10 21 - (Lista de Exercícios Troncos)

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Prof. Anderson Weber 
Matemática 
 
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Lista de Exercícios – Troncos 
 
 
1. (Ita 2019) Os volumes de um tronco de cone, de uma 
esfera de raio 5 𝑐𝑚 e de um cilindro de altura 11 𝑐𝑚 
formam nessa ordem uma progressão aritmética. O 
tronco de cone é obtido por rotação de um trapézio 
retângulo, de altura 4 𝑐𝑚 e bases medindo 5 𝑐𝑚 e 9 𝑐𝑚, 
em torno de uma reta passando pelo lado de menor 
medida. Então, o raio da base do cilindro é, em 𝑐𝑚, igual 
a 
 
a) 2√2. 
b) 2√3. 
c) 4. 
d) 2√5. 
e) 2√6. 
 
2. (Unesp 2017) Um cone circular reto de geratriz 
medindo 12 𝑐𝑚 e raio da base medindo 4 𝑐𝑚 foi 
seccionado por um plano paralelo à sua base, gerando 
um tronco de cone, como mostra a figura 1. A figura 2 
mostra a planificação da superfície lateral 𝑆 desse tronco 
de cone, obtido após a secção. 
 
 
 
Calcule a área e o perímetro da superfície 𝑆. Calcule o 
volume do tronco de cone indicado na figura 1. 
 
3. (Puccamp 2017) Considere dois troncos de pirâmides 
retas exatamente iguais. A base maior é um quadrado de 
lado igual a 2 metros, a base menor um quadrado de lado 
igual a 1 metro, e a distância entre as bases igual a 1 
metro. Um monumento foi construído justapondo-se 
esses dois troncos nas bases menores, apoiando-se em 
um piso plano por meio de uma das bases maiores, 
formando um sólido. Desta maneira, a medida da área da 
superfície exposta do monumento é, em 𝑚2, igual a 
 
a) 4 + 6√5. 
b) 8. 
c) 12√2 + 4. 
d) 
16
3
. 
e) 12√2 − 8. 
 
4.(Famerp 2017) Um desodorante é vendido em duas 
embalagens de tamanhos diferentes, porém de formatos 
matematicamente semelhantes. A figura indica algumas 
das medidas dessas embalagens. 
 
 
 
Se a capacidade da embalagem maior é de 100 𝑚𝐿, a 
capacidade da embalagem menor é de 
 
a) 64,0 𝑚𝐿. 
b) 48,6 𝑚𝐿. 
c) 56,4 𝑚𝐿. 
d) 80,0 𝑚𝐿. 
e) 51,2 𝑚𝐿. 
 
5. (Fgv 2013) No poliedro 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, as arestas 𝐴𝐸, 𝐵𝐹, 
𝐶𝐺 e 𝐷𝐻 são perpendiculares ao plano que contém a face 
retangular 𝐴𝐵𝐶𝐷, conforme indica a figura. Sabe-se ainda 
que 𝐴𝐸 = 1, 𝐴𝐵 = 𝐷𝐻 = 4 e 2𝐴𝐷 = 2𝐵𝐹 = 𝐶𝐺 = 6. 
 
 
 
a) Calcule a distância entre os pontos 𝐴 e 𝐺. 
b) Calcule o volume do poliedro 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻. 
 
6. (Espcex (Aman) 2013) Um recipiente em forma de 
cone circular reto, com raio da base R e altura h, está 
completamente cheio com água e óleo. Sabe-se que a 
superfície de contato entre os líquidos está inicialmente 
na metade da altura do cone. O recipiente dispõe de uma 
torneira que permite escoar os líquidos de seu interior, 
conforme indicado na figura. Se essa torneira for aberta, 
exatamente até o instante em que toda água e nenhum 
óleo escoar, a altura do nível do óleo, medida a partir do 
vértice será 
 
 
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a) 
√7
3
2
 ℎ 
b) 
√7
3
3
 ℎ 
c) 
√12
3
2
 ℎ 
d) 
√23
3
2
 ℎ 
e) 
√23
3
3
 ℎ 
 
7.(Ita 2012) Um cone circular reto de altura 1 cm e geratriz 
2√3
3
 é interceptado por um plano paralelo à sua base, 
sendo determinado, assim, um novo cone. Para que este 
novo cone tenha o mesmo volume de um cubo de aresta 
(
𝜋
243
)
1
3
 cm, é necessário que a distância do plano à base 
do cone original seja, em cm, igual a 
 
a) 
1
4
 
b) 
1
3
 
c) 
1
2
 
d) 
2
3
 
e) 
3
4
 
 
8. (Fgv 2009) A figura A mostra um copo cilíndrico reto 
com diâmetro da base de 10 cm e altura de 20 cm, 
apoiado sobre uma mesa plana e horizontal, 
completamente cheio de água. 
O copo foi inclinado lentamente até sua geratriz formar um 
ângulo de 45° com o plano da mesa, como mostra a figura 
B. 
 
 
 
Então, o volume de água derramada, em cm3, foi: 
 
a) 120𝜋 
b) 125𝜋 
c) 250𝜋 
d) 300𝜋 
e) 500𝜋 
 
9. (Unicamp 2009) Uma caixa d'água tem o formato de 
um tronco de pirâmide de bases quadradas e paralelas, 
como mostra a figura, na qual são apresentadas as 
medidas referentes ao interior da caixa. 
 
a) Qual o volume total da caixa d'água? 
b) Se a caixa contém (
13
6
)m3 de água, a que altura de sua 
base está o nível d'água? 
 
 
10. (Fgvrj 2016) A figura abaixo mostra um tronco de 
pirâmide regular formado por dois quadrados 𝐴𝐵𝐶𝐷 e 
𝐴'𝐵'𝐶'𝐷' de centros 𝑂 e 𝑂' contidos em planos paralelos e 
quatro trapézios congruentes. Os quadrados são as 
bases do tronco e a sua altura é a distância 𝑂𝑂' = ℎ entre 
os planos paralelos. 
 
 
 
Se 𝑆 e 𝑆' são as áreas das bases de um tronco de 
pirâmide de altura ℎ, o volume desse tronco é dado pela 
fórmula 𝑉 =
ℎ
3
(𝑆 + 𝑆' + √𝑆𝑆'). 
São dadas, em decímetros, as medidas das arestas: 
𝐴𝐵 = 12, 𝐴'𝐵' = 6, 𝐴𝐴' = 9. 
Calcule o volume desse poliedro em decímetros cúbicos 
e dê um valor aproximado usando algum dos dados 
abaixo. 
Dados: √2 ≅ 1,41, √3 ≅ 1,73, √5 ≅ 2,24, √7 ≅ 2,65. 
 
 
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11. (Uerj 2016) Um prisma triangular reto 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 foi 
dividido em duas partes por um plano 𝛼, de acordo com a 
imagem abaixo. Os ângulos 𝐵𝐴𝐶 e 𝐸𝐷𝐹 das bases do 
prisma são retos, e o plano 𝛼 contém os pontos 𝐴, 𝐵 𝑒 𝐺, 
sendo que 𝐺 pertence à aresta 𝐶𝐹 e dista 4 𝑐𝑚 de 𝐶. 
 
 
 
Calcule o volume, em 𝑐𝑚3, do maior sólido definido pela 
separação estabelecida no prisma pelo plano 𝛼. 
 
12. (Uerj 2015) Um recipiente com a forma de um cone 
circular reto de eixo vertical recebe água na razão 
constante de 
1 cm3
𝑠.
 A altura do cone mede 24cm, e o raio 
de sua base mede 3cm. 
 
Conforme ilustra a imagem, a altura h do nível da água no 
recipiente varia em função do tempo 𝑡 em que a torneira 
fica aberta. A medida de ℎ corresponde à distância entre 
o vértice do cone e a superfície livre do líquido. 
 
 
 
Admitindo 𝜋 ≅ 3, a equação que relaciona a altura ℎ, em 
centímetros, e o tempo 𝑡, em segundos, é representada 
por: 
 
a) ℎ = 4√𝑡
3
 
b) ℎ = 2√𝑡
3
 
c) ℎ = 2√𝑡 
d) ℎ = 4√𝑡 
 
13. (Uel 2014) Uma empresa que produz embalagens 
plásticas está elaborando um recipiente de formato cônico 
com uma determinada capacidade, conforme o modelo a 
seguir. 
 
 
 
Sabendo que o raio desse recipiente mede 36 cm e que 
sua altura é de 48 cm, a que distância do vértice deve ser 
feita uma marca na superfície lateral do recipiente para 
indicar a metade de sua capacidade? 
Despreze a espessura do material do qual é feito o 
recipiente. 
Apresente os cálculos realizados na resolução desta 
questão. 
 
14. (Unifor 2014) Um copo, em forma de cilindro circular 
reto de raio 5𝑐𝑚 e altura 20𝑐𝑚, tem um nível ℎ de água. O 
ângulo máximo que o fundo do copo forma com a 
horizontal, de modo que a água não transborde é de 60°. 
O nível ℎ da água é de: 
 
a) 20 − 2√3 
b) 20 − 3√3 
c) 20 − 5√3 
d) 20 − 6√3 
e) 20 − 7√3 
 
15. (Fgv 2013) Um cilindro circular reto de base contida 
em um plano 𝛼 foi seccionado por um plano 𝛽, formando 
30° com 𝛼, gerando um tronco de cilindro. Sabe-se que 
𝐵𝐷 e 𝐶𝐸 são, respectivamente, eixo maior da elipse de 
centro P contida em 𝛽, e raio da circunferência de centro 
Q contida em 𝛼. Os pontos A, B, P e D são colineares e 
estão em 𝛽, e os pontos A, C, Q e E são colineares e estão 
em 𝛼. 
 
 
 
Sendo BC = 1 m e 𝐶𝑄 = √3𝑚, o menor caminho pela 
superfície lateral do tronco ligando os pontos C e D mede, 
em metros, 
 
 
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a) 3√1 + 3𝜋2 
b) 3√3𝜋 
c) 3√1 + 𝜋2 
d) √9 + 3𝜋2 
e) √9 + 𝜋2 
 
16. (Esc. Naval 2013) A Marinha do Brasil comprou um 
reservatório para armazenar combustível com o formato 
de um tronco de cone conforme figura abaixo. Qual é a 
capacidade em litros desse reservatório? 
 
 
a) 
40
3
102𝜋 
b) 
19
2
105𝜋 
c) 
49
3
10𝜋 
d) 
49
3
104𝜋 
e) 
19
3
103𝜋Gabarito: 
 
1: [B] 
2: 
112𝜋√2
3
𝑐𝑚3. 
3: [A] 
4: [E] 
5: a) 𝐴𝐺 = √61. b) 42 u.v. 
6: [A] 
7: [D] 
8: [B] 
9: a) 
21
4
 𝑚3 b) 2 𝑚 
10:𝑉 = 667,8 dm3 
11:65 𝑐𝑚3. 
12: [A] 
13:𝑔 = 30√4
3
𝑐𝑚. 
14: [C] 
15: [D] 
16: [D]