDO – FOCO MED / OUTROS VESTIBULARES 
 
ENEM: 2, 5, 6, 8 
TREINO: 9, 15, 20 
CONSOLIDAÇÃO: 25, 26, 27, 36 
APROFUNDAMENTO: 37, 39, 40, 46 
 
Bom estudo! 
 
 
 
 
ENEM 
 
 
1. (Enem 2010) Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter 
atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do centro da Terra. 
Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite 
atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse 
satélite, o valor de r em função de t seja dado por 
( )
( )
5865
r t
1 0,15.cos 0,06t
=
+
 
Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu 
afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma 
dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S. 
 
O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de 
a) 12 765km b) 12 000km c) 11 730 km d) 10 965 km e) 5 865 km 
 
 
2. (Enem 2014) A quantidade de certa espécie de crustáceos, medida 
em toneladas, presente num trecho de mangue, foi modelada por: 
600
Q(t)
6 4sen(wt)
=
+ 
onde t representa o número de meses transcorridos após o início de es-
tudo e w é uma constante. 
 
O máximo e o mínimo de toneladas observados durante este estudo 
são, respectivamente, 
a) 600 e 100 b) 600 e 150 c) 300 e 100 d) 300 e 60 e) 100 e 60 
 
 
3. (Enem 2017) Raios de luz solar estão atingindo a superfície de um 
lago formando um ângulo x com a sua superfície, conforme indica a fi-
gura. 
Em determinadas condições, pode-se supor que a intensidade luminosa 
desses raios, na superfície do lago, seja dada aproximadamente por 
l(x)= k.sen(x) sendo k uma constante, e supondo-se que x está entre 0° 
e 90°. 
 
 
Quando x = 30°, a intensidade luminosa se reduz a qual percentual de 
seu valor máximo? 
a) 33% b) 50% c) 57% d) 70% e) 86% 
 
 
4. (Enem 2018) Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do mundo, 
a High Roller, situada em Las Vegas. A figura representa um esboço 
dessa roda-gigante, no qual o ponto A representa uma de suas cadeiras: 
 
A partir da posição indicada, em que o segmento OA se encontra para-
lelo ao plano do solo, rotaciona-se a High Roller no sentido anti-horário, 
em torno do ponto O. Sejam t o ângulo determinado pelo segmento OA 
em relação à sua posição inicial, e f a função que descreve a 
altura do ponto A, em relação ao solo, em função de t. 
Após duas voltas completas, f tem o seguinte gráfico: 
 
A expressão da função altura é dada por 
a) 𝑓(𝑡) = 80 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 88 
b) 𝑓(𝑡) = 80  𝑐𝑜𝑠( 𝑡) + 88 
c) 𝑓(𝑡) = 88  𝑐𝑜𝑠( 𝑡) + 168 
d) 𝑓(𝑡) = 168 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 88  𝑐𝑜𝑠( 𝑡) 
e) 𝑓(𝑡) = 88 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 168  𝑐𝑜𝑠( 𝑡) 
 
 
 2 
 
 
5. (Enem PPL 2015) Um técnico precisa consertar o termostato do apa-
relho de ar-condicionado de um escritório, que está desregulado. A tem-
peratura T, em graus Celsius, no escritório, varia de acordo com a fun-
ção T(h) = A + B sen (
π
12
(h − 12)), sendo h o tempo, medido em 
horas, a partir da meia-noite (0 ≤ h ≤ 24) e A e B os parâmetros que 
o técnico precisa regular. Os funcionários do escritório pediram que a 
temperatura máxima fosse 26°C a mínima 18°C e que durante a tarde a 
temperatura fosse menor do que durante a manhã. 
 
Quais devem ser os valores de A e de B para que o pedido dos funcio-
nários seja atendido? 
a) A = 18 e B = 8 b) A = 22 e B = - 4 c) A = 22 e B = 4 
d) A = 26 e B = - 8 e) A = 26 e B = 8 
 
Comentário do prof: cuidado com a questão 5, ela é uma questão difí-
cil, pois traz uma espécie de “pegadinha”! Tente resolver e, caso tenha 
dúvidas, consulte a resolução comentada. 
 
 
 
6. (Enem 2017) Um cientista, em seus estudos para modelar a pressão 
arterial de uma pessoa, utiliza uma função do tipo: 
𝑃(𝑡) = 𝐴 + 𝐵 𝑐𝑜𝑠( 𝑘𝑡) 
em que 𝐴,  𝐵 e 𝑘 são constantes reais positivas e 𝑡 representa a variá-
vel tempo, medida em segundo. Considere que um batimento cardíaco 
representa o intervalo de tempo entre duas sucessivas pressões máxi-
mas. Ao analisar um caso específico, o cientista obteve os dados: 
 
Pressão mínima 78 
Pressão máxima 120 
Número de batimentos cardíacos por minuto 90 
 
A função 𝑃(𝑡) obtida, por este cientista, ao analisar o caso específico foi 
a) 𝑃(𝑡) = 99 + 21 𝑐𝑜𝑠( 3𝜋𝑡) 
b) 𝑃(𝑡) = 78 + 42 𝑐𝑜𝑠( 3𝜋𝑡) 
c) 𝑃(𝑡) = 99 + 21 𝑐𝑜𝑠( 2𝜋𝑡) 
d) 𝑃(𝑡) = 99 + 21 𝑐𝑜𝑠( 𝑡) 
e) 𝑃(𝑡) = 78 + 42 𝑐𝑜𝑠( 𝑡) 
 
 
7. (Enem PPL 2014) Uma pessoa usa um programa de computador que 
descreve o desenho da onda sonora correspondente a um som esco-
lhido. A equação da onda é dada, num sistema de coordenadas cartesia-
nas, por 𝑦 = 𝑎 ⋅ 𝑠𝑒𝑛[𝑏(𝑥 + 𝑐)], em que os parâmetros 𝑎,  𝑏,  𝑐 são 
positivos. O programa permite ao usuário provocar mudanças no som, 
ao fazer alterações nos valores desses parâmetros. A pessoa deseja tor-
nar o som mais agudo e, para isso, deve diminuir o período da onda. 
 
O(s) único(s) parâmetro(s) que necessita(m) ser alterado(s) é(são) 
a) 𝑎. b) 𝑏. c) 𝑐. d) 𝑎 e 𝑏. e) 𝑏 e 𝑐. 
 
 
8. (Enem PPL 2019) Os movimentos ondulatórios (periódicos) são re-
presentados por equações do tipo ±𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 𝜃), que apresentam 
parâmetros com significados físicos importantes, tais como a frequência 
𝑤 =
2𝜋
𝑇
, em que 𝑇 é o período; 𝐴 é a amplitude ou deslocamento má-
ximo; 𝜃 é o ângulo de fase 0 ≤ 𝜃 <
2𝜋
𝑤
, que mede o deslocamento no 
eixo horizontal em relação à origem no instante inicial do movimento. 
O gráfico representa um movimento periódico, 𝑃 = 𝑃(𝑡), em centíme-
tro, em que 𝑃 é a posição da cabeça do pistão do motor de um carro em 
um instante 𝑡, conforme ilustra a figura. 
 
 
 
A expressão algébrica que representa a posição 𝑃(𝑡), da cabeça do pis-
tão, em função do tempo 𝑡 é 
a) 𝑃(𝑡) = 4𝑠𝑒𝑛(2𝑡) 
b) 𝑃(𝑡) = −4𝑠𝑒𝑛(2𝑡) 
c) 𝑃(𝑡) = −4𝑠𝑒𝑛(4𝑡) 
d) 𝑃(𝑡) = 4𝑠𝑒𝑛 (2𝑡 +
𝜋
4
) 
e) 𝑃(𝑡) = 4𝑠𝑒𝑛 (4𝑡 +
𝜋
4
) 
 
 
TREINO 
 
9. (Uerj 2020) O gráfico a seguir representa a função periódica definida 
por 𝑓(𝑥) = 2 𝑠𝑒𝑛 (𝑥), 𝑥 ∈ ℝ. No intervalo [
𝜋
2
,  
5𝜋
2
], 𝐴 e 𝐵 são pon-
tos do gráfico em que 𝑓 (
𝜋
2
) = 𝑓 (
5𝜋
2
) são valores máximos da função. 
 
A área do retângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 é: 
a) 6𝜋 b) 5𝜋 c) 4𝜋 d) 3𝜋 
 
 
10. (Ucs 2016) O gráfico abaixo representa uma função real. 
 
Assinale a alternativa em que consta a função representada pelo gráfico. 
a) 𝑓(𝑥) = −2 𝑐𝑜𝑠   𝑥 b) 𝑓(𝑥) = 2  𝑐𝑜𝑠
𝑥
2
 c) 𝑓(𝑥) = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
d) 𝑓(𝑥) = 2 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 e) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
 
 
 3 
11.(ifpe 2016) Na cidade de Recife, mesmo que muito discretamente, 
devido à pequena latitude em que nos encontramos, percebemos que, 
no verão, o dia se estende um pouco mais em relação à noite e, no in-
verno, esse fenômeno se inverte. Já em outros lugares do nosso pla-
neta, devido a grandes latitudes, essa variação se dá de forma muito 
mais acentuada. É o caso de Ancara, na Turquia, onde a duração de luz 
solar 𝐿, em horas, no dia 𝑑 do ano, após 21 de março, é dada por:𝐿(𝑑) = 12 + 2,8 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 [
2𝜋
365
(𝑑 − 80)] 
Determine, em horas, respectivamente, a máxima e a mínima duração 
de luz solar durante um dia em Ancara. 
a)12,8 e 12 b)14,8 e 9,2 c)12,8 e 9,2 d)12 e 12 e)14,8 e 12 
 
 
12. (Uece 2018) Seja 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) =
3
2+𝑠𝑒𝑛 𝑥
. Se 𝑀 
e 𝑚 são respectivamente os valores máximo e mínimo que a função 𝑓 
assume, o valor do produto 𝑀 ⋅ 𝑚 é 
a) 2,0. b) 3,5. c) 3,0. d) 1,5. 
 
 
13. (Unisc 2016) Se 𝑓 é uma função real 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑐𝑜𝑠( 2𝑥), então 
é correto afirmar que 
a) 1 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 3 para todo 𝑥 real. 
b) O gráfico de 𝑓 intercepta o eixo 𝑥. 
c) 𝑓(𝑥) ≤ 2 para todo 𝑥 real. 
d) 𝑓(0) = 2. 
e) 𝑓( 𝑥) ≥ 3 para todo 𝑥 real. 
 
 
14. (Ufrgs 2019) Considere a função 𝑓(𝑥) = 3 − 5 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 + 4). Os 
valores de máximo, mínimo e o período de 𝑓(𝑥) são, respectivamente, 
a) −2, 8,  𝜋 b) 8, −2,  𝜋 c) 𝜋, −2,  8 d) 𝜋,  8, −2 e) 8,  𝜋, −2 
 
 
15. (Uerj 2019) Considere a representação abaixo, de metade da órbita 
do planeta Mercúrio em torno do Sol. A distância 𝑟𝑀 entre o Sol e Mer-
cúrio varia em função do ângulo 𝜃, sendo 0° ≤ 𝜃 ≤ 180°. 
 
Para o cálculo aproximado de 𝑟𝑀 , em milhões de quilômetros, emprega-
se a seguinte fórmula: 
𝑟𝑀 =
555
10 − 2 × 𝑐𝑜𝑠 𝜃
 
Calcule a distância 𝑃𝐴, em milhões de quilômetros. 
 
 
16. (cftmg 2015) O esboço do gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑏 𝑐𝑜𝑠( 𝑥) 
é mostrado na figura seguinte. 
 
Nessa situação, o valor de 𝑎 ⋅ 𝑏 é 
a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 
17. (Ifsul 2015) Corrente alternada é a corrente elétrica na qual a inten-
sidade e a direção são grandezas que variam ciclicamente. Em um cir-
cuito de potência de corrente alternada, a forma da onda mais utilizada é 
a onda senoidal, no entanto, ela pode se apresentar de outras formas 
como, por exemplo, a onda triangular e a onda quadrada. 
 
A função 𝑓(𝑡) = 30 𝑠𝑒𝑛 (
2𝜋𝑡−𝜋
5
) expressa a corrente alternada de um 
circuito em função do tempo, dado em segundos. 
 
Qual é o período dessa função? 
a) 3 𝑠 b) 4 𝑠 c) 5 𝑠 d) 6 𝑠 
 
 
18. (Upe 2017) Se a função trigonométrica 𝑦 = 𝑎 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛( 𝑝𝑥) tem 
imagem 𝐼 = [1,  5] e período 
3
𝜋
, qual é o valor da soma 𝑎 + 𝑏 + 𝑝? 
Adote 𝜋 = 3 𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑒 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑝 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠. 
a) 5 b) 6 c) 8 d) 10 e) 11 
 
 
19. (Unesp 2014) Determine o período da função 𝑓(𝜃) dada pela lei de 
formação 𝑓(𝜃) =
(−1)
5
⋅ 𝑠𝑒𝑛 (
2
3
⋅ 𝜃 −
𝜋
3
) − 1. 
 
 
20. (Uern 2013) A razão entre o maior e o menor número inteiro que per-
tencem ao conjunto imagem da função 𝑦 = −4 + 2 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 −
2𝜋
3
) é 
a) 2. b) 
1
3
. c) – 3. d) −
1
2
. 
 
21. (Mackenzie 2012) O maior valor que o número real 
10
2−
𝑠𝑒𝑛 x
3
 pode 
assumir é 
a) 
20
3
 b) 
7
3
 c) 10 d) 6 e) 
20
7
 
 
 
22.. (Uem 2016 - adaptada) Num experimento, um determinado material 
é colocado em um forno cuja temperatura varia segundo a função 
𝑇(𝑡) = 120 + 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
𝑡, em que 𝑡 é o tempo em minutos e 𝑇 é a tempe-
ratura em °𝐶. Sobre o experimento, assinale o que for correto. 
 
I) A função 𝑇 é periódica de período 2𝜋. 
II) A temperatura 𝑇 ao qual o material está exposto varia de 0 °𝐶 a 
120 °𝐶. 
III) O gráfico da função 𝑇 tem amplitude 
1
2
. 
 
 
CONSOLIDAÇÃO 
 
 
23. (ifba 2016) A partir do solo, o pai observa seu filho numa roda gi-
gante. Considere a altura A, em metros, do filho em relação ao solo, 
dada pela função 𝐴(𝑡) = 12,6 + 4 𝑠𝑒𝑛 [
𝜋
18⋅
(𝑡 − 26)], onde o tempo 
(𝑡) é dado em segundos e a medida angular em radianos. Assim sendo, 
a altura máxima e mínima e o tempo gasto para uma volta completa, ob-
servados pelo pai, são, respectivamente: 
 
a) 10,6 metros; 4,6 metros e 40 segundos. 
b) 12,6 metros; 4,0 metros e 26 segundos. 
c) 14,6 metros; 6,6 metros e 24 segundos. 
d) 14,6 metros; 8,4 metros e 44 segundos. 
e) 16,6 metros; 8,6 metros e 36 segundos. 
 
 
 4 
24. (Fgv 2016) O número de quartos ocupados em um hotel varia de 
acordo com a época do ano. 
Estima-se que o número de quartos ocupados em cada mês de determi-
nado ano seja dado por 𝑄(𝑥) = 150 + 30 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
6
𝑥) em que 𝑥 é es-
tabelecido da seguinte forma: 𝑥 = 1 representa o mês de janeiro, 𝑥 =
2 representa o mês de fevereiro, 𝑥 = 3 representa o mês de março, e 
assim por diante. 
Em junho, em relação a março, há uma variação porcentual dos quartos 
ocupados em 
a) −20% b) −15% c) −30% d) −25% e) −50% 
 
 
25. (Upe 2018) A função 𝑦 = 𝑎 + 𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝑥, com 𝑎 e 𝑏 reais, represen-
tada graficamente a seguir, intersecta o eixo 𝑦 no ponto de coordenadas 
(0, −1) e tem valor máximo 𝑦 = 5. Qual é o valor da soma 5𝑎 + 2𝑏? 
 
 
a) 4 b) −1 c) 3 d) −2 e) 6 
 
 
26. (cftmg 2019) Seja a função definida por 𝑓(𝑥) = 2 + 2 𝑠𝑒𝑛 (𝑥), 
no intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋. O ponto de mínimo de 𝑓(𝑥), nesse intervalo, 
tem coordenadas 
a) (
𝜋
2
,  0). b) (
𝜋
2
,  −2). c) (
3𝜋
2
,  −2). d) (
3𝜋
2
,  0). 
 
 
27. (Ufrgs 2018) Um ponto 𝐴, que se movimenta sobre uma circunfe-
rência, tem sua posição 𝑝(𝑡), considerada na vertical, no instante 𝑡, 
descrita pela relação 𝑝(𝑡) = 100 − 20 𝑠𝑒𝑛 (𝑡), para 𝑡 ≥ 0. Nesse 
caso, a medida do diâmetro dessa circunferência é 
a) 30. b) 40. c) 50. d) 80. e) 120. 
 
 
28. (Insper 2015) A figura abaixo representa o gráfico da função 
𝑓(𝑥) = 𝑎  𝑐𝑜𝑠( 𝑥) + 𝑏. 
 
A soma 𝑎 + 𝑏 e a diferença 𝑏 − 𝑎 são, respectivamente, iguais a 
a) 3 e 1. b) 1 e −3. c) 𝜋 e 1. d) −1 e 𝜋. e) 3 e −1. 
 
 
 
 
 
 
29. (Fgv 2017) Uma fórmula que mede a magnitude 𝑀 de um terremoto 
pode ser escrita como 𝑀 = 0,67 ⋅ 𝑙𝑜𝑔   𝐸 − 3,25, sendo 𝐸 a energia 
mecânica liberada pelo abalo, medida em Joules. 
 
a) Calcule, por meio da fórmula dada, a energia mecânica liberada por 
um terremoto de magnitude 2,11. 
 
b) A figura a seguir mostra um modelo trigonométrico que, por meio da 
função cosseno 𝑦 = 𝐴 + 𝐵 ⋅ 𝑐𝑜𝑠   (𝑚𝑥 + 𝑛), ajuda a prever a magni-
tude de terremotos em uma ilha do Pacífico. Nesse modelo, 𝑦 indica a 
magnitude do terremoto, e 𝑥 indica o ano de ocorrência, sendo 𝑥 = 1 
correspondente ao ano 1980, 𝑥 = 6 correspondente ao ano 1990, 𝑥 =
11 correspondente ao ano 2000, e assim sucessivamente. 
 
 
Determine domínio, imagem e período da função cujo gráfico está indi-
cado na figura. Em seguida, determine os valores dos parâmetros 
𝐴,  𝐵,  𝑚 e 𝑛 da lei dessa função. 
 
 
30. (Ucs 2015) A pressão arterial 𝑃 (em mmHg) de uma pessoa varia, 
com o tempo 𝑡 (em segundos), de acordo com a função definida por 
𝑃(𝑡) = 100 + 20 𝑐𝑜𝑠( 6𝑡 + 𝜋), em que cada ciclo completo (perí-
odo) equivale a um batimento cardíaco. 
Considerando que 19𝜋 ≈ 60, quais são, de acordo com a função, res-
pectivamente, a pressão mínima, a pressão máxima e a frequência de 
batimentos cardíacos por minuto dessa pessoa? 
a) 80, 120 e 57 b) 80, 120 e 60 c) 80, 100 e 19 
d) 100, 120 e 19 e) 100, 120 e 60 
 
 
31. (ifba 2017) Há milhares de anos, os homens sabem que a Lua tem 
alguma relação com as marés. Antes do ano 100 a.C., o naturalista ro-
mano Plínio escreveu sobre a influência da Lua nas marés. Mas as leis 
físicas desse fenômeno não foram estudadas até que o cientista inglês 
Isaac Newton descobriu a lei da gravitação no século XVII. 
As marés são movimentos de fluxo e refluxo das águas dos mares pro-
vocados pela atração que a Lua e secundariamente o Sol exercem sobre 
os oceanos. Qualquer massa de água, grande ou pequena, está sujeita 
às forças causadoras de maré provindas do Sol e da Lua. Porém é so-
mente no ponto em que se encontram os oceanos e os continentesque 
as marés têm grandeza suficiente para serem percebidas. As águas dos 
rios e lagos apresentam subida e descida tão insignificante que a dife-
rença é inteiramente disfarçada por mudanças de nível devidas ao vento 
e ao estado do tempo. 
 
Sendo a maré representada por uma função periódica, e supondo que a 
função que descreve melhor o movimento da maré em Salvador - BA é 
dada pela expressão: 
𝐴(𝑡) = 1,8 + 1,2 𝑠𝑒𝑛(0,5𝜋𝑡 + 0,8𝜋), 𝑡 é o tempo em horas 0 ≤
𝑡 ≤ 24. 
Sendo assim, as alturas máxima e mínima da maré descrita pela função 
𝐴(𝑡) são, respectivamente: 
a) 3,0 𝑚 e 0,6 𝑚 b) 3,0 𝑚 e 0,8 𝑚 c) 2,5 𝑚 e 0,6 𝑚 
d) 2,5 𝑚 e 0,8 𝑚 e) 2,8 𝑚 e 0,6 𝑚 
 
 
 5 
32. (Ufpe 2013) Seja f uma função que tem como domínio o conjunto 
dos números reais e é dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝜔 ⋅ 𝑥 + 𝑏), com a, 𝜔 
e b constantes reais. A figura abaixo ilustra o gráfico de f, restrito ao in-
tervalo fechado [−
𝜋
6
,
5𝜋
6
]. A função f tem período 𝜋 e seu conjunto ima-
gem é o intervalo fechado [−5,5]. 
 
 
 
Determine as constantes a e 𝜔 e o menor valor positivo de b. Indique 
𝑎2 + 𝜔2 +
3𝑏
𝜋
. 
 
 
33. (Unesp 2010) Em situação normal, observa-se que os sucessivos 
períodos de aspiração e expiração de ar dos pulmões em um indivíduo 
são iguais em tempo, bem como na quantidade de ar inalada e expelida. 
A velocidade de aspiração e expiração de ar dos pulmões de um indiví-
duo está representada pela curva do gráfico, considerando apenas um 
ciclo do processo. 
 
 
 
Sabendo-se que, em uma pessoa em estado de repouso, um ciclo de 
aspiração e expiração completo ocorre a cada 5 segundos e que a taxa 
máxima de inalação e exalação, em módulo, é 0,6 1/s, a expressão da 
função cujo gráfico mais se aproxima da curva representada na figura é: 
a) 𝑉(𝑡) =
2𝜋
5
𝑠𝑒𝑛 (
3
5
𝑡). 
b) 𝑉(𝑡) =
3
5
𝑠𝑒𝑛 (
5
2𝜋
𝑡). 
c) 𝑉(𝑡) = 0,6 𝑐𝑜𝑠 (
2𝜋
5
𝑡). 
d) 𝑉(𝑡) = 0,6𝑠𝑒𝑛 (
2𝜋
5
𝑡). 
e) 𝑉(𝑡) =
5
2𝜋
𝑐𝑜𝑠(0,6𝑡). 
 
34. (Unesp 2007) Podemos supor que um atleta, enquanto corre, ba-
lança cada um de seus braços ritmicamente (para frente e para trás) se-
gundo a equação 
 𝑦 = 𝑓(𝑡) =
𝜋
9
𝑠𝑒𝑛 (
8𝜋
3
(𝑡 −
3
4
)). , 
onde y é o ângulo compreendido entre a posição do braço e o eixo verti-
cal (− 
𝜋
9
≤ 𝑦 ≤
𝜋
9
) e t é o tempo medido em segundos, t ≥ 0. Com 
base nessa equação, determine quantas oscilações completas (para 
frente e para trás) o atleta faz com o braço em 6 segundos. 
35. (Unesp 2004) Do solo, você observa um amigo numa roda gigante. 
A altura h em metros de seu amigo em relação ao solo é dada pela ex-
pressão ℎ(𝑡) = 11,5 + 10𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
12
(𝑡 − 26)), onde o tempo t é dado 
em segundos e a medida angular em radianos. 
a) Determine a altura em que seu amigo estava quando a roda começou 
a girar (t = 0). 
b) Determine as alturas mínima e máxima que seu amigo alcança e o 
tempo gasto em uma volta completa (período). 
 
36. (Ufpr 2011) Suponha que a expressão P = 100 + 20 sen(2𝜋t) des-
creve de maneira aproximada a pressão sanguínea P, em milímetros de 
mercúrio, de uma certa pessoa durante um teste. Nessa expressão, t re-
presenta o tempo em segundos. 
A pressão oscila entre 20 milímetros de mercúrio acima e abaixo dos 
100 milímetros de mercúrio, indicando que a pressão sanguínea da pes-
soa é 120 por 80. Como essa função tem um período de 1 segundo, o 
coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste. 
a) Dê o valor da pressão sanguínea dessa pessoa em t = 0 s; t = 0,75 s. 
b) Em que momento, durante o primeiro segundo, a pressão sanguínea 
atingiu seu mínimo? 
 
APROFUNDAMENTO 
 
37. (Unifesp 2018) Uma chapa retangular metálica, de área igual a 
8,132 𝑚2, passa por uma máquina que a transforma, sem nenhuma 
perda de material, em uma telha ondulada. A figura mostra a telha em 
perspectiva. 
 
A curva que liga os pontos 𝐴 e 𝐵, na borda da telha, é uma senoide. 
Considerando um sistema de coordenadas ortogonais com origem em 
𝐴, e de forma que as coordenadas de 𝐵, em centímetros, sejam 
(195,  0), a senoide apresentará a seguinte configuração: 
 
a) Calcule o comprimento da senoide indicada no gráfico, do ponto 𝐴 até 
o ponto 𝐵. 
b) Determine a expressão da função cujo gráfico no sistema de coorde-
nadas é a senoide de 𝐴 até 𝐵. Determine o domínio, a imagem e o perí-
odo dessa função. 
 
38. (Ufpr 2020) A maior variação de maré do Brasil ocorre na baía de 
São Marcos, no estado do Maranhão. A diferença entre o nível mais alto 
e o nível mais baixo atingidos pela maré pode chegar a 8 metros em al-
gumas épocas do ano. Suponha que em determinado dia do ano o nível 
da maré da baía de São Marcos possa ser descrito pela expressão 
𝑛(𝑡) = 3 𝑠𝑒𝑛( (𝑡 − 5)
𝜋
6
) + 4, com 𝑡 ∈ [0,  24] sendo 𝑡 o tempo 
(medido em horas) e 𝑛(𝑡) o nível da maré no instante 𝑡 (dado em me-
tros). Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas: 
1. O nível mais alto é atingido duas vezes durante o dia. 
2. Às 11 ℎ é atingido o nível mais baixo da maré. 
3. Às 5 ℎ é atingido o nível mais alto da maré. 
4. A diferença entre o nível mais alto e o nível mais baixo é de 3 metros. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. 
b) Somente as afirmativas 1 e 4 são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas 2, 3 e 4 são verdadeiras. 
e) As afirmativas 1, 2, 3 e 4 são verdadeiras. 
 
 6 
39. (Fuvest 2018) 
 
Admitindo que a linha pontilhada represente o gráfico da função 𝑓(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛 (𝑥) e que a linha contínua represente o gráfico da função 𝑔(𝑥) =
𝛼𝑠𝑒𝑛 (𝛽𝑥), segue que 
a) 0 < 𝛼 < 1 e 0 < 𝛽 < 1. b) 𝛼 > 1 e 0 < 𝛽 < 1. 
c) 𝛼 = 1 e 𝛽 > 1. d) 0 < 𝛼 < 1 e 𝛽 > 1. 
e) 0 < 𝛼 < 1 e 𝛽 = 1. 
 
 
40. (Fuvest 2017) Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a 
temperatura constante, e seu volume varia com o tempo de acordo com 
a seguinte fórmula: 
𝑉(𝑡) = 𝑙𝑜𝑔2( 5 + 2 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑡)), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2, 
em que 𝑡 é medido em horas e 𝑉(𝑡) é medido em 𝑚3. A pressão má-
xima do gás no intervalo de tempo [0,  2] ocorre no instante 
a) 𝑡 = 0,4 b) 𝑡 = 0,5 c) 𝑡 = 1 d) 𝑡 = 1,5 e) 𝑡 = 2 
 
 
41. (Unioeste 2018) Em uma área de proteção ambiental existe uma po-
pulação de coelhos. Com o aumento natural da quantidade de coelhos, 
há muita oferta de alimento para os predadores. Os predadores com a 
oferta de alimento também aumentam seu número e abatem mais coe-
lhos. O número de coelhos volta então a cair. Forma-se assim um ciclo 
de oscilação do número de coelhos nesta reserva. 
 
Considerando-se que a população 𝑝( 𝑡) de coelhos fica bem modelada 
por 𝑝( 𝑡) = 1.000 − 250 𝑠𝑒𝑛 (
2𝜋𝑡
360
), sendo 𝑡 ≥ 0 a quantidade de 
dias decorridos, e o argumento da função seno é medido em radianos, 
pode-se afirmar que 
a) a população de coelhos é sempre menor ou igual a 1.000 indivíduos. 
b) em quatro anos a população de coelhos estará extinta. 
c) a população de coelhos dobrará em 3 anos. 
d) a quantidade de coelhos só volta a ser de 1.000 indivíduos depois de 
360 dias. 
e) a população de coelhos atinge seu máximo em 1.250 indivíduos. 
 
 
42. (Ufsm 2015) Cerca de 24,3% da população brasileira é hipertensa, 
quadro que pode ser agravado pelo consumo excessivo de sal. A varia-
ção da pressão sanguínea 𝑃 (em mmHg) de um certo indivíduo é ex-
pressa em função do tempo por 
𝑃(𝑡) = 100 − 20 𝑐𝑜𝑠 (
8𝜋
3
𝑡) 
onde 𝑡 é dado em segundos. Cada período dessa função representa um 
batimento cardíaco. Analise as afirmativas: 
I. A frequência cardíaca desse indivíduo é de 80 batimentos por minuto. 
II. A pressão em 𝑡 = 2 segundos é de 110𝑚𝑚𝐻𝑔. 
III. A amplitude da função 𝑃(𝑡) é de 30𝑚𝑚𝐻𝑔. 
 
Está(ão) correta(s) 
a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas III. d) apenas II e III. 
e) I, II e III. 
43. (Uel 2019) Uma empresa de produtos alimentíciosrecebeu de seu 
contador uma planilha com os lucros mensais referentes ao ano de 
2017. Ao analisar a planilha, a empresa constatou que, no mês 4 (abril), 
teve 𝑅$ 50.000,00 de lucro e que, no mês 6 (junho), o lucro foi de 
𝑅$ 30.000,00. 
Determine o lucro da empresa, em dezembro de 2017, sabendo que a 
função que descreve o lucro 𝐿 no mês 𝑡 daquele ano é definida por 
 
𝐿(𝑡) = 𝑎 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
3
+
𝜋
2
𝑡) + 𝑏 em que 1 ≤ 𝑡 ≤ 12, 𝑎 > 0 e 𝑏 > 0. 
 
 
44. (Acafe 2014) Com o objetivo de auxiliar os maricultores a aumentar 
a produção de ostras e mexilhões, um engenheiro de aquicultura fez um 
estudo sobre a temperatura da água na região do sul da ilha, em Floria-
nópolis. Para isso, efetuou medições durante três dias consecutivos, em 
intervalos de 1 hora. As medições iniciaram às 5 horas da manhã do pri-
meiro dia (𝑡 = 0) e os dados foram representados pela função perió-
dica 𝑇(𝑡) = 24 + 3 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋𝑡
6
+
𝜋
3
), em que 𝑡 indica o tempo (em horas) 
decorrido após o início da medição e 𝑇(𝑡), a temperatura (em °𝐶) no 
instante 𝑡. 
O período da função, o valor da temperatura máxima e o horário em que 
ocorreu essa temperatura no primeiro dia de observação valem, respec-
tivamente: 
a) 6 h, 25,5 °𝐶 e 10 ℎ. b) 12 h, 27 °𝐶 e 10 ℎ. 
c) 12 h, 27 °𝐶 e 15 ℎ. d) 6 h, 25,5 °𝐶 e 15 ℎ. 
 
45. (Ufpr 2017) Considere a função 𝑓(𝑥) = 4 𝑐𝑜𝑠 (
𝑥𝜋
4
) − 3, com 𝑥 ∈
(−∞, +∞). 
 
a) Qual é o valor mínimo que a função 𝑓 atinge? 
b) Para que valores de 𝑥 temos 𝑓(𝑥) = −1? 
 
 
46. (Ufpr 2013) O pistão de um motor se movimenta para cima e para 
baixo dentro de um cilindro, como ilustra a figura. 
 
Suponha que em um instante t, em segundos, a altura h(t) do pistão, em 
centímetros, possa ser descrita pela expressão: 
 
ℎ(𝑡) = 4sen (
2𝜋𝑡
0,05
) + 4. 
 
a) Determine a altura máxima e mínima que o pistão atinge. 
b) Quantos ciclos completos esse pistão realiza, funcionando durante um 
minuto? 
 
47. (Ufpr 2012) Suponha que, durante certo período do ano, a tempera-
tura T, em graus Celsius, na superfície de um lago possa ser descrita 
pela função 𝐹(𝑡) = 21 − 4 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
12
𝑡), sendo t o tempo em horas me-
dido a partir das 06h00 da manhã. 
 
a) Qual a variação de temperatura num período de 24 horas? 
b) A que horas do dia a temperatura atingirá 23ºC?