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Autor:
Valencia Nuñez Edison Roberto
INVESTIGACIÓN
OPERATIVA
PROGRAMACIÓN LINEAL,
PROBLEMAS RESUELTOS CON
SOLUCIONES DETALLADAS.
Dr. Galo Naranjo López
RECTOR
Dra. Adriana Reinoso Núñez
VICERRECTORA ACADÉMICA
Ing. Jorge León Mantilla
VICERRECTOR ADMINISTRATIVO
TÍTULO DE OBRA: INVESTIGACIÓN OPERATIVA. Programación lineal, problemas
ISBN: 978-9978-978-38-2
Autor:
Valencia Roberto
Diseño y diagramación:
MEGAGRAF
Coautor:
Hidalgo Claudio
Impresión:
MEGAGRAF-Ambato
Primera Edición, 2018
Tiraje de 500 ejemplares
CONSEJO EDITORIAL UNIVERSITARIO
Adriana Reinoso Núñez
PRESIDENTA
Av. Colombia 02-11 y Chile (Cdla. Ingahurco)
Teléfono: 593 (03) 2521-081 / 2822-960
Fax: 593 (03) 2521-084
www.uta.edu.ec
Información editorial: editorial@uta.edu.ec
La edición de este libro se da de conformidad a los literales c) y e) del Art. 6.- Atribuciones, DEL REGLAMENTO
PARA LA ELABORACIÓN Y PUBLICACIÓN DE OBRAS O DOCUMENTOS ACADÉMICOS Y/O CIENTÍFICOS; Y,
PARA EL FUNCIONAMIENTO DEL CONSEJO EDITORIAL UNIVERSITARIO DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA DE
AMBATO. Y en aplicación al numeral 1, del literal a) del Art. 71.- De las obras publicadas, DEL REGLAMENTO
CARRERA Y ESCALAFÓN DEL PROFESOR E INVESTIGADOR DEL SISTEMA DE EDUCACIÓN SUPERIOR.
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO
resueltos con soluciones detalladas.
INVESTIGACIÓN
OPERATIVA
Programación lineal, problemas
resueltos con soluciones detalladas.
Docente de la Universidad Técnica de Ambato a nivel de grado
y posgrado a tiempo completo, en la Facultad de Ingeniería en
Sistemas Electrónica e Industrial, Facultad de Contabilidad y
Auditoría y Facultad de Administración, desde marzo del 2010.
PhD(c). En Estadística, Universidad del Rosario – Argentina.
Máster Universitario en Estadística Aplicada, Universidad de
Granada – España. Magister en Matemáticas, Instituto Politécni-
co Nacional – México. Magister en Tecnología de la Información
y Multimedia Educativa, Universidad Técnica de Ambato -
Ecuador. 20 artículos publicados en bases de datos de alto
impacto, varias ponencias nacionales e internacionales, 5 libros
publicados, con revisores de pares externos y con registro
ISBN, todo esto relacionados con el campo amplio y especifico
del área de Matemáticas y Estadística.
Profesor de maestrías a nivel nacional, en módulos de Estadísti-
ca, Matemáticas, Producción Científica Investigación, Diseño
Experimental, y Tecnologías de la información. Módulos
impartidos a nivel de grado: Estadística Descriptiva, Estadística
Inferencial, Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, Investigación
Operativa, Algebra Lineal, Programación Lineal, Empleo de
Ntics I (Ofimática), Empleo de Ntics II (web 2.0), Comercio
Electrónico, Circuitos Eléctricos, Metrología.
Instructor de cursos nacionales dirigidos a docentes universitarios
y del magisterio de Educación. Instructor de cursos virtuales
internacionales. Docente - investigador en proyectos de investi-
gación, desempeñando como: Coordinador e investigador en
varias áreas multidisciplinarias, investigación especifica: Proce-
samiento y análisis de datos, Minería de datos, Big Data y
Machine Learning todo esto con software, R-Studio, Stata,
Minitab, Sas y Spss. También ha desarrollado proyectos de
vinculación con la colectividad.
Docente Coordinador, guía, tutor y calificador de proyectos de
investigación a nivel de posgrado. Ha participado en la
dirección y codirección de tesis de posgrado y grado.
Coordinador de la Comisión de Seguimiento a Graduados y
Bolsa de Empleo en la Facultad de Contabilidad y Auditoría de
la Universidad Técnica de Ambato desde marzo del 2012 con
resolución FCAUD-CD-549-2012, hasta agosto del 2018.
LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN: ESTADÍSTICA MULTIVARIANTE Y
MODELIZACIÓN MATEMÁTICA.
EDISON ROBERTO
VALENCIA NUÑEZ
email:
edisonrvalencia@uta.edu.ec
cristalizacionrobert@gmail.com
profemaestriarv@gmail.com
Contacto: 0998266715
AMBATO - ECUADOR
Agosto del 2018
CARÁTULA Presentación
I.O.
Roberto Valencia Página 7
INVESTIGACIÓN
OPERATIVA
1 . INVESTIGACIÓN OPERATIVA
2 . PROGRAMACIÓN LINEAL
3 . MODELOS DE TRANSPORTE
4 . MODELOS DE REDES
5 . SOFTWARE DE APLICACIÓN
ROBERTO VALENCIA NUÑEZ
CLAUDIO HIDALGO
AMBATO - ECUADOR
CARÁTULA Presentación
I.O.
Roberto Valencia Página 9
La Investigación de Operaciones (IO) o Investigación
Operativa es una rama de las matemáticas que usa modelos
matemáticos y algoritmos como apoyo para mejorar la
toma de decisiones y determinar la solución óptima. Se
busca que las soluciones obtenidas sean más eficientes (en
tiempo, recursos, beneficios, costos; entre otros) en
comparación a aquellas decisiones adoptadas en forma
intuitiva o sin el apoyo de una herramienta para la toma de
decisiones.
Los modelos de Investigación de Operaciones son
frecuentemente usados para abordar una gran variedad de
problemas de naturaleza real en ingeniería y ciencias
sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones
importantes beneficios y ahorros asociados a su
utilización.
INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN
CARÁTULA Presentación
I.O.
Roberto Valencia Página 10
El propósito de aporte es ayudar al estudiante a
comprender los problemas de programación lineal
(optimización: maximizar ganancias y minimizar costos),
modelos de transporte, y modelos de redes, utilizando
problemas prácticos desarrollados paso a paso de una
manera didáctica, para la compresión del lector, se ha
dividido en cuatro partes; primera: una introducción a la
investigación operativa, en donde se ve específicamente la
manera práctica de la IO y los pasos que se siguen para la
toma de decisiones.
Segunda: programación lineal en donde se detalla de
manera amplia todos los tipos de soluciones por el método
gráfico y método simplex, lo que es maximizar ganancias
y minimizar costos y además problemas de complemento
utilizando el método dual.
Tercera: modelos de transporte en donde se presentan
problemas prácticos detallados con todos los tipos de
soluciones, cuando la oferta es mayor que la demanda o
viceversa y, además se aplica el método de los
multiplicadores para llegar al costo óptimo.
Cuarta: Modelo de redes en donde se hacen problemas
prácticos; se numeran todas las actividades con sus
respectivos tiempos, se realiza la red del proyecto y se
calcula el tiempo más corto por medio de la ruta crítica.
PREFACIO
CAPÍTULO I Investigación Operativa
Indice
Roberto Valencia Página 11
.................................................................................................................................15 CAPÍTULO I
1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA ....................................................................................... 16
1.1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 16
1.2. CONCEPTO DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA .......................................................... 17
1.3. FASES DE ESTUDIO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES ..................................... 20
1.4. PROBLEMAS PROPUESTOS ......................................................................................... 23
................................................................................................................................ 24 CAPÍTULO II
2. PROGRAMACIÓN LINEAL ............................................................................................ 25
2.1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 25
2.2. CARACTERÍSTICAS DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL............................ 25
2.3. CONOCIMIENTOS PREVIOS PARA ENTRAR A LA PROGRAMACIÓN LINEAL. ................. 26
2.3.1. TIPOS DE ECUACIONES LINEALES ........................................................................26
2.3.2. INECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES.................................................. 29
2.3.3. PASOS PARA GRAFICAR LAS INECUACIONES LINEALES ....................................... 31
2.3.4. SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS VARIABLES ........................................... 33
2.3.5. COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE INECUACIONES ................ 35
2.4. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN .................................................................................. 38
2.4.1. PASOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN..................... 39
2.4.2. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN (MAXIMIZACIÓN) ........... 41
2.4.3. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN (MINIMIZACIÓN) ........... 47
2.5. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR EL MÉTODO GRÁFICO .......................................... 50
2.6. TIPOS DE SOLUCIONES POR EL MÉTODO GRÁFICO ..................................................... 51
2.6.1. SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA ACOTADA ................................................................. 52
2.6.2. SOLUCIÓN ÓPTIMA MÚLTIPLE ACOTADA ........................................................... 63
2.6.3. SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA NO ACOTADA ........................................................... 65
2.6.4. SOLUCIÓN ÓPTIMA MÚLTIPLE NO ACOTADA ..................................................... 68
2.6.5. NINGUNA SOLUCIÓN .......................................................................................... 70
2.7. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR EL MÉTODO SIMPLEX ........................................... 74
2.7.1. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (MENOR IGUAL: “≤ “) . 76
2.7.2. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (MAYOR IGUAL: “≥ “) . 87
2.7.3. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (IGUAL: “ = “) ..... 93
2.8. MINIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX ................................................................. 96
CAPÍTULO I Investigación Operativa
Indice
Roberto Valencia Página 12
2.9. DEGENERACIÓN, SOLUCIONES NO ACOTADAS, SOLUCIONES ÓPTIMAS MULTIPLEX EN
EL MÉTODO SIMPLEX. ............................................................................................... 106
2.9.1. DEGENERACIÓN ................................................................................................ 107
2.9.2. SOLUCIONES NO ACOTADAS ............................................................................ 110
2.9.3. SOLUCIONES ÓPTIMAS MÚLTIPLES .................................................................. 111
2.10. DUALIDAD ................................................................................................................. 115
2.11. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD ........................................................................................ 127
2.12. PROBLEMAS PROPUESTOS ........................................................................................ 132
2.12.1. RESOLVER POR EL MÉTODO GRÁFICO .............................................................. 132
2.12.2. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX (MAXIMIZACIÓN) .................................. 140
2.12.3. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX (MINIMIZACIÓN) ................................... 144
2.12.4. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX DEGENERACIÓN .................................... 147
2.12.5. PROBLEMAS DE DUALIDAD ............................................................................... 149
............................................................................................................................. 153 CAPÍTULO III
3. MODELOS DE TRANSPORTE ...................................................................................... 154
3.1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................ 154
3.2. CARACTERÍSTICAS DE UN MODELO DE TRANSPORTE ............................................... 155
3.3. MÉTODOS PARA CALCULAR EL COSTO INICIAL ......................................................... 157
3.3.1. MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE ............................................................... 157
3.3.2. MÉTODO DEL COSTO MÍNIMO ......................................................................... 161
3.3.3. MÉTODO DE VOGEL .......................................................................................... 163
3.4. PROBLEMAS DE TRANSPORTE DESBALANCEADO ..................................................... 167
3.4.1. LA DEMANDA MAYOR QUE LA OFERTA ............................................................ 167
3.4.2. LA OFERTA MAYOR QUE LA DEMANADA .......................................................... 170
3.5. COSTO ÓPTIMO......................................................................................................... 172
3.5.1. MÉTODO DEL BANQUILLO ................................................................................ 172
3.5.2. MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES ............................................................... 173
3.6. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EQUILIBRADOS PARA CALCULAR EL COSTO ÓPTIMO 174
3.7. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DESBALANCEADOS .................................................... 192
3.8. MODELOS DE ASIGNACIÓN ....................................................................................... 209
3.8.1. PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN, MINIMIZACIÓN................................................. 210
3.8.2. PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN MAXIMIZACIÓN ................................................. 217
3.9. PROBLEMAS PROPUESTOS DE TRANSPORTE ............................................................ 223
3.9.1. PROBLEMAS BALANCEADOS ............................................................................. 223
3.9.2. PROBLEMAS DESBALANCEADOS ....................................................................... 231
CAPÍTULO I Investigación Operativa
Indice
Roberto Valencia Página 13
3.9.3. PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN .......................................................................... 236
............................................................................................................................. 241 CAPÍTULO IV
4. MODELOS DE REDES ................................................................................................. 242
4.1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................ 242
4.2. TERMINOLOGÍA DE REDES ........................................................................................ 243
4.3. REDES PERT ((PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIQUE - TÉCNICA DE
EVALUACIÓN Y REVISIÓN DE PROGRAMAS).............................................................. 245
4.3.1. REGLAS PARA CONSTRUIR UN DIAGRAMA PERT .............................................. 245
4.3.2. PROBLEMAS RESUELTOS DE REDES PERT ......................................................... 248
4.4. REDES PERT - CÁLCULO DE TIEMPOS ........................................................................ 252
4.5. MÉTODO CPM (CRITICAL PATH METHOD O MÉTODO DE LA RUTA CRÍTICA) ............ 254
4.6. DIFERENCIAS ENTRE LOS MÉTODOS PERT Y CPM ..................................................... 256
4.7. PROBLEMAS RESUELTOS DE REDES PERT-CPM ......................................................... 257
4.8. PERT – COSTOS ......................................................................................................... 268
4.9. PROBLEMAS PROPUESTOS PERT-CPM ...................................................................... 271
................................................................................................................................. 282 APÉNDICE
5. APÉNDICE A ............................................................................................................... 283
5.1. PROGRAMA QM FOR WINDOWS ...................................................................... 2835.2. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL ............................... 288
5.3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE TRANSPORTE ............................................... 292
5.4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE REDES PERT-CPM ......................................... 295
6. APÉNDICE B ............................................................................................................... 300
6.1. PROGRAMA PHPSIMPLEX EN LA WEB............................................................... 300
7. APÉNDICE C ............................................................................................................... 305
7.1. PROGRAMA GEOGEBRA ................................................................................... 305
........................................................................................................................... 315 BIBLIOGRAFÍA
CAPÍTULO I Investigación Operativa
Conceptualización
Roberto Valencia Página 15
.................................................................................................................................15CAPÍTULO I
1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA ...................................................................................... 16
1.1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 16
1.2. CONCEPTO DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA ......................................................... 17
1.3. FASES DE ESTUDIO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES .................................... 20
1.4. PROBLEMAS PROPUESTOS ........................................................................................ 23
CAPÍTULO I Investigación Operativa
Conceptualización
Roberto Valencia Página 16
CAPÍTULO I
1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA
1.1. INTRODUCCIÓN
1Cuando una persona se enfrenta por vez primera con el término Investigación de Operaciones,
no suele ser conocedora de las características específicas de esta ciencia ni de su objeto de
estudio. Además, la Investigación Operativa puede tener componentes muy diversos
dependiendo de su área de aplicación concreta: Administración de Empresas, Ingeniería u otras.
El objeto de estudio de la Investigación Operativa es la toma científica de decisiones mediante
el empleo de técnicas cuantitativas. Es importante tener esta definición clara y, de esta forma,
nos daremos cuenta de la amplitud de campo de la Investigación Operativa (IO).
Con frecuencia se ha hecho demasiado hincapié en los modelos de Programación Lineal dentro
de la Investigación Operativa, lo cual ha dificultado la distinción entre ambos términos. Lo
cierto es que la Programación Lineal es sólo una parte de la Investigación Operativa aunque, sin
duda, una de las más importantes.
La Investigación Operativa es una ciencia multidisciplinaria que aparece en muchos campos del
ámbito industrial, empresarial y de la administración pública. De hecho, con la aparición de la
Programación Lineal en los años 1940, aparece el sentimiento de dar una cohesión o visión de
conjunto a todas las técnicas anteriormente enunciadas. Esa visión cohesionada, junto con el
concepto de sistema, permite la aparición de la Investigación de Operaciones como ciencia.
Las subdivisiones en las que se establece la IO tienen los siguientes elementos en común:
Son necesarios amplios conocimientos de matemáticas, es decir, del manejo de muchas
técnicas matemáticas, aunque con inmediata aplicación a la realidad.
Es necesario que, al final de cada problema definido, haya una decisión que tomar.
Es preciso definir un modelo que dé cauce a la toma de decisiones.
En el estudio de la Investigación Operativa se puede hacer más énfasis en los aspectos teóricos
de los modelos matemáticos o bien en los aspectos prácticos. Estudiar de forma exclusiva
modelos matemáticos, aun siendo importante para la IO, no constituye el principal ejercicio de
la misma, es necesario verificar la aplicabilidad de los resultados que se deriven de los modelos
matemáticos.
Por ello, en muchos casos, se hace énfasis en los aspectos prácticos de la IO estableciendo
puentes con los diversos ámbitos de la gestión empresarial. En este sentido, y con objeto de
tener una visión precisa para una introducción de las técnicas operativas, se recomienda la
consulta de los capítulos introductorios de alguno de los manuales cuyos autores son:
1 http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Intro_IO.pdf
http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Intro_IO.pdf
CAPÍTULO I Investigación Operativa
Conceptualización
Roberto Valencia Página 17
Anderson, D.R., Sweeney, D. J. y Williams, T.A. (2001) (Capítulos 1 y 7) referentes a
la programación lineal.
Hillier, F.S. y Liebermann, G.J. (2001) (Capítulos 1,2 y 3)
Hillier, F.S., Hillier, M.S. y Liebermann, G.J. (2000) (Capítulos 1 y 2) referentes a la
programación lineal.
También a nivel introductorio se pueden visitar algunas de las siguientes páginas web:
http://www.informs.org/ Sociedad Americana de Investigación Operativa.
http://www.orie.cornell.edu/ Departamento de Investigación Operativa de la
Universidad de Cornell en Nueva York.
http://www.worms.ms.unimelb.edu.au/ Información genérica de la Investigación
Operativa.
En este sentido, hay que destacar que las técnicas de Investigación Operativa tienen un auge
inusitado en los Estados Unidos. Algunos de los motivos de este incremento son:
a) razones históricas.
b) la cultura empresarial americana.
c) la dimensión del mercado americano.
En Europa, cada vez se aplican más estas técnicas pero, con frecuencia, con un acento mucho
más teórico. Entre los países europeos que más aplican las técnicas de la IO se pueden destacar
los siguientes: Gran Bretaña, Holanda, Francia y Alemania. Con el fenómeno de la
globalización económica, cada vez son más las empresas multinacionales que emplean técnicas
de Investigación Operativa para la toma científica de decisiones.
1.2. CONCEPTO DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA
La Investigación Operativa es una disciplina moderna que utiliza modelos matemáticos,
estadísticos y algoritmos para modelar y resolver problemas complejos, determina la solución
óptima y mejora la toma de decisiones. Esta materia también recibe el nombre de
Investigación de Operaciones, Investigación Operacional o Ciencias de la Administración.
(Hillier & Lieberman, 2010).
Actualmente la Investigación Operativa incluye gran cantidad de ramas como la Programación
Lineal, Programación No Lineal, Programación Dinámica, Simulación, Teoría de Colas,
Teoría de Inventarios, Teoría de Grafos, etc.
2Aunque su nacimiento como ciencia se establece durante la Segunda Guerra Mundial y debe
su nombre a las operaciones militares, los verdaderos orígenes de la Investigación
Operativa se remontan mucho más atrás en el tiempo, hasta el siglo XVII (desde el punto de
vista matemático). Incluso se puede considerar que el problema de hacer un uso óptimo de los
recursos disponibles ha existido siempre y con el que la humanidad ha ido tratando a lo largo
de su historia. Sin embargo el crecimiento de esta ciencia se debe, en su mayor parte, al rápido
desarrollo de la informática, que ha posibilitado la resolución de problemas en la práctica y la
2 http://www.phpsimplex.com/investigacion_operativa.htm
http://www.phpsimplex.com/historia.htm
http://www.phpsimplex.com/historia.htm
http://www.phpsimplex.com/investigacion_operativa.htm
CAPÍTULO I Investigación Operativa
Conceptualización
Roberto Valencia Página 18
obtención de soluciones que de otra forma conllevarían un enorme tiempo de cálculohaciéndolos inviables.
Debido al gran éxito obtenido por la Investigación Operativa, según Taha (2011) en el campo
militar, ésta se extendió a otros campos tales como la industria, física, administración,
informática, ingeniería, economía, estadística y probabilidad, ecología, educación, servicio
social (p. 850), siendo hoy en día utilizada prácticamente en todas las áreas imaginables donde
se pretenda mejorar la eficiencia.
3En la siguiente tabla se pueden observar algunos ejemplos de casos reales de uso de la
Investigación Operativa por parte de diferentes organizaciones y las ganancias y/o ahorros
conseguidos a raíz de ello.
CASOS REALES DE USO DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA
Organización Aplicación Año Ahorros anuales
Ministerio
holandés de
Infraestructura y
Medio Ambiente
(The Netherlands )
Desarrollo de la política
nacional de administración
del agua, incluyendo mezcla
de nuevas instalaciones,
procedimientos de
operaciones y costes
1985 $15 millones
Electrobras/CEPA
L Brasil
Asignación óptima de
recursos hidráulicos y
térmicos en el sistema
nacional de generación de
energía
1986 $43 millones
United Airlines
Programación de turnos de
trabajo en oficinas de reservas
y aeropuertos para cumplir
con las necesidades del
cliente a un costo mínimo
1986 $6 millones
CITGO Petroleum
Corp.
Optimización de las
operaciones de refinación y
de la oferta, distribución y
comercialización de
productos
1987 $70 millones
Texaco, Inc.
Optimización de la mezcla de
ingredientes disponibles para
que los combustibles
obtenidos cumplieran con los
requerimientos de ventas y
calidad
1989 $30 millones
IBM Integración de una red 1990 $20 millones +
3 http://www.phpsimplex.com/casos_reales.htm
CAPÍTULO I Investigación Operativa
Conceptualización
Roberto Valencia Página 19
Organización Aplicación Año Ahorros anuales
nacional de inventario de
recambios para mejorar el
apoyo al servicio
$250 millones en
menor inventario
American Airlines
Diseño de un sistema de
estructura de precios,
sobreventas (exceso de
reservas) y coordinación de
vuelos para mejorar los
beneficios
1992
$500 millones más
de ingresos
AT&T
Desarrollo de un sistema
informático en el diseño del
centro de llamadas para guiar
a los clientes del negocio
1993 $750 millones
Delta Airlines
Maximización de ganancias a
partir de la asignación de los
tipos de aviones en 2.500
vuelos nacionales en Estados
Unidos
1994 $100 millones
Procter & Gamble
Rediseño del sistema de
producción y distribución
norteamericano para reducir
costos y mejorar la rapidez de
llegada al mercado
1997 $200 millones
Hewlett-Packard
Rediseño de tamaño y
localización de inventarios de
seguridad en la línea de
producción de impresoras
1998
$280 millones de
ingreso adicional
Coca-Cola
Enterprises (CCE)
La implementación de un
modelo de optimización de
enrutamiento de vehículos
2005
El impacto incluye
un ahorro anual de
$45 millones.
Canadian Pacific
Railway
Por medio de un modelo
matemático que permitió
manejar los horario de
acuerdo con las necesidades
del servicio de entrega de
carga
2007 Reducir sus costos
en $285 millones.
FUENTE: http://www.phpsimplex.com/casos_reales.htm
CAPÍTULO I Investigación Operativa
Conceptualización
Roberto Valencia Página 20
1.3. FASES DE ESTUDIO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
1. Definición del problema.- Descripción de los objetivos del sistema, es decir, qué se
desea optimizar; identificar las variables implicadas, ya sean controlables o no;
determinar las restricciones del sistema. También hay que tener en cuenta las
alternativas posibles de decisión y las restricciones para producir una solución
adecuada.
2. Construcción del modelo.- El investigador de operaciones debe decidir el
modelo a utilizar para representar el sistema. Debe ser un modelo tal que
relacione a las variables de decisión con los parámetros y restricciones del
sistema. Los parámetros (o cantidades conocidas) se pueden obtener ya sea a
partir de datos pasados, o ser estimados por medio de algún método estadístico.
Es recomendable determinar si el modelo es probabilístico o determinístico. El
modelo puede ser matemático, de simulación o heurístico, dependiendo de la
complejidad de los cálculos matemáticos que se requieran.
La construcción del modelo matemático de manera general se puede resumir en cuatro
pasos:
2.1. Identificar las variables de decisión
Un paso crucial en la construcción de un modelo matemático es determinar aquellos factores
sobre los que el decidor tiene control, que normalmente se llaman variables de decisión del
problema. Hay que distinguir entre lo que está a nuestro alcance cambiar (por ejemplo, la
cantidad de artículos a producir de cada producto o el material a utilizar) de aquello que no
podemos modificar (como el número de horas de trabajo disponibles o fechas límite a cumplir),
que normalmente denominaremos parámetros. Según el tipo de problema, lo que a veces es una
variable de decisión en otros casos puede ser un parámetro o viceversa.
Para identificar las variables de decisión, puede ser útil hacerse las siguientes preguntas: ¿qué es
lo que hay que decidir? o ¿sobre qué elementos tenemos control? o ¿cuál sería una respuesta
válida para este caso?
Definición del
problema
Construcción del
modelo
Solución del
modelo
Validación del
modelo
Implantación de
la solución
CAPÍTULO I Investigación Operativa
Conceptualización
Roberto Valencia Página 21
2.2. Identificar la función objetivo
El objetivo de la mayoría de los estudios de IO, y el de todos los modelos de optimización, es
encontrar el modo de optimizar alguna medida respetando las restricciones existentes. Aunque
una compañía quizás esté satisfecha con una mejora sustancial de la situación actual,
normalmente el objetivo es buscar el valor óptimo para cierta función.
A la hora de encontrar la función objetivo, la pregunta que podemos hacemos es ¿qué es lo que
queremos conseguir? o si yo fuera el jefe de esta empresa, ¿qué me interesaría más?
2.3. Identificar las restricciones
En la búsqueda de la solución óptima, normalmente existen ciertas restricciones (prohibiciones,
requisitos) que acorta nuestra decisión. Ejemplos de estas condiciones frecuentes son: los
recursos disponibles (trabajadores, máquinas, material, etc.) son limitados; fechas límite
impuestas por los contratos; obstáculos impuestos por la naturaleza del problema (por ejemplo:
el flujo de entrada a un nodo debe ser igual al flujo de salida).
2.4. Traducir los elementos anteriores a un modelo matemático
Una vez identificados los elementos básicos hay que expresarlos matemáticamente. Siguiendo el
orden de pensamiento de los autores Hiller & Liberman (2010) que explica que, se lo hará
dependiendo de la naturaleza de las funciones matemáticas, el modelo será de un tipo u otro; por
ejemplo, si todas ellas son lineales, el problema será de Programación Lineal; si existe más de
una función objetivo, será de programación multicriterio.
3. Solución del modelo.- Una vez que se tiene el modelo, se procede a resolver el
problema aplicando las técnicas matemáticas del método gráfico o simplex, de esta
manera llegamos a la solución óptima del problema. Debemos tener en cuenta que las
soluciones que se obtienen en este punto del proceso, son matemáticos y debemos
interpretarlas en el mundo real. Además, para la solución del modelo, se deben realizar
análisis de sensibilidad, es decir, ver cómo se comporta el modelo a cambios en las
especificaciones y parámetros del sistema. Esto se hace, debido a que los parámetros nonecesariamente son precisos y las restricciones pueden estar equivocadas.
4. La validación del modelo.- La validación de un modelo requiere que se determine si
dicho modelo puede predecir con certeza el comportamiento del sistema. Un método
común para probar la validez del modelo, es someterlo a datos pasados disponibles del
sistema actual y observar si reproduce las situaciones pasadas del sistema. Pero como
no hay seguridad de que el comportamiento futuro del sistema continúe replicando el
comportamiento pasado, entonces siempre debemos estar atentos de cambios posibles
del sistema con el tiempo, para poder ajustar adecuadamente el modelo.
5. La Implantación De La Solución.- Consiste en traducir los resultados del modelo
validado en instrucciones para el usuario o los ejecutivos responsables que serán los que
tomen las decisiones.4
4http://invdeop.wordpress.com/2011/04/07/fases-de-la-investigacion-de-operaciones/
http://invdeop.wordpress.com/2011/04/07/fases-de-la-investigacion-de-operaciones/
CAPÍTULO I Investigación Operativa
Conceptualización
Roberto Valencia Página 22
La comunicación efectiva de los resultados de un estudio es esencial para el éxito del mismo. La
utilidad del análisis será nula si las personas que toman las decisiones no aprecian totalmente su
valor. Los decisores deben comprender completamente el enfoque del analista, las hipótesis y
simplificaciones que se han hecho, y la lógica en la recomendación. Las presentaciones orales
(utilizando transparencias, videos o software especializado) y los informes son formas
tradicionales para la comunicación.
APLICACIÓN
Interpretar la solución. Aplicar la solución.
SOLUCIÓN
Resolver el problema matemático
FORMULACIÓN
Formular el problema real
Supuestos y variables del
problema
Formular el modelo
matematico
CAPÍTULO I Investigación Operativa
Problemas Propuestos
Roberto Valencia Página 23
1.4. PROBLEMAS PROPUESTOS
a) Defina ¿qué es la Investigación Operativa?
b) ¿Cuáles son los elementos en común de la Investigación Operativa?
c) ¿Cuáles son los motivos del auge de la Investigación Operativa?
d) ¿En qué circunstancia y país nace la Investigación Operativa?
e) ¿Qué ramas incluye la Investigación Operativa?
f) Citar siete ejemplos de casos reales de la Investigación Operativa.
g) ¿Cuáles son las fases de estudio de la Investigación Operativa?
h) Describa la solución del modelo.
i) Realizar un resumen del Capitulo1 en SmartArt.
j) Realizar una presentación con ideas primarias, secundarias, terciarias en la herramienta
de drive – presentaciones de Google
Roberto Valencia Página 24
CAPÍTULO II………. .............................................................................................................................................................................
2. PROGRAMACIÓN LINEAL ...................................................................................................................................................................
2.1. INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................................................................................
2.2. CARACTERÍSTICAS DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL .........................................................................................
2.3. CONOCIMIENTOS PREVIOS PARA ENTRAR A LA PROGRAMACIÓN LINEAL. ............................................................................. 2
2.3.1. TIPOS DE ECUACIONES LINEALES ............................................................................................................................................... 2
2.3.2. INECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES ......................................................................................................................... 2
2.3.3. PASOS PARA GRAFICAR LAS INECUACIONES LINEALES ...............................................................................................................
2.3.4. SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS VARIABLES ...................................................................................................................
2.3.5. COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE INECUACIONES ........................................................................................
2.4. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN .............................................................................................................................................................. 3
2.4.1. PASOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN ............................................................................................ 3
2.4.2. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN (MAXIMIZACIÓN) ...................................................................................
2.4.3. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN (MINIMIZACIÓN).................................................................................... 4
2.5. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR EL MÉTODO GRÁFICO ..........................................................................................................
2.6. TIPOS DE SOLUCIONES POR EL MÉTODO GRÁFICO ............................................................................................................................................
2.6.1. SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA ACOTADA ........................................................................................................................................
2.6.2. SOLUCIÓN ÓPTIMA MÚLTIPLE ACOTADA ...................................................................................................................................
2.6.3. SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA NO ACOTADA ..................................................................................................................................
2.6.4. SOLUCIÓN ÓPTIMA MÚLTIPLE NO ACOTADA ............................................................................................................................. 6
2.6.5. NINGUNA SOLUCIÓN .................................................................................................................................................................
2.7. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR EL MÉTODO SIMPLEX ..........................................................................................................
2.7.1. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (MENOR IGUAL: “≤ “) ................................................. 7
2.7.2. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (MAYOR IGUAL: “≥ “) ................................................. 8
2.7.3. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (IGUAL: “ = “) ..............................................................
2.8. MINIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX .................................................................................................................................... 9
2.9. DEGENERACIÓN, SOLUCIONES NO ACOTADAS, SOLUCIONES ÓPTIMAS MULTIPLEX EN EL MÉTODO SIMPLEX. .................................... 10
2.9.1. DEGENERACIÓN ....................................................................................................................................................................... 10
2.9.2. SOLUCIONES NO ACOTADAS .................................................................................................................................................... 1
2.9.3. SOLUCIONES ÓPTIMAS MÚLTIPLES .......................................................................................................................................... 1
2.10. DUALIDAD .............................................................................................................................................................................................1
2.11. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.................................................................................................................................................................... 12
2.12. PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................................................................................................... 1
2.12.1. RESOLVER POR EL MÉTODO GRÁFICO ....................................................................................................................... 1
2.12.2. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX (MAXIMIZACIÓN) ..............................................................................................
2.12.3. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX (MINIMIZACIÓN) ............................................................................................... 1
2.12.4. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX DEGENERACIÓN ................................................................................................ 14
2.12.5. PROBLEMAS DE DUALIDAD ...................................................................................................................................... 14
CAPÍTULO II Programación Lineal
Conocimientos previos
Roberto Valencia Página 25
CAPÍTULO II
2. PROGRAMACIÓN LINEAL
2.1. INTRODUCCIÓN
5En cualquier empresa, muchas de las decisiones que se toman, tienen por objeto hacer el mejor
uso posible (optimización) de sus recursos. Por recursos de una empresa entendemos la
maquinaria que ésta posea, sus trabajadores, capital financiero, instalaciones, y las materias
primas de que disponga. Tales recursos pueden ser usados para fabricar productos
(electrodomésticos, muebles, comida, ropa, etc.) o servicios (horarios de producción, planes de
marketing y publicidad, decisiones financieras, etc.). La Programación Lineal (PL) es una
técnica matemática diseñada para ayudar a los directivos en la planificación y toma de
decisiones referentes a la asignación de los recursos.
Como ejemplos de problemas donde la PL desarrolla un papel fundamental, podríamos citar
según Dorfman, Samuelson, & Solow (1962) que:
1. A partir de los recursos disponibles, determinar las unidades a producir de cada bien de
forma que se maximice el beneficio de la empresa.
2. Elegir materias primas en procesos de alimentación, para obtener mezclas con unas
determinadas propiedades al mínimo coste.
3. Determinar el sistema de distribución que minimice el coste total de transporte, desde
diversos almacenes a varios puntos de distribución.
Desarrollar un plan de producción que, satisfaciendo las demandas futuras de los productos de
una empresa, minimice al mismo tiempo los costes totales de producción e inventario.
2.2. CARACTERÍSTICAS DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Para (Elvis, 2008) las técnicas de PL han sido ampliamente utilizadas en ámbitos tan diferentes
como el militar, industrial, financiero, de marketing, e incluso agrícola. No obstante de tal
diversidad de aplicaciones, todos los problemas de PL tienen cuatro propiedades comunes:
1. Pretenden optimizar (maximizar o minimizar) alguna cantidad (función objetivo). Así,
por ejemplo, el principal objetivo de un banquero sería maximizar beneficios, mientras
que el principal objetivo de una empresa transportista podría ser minimizar los costes de
los envíos.
5 http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Intro_IO.pdf
http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Intro_IO.pdf
CAPÍTULO II Programación Lineal
Conocimientos previos
Roberto Valencia Página 26
2. Habrá que tener en cuenta las restricciones que limitan el grado en el que es posible
modificar las variables que afectan a nuestra función objetivo. Así, a la hora de decidir
cuántas unidades de cada bien se han de producir, deberemos considerar, entre otras, las
limitaciones de personal y maquinaria de que disponemos.
3. El problema debe presentar distintas alternativas posibles: si una compañía produce
cuatro bienes diferentes, la dirección puede usar PL para determinar las cantidades de
recursos que asigna a la producción de cada uno de ellos (podría optar por hacer una
asignación ponderada, dedicar todos los recursos a la producción de un único bien
abandonando la producción del resto, etc.).
4. En PL, la función objetivo debe ser una función lineal, y las restricciones deben ser
expresables como ecuaciones o inecuaciones lineales.
2.3. CONOCIMIENTOS PREVIOS PARA ENTRAR A LA PROGRAMACIÓN
LINEAL.
Antes de entrar al estudio de la PL, vamos a revisar las ecuaciones lineales, inecuaciones
lineales con dos variables, y sistemas de inecuaciones con dos variables.
2.3.1. TIPOS DE ECUACIONES LINEALES
Según (Murrias, 2002). La ecuación general de la recta es: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, en donde vamos
analizar específicamente la pendiente o inclinación de la recta (m), ya que en base a esto
graficaremos las inecuaciones lineales con dos variables. Vamos, a analizar los cuatro casos de
la inclinación de la recta que son:
Caso 1.- La pendiente es positiva, y forma un ángulo agudo menor a 900 desde el origen con el
eje positivo de la x.
Ecuación general: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃
Dónde:
y= Variable Dependiente
x= Variable Independiente
m= Es la pendiente de la recta
ECUACIÓN DE LA
RECTA
Caso1:
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃
Caso 2:
𝒚 = −𝒎𝒙 + 𝒃
Caso 3:
𝒚 = ±𝒃
Caso 4:
𝒙 = ±𝒂
CAPÍTULO II Programación Lineal
Conocimientos previos
Roberto Valencia Página 27
b= Es el punto que corta a la recta en el eje y
Ejemplos, graficar las siguientes ecuaciones:
1. 𝑦 = 𝑥 + 2
x y
0
1
2
3
2. 𝒚 = 𝒙
Caso 2.- La pendiente es negativa, y forma un ángulo agudo obtuso mayor a 900 desde el
origen con el eje negativo de la x.
Ecuación: 𝒚 = −𝒎𝒙 + 𝒃
3. 𝒚 = −𝒙 + 𝟒
X Y
0
1
4
3
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
Recta que pasa por el origen:
Pasa cortando por el origen en el
punto (0,0)
La pendiente es 1, el ángulo es
450, b=0
El ángulo de la pendiente positiva
está en el intervalo de: 𝟎𝐨;𝟗𝟎𝟎
CAPÍTULO II Programación Lineal
Conocimientos previos
Roberto Valencia Página 28
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
4. 𝒚 = −𝒙
Caso 3.- La pendiente es cero, y forma un ángulo de cero grados, la recta es paralela al eje x.
Ecuación: 𝒚 = 𝒃
5. 𝒚 = 𝟑
6. 𝒚 = −𝟐
Caso 4.- La pendiente es infinita, porque el momento de calcular la pendiente con la fórmula
de dos puntos: 𝒎 =
𝒚𝟐−𝒚𝟏
𝒙𝟐−𝒙𝟏
tenemos una división para cero, eso dentro de límites es infinito (∞)
y forma un ángulo de noventa grados con respecto al eje x, la recta es paralela al eje y.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Recta que pasa por el
origen:
Pasa cortando por el
origen en el punto (0,0)
La pendiente es -1, el
ángulo es 1350, b=0
El ángulo de la pendiente
negativa está en el
intervalo de: 𝟗𝟎𝐨; 𝟏𝟖𝟎𝟎
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
2.5
3.0
3.5
4.0
x
y Nota:
La pendiente es
cero, y también el
ángulo de
inclinación es cero,
por lo que la recta
es paralela al eje x.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Conocimientos previos
Roberto Valencia Página 29
Ecuación: 𝒙 = 𝒂
7. 𝒙 = 𝟒
8. 𝒙 = −𝟏
2.3.2. INECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES
Según (Grossman S., 2008). Una inecuación lineal con dos incógnitas es cualquier desigualdad
que, directamente o mediante transformaciones de equivalencia, se pueden expresar de las
formassiguientes:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 > 0; 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 < 0; 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 ≥ 0; 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 ≤ 0
En donde: a, b, c, pertenecen a los reales. La solución general está formada por el conjunto de
todos los pares (𝑥1, 𝑦1) que verifican la inecuación.
Como estudiamos en el tema anterior, la ecuación de la recta, cuando intercambiamos el signo
de desigualdad por el signo igual, obtenemos una ecuación que viene a ser la frontera de la
solución de la desigualdad.
Para resolver estas inecuaciones, hay que representar gráficamente en el plano la recta dada por
la correspondiente ecuación lineal y marcar una de las dos regiones en que dicha recta divide al
plano.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
𝒎 = ∞
á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 = 𝟗𝟎𝒐
Recuerda:
La pendiente es infinita, y el ángulo
de inclinación es 90o, por lo que la
recta es paralela al eje y.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Conocimientos previos
Roberto Valencia Página 30
Ejemplo: (Vera, 2005).Si queremos resolver la inecuación: 4𝑦 + 2𝑥 + 8 ≤ 0, representamos
en primer lugar la recta: 4𝑦 + 2𝑥 + 8 ≤ 0, en la que intercambiamos el signo de desigualdad
por el signo igual. Para ello despejamos la variable y, y damos dos puntos que corten a los ejes
x, y como se observa en la tabla siguiente:
𝟒𝒚 + 𝟐𝒙 + 𝟖 = 𝟎, a toda la ecuación divido para (2)
2𝑦 − 𝑥 − 4 = 0
𝑦 =
−𝑥−4
2
X Y
0 -2
-4 0
La recta divide al plano en dos partes, una de las cuales es la solución de la inecuación. Para
saber que parte es la solución hay dos procedimientos:
Método # 1.- Se despeja la variable (y), de la inecuación, teniendo cuidado de que si en una
inecuación multiplicamos o dividimos por un número negativo, la desigualdad cambia de
sentido.
En este caso tenemos que:
𝑦 ≤
−𝑥 − 4
2
Observando la gráfica vemos que la recta divide al eje de ordenadas (y) en dos partes. La
solución de la inecuación será aquella parte que está por debajo de la recta en el eje (y), es
decir, la parte inferior, por lo que al despejar la ordenada, tenemos el sentido de desigualdad
(≤), quiere decir que se pinta la solución por debajo de la recta, cuando tengamos el sentido de
desigualdad (≥), la solución se pinta por encima de la recta con respecto del eje (y).
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Recuerda:
Se pinta el semiplano
inferior, desde la recta que
corta con el eje y, por lo que
al despejar la inecuación el
sentido es: ≤
CAPÍTULO II Programación Lineal
Conocimientos previos
Roberto Valencia Página 31
Método # 2.- Se toma un punto cualquiera el más fácil, que será siempre el punto (0,0) que no
pertenezca a la recta. Para que dicho punto sea solución, se tendrá que cumplir la desigualdad,
por lo que sustituimos en la inecuación inicial el (0,0):
4𝑦 + 2𝑥 + 8 ≤ 0 4(0) + 2(0) + 8 ≤ 0, es decir: 8 ≤ 0
Como esta última desigualdad es evidentemente falsa, concluimos que el semiplano que
contiene al (0,0) No es la solución, por lo que se pinta el semiplano inferior, como habíamos
obtenido antes.
Si al graficar otra inecuación por este segundo método, al reemplazar en la inecuación inicial el
punto (0,0), la desigualdad es verdadera, se pinta el semiplano que contiene dicho punto, y esa
es la solución.
Cualquiera de los procedimientos es válido si se realiza correctamente.
2.3.3. PASOS PARA GRAFICAR LAS INECUACIONES LINEALES
Para graficar una inecuación lineal seguiremos los pasos expuestos por el autor Barsov (1972)
que sugiere:
1. Reemplazar el signo de desigualdad por el signo igual y dividir el plano cartesiano
tomando como frontera la recta que representa la ecuación obtenida.
2. Tomar puntos de prueba en cada región y verificar si satisfacen la desigualdad, por
cualquiera de los dos métodos.
3. Graficar la solución, teniendo en cuenta que si la desigualdad es ≥ o ≤ la frontera está
incluida en la solución, en caso contrario la frontera no está incluida, y se grafica con
líneas entrecortadas.
9. Ejemplos: graficar la inecuación: 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟓 ≤ 𝟎
2𝑥 − 3𝑦 + 5 ≤ 0
−3𝑦 ≤ −2𝑥 − 5, a esta inecuación multiplicamos por (-1)
3𝑦 ≥ 2𝑥 + 5
𝑦 ≥
2𝑥 + 5
3
x y
0 5/3
-5/2 0
CAPÍTULO II Programación Lineal
Conocimientos previos
Roberto Valencia Página 32
10. Graficar: 𝟓𝒙 + 𝟒𝒚 ≥ 𝟎
𝑦 ≥
−5𝑥
4
x y
0 0
4 -5
11. Graficar la inecuación: 𝒙 + 𝒚 + 𝟓 < 𝟎
𝑥 + 𝑦 + 5 < 0
𝑦 < −𝑥 − 5
x y
0 -5
-5 0
Recuerda:
La frontera de la
desigualdad pasa
por el origen, el
primer punto es
(0,0), el otro se
escoge cualquiera
de preferencia
entero.
Recuerda:
Se pinta el semiplano superior, desde la recta que corta con el eje
y, por lo que al despejar la inecuación el sentido es: ≥
Nota:
No te olvides que la inecuación inicial fue: ≤, y al multiplicar por
(-1), cambia el sentido de desigualdad.
Recuerda:
La inecuación no tiene igual, en
consecuencia, la recta que es la
frontera no es solución, y la
línea va entrecortada.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Conocimientos previos
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Recuerda:
Los valores en x mayores que
dos, y menores o iguales que
cuatro son: 2.1, 3,4
Intervalo: (2; 4
12. Graficar: 𝒚 ≥ 𝟐
13. Graficar: 𝟐 < 𝒙 ≤ 𝟒
2.3.4. SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS VARIABLES
Se llama sistema de n inecuaciones lineales con dos incógnitas al conjunto formado por n de
estas inecuaciones, es decir:
{
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1 < 0
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2 ≥ 0
…… . .
𝑎𝑛𝑥 + 𝑏𝑛𝑦 + 𝑐𝑛 ≤ 0
Los signos de desigualdad, pueden ser: ≤; ≥; >; <
Obtener la solución de un sistema de este tipo supone obtener el semiplano solución de cada
una de las inecuaciones que lo forman y averiguar la intersección de todos ellos.
Recuerda:
Los valores en (y) mayores
o iguales que dos son:
2,3,4,5,…
Intervalo: 2;∞)
CAPÍTULO II Programación Lineal
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La solución de un sistema de n inecuaciones lineales con dos incógnitas es siempre un conjunto
convexo.
Se llama conjunto convexo a una región del plano tal; que para dos puntos cualesquiera de la
misma, el segmento que los une está íntegramente contenido en dicha región. Como casos
particulares, un conjunto convexo puede quedar reducido a una recta, a una semirrecta, a un
segmento, a un punto o al conjunto vacío.
Los segmentos que delimitan un conjunto convexo se llaman bordes o lados y, la intersección de
ellos, vértices. Los vértices y puntos de los lados que pertenezcan a la solución del sistema de
inecuaciones se denominan puntos extremos. Un conjunto convexo puede ser cerrado o abierto
respecto a cada lado o vértice según se incluya éste o no en la solución. Puede ser acotado o no
acotado, según su área sea o no finita.
14. Graficar el siguiente sistema de inecuaciones:
{
2𝑥 + 3𝑦 ≥ −3 (𝟏)
2𝑥 − 𝑦 − 9 ≤ 0 (𝟐)
2𝑥 − 5𝑦 − 5 ≥ 0 (𝟑)
Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación # 3
2𝑥 + 3𝑦 ≥ −3
3𝑦 ≥ −3 − 2𝑥
𝑦 ≥ −
2𝑥
3
− 1
2𝑥 − 𝑦 − 9 ≤ 0
−𝑦 ≤ 9 − 2𝑥 ∗ (−1)
𝑦 ≥ 2𝑥 − 9
2𝑥 − 5𝑦 − 5 ≥ 0
−5𝑦 ≥ 5 − 2𝑥 ∗ (−1)
5𝑦 ≤ 2𝑥 − 5
𝑦 ≤
2𝑥
5
− 1
Pasos para graficar el sistema de inecuaciones:
Paso # 1.- Se numera las restricciones
Paso # 2.- Se despeja la variable y de cada
inecuación.
Paso # 3.- Se realiza la tabla de valores con dos
puntos, cuando x= 0; cuando y= 0; además cuando la
recta pasa por el origen se toma cualquier valor.
Paso # 4.- Se grafica cada una de las inecuaciones
dependiendo del sentido de desigualdad(≤;≥),
obtenida en el paso # 2.
Paso # 5.- Se pinta la intersección de todas las
inecuaciones. Dicha región pintada es la solución del
sistema. De no intersecarse una de ellas entonces el
sistema no tiene solución.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Conocimientos previos
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Tabla de valores
x y
0 -1
-3/2 0
Tabla de valores
x y
0 -9
9/2 0
Tabla de valores
x Y
0 -1
5/2 0
/
2.3.5. COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE
INECUACIONES
Para comprobar la zona sombreada o la intersección de todas las inecuaciones, escogemos un
punto cualquiera que esté dentro de la zona pintada, y remplazamos en cada una de las
inecuaciones, dicho punto debe satisfacer todas las inecuaciones. Ejemplo del ejercicio # 14.
{
2𝑥 + 3𝑦 ≥ −3
2𝑥 − 𝑦 − 9 ≤ 0
2𝑥 − 5𝑦 − 5 ≥ 0
Observamos la solución de la gráfica pintada y seleccionamos el P (2,-1).
Reemplazamos el punto P (2,-1) en el sistema de inecuaciones iniciales.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Conocimientos previos
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Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación # 3
2𝑥 + 3𝑦 ≥ −3
2(2) + 3(−1) ≥ −3
4 − 3 ≥ 0
1 ≥ −3
Verdadero
2𝑥 − 𝑦 − 9 ≤ 0
2(2) − (−1) − 9 ≤ 0
4 + 1 − 9 ≤ 0
−4 ≤ 0
Verdadero
2𝑥 − 5𝑦 − 5 ≥ 0
2(2) − 5(−1) − 5 ≥ 0
4 + 5 − 5 ≥ 0
4 ≥ 0
Verdadero
15. Graficar el siguiente sistema de inecuaciones:
{
𝑥 ≥ 0 (𝟏)
𝑦 ≥ 0 (𝟐)
𝑦 + 𝑥 − 2 ≤ 0 (𝟑)
Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación # 3
𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 0
𝑦 + 𝑥 − 2 ≤ 0
𝑦 ≤ −𝑥 + 2
Interpretación de la recta
La recta es paralela al eje y
𝒙 = 𝟎
Solución: 𝟎;+∞)
Interpretación de la recta
La recta es paralela al eje x
𝒚 = 𝟎
Solución: 𝟎;+∞)
Tabla de valores
x y
0 2
2 0
Recuerda:
Las inecuaciones 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0; quiere
decir que la solución es el primer cuadrante,
y todo dependerá de las otras inecuaciones.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Conocimientos previos
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16. Graficar el siguiente sistema de inecuaciones:
{
𝑥 + 𝑦 > 1 (𝟏)
3𝑥 − 5 ≤ 𝑦 (𝟐)
𝑦 < 2𝑥 (𝟑)
Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación # 3
𝑥 + 𝑦 > 1
𝑦 > −𝑥 + 1
3𝑥 − 5 ≤ 𝑦
𝑦 ≥ 3𝑥 − 5
𝑦 < 2𝑥
Recta que pasa por el origen
Tabla de valores
x y
0 1
1 0
Tabla de valores
x y
0 -5
5/3 0
Tabla de valores
x Y
0 0
1 2
17. Graficar el siguiente sistema de inecuaciones:
{
1 ≤ 𝑦 ≤ 4 (𝟏)
2 ≤ 𝑥 ≤ 4 (𝟐)
𝑦 ≥ 𝑥 (𝟑)
Recuerda:
Las inecuaciones número
uno y tres, las rectas son
entrecortadas porque no
contiene el signo igual.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Conocimientos previos
Roberto Valencia Página 38
Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación # 3
1 ≤ 𝑦 ≤ 4 2 ≤ 𝑥 ≤ 4 𝑦 ≥ 𝑥
Recta que pasa por el
origen
Interpretación de la
recta
La recta es paralela al
eje x
𝒚 = 𝟏 ; 𝒚 = 𝟒
Solución: 𝟏; 𝟒
Interpretación de la
recta
La recta es paralela al
eje y
𝒙 = 𝟐; 𝒙 = 𝟒
Solución: 𝟐; 𝟒
Tabla de valores
x Y
0 0
2 2
2.4. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Optimización.- Para tener significado, esto debería escribirse en una expresión matemática que
contenga una o más variables, cuyos valores deben determinarse. La pregunta que se formula,
en términos generales, es ¿qué valores deberían tener estas variables para que la expresión
matemática tenga el mayor valor numérico posible (maximización) o el menor valor numérico
posible (minimización)?. A este proceso general de maximización o minimización se lo
denomina optimización.
La optimización, también denominada programación matemática, sirve para encontrar la
respuesta que proporciona el mejor resultado, la que logra mayores ganancias, mayor
producción o felicidad o la que logra el menor costo, desperdicio o malestar. Con frecuencia,
estos problemas implican utilizar de la manera más eficiente los recursos, tales como dinero,
tiempo, maquinaria, personal, existencias, etc.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Conocimientos previos
Roberto Valencia Página 39
Los problemas de optimización generalmente se clasifican en lineales y no lineales, según las
relaciones del problema sean lineales con respecto a las variables. Existe una serie de paquetes
de software para resolver problemas de optimización. Por ejemplo, QM for windows o
WinQSB, resuelven modelos de programas lineales6.
2.4.1. PASOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
1. Definición de variables: Como primer paso para modelar ordenadamente un problema
de optimización, debemos distinguir qué variables son aquellas sobre las que vamos a
tomar decisiones en el problema, siendo cuidadosos y definidas en forma concreta.
Estas variables por lo general las podemos identificar en la pregunta del problema y
generalmente se designan con letras sub-indizadas. Cada variable debe presentar una
cantidad que corresponda a una misma unidad de medida (utilidad, horas, artículos,
precios, entre otros).
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … 𝑥𝑛= Variables del problema.
2. Determinación de la función objetiva: Es la ecuación matemática que representa el
objeto planteado, la misma que se expresa mediante una función lineal de la
combinación de las variables discretas en la pregunta del problema; la que puede
generar un mayor cuando se trata de maximizar beneficios y en un menor valor cuando
se trata de minimizar costos.
𝑍(max 𝑜 min ) = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + 𝑐3𝑥3 + ⋯+ 𝑐𝑛𝑥𝑛
En donde:
𝑧(max 𝑜 min ) =Función Objetiva del problema (F.O.)
𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, 𝑐𝑛 = Coeficientes unitarios que acompañan a las variables en la F.O.
(beneficios, costos, precios, entre otros)
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥𝑛= Variables del problema, donde se quiere llegar.
3. Planteamiento de las restricciones: Representan las condiciones y/o recursos a las que
está expuesto el problema y se muestran por medio de desigualdad de tipo lineal, ya
sean estas: físicas, económicas, técnicas, entre otras.
𝐴11𝑥1 + 𝐴12𝑥2 + 𝐴13𝑥3 + … + 𝐴1𝑛𝑥𝑛 𝑇1 𝐵1
𝐴21𝑥1 + 𝐴22𝑥2 + 𝐴23𝑥3 + … + 𝐴2𝑛𝑥𝑛 𝑇2 𝐵2
𝐴31𝑥1 + 𝐴32𝑥2 + 𝐴33𝑥3 + … + 𝐴3𝑛𝑥𝑛 𝑇3 𝐵3
: : : : : : :
𝐴𝑚1𝑥1 + 𝐴𝑚2𝑥2 + 𝐴𝑚3𝑥3 + … + 𝐴𝑚𝑛𝑥𝑛 𝑇𝑛 𝐵𝑛
6 http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640s/spanishd.htm#rop
CAPÍTULO II Programación Lineal
Roberto Valencia Página 40
En donde:
𝐴𝑖𝑗= Coeficiente que acompaña a las variables en las restricciones.
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥𝑛= Variables de decisión del problema
𝑇1, 𝑇2, 𝑇3, 𝑇𝑛= Signo de restricción del problema (≥, ≤, =)
𝐵1, 𝐵2, 𝐵3, 𝐵𝑛= Disponibilidad del problema
Para la asignación de los signos, con respecto a la disponibilidad, no pueden tener una
desigualdad estricta con los signos ≥ o ≤, deben ser con los signos ≥, ≤ o =. Con frecuencia las
restricciones suelen ir con signo ≤ cuando se trata de maximización y con el signo ≥ cuando se
trata de minimización; además no es una regla general, se pueden identificar los signos de las
restricciones mediante la terminología en los enunciados tales como:
Para ≥: “mayor igual a”, “al menos”, “por lo menos”, “como mínimo”, “un mínimo
de”, otros similares.
Para ≤: “menor igual a”, “a lo mucho”, “cuando mucho”, “como máximo”, “no más
de”, otros similares.
Para =: “igual a”, “únicamente”, “un total de”, otros similares.
Para el planteamiento de las restricciones se puede hacer uso de una tabla (opcional) facilitará
la identificación de los recursos, donde las variables de las restriccionesdeben estar siempre en
las mismas unidades; dicho de otra forma más simple, si un recurso está dado por horas, los
espacios correspondientes a las variables tendrán que estar en horas, y por ende la
disponibilidad también deberá estar en horas, caso contrario se tendrá que realizar la conversión
de unidades.
RECURSOS VARIABLES DISPONIBILIDAD
Mano de
obra (horas)
𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛
Horas
horas horas horas horas
4. Condiciones de no negatividad: Son restricciones adicionales que nos indican que las
soluciones obtenidas deben ser siempre positivas, es decir, mayores o igual a cero.
𝑥𝑛 ≥ 0
5. Condiciones de optimización: Es la utilización de algún método para la resolución del
problema, el mismo que nos ayudará a interpretar la solución, pueden ser:
Método gráfico.
Método simplex primal.
Método simplex dual.
Modelo de transporte.
Conocimientos previos
CAPÍTULO II Programación Lineal
Roberto Valencia Página 41
2.4.2. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
(MAXIMIZACIÓN)
18. Una fábrica produce dos tipos de camisas A y B; las camisas de tipo A requieren 2.5
minutos para corte y 5 minutos para confección; las de tipo B, requieren 4 minutos para
corte y 4 minutos para confección. Se necesita 1 hora y 40 minutos para corte y 2 horas
para confección, siendo el beneficio de 2.5 dólares por cada camisa tipo A y 3 dólares
por camisa de tipo B. ¿Cuántas camisas de cada tipo debe producirse para obtener su
máximo beneficio?
1.- Definición de variables:
𝑥1 = Camisas tipo A
𝑥2 = Camisas tipo B
2.- Función objetiva: 𝑍(max ) = 2.5𝑥1 + 3𝑥2
3.-Restricciones:
1 ℎ𝑜𝑟𝑎 40 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = 100 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 120 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
RECURSOS
VARIABLES
DISPONIBILIDAD
𝑥1 𝑥2
Corte (min) 2.5 4 100
Confección (min) 5 4 120
{
2.5𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 100 (𝟏)
5𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 120 (𝟐)
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
19. Una fábrica produce dos tipos de productos A y B; el primero requiere la utilización de
7kg de materia prima, 2 horas/hombre de mano de obra, y 4,5 horas/máquina de
utilización de maquinaria. El segundo requiere 3kg de materia prima, 3 horas/hombre de
mano de obra y 4 horas máquina de utilización de maquinaria. La empresa cuenta para
la fabricación de productos con los siguientes recursos: 21kg de materia prima, 12
horas/hombre de mano de obra y 18 horas/máquina. ¿Cuál es la combinación óptima de
producción que maximice el beneficio, suponiendo que la fábrica estima ganar $15 por
cada unidad de producto A y $ 11 por cada unidad del producto B?
1.- Definición de variables:
𝑥1 = Producto A
𝑥2 = Producto B
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 15𝑥1 + 11𝑥2
3.-Restricciones:
Conocimientos previos
CAPÍTULO II Programación Lineal
Roberto Valencia Página 42
RECURSOS
VARIABLES
DISPONIBILIDAD
𝑥1 𝑥2
Materia prima 7 kg 3 kg 21 kg
Mano de obra 2h/H 3h/H 12 h/H
Utilización maquinaria 4,5 h/m 4h/m 18 h/m
Beneficio $15 $11
{
7𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 21 (𝟏)
2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 12 (𝟐)
4,5𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 18 (𝟑)
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
20. Para la fabricación de dos productos, se utilizan dos tipos de materiales M1 y M2 para
la fabricación de dichos productos, P1 y P2. La disponibilidad de los materiales M1 y
M2 es de 135 y 120 toneladas, en su orden. El producto P1 contiene el 30% de M1 y
40% de M2; mientras que el producto P2 contiene el 70% de M1 y 60% de M2. Las
utilidades unitarias de los productos P1 y P2 son $3 y $5, respectivamente. La demanda
del producto P1 está entre 25 y 130 unidades y la de P2 entre 35 y 150 unidades
¿Cuántos productos de cada uno se debe fabricar para maximizar sus utilidades?
1.- Definición de variables:
𝑥1 = Productos P1
𝑥2 = Productos P2
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 3𝑥1 + 5𝑥2
3.-Restricciones:
RECURSOS
VARIABLES
DISPONIBILIDAD
𝑥1 𝑥2
Material 1 (Tn) 0,30 0,70 135
Material 2 (Tn) 0,40 0,60 120
{
0,30𝑥1 + 0,70𝑥2 ≤ 135 (𝟏)
0,40𝑥1 + 0,60𝑥2 ≤ 120 (𝟐)
25𝑥1 ≤ 130 (𝟑)
35𝑥2 ≤ 150 (𝟒)
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
Conocimientos previos
CAPÍTULO II Programación Lineal
Roberto Valencia Página 43
21. Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kg de titanio y 14 kg de
aluminio. Para fabricar 100 m de cable de tipo A, se necesitan 10 kg de cobre, 2 kg de
titanio y 1 kg de aluminio, y se obtiene de él un beneficio de $ 1500. Para fabricar 100
m de cable de tipo B, se necesitan 15 kg de cobre, 1 kg de titanio y 1 kg de aluminio, y
se obtiene un beneficio de $ 1000. Calcular cuántos metros de cable hay que fabricar, de
cada tipo; para que el beneficio sea máximo. ¿Cuál es ese beneficio?
1.- Definición de variables:
𝑥1 = Metros de cable tipo A
𝑥2 = Metros de cable tipo B
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 1500𝑥1 + 1000𝑥2
3.-Restricciones:
RECURSOS
VARIABLES
DISPONIBILIDAD
𝑥1 𝑥2
Cobre (Kg) 10 15 195
Titanio (Kg) 2 1 20
Aluminio (Kg) 1 1 14
Beneficio ($) 1500 1000
{
10𝑥1 + 15𝑥2 ≤ 195 ÷ 5
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 20
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 14
= {
2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 39 (𝟏)
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 120 (𝟐)
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 14 (𝟑)
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
22. Un fabricante de muebles produce dos tipos de mesas: clásicas y modernas. Cada mesa
del modelo clásico requiere 4 horas de lijado y 3 horas de barnizado, y deja un beneficio
de 200 dólares. No deben fabricarse más de 9 de estas mesas. Cada mesa moderna
necesita 3 horas de lijado y 4 horas de barnizado, y su beneficio es de 100 dólares. Se
dispone de 48 horas para lijado y de 60 horas para barnizado. ¿Cuántas mesas de cada
tipo se han de fabricar para que sus beneficios sean máximos?
1.- Definición de variables:
𝑥1 = Número de mesas clásicas
𝑥2 = Número de mesas modernas
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 200𝑥1 + 100𝑥2
3.-Restricciones:
Conocimientos previos
CAPÍTULO II Programación Lineal
Roberto Valencia Página 44
RECURSOS
VARIABLES
DISPONIBILIDAD
𝑥1 𝑥2
Lijado 4 3 48
Barnizado 3 4 60
Beneficio ($) 200 100
{
𝑥1 ≤ 9 (𝟏)
4𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 48 (𝟐)
3𝑥1+4𝑥2 ≤ 60 (𝟑)
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
23. Un mayorista desea comprar dos tipos de televisores TV1 y TV2, los de tipo TV1
cuestan 300 dólares y los de tipo TV2 500 dólares la unidad. Dispone de 7000 dólares
para realizar las compras, y en su almacén, únicamente dispone de espacio para 20
televisores. En la venta de cada televisor gana el 30% del precio de la compra. ¿Cuántos
televisores de cada tipo han de comprar para maximizar su beneficio?
1.- Definición de variables:
𝑥1 = TV1
𝑥2 = TV2
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 300(30%)𝑥1 + 500(30%)𝑥2
𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 90𝑥1 + 150𝑥2
3.-Restricciones:
RECURSOS
VARIABLES
DISPONIBILIDAD
𝑥1 𝑥2
Capital ($) 300 500 7000
Espacio 1 1 20
{
300𝑥1 + 500𝑥2 ≤ 7000 ÷ 100
𝑥1 + 𝑥2 = 20
= {
3𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 70 (𝟏)
𝑥1 + 𝑥2 = 20 (𝟐)
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
24. Los estudiantes en la universidad deben tomar por lo menos 3 cursos de humanidades y
2 de ciencias. El número máximo permitido de cursos de ciencias es de 5. El número
total de créditos en ciencias y humanidades no debe exceder de 80. Los puntos de
calidad para cada curso se asignan de la manera usual: el número de horas crédito por 4
para una calificación de A, por 3 para una calificación de B y por 2 para una
calificación de C. Cierto estudiante espera obtener B en todos sus cursos de ciencias.
Conocimientos previos
CAPÍTULO IIProgramación Lineal
Roberto Valencia Página 45
Espera obtener C en la mitad de sus cursos de humanidades, B en la cuarta parte de
ellos y A en el resto. Bajo esas hipótesis, ¿Cuántos cursos de cada clase debe tomar para
obtener el máximo número posible de horas?
1.- Definición de variables:
𝑥1 = Curso de ciencias
𝑥2 = Curso de Humanidades
2.- Función objetiva:
Calificación: A= 4
B= 3
C= 2
𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 3𝑥1 + (
2
2
+
3
4
+
4
4
)𝑥2
𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 3𝑥1 + 2,75𝑥2
3.-Restricciones:
RECURSOS
VARIABLES
DISPONIBILIDAD
𝑥1 𝑥2
Créditos 5 4 80
{
𝑥2 ≥ 3 (𝟏)
𝑥2 ≤ 12 (𝟐)
𝑥1 ≥ 4 (𝟑)
5𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 80 (𝟒)
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
25. La empresa lechera Milk, no puede recibir más de 100000 litros de leche al día, debido
a las limitaciones impuestas por el congestionamiento de recepción. Las políticas de la
administración requieren el uso de al menos 10000 litros de leche diarios para la
fabricación de queso, y el resto para ser empleado en manteca o leche embotellada,
según lo permita el equipo. El beneficio de un litro según como se emplee es como
sigue:
Manteca $ 0.02
Leche $ 0.10
Queso $ 0.30
El equipo para fabricar manteca puede procesar hasta 60000 litros de leche por día y el
de fabricar queso hasta 30000 litros de leche diarios. Plantear el problema.
1.- Definición de variables:
𝑥1 = Litros de leche para manteca
Conocimientos previos
CAPÍTULO II Programación Lineal
Problemas de optimización
Roberto Valencia Página 46
𝑥2 = Litros de leche para leche
𝑥3 = Litros de leche para queso
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 0.02𝑥1 + 0.10𝑥2 + 0.03𝑥3
3.-Restricciones:
RECURSOS
VARIABLES
DISPONIBILIDAD
𝑥1 𝑥1 𝑥3
Total 1 1 1 100000
Manteca 1 60000
Leche 1 10000
Queso 1 30000
{
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≤ 100000 (𝟏)
𝑥1 ≤ 60000 (𝟐)
𝑥2 ≤ 10000 (𝟑)
𝑥3 ≤ 3000 (𝟒)
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0
26. Un agricultor posee un terreno de 100 hectáreas, ahí quiere producir papas y arveja, por
su experiencia él calcula que una hectárea puede producir 20 qq si solo siembra papas o
25 qq si solo se cultiva arveja. Los recursos con que cuenta, además del terreno, son
8000 unidades monetarias; la hectárea de papas requiere un capital de 1000 unidades
monetarias y la de arveja requiere 1200 unidades monetarias, las necesidades de agua de
riego son de 800 m
3
y 700 m
3
por hectárea de papas y arveja. La disponibilidad de agua
en ese sector es de 5800 m
3
. Si los precios de venta son de 18 unidades monetarias por
qq de papas y 16 por qq de arveja. ¿Cuánto se debe producir de cada producto para
maximizar la ganancia?
1.- Definición de variables:
𝑥1 = Quintales de papas
𝑥2 = Quintales de arveja
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 18𝑥1 + 16𝑥2
3.-Restricciones:
{
1
20
𝑥1 +
1
25
𝑥2 ≤ 100
1000
20
𝑥1 +
1200
25
𝑥2 ≤ 8000
800
20
𝑥1 +
700
25
𝑥2 ≥ 5800
= {
1
20
𝑥1 +
1
25
𝑥2 ≤ 100 (1)
25𝑥1 + 24𝑥2 ≤ 4000 (2)
10𝑥1 + 7𝑥2 ≥ 1450 (3)
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
CAPÍTULO II Programación Lineal
Problemas de optimización
Roberto Valencia Página 47
2.4.3. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
(MINIMIZACIÓN)
27. Una empresa fabricante de automóviles produce dos modelos, A y B. Tiene dos
factorías, F1 y F2. En F1 se producen diariamente 6 coches tipo A y 4 tipos B, con un
coste de $ 32 000 diarios. F1 no funciona más de 50 días. En F2 se producen 4 de A y 4
de B, con un coste de $ 24 000 diarios. Para abastecer el mercado, se han de poner a la
venta al menos 360 coches de tipo A y al menos 300 de tipo B. ¿Cuántos días debe
funcionar cada factoría para que el coste sea mínimo?, y ¿Cuál es ese costo?
1.- Definición de variables:
𝑥1 = Número de días que debe funcionar F1.
𝑥2 = Número de días que debe funcionar F2.
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 32000𝑥1 + 24000𝑥2
3.-Restricciones:
RECURSOS
VARIABLES
DISPONIBILIDAD
𝑥1 𝑥2
Modelo A 6 4 360
Modelo B 4 4 300
Costo ($) 32000 24000
{
0 ≤ 𝑥 ≤ 50
6𝑥1 + 4𝑥2 ≥ 360 ÷ 2
4𝑥1 + 4𝑥2 ≥ 300 ÷ 4
= {
0 ≤ 𝑥 ≤ 50 (𝟏)
3𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 180 (𝟐)
𝑥1 + 𝑥2 ≥ 75 (𝟑)
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
28. Un expendio de carnes de la ciudad acostumbra preparar la carne para albondigón con
una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res
contiene 80% de carne y 20% de grasa, y le cuesta a la tienda 80 centavos por libra; la
carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa, y cuesta 60 centavos por libra.
¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda en cada libra de albondigón,
si se desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25%?
1.- Definición de variables:
𝑥1 = Número de libras de carne molida de res empleadas en cada libra de albondigón.
𝑥2 = Número de libras de carne molida de cerdo empleadas en cada libra de albondigón.
2.- Función objetivo: 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 80𝑥1 + 60𝑥2
3.-Restricciones:
RECURSOS
VARIABLES
DISPONIBILIDAD
𝑥1 𝑥2
Grasa (res, cerdo) 0.20 0.32 0.25
Carne (res, cerdo) 1 1 1
Costo ($) 80 60
CAPÍTULO II Programación Lineal
Problemas de optimización
Roberto Valencia Página 48
{
0.20𝑥1 + 0.32𝑥2 ≤ 0.25 ∗ 100
𝑥1 + 𝑥2 = 1
= {
20𝑥1 + 32𝑥2 ≤ 25 (𝟏)
𝑥1 + 𝑥2 = 1 (𝟐)
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
29. Se desea realizar una mezcla con dos sustancias, A y B, que ha de contener como
mínimo 10 unidades de cada una de ellas. Estas sustancias las venden dos proveedores
en forma de lotes. El lote del primer proveedor es tal, que los contenidos de B y de A
están en relación de 4 a 1 y hay una unidad de A. El lote del segundo proveedor es tal
que los contenidos de A y de B están en relación de 4 a 1 y hay una unidad de B. El
primer proveedor vende cada lote a $10 y el segundo al doble. Ambos proveedores nos
venden lotes enteros o fracciones de ellos. ¿Qué número de lotes hemos de comprar
para que el coste sea mínimo?
1.- Definición de variables:
𝑥1 = Lotes del primer proveedor.
𝑥2 = Lotes del primer proveedor.
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 10𝑥1 + 20𝑥2
3.-Restricciones:
RECURSOS
VARIABLES
DISPONIBILIDAD
𝑥1 𝑥2
Sustancia A 1 4 10
Sustancia B 4 1 10
Costo ($) 10 20
{
𝑥1 + 4𝑥2 ≥ 10 (𝟏)
4𝑥1 + 𝑥2 ≥ 10 (𝟐)
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
30. Los responsables de un videoclub han de realizar el pedido de películas de estreno y
novedades a sus proveedores. El coste de cada película de estreno es de 760 pesetas, y
el de cada novedad 370. Se desea un coste total que no supere las 94500 pesetas. Por
otra parte, el proveedor les exige que los estrenos sean, al menos, la mitad que las
novedades, y que las novedades más la mitad de los estrenos no sea inferior a las 100
unidades. Si se desea que el total de unidades pedidas sea mínimo, ¿de cuántas unidades
de cada tipo ha de constar el pedido? ¿Cuál es entonces el coste del pedido?
1.- Definición de variables:
𝑥1 = Número de películas de estreno.
𝑥2 = Número de películas de novedades.
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 𝑥1 + 𝑥2
3.-Restricciones:
CAPÍTULO II Programación Lineal
Problemas de optimización
Roberto Valencia Página 49
{
760𝑋1 + 370𝑋2 ≤ 94500 ÷ 10
𝑋1 ≥
𝑋2
2
𝑋2 +
𝑋1
2
≥ 100
= {
76𝑋1 + 37𝑋2≤ 9450 (𝟏)
2𝑋1 ≥ 𝑋2 (𝟐)
𝑋1 + 2𝑋2 ≥ 200 (𝟑)
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
31. Un granjero cría cerdos para venta y desea determinar qué cantidad de los distintos tipos
de alimento debe dar a cada cerdo para cumplir requisitos nutricionales a un costo
mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada clase de ingredientes
nutritivos básicos, contenidos en un kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los
requisitos nutricionales diarios y los costos de los alimentos.
Ingrediente
nutricional
Kg de maíz
Kg de
grasa
Kg de
alfalfa
Mínimo
diario
Carbohidratos 90 20 40 200
Proteínas 30 80 60 180
Vitaminas 10 20 60 150
Costos($) 42 36 30
1.- Definición de variables:
𝑥1 = Cantidad de kilogramos de maíz.
𝑥2 = Cantidad de kilogramos de grasas.
𝑥3 = Cantidad de kilogramos de alfalfa.
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 42𝑥1 + 36𝑥2 + 30𝑥3
3.-Restricciones:
{
90𝑥1 + 20𝑥2 + 40𝑥3 ≥ 200 ÷ 10
30𝑥1 + 60𝑥2 + 80𝑥3 ≥ 180 ÷ 10
10𝑥1 + 20𝑥2 + 60𝑥3 ≥ 150 ÷ 10
= {
9𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 ≥ 20 (𝟏)
3𝑥1 + 6𝑥2 + 8𝑥3 ≥ 18 (𝟐)
1𝑥1 + 2𝑥2 + 6𝑥3 ≥ 15 (𝟑)
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0
32. Una planta produce 3300000 barriles de cemento por año. Los hornos emiten 2 lb de
polvo por cada barril producido. La compañía cementera debe reducir sus emisiones a
no más de 1000000 lb anuales. Hay dos tipos de control disponibles, A y B. El A reduce
las emisiones a
1
2
lb por barril, y el costo es de $0,25 por barril de cemento producido.
En el caso del dispositivo B, la reducción es de
1
4
lb por barril y su costo de $0,40 por
barril de cemento producido. Determine el plan de acción más económico que la planta
debe tomar de modo que mantenga exactamente la misma producción anual.
1.- Definición de variables:
𝑥1 = Número de barriles con el dispositivo A.
𝑥2 = Número de barriles con el dispositivo B.
𝑥3 = Número de barriles sin dispositivo.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método gráfico
Roberto Valencia Página 50
𝒙𝟏
𝒙𝟐
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 0,25𝑥1 + 0.40𝑥2 + 0𝑥3
3.-Restricciones:
{
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 3300000 (𝟏)
1
2
𝑥1 +
1
4
𝑥2 + 2𝑥3 ≤ 1000000 (𝟐)
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0
2.5. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR EL MÉTODO GRÁFICO
La resolución de problemas lineales mediante el método gráfico solamente se la realizara
cuando en la formulación existan dos variables, ya que este método utiliza el eje de coordenadas
del plano cartesiano, donde el eje de las abscisas representa a (𝒙𝟏) y el eje de las ordenadas
representa a (𝒙𝟐) que son las variables de decisión del problema. (Cagigal , 1981, pág. 16)
Para resolver por el método gráfico, vamos a partir de los puntos estudiados anteriormente,
como son: definición de variables, función objetiva, restricciones, no negación, y también la
resolución gráfica de sistemas de inecuaciones, entonces se procede como se detalla a
continuación:
1. Región factible.- Es la intersección de todas las inecuaciones graficadas una por una,
los puntos del plano que cumplen el sistema de desigualdades forman un recinto
convexo acotado (poligonal) o no acotado, llamado región factible del problema.
Se trata de buscar, entre todos esos puntos, aquel o aquellos que hagan el valor de la
función operativa máximo o mínimo, según sea el problema.
2. Hallar las coordenadas de los vértices de la región factible.- Se procede a señalar los
vértices con letras mayúsculas del abecedario, y se iguala las restricciones que cortan en
cada vértice para poder encontrar los puntos de intersección de las rectas. A dichos
puntos se denominan soluciones factibles, de todas esas soluciones factibles, aquellas
que hacen optima (máxima o mínima) la función objetiva se llaman soluciones óptimas.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método gráfico
Roberto Valencia Página 51
3. Determinación gráfica del punto óptimo.- En este caso se representa el vector
director de la recta que viene dada por la ecuación de la función objetivo, 𝐹(𝑥1, 𝑥2) =
𝐴𝑥1 + 𝐵𝑥2, que hay que maximizar o minimizar. El vector director de la recta 𝐴𝑥1 +
𝐵𝑥2 viene dado por 𝒗(−𝑩,𝑨). Además, como lo único que nos importa es la dirección
del vector y no su módulo (longitud), podemos dividir a las coordenadas del vector si
los números son muy grandes, puesto que vectores con coordenadas proporcionales
tienen la misma dirección. Posteriormente, se trazan rectas paralelas a este vector que
pasen por los vértices de la región factible (si es acotada), o por todo el borde de la
región factible (cuándo no es acotada) y se observa en qué vértice la función F se hace
máxima (o mínima) sin más que tener en cuenta cuál de las rectas tiene mayor (o
menor) ordenada en el origen, es decir, qué recta corta en un punto mayor o menor al
eje y o 𝒙𝟐.
4. Determinación algebraica del punto óptimo.- Consiste simplemente, en sustituir
cada uno de los vértices de la región factible en la función objetivo. La solución óptima
vendrá dada por aquel que tome el mayor valor en el caso de maximización, o el menor
en el caso de minimización.
5. Interpretación de la solución lógica.- Consiste en hacer un informe de los resultados
encontrados para su respectiva implementación.
6. Comprobación.- La solución óptima debe satisfacer todo el sistema de inecuación con
la función objetivo.
2.6. TIPOS DE SOLUCIONES POR EL MÉTODO GRÁFICO
En general, un problema de programación lineal puede tener una, infinitas o ninguna solución.
Lo que si se verifica es la siguiente propiedad:
Si hay una única solución óptima, esta se encuentra en un vértice de la región factible, y si hay
infinitas soluciones óptimas, se encontrarán en un lado de la región factible. Es posible que no
haya solución óptima, pues cuando el recinto es no acotado, la función objetivo puede crecer o
decrecer indefinidamente.
TIPOS DE
SOLUCIÓN
Caso1:
Solución
única,
acotada
Caso 2:
Solución
múltiple,
acotada
Caso 3:
Solución
única y
múltiple, No
acotada
Caso 4:
Ninguna
solución
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método gráfico
Roberto Valencia Página 52
2.6.1. SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA ACOTADA
Este tipo de solución es la de mayor utilidad en problemas reales de programación
lineal, y la solución óptima única se encuentra en un vértice de la región factible.
Ejemplo.
33. Para la resolución de este ejemplo cogemos los datos del problema # 19, y resolvemos
por el método gráfico.
1.- Datos del problema:
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Producto A.
𝒙𝟐 = Producto B.
FUNCIÓN OBJETIVO:
Maximizar: 𝒁 = 𝟏𝟓𝒙𝟏 + 𝟏𝟏𝒙𝟐
RESTRICCIONES:
{
𝟕𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟏 (𝟏)
𝟐𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟐 (𝟐)
𝟒, 𝟓𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟖 (𝟑)
2.- Cálculo de los puntos para graficar cada inecuación:
Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación # 3
𝟕𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟏
𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟏 − 𝟕𝒙𝟏
𝒙𝟐 ≤
𝟐𝟏 − 𝟕𝒙𝟏
𝟑
2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 12
3𝑥2 ≤ 12 − 2𝑥1
𝑥2 ≤
12 − 2𝑥1
3
4,5𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 18
4𝑥2 ≤ 18 − 4,5𝑥1
𝑥2 ≤
18 − 4,5𝑥1
4
Tabla de valores
𝒙𝟏 𝒙𝟐
0 7
3 0
Tabla de valores
𝒙𝟏 𝒙𝟐
0 4
6 0
Tabla de valores
𝒙𝟏 𝒙𝟐
0 4,5
4 0
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método gráfico
Roberto Valencia Página 53
3.- Gráfica de la región factible:
4.- Cálculo de los vértices:
Coordenada A Coordenada B Coordenada C
Se obtiene de la gráfica
𝑨 = (𝟎, 𝟒)
Recta 2 y 3
2𝑥1 + 3𝑥2 = 12 (−4)
4,5𝑥1 + 4𝑥2 = 18 (3)
−8𝑥1 − 12𝑥2 = −48
13,5𝑥1 + 12𝑥2 = 54
5,5𝑥1 = 6
𝑥1 =
6
5,5
𝑥1 = 1,09
Reemplazamos en 2
2𝑥1 + 3𝑥2 = 12
2(1,09)+ 3𝑥2 = 12
2,18 + 3𝑥2 = 12
𝑥2 =
12 − 2,18
3
𝑥2 = 3,27
𝑩(𝟏, 𝟎𝟗; 𝟑, 𝟐𝟕)
Recta 1 y 3
7𝑥1 + 3𝑥2 = 21 (−4)
4,5𝑥1 + 4𝑥2 = 18 (3)
−28𝑥1 − 12𝑥2 = −84
13,5𝑥1 + 12𝑥2 = 54
−14,5𝑥1 = −30
𝑥1 =
−30
−14,5
𝑥1 = 2,06
Reemplazamos en 1
7𝑥1 + 3𝑥2 = 21
7(2,06) + 3𝑥2 = 21
3𝑥2 =
21 − 14,42
3
𝑥2 =
6,58
3
𝑥2 = 2,19
𝑪(𝟐, 𝟎𝟔; 𝟐, 𝟏𝟗)
Coordenada D Coordenada E
Se obtiene de la gráfica
𝑨 = (𝟑, 𝟎)
Se obtiene de la gráfica
𝐴 = (0, 𝟎)
REGIÓN
FACTIBLE
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método gráfico
Roberto Valencia Página 54
5.- Determinación gráfica del punto óptimo:
Se grafica el vector: 𝒗(−𝑩,𝑨), con los coeficientes de la función objetivo
𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 15𝑥1 + 11𝑥2
𝒗(−𝟏𝟏, 𝟏𝟓), por motivos de la escala dividimos al vector para cinco, entonces tenemos:
𝒗(−𝟐, 𝟐 ; 𝟑)
La Solución gráfica del punto óptimo es: 𝑪(𝟐, 𝟎𝟔; 𝟐, 𝟏𝟗).
6.- Determinación algebraica del punto óptimo:
𝑷(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) 𝟏𝟓𝒙𝟏 𝟏𝟏𝒙𝟐 𝒁
𝑨(𝟎, 𝟒) 15(0) 11(4) 44
𝑩(𝟏, 𝟎𝟗; 𝟑, 𝟐𝟕) 15(1,09) 11(3,27) 52,32
𝑪(𝟐, 𝟎𝟔; 𝟐, 𝟏𝟗) 15(2,06) 11(2,19) 54,99
𝑫(𝟑, 𝟎) 15(3) 11(0) 45
𝑬(𝟎, 𝟎) 15(0) 11(0) 0
Recuerda:
El vector trazamos desde el origen P(0;0); al
trazar rectas paralelas al vector desde cada
vértice, observamos que la recta paralela que
corta en el eje y con mayor valor se inicia desde
el punto C, como el ejercicio nos dice
maximizar nuestra respuesta es el punto C.
Si fuera minimización escogemos la recta
paralela con menor valor en el eje y.
ta:
No te olvides que la inecuación inicial fue: ≤, y
al multiplicar por (-1), cambia el sentido de
desigualdad.
PUNTO
MÁXIMO
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método gráfico
Roberto Valencia Página 55
7.- Interpretación:
La empresa debe fabricar 2,06 unidades del producto A y 2,19 unidades del producto B para
obtener un máximo beneficio de $54,99.
8.- Comprobación:
Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación # 3
𝟕𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟏
𝟕(𝟐) + 𝟑(𝟐) ≤ 𝟐𝟏
𝟏𝟒 + 𝟔 ≤ 𝟐𝟏
𝟐𝟎 ≤ 𝟐𝟏
Verdadero
2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 1
2(2) + 3(2) ≤ 12
4 + 6 ≤ 12
10 ≤ 12
Verdadero
4,5𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 18
4,5(2) + 4(2) ≤ 18
9 + 8 ≤ 18
17 ≤ 18
Verdadero
34. La empresa TECNOLOGYRV fabricante de computadores produce dos modelos, A y
B. Para ello dispone de dos sucursales S1 y S2. En la S1 se producen diariamente 4
computadores tipo A y 7 computadores tipo B, con un coste de $ 12 diarios. En S2 se
producen 5 de A y 2 de B, con un coste de $ 8 diarios. Además, quiere que lo invertido
en la sucursal S1 sea, a lo mucho, igual a lo invertido en la sucursal S2. Para abastecer
el mercado, se han de poner a la venta máximo 20 computadores de tipo A y al menos
14 de tipo B. ¿Cuántos días debe funcionar cada sucursal para que el coste sea mínimo?
¿Cuál es ese costo?
1.- Datos del problema
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Número de días que debe funcionar S1.
𝒙𝟐 = Número de días que debe funcionar S2.
FUNCIÓN OBJETIVO:
Minimizar: 𝒁 = 𝟏𝟐𝒙𝟏 + 𝟖𝒙𝟐
RESTRICCIONES:
{
𝟒𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟎 (𝟏)
𝟕𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≥ 𝟏𝟒 (𝟐)
𝒙𝟏 ≤ 𝒙𝟐 (𝟑)
No negación: 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 ≥ 𝟎
2.- Cálculo de los puntos para graficar cada inecuación.
Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación # 3
𝟒𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟎
𝟓𝒙𝟐 ≤ −𝟒𝒙𝟏 + 𝟐𝟎
𝒙𝟐 ≤
−𝟒𝒙𝟏 + 𝟐𝟎
𝟓
7𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 14
2𝑥2 ≥ −7𝑥1 + 14
𝑥2 ≥
−7𝑥1 + 14
2
𝑥1 ≤ 𝑥2
𝑥2 ≥ 𝑥1
Recta que pasa por el origen
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método gráfico
Roberto Valencia Página 56
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 4
5 0
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 7
2 0
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 0
2 2
3.- Gráfica de la región factible:
4.- Cálculo de los vértices:
Coordenada A Coordenada B Coordenada C
Recta 1 y 2
𝟒𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 = 𝟐𝟎 (𝟕)
𝟕𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 = 𝟏𝟒 (−𝟒)
𝟐𝟖𝒙𝟏 + 𝟑𝟓𝒙𝟐 = 𝟏𝟒𝟎
−𝟐𝟖𝒙𝟏 − 𝟖𝒙𝟐 = −𝟓𝟔
𝟐𝟕𝒙𝟐 = 𝟖𝟒
𝒙𝟐 =
𝟖𝟒
𝟐𝟕
𝒙𝟐 = 𝟑. 𝟏
Recta 2 y 3
7𝑥1 + 2𝑥2 = 14
𝑥1 − 𝑥2 = 0 (−7)
7𝑥1 + 2𝑥2 = 14
−7𝑥1 + 7𝑥2 = 0
9𝑥2 = 14
𝑥2 =
14
9
𝑥2 = 1.56
Recta 1 y 3
4𝑥1 + 5𝑥2 = 20
𝑥1 − 𝑥2 = 0 (−4)
4𝑥1 + 5𝑥2 = 20
−4𝑥1 + 4𝑥2 = 0
9𝑥2 = 20
𝑥2 =
20
9
𝑥2 = 2.22
REGIÓN
FACTIBLE
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método gráfico
Roberto Valencia Página 57
Reemplazamos en 1
𝟒𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 = 𝟐𝟎
𝟒𝒙𝟏 + 𝟓(𝟑, 𝟏) = 𝟐𝟎
𝟒𝒙𝟏 = 𝟐𝟎 − 𝟏𝟓, 𝟓
𝒙𝟏 =
𝟒, 𝟓
𝟒
𝒙𝟏 = 𝟏. 𝟏
𝑨 = (𝟏. 𝟏; 𝟑. 𝟏)
Reemplazamos en 2
7𝑥1 + 2𝑥2 = 14
7𝑥1 + 2(1,56) = 14
7𝑥1 = 14 − 3,12
𝑥1 =
10,88
7
𝑥1 = 1.56
𝑩 = (𝟏. 𝟓𝟔; 𝟏. 𝟓𝟔)
Reemplazamos en 1
4𝑥1 + 5𝑥2 = 20
4𝑥1 + 5(2,22) = 20
4𝑥1 = 20 − 11,10
𝑥1 =
8,9
4
𝑥1 = 2.22
𝑪 = (𝟐. 𝟐𝟐; 𝟐. 𝟐𝟐)
5.- Determinación gráfica del punto óptimo:
Se grafica el vector: 𝒗(−𝑩,𝑨), con los coeficientes de la función objetivo
𝒁(𝒎𝒊𝒏) = 𝟏𝟐𝒙𝟏 + 𝟖𝒙𝟐
𝒗(−𝟏𝟐, 𝟖), por motivos de la escala dividimos al vector para cuatro (4) entonces tenemos:
𝒗(−𝟑 ; 𝟐)
Recuerda:
El vector trazamos desde el
origen P(0;0); al trazar rectas
paralelas al vector desde cada
vértice, observamos que la recta
paralela que corta en el eje y con
menor valor se inicia desde el
punto B, como el ejercicio nos
dice minimizar nuestra respuesta
es el punto B.
Nota:
En problemas razonados de
minimización, la respuesta
es factible y de mayor
aplicación a la realidad de
las empresas, cuando los
vértices de las soluciones
factibles no cortan en los
ejes 𝑥1, 𝑥2, tal como se
realizó en este ejemplo.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método gráfico
Roberto Valencia Página 58
La solución gráfica del punto óptimo es: 𝑩 = (𝟏. 𝟓𝟔; 𝟏. 𝟓𝟔).
6.- Determinación algebraica del punto óptimo:
𝑷(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) 𝟏𝟐𝒙𝟏 𝟖𝒙𝟐 𝒁
𝑨(𝟏. 𝟏; 𝟑. 𝟏) 12(1.1) 8(3.1) 38
𝑩(𝟏. 𝟓𝟔; 𝟏. 𝟓𝟔) 12(1.56) 8(1.56) 31,20
𝑪(𝟐. 𝟐𝟐; 𝟐. 𝟐𝟐) 12(2.22) 8(2.22) 44,40
7.- Interpretación:
La sucursal uno debe funcionar 1,56 días, y la sucursal dos también 1,56 días para obtener un
costo mínimo de $31,2.
8.- Comprobación:
Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación # 3
𝟒𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟎
𝟒(𝟏) + 𝟓(𝟏) ≤ 𝟐𝟎
𝟒 + 𝟓) ≤ 𝟐𝟎
𝟗 ≤ 𝟐𝟎
Verdadero
7𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 14
7(2) + 2(2) ≥ 14
14 + 4 ≥ 14
18 ≥ 14
Verdadero
𝑥1 ≤ 𝑥2
(1) ≤ (1)
1 ≤ 1
Verdadero
35. Una persona quiere invertir $100000 en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A
tienen más riesgo, pero producen un beneficio del 10%. Las de tipo B son más seguras,
pero producen solo el 7% nominal. Él decide invertir como máximo $60000 en la
compra de acciones A, y por lo menos, $20000 en la compra de acciones B. Además,
quiere que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo debe
invertir los $100000 para que el beneficio anual sea máximo?
1.- Datos del problema:
Para mayor facilidad en el momento de graficar, a las disponibilidades de las restricciones
quitamos cuatro ceros, y al final para la respuesta aumentamos los cuatro ceros.
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Dinero invertido en acciones de tipo A.
𝒙𝟐 = Dinero invertido en acciones de tipo B.
FUNCIÓN OBJETIVO:
Maximizar: 𝒁(𝒎𝒂𝒙) = 𝟎, 𝟏𝑿𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟕𝑿𝟐
RESTRICCIONES:
{
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟎 (𝟏)
𝒙𝟏 ≤ 𝟔 (𝟐)
𝒙𝟐 ≥ 𝟐 (𝟑)
𝒙𝟏 ≥ 𝒙𝟐 (𝟒)
PUNTO
MÍNIMO
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método gráfico
Roberto Valencia Página 59
No negación: 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 ≥ 𝟎
2.-Cálculo de los puntos para graficar cada inecuación:
Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación # 3 Inecuación # 4
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟎
𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟎 − 𝒙𝟏
𝑥1 ≤ 6 𝑥2 ≥ 2
𝑥1 ≥ 𝑥2
Recta que pasa
por el origen.
𝑥2 ≤ 𝑥1
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 10
10 0
Interpretación
de la recta
La recta es
paralela al eje 𝑥2
𝒙𝟏 = 𝟔
Solución: 𝟎; 𝟔
Interpretación de
la recta
La recta es paralela
al eje 𝑥1
𝒙2 = 𝟐
Solución: 𝟐;+∞)
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 0
2 2
3.- Gráfica de la región factible:
REGIÓN
FACTIBLE
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método gráfico
Roberto Valencia Página 60
4.- Determinación algebraica del punto óptimo:
𝑷(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) 𝟎. 𝟏𝒙𝟏 𝟎. 𝟎𝟕𝒙𝟐 𝒁
𝑨(𝟐, 𝟐) 0.1(2) 0.07(2) 0,14
𝑩(𝟔; 𝟐) 0.1(6) 0.07(2) 0,74
𝑪(𝟔; 𝟒) 0.1(6) 0.07(4) 0.88
𝑫(𝟓, 𝟓) 0.1(5) 0.07(5) 0,85
4.- Interpretación:
Una persona deberá invertir$ 60000 del producto A y 40000 del producto B para obtener un
máximo beneficio de $8800.
36. Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T1 y T2, para lo que usa tres ingredientes, A, B y
C. Dispone de 150 kg de A, 90 kg de B y 150 kg de C. Para fabricar una tarta T1 debe
mezclar 1 kg de A, 1 kg de B y 2 kg de C, mientras que para hacer una tarta T2 necesita
5 kg de A, 2 kg de B y 1 kg de C. Si se venden las tartas T1 a $10, y las tartas T2 a $23.
¿Qué cantidad debe fabricar de cada clase para maximizar sus ingresos?
1.- Datos del problema:
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Número de tartas de tipo T1.
𝒙𝟐 = Número de tartas de tipo T2.
FUNCIÓN OBJETIVO:
Maximizar: 𝒁(𝒎𝒂𝒙) = 𝟏𝟎𝒙𝟏 + 𝟐𝟑𝒙𝟐
RESTRICCIONES:
{
𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟓𝟎 (𝟏)
𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟗𝟎 (𝟐)
𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟓𝟎 (𝟑)
2.- Cálculo de los puntos para graficar cada inecuación:
Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación # 3
𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟓𝟎
𝟓𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟓𝟎 − 𝒙𝟏
𝒙𝟐 ≤
𝟏𝟓𝟎 − 𝒙𝟏
𝟓
𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 90
2𝑥2 ≤ 90 − 𝑥1
𝑥2 ≤
90 − 𝑥1
2
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 150
𝑥2 ≤ 150 − 2𝑥1
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 30
150 0
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 45
90 0
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 150
75 0
PUNTO
MÁXIMO
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método gráfico
Roberto Valencia Página 61
3.- Gráfica de la región factible:
4.- Determinación algebraica del punto óptimo:
5.- Interpretación:
La empresa debe fabricar 50 tartas del tipo T1 y 20 tartas del tipo T2 para obtener un máximo
beneficio de $960.
37. Se va a organizar la planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas
y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número
de mecánicos y de electricistas y del número de mecánicos no supere al doble que el de
electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la
empresa por jornada es de 150 dólares por electricista y 120 dólares por mecánico.
¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio?
1.- Datos del problema:
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Número de electricistas.
𝒙𝟐 = Número de mecánicos.
FUNCIÓN OBJETIVO:
Maximizar: 𝒁(𝒎𝒂𝒙) = 𝟏𝟓𝟎𝒙𝟏 + 𝟏𝟐𝟎𝒙𝟐
RESTRICCIONES:
{
𝒙𝟏 ≤ 𝟑𝟎 (𝟏)
𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟎 (𝟐)
𝒙𝟐 ≥ 𝒙𝟏 (𝟑)
𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝒙𝟏 (𝟒)
No negación: 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 ≥ 𝟎
𝑷(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) 𝟏𝟎𝒙𝟏 𝟐𝟑𝒙𝟐 𝒁
𝑨(𝟎; 𝟑𝟎) 10(0) 23(30) 690
𝑩(𝟓𝟎; 𝟐𝟎) 10(50) 23(20) 960
𝑪(𝟕𝟎; 𝟏𝟎) 10(70) 23(10) 930
𝑫(𝟕𝟓; 𝟎) 10(75) 23(0) 750
PUNTO
MÁXIMO
REGIÓN
FACTIBLE
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método gráfico
Roberto Valencia Página 62
2.- Cálculo de los puntos para graficar cada inecuación:
Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación #3 Inecuación #4
𝒙𝟏 ≤ 𝟑𝟎 𝑥2 ≤ 20
𝑥2 ≥ 𝑥1
Recta que pasa por el
origen.
𝑥2 ≤ 2𝑥1
Recta que pasa por el
origen.
Interpretación de la
recta
La recta es paralela al
eje 𝒙𝟐
𝒙𝟏 = 𝟑𝟎
Solución: 𝟎; 𝟑𝟎
Interpretación de la
recta
La recta es paralela al
eje 𝑥1
𝒙2 = 𝟐𝟎
Solución: 𝟎; 𝟐𝟎
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 0
10 10
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 0
10 20
3.- Gráfica de la región factible:
4.- Determinación algebraica del punto óptimo:
𝑷(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) 𝟏𝟓𝟎𝒙𝟏 𝟏𝟐𝟎𝒙𝟐 𝒁
𝑨(𝟏𝟎, 𝟐𝟎) 150(10) 120(20) 3900
𝑩(𝟐𝟎, 𝟐𝟎) 150(20) 120(20) 5400
5.- Interpretación:
Se debe elegir 20 electricistas y 20 mecánicos para tener un máximo beneficio de $5400.
REGIÓN
FACTIBLE
PUNTO
MÁXIMO
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método gráfico
Roberto Valencia Página 63
2.6.2. SOLUCIÓN ÓPTIMA MÚLTIPLE ACOTADA
Cuando al mover el vector de la F.O su último contacto con la región de factibilidad no es un
punto, si no toda una línea, es decir uno de los lados del polígono; entonces todos los puntos
que están sobre la recta son soluciones óptimas del problema. Como una recta tiene un número
infinito de puntos, hemos encontrado un número infinito de soluciones óptimas equivalentes. La
solución óptima múltiple no es tan frecuente en la práctica como la solución óptima única, si
realmente encontramos este tipo de solución, tendríamos una gran flexibilidad para tomar la
decisión, puesto que con diferentes valores de las variables, podemos obtener el mismo valor de
la función objetivo, pudiendo de esta manea “escoger la solución” que más nos convenga.
38. Se quiere promocionar una marca desconocida, D, de aceites, utilizando una marca
conocida, C. Para ello, se hace la siguiente oferta: “Pague a solo $ 2,5 el litro de aceite
C y a $1,25 el litro de aceite D, siempre y cuando compre en total 6 litros o más y la
cantidad de aceite C esté comprendida entre la mitad y el doble de la cantidad comprada
de aceite D”. Disponemos de un máximo de $21,25. ¿Cuál es el costo mínimo si se
proyecta gastar 6 dólares de C y D durante un día?
1.- Datos del problema:
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Número de litros de aceite D.
𝒙𝟐 = Número de litros de aceite C.
FUNCIÓN OBJETIVO:
Minimizar: 𝒁(𝒎𝒊𝒏) = 𝟔𝒙𝟏 + 𝟔𝒙𝟐
RESTRICCIONES:
{
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≥ 𝟔
𝒙𝟏
𝟐
≤ 𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝒙𝟏
𝟏. 𝟐𝟓𝒙𝟏 + 𝟐. 𝟓𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟏. 𝟐𝟓 {
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≥ 𝟔 (𝟏)
𝒙𝟐 ≥
𝒙𝟏
𝟐
(𝟐)
𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝒙𝟏 (𝟑)
𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟕 (𝟒)
No negación: 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 ≥ 𝟎
2.- Cálculo de los puntos para graficar cada inecuación:
Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación # 3 Inecuación # 4
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≥ 𝟔
𝒙𝟐 ≥ 𝟔 − 𝒙𝟏
𝑥2 ≥
𝑥1
2
𝑥2 ≤ 2𝑥1 𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 17
𝑥2 ≤
17 − 𝑥1
2
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método gráfico
Roberto Valencia Página 64
Nota:
Para encontrar el punto
mínimo trazamos las rectas
paralelas al vector con
respecto a cada vértice,
observamos que el menor
valor en el eje y, es el
segmento CD, eso implica
que hay múltiples soluciones.
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 6
6 0
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 0
6 3
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 0
2 4
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 8,5
17 0
3.- Gráfica de la región factible:
4.- Determinación gráfica del punto óptimo:
Se grafica el vector: 𝒗(−𝑩,𝑨), con los coeficientes de la función objetivo (𝒎𝒊𝒏) = 𝟔𝒙𝟏 +
𝟔𝒙𝟐. Entonces: 𝒗(−𝟔, 𝟔). Luego, se traza rectas paralelas al vector escogiendo el punto de
menor valor que corte en el eje de coordenadas (y).
REGIÓN
FACTIBLE
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método gráficoRoberto Valencia Página 65
Recuerda:
Cuando hay al menos dos
puntos con el mismo valor
de Z, entonces existen
soluciones óptimas múltiples
5.- Determinación algebraica del punto óptimo:
6.-Interpretación:
Cuando tenemos soluciones óptimas múltiples podemos escoger según más nos convenga,
cualquier punto que esté en el segmento de la recta. Para nuestro caso, preferimos producir 4
litros de aceite D y 2 litros de aceite C, para que el producto nuevo D salga a promocionarse
en el mercado, de esta manera obtenemos un costo mínimo de $32.
2.6.3. SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA NO ACOTADA
Se presenta solución no acotada generalmente en los problemas de minimización, ya que las
inecuaciones son de sentido ≥, y la región factible se va al infinito positivo, como para la
solución óptima consiste en escoger el punto mínimo, la solución está al lado opuesto de la
región factible no acotada.
Para el caso de maximización las soluciones factibles no acotadas estarían yendo hacia el
infinito negativo, como para la solución óptima consiste en escoger el punto máximo, la
solución está al lado opuesto de la región factible no acotada.
39. Un ganadero debe suministrar un mínimo diario de 4 mg de vitamina A y 6 mg de
vitamina B en el pienso que da a sus reses. Dispone para ello de dos tipos de pienso P1
y P2, cuyos contenidos vitamínicos por kg son los que aparecen en la tabla:
A B
P1 2 6
P2 4 3
Si el kilogramo de pienso P1 vale $0,4 y el del P2 $0,6. ¿Cómo deben mezclarse los
piensos para suministrar las vitaminas requeridas con un coste mínimo?
1.- Datos del problema:
VARIABLES:
𝒙𝟏 = kg de pienso P1.
𝒙𝟐 = kg de pienso P2.
FUNCIÓN OBJETIVO:
Minimizar: 𝒁(𝒎𝒊𝒏) = 𝟎, 𝟒𝒙𝟏 + 𝟎, 𝟔𝒙𝟐
RESTRICCIONES:
𝑷(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) 𝟔𝒙𝟏 𝟔𝒙𝟐 𝒁
𝑨(𝟑, 𝟒; 𝟔, 𝟖) 6(3.4) 6(6.8) 61,2
𝑩(𝟖, 𝟓; 𝟒, 𝟐𝟓) 6(8.5) 6(4.25) 76,5
𝑪( 𝟒; 𝟐) 6(4) 6(2) 36
𝑫(𝟐, 𝟒) 6(2) 6(4) 36
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método gráfico
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{
𝟐𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 ≥ 𝟒
𝟔𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≥ 𝟔
{
𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≥ 𝟐 (𝟏)
𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≥ 𝟐 (𝟐)
No negación: 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 ≥ 𝟎
2.- Cálculo de los puntos para graficar cada inecuación:
Inecuación # 1 Inecuación # 2
𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≥ 𝟐
𝒙𝟐 ≥
𝟐 − 𝒙𝟏
𝟐
2𝑥1 + 𝑥2 ≥ 2
𝑥2 ≥ 2 − 2𝑥1
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 1
2 0
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 2
1 0
3.- Gráfica de la región factible:
4.- Determinación algebraica del punto óptimo:
𝑷(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) 𝟎, 𝟒𝒙𝟏 𝟎, 𝟔𝒙𝟐 𝒁
𝑨(𝟎, 𝟐) 0,4(0) 0,6(2) 1,2
𝑩(𝟎, 𝟔𝟕; 𝟎, 𝟔𝟕) 0,4(0,67) 0,6(0,67) 0,67
𝑪(𝟐; 𝟎) 0,4(2) 0,6(0) 0,8
REGIÓN
FACTIBLE NO
ACOTADO
PUNTO
MÍNIMO
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método gráfico
Roberto Valencia Página 67
5.- Interpretación:
Por lo tanto se debe mezclar 0,67 kg de pienso P1 con 0,67 kg de pienso P2 para suministrar
las vitaminas requeridas y tener un coste mínimo de $0,67
40. Ejercicio didáctico cuando la gráfica es no acotada y crece al infinito negativo.
1.- Datos del problema:
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Producto A.
𝒙𝟐 = Producto B.
FUNCIÓN OBJETIVO:
Maximizar: 𝒁(𝒎𝒂𝒙) = 𝟓𝒙𝟏 + 𝟏𝟎𝒙𝟐
RESTRICCIONES:
{
𝟑𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟐 (𝟏)
𝟐 ≤ 𝒙𝟏 ≤ 𝟒 (𝟐)
No negación: 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 ≥ 𝟎
2.- Cálculo de los puntos para graficar cada inecuación:
Inecuación # 1 Inecuación # 2
𝟑𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟐
𝒙𝟐 ≤
𝟏𝟐 − 𝟑𝒙𝟏
𝟐
2 ≤ 𝑥1 ≤ 4
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 6
4 0
Interpretación de la recta
La recta es paralela al eje 𝑥2
𝒙1 = 𝟐
𝒙1 = 𝟒
Solución: 𝟐; 𝟒
3.- Gráfica de la región factible:
REGIÓN
FACTIBLE
NO
ACOTADO
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método gráfico
Roberto Valencia Página 68
4.- Determinación algebraica del punto óptimo:
𝑷(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) 𝟓𝒙𝟏 𝟏𝟎𝒙𝟐 𝒁
𝑨(𝟒, 𝟎) 5(4) 10(0) 20
𝑩(𝟐, 𝟑) 5(2) 10(3) 40
𝑪(𝟐; 𝟎) 5(2) 10(0) 10
5.- Interpretación:
Se debe fabricar 2 unidades del producto A y 3 del producto B, para tener una utilidad máxima
de $40.
2.6.4. SOLUCIÓN ÓPTIMA MÚLTIPLE NO ACOTADA
La solución es toda una línea, es decir uno de los lados del polígono; entonces todos los puntos
que están sobre la recta son soluciones óptimas del problema. Pero la gráfica no es acotada, esto
puede ocurrir en problemas razonados por fallas en la formulación del problema, omisión de
una o más restricciones.
41. Ejercicio didáctico.
1.- Datos del problema:
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Producto A.
𝒙𝟐 = Producto B.
FUNCIÓN OBJETIVO:
Minimizar: 𝒁(𝒎𝒊𝒏) = 𝟏, 𝟓𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐
RESTRICCIONES:
{
𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≥ 𝟕 (𝟏)
𝟑𝒙𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟒 (𝟐)
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≥ 𝟓 (𝟑)
No negación: 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 ≥ 𝟎
2.- Cálculo de los puntos para graficar cada inecuación:
Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación # 3
𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≥ 𝟕
𝟐𝒙𝟐 ≥ −𝒙𝟏 + 𝟕
𝒙𝟐 ≥
−𝒙𝟏 + 𝟕
𝟐
3𝑥1 − 4𝑥2 ≤ 14
−4𝑥2 ≤ −3𝑥1 + 14(−1)
4𝑥2 ≥ 3𝑥1 − 14
𝑥2 ≥
3𝑥1 − 14
4
𝑥1 + 𝑥2 ≥ 5
𝑥2 ≥ −𝑥 + 5
PUNTO
MÁXIMO
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método gráfico
Roberto Valencia Página 69
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 3,5
7 0
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 -3,5
14/3 0
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 5
5 0
3.- Gráfica de la región factible:
4.- Determinación algebraica del punto óptimo:
𝑷(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) 𝟏, 𝟓𝒙𝟏 𝟑𝒙𝟐 𝒁
𝑨(𝟓. 𝟔; 𝟎. 𝟕) 1,5(5,6) 3(0,7) 10,5
𝑩(𝟑; 𝟐) 1,5(3) 3(2) 10,5
𝑪(𝟎; 𝟓) 1,5(0) 3(5) 15
5.- Interpretación:
Cuando tenemos soluciones óptimas múltiples podemos escoger según más nos convenga,
cualquier punto que esté en el segmento de la recta.
REGIÓN
FACTIBLE NO
ACOTADO
PUNTOS
MÍNIMOS
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método gráfico
Roberto Valencia Página 70
2.6.5. NINGUNA SOLUCIÓN
Se presenta este tipo de problemas cuando una o más de las restricciones no se puede encontrar
la región factible, es decir no se intersecan entre sí, otro caso es cuando la gráfica crece
indefinidamente al infinito positivo y se pide maximizar, de la misma forma puede ser cuando la
región factible decrece indefinidamente hacia el infinito negativo y se pide minimizar, en
problemas razonados de aplicación puede ser el caso por: fallas en la formulación del problema,
restricciones mal planteadas. (Muñoz, 2011).
42. Ejercicio didáctico:
1.- Datos del problema:
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Producto A.
𝒙𝟐 = Producto B.
FUNCIÓN OBJETIVO:
Maximizar: 𝒁(𝒎𝒂𝒙) = 𝟑𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐
RESTRICCIONES:
{
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≥ 𝟏𝟒 (𝟏)
𝟐𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≥ 𝟑𝟔 (𝟐)
𝟒𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≥ 𝟏𝟔 (𝟑)
𝒙𝟏 − 𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟎 (𝟒)
No negación: 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 ≥ 𝟎
2.- Cálculo de los puntos para graficar cada inecuación:
Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación # 3 Inecuación # 4
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≥ 𝟏𝟒
𝒙𝟐 ≥ −𝒙𝟏 + 𝟏𝟒
2𝑥1 + 3𝑥2 ≥ 36
3𝑥2 ≥ −2𝑥1 + 36
𝑥2 ≥
−2𝑥1 + 36
3
4𝑥1 + 𝑥2 ≥ 16
𝑥2 ≥ −4𝑥1 + 16
𝑥1 − 3𝑥2 ≤ 0
−3𝑥2 ≤ −𝑥1(−1)
3𝑥2 ≥ 𝑥1
𝑥2 ≥
𝑥1
3
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 14
14 0
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 12
18 0
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 16
4 0
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 0
3 1
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método gráfico
Roberto Valencia Página 71
3.- Gráfica de la región factible:
4.- Determinación gráfica del punto óptimo:
REGIÓN
FACTIBLE NO
ACOTADO
Nota:
Al trazar las rectas paralelas
al vector la región factible no
estáacotada superiormente,
por lo que podemos seguir
trazando rectas paralelas
indefinidamente; en
consecuencia decimos que no
existe solución para
maximización.
REGIÓN FACTIBLE
NO ACOTADO
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método gráfico
Roberto Valencia Página 72
43. Ejercicio didáctico:
1.- Datos del problema:
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Producto A.
𝒙𝟐 = Producto B.
FUNCIÓN OBJETIVO:
Maximizar: 𝒁(𝒎𝒂𝒙) = 𝟒𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐
RESTRICCIONES:
{
𝒙𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 ≥ 𝟒 (𝟏)
𝟐𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 ≤ 𝟐 (𝟐)
No negación: 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 ≥ 𝟎
2.- Cálculo de los puntos para graficar cada inecuación:
Inecuación # 1 Inecuación # 2
𝒙𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 ≥ 𝟒
−𝟒𝒙𝟐 ≥ 𝟒 − 𝒙𝟏 (−𝟏)
𝟒𝒙𝟐 ≥ −𝟒 + 𝒙𝟏
𝒙𝟐 ≤
𝒙𝟏 − 𝟒
𝟒
2𝑥1 − 𝑥2 ≤ 2
−𝑥2 ≤ 2 − 2𝑥1 (−1)
𝑥2 ≥ 2𝑥1 − 2
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 -1
4 0
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 -2
1 0
3.- Gráfica de la región factible:
SOLUCIÓN
VACÍA
La inecuación uno y dos
se intersecan pero no
con el primer cuadrante.
Entonces se tiene una
solución vacía ya que no
hay la intersección de
todo el sistema de
inecuaciones.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método gráfico
Roberto Valencia Página 73
44. Ejercicio didáctico:
1.- Datos del problema:
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Producto A.
𝒙𝟐 = Producto B.
FUNCIÓN OBJETIVO:
Minimizar: 𝒁(𝒎𝒊𝒏) = 𝟏𝟎𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐
RESTRICCIONES:
{
−𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 = 𝟐𝟏 (𝟏)
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟓 (𝟐)
No negación: 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 ≥ 𝟎
2.- Cálculo de los puntos para graficar cada inecuación:
Inecuación # 1 Inecuación # 2
−𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 = 𝟐𝟏
𝟑𝒙𝟐 = 𝟐𝟏 + 𝒙𝟏
𝒙𝟐 =
𝟐𝟏 + 𝒙𝟏
𝟑
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 5
𝑥2 ≤ 5 − 𝑥1
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 7
-21 0
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 5
5 0
3.- Gráfica de la región factible:
SOLUCIÓN
VACÍA
La solución de la ecuación uno es
solo la recta. La intersección con
la inecuación dos es desde el
punto A hacia el infinito negativo,
seguido la recta uno. Pero no se
interseca con el primer
cuadrante. Entonces se tiene una
solución vacía.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 74
2.7. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR EL MÉTODO SIMPLEX
El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite mejorar la solución de la función
objetivo en cada paso. El proceso concluye cuando no es posible continuar mejorando dicho
valor, es decir, se ha alcanzado la solución óptima (el mayor o menor valor posible, según el
caso, para el que se satisfacen todas las restricciones). Partiendo del valor de la función objetivo
en un punto cualquiera, el procedimiento consiste en buscar otro punto que mejore el valor
anterior. Dichos puntos son los vértices del polígono (o poliedro, si el número de variables es
mayor de 2) que constituye la región determinada por las restricciones a las que se encuentra
sujeto el problema (llamada región factible). (Kolman & Hill, 2006, pág. 584); La búsqueda se
realiza mediante desplazamientos por las aristas del polígono, desde el vértice actual hasta uno
adyacente que mejore el valor de la función objetivo. Siempre que exista región factible, como
su número de vértices y de aristas es finito, será posible encontrar la solución. El método
Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo Z no toma su valor máximo en
el vértice A, entonces existe una arista que parte de A y a lo largo de la que el valor de Z
aumenta. Será necesario tener en cuenta que el método Simplex únicamente trabaja con
restricciones del problema cuyas inecuaciones sean del tipo "≤" (menor o igual) y sus
coeficientes independientes sean mayores o iguales a 0. Por tanto habrá que estandarizar las
restricciones para que cumplan estos requisitos antes de iniciar el algoritmo del Simplex. En el
caso que después de éste proceso aparezcan restricciones del tipo "≥" (mayor o igual) o "="
(igualdad), o no se puedan cambiar, será necesario emplear otros métodos de resolución, siendo
el más común el método de la M grande7.
Técnica M: Si todas las restricciones no son del tipo “≤”, es decir hay restricciones de “=” y
“≥”; entonces no es posible obtener una solución básica inicial con las variables de holgura, en
este caso se utilizan otras variables llamadas variables artificiales (ti) que se agregan a las
restricciones que son de tipo “≥” o “=” con coeficiente 1, en la función objetivo se penalizan
agregándolas con coeficiente muy alto si es minimización (+M) o muy bajo si es maximización
(–M). Las iteraciones se hacen igual que el simplex normal y las condiciones de optimización y
factibilidad son las mismas.
Pasos para la resolución de problemas por el método simplex
1. Se debe expresar las inecuaciones en forma de ecuaciones lineales con la utilización de
variables adicionales, tomando en cuenta el sentido de desigualdad en cada una de las
restricciones:
≤ sumamos una variable de holgura (+Si)
≥ restamos una variable de holgura y sumamos una variable artificial (-Si + Ti)
= sumamos una variable artificial (+Ti)
La función objetivo (Z) igualamos a cero, esto quiere decir que todas las variables
de decisión (Xi) y coeficientes M pasamos a la izquierda, así: −𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥𝑖 ±
𝑀 + 𝑍 = 0
2. Formamos una matriz denominada la matriz simplex, con todos los coeficientes de las
variables
7 Dantzig, G. Obtenido de http://www.phpsimplex.com/teoria_metodo_simplex.htm
http://www.phpsimplex.com/teoria_metodo_simplex.htm
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 75
Los encabezados de las columnas van en el orden visto en la tabla. Los encabezados de
las filas iniciamos con la función objetivo, y con respecto a las variables artificiales
tendremos coeficientes M ya sea positivos o negativos, depende de si estamos
maximizando o minimizando, los nombres de las otras filas se colocan en orden las
ecuaciones obtenidas en el paso 1. Dichos nombres son variables de holgura o
artificiales que sean positivos (Si ; Ti).En la columna de la solución van todos los
términos independientes, en donde estos variarán hasta llegar a la respuesta del
problema.
3. Columna Pívot.- Para los casos de maximización escogemos en la fila objetivo (z), el
coeficiente más negativo, esta variable será la que ingresa a la matriz simplex.
Para el caso de minimización se escoge el coeficiente más positivo.
4. Fila Pívot.- Para encontrar dicha fila o la variable que sale de la matriz, dividimos la
columna de la solución para la columna Pívot excepto el coeficiente de (Z) de la fila
objetivo, y seleccionamos el menor cociente, exceptuando los valores negativos y las
divisiones para cero.
5. Número Pívot.- la intersección de la fila pívot y columna pívot se denomina número
Pívot y aplicamos el teorema de “Gauss-Jordán” para resolver la matriz inicial simplex,
en donde el número Pívot debe iniciar en uno y por encima y debajo debe quedar cero,
aplicando operaciones básicas entre filas y columnas.
6. El problema habrá terminado cuando:
No existan más letras M en la fila objetivo (z).
Para el caso de la maximización todos los valores de la fila (Z) sean mayor o
igual a cero (positivos); y para el caso de la minimización cuando sean menor o
igual a cero (negativos); mientras tanto se procederá a realizar el número de
interacciones que sea necesario hasta llegar a la solución óptima.
Para la interpretación del resultado del problema, los valores de la solución se encuentran en la
última columna de la tabla final, donde se tomarán en cuenta las variables de decisión (X1, X2,
Xi) que son las que estábamos buscando en el problema, pero tambiénlas variables de holgura
(S1, S2, Si), y se interpreta como se detalla a continuación:
Si la restricción es “≤” existe un sobrante.
Si la restricción es “≥” existe un faltante.
Variables 𝑋1 𝑋2… 𝑆1 𝑆2… 𝑡1 𝑡2… 𝑡3 Solución
Z . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
3 ≤ 5
3 + 𝟐 = 5
3 + 𝑺𝟏 = 5
Se suma una variable
8 ≥ 6
8 − 𝟐 = 6
8 − 𝑺𝟏 = 5
Se resta una variable
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 76
2.7.1. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (MENOR
IGUAL: “≤ “)
Cuando aparecen inecuaciones con restricciones menores iguales solamente se suman variables
de holguras para que la inecuación quede expresada como ecuación, por lo que en este caso no
entran variables artificiales y por consecuencia los coeficientes M, se resuelven siguiendo los
pasos anteriores, hay que tener en cuenta que para ver la variable que ingresa se escoge el más
negativo, y se termina el proceso simplex cuando en la fila objetivo se tienen valores positivos o
ceros.
45. Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kg de titanio y 14 kg de
aluminio. Para fabricar 100 metros de cable de tipo A se necesitan 10 kg de cobre, 2 de
titanio y 1kg de aluminio, mientras que para fabricar 100 metros de cable de tipo B se
necesitan 15 kg de cobre, 1 de titanio y 1 de aluminio. El beneficio que se obtiene por
100 metros de cable de tipo A es de 1500 euros, y por 100 metros de cable de tipo B,
1000 euros. Calcular los metros de cable de cada tipo que hay que fabricar para
maximizar el beneficio de la empresa. Obtener dicho beneficio máximo.
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Cantidad de “rollos” A.
𝒙𝟐 = Cantidad de “rollos” B.
FUNCIÓN OBJETIVO: FILA OBJETIVO:
Maximizar:
𝒁 = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝒙𝟏 + 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒙𝟐
−1500𝑥1 − 1000𝑥2 + 𝑍 = 0
RESTRICCIONES: IGUALDADES:
{
𝟏𝟎 𝒙𝟏 + 𝟏𝟓 𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟗𝟓 (𝟏)
𝟐 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟎 (𝟐)
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟒 (𝟑)
{
10 𝑥1 + 15 𝑥2 + 𝑆1 = 195
2 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑆2 = 20
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑆3 = 14
TABLA INICIAL SIMPLEX
Formamos la matriz con los coeficientes de la fila objetivo y las igualdades, en los encabezados
de las filas, debajo de (Z), colocamos S1 que hace referencia a la primera ecuación, S2, S3 , que
hacen referencia a las siguientes dos ecuaciones, la variable que ingresa es X1, ya que
seleccionamos el más negativo (-1500); la variable que sale es S2, ya que el menor cociente
entre la columna de la respuesta y la columna pívot es: (
195
10
,
20
2
,
14
1
) es (10)
𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 R
Z -1500 -1000 0 0 0 0
𝑆1 10 15 1 0 0 195
𝑆2 2 1 0 1 0 20 (÷2)
𝑆3 1 1 0 0 1 14
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 77
El número pívot es el (2), por tal razón se hace uno dividiendo a toda la fila para dos, y luego
por encima y por debajo del número pívot se hacen ceros con operaciones básicas entre filas.
𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 R
Z -1500 -1000 0 0 0 0
𝑆1 10 15 1 0 0 195
𝑆2 1 0,5 0 0,5 0 10 (-10)(1500)(-1)
𝑆3 1 1 0 0 1 14
Continuando con el proceso ahora la variable que ingresa es X2, porque el más negativo es (-
250); la variable que sale es S3, ya que el menor cociente entre la columna de la respuesta y la
columna pívot es: (
95
10
,
10
0,5
,
4
0,5
) es (8), el número pívot es (0,5) por lo que a toda la fila
multiplicamos por dos, para que el número pívot se haga uno.
𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 R
Z 0 -250 0 750 0 15000
𝑆1 0 10 1 -5 0 95
𝑥1 1 0,5 0 0,5 0 10
𝑆3 0 0,5 0 -0,5 1 4 (*2)
Una vez que hemos hecho al número pívot uno, por encima de dicho número hacemos ceros con
operaciones básicas entre filas.
𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 R
Z 0 -250 0 750 0 15000
𝑆1 0 10 1 -5 0 95
𝑥1 1 0,5 0 0,5 0 10
𝑆3 0 1 0 -1 2 8 (-0,5)(-10)(250)
Continuando con el proceso simplex observamos que en la fila objetiva (Z) solamente tenemos
valores positivos y ceros, entonces esta es la condición para que se termine el proceso simplex
por tal razón hemos llegado al punto óptimo, y las respuestas se leen: los encabezados de las
filas que para este caso es: (Z, S1, X1, X2) con la columna de la solución o respuesta (R).
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 78
𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 R
Z 0 0 0 500 500 17000
𝑆1 0 0 1 5 -20 15
𝑥1 1 0 0 1 -1 6
𝑥2 0 1 0 -1 2 8
Solución:
Z 17000
𝒙𝟏 6
𝒙𝟐 8
Interpretación: El beneficio máximo asciende a 17000 euros y se obtiene fabricando 600
metros (6 rollos de 100 metros) de cable de tipo A y 800 metros (8 rollos de 100 metros) de tipo
B. Además se tiene un sobrante de 15 kg de cobre que nos representa la variable de holgura S1,
por lo que en el nuevo estudio de mercado se debería reformar para que no haya ningún tipo de
sobrante.
46. Un taller fabrica 2 clases de cinturones de piel. En cada cinturón A de alta calidad gana
40 centavos y en cada cinturón B de baja calidad gana 30 centavos. El taller puede
producir diariamente 500 cinturones de tipo B o 250 de tipo A. Solo se dispone de piel
para 400 cinturones diarios A y B combinados y de 200 hebillas elegantes para el
cinturón A y de 350 hebillas diarias para el cinturón B. ¿Qué producción maximizará la
ganancia?
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Cinturón A de alta calidad.
𝒙𝟐 = Cinturón B de baja calidad.
FUNCIÓN OBJETIVO: FILA OBJETIVO:
𝒁(𝒎𝒂𝒙) = 𝟒𝟎𝒙𝟏 + 𝟑𝟎𝒙𝟐 −40𝑥1 − 30𝑥2 + 𝑍 = 0
RESTRICCIONES: IGUALDADES:
{
𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟓𝟎𝟎 (𝟏)
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟒𝟎𝟎 (𝟐)
𝒙𝟏 ≤ 𝟐𝟎𝟎 (𝟑)
𝒙𝟐 ≤ 𝟑𝟓𝟎 (𝟒)
{
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑆1 = 500
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑆2 = 400
𝑥1 + 𝑆3 = 200
𝑥2 + 𝑆4 = 350
Recuerda:
Las variables que son los encabezados de las
columnas nunca cambian en el proceso simplex,
las que modifican son las variables que
encabezan las filas y al final estás llegan a ser
las soluciones del problema.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 79
TABLA INICIAL SIMPLEX
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹 COCIENTES
𝒁 −40 −30 0 0 0 0 0
𝑺𝟏 2 1 1 0 0 0 500 500 ÷ 2 = 250
𝑺𝟐 1 1 0 1 0 0 400 400 ÷ 1 = 400
𝑺𝟑 1 0 0 0 1 0 200 200 ÷ 1 = 200
𝑺𝟒 0 1 0 0 0 1 350 350 ÷ 0 = ∞
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹
𝒁 −40 −30 0 0 0 0 0
𝑺𝟏 2 1 1 0 0 0 500
𝑺𝟐 1 1 0 1 0 0 400
𝑺𝟑 1 0 0 0 1 0 200 (40)(-2)(-1)
𝑺𝟒 0 1 0 0 0 1 350
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹 Cocientes
𝒁 0 −30 0 0 40 0 8000
𝑺𝟏 0 1 1 0 −2 0 100 100 ÷ 1 = 100
𝑺𝟐 0 1 0 1 −1 0 200 200 ÷ 1 = 200
𝒙𝟏 1 0 0 0 1 0 200 200 ÷ 0 = ∞
𝑺𝟒 0 1 0 0 0 1 350 350 ÷ 1 = 350
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹 Cocientes
𝒁 0 0 30 0 −20 0 11000
𝒙𝟐 0 1 1 0 −2 0 100 100 ÷ −2 = −50
𝑺𝟐 0 0 −1 1 1 0 100 100 ÷ 1 = 100
𝒙𝟏 1 0 0 0 1 0 200 200 ÷ 1 = 200
𝑺𝟒 0 0 −1 0 2 1 250 250 ÷ 2 = 125
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹
𝒁 0 −30 0 0 40 0 8000
𝒙𝟐 0 1 1 0 −2 0 100 (30)(-1)(-1)
𝑺𝟐 0 1 0 1 −1 0 200
𝒙𝟏 1 0 0 0 1 0 200
𝑺𝟒 0 1 0 0 0 1 350
𝒙𝟏, ingresa; 𝑺𝟑, sale del
proceso simplex
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 80
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹
𝒁 0 0 30 0 −20 0 11000
𝒙𝟐 0 1 1 0 −2 0 100
𝑺𝟐 0 0 −1 1 1 0 100 (20)(2)(-1)(-2)
𝒙𝟏 1 0 0 0 1 0 200
𝑺𝟒 0 0 −1 0 2 1 250
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹
𝒁 0 0 10 20 0 0 13000
𝒙𝟐 0 1 1 2 0 0 300
𝑺𝟑 0 0 −1 1 1 0 100
𝒙𝟏 1 0 1 −1 0 0 100
𝑺𝟒 0 0 1 −2 0 1 50
Solución:
Z 13000
𝒙𝟏 100
𝒙𝟐 300
Interpretación: El beneficio máximo es de $13000 teniendo en cuenta que se debe fabricar100
cinturones de alta calidad y 300 cinturones de baja calidad, además se analiza que se utilizó toda
la capacidad (S1); se utilizó toda la cantidad de piel adquirida (S2); hubo un sobrante de 100
hebillas elegantes (S3); y también un sobrante de 50 hebillas de menor calidad (S4), por lo que se
recomienda para la próxima fabricación comprar todo lo necesario para no tener sobrantes de
materia prima.
47. Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B. No se puede cultivar más
de 8 hectáreas con olivos de tipo A, ni más de 10 hectáreas con olivos del tipo B. Cada
hectárea de olivos de tipo A necesita 4 m3de agua anual y cada una de tipo B, 3 m3. Se
dispone anualmente de 44 m3 de agua. Cada hectárea de tipo A requiere una inversión
de 500 € y cada una de tipo B, 225 €. Se dispone de 4500 € para realizar dicha
inversión. Si cada hectárea de olivos de tipo A y B, son 500 y 300 litros anuales de
aceite. Obtener razonadamente las hectáreas de cada tipo de olivo que se deben plantar
para maximizar la producción de aceite.
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Cantidad de hectáreas de olivo de tipo A.
𝒙𝟐 = Cantidad de hectáreas de olivo de tipo B.
FUNCIÓN OBJETIVO: FILA OBJETIVO:
Maximizar:
𝒁 = 𝟓𝟎𝟎𝒙𝟏 + 𝟑𝟎𝟎𝒙𝟐
−500𝑥1 − 300𝑥2 + 𝑍 = 0
Cocientes no válidos para la
variable que ingresa:
200 ÷ 0 = ∞; 100 ÷ −2 = −50
Cociente válido: 0 ÷ 10 = 0
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 81
RESTRICCIONES: IGUALDADES:
{
𝟒𝒙𝟏 + 𝟑𝐱𝟐 ≤ 𝟒𝟒 (𝟏)
𝟓𝟎𝟎𝒙𝟏 + 𝟐𝟐𝟓𝒙𝟐 ≤ 𝟒𝟓𝟎𝟎 (𝟐)
𝒙𝟏 ≤ 𝟖 (𝟑)
𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟎 (𝟒)
{
4𝑥1 + 3x2 + S1 = 44
20𝑥1 + 9𝑥2 + 𝑆2 = 180
𝑥1 + 𝑆3 = 8
𝑥2 + 𝑆4 = 10
TABLA INICIAL SIMPLEX
𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑆4 R
Z -5 -3 0 0 0 0 0
𝑆1 4 3 1 0 0 0 44
𝑆2 20 9 0 1 0 0 180
𝑆3 1 0 0 0 1 0 8 (-20)(-4)(5)
𝑆4 0 1 0 0 0 1 10
𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑆4 R
z 0 -3 0 0 5 0 40
𝑆1 0 3 1 0 -4 0 12
𝑆2 0 9 0 1 -20 0 20 (÷9)
𝑋1 1 0 0 0 1 0 8
𝑆4 0 1 0 0 0 1 10
𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑆4 R
z 0 -3 0 0 5 0 40
𝑆1 0 3 1 0 -4 0 12
𝑆2 0 1 0 1
9
−
20
9
0 20
9
(-3) (3) (-1)
𝑋1 1 0 0 0 1 0 8
𝑆4 0 1 0 0 0 1 10
Recuerda
Para facilitar los cálculos a la función
objetivo (Z) dividimos para 100.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 82
𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑆4 R
z 0 0 0
1
3
−
5
3
0
140
3
𝑆1 0 0 1 −
1
3
8
3
0
16
3
(÷ 8/3)
𝑋2 0 1 0
1
9
-
20
9
0
20
9
𝑋1 1 0 0 0 1 0 8
𝑆4 0 0 0 −
1
9
20
9
1
70
9
𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑆4 R
z 0 0 0
1
3
−
5
3
0
140
3
𝑆1 0 0
3
8
−
1
8
1 0 2
(5/3) (20/9) (-1) (-20/9)
𝑋2 0 1 0
1
9
−
20
9
0
20
9
𝑋1 1 0 0 0 1 0 8
𝑆4 0 0 0 −
1
9
20
9
1
70
9
𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑆4 R
Z 0 0
5
8
1
8
0 0 50
𝑆3 0 0
3
8
−
1
8
1 0 2
𝑋2 0 1
5
6
−
1
6
0 0
20
3
𝑋1 1 0 −
3
8
1
8
0 0 6
𝑆4 0 0 −
5
6
1
6
0 1
10
3
Nota:
El problema está resuelto cuando en la fila objetivo (Z) han
quedado valores mayores o iguales a cero.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 83
Solución:
Interpretación: Se deben producir 6 hectáreas de olivo del tipo A y 7 hectáreas de olivo del
tipo B, para maximizar la utilidad a 5000. Observamos también que no se ha cubierto en su
totalidad el espacio del terreno que es 2 hectáreas para el olivo de tipo A, y también de 3
hectáreas para el olivo de tipo B, por lo cual se debería utilizar todo el terreno para aumentar la
utilidad actual.8
48. Una fábrica elabora tres tipos de tornillos grandes, medianos y pequeños de los cuales
se debe producir no más de 800.000 tornillos grandes y entre medianos y pequeños no
más de 100.000 para satisfacer las demandas de las siguientes 4 semanas. Estos tornillos
se pueden producir en una máquina que está disponible 80 horas a la semana. Los
requerimientos de costo y tiempo son:
Tornillos
Grandes
Tornillos
Medianos
Tornillos
Pequeños
Precio de venta
(precio libra)
32,50 27,50 20,50
Costo de máquina
(precio libra)
8,2 7,75 6,25
Tiempo de máquina 2 horas 1,5 horas 1,4 horas
Cada libra contiene 40 grandes, 50 medianos, y 60 pequeños. Los trabajadores laboran en dos
turnos y perciben sueldos que no afectan el precio del tornillo. Hallar la fórmula matemática y la
mejor mezcla para mejorar la utilidad.
Nota: Utilidad por libra = Precio de venta – Costo de máquina.
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Libras tornillos grandes.
𝒙𝟐 = Libras tornillos medianos.
𝒙𝟑 = Libras tornillos pequeños.
FUNCIÓN OBJETIVO: FILA OBJETIVO:
Maximizar:
𝒁 = 𝟐𝟒, 𝟑𝒙𝟏 + 𝟏𝟗, 𝟕𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟒, 𝟐𝟓𝒙𝟑
−24,3𝑥1 − 19,75𝑥2 − 14,25𝑥3 + 𝑍 = 0
RESTRICCIONES: IGUALDADES:
{
𝟒𝟎𝒙𝟏 ≤ 𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ÷ 𝟏𝟎
𝟓𝟎𝒙𝟐 + 𝟔𝟎𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ÷ 𝟏𝟎
𝟐𝒙𝟏 + 𝟏, 𝟓𝒙𝟐 + 𝟏, 𝟒𝒙𝟑 ≤ 𝟑𝟐𝟎
{
4𝑥1 + 𝑆1 = 80000
5𝑥2 + 6𝑥3 + 𝑆2 = 100000
2𝑥1 + 1,5𝑥2 + 1,4𝑥3 + 𝑆3 = 320
8 http://www.economicas.unsa.edu.ar/mcneco/archivos/parciales/Parcial%202014_P1_B%20-%20Solucion.pdf
Z 5000
𝒙𝟏 6
𝒙𝟐 6,67
Recuerda
La respuesta de (z) de la última tabla,
multiplicamos por 100, porque al inicio
dividimos para dicho valor.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 84
{
𝟒𝒙𝟏 ≤ 𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 (𝟏)
𝟓𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 (𝟐)
𝟐𝒙𝟏 + 𝟏, 𝟓𝒙𝟐 + 𝟏, 𝟒𝒙𝟑 ≤ 𝟑𝟐𝟎 (𝟑)
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 -24,3 -19,75 -14,25 0 0 0 0
𝑺𝟏 4 0 0 1 0 0 80000
𝑺𝟐 0 5 6 0 1 0 100000
𝑺𝟑 2 1,5 1,4 0 0 1 320 ÷ 2
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 -24,3 -19,75 -14,25 0 0 0 0
𝑺𝟏 4 0 0 1 0 0 80000
𝑺𝟐 0 5 6 0 1 0 100000
𝑺𝟑 1 3
4
7
10
0 0 1
2
160 (-4) (24,3)
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 0
−
61
40
69
25
0 0 243
20
3888
𝑺𝟏 0 -3 −
14
5
1 0 -2 79360
𝑺𝟐 0 5 6 0 1 0 100000
𝒙𝟏 1 3
4
7
10
0 0 1
2
160
÷
3
4
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 0
−
61
40
69
35
0 0 243
20
3888
𝑺𝟏 0 -3 −
14
5
1 0 -2 79360
𝑺𝟐 0 5 6 0 1 0 100000
𝒙𝟏 4
3
1 14
15
0 0 2
3
640
3
(
61
40
) (3)(−5)
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁
61
30
0
251
60
0 0
79
6
4213,33
𝑺𝟏 4 0 0 1 0 0 80000
𝑺𝟐 −
20
30
0 −
14
3
0 1 −
10
3
98933,33
𝒙𝟐
4
3
1
14
15
0 0
2
3
213,33
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 85
Solución:
Z 4213,33 𝒙1 0
𝒙2 213,33 𝒙3 0
Interpretación: El beneficio máximo es de $4213,33 teniendo en cuenta que se debe fabricar
213 tornillos medianos, y que los otros tipos de tornillos como los grandes y pequeños no harían
falta fabricar para maximizar la ganancia, por lo que se recomienda realizar un nuevo estudio
para fabricar los tres tipos de tornillos y con ellos tener una máxima ganancia.
49. Problema didáctico, cuando se presenta las siguientes características:
Se debe cambiar el sentido de desigualdad
Se tiene el mismo cociente, para elegir la variable que sale
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Producto A.
𝒙𝟐 = Producto B.
𝒙𝟑 = Producto C.
FUNCIÓN OBJETIVO: FILA OBJETIVO:
Maximizar:
𝒁 = 𝟑𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 +
𝟑
𝟐
𝒙𝟑
−3𝑥1 − 4𝑥2 −
3
2
𝑥3 + 𝑍 = 0
RESTRICCIONES: IGUALDADES:
{
−𝒙𝟏 − 𝟐𝒙𝟐 ≥ −𝟏𝟎 ∗ (−𝟏)
𝟐𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟎
{
𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟎 (𝟏)
𝟐𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟎 (𝟐)
{
𝑥1 + 2𝑥2+ 𝑆1 = 10
2𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 + 𝑆2 = 10
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 Cocientes
𝒁 -3 -4
−
3
2
0 0 0
𝑺𝟏 1 2 0 1 0 10 10 ÷ 2 = 5
𝑺𝟐 2 2 1 0 1 10 10 ÷ 2 = 5
Nota:
Las variables de decisión
(𝒙1, 𝒙3) no aparecen en el
encabezado de las filas. Entonces
dichas variables toman el valor de
cero.
NOTA: Multiplicamos por (-1) para
cambiar el sentido de la desigualdad
y así obtener el signo .
NOTA:
Tenemos
el mismo
cociente
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 86
Seleccionando la variable saliente 𝑺𝟏
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 -3 -4
−
3
2
0 0 0
𝑺𝟏 1 2 0 1 0 10 ÷ 2
𝑺𝟐 2 2 1 0 1 10
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 -3 -4
−
3
2
0 0 0
𝑺𝟏 1
2
1 0 1
2
0 5 (4)(-2)
𝑺𝟐 2 2 1 0 1 10
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 -1 0
−
3
2
2 0 20
𝒙𝟐 1
2
1 0 1
2
0 5 5 ÷ 0 = ∞
𝑺𝟐 1 0 1 -1 1 0 0 ÷ 1 = 0
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 -1 0
−
3
2
2 0 20
𝒙𝟐 1
2
1 0 1
2
0 5
𝑺𝟐 1 0 1 -1 1 0 (
3
2
)
𝒙𝟏
𝒙𝟐
𝒙𝟑
𝑺𝟏
𝑺𝟐
𝑹
𝒁 1
2
0 0 1
2
0 20
𝒙𝟐 1
2
1 0 1
2
0 5
𝒙𝟑 1 0 1 -1 1 0
Solución:
Z 20
𝒙2 5
𝒙3 0
𝒙1 0
Nota:
Solución: Z=20; 𝑥1 = 0; 𝑥2 = 5; 𝑥3 = 0
La respuesta de (Z) y las variables de
decisión es la misma por cualquiera de
los dos caminos.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 87
Seleccionando la variable saliente 𝑺𝟐
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 -3 -4
−
3
2
0 0 0
𝑺𝟏 1 2 0 1 0 10
𝑺𝟐 2 2 1 0 1 10 ÷ 2
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 -3 -4
−
3
2
0 0 0
𝑺𝟏 1 2 0 1 0 10
𝑺𝟐 1 1 1
2
0 1
2
5 (-2)(4)
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 1 0 1
2
0 2 20
𝑺𝟏 -1 0 -1 1 -1 0
𝒙𝟐 1 1 1
2
0 1
2
5
Solución:
Z 20
𝒙2 5
𝒙3 0
𝒙1 0
2.7.2. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (MAYOR
IGUAL: “≥ “)
Cuando aparecen inecuaciones con restricciones mayores iguales se restan variables de
holgura, y se suman variables artificiales, para que las inecuaciones queden expresadas como
igualdades, en este caso por cada variable artificial se resta un coeficiente M (en la función
objetivo). Se arma la matriz aumentada con todas las variables, y se proceda hacer cero al
coeficiente M de las variables artificiales en la fila objetivo. En la matriz simplex, por cada
variable artificial que sale, se puede eliminar la columna de dicha variable artificial para reducir
los cálculos de la matriz simplex, si las variables artificiales (Ti) no salen de la matriz simplex
entonces el problema está mal planteado o hay errores en la resolución de la matriz simplex. De
la misma manera se termina el proceso simplex cuando en la fila objetivo se tienen valores
positivos o ceros, y además los coeficientes M se han eliminado en el proceso de la resolución
de la matriz simplex.
𝑥1 = 0; 𝑥2 = 5; 𝑥3 = 0
Nota:
Seleccionando las variables
salientes 𝑆1, 𝑆2: llegamos a la
misma solución de Z=20;
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 88
50. Una empresa monta dos tipos de pales. Los pales de tipo 1 contienen un producto P1 y
los pales de tipo 2 contienen, a su vez, dos productos P2. Con la venta de cada pale de
tipo 1, la empresa tiene un beneficio neto de 2 unidades monetarias (USD) Igualmente,
la empresa tiene un beneficio neto de 1 USD con cada pale de tipo 2. Los pales deben
ser preparados en dos talleres, T1 y T2, de los que se dispone Los talleres de un total de
30 y 16 horas semanales, respectivamente, para realizar las operaciones
correspondientes a cada uno de ellos. Cada pale 1 requiere 3 horas de preparación en
T1 y 4 horas de preparación en T2. Cada pale 2 requiere 1 hora de preparación en T1 y 3
horas de preparación en T2. Además, existe un compromiso comercial de entregar al
menos 4 productos semanales, donde estos cuatro productos pueden ser cualquier
combinación de productos P1 y P2. Por último, existe un colectivo respecto del cual la
empresa tiene un compromiso consistente en emplear un número mínimo de horas de
dicho colectivo. Con cada palé de tipo 1 se emplea una hora de este colectivo y con
cada pale 2 se ocupan 3 horas del mismo. La empresa debe ocupar al menos 5 horas de
mano de obra del colectivo citado.
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Número de unidades de pales de tipo 1.
𝒙𝟐 = Número de unidades de pales de tipo 2.
FUNCIÓN OBJETIVO: FILA OBJETIVO:
Maximizar:
𝒛 = 𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 − 𝑴𝒕𝟏 − 𝑴𝒕𝟐
−2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑀𝑡1 + 𝑀𝑡2 + 𝑧 = 0
RESTRICCIONES: IGUALDADES:
{
𝟑𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟑𝟎 (𝟏)
𝟒𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟔 (𝟐)
𝒙𝟏+𝟐𝒙𝟐 ≥ 𝟒 (𝟑)
𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≥ 𝟓 (𝟒)
{
3𝑥1 + 𝑥2 + 𝑆1 = 30
4𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑆2 = 16
𝑥1+2𝑥2 − 𝑆3 + 𝑡1 = 4
𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑆4 + 𝑡2 = 5
MATRIZ AUMENTADA
Recuerda
Por cada variable artificial, restamos un coeficiente M en la función objetivo.
Se tiene dos restricciones con ≥, por lo que se resta una variable de holgura y se
suma una variable artificial, para luego continuar con la matriz. aumentada.
Matriz aumentada
Para los encabezados de las filas, seleccionamos las
variables positivas, para el caso de las dos últimas
restricciones son las variables artificiales: t1, t2.
Hacemos cero todos los coeficientes M de las
variables artificiales, de la fila objetivo, con pívot en la
intersección de las variables artificiales.
Palé
Es un armazón de
madera, plástico u otro
material empleado en el
movimiento de carga.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 89
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝑹
𝒁 -2 -1 0 0 0 0 M M 0
𝑺𝟏 3 1 1 0 0 0 0 0 30
𝑺𝟐 4 3 0 1 0 0 0 0 16
𝒕𝟏 1 2 0 0 -1 0 1 0 4 (-M)
𝒕𝟐 1 3 0 0 0 -1 0 1 5
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝑹
𝒁 -2-M -1-2M 0 0 M 0 0 M -4M
𝑺𝟏 3 1 1 0 0 0 0 0 30
𝑺𝟐 4 3 0 1 0 0 0 0 16
𝒕𝟏 1 2 0 0 -1 0 1 0 4
𝒕𝟐 1 3 0 0 0 -1 0 1 5 (-M)
TABLA INICIAL SIMPLEX
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝑹
𝒁 -2-2M -1-5M 0 0 M M 0 0 -9M
𝑺𝟏 3 1 1 0 0 0 0 0 30
𝑺𝟐 4 3 0 1 0 0 0 0 16
𝒕𝟏 1 2 0 0 -1 0 1 0 4
𝒕𝟐 1 3 0 0 0 -1 0 1 5 ÷ 3
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝑹
𝒁 -2-2M -1-5M 0 0 M M 0 0 -9M
𝑺𝟏 3 1 1 0 0 0 0 0 30
𝑺𝟐 4 3 0 1 0 0 0 0 16
𝒕𝟏 1 2 0 0 -1 0 1 0 4
𝒕𝟐 1
3
1 0 0 0
−
1
3
0 1
3
5
3
(-2)(-3)(-1)(1+5M)
Tabla inicial simplex
Una vez hecho ceros los coeficientes M de las variables
artificiales, se tiene una z inicial en función de M, en
este caso 𝒁 = −𝟗𝑴, por lo que se procede a resolver
por el método simplex anteriormente estudiado.
Cuando las variables artificiales salen del proceso
simplex se pueden eliminar las columnas de dichas
variables (tn).
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 90
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝒕𝟏 𝑹
𝒁 −
5
3
−
1
3
𝑀 0 0 0 M −
1
3
−
2
3
𝑀 0
5
3
−
2
3
𝑀
𝑺𝟏 8
3
0 1 0 0 1
3
0 85
3
𝑺𝟐 3 0 0 1 0 1 0 11
𝒕𝟏 1
3
0 0 0 -1 2
3
1 2
3
÷
2
3
𝒙𝟐 1
3
1 0 0 0
−
1
3
0 5
3
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝒕𝟏 𝑹
𝒁 −
5
3
−
1
3
𝑀 0 0 0 M −
1
3
−
2
3
𝑀 0
5
3
−
2
3
𝑀
𝑺𝟏 8
3
0 1 0 0 1
3
0 85
3
𝑺𝟐 3 0 0 1 0 1 0 11
𝒕𝟏 1
2
0 0 0
−
3
2
1 3
2
1 (
1
3
) (−1) (−
1
3
) (
1
3
+
2
3
𝑀)
𝒙𝟐 1
3
1 0 0 0
−
1
3
0 5
3
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹
𝒁 −
3
2
0 0 0
−
1
2
0
2
𝑺𝟏
5
2
0 1 0
1
2
0 28
𝑺𝟐
5
2
0 0 1
3
2
0 10
𝑺𝟒 1
2
0 0 0
−
3
2
1 1
÷
1
2𝒙𝟐 1
2
1 0 0
−
1
2
0 2
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹
𝒁 −
3
2
0 0 0
−
1
2
0
2
𝑺𝟏
5
2
0 1 0
1
2
0 28
𝑺𝟐
5
2
0 0 1
3
2
0 10
𝑺𝟒 1 0 0 0 -3 2 2 (−
1
2
) (−
5
2
) (−
5
2
) (
3
2
)
𝒙𝟐 1
2
1 0 0
−
1
2
0 2
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹
𝒁 0 0 0 0 -5 3 5
𝑺𝟏 0 0 1 0 8 -5 23
𝑺𝟐 0 0 0 1 9 -5 5 ÷ 9
𝒙𝟏 1 0 0 0 -3 2 2
𝒙𝟐 0 1 0 0 1 -1 1
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 91
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹
𝒁 0 0 0 0 -5 3 5
𝑺𝟏 0 0 1 0 8 -5 23
𝑺𝟐 0 0 0 1
9
1
−
5
9
5
9
(-8)(5)(3)(-1)
𝒙𝟏 1 0 0 0 -3 2 2
𝒙𝟐 0 1 0 0 1 -1 1
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹
𝒁 0 0 0 5
9
0 2
9
70
9
𝑺𝟏 0 0 1 −
8
9
0
−
5
9
167
9
𝑺𝟑 0 0 0 1
9
1
−
5
9
5
9
𝒙𝟏 1 0 0 1
3
0 1
3
11
3
𝒙𝟐 0 1 0 −
1
9
0
−
4
9
4
9
Solución:
Z 7,78
𝒙1 11/3
𝒙2 4/9
Interpretación: Se montan, por término medio, 11 pales de tipo 1 cada tres semanas
(𝑥1 = 11/3) y se montan, por término medio 4 palés de tipo 2 cada nueve semanas
(𝑥2 = 4/9) con lo que se obtiene un beneficio semanal de 7.78 USD.
51. Una persona quiere invertir $ 100000 en dos tipos de acciones A y B. Las de tipo A
tienen más riesgo, pero producen un beneficio del 10%. Las de tipo B son más seguras,
pero producen solo el 7% nominal. Decide invertir como máximo $ 60000 en la compra
de acciones A y, por lo menos, $ 20000 en la compra de acciones B. Además, quiere
que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo debe invertir
los $ 100000 para que el beneficio anual sea máximo?
VARIABLES:
Para maximización el proceso simplex se
termina cuando en la fila objetivo queden
valores ≥ 0, y también hayan desaparecido
los coeficientes M y que todas las variables
artificiales hayan salido de la matriz simplex.
Para facilitar el cálculo se
dividió a todos los valores
para 10000.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 92
𝒙𝟏 = Acciones tipo A.
𝒙𝟐 = Acciones tipo B.
FUNCIÓN OBJETIVO: FILA OBJETIVO:
Maximizar:
𝒁 = 𝟎, 𝟏𝒙𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟕𝒙𝟐 − 𝑴𝒕𝟏
−0,1𝑥1 − 0,07𝑥2 + 𝑀𝑡1 + 𝑍 = 0
Z inicial de la tabla simplex: 𝒁 = −𝟐𝑴
RESTRICCIONES: IGUALDADES:
{
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟎 (𝟏)
𝒙𝟏 ≤ 𝟔 (𝟐)
𝒙𝟐 ≥ 𝟐 (𝟑)
𝒙𝟏 ≥ 𝒙𝟐 (𝟒)
{
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑆1 = 10
𝑥1 + 𝑆2 = 6
𝑥2 − 𝑆3 + 𝑡1 = 2
−𝑥1 + 𝑥2 + 𝑆4 = 0
MATRIZ AUMENTADA
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝒕𝟏 𝑹
𝒁 -0,1 -0,07 0 0 0 0 M 0
𝑺𝟏 1 1 1 0 0 0 0 10
𝑺𝟐 1 0 0 1 0 0 0 6
𝒕𝟏 0 1 0 0 -1 0 1 2 (-M)
𝑺𝟒 -1 1 0 0 0 1 0 0
MATRIZ INICIAL SIMPLEX
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹
𝒁 -0,1 -0,07-M 0 0 M 0 -2M
𝑺𝟏 1 1 1 0 0 0 10
𝑺𝟐 1 0 0 1 0 0 6
𝒕𝟏 0 1 0 0 -1 0 2 (-1)(0,07+M)
𝑺𝟒 -1 1 0 0 0 1 0
Importante:
Por comprobación en los siguientes ejemplos que voy
a resolver por el método simplex, utilizando el método
de la M, a partir de la matriz simplex inicial se
eliminará la o las columnas de las variables artificiales.
Para facilitar los cálculos de la matriz.
Nota:
A la cuarta inecuación multiplicamos
por (-1) para tener la restricción con el
sentido de desigualdad (≤).
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 93
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹
𝒁 -0,1 0 0 0 -0,07 0 0,14
𝑺𝟏 1 0 1 0 1 0 8
𝑺𝟐 1 0 0 1 0 0 6 (-1)(0,1)(1)
𝒙𝟐 0 1 0 0 -1 0 2
𝑺𝟒 -1 0 0 0 1 1 -2
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹
𝒁 0 0 0 0,1 -0,07 0 0,74
𝑺𝟏 0 0 1 -1 1 0 2 (0,07)(1)(-1)
𝒙𝟏 1 0 0 1 0 0 6
𝒙𝟐 0 1 0 0 -1 0 2
𝑺𝟒 0 0 0 1 1 1 4
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹
𝒁 0 0 0,07 0,03 0 0 0,88
𝑺𝟑 0 0 1 -1 1 0 2
𝒙𝟏 1 0 0 1 0 0 6
𝒙𝟐 0 1 1 -1 0 0 4
𝑺𝟒 0 0 -1 2 0 1 2
Solución:
Z 0,88*10000=8800
𝒙1 6*10000=60000
𝒙2 4*1000=40000
Interpretación: La persona debe invertir 60000 en acciones tipo A, que tienen más riesgos y
40000 en las acciones tipo B, que son más seguras para obtener un beneficio combinado
máximo de $ 8800.
2.7.3. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO
(IGUAL: “ = “)
Cuando aparecen inecuaciones con restricciones iguales solamente se suman variables
artificiales, para tener una ecuación apta para la resolución por el método simplex, en este caso
también por cada variable artificial se resta un coeficiente M (en la función objetivo). Se arma
la matriz aumentada con todas las variables, y se procede hacer cero al coeficiente M de las
variables artificiales en la fila objetivo. En la matriz simplex por cada variable artificial que sale
se puede eliminar la columna de dicha variable artificial para reducir los cálculos de la matriz
simplex, si las variables artificiales (Ti) no salen de la matriz simplex entonces el problema está
mal planteado o hay errores en la resolución de la matriz simplex. De la misma manera se
termina el proceso simplex cuando en la fila objetivo se tienen valores positivos o ceros, y
además los coeficientes M se han eliminado en el proceso de la resolución de la matriz simplex.
Para la solución interpretada,
tenemos que aumentar cuatro
ceros en (Z) y las variables de
decisión, porque recuerda
que al inicio dividimos para
10000.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 94
52. El folleto informativo de un fondo de inversión establece que todo el dinero está
invertido en bonos que están considerados como “A”, “AA”, “AAA”; no más del 30%
de la inversión total se encuentra en bonos “A” y “AA” y al menos el 50% está en
bonos “AA” y “AAA” respectivamente, se obtiene 8%, 7%, y 6% anual. Determine los
porcentajes de la inversión total de modo de que el fondo maximice el rendimiento
anual. ¿Cuál es ese rendimiento?
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Inversión A.
𝒙𝟐 = Inversión AA.
𝒙𝟑 = Inversión AAA.
FUNCIÓN OBJETIVO: FILA OBJETIVO:
Maximizar:
𝒁 =
𝟖
𝟏𝟎𝟎
𝒙𝟏 +
𝟕
𝟏𝟎𝟎
𝒙𝟐 +
𝟔
𝟏𝟎𝟎
𝒙𝟑 − 𝑴𝒕𝟏 − 𝑴𝒕𝟐
−
2
25
𝑥1 −
7
100
𝑥2 −
3
50
𝑥3 + 𝑀𝑡1 + 𝑀𝑡2 = 0
Z inicial de la tabla simplex: 𝒁 = −
𝟑
𝟐
𝑴
RESTRICCIONES: IGUALDADES:
{
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝟏 (𝟏)
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤
𝟑
𝟏𝟎
(𝟐)
𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ≥
𝟏
𝟐
(𝟑)
{
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑡1 = 1
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑆1 =
3
10
𝑥2 + 𝑥3 − 𝑆2 + 𝑡2 =
1
2
MATRIZ AUMENTADA
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝑹
𝒁 −
2
25
−
7
100
−
3
50
0 0 M M 0
𝒕𝟏 1 1 1 0 0 1 0 1 (-M)
𝑺𝟏 1 1 0 1 0 0 0 3
10
𝒕𝟐 0 1 1 0 -1 0 1 1
2
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝑹
𝒁 −
2
25
− 𝑀 −
7
100
− 𝑀 −
3
50
− 𝑀 0 0 0 M -M
𝒕𝟏 1 1 1 0 0 1 0 1
𝑺𝟏 1 1 0 1 0 0 0 3
10
𝒕𝟐 0 1 1 0 -1 0 1 1
2
(-M)
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 95
TABLA INICIAL SIMPLEX
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁
−
2
25
− 𝑀 −
7
100
− 2𝑀 −
3
50
− 2𝑀 0 M −
3
2
𝑀
𝒕𝟏 1 1 1 0 0 1
𝑺𝟏 1 1 0 1 0 3
10
(-1)(
7
100
+ 2𝑀)
𝒕𝟐 0 1 1 0 -1 1
2
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 −
1
100
+ 𝑀 0 −
3
50
− 2𝑀
7
100
+ 2𝑀 M
21
1000
−
9
10
𝑀
𝒕𝟏 0 0 1 -1 0 7
10
𝒙𝟐 1 1 0 1 0 3
10
𝒕𝟐 -1 0 1 -1 -1 1
5
(-1)(
3
50
+ 2𝑀)
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁
−
7
100
− 𝑀 0 0
1
100
−
3
50
− 𝑀
33
1000
−
1
2
𝑀
𝒕𝟏 1 0 0 0 1 1
2
𝒙𝟐 1 1 0 1 0 3
10
(-1)(
7
100
+ 𝑀)(1)
𝒙𝟑 -1 0 1 -1 -1 1
5
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 0
7
100
+ 𝑀 0
2
25
+ 𝑀 −
3
50
− 𝑀
27
500
−
1
5
𝑀
𝒕𝟏 0 -1 0 -1 1 1
5
(
3
50
+ 𝑀)(1)
𝒙𝟏 1 1 01 0 3
10
𝒙𝟑 0 1 1 0 -1 1
2
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 0
1
100
0
1
50
0
33
500
𝑺𝟐 0 -1 0 -1 1 1
5
𝒙𝟏 1 1 0 1 0 3
10
𝒙𝟑 0 0 1 -1 0 7
10
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 96
Solución:
Z 0,066
𝒙1 0,3
𝒙2 0
𝒙3 0,7
Interpretación: El fondo de inversiones debe invertir un 30% en inversión tipo A, 0% en
inversión tipo AA, y 70% en inversión tipo AAA, para tener un rendimiento máximo del 6,6%.
2.8. MINIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX
Para minimizar por el método simplex se siguen los mismos pasos que para maximización, pero
para minimizar hay que tener en cuenta los siguientes aspectos:
Por cada variable artificial se suma un coeficiente M (en la función objetivo).
Para ver la variable que ingresa se escoge el más positivo.
Se termina el proceso simplex cuando en la fila objetivo se tienen valores negativos o
ceros.
53. Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta
calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2
toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas
de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad.
Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 dólares en cada mina ¿Cuántos
días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Mina A.
𝒙𝟐 = Mina B.
FUNCIÓN OBJETIVO:
Minimizar: 𝒁 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝒙𝟏 + 𝟐𝟎𝟎𝟎𝒙𝟐 + 𝑴𝒕𝟏 + 𝑴𝒕𝟐 + 𝑴𝒕𝟑
FILA OBJETIVO:−𝟐𝟎𝟎𝟎𝒙𝟏 − 𝟐𝟎𝟎𝟎𝒙𝟐 − 𝑴𝒕𝟏 − 𝑴𝒕𝟐 − 𝑴𝒕𝟑 + 𝒁 = 𝟎
Z inicial de la tabla simplex: 𝒁 = 𝟒𝟒𝟎𝑴
RESTRICCIONES: IGUALDADES:
{
𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≥ 𝟖𝟎 (𝟏)
𝟑𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≥ 𝟏𝟔𝟎 (𝟐)
𝟓𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≥ 𝟐𝟎𝟎 (𝟑)
{
𝑥1 + 2𝑥2 − S1 + 𝑡1 = 80
3𝑥1 + 2𝑥2 − S2 + 𝑡2 = 160
5𝑥1 + 2𝑥2 − S3 + 𝑡3 = 200
Nota:
Las respuestas obtenidas en el
problema multiplicamos por
100 para dar en porcentaje.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 97
MATRIZ AUMENTADA
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝒕𝟑 𝑹
𝒁 -2 -2 0 0 0 -M -M -M 0
𝒕𝟏 1 2 -1 0 0 1 0 0 80 (M)
𝒕𝟐 3 2 0 -1 0 0 1 0 160
𝒕𝟑 5 2 0 0 -1 0 0 1 200
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝒕𝟑 𝑹
𝒁 -2+M -2+2M -M 0 0 0 -M -M 80M
𝒕𝟏 1 2 -1 0 0 1 0 0 80
𝒕𝟐 3 2 0 -1 0 0 1 0 160 (M)
𝒕𝟑 5 2 0 0 -1 0 0 1 200
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝒕𝟑 𝑹
𝒁 -2+4M -2+4M -M -M 0 0 0 -M 240M
𝒕𝟏 1 2 -1 0 0 1 0 0 80
𝒕𝟐 3 2 0 -1 0 0 1 0 160
𝒕𝟑 5 2 0 0 -1 0 0 1 200 (M)
TABLA INICIAL SIMPLEX
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 -2+9M -2+6M -M -M -M 440M
𝒕𝟏 1 2 -1 0 0 80
𝒕𝟐 3 2 0 -1 0 160
𝒕𝟑 5 2 0 0 -1 200 ÷ 5
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 -2+9M -2+6M -M -M -M 440M
𝒕𝟏 1 2 -1 0 0 80
𝒕𝟐 3 2 0 -1 0 160
𝒕𝟑 1 2
5
0 0
−
1
5
40 (-3)(-1)(2-9M)
Por experiencia en la resolución de estos
ejercicios eliminamos las columnas de
las variables artificiales (𝒕𝟏, 𝒕𝟐, 𝒕𝟑), en
la tabla inicial simplex.
Para obtener la matriz inicial
simplex, lo podemos obtener
con un solo paso multiplicando
por (M) a cada fila de
(𝒕𝟏), y sumamos a la fila (Z).
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 98
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 0
−
6
5
+
12
5
𝑀
-M -M
−
2
5
+
4
5
𝑀
80+80M
𝒕𝟏 0 8
5
-1 0 1
5
40
÷
8
5
𝒕𝟐 0 4
5
0 -1 3
5
40
𝒙𝟏 1 2
5
0 0
−
1
5
40
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 0
−
6
5
+
12
5
𝑀
-M -M
−
2
5
+
4
5
𝑀
80+80M
𝒕𝟏 0 1 −
5
8
0 1
8
25 (
6
5
−
12
5
𝑀)(−
4
5
) (−
2
5
)
𝒕𝟐 0 4
5
0 -1 3
5
40
𝒙𝟏 1 2
5
0 0
−
1
5
40
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 0 0
−
3
4
+
1
2
𝑀
-M
−
1
4
+
1
2
𝑀
110+20M
𝒙𝟐 0 1 −
5
8
0 1
8
25
𝒕𝟐 0 0 1
2
-1 1
2
20
÷
1
2
𝒙𝟏 1 0 1
4
0
−
1
4
30
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 0 0
−
3
4
+
1
2
𝑀
-M
−
1
4
+
1
2
𝑀
110+20M
𝒙𝟐 0 1 −
5
8
0 1
8
25
𝒕𝟐 0 0 1 -2 1 40 (−
1
8
) (
1
4
−
1
2
𝑀) (
1
4
)
𝒙𝟏 1 0 1
4
0
−
1
4
30
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 0 0
−
1
2
−
1
2
0 120
𝒙𝟐 0 1 −
3
4
1
4
0 20
𝑺𝟑 0 0 1 -2 1 40
𝒙𝟏 1 0 1
2
−
1
2
0 40
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 99
Solución:
Z 120 *1000= 120000
𝒙1 40
𝒙2 20
Interpretación: La mina A debe trabajar 40 días y la mina B debe trabajar 20 días para que el
coste mínimo sea 120000 dólares.
54. En su consumo diario de alimento, un animal rapaz necesita por lo menos 12
unidades de alimento A, 12 unidades de alimento B y únicamente 12 unidades
de alimento C. estos requerimientos se satisfacen cazando dos tipos de especies.
Una presa de la especie 1 suministra 5, 2 y 1 unidades de los alimentos A, B y C
respectivamente; una presa de la especie 2 suministra 2, 2 y 4 unidades en la
orden de los alimentos A, B y C, capturar y digerir una presa de la especie 1
requiere 3 unidades de energía en promedio, mientras que el gasto de energía
correspondiente para la especie 2 es de 2 unidades. ¿Cuántas presas de cada
especie deberá capturar el depredador para satisfacer sus necesidades
alimentarias, haciendo un gasto mínimo de energía?
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Cantidad especie 1.
𝒙𝟐 = Cantidad especie 2.
FUNCIÓN OBJETIVO: FILA OBJETIVO:
Minimizar:
𝒛 = 𝟑𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝑴𝒕𝟏 + 𝑴𝒕𝟐 + 𝑴𝒕𝟑
−3𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑀𝑡1 − 𝑀𝑡2 − 𝑀𝑡3 + 𝑧 = 0
Z inicial de la tabla simplex: 𝒁 = 𝟏𝟐𝑴
RESTRICCIONES: IGUALDADES:
{
𝟓𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≥ 𝟏𝟐 (𝟏)
𝟐𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≥ 𝟏𝟐 (𝟐)
𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 = 𝟏𝟐 (𝟑)
{
5𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑆1 + 𝑡1 = 12
2𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑆2 + 𝑡2 = 12
𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑡3 = 12
MATRIZ AUMENTADA
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝒕𝟑 𝑹
𝒁 -3 -2 0 0 -M -M -M 0
𝒕𝟏 5 2 -1 0 1 0 0 12 (M)
𝒕𝟐 2 2 0 -1 0 1 0 12
𝒕𝟑 1 4 0 0 0 0 1 12
Nota:
El problema está resuelto cuando en
la fila objetivo (Z) han quedado
valores menores o iguales a cero.
Excepto el valor de la columna R.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 100
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝒕𝟑 𝑹
𝒁 -3+5M -2+2M -M 0 0 -M -M 12M
𝒕𝟏 5 2 -1 0 1 0 0 12
𝒕𝟐 2 2 0 -1 0 1 0 12 (M)
𝒕𝟑 1 4 0 0 0 0 1 12
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝒕𝟑 𝑹
𝒁 -3+7M -2+4M -M -M 0 0 -M 24M
𝒕𝟏 5 2 -1 0 1 0 0 12
𝒕𝟐 2 2 0 -1 0 1 0 12
𝒕𝟑 1 4 0 0 0 0 1 12 (M)
TABLA INICIAL SIMPLEX
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 -3+8M -2+8M -M -M 36M
𝒕𝟏 5 2 -1 0 12
𝒕𝟐 2 2 0 -1 12
𝒕𝟑 1 4 0 0 12 ÷ 4
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 -3+8M -2+8M -M -M 36M
𝒕𝟏 5 2 -1 0 12
𝒕𝟐 2 2 0 -1 12
𝒕𝟑 1
4
1 0 0 3 (-2)(-2)(2-8M)
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁
−
5
2
+ 6𝑀
0 -M -M 6+12M
𝒕𝟏 9
2
0 -1 0 6
÷
9
2
𝒕𝟐 3
2
0 0 -1 6
𝒙𝟐 1
4
1 0 0 3
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁
−
5
2
+ 6𝑀
0 -M -M 6+12M
𝒕𝟏 1 0 −
2
9
0 4
3
(
5
2
− 6𝑀) (−
3
2
) (−
1
4
)
𝒕𝟐 3
2
0 0 -1 6
𝒙𝟐 1
4
1 0 0 3
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 101
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 0 0
−
5
9
+
1
3
𝑀
-M 28
3
+ 4𝑀
𝒙𝟏 1 0 −
2
9
0 4
3
𝒕𝟐 0 0 1
3
-1 4
÷
1
3
𝒙𝟐 0 1 1
18
0 8
3
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 0 0
−
5
9
+
1
3
𝑀
-M 28
3
+ 4𝑀
𝒙𝟏 1 0 −
2
9
0 4
3
𝒕𝟐 0 0 1 -3 12 (
2
9
) (
5
9
−
1
3
𝑀) (−
1
18
)
𝒙𝟐 0 1 1
18
0 8
3
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 0 0 0
−
5
3
16
𝒙𝟏 1 0 0 −
2
3
4
𝒕𝟐 0 01 -3 12
𝒙𝟐 0 1 0 1
6
2
Solución:
Z 16
𝒙1 4
𝒙2 2
Interpretación: El animal rapaz necesita 4 presas de la especie 1 y 2 presas de la especie 2
para consumir un mínimo de 16 unidades de energía promedio, consumiendo 12 unidades de
energía para la especie 1 y 4 unidades de energía para la especie 2. Suministrando así 22
unidades de alimento A, 12 unidades de alimento B y 12 unidades de alimento C.
55. 500 alumnos de un colegio van a ir de excursión. La empresa que realiza el viaje
dispone de 10 autobuses de 40 pasajeros y 8 de 30 pasajeros, pero solo de 15
conductores ese día. El alquiler de los autobuses pequeños es de $ 500000 y de los
buses grandes es de $ 600000. ¿Cuántos autobuses de cada uno le convendrá alquilar
para que el viaje resulte lo más económico posible?
Nota:
El problema está resuelto cuando en la fila
objetivo (Z) han quedado valores menores o
iguales a cero. Excepto el valor de la
columna R.
Para facilitar los cálculos a la función
objetivo se divide para 100000.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 102
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Autobuses de 40 pasajeros.
𝒙𝟐 = Autobuses de 30 pasajeros.
FUNCIÓN OBJETIVO: FILA OBJETIVO:
Minimizar:
𝒛 = 𝟔𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝑴𝒕𝟏
−6𝑥1 − 5𝑥2 − 𝑀𝑡1 + 𝑍 = 0
Z inicial de la tabla simplex: 𝒁 = 𝟓𝟎𝟎𝑴
RESTRICCIONES: IGUALDADES:
{
𝒙𝟏 ≤ 𝟏𝟎 (𝟏)
𝒙𝟐 ≤ 𝟖 (𝟐)
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟓 (𝟑)
𝟒𝟎 𝒙𝟏 + 𝟑𝟎𝒙𝟐 ≥ 𝟓𝟎𝟎 (𝟒)
{
𝑥1 + 𝑆1 = 10
𝑥2 + 𝑆2 = 8
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑆3 = 15
40 𝑥1 + 30𝑥2 − 𝑆4 + 𝑡1 = 500
MATRIZ AUMENTADA
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝒕𝟏 𝑹
𝒁 -6 -5 0 0 0 0 -M 0
𝑺𝟏 1 0 1 0 0 0 0 10
𝑺𝟐 0 1 0 1 0 0 0 8
𝑺𝟑 1 1 0 0 1 0 0 15
𝒕𝟏 40 30 0 0 0 -1 1 500 (M)
TABLA INICIAL SIMPLEX
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹
𝒁 -6+40M -5+30M 0 0 0 -M 500M
𝑺𝟏 1 0 1 0 0 0 10 (6-40M)(-1)(-40)
𝑺𝟐 0 1 0 1 0 0 8
𝑺𝟑 1 1 0 0 1 0 15
𝒕𝟏 40 30 0 0 0 -1 500
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹
𝒁 0 -5+30M 6-40M 0 0 -M 60+100M
𝒙𝟏 1 0 1 0 0 0 10
𝑺𝟐 0 1 0 1 0 0 8
𝑺𝟑 0 1 -1 0 1 0 5
𝒕𝟏 0 30 -40 0 0 -1 100 ÷ 30
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 103
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹
𝒁 0 -5+30M 6-40M 0 0 -M 60+100M
𝒙𝟏 1 0 1 0 0 0 10
𝑺𝟐 0 1 0 1 0 0 8
𝑺𝟑 0 1 -1 0 1 0 5
𝒕𝟏 0 1 −
4
3
0 0
−
1
30
10
3
(-1)(-1)(5-30M)
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 𝑹
𝒁 0 0
−
2
3
0 0
−
1
6
230
3
𝒙𝟏 1 0 1 0 0 0 10
𝑺𝟐 0 0 4
3
1 0 1
30
14
3
𝑺𝟑 0 0 1
3
0 1 1
30
5
3
𝒙𝟐 0 1 −
4
3
0 0
−
1
30
10
3
Solución:
Z 76,667∗ 100000 = 7´666666,667
𝒙1 10
𝒙2 3,33
Interpretación: Los alumnos que van de excursión deben elegir 10 autobuses grandes de 40
pasajeros y 3 autobuses pequeños de 30 pasajeros para que el viaje tenga un costo mínimo de
7666666,667 USD.
56. Un granjero cría cerdos para venta y desea determinar qué cantidades de los distintos
tipos de alimento debe dar a cada cerdo para cumplir ciertos requisitos nutricionales a
un costo mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada ingrediente nutritivo
básico contenido en un Kg. de cada tipo de alimento, junto con los requisitos
nutricionales diarios y coste de los alimentos:
Ingrediente
nutricional
Kg. De
maíz
Kg. De
grasas
Kg. De
alfalfa
Requerimiento
mínimo diario
Carbohidratos 90 20 40 200
Proteínas 30 80 60 180
Vitaminas 10 20 60 150
Costo 32 26 20
Para facilitar los cálculos del ejercicio se dividió todos los datos para 10.
Nota:
A la respuesta de (Z)
multiplicamos por 100000, ya que
al inicio dividimos para dicho
valor para facilitar los cálculos.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 104
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Kg. de Maíz.
𝒙𝟐 = Kg. de Grasas.
𝒙𝟑 = Kg. de alfalfa.
FUNCIÓN OBJETIVO: FILA OBJETIVO:
Minimizar:
𝒁 =
𝟏𝟔
𝟓
𝒙𝟏 +
𝟏𝟑
𝟓
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 + 𝑴𝒕𝟏 + 𝑴𝒕𝟐 + 𝑴𝒕𝟑
−
16
5
𝑥1 −
13
5
𝑥2 − 2𝑥3 − 𝑀𝑡1 − 𝑀𝑡2 − 𝑀𝑡3 + 𝑍 = 0
Z inicial de la tabla simplex: 𝒁 = 𝟓𝟑𝑴
RESTRICCIONES: IGUALDADES:
{
𝟗𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 ≥ 𝟐𝟎 (𝟏)
𝟑𝒙𝟏 + 𝟖𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝟑 ≥ 𝟏𝟖 (𝟐)
𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝟑 ≥ 𝟏𝟓 (𝟑)
{
9𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 − 𝑆1 + 𝑡1 = 20
3𝑥1 + 8𝑥2 + 6𝑥3 − 𝑆2 + 𝑡2 = 18
𝑥1 + 2𝑥2 + 6𝑥3 − 𝑆3 + 𝑡3 = 15
MATRIZ AUMENTADA
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝒕𝟑 𝑹
𝒁 −
16
5
−
13
5
-2 0 0 0 -M -M -M 0
𝒕𝟏 9 2 4 -1 0 0 1 0 0 20 (M)
𝒕𝟐 3 8 6 0 -1 0 0 1 0 18
𝒕𝟑 1 2 6 0 0 -1 0 0 1 15
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝒕𝟑 𝑹
𝒁 −
16
5
+ 9𝑀
−
13
5
+ 2𝑀
-2+4M -M 0 0 0 -M -M 20M
𝒕𝟏 9 2 4 -1 0 0 1 0 0 20
𝒕𝟐 3 8 6 0 -1 0 0 1 0 18 (M)
𝒕𝟑 1 2 6 0 0 -1 0 0 1 15
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝒕𝟑 𝑹
𝒁 −
16
5
+ 12𝑀 −
13
5
+ 10𝑀
2+10M -M -M 0 0 0 -M 38
M
𝒕𝟏 9 2 4 -1 0 0 1 0 0 20
𝒕𝟐 3 8 6 0 -1 0 0 1 0 18
𝒕𝟑 1 2 6 0 0 -1 0 0 1 15 (M)
TABLA INICIAL SIMPLEX
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 −
16
5
+ 13𝑀 −
13
5
+ 12𝑀
-2+16M -M -M -M 53M
𝒕𝟏 9 2 4 -1 0 0 20
𝒕𝟐 3 8 6 0 -1 0 18
𝒕𝟑 1 2 6 0 0 -1 15 ÷ 6
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 105
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 −
16
5
+ 13𝑀 −
13
5
+ 12𝑀
-2+16M -M -M -M 53M
𝒕𝟏 9 2 4 -1 0 0 20
𝒕𝟐 3 8 6 0 -1 0 18
𝒕𝟑 1
6
1
3
1 0 0
−
1
6
5
2
(-6)(-4)(2-16M)
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 −
43
15
+
31
3
𝑀 −
29
15
+
20
3
𝑀
0 -M -M −
1
3
+
5
3
𝑀 5+13M
𝒕𝟏 25
3
2
3
0 -1 0 2
3
10
÷
25
3
𝒕𝟐 2 6 0 0 -1 1 3
𝒙𝟑 1
6
1
3
1 0 0
−
1
6
5
2
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 −
43
15
+
31
3
𝑀 −
29
15
+
20
3
𝑀 0 -M -M −
1
3
+
5
3
𝑀 5+13M
𝒕𝟏 1 2
25
0
−
3
25
0 2
25
6
5
(
43
15
−
31
3
𝑀)(−2) (−
1
6
)
𝒕𝟐 2 6 0 0 -1 1 3
𝒙𝟑 1
6
1
3
1 0 0
−
1
6
5
2
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 0 −
213
125
+
146
25
𝑀 0 −
43
125
+
6
25
𝑀
-M −
13
125
+
21
25
𝑀
211
25
+
3
5
𝑀
𝒙𝟏 1 2
25
0
−
3
25
0 2
25
6
5
𝒕𝟐 0
146
25
0
6
25
-1 21
25
3
5
÷
146
25
𝒙𝟑 0 8
25
1 1
50
0
−
9
50
23
10
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 0 −213
125
+
146
25
𝑀
0
−
43
125
+
6
25
𝑀
-M
−
13
125
+
21
25
𝑀
211
25
+
3
5
𝑀
𝒙𝟏 1
2
25
0
−
3
25
0 2
25
6
5
𝒕𝟐 0 1 0
3
73
−
25
146
21
146
15
146
(−
2
25
) (
213
125
−
146
25
𝑀) (−
8
25
)
𝒙𝟑 0
8
25
1 1
50
0
−
9
50
23
10
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 0 0 0
−
20
73
−
213
730
103
730
6289
730
𝒙𝟏 1 0 0 −
9
73
1
73
5
73
87
73
𝒙𝟐 0 1 0 3
73
−
25
146
21
146
15
146
÷
21
146
𝒙𝟑 0 0 1 1
146
4
73
−
33
146
331
146
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 106
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 0 0 0
−
20
73
−
213
730
103
730
6289
730
𝒙𝟏 1 0 0 −
9
73
1
73
5
73
87
73
𝒙𝟐 0 146
21
0 2
7
−
25
21
1 5
7
(−
5
73
) (−
103
730
) (
33
146
)
𝒙𝟑 0 0 1 1
146
4
73
−
33
146
331
146
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 0
−
103
105
0
−
11
35
−
13
105
0 289
35
𝒙𝟏 1 −
10
21
0
−
1
7
2
21
0 8
7
𝑺𝟑 0 146
21
0 2
7
−
25
21
1 5
7
𝒙𝟑 0 11
7
1 1
14
−
3
14
0 17
7
Solución:
Z 8,5143 ∗ 10 = 85,14
𝑥1 1,1429 ∗ 10 = 11,43
𝑥3 2,4286 ∗ 10 = 24,29
2.9. DEGENERACIÓN, SOLUCIONES NO ACOTADAS, SOLUCIONES
ÓPTIMAS MULTIPLEX EN EL MÉTODO SIMPLEX.
En la resolución de problemas por el método gráfico, se estableció que una solución básica
factible, se denomina degenerada si además de las variables no básicas una de las variables
básicas es cero.
Para recordar las variables básicas y no básicas, vamos a ver un ejemplo con dos variables de
decisión ( 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 ) y cuatro restricciones, tal como se ve en la siguiente tabla:
RESTRICCIONES: IGUALDADES:
{
𝒙𝟏 ≤ 𝟏𝟎
𝒙𝟐 ≤ 𝟖
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟓
𝟒𝟎𝒙𝟏 + 𝟑𝟎𝒙𝟐 ≥ 𝟓𝟎𝟎
{
𝑥1 + 𝑆1 = 10
𝑥2 + 𝑆2 = 8
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑆3 = 15
40𝑥1 + 30𝑥2 − 𝑆4 + 𝑡1 = 500
VARIABLES NO BÁSICAS: VARIABLES BÁSICAS:
Interpretación: El granjero tiene que darle
11,43kg. de un maíz, 21,29kg. de Alfalfa, ningún
kg. de grasas para que su costo mínimo sea de
85,14 USD.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 107
𝒙𝟏 = 𝟎
𝒙𝟐 = 𝟎
𝑺𝟒 = 𝟎
𝑆1 = 10
𝑆2 = 8
𝑆3 = 15
𝑡1 = 500
2.9.1. DEGENERACIÓN
Una solución básica factible (SBF) degenerada ocurrirá cuando los cocientes en la tabla
simplex empaten y son los cocientes más pequeños.
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝑹 cocientes
𝒁 0 0 𝑑1 𝑑2 𝑑3
𝒙𝟏 1 0 𝑎13 𝑎14 0 0 ÷ 𝑎14 = 0
𝒙𝟐 0 1 𝑎23 𝑎24 0 0 ÷ 𝑎24 = 0
Recuerda:
Las variables no básicas siempre inician en cero, porque como ya
estudiamos en el método gráfico la región factible comienza a crecer
desde el punto de origen P(0,0) y son las variables de decisión ( 𝒙𝟏, 𝒙𝟐,
𝒙𝒏 ), también son variables no básicas cuando tenemos variables de
holgura negativas. Una vez que tenemos las variables no básicas, se
reemplaza en el sistema de igualdades y se calcula las variables
básicas, que son los valores que inicia en la tabla simplex.
Casos extremos
del método
simplex
Degeneración
Soluciones no
acotadas
Soluciones
óptimas múltiples
Variable entrante
Variable
Saliente
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 108
Además podemos observar un caso particular que las variables básicas son ( 𝒙𝟏, 𝒙𝟐), y se
produce un empate en los cocientes, por tal razón decimos que se produce una degeneración
dentro del simplex.
En este caso, no existe la seguridad de que el valor de la función objetivo mejorará, ya que la
nueva solución óptima puede permanecer degenerada, de ser así, es posible que las iteraciones
del simplex entren en un circuito que repetirá las mismas sucesiones de iteraciones, sin alcanzar
nunca la óptima. A esto se conoce como ciclo y afortunadamente raras veces se presenta en la
práctica. Para ilustrar lo estudiado vamos a ver un problema en donde los cocientes mínimos
empatan. Ejemplo:
57. Una compañía fabrica tres tipos de muebles para patio: sillas, mecedoras y sillones.
Cada uno requiere de madera, plástico y aluminio, como se indica en la tabla que sigue:
Madera Plástico Aluminio
Silla 1 unidad 1unidad 2unidades
Mecedora 1unidad 1unidad 3unidades
Sillón 1unidad 2unidades 5unidades
La compañía cuenta con 400 unidades disponibles de madera, 600 de plástico y 1500 de
aluminio. Cada silla, mecedora y sillón se vende en $24, $32 y $48, respectivamente.
Suponga que todos los muebles pueden venderse, ¿Cuál es el ingreso máximo total que
puede obtenerse? Determine las posibles órdenes de producción que generará ese ingreso.
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Sillas.
𝒙𝟐 = Mecedoras.
𝒙𝟑 = Sillones.
FUNCIÓN OBJETIVO: Maximizar: 𝒁 = 𝟐𝟒𝒙𝟏 + 𝟑𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝟖𝒙𝟑
FILA OBJETIVO: −𝟐𝟒𝒙𝟏 − 𝟑𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝟖𝒙𝟑 + 𝒁 = 𝟎
RESTRICCIONES: IGUALDADES:
{
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ≤ 𝟒𝟎𝟎 (𝟏)
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 ≤ 𝟔𝟎𝟎 (𝟐)
𝟐𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟓𝟎𝟎 (𝟑)
{
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + S1 = 400
𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 + S2 = 600
2𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 + S3 = 1500
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 Cocientes
𝒁 −24 −32 −48 0 0 0 0
𝑺𝟏 1 1 1 1 0 0 400 400 ÷ 1 = 400
𝑺𝟐 1 1 2 0 1 0 600 600 ÷ 2 = 300
𝑺𝟑 2 3 5 0 0 1 1500 150 ÷ 5 = 300
Tenemos un empate de cocientes mínimos, y
este ejercicio es propio en donde se produce una
degeneración.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 109
Escogiendo la variable saliente 𝑺𝟑 tenemos:
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 −24 −32 −48 0 0 0 0
𝑺𝟏 1 1 1 1 0 0 400
𝑺𝟐 1 1 2 0 1 0 600
𝑺𝟑 2
5
3
5
1 0 0 1
5
300 (-2)(-1)(48)
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹 Cocientes
𝒁
−
24
5
−
16
5
0 0 0
48
5
14400
𝑺𝟏 3
5
2
5
0 1 0
−
1
5
100 100 ÷ 2/5 = 250
𝑺𝟐 1
5
−
1
5
0 0 1
−
2
5
0 0 ÷ 1/5 = 0
𝒙𝟑 2
5
3
5
1 0 0 1
5
300 300 ÷ 2/5 = 750
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁
−
24
5
−
16
5
0 0 0
48
5
14400
𝑺𝟏 3
5
2
5
0 1 0
−
1
5
100
𝑺𝟐 1 −1 0 0 5 −2 0 (−
2
5
) (−
3
5
) (
24
5
)
𝒙𝟑 2
5
3
5
1 0 0 1
5
300
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 0 −8 0 0 24 0 14400
𝑺𝟏 0 1 0 1 -3 1 100 (8) (1) (-1)
𝒙𝟏 1 −1 0 0 5 −2 0
𝒙𝟑 0 1 1 0 -2 1 300
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 0 0 0 8 0 8 15200
𝒙𝟐 0 1 0 1 -3 1 100
𝒙𝟏 1 0 0 1 2 −1 100
𝒙𝟑 0 0 1 -1 1 0 200
Solución: Z= 15200; 𝒙1 = 100; 𝒙2 = 100; 𝒙3 = 200
Escogiendo la variable saliente 𝑺𝟐 tenemos:
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 0 0 0 8 0 8 15200
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 110
𝒙𝟐 3
2
1 0 5
2
0
−
1
2
250
𝑺𝟐 1
2
0 0 1
2
1
−
1
2
50
𝒙𝟑 −
1
2
0 1
−
3
2
0 1
2
150
Solución: Z= 15200; 𝒙1 = 0; 𝒙2 = 250; 𝒙3 = 150
Conclusión: Se tienen soluciones óptimas múltiples en donde las variables de decisión pueden
ir cambiando, pero el valor de Z no cambia, además esto es un ejemplo claro de la degeneración
del método simplex, el dueño de la empresa entonces, debe escoger la mejor selección de las
dos opciones para lo cual sería fabricar 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sillones para obtener un
beneficio máximo de $ 15200.
2.9.2. SOLUCIONES NO ACOTADAS
En el método gráfico estudiamos problemas que no pueden tener un valor máximo porque su
región factible es tal que la función objetivo puede ser arbitrariamente grande. En este caso se
dice que el problema tiene una solución no acotada. Esta es una forma de especificar que no
existe solución óptima. Esta situación ocurre cuando no existen cocientes posibles en una taba
simplex para una variable que ingresa. Ejemplo:
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝑹 Cocientes
𝒁 0 3 −4 1 20
𝒙𝟏 1 −2 6 9 7 7 ÷ −2 (no hay cociente)
𝒙𝟐 0 0 8 3 9 9 ÷ 0 (no hay cociente)
58. Ejercicio didáctico
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Producto A.
𝒙𝟐 = Producto B.
𝒙𝟑 = Producto C.
FUNCIÓN OBJETIVO: Maximizar: 𝒁 = 𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝒙𝟑
FILA OBJETIVO: −𝒙𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + 𝒁 = 𝟎
RESTRICCIONES: IGUALDADES:
{
−𝟓𝒙𝟏 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟑 ≤ 𝟑𝟎 (𝟏)
−𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟐 (𝟐)
No negatividad: 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑 ≥ 𝟎
{
−5𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 + S1 = 30
−𝑥1 + 3𝑥2 + 6𝑥3 + S2 = 12
Variable entrante
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 111
TABLA INICIAL SIMPLEX
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 −1 −4 10 0 0
𝑺𝟏 −5 6 −2 1 0 30 30 ÷ 6 = 5
𝑺𝟐 −1 3 6 0 1 12 12 ÷ 3 = 4
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 −1 −4 1 0 0 0
𝑺𝟏 −5 6 −2 1 0 30
𝑺𝟐 -1/3 1 2 0 1/3 12 (-6) (4)
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹 Cocientes
𝒁
−
7
3
0 9 0
4
3
16
𝑺𝟏 −3 0 −14 1 −2 6 6 ÷ −3 → No hay Cociente (Negativo)
𝑺𝟐 −
1
3
1 2 0
1
3
4 4 ÷ −1/3 → No hay Cociente (Negativo)
Interpretación: No se puede determinar la utilidad máxima, porque no existen cocientes para la
elaboración y determinación de la matriz.
2.9.3. SOLUCIONES ÓPTIMAS MÚLTIPLES
En el método gráfico se dice que se tienen soluciones óptimas múltiples, debido a que la
solución óptima se encuentra en un segmento de recta que es acotado por una de las
restricciones.
En el método simplex, sea cualquiera la variable de decisión ( 𝒙𝟏, 𝒙𝟐) que ingrese, tenemos el
mismo valor de la función objetivo (Z). Ejemplo:
59. Ejercicio didáctico
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Producto A.
𝒙𝟐 = Producto B.
𝒙𝟑 = Producto C.
FUNCIÓN OBJETIVO: Maximizar: 𝒁 = −𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝟑
La variable que ingresa es: 𝒙𝟏, y para la variable
saliente no existe cociente, entonces se habla de un
problema no acotado.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 112
FILA OBJETIVO: 𝒙𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 − 𝟔𝒙𝟑 + 𝒁 = 𝟎
RESTRICCIONES: IGUALDADES:
{
𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 ≤ 𝟔 (𝟏)
−𝟐𝒙𝟏 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟎 (𝟐)
{
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 + S1 = 6
−2𝑥1 − 5𝑥2 + 𝑥3 + S2 = 10
TABLA INICIAL SIMPLEX
Ingresa la Variable 𝒙𝟑
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 1 -4 -6 0 0 0
𝑺𝟏 1 2 3 1 0 6 ÷ 3
𝑺𝟐 -2 -5 1 0 1 10
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 1 -4 -6 0 0 0
𝑺𝟏 1
3
2
3
1 1
3
0 2 (6)(-1)
𝑺𝟐 -2 -5 1 0 1 10
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 3 0 0 2 0 12
𝒙𝟑 1
3
2
3
1 1
3
0 2
𝑺𝟐 −
7
3
−
17
3
1 0 1 8
Solución:
Z 12
𝒙3 2
Ingresa la Variable 𝒙𝟐
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 1 -4 -6 0 0 0
𝑺𝟏 1 2 3 1 0 6 ÷ 2
𝑺𝟐 -2 -5 1 0 1 10
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 1 -4 -6 0 0 0
𝑺𝟏 1
2
1 3
2
1
2
0 3 (4)(5)
𝑺𝟐 -2 -5 1 0 1 10
Soluciones múltiples
Al seleccionar la variable 𝒙3 que
ingresa se tiene: 𝒙𝟏 = 𝟎, 𝒙𝟐 = 𝟎, 𝒙𝟑 = 𝟐,
con un valor máximo de: Z=12
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 113
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 3 0 0 2 0 12
𝒙𝟐 1
2
1 3
2
1
2
0 3
𝑺𝟐 1
2
0 17
2
5
2
1 25
Solución:
Z 12
𝒙2 3
Conclusión: Se tienen soluciones óptimas múltiples en donde los variables de decisión pueden
ir cambiando, pero el valor de Z no cambia.
60. Una compañía produce tres clases de dispositivos que requieren de tres diferentes
procesos de producción. La empresa ha asignado un total de 190 horas para el proceso
uno, 180 para el 2 y 165 horas para el 3. La tabla siguiente proporciona el número de
horas por dispositivo para cada procedimiento.
Dispositivo 1 Dispositivo 2 Dispositivo 3
Proceso 5,5 5,5 6,5
Proceso 3,5 6,5 7,5
Proceso 4,5 6,0 6,6
Si la utilidad es de $50 por el dispositivo 1, de $50 por el 2 y de $50 por el 3, encuentre
el número de dispositivos de cada clase que la compañía debe producir para maximizar
la utilidad.
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Dispositivo 1.
𝒙𝟐 = Dispositivo 2.
𝒙𝟑 = Dispositivo 3.
FUNCIÓN OBJETIVO: Maximizar: 𝒁 = 𝟓𝟎𝒙𝟏 + 𝟓𝟎𝒙𝟐 + 𝟓𝟎𝒙𝟑
FILA OBJETIVO: −𝟓𝟎𝒙𝟏 − 𝟓𝟎𝒙𝟐 − 𝟓𝟎𝒙𝟑 + 𝒁 = 𝟎
RESTRICCIONES: IGUALDADES:
{
𝟓,𝟓𝒙𝟏 + 𝟓,𝟓𝒙𝟐 + 𝟔,𝟓 𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟗𝟎
𝟑, 𝟓𝒙𝟏 + 𝟔,𝟓𝒙𝟐 + 𝟕,𝟓 𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟖𝟎
𝟒, 𝟓𝒙𝟏 + 𝟔,𝟎𝒙𝟐 + 𝟔,𝟓 𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟔𝟓
{
5,5𝑥1 + 5,5𝑥2 + 6,5 𝑥3 + 𝑠1 = 190
3,5𝑥1 + 6,5𝑥2 + 7,5 𝑥3 + 𝑠2 = 180
4,5𝑥1 + 6,0𝑥2 + 6,5 𝑥3+𝑠2 = 165
Soluciones múltiples
Al seleccionar la variable
𝒙2 que ingresa se tiene:
𝒙1 = 0, 𝒙3 = 0, 𝒙2 = 3, con un
valor máximo de: Z=12
CAPÍTULO II Programación Lineal
Método Simplex
Roberto Valencia Página 114
TABLA INICIAL SIMPLEX
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 −50 −50 −50 0 0 0 0
𝑺𝟏 5.5 5.5 6.5 1 0 0 190
𝑺𝟐 3.5 6.5 7.5 0 1 0 180
𝑺𝟑 4.5 6 6.5 0 0 1 165
Se puede escoger la variable entrante cualquiera de las tres:
Cuando ingresa la Variable 𝒙𝟏, se obtiene la siguiente solución:
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 0 0 9,09 9,09 0 0 1727,27
𝑿𝟏 1 1 1,18 0,18 0 0 34,55
𝑺𝟐 0 3 3,36 -0,64 1 0 59,09
𝑺𝟑 0 1,5 1,18 -0,82 0 1 9,55
Solución: Z= 1727,27; 𝒙1 = 34,55; 𝒙2 = 0; 𝒙3 = 0
Cuando ingresa la Variable 𝒙𝟐, se obtiene la siguiente solución:
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 0 0 9,09 9,09 0 0 1727,27
𝑿𝟏 1 0 0,39 0,73 0 -0,67 28,18
𝑺𝟐 0 0 1 1 1 -2 40
𝑿𝟐 0 1 0,79 -0,55 0 0,67 6,36
Solución: Z= 1727,27; 𝒙1 = 28,18; 𝒙2 = 6,36; 𝒙3 = 0
Conclusión: Se tienen soluciones óptimas múltiples en donde las variables de decisión pueden
ir cambiando, pero el valor de Z no cambia.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Dualidad
Roberto Valencia Página 115
Maximizar: 𝑍 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + ⋯+ 𝑐𝑛𝑥𝑛
Minimizar: 𝑊 = 𝑏1𝑦1 + 𝑏2𝑦2 + ⋯+ 𝑏𝑛𝑦𝑛
2.10. DUALIDAD
Asociado a cualquier Programa o Problema Lineal, Problema principal o primal (P.P), existe
un problema que se encuentra estrechamente relacionado llamado PROGRAMA o
PROBLEMA DUAL (P.D). La relación entre el problema principal y el problema dual es de tal
grado que la solución óptima simplex, de cualquiera de los problemas; conduce inmediatamente
a la solución óptima del otro. Cada problema principal (P.P) de programación lineal tiene su
correspondiente problema dual con las siguientes características muy interesantes:
En problemas de un gran número de restricciones, resolver el problema dual es más
eficiente que resolver el problema principal.
En algunas ocasiones resulta más sencilla la resolución del problema dual que la del
problema principal, en términos de menor número de iteraciones.
Los valores óptimos de las variables del dual, proporcionan una interpretación
económica interesante del problema principal.
Algunas veces se puede evitar el uso de las variables artificiales, mediante la aplicación
del método de solución Dual – Simplex, sobre el problema dual.
Facilita el estudio del impacto sobre la optimalidad por cambios en el problema
original.
Dentro de la programación lineal se pueden resolver ejercicios tanto de minimización y
maximización, llegando a tener la misma respuesta, esto se logra mediante la dualidad.
Las relaciones entre el primal y el dual se utilizan para reducir el esfuerzo en cálculos en ciertos
problemas y para obtener información adicional sobre las variaciones en la solución óptima
debidas a ciertos cambios en los coeficientes y en la formulación del problema. Esto se conoce
como análisis de dualidad o sensibilidad. (Kolman & Hill, 2006, pág. 591)
Si en el primal la función objetivo se maximiza B, todos sus límites deben ser máximos,
en el Dual se minimizará 𝐵∗.
Si en el primal la función objetivo se minimiza C, todos sus límites deben ser mínimos,
en el Dual se Maximizará 𝐶∗
Nomenclatura de la dualidad:
PRIMAL
{
𝑎11𝑥1 + 𝑎21𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥1 ≤ 𝑏1
𝑎21𝑥2 + 𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥1 ≤ 𝑏2
: ∶
: ∶
𝑎𝑚1𝑥2 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏𝑚
𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ≥ 0
DUAL
CAPÍTULO II Programación Lineal
Dualidad
Roberto Valencia Página 116
{
𝑎11𝑦1 + 𝑎21𝑦2 + ⋯+ 𝑎11𝑥1 ≥ 𝑐1
𝑎21𝑦2 + 𝑎22𝑦2 + ⋯+ 𝑎21𝑦1 ≥ 𝑐2
: ∶
: ∶
𝑎𝑚1𝑦2 + 𝑎𝑚2𝑦2 + ⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑦𝑚 ≥ 𝑐𝑛
𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 ≥ 0
En resumense tiene:
PRIMAL DUAL
Maximizar Minimizar
Coeficientes de la función
objetivo (𝑐𝑛)
Recursos
Recursos(𝑏𝑚) Coeficientes
Filas (𝑎𝑚1) Columnas
Columnas (𝑎𝑚𝑛) Filas
≤ ≥
= ≥ ≤
61. Una compañía fabrica 2 tipos de podadoras manuales y eléctricas y cada una requiere
del uso de las máquinas A y B para su producción tal como se muestra en la tabla:
Máquina A Máquina B Utilidad
Manual 1 h 1 h $10.00
Eléctrico 2 h 2 h $24.00
Horas disponibles 120 180
Se indica que una podadora manual requiere del uso de A durante 1 hora y de B durante
otra hora. Las eléctricas requieren de A durante 2 horas y de B durante 4 horas. Los
números máximos de horas disponibles por mes para las máquinas A y B son de 120 y
180 respectivamente. La utilidad por una podadora manual es de $10 y por una eléctrica
es de $24. Suponga que la compañía puede vender todos los artículos que produce,
determine la utilidad mensual máxima.
PRIMAL: DUAL:
𝒙𝟏 = # de podadoras manuales.
𝒙𝟐 = # de podadoras eléctricas.
Maximizar: 𝒁 = 𝟏𝟎𝒙𝟏 + 𝟐𝟒𝒙𝟐
Restricciones:
{
𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟐𝟎 (𝟏)
𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟖𝟎 (𝟐)
Minimizar: 𝑍 = 120𝑦1 + 180𝑦2
Restricciones:
{
𝑦1 + 𝑦2 ≥ 10 (1)
2𝑦1 + 4𝑦2 ≥ 24 (2)
Recuerda:
El ejercicio original que se obtiene de un ejercicio
razonado es primal.
Nota:
𝐛𝐦.- Puede ser positivo o negativo no altera en la
resolución del problema.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Dualidad
Roberto Valencia Página 117
Igualdades:
{
𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝑺𝟏 = 𝟏𝟐𝟎
𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝑺𝟐 = 𝟏𝟖𝟎
Igualdades:
{
𝑦1 + 𝑦2 − 𝑆1 + 𝑡1 = 10
2𝑦1 + 4𝑦2 − 𝑆2 + 𝑡2 = 24
TABLA INICIAL SIMPLEX
PRIMAL
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 -10 -24 0 0 0
𝑺𝟏 1 2 1 0 120
𝑺𝟐 1 4 0 1 180 ÷ 4
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 -10 -24 0 0 0
𝑺𝟏 1 2 1 0 120
𝑺𝟐 1
4
1 0 1
4
45 (-2)(24)
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 -4 0 0 6 1080
𝑺𝟏 1
2
0 1
−
1
2
30
÷
1
2
𝒙𝟐 1
4
1 0 1
4
45
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 -4 0 0 6 1080
𝑺𝟏 1 0 2 -1 60 (4) (−
1
4
)
𝒙𝟐 1
4
1 0 1
4
45
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 0 0 8 2 1320
𝒙𝟏 1 0 2 -1 60
𝒙𝟐 0 1 −
1
2
1
2
30
Demostración de la dualidad:
Para demostrar de manera práctica la
resolución del dual voy a resolver
inicialmente el primal y luego su respectivo
dual para la comprobación e interpretación.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Dualidad
Roberto Valencia Página 118
Solución:
Z 1320
𝒙1 60
𝒙2 30
Interpretación: La compañía debe fabricar 60 podadoras manuales y 30 podadoras eléctricas
para obtener una utilidad máxima de 1320 dólares.
DUALIDAD
FUNCIÓN OBJETIVO: FILA OBJETIVO:
Minimizar: 𝒁 = 𝟏𝟐𝟎𝒚𝟏 + 𝟏𝟖𝟎𝒚𝟐 −120𝑦1 − 180𝑦2 − 𝑀𝑡1 − 𝑀𝑡2 + 𝑍 = 0
RESTRICCIONES: IGUALDADES:
{
𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 ≥ 𝟏𝟎 (𝟏)
𝟐𝒚𝟏 + 𝟒𝒚𝟐 ≥ 𝟐𝟒 (𝟐)
{
𝑦1 + 𝑦2 − 𝑆1 + 𝑡1 = 10
2𝑦1 + 4𝑦2 − 𝑆2 + 𝑡2 = 24
MATRIZ AUMENTADA
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝑹
𝒁 -120 -180 0 0 -M -M 0
𝒕𝟏 1 1 -1 0 1 0 10 (M)
𝒕𝟐 2 4 0 -1 0 1 24
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝑹
𝒁 -120+M -180+M -M 0 0 -M 10M
𝒕𝟏 1 1 -1 0 1 0 10
𝒕𝟐 2 4 0 -1 0 1 24 (M)
TABLA INICIAL SIMPLEX
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 -120+3M -180+5M -M -M 34M
𝒕𝟏 1 1 -1 0 10
𝒕𝟐 2 4 0 -1 24 ÷ 4
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 -120+3M -180+5M -M -M 34M
𝒕𝟏 1 1 -1 0 10
𝒕𝟐 1
2
1 0
−
1
4
6 (-1)(180-5M)
CAPÍTULO II Programación Lineal
Dualidad
Roberto Valencia Página 119
𝒙𝟏 𝒙𝟐
𝒚𝟏 𝒚𝟐
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁
−30 +
1
2
𝑀 0 -M −45 +
1
4
𝑀 1080+4M
𝒕𝟏 1
2
0 -1 1
4
4
÷
1
2
𝒚𝟐 1
2
1 0
−
1
4
6
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁
−30 +
1
2
𝑀 0 -M −45 +
1
4
𝑀 1080+4M
𝒕𝟏 1 0 -2 1
2
8
(30 −
1
2
𝑀) (−
1
2
)
𝒚𝟐 1
2
1 0
−
1
4
6
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 0 0 -60 -30 1320
𝒚𝟏 1 0 -2 1
2
8
𝒚𝟐 0 1 1 −
1
2
2
Comparación de las tablas finales del método simplex del primal y dual:
PRIMAL
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 0 0 8 2 1320
𝒙𝟏 1 0 2 -1 60
𝒙𝟐 0 1 −
1
2
1
2
30
Interpretación del dual:
El valor óptimo de un problema de programación lineal es la
máxima utilidad: Z=1320; 𝒙1 = 60; 𝒙2 = 30; estos valores se
sacan de la tabla final del dual, se lee en la columna de
𝒔𝟏 𝒚 𝒔𝟐; respectivamente de la fila Z; y el valor óptimo del
valor mínimo del costo de renta de las máquinas A y B es:
Z=1320. 𝒚1 = 8; 𝒚2 = 2
El valor de Z
es el mismo
tanto para
primal como
para el dual.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Dualidad
Roberto Valencia Página 120
DUAL
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 0 0 -60 -30 1320
𝒚𝟏 1 0 -2 1
2
8
𝒚𝟐 0 1 1 −
1
2
2
62. Encuentre el dual del siguiente problema: Una persona decide tomar dos diferentes
suplementos dietéticos. Cada suplemento contiene dos ingredientes esenciales, A y B,
para los cuales existen requerimientos mínimos diarios, y cada uno contiene un tercer
ingrediente, C, que debe minimizarse.
Suplemento 1 Suplemento 2 Requerimiento diario
A 20 mg/oz 6 mg/oz 98 mg
B 8 mg/oz 16 mg/oz 80 mg
C 6mg/oz 2 mg/oz
PRIMAL: DUAL:
𝒙𝟏 = Suplemento 1.
𝒙𝟐 = Suplemento 2.
Minimizar: 𝒁 = 𝟔𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐
Restricciones:
{
𝟐𝟎 𝒙𝟏 + 𝟔𝒙𝟐 ≥ 𝟗𝟖 (𝟏)
𝟖𝒙𝟏 + 𝟏𝟔𝒙𝟐 ≥ 𝟖𝟎 (𝟐)
Igualdades:
{
𝟐𝟎 𝒙𝟏 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝑺𝟏 + 𝒕𝟏 = 𝟗𝟖
𝟖 𝒙𝟏 + 𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝑺𝟐 + 𝒕𝟐 = 𝟖𝟎
Maximizar: 𝑍 = 98𝑦1 + 80𝑦2
Restricciones:
{
20 𝑦1 + 8𝑦2 ≤ 6 (1)
6𝑦1 + 16𝑦2 ≤ 2 (2)
Igualdades:
{
20𝑦1 + 8𝑦2 + 𝑆1 = 6
6𝑦1 + 16𝑦2 + 𝑆2 = 2
DUALIDAD (MAXIMIZACIÓN)
MATRIZ SIMPLEX
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 −98 −80 0 0 0
𝑺𝟏 20 8 1 0 6 ÷ 20
𝑺𝟐 6 16 0 1 2
𝑿𝟏 𝑿𝟐
CAPÍTULO II Programación Lineal
Dualidad
Roberto Valencia Página 121
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 −98 −80 0 0 0
𝒚𝟏 1 2
5
1
20
0 3
10
(98) (−6)
𝑺𝟐 6 16 0 1 2
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁
0 −
204
5
49
10
0
147
5
𝒚𝟏 1 2
5
1
20
0 3
10
𝑺𝟐 0 68
5
−
3
10
1 1
5
÷
68
5
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁
0 −
204
5
49
10
0
147
5
𝒚𝟏 1 2
5
1
20
0 3
10
𝒚𝟐 0 1 −
3
136
5
68
1
68
(−
2
5
) (
204
5
)
𝒚 𝒚𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 0 0 4 3 30
𝒚𝟏 1 0 1
17
−
1
34
5
17
𝒚𝟐 0 1 −
3
136
5
68
1
68
Interpretación: La persona debe tomar 4 unidades de suplemento 1, (𝑥1 = 4 ) y 3unidades de
suplemento 2, (𝑥2 = 3) para tener un tercer ingrediente C, con un requerimiento mínimo de 30
mg.
63. Una compañía produce tres clases de dispositivos que requieren tres diferentes procesos
de producción. La empresa ha destinado un total de 300 horas para el proceso 1, 400
horas para el 2 y 600 horas para el 3. La tabla siguiente da el número de horas por
dispositivo para cada proceso:
Dispositivo 1 Dispositivo 2 Dispositivo 3
Proceso 1 30 15 10
Proceso 2 20 30 20
Proceso 3 40 30 25
Nota:
La resolución de este problema
resulta más fácil realizarla por el
dual, ya que en maximización no
tenemos variables artificiales.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Dualidad
Roberto Valencia Página 122
Si la utilidad es de $30 por dispositivo 1, de $20 por dispositivo 2 y de $20 por el 3,
entonces, mediante el uso del dual y del método simplex, determine el número de
dispositivos de cada clase que la compañía debe producir para maximizar la utilidad.
PRIMAL: DUAL:Maximizar: 𝒁 = 𝟑𝟎𝒙𝟏 + 𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙𝟑
𝒙𝟏 = Dispositivo 1.
𝒙𝟐 = Dispositivo 2.
𝒙𝟑 = Dispositivo 3.
Restricciones:
{
𝟑𝟎𝒙𝟏 + 𝟏𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙𝟑 ≤ 𝟑𝟎𝟎
𝟐𝟎𝒙𝟏 + 𝟑𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙𝟑 ≤ 𝟒𝟎𝟎
𝟒𝟎𝒙𝟏 + 𝟑𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒙𝟑 ≤ 𝟔𝟎𝟎
Igualdades:
{
𝟑𝟎 𝒙𝟏 + 𝟏𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙𝟑 + 𝑺𝟏 = 𝟑𝟎𝟎
𝟐𝟎 𝒙𝟏 + 𝟑𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙𝟑 + 𝑺𝟐 = 𝟒𝟎𝟎
𝟒𝟎𝒙𝟏 + 𝟑𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒙𝟑 + 𝒔𝟑 = 𝟔𝟎𝟎
Minimizar: 𝑍 = 300𝑦1 + 400𝑦2 +
600𝑦3
Restricciones:
{
30 𝑦1 + 20𝑦2 + 40𝑦3 ≥ 30
15𝑦1 + 30𝑦2 + 30𝑦3 ≥ 20
10𝑦1 + 20𝑦2 + 25𝑦3 ≥ 20
Igualdades:
{
30𝑦1 + 20𝑦2 + 40𝑦3 − 𝑆1 + 𝑡1 = 30
15𝑦1 + 30𝑦2 + 30𝑦3 − 𝑆2 + 𝑡2 = 20
10𝑦1 + 20𝑦2 + 25𝑦3 − 𝑆3 + 𝑡3 = 20
MATRIZ AUMENTADA
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝒕𝟑 𝑹
𝒁 -300 -400 -600 0 0 0 -M -M -M 0
𝒕𝟏 30 20 40 -1 0 0 1 0 0 30 (M)
𝒕𝟐 15 30 30 0 -1 0 0 1 0 20
(M)
𝒕𝟑 10 20 25 0 0 -1 0 0 1 20
(M)
TABLA INICIAL SIMPLEX
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 -300+55M -400+70M -600+95M -M -M
-
M
70M
𝒕𝟏 30 20 40 -1 0 0 30
𝒕𝟐 15 30 30 0 -1 0 20 ÷ 30
𝒕𝟑 10 20 25 0 0 -1 20
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 -300+55M -400+70M -600+95M -M -M -M 70M
𝒕𝟏 30 20 40 -1 0 0 30
𝒕𝟐 1
2
1 1 0
−
1
30
0 2
3
(-40)(600-95M)(-25)
𝒕𝟑 10 20 25 0 0 -1 20
CAPÍTULO II Programación Lineal
Dualidad
Roberto Valencia Página 123
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 15
2
𝑀 200-25M 0 -M −20 +
13
6
𝑀 -M 400 +
20
3
𝑀
𝒕𝟏 10 -20 0 -1 4
3
0 10
3
÷ 10
𝒚𝟑 1
2
1 1 0
−
1
30
0 2
3
𝒕𝟑 −
5
2
-5 0 0 5
6
-1 10
3
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 15
2
𝑀 200-25M 0 -M −20 +
13
6
𝑀 -M 400 +
20
3
𝑀
𝒕𝟏 1 -2 0 −
1
10
2
15
0 1
3
(−
15
2
𝑀)(−
1
2
) (
5
2
)
𝒚𝟑 1
2
1 1 0
−
1
30
0 2
3
𝒕𝟑 −
5
2
-5 0 0 5
6
-1 10
3
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 0 200-10M 0 −
1
4
𝑀 −20 +
7
6
𝑀 -M 400 +
25
6
𝑀
𝒚𝟏 1 -2 0 −
1
10
2
15
0 1
3
÷
2
15
𝒚𝟑 0 2 1 1
20
−
1
10
0 1
2
𝒕𝟑 0 -10 0 −
1
4
7
6
-1 25
6
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 0 200-10M 0 −
1
4
𝑀 −20 +
7
6
𝑀 -M 400 +
25
6
𝑀
𝒚𝟏 15
2
-15 0
−
3
4
1 0 5
2
(20 −
7
6
𝑀) (
1
10
) (−
7
6
)
𝒚𝟑 0 2 1 1
20
−
1
10
0 1
2
𝒕𝟑 0 -10 0 −
1
4
7
6
-1 25
6
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 150 −
35
4
𝑀 −100 +
15
2
𝑀 0 −15 +
5
8
𝑀 0 -M 450 +
5
4
𝑀
𝑺𝟐
15
2
-15 0
−
3
4
1 0 5
2
𝒚𝟑
3
4
1
2
1
−
1
40
0 0 3
4
𝒕𝟑 −
35
4
15
2
0 5
8
0 -1 5
4
÷
15
2
CAPÍTULO II Programación Lineal
Dualidad
Roberto Valencia Página 124
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 150 − 35
4
𝑀 −100 +
15
2
𝑀 0 −15 +
5
8
𝑀 0 -M 450 +
5
4
𝑀
𝑺𝟐
15
2
-15 0
−
3
4
1 0 5
2
𝒚𝟑
3
4
1
2
1
−
1
40
0 0 3
4
𝒕𝟑 −
7
6
1 0 1
12
0
−
2
15
1
6
(−
1
2
) (15) (100 −
15
2
𝑀)
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 100
3
0 0 −
20
3
0 −
40
3
1400
3
𝑺𝟐 -10 0 0
1
2
1 -2 5
𝒚𝟑
4
3
0 1
−
1
15
0 1
15
2
3
÷
4
3
𝒚𝟐 −
7
6
1 0 1
12
0
−
2
15
1
6
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 100
3
0 0 −
20
3
0 −
40
3
1400
3
𝑺𝟐 -10 0 0
1
2
1 -2 5
𝒚𝟑 1 0
3
4
−
1
20
0 1
20
1
2
(10) (−
100
3
) (
7
6
)
𝒚𝟐 −
7
6
1 0 1
12
0
−
2
15
1
6
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑹
𝒁 0 0 -25 −5 0 -15 450
𝑺𝟐 0 0
15
2
0 1
−
3
2
10
𝒚𝟏 1 0
3
4
−
1
20
0 1
20
1
2
𝒚𝟐 0 1
7
8
1
40
0
−
3
40
3
4
Solución:
Z 450
𝒙1 5
𝒙2 0
𝒙3 15
Interpretación: La compañía debe producir 5 dispositivos de tipo 1 y 15 dispositivos de tipo 3
para obtener un máximo beneficio de 450 dólares.
64. Encuentre el dual del problema siguiente: suponga que una compañía tiene $ 60000
para la compra de materiales para fabricar tres tipos de dispositivos. La empresa ha
asignado un total de 2000 horas para el ensamblado y 120 horas para el empacado de
Recuerda:
Las variables 𝒙1, 𝒙2, 𝒙3; se selecciona de
las columnas: 𝒔1, 𝒔2, 𝒔3 respectivamente
sin importar el signo negativo.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Dualidad
Roberto Valencia Página 125
los dispositivos. La tabla siguiente proporciona los costos, el número de horas y la
utilidad por dispositivo de cada tipo:
Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3
Costo/ dispositivo $300 $220 $180
Hora de ensamblado/ dispositivo 20 40 20
Horas de empacado/ dispositivo 3 2 1
Utilidad $300 $200 $200
PRIMAL: DUAL:
𝒙𝟏 = Tipo 1.
𝒙𝟐 = Tipo 2.
𝒙𝟑 = Tipo 3.
Maximizar: 𝒁 = 𝟑𝟎𝟎𝒙𝟏 + 𝟐𝟎𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝟎𝒙𝟑
Restricciones:
{
𝟑𝟎𝟎𝒙𝟏 + 𝟐𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝟏𝟖𝟎𝒙𝟑 ≤ 𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟐𝟎 𝒙𝟏 + 𝟒𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝟑 ≤ 𝟐𝟎𝟎𝟎
𝟑𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟐𝟎
Igualdades:
{
𝟑𝟎𝟎𝒙𝟏 + 𝟐𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝟏𝟖𝟎𝒙𝟑 + 𝑺𝟏 = 𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟐𝟎 𝒙𝟏 + 𝟒𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝟑 + 𝑺𝟐 = 𝟐𝟎𝟎𝟎
𝟑𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 + 𝑺𝟑 = 𝟏𝟐𝟎
Minimizar: 𝑍 = 60000𝑦1 + 2000𝑦2 + 120𝑦3
Restricciones:
{
300𝑦1 + 20𝑦2 + 3𝑦3 ≥ 300
220𝑦1 + 40𝑦2 + 𝑦3 ≥ 200
180𝑦1 + 20𝑦2 + 2𝑦3 ≥ 200
Igualdades:
{
300𝑦1 + 20𝑦2 + 3𝑦3 − 𝑆1 + 𝑡1 = 300
220𝑦1 + 40𝑦2 + 𝑦3 − 𝑆2 + 𝑡2 = 200
180𝑦1 + 20𝑦2 + 2𝑦3 − 𝑆3 + 𝑡3 = 200
65. Encuentre el dual del problema siguiente: Una compañía produce dos tipos de
pantalones A y B cada pantalón tipo A requiere del doble de mano de obra que la del
tipo B para producir por lo menos 2500 pantalones. El mercado limita la venta diaria a
un máximo de 1250 pantalones tipo A, y los de tipo B a un total de 1500 pantalones.
Los costos de operación son de $6 para el pantalón tipo A y de $4 para el tipo B.
Determinar el número de pantalones de cada tipo que minimice los costos.
PRIMAL: DUAL:
𝒙𝟏 = Pantalón Tipo A.
𝒙𝟐 = Pantalón Tipo B.
Minimizar: 𝒁 = 𝟔𝐱𝟏 + 𝟒𝐱𝟐
Restricciones:
{
𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≥ 𝟐𝟓𝟎𝟎
𝒙𝟏 ≤ 𝟏𝟐𝟓𝟎
𝒙𝟐 = 𝟏𝟓𝟎𝟎
Adecuando las restricciones
para el dual:
Maximizar: 𝑍 = 2500𝑦1 − 1250𝑦2 + 1500𝑦3 − 1500𝑦4
Restricciones:
{
2𝑦1 − 𝑦2 ≤ 6
𝑦1 + 𝑦3 − 𝑦4 ≤ 4
Igualdades:
{
2𝑦1 − 𝑦2 + 𝑠1 = 6
𝑦1 + 𝑦3 − 𝑦4 + 𝑠2 = 4
CAPÍTULO II Programación Lineal
Dualidad
Roberto Valencia Página 126
{
𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≥ 𝟐𝟓𝟎𝟎
−𝒙𝟏 ≥ −𝟏𝟐𝟓𝟎
𝒙𝟐 ≥ 𝟏𝟓𝟎𝟎
−𝒙𝟐 ≥ −𝟏𝟓𝟎𝟎
𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟓𝟎𝟎 → −𝑥2 ≥ −1500
Nota:
Cuando exista una restricción con signo igual, para
transformar del primal al Dual, se debe crear dos
restricciones: una con signo mayor igual y otra con signo
menor igual. Ejemplo:
𝒙𝟐 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 → 𝑥2 ≥ 1500; 𝑥2 ≤ 1500 , y para cambiar el
sentido del signo, simplemente se multiplica por (-1) toda la
restricción. Ejemplo:
CAPÍTULO II Programación Lineal
Dualidad
Roberto Valencia Página 127
2.11. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
Básicamente el análisis de sensibilidad se encarga de estudiar cómo afectaría a la solución
óptima y a la función objetivo el cambio de algunas de sus variables, ya sea que una depende de
las otras.
Según (Peñafiel, 1976) utiliza para examinar los efectos de cambios en tres áreas diferenciadas
del problema:
1. Los coeficientes de la función objetivo (coeficiente objetivo). Los cambios en los que
los coeficientes objetivos NO afectan la forma de la región factible, por lo que no
afectarán a la solución óptima (aunque sí al valorde la función objetivo).
2. Los coeficientes tecnológicos (aquellos coeficientes que afectan a las variables de las
restricciones, situados a la izquierda de la desigualdad). Los cambios en estos
coeficientes provocarán cambios sustanciales en la forma de la región factible.
Gráficamente (en el caso de 2 variables) lo que varía es la pendiente de las rectas que
representan las restricciones.
3. Los recursos disponibles (los términos independientes de cada restricción, situados a la
derecha de la desigualdad). Intuitivamente (para dos variables), los cambios en el RHS
suponen desplazamientos paralelos de las rectas asociadas a las restricciones, lo cual
hará variar la forma de la región factible y, con ello, a la solución óptima.
9A continuación podremos ver la función objetivo y sus recursos:
Coeficiente Objetivo
MAX 10X + 20Y
ST
Coeficiente 3X + Y ≥ 9 Recursos
Tecnológico X – 3Y ≥ 5 (RHS)
Coeficiente Tecnológico
Y realizaremos el análisis de sensibilidad en la función objetivo la misma que cambiará el
parámetro o el multiplicador de la primera variable 𝑋1 de 40 a 60 y el multiplicador de la
segunda variable 𝑋2 de 50 a 35 los mismos que se realizan para ver cual será el cambio que
tendrá dentro de la solución óptima y de la función objetivo:
𝒁𝟎 = 40𝑋1 + 50𝑋2
60𝑋1 + 35𝑋1
9 https://www.youtube.com/watch?v=u7RYmF27fDA
CAPÍTULO II Programación Lineal
Dualidad
Roberto Valencia Página 128
Tomando en cuenta que dichos cambios se deberán regir por la regla del 100%
60−40
40
= 0.5
0.50 + 0.30 = 0.80
35−50
50
= -0.30 = | -0.30 | = 0.30
Si el resultado es menor que el 100% como en éste caso, el cambio de los dos coeficientes
simultáneos no afectarán a la solución óptima y dentro de la gráfica o zona óptima de este
ejercicio no habrá ningún problema que se realicen dichos cambios.
RESTRICCIONES
Existen tres diferentes tipos de restricciones. Restricción de oro, Restricción de Plata y
Restricción de No negatividad.
Paara Munier (2000), la restricción de la No negatividad nos indica que la respuesta tiene que
ser positiva, ubicada en el primer cuadrante del plano cartesiano.
Por otra parte, cada restricción al igual que la función objetivo deberá cambiar los valores de sus
coeficientes:
Restricción de Oro Restricción de Plata
𝑿𝟏 +
𝟑
𝟐
𝑿𝟐 = 𝟕𝟓𝟎 𝑋1 +
3
2
𝑋2 = 750
𝑿𝟏 +
𝟑
𝟐
𝑿𝟐 = 𝟗𝟓𝟎
3
2
𝑋1 + 𝑋2 = 1000
𝑽𝑨𝑳𝑶𝑹 𝑵𝑼𝑬𝑽𝑶− 𝑽𝑨𝑳𝑶𝑹 𝑨𝑪𝑻𝑼𝑨𝑳
𝑽𝑨𝑳𝑶𝑹 𝑨𝑪𝑻𝑼𝑨𝑳
Regla del 100%
Nota:
Cuando se obtienen
términos negativos
se deberá aplicar
valor absoluto para
obtener el valor
positivo.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Dualidad
Roberto Valencia Página 129
Y nuevamente aplicamos la
regla del 100%:
Y finalmente sumamos:
0.26 + 0.33 = 0.59
Ahora, como podemos ver la respuesta (0.59) es menor que cien, esto nos quiere decir que el
cambio en el lado derecho de las ecuaciones no alterarán la región factible.
PRECIOS SOMBRA
10El precio sombra es el cambio marginal que se realiza en la función objetivo producto de un
cambio en las restricciones. Representa el costo oportunidad de producir o consumir un bien o
servicio. Un bien o servicio puede no tener un precio de mercado; sin embargo, siempre es
posible asignarle un precio sombra, que permite hacer un análisis de costo-beneficio y cálculos
de programación lineal.
10 https://www.youtube.com/watch?v=FnLhNogsi_I
PRECIO SOMBRA
RECURSOS
CON
HOLGURA
P.S. = 0
Aumentarlos
no genera
cambio
alguno.
RECURSOS
SIN
HOLGURA
P.S. ≠ 0
Aumentarlos
genera
cambio en la
F. Objetivo
950 − 750
750
= 0.26
1000 − 750
750
= 0.33
Recuerda:
Un coeficiente puede variar, sin
alterar el punto óptimo hasta que
la pendiente sea igual a la de la
recta que une los puntos.
Se pueden
disminuir
hasta llegar a
Holgura cero
Si se
disminuyen se
recurre a una
disminución en
la F. Objetivo
CAPÍTULO II Programación Lineal
Dualidad
Roberto Valencia Página 130
11EJEMPLO DE ANALISIS DE SENSIBILIDAD
Materia
Prima
Cantidad requerida
Para cada producto
Modelo Matemático
𝑚𝑎𝑥𝑧 = 600𝑥1 + 400𝑥2
s.c.
4𝑥1 + 𝑥2 ≤ 2000
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 1200
𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 2100
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
Para la resolución se utilizará el método simplex en forma tabular
Variables de Holgura
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒉𝟏 𝒉𝟐 𝒉𝟑
𝒉𝟏 4 1 1 0 0 2000
𝒉𝟐 2 1 0 1 0 1200
𝒉𝟑 1 4 0 0 1 2100
-z 600 400 0 0 0 0
11 https://www.youtube.com/watch?v=ksEfWpKeFl4
A1 A2 Disponibilidad
M1 4 1 2000
M2 2 1 1200
M3 1 3 2100
Utilidad 600 400
Nota:
Se observa que tenemos tres restricciones, una para cada una
de las materias primas y las dos variables 𝑥1, que
corresponden a la cantidad de productos A1 que se deben
fabricar y, 𝑥2 a la cantidad de productos A2 que se deben
elaborar.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Dualidad
Roberto Valencia Página 131
Después de tener la tabla original, se hacen las interacciones correspondientes hasta llegar a la tabla
óptima que se presenta a continuación
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒉𝟏 𝒉𝟐 𝒉𝟑
𝒙𝟏 1 0 0 3 5⁄
−1
5⁄
300
𝒙𝟐 0 1 0 −1 5⁄
2
5⁄
600
𝒉𝟏 0 0 1 −11 5⁄
2
5⁄
200
-z 0 0 0 -280 -40 -420000
INTERPRETACIÓN
La solución óptima corresponde a:
𝒙𝟏 = 300
𝒙𝟐 = 600
𝐡𝟏 = 200
Con un valor máximo de z de 420000, cabe notar que 𝐡𝟐 y 𝐡𝟑 valen 0, esto significa que la solución
óptima consume el total de recursos disponibles de la materia prima 2 y de la materia prima 3.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 132
2.12. PROBLEMAS PROPUESTOS
2.12.1. RESOLVER POR EL MÉTODO GRÁFICO
66. Un estudiante reparte propaganda publicitaria en su tiempo libre. La empresa A le paga
$ 0,05 por impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga $ 0,07
por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos de tipo A, en la que le
caben 120, y otra para los de tipo B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día
puede repartir 150 impresos como máximo. ¿Cuántos impresos habrán de repartir de
cada clase para que su beneficio diario sea máximo?
67. Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino es
siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. Además, el
triple de la producción de vinagre más cuatro veces la producción de vino es siempre
menor o igual que 18 unidades. Hallar el número de unidades de cada producto que se
deben producir para alcanzar un beneficio máximo, sabiendo que cada unidad de vino
deja un beneficio de $ 8 y cada unidad de vinagre $ 2.
68. Un autobús Madrid-París ofrece plazas para fumadores al precio de $ 100 y a no
fumadores al precio de $ 60. Al no fumador se le deja llevar 50 kg de peso y al fumador
20 kg. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3000 kg. ¿Cuál
debería ser la oferta de la compañía si se quiere obtener el máximo beneficio?
69. Una persona quiere invertir$ 100000 en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A
tienen más riesgo, pero producen un beneficio del 10%. Las de tipo B son más seguras,
pero producen solo el 7% nominal. Decide invertir como máximo $ 60000 en la compra
de acciones A y, por lo menos, $ 20000 en la compra de acciones B. Además, quiere
que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo debe invertir
los $ 100000 para que el beneficio anual sea máximo?
70. Un comerciante acude a cierto mercado a comprar naranjas con $ 500. Le ofrecen dos
tipos de naranjas: las de tipo A, a $ 0,5 el kg y las de tipo B, a $ 0,8 el kg. Sabemos que
solo dispone en su furgoneta de espacio para transportar 700 kg de naranjas como
máximo, y que piensa vender el kilo de naranjas de tipo A, a $ 0,58 y el de tipo B, a $
0,9. ¿Cuántos kilogramos de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener
beneficio máximo?
71. Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje de caballero
requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana y un vestido de señora necesita 2 m2 de cada
una de las telas. Calcula el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre
para maximizar los beneficios, si un traje y un vestido se venden por el mismo precio.
72. Se quiere elaborar una dieta para ganado que satisfaga unas condiciones mínimas de
contenidos vitamínicos al día: 2 mg de vitamina A, 3 mg de vitamina B, 30 mg de la C
y 2 mg de la D. Para ello, se van a mezclar alimentos de dos tipos, P y Q, cuyo precio
por kilo es, para ambos, de $ 0,3 y cuyo contenido vitamínico, en miligramos, por kilo
es el siguiente:
CAPÍTULO II Programación Lineal
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 133
¿Cómo deben mezclarse los alimentos para que el gasto sea mínimo?
73. Una fábrica produce chaquetas y pantalones. Tres máquinas de cortar, coser y teñir se
emplean en la producción. Fabricar una chaqueta representa usar la máquina de cortar
una hora; la de coser, tres horas y la de teñir, una hora. Fabricar unos pantalones
representa usar la máquina de cortar una hora; la de coser, una hora y la de teñir,
ninguna hora. La máquina de teñir se puede usar durante tres horas; la de coser, doce y
la de cortar, siete. Todo lo que se fabrica es vendido y se obtiene un beneficio de ocho
euros por cada chaqueta y cinco por cada pantalón. ¿Cómo emplearemos las máquinas
para conseguir el beneficio máximo?
74. Un ganadero debe suministrar un mínimo diario de 4 mg de vitamina A y 6 mg de
vitamina B en el alimento que da a sus reses. Dispone para ello de dos tipos de
alimentos P1 y P2, cuyos contenidos vitamínicos por kg son los que aparecen en la
tabla:
A B
𝑷𝟏 2 6
𝑷𝟐 4 3
Si el kilogramo de alimento P1 vale $ 0,4 y el del P2 $ 0,6. ¿Cómo deben mezclarse
los alimentos para suministrar las vitaminas requeridas con un coste mínimo?
75. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar
electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o
igual número de mecánicos que de electricistas y del número de mecánicos no supere al
doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El
beneficio de la empresa por jornada es de $ 150 por electricista y $ 120 por mecánico.
¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio?
76. Una confitería es famosa por sus dos especialidades en tartas: la tarta Imperial y la tarta
de Lima. La tarta Imperial requiere para su elaboración medio kilo de azúcar y 8
huevos, y tiene un precio de venta de $ 8. La tarta de Lima necesita 1 kilo de azúcar y 8
huevos, y tiene un precio de venta de $ 10. En el almacén les quedan 10 kilos de azúcar
y 120 huevos. a) ¿Qué combinaciones de especialidades pueden hacer? Plantea el
problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) ¿Cuántas unidades de
cada especialidad han de producirse para obtener el mayor ingreso por ventas?
77. Una joyería fabrica dos tipos de joyas. La unidad de tipo A se hace con 1 gr de oro y 1,5
gr de plata y se vende a $ 25. La de tipo B se vende a $ 30 y lleva 1,5 gr de oro y 1 gr de
plata. Si solo se dispone de 750 gr de cada metal, ¿cuántas joyas ha de fabricar de cada
tipo para obtener el máximo beneficio?
A B C D
P 1 1 20 2
Q 1 3 7.5 0
CAPÍTULO II Programación Lineal
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 134
78. Se desea realizar una mezcla con dos sustancias, A y B, que ha de contener como
mínimo 10 unidades de cada una de ellas. Estas sustancias, nos las venden dos
proveedores en forma de lotes. El lote del primer proveedor es tal que los contenidos de
B y de A están en relación de 4 a 1 y hay una unidad de A. El lote del segundo
proveedor es tal que los contenidos de A y de B están en relación de 4 a 1 y hay una
unidad de B. El primer proveedor vende cada lote a $ 10 y el segundo al doble. Ambos
proveedores nos venden lotes enteros o fracciones de ellos. ¿Qué número de lotes
hemos de comprar para que el coste sea mínimo?
79. Un veterinario aconseja a un granjero dedicado a la cría de aves una dieta mínima que
consiste en: 3 unidades de hierro y 4 unidades de vitaminas diarias. El granjero sabe que
cada kilo de maíz proporciona 2,5 unidades de hierro y 1 de vitaminas y que cada kilo
de pienso compuesto proporciona 1 de hierro y 2 de vitaminas. Sabiendo que el kilo de
maíz vale $ 0,3 y el de pienso compuesto $ 0,52, se pide: a) ¿Cuál es la composición de
la dieta diaria que minimiza los costes del granjero? Explica los pasos seguidos para
obtener la respuesta. b) ¿Cambiaría la solución del problema si por escasez en el
mercado el granjero no pudiera disponer de más de 1 kilo diario de pienso compuesto?
80. Una empresa compra 26 locomotoras a tres fábricas: 9 a A, 10 a B y 7 a C. Las
locomotoras deben prestar servicio en dos estaciones distintas: 11 de ellas en la estación
N y 15 en la S. Los costes de traslado son, por cada una, los que se indican en la tabla
(en miles de euros):
Averigua cómo conviene hacer el reparto para que el coste sea mínimo.
81. Un productor tabaquero posee 85 hectáreas de terreno para plantar dos variedades de
tabacos VIRGINIA y PROCESADO. La variedad VIRGINIA tiene un rendimiento de
9600 $/ha, pero necesita 3 h/ha de uso de maquinaria y 80 h/ha de mano de obra.
Además, el Estado limita su explotación a 30 ha por plantación. La variedad
PROCESADO produce un rendimiento de 7500 $/ha y utiliza 2 h/ha de uso de
maquinaria y 60 h/ha de mano de obra. La cooperativa local le ha asignado 190 h de uso
de maquinaria, pero solo se dispone de 5420 horas de mano de obra a 12 $/h. ¿Cuántas
hectáreas debe dedicar a cada variedad de tabaco?
82. Don Elpidio decide emplear hasta $ 30000 de su patrimonio en la adquisición de
acciones de dos sociedades de inversión: BLL e ISSA. El precio de cada acción es de $
10 cada una, y en ambos casos. BLL dedica el 35% de su actividad al sector seguro, el
45% al sector inmobiliario y el 20% al industrial. ISSA dedica el 30% de sus recursos al
sector seguros, el 25% al inmobiliario y el 45% al industrial. Don Elpidio no quiere
invertir más del 40% de su capital en el sector industrial ni más del 35% en el
inmobiliario. ¿Cuántas acciones debe adquirir de cada sociedad si BLL prevé entregar
un dividendo de 1,2 $/acción e ISSA de 1 $/acción?
A B C
N 6 15 3
S 4 20 5
CAPÍTULO II Programación Lineal
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 135
83. Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el
modelo A, a un precio de 1,5 millones de dólares. y el modelo B, a 2 millones de
dólares. La oferta está limitada por las existencias, que son 20 coches del modelo A y 10
coches del modelo B, queriendo vender al menos tantas unidades del modeloA como
del modelo B. Por otra parte, para cubrir los gastos de esta campaña, los ingresos
obtenidos con ella deben ser, al menos, de 6 millones. a) ¿Cuántas unidades de cada
modelo se podrán vender? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto
de soluciones. b) ¿Cuántos coches deberá vender de cada modelo para maximizar sus
ingresos? ¿Cuál es su importe?
84. Una fábrica de coches va a lanzar al mercado dos nuevos modelos, (uno básico y otro de
lujo). El coste de fabricación del modelo básico es de 1 millón de dólares, y el del
modelo de lujo 1,5 millones de dólares, disponiendo para esta operación de lanzamiento
de 60 millones de dólares. Para evitar riesgos, de momento se cree conveniente lanzar al
menos tantos coches del modelo básico como del modelo de lujo y, en todo caso, no
fabricar más de 45 coches del básico. a) ¿Cuántos coches puede fabricar de cada
modelo? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones.
85. Un agricultor estima que el cuidado de cada m2 cultivo de lechugas requiere
semanalmente 45 minutos, mientras que el de repollo exige 50. Dispone de una tierra de
40 m
2
de extensión que puede dedicar total o parcialmente al cuidado de ambas
verduras, queriendo plantar al menos 3 m
2
más de repollo que de lechuga. El m
2
de
lechuga le reporta un beneficio de 500 dólares, mientras que el de repollo 650 dólares,
se planifica obtener en conjunto al menos 10000 dólares de beneficio. a) ¿Qué extensión
de terreno puede plantar con cada verdura? Plantear el problema y representar
gráficamente su conjunto de soluciones. b) ¿Cuánto le interesa plantar de cada una si su
objetivo es que el tiempo semanal dedicado a su cultivo sea mínimo?
86. Cierta persona dispone de 10 millones de dólares como máximo para repartir entre dos
tipos de inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones de dólares.
Además, quiere destinar a esa opción tanta cantidad de dinero como a la B. a) ¿Qué
cantidades puede invertir en cada una de las opciones? Plantear el problema y
representar gráficamente sus soluciones. b) Sabiendo que el rendimiento de la inversión
será del 9% en la opción A y del 12% en la B. ¿Qué cantidad debe invertir en cada una
para optimizar el rendimiento global? ¿A cuánto ascenderá?
87. Una agencia de viajes realiza las siguientes ofertas a 20 clientes: un viaje a la ciudad A
por 50000 dólares u otro a la ciudad B por 75000 dólares (cada cliente podrá elegir, si le
interesa, sólo una de las dos ofertas). Por razones de programación, la agencia necesita
reunir al menos 8 y no más de 12 clientes interesados en el viaje a la ciudad B. a)
¿Cuántos viajes podrá programar la agencia a cada ciudad? Plantear el problema y
representar gráficamente su conjunto de soluciones. b) ¿Cuántos clientes deberán estar
interesados en ir a cada sitio para que la agencia maximice sus ingresos? ¿A cuánto
ascenderán éstos?
CAPÍTULO II Programación Lineal
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 136
88. Una casa discográfica va a promocionar durante el próximo mes el último disco
grabado por dos de los grupos más afamados bajo su sello. El precio de lanzamiento es
de 1750 y 1800 dólares, respectivamente, siendo editadas 1500 copias del disco más
caro. Para cubrir los gastos de la campaña debe vender en total 500 discos o más y, por
razones de imagen, le conviene vender al menos tantas copias del disco más caro como
del más barato. a) ¿Cuántas copias de cada disco puede vender? Plantear el problema y
representar gráficamente su conjunto de soluciones. b) ¿Cuántas copias deberá vender
de cada uno para maximizar sus ingresos? ¿Cuál será su importe?
89. En una granja dedicada a la cría de cerdos, la dieta alimenticia de los animales consiste
en dos tipos de alimento, cuyo precio (dólares/kg.) es de 100 para el alimento A y de
150 para el alimento B. Un animal debe consumir diariamente al menos 2 kg. de
alimento. Además, el coste de la dieta no puede superar las 300 ptas. por día. a) ¿Qué
cantidades de cada tipo pueden ser utilizadas para componer la dieta? Plantear el
problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b) Si se desea que la
dieta resulte lo más barata posible, ¿cuáles serán las cantidades adecuadas? ¿Qué coste
tiene esa dieta?
90. Los responsables de un videoclub han de realizar el pedido de películas de estreno y
novedades a sus proveedores. El coste de cada película de estreno es de 760 dólares, y
el de cada novedad 370. Se desea un coste total que no supere los 94500 dólares. Por
otra parte, el proveedor les exige que los estrenos sean, al menos, la mitad que las
novedades, y que las novedades más la mitad de los estrenos no sea inferior a las 100
unidades. a) ¿De cuántas unidades de cada tipo puede consistir el pedido? Plantear el
problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b) Si se desea que el
total de unidades pedidas sea mínimo. ¿De cuántas unidades de cada tipo ha de constar
el pedido? ¿Cuál es entonces el coste del pedido?
91. Un grupo musical va a lanzar su nuevo trabajo al mercado. La casa discográfica
considera necesario realizar una campaña intensiva de publicidad, combinando dos
posibilidades: anuncios en televisión, con un coste estimado de $ 1000000 por anuncio,
y cuñas radiofónicas, con un coste estimado de $ 100000 por cuña. No obstante, no
pueden gastar más de $ 100000000. para dicha campaña, a lo largo de la cual se tienen
que emitir al menos 50 y no más de 100 cuñas. Un estudio de mercado cifra en 10.000
el número de copias que se venderán por anuncio de televisión emitido, y en 2000
copias por cuña radiofónica emitida. a) ¿De cuántos anuncios y cuñas radiofónicas
podrá constar esta campaña? Plantear el problema y representar gráficamente el
conjunto de soluciones. b) ¿Qué combinación de ambos se debería realizar para vender
el mayor número de copias posible? ¿Se llegarán a gastar los 100 millones de dólares?
92. Por motivos de ampliación de plantilla, una empresa de servicios de traducción quiere
contratar, a lo sumo, 50 nuevos traductores. El salario que ha de pagar a cada traductor
de una lengua es de 200000 dólares, y de 300000 a los que son de más de una lengua.
Como poco, y por motivos de demanda, dicha empresa tiene que contratar a la fuerza a
un traductor de más de una lengua. La política de selección de personal de la compañía
obliga también a contratar tantos traductores de una lengua como de más de una.
Sabiendo que el objetivo fijado de beneficios totales es, como mínimo, de 12 millones
CAPÍTULO II Programación Lineal
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 137
de dólares, y que los beneficios que aportan los traductores de una lengua son de
400000 dólares/traductor, y de 800000 dólares/traductor los de más de una lengua: a)
¿Cuántos traductores de cada tipo se pueden contratar? Plantear el problema y
representar gráficamente el conjunto de soluciones. b) ¿Cuántos traductores de cada tipo
contratará para minimizar el gasto en salarios? ¿Qué beneficios totales tendrá la
empresa en este caso?
93. Una fábrica de confección de ropa especializada en faldas y pantalones recibe una
partida de tela de 5000 metros. Para la confección de los pantalones, se precisan dos
metros de tela y uno, para las faldas. Por razones productivas, la fábrica ha de
confeccionar al menos el doble de pantalones que de faldas. a) Plantear el problema y
representar gráficamente el conjunto de soluciones. b) ¿Cuántas faldas y pantalones
puede ofertar? c) Si la fábrica vende cada pantalón a un precio de 5000 dólares y cada
falda a 3000 dólares, ¿cuántas faldas y pantalones deberá vender para maximizar sus
ingresos? ¿Cuál será el ingreso máximo que puede obtener?
94. La encargada de una floristería ha de hacer el pedido semanal de plantas de interior y de
exterior.El precio que ha de pagar al proveedor por cada planta de interior es de 100
dólares. y de 200 por cada una de exterior. A la fecha, sabe que por lo menos ha de
poder atender la demanda que un cliente ya le ha hecho, de 20 unidades de interior y de
30 de exterior. Además, el transporte del pedido semanal hasta la floristería lo realiza
una empresa especializada y le supone unos costes, que son de 60 dólares. por cada
planta de interior y de 80 dólares. por cada planta de exterior, y la floristería tiene por
norma que estos costes de transporte no sobrepasen los 4800 dólares, por pedido
semanal. Asimismo, la encargada obtiene una prima de 60 dólares. por cada planta de
interior que venda y 50 por cada una de exterior, y quiere que las primas que se puedan
alcanzar vendiendo todo el pedido sean de al menos 3000 dólares. a) ¿Cuántas unidades
de cada tipo puede pedir la encargada para cumplir todos los requerimientos anteriores?
Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) Si la
floristería quiere además minimizar el precio que ha de pagar al proveedor por el
pedido. ¿Cuántas unidades de cada tipo ha de adquirir? ¿Cuánto deberá pagar al
proveedor? ¿Cuáles serán los costes de transporte?
95. Una gestoría financiera que ofrecía hasta ahora tan sólo préstamos personales pretende
añadir a su cartera de productos los préstamos hipotecarios y se ve en la necesidad de
rediseñar su política de firmas mensuales en base a los siguientes requerimientos: Debe
firmar mensualmente al menos dos préstamos hipotecarios, pero por las dificultades que
genera la introducción de ese producto no puede superar las 8 formas mensuales de
dichos préstamos. Por la misma razón, el número de firmas mensuales de préstamos
hipotecarios ha de ser como máximo la mitad de las firmas mensuales de préstamos
personales. Por otro lado, los costes de gestión son de 15000 dólares para cada firma de
préstamo personal y de 30000 dólares. para cada una de hipotecarios, no pudiéndose
superar los 600000 dólares, de gastos mensuales totales de gestión. Si la comisión a
percibir por la firma de cada préstamo personal es de 40000 dólares y de 100000
dólares, para cada hipotecario. a) Se pretende calcular las unidades de cada producto,
que puede firmar mensualmente cumpliendo los requerimientos de su nueva política de
firmas. Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. Si un
CAPÍTULO II Programación Lineal
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 138
mes firma 10 personales y 8 hipotecarios. ¿Cumple esos requerimientos? b) Calcula las
unidades de cada producto que ha de firmar un mes para maximizar la comisión total y
cumplir todos los requerimientos de su política. ¿A cuánto asciende dicha comisión?
96. Un distribuidor de software informático, que realiza también funciones de servicio
técnico, tiene en su cartera de clientes tanto a empresas como a particulares. En base a
los objetivos marcados por el fabricante, al finalizar este año ha de conseguir al menos
20 empresas como clientes en su cartera, y el número de clientes particulares que
consiga deberá ser como mínimo el doble que de empresas. Además, por razones de
eficiencia del servicio postventa, tiene estipulado un límite global de 90 clientes
anuales. Finalmente, cada empresa le produce $ 286 de ingresos anuales, mientras que
cada particular $ 179. a) ¿Cuáles pueden ser las distintas opciones de composición de su
cartera? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b)
¿Cuál de esas combinaciones le proporcionaría los mayores ingresos al finalizar el año?
¿A cuánto ascenderían dichos ingresos?
97. Un representante comercial del sector de las comunicaciones se plantea maximizar la
comisión total que obtenga este mes por la venta de dos productos: teléfono móvil con
contrato de alta y teléfono móvil con tarjeta. La comisión es de $ 15 por cada móvil con
alta y $ 10 por cada uno con tarjeta. La política comercial de la empresa exige que el
número de teléfonos vendidos con alta cada mes no puede ser superior al número de
teléfonos vendidos con tarjeta. Así mismo, la venta de cada teléfono lleva asociados
unos costes administrativos de $ 1, y la empresa también obliga a cada representante a
que el coste total por ventas no supere los $ 100 al mes. Finalmente, la empresa obtiene
unos beneficios de $ 6 por cada venta de teléfono con alta y de $ 2 por cada venta de
teléfono con tarjeta, y pide a cada representante que los beneficios totales obtenidos por
la venta de teléfonos con alta cada mes supere en al menos $ 120 a los beneficios totales
obtenidos por la venta de teléfonos con tarjeta. a) Se pretende calcular las unidades de
cada producto que puede vender este mes aunque no maximice la comisión total.
Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría
vender 60 unidades de cada producto? b) Calcular las unidades de cada producto que ha
de vender para maximizar la comisión. ¿A cuánto asciende dicha comisión?
98. Una tienda de moda está preparando su pedido de trajes para la próxima temporada.
Para que cierto proveedor le haga unos precios especiales, el pedido debe incluir, al
menos 10 trajes de fabricación nacional y no sobrepasar los 20 trajes de ese tipo.
Además, el número de trajes de fabricación nacional debería ser, al menos una tercera
parte del número de trajes de importación. Por otro lado, el beneficio que la tienda
obtendría por la venta de cada traje de fabricación nacional sería de 120 dólares y de
200 dólares por la venta de cada uno de importación, y la tienda quiere que el beneficio
total que se pueda alcanzar vendiendo todo el pedido sea como mínimo de 3600 dólares.
a) Se pretende calcular las unidades de cada producto que se pueden pedir al proveedor
cumpliendo todos los requerimientos anteriores. Plantear el problema y representar
gráficamente el conjunto de soluciones posibles. ¿Podría pedir 12 trajes de fabricación
nacional y 45 de importación? b) Calcular las unidades de cada producto que se han de
pedir para minimizar, además el número total de trajes solicitados. Con ese pedido.
¿Qué beneficio obtendrá si se venden todas las unidades?
CAPÍTULO II Programación Lineal
Problemas propuestos
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99. Un equipo de fútbol quiere poner a disposición de sus socios al menos 450 plazas entre
autobuses y microbuses, con el fin de facilitar los desplazamientos para el próximo
encuentro. El equipo contratará los vehículos a una empresa que le ofrece un máximo
de 16 autobuses y de 10 microbuses, y que le exige que el número de microbuses que
pueda contratar sea al menos un 20% del total de vehículos que contrate. Cada autobús
tiene una capacidad de 50 plazas y cada microbús de 25. a) ¿Qué combinaciones de
vehículos de cada tipo se pueden contratar cumpliendo los requerimientos anteriores?
Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b) Si se
quiere contratar el menor número posible de vehículos en total. ¿Cuántos de cada tipo
ha de contratar? ¿Cuál será el número máximo de socios que se podrán desplazar en ese
caso?
100. El jefe de seguridad de un museo estudia combinar 2 nuevos sistemas antirrobo:
cámaras de vigilancia en las salas, y alarmas en puntos estratégicos del edificio. Se
quiere utilizar un mínimo de 6 cámaras para cubrir con ellas las salas más importantes, y
un máximo de 15 cámaras, con las que quedarían todas las salas cubiertas. Igualmente,
se necesitan al menos 6 alarmas para cubrir las más importantes entradas y salidas del
edificio. Finalmente, se tiene un presupuesto máximo de 36000 dólares, y cada cámara
cuesta 1000 dólares mientras que cada alarma cuesta 500 dólares. a) ¿Qué
combinaciones de unidades de cada sistema se pueden instalar cumpliendo los
requerimientosanteriores? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto
de soluciones. ¿Podría instalar 7 cámaras y 59 alarmas? b) Si el objetivo es colocar el
mayor número de dispositivos entre cámaras y alarmas. ¿Cuántos ha de colocar de cada
modalidad? En ese caso. ¿Cuál será el coste total?
101. Una empresa quiere decidir cuántos ordenadores portátiles y cuántos de sobremesa
comprará. Dispone de hasta 88000 dólares y ha aceptado la oferta de un proveedor que le
exige comprar por lo menos 30 ordenadores y que al menos un 10% de los que compre
sean portátiles. Cada ordenador portátil le sale por 2000 dólares y cada uno de
sobremesa por 1000 a) ¿Qué combinaciones de ordenadores de cada tipo puede
comprar? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b)
Si se quiere comprar el mayor número posible de ordenadores. ¿Cuántos de cada tipo ha
de comprar? Y si lo que quiere es comprar el menor número posible de portátiles.
¿Cuántos de cada tipo tendría que comprar?
CAPÍTULO II Programación Lineal
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 140
2.12.2. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX (MAXIMIZACIÓN)
102. Un camión de transporte tiene la capacidad de llevar como máximo 9 toneladas y 30𝑚3
por viaje. En un viaje desea transportar al menos 4 toneladas de la mercancía A y un
peso de la mercancía B que no sea inferior a la mitad del peso que transporta A.
Sabiendo que cobra $ 800000 por tonelada transportada de mercancía A ya que ocupa un
volumen 2𝑚3 por tonelada y $ 600000 por tonelada transportada de mercancía B ya que
ocupa un volumen 1,5𝑚3 por tonelada. ¿Cómo se debe cargar el camión para obtener la
ganancia máxima, si para cada tonelada cargada gasta en promedio $ 200000 de
gasolina?
103. Una fábrica produce dos modelos A y B de un producto. El beneficio que arroja el
modelo A es de $ 40000/unidad y el de B $ 60000/unidad. La producción diaria no
puede superar 4000 unidades del modelo A ni 3000 del B, debido a las condiciones de
producción de la planta. El departamento de mercadeo informa que la demanda de
acuerdo a los pedidos recibidos es de 600 unidades ¿Cuántas unidades de cada modelo
debe producir la fábrica para obtener el máximo beneficio?
104. En una economía lineal para producir 3 unidades de trigo se requieren: 6 unidades de
tierra, $ 8 en semilla y 3 trabajadores. Para producir 4 unidades de centeno se requieren 5
unidades de tierra, $ 10 de semillas y 6 trabajadores. El precio por unidad de trigo y
centeno es $ 15 y $ 20,5 respectivamente, siendo las cantidades disponibles de tierra y de
trabajo de 100 y 130 unidades. Si el empresario desea optimizar el resultado de su
explotación, formule un modelo de programación lineal. Como nos dan el precio del
trigo y centeno por unidad y las necesidades de producción que son por cada 3 unidades
entonces el valor del precio del trigo y centeno lo multiplicamos por 3 y le restamos el
valor de cada semilla.
105. Usted como vendedor de FERRETERÍA S.A tiene que decir como asignar sus esfuerzos
entre los diferentes tipos de clientes de su territorio. Ud. debe visitar comerciantes
mayoristas y clientes que compran al detal. Una visita a un comerciante mayorista
usualmente le produce $ 20 en ventas, pero la visita en promedio dura 2 horas, debe
manejar también en promedio 10 km. En una visita a un comprador al detal, le vende $
50 requiere de unas 3 horas y 20 km manejando su carro, aproximadamente. Usted
planifica viajar como máximo 600 km por semana en su carro y prefiere trabajar no más
de 36 horas a la semana. Encuentre la combinación óptima de visitas a comerciantes y
clientes al menudeo que le permitan maximizar sus ganancias.
106. Una persona acaba de heredar $ 6000 y desea invertirlos. Al oír esta noticia dos amigos
distintos le ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios, cada uno
planeado por cada amigo. En ambos casos, la inversión significa dedicar un poco de
tiempo el siguiente verano, al igual que invertir efectivo. Con el primer amigo al
convertirse en socio completo tendría que invertir $ 5000 y 400 horas, y las ganancia
estimada (ignorado el valor del tiempo) seria $ 4500. Las cifras correspondientes a la
propuesta del segundo amigo son $ 4000 y 500 horas con una ganancia estimada de $
CAPÍTULO II Programación Lineal
Problemas propuestos
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4500. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirían entrar en el negocio en
cualquier proporción de la sociedad; la participación en las utilidades será proporcional a
esa fracción. Como de todas maneras esta persona está buscando un trabajo interesante
para el verano (600 horas a lo sumo), ha decidido participar en una o ambas propuestas
con la combinación que maximice la ganancia total estimada.
107. Un herrero con 80 kg de acero y 120 kg de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y
de montaña que aspire vender respectivamente a $ 20000 y $ 15000 cada una para sacar
el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg de acero y 3 kg de aluminio y para
la de montaña 2 kg de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña
venderá?
Acero Aluminio
Paseo 1 3
Montaña 2 2
108. A una persona le tocan 10 millones de dólares en una lotería y le aconsejan que las
invierta en dos tipos de acciones: A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen
un beneficio del 10%. Las de tipo B son más seguras, pero producen solo el 7% anual.
Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra
de acciones A y por lo menos 2 millones en la compra de acciones B, además decide que
lo invertido en A sea por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir 10
millones para que le beneficio anual sea máximo?
109. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La
empresa A le paga 5 dólares por cada impreso repartido y la empresa B con folletos más
grandes, le paga 7 dólares por impreso. El estudiante lleva dos bolsas, una para los
impresos A, en la que caben 120 y en otra los impresos B, en la que caben 100; ha
calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo, lo que se
pregunta el estudiante es ¿Cuántos impresos habrán que repartir de cada clase para que
su beneficio diario sea máximo?
110. Un comerciante acude al mercado popular a comprar naranjas con $ 500000, le ofrecen
dos tipos de naranjas: las de tipo A, a $ 500 el kg, y las de tipo B a $ 800 el kg sabiendo
que solo dispone de su camioneta con espacio para transportar 700 kg de naranjas como
máximo y piensa vender el kg de naranjas tipo A, a $ 580 y el kg de tipo B a $ 900. a)
¿Cuántos kg de naranja de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio?. b)
¿Cuál será ese beneficio máximo?
111. Un sastre tiene 80𝑚2 de tela de algodón y 120𝑚2 de tela de lana. Un traje
requiere 1𝑚2 de algodón y 3𝑚2de lana, y un vestido de mujer requiere 2𝑚2 de cada una
de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre
para maximizar los beneficios; sin un traje y un vestido se venden al mismo precio.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Problemas propuestos
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112. Un constructor va a edificar dos tipos de vivienda A y B, dispone de $ 600 millones y el
coste de una casa de tipo A es de $13 millones y $ 8 millones una tipo B. El número de
casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40% del total y el de tipo B, el 20% por lo
menos. Si cada casa de tipo A se vende a $ 16 millones y cada una de tipo B en $ 9
millones. ¿Cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio máximo?
113. La fábrica LA MUNDIAL S.A, construye mesas y sillas de madera, el precio de venta
al público de una mesa es de $ 2700 pesosy el de una silla $ 2100. LA MUNDIAL S.A.
estima que fabricar una mesa supone un gasto de $ 1000 de materias primas y de $ 1.400
de costos laborales. Fabricar una silla exige $ 900 de materias primas y $ 1.000 de costos
laborales. La construcción de ambos tipos de muebles requiere un trabajo previo de
carpintería y un proceso final de acabado (pintura, revisión de las piezas fabricadas,
empaquetado etc.). Para fabricar una mesa se necesita 1 hora de carpintería y 2 horas de
proceso final de acabado. Una silla necesita 1 hora de carpintería y 1 hora para el
proceso de acabado. LA MUNDIAL S.A. No tiene problemas de abastecimiento de
materias primas, pero solo puede contar semanalmente con un máximo de 80 horas de
carpintería y un máximo de 100 horas por los trabajos de acabado. Por exigencias del
mercado, LA MUNDIAL S.A. fabrica como máximo 40 mesas a la semana. No ocurre
así con las sillas, para las que no tienen ningún tipo de restricción, en cuanto al número
de unidades fabricadas. Determinar el número de mesas y de sillas que semanalmente
deberá fabricar la empresa para maximizar sus beneficios.
114. La Ápex Televisión debe decir el número de televisores de 27” y 20’’ producidos en
una de sus fábricas, la investigación de mercado indica ventas a lo más 40 televisores de
27” y 10 de 20” cada mes. El número máximo de horas-hombre disponible es de 500 por
mes, un televisor de 27” requiere 20 horas-hombres y uno de 20” requiere 10 horas-
hombre, cada televisor de 27” produce una ganancia de $ 120 y cada uno de 20” da una
ganancia de $ 80. Un distribuidor está de acuerdo en comprar todos los televisores
producidos, siempre y cuando no exceda el máximo indicado por el estudio de mercado.
115. Una empresa automotriz está equipada para producir automóviles y camiones. Su planta
fabril está organizada en cuatro departamentos: estampado, montaje de motores, línea de
montaje de automóviles y línea de montaje de camiones. La capacidad de producción de
cada departamento está limitada de la siguiente manera:
Estampado: puede producir 25000 autos o 35000 camiones por año.
Montaje de motores: 33333 autos o 16667 camiones por año.
Línea de montaje de automóviles: 22500 autos/año.
Línea de montaje de camiones: 15000 camiones/año.
Por otra parte, se desea producir como mínimo 12000 autos y 8000 camiones por año,
estimándose, asimismo, en 18000 unidades la demanda anual de automóviles. El
margen de beneficio es 150000 $/auto y 125000 $/camión. Se desea conocer el plan de
producción que maximice el beneficio.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Problemas propuestos
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Estampado Montaje
motores
Línea montaje
auto/camiones
Unidades
CAMIONES 35000 16667 15000 8000
AUTOS 25000 33333 22500 18000
60000 50000 37500
116. Un autobús Caracas-Maracaibo ofrece plazas para fumadores al precio de $ 10000 y a
no fumadores al precio de $ 6000. Al no fumador se le deja llevar 50 kg de peso y al
fumador 20 kg. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3000 kg.
¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros, con la
finalidad de optimizar el beneficio?
117. Cierta persona dispone de 10 millones como máximo para repartir entre dos tipos de
inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además, quiere
destinar a esa opción, como mínimo, tanta cantidad de dinero como a la B, sabiendo que
el rendimiento de la inversión será del 9% en la opción A y del 12% en la B. ¿Qué
cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global?
118. En una fábrica se construyen aparatos A y B, que necesitan pasar por los talleres X e Y.
Estos trabajan 100 horas cada semana. Cada aparato A lleva 3 horas del taller X y 1 del
Y, y cada aparato de B, 1 y 2 respectivamente. Cada A se vende a $ 100 y cada B a $
150. Determinar cuántos de cada uno se producirán para que el ingreso por ventas sea
máximo.
119. La empresa lechera Milk no puede recibir más de 100000 litros de leche al día debido a
las limitaciones impuestas por el congestionamiento de recepción. Las políticas de la
administración requieren el uso de cuando menos 10000 litros de leche diarios para la
fabricación de queso, y el resto para ser empleado en manteca o leche embotellada según
lo permita el equipo. El beneficio de un litro de l según como se emplee es como sigue:
El equipo para fabricar manteca puede procesar hasta 600000 litros de leche por día y el
de fabricar queso hasta 30000 litros de leche diarios. Plantear el problema.
120. En un taller se fabrican 3 tipos de mesa: A, B, y C. Cada mesa requiere determinado
tiempo para cortar las partes que la constituyen, en ensamblar y pintar la pieza
terminada. La producción total de mesas está vendida. Además, el modelo C puede
venderse sin pintar, para el desarrollo del trabajo se emplean varias personas las que
trabajan en turnos parciales porque el tiempo disponible para realizar cada una de estas
actividades es variable. A partir de los datos siguientes, formule un modelo de
programación lineal que le permita maximizar las ganancias, si el departamento de corte
presenta una capacidad de 150 horas, el de montaje 200 horas y el departamento de
MANTECA 0,02 $
LECHE 0,10$
QUESO 0,30$
CAPÍTULO II Programación Lineal
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 144
pintura de 300 horas, si la ganancia por la mesa A es de 1500 por la mesa B 20000 y por
la mesa C 35000 y por la C sin pintar 30000.
Modelo Corte Montaje Pintura
A 3 4 5
B 1 2 5
C 4 5 4
C sin pintar 4 5 0
121. Una industria productora de muebles fabrica mesas, sillas, escritorios y libreros, usando
dos tipos diferentes de madera A y B de las cuales dispone de 3600 y 2000 pies
2
respectivamente. Cada mesa, silla, escritorio y librero requieren 5,1,9,12 pies
2
respectivamente, de madera tipo A y 2, 3, 4, 3 pies
2
madera tipo B. Se cuenta con 1200
horas hombre para este trabajo, para la fabricación de una mesa requiere 3 horas/hombre,
de una silla requiere 2 horas, para un escritorio 5 horas, para un librero 10 horas. Los
pedidos exigen una producción mínima de 40 mesas, 130 sillas, 30 escritorios y no más
de 10 libreros. Las utilidades son 18000 mesas, 7500 sillas, 22500 escritorios y 27000
libreros ¿cuántos muebles de cada tipo debe producirse para obtener máxima utilidad?
2.12.3. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX (MINIMIZACIÓN)
122. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8
buses con capacidad de 40 personas y 10 buses con capacidad de 30 personas, pero solo
dispone de 12 conductores. El alquiler de un bus grande cuesta $ 80000 y el de uno
pequeño $ 600000. Calcular cuántos de cada tipo hay que utilizar para que la excursión
resulte lo más económica posible para la escuela.
123. En unos grandes almacenes necesitan entre 6 y 15 vigilantes cuando están abiertos al
público, y entre 4 y 7 vigilantes nocturnos. Por razones de seguridad, debe haber al
menos el doble de vigilantes diurnos que nocturnos, pero los vigilantes diurnos cobran $
60 por día y los nocturnos $ 96 ¿Cómo debe organizarse el servicio para que resulte lo
más económico posible?
124. La compañía Hierro del Norte debe decidir cuántas toneladas de acero puro (x) y
cuántas de chatarra (y) se deben utilizar en la preparación de una aleación para un cliente.
El costo por tonelada de acero puro es de 3 y el de chatarra 6 (por las impurezas); la
demanda del cliente es de por lo menos 5, y el aceptaría más si así se requiere. La
disponibilidad de x es 4 toneladas y 7 la de (y). La relación entre chatarra y acero puro
no puede exceder 7/8. La fábrica tiene 18 horas disponibles para derretir y fundir; una
tonelada de acero puro requiere 3 horas, mientras que la chatarrasolo 2 horas.
125. Una imprenta dispone de 1800 pilas de cartulina de 13 pulgadas de largo, debe atender
un pedido que le exige cortes, de tal manera que disponga al menos de 1000 tiras de 7
pulgadas y 2000 tiras de 5 pulgadas, cada tira se puede cortar de 2 formas.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 145
a. Se cortan dos tramos de 5 pulgadas y un desperdicio de 3 pulgadas
b. Hace un corte de un tramo de 7 pulgadas y un desperdicio de 1 pulgada. ¿Cuántas tiras
de 13 pulgadas se deben cortar en la forma a y b de tal manera que se minimice el
desperdicio?
126. Una compañía de alquiler de camiones dispone de dos tipos de vehículos: el camión A
tiene 2𝑚3 de espacio refrigerado y 4𝑚3 de espacio no refrigerado, el camión B tiene y
3𝑚3 de cada tipo de espacio, una transportadora de alimentos debe transportar 180𝑚3
de producto refrigerado y 240𝑚3de productos no refrigerados. El camión A lo alquilan a
$ 30000 el km, el camión B lo alquilan a $ 35000 el km, si recorrieron 40 km. ¿Cuántos
camiones de cada tipo deben tomarse en alquiler para minimizar el tipo de transporte?
127. Una compañía productora de fertilizantes es propietaria de 2 minas que le genera la
materia prima básica para sus productos. La mina 1 produce semanalmente 10 toneladas
de materia prima grado A; 30 toneladas de materia prima grado B; y 50 toneladas de
grado C. La mina 2 produce 30 toneladas de cada grado semanalmente, la compañía para
la producción anual de fertilizantes requiere al menos de 160 son de grado A y 303
toneladas grado B pero no más de 800 toneladas de grado C. Los costos de explotación
semanal de la mina A son de $ 800000 y de la mina B $ 700000. ¿Cuántas semanas al
año se debe explotar cada mina para cumplir los planes de producción minimizando
costos?
Materia prima
G° A
Materia prima
G° B
Materia prima
G° C
Mina 1 10 30 50
Mina 2 30 30 30
128. Una empresa proveedora de alimentos desea fabricar comida balanceada para perros, de
acuerdo a las especificaciones dadas por el veterinario se debe producir un compuesto
que contenga por lo menos, 100 gramos de fibra, 300 gramos de proteínas y 70 gramos
de minerales por animal. Si se desea alimentar 100 perros con los siguientes productos
que se encuentran en el mercado y presentan la siguiente composición. ¿Cuántos kilos de
cada producto se deben comprar si se desea cumplir con la cuota nutricional al menor
costo posible?
Contenido Productos
1 2 3
Fibra 20% 30% 5%
Proteína 60% 50% 38%
Minerales 9% 8% 8%
Precio por kg $ 10000 $ 11000 $ 9500
CAPÍTULO II Programación Lineal
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 146
129. Un granjero cría cerdos para venta y desea determinar qué cantidad de los distintos tipos
de alimento debe dar a cada cerdo para cumplir requisitos nutricionales a un costo
mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada clase de ingredientes nutritivos
básicos contenidos en un kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los requisitos
nutricionales diarios y los costos de los alimentos.
Información
Nutricional
Kg de
maíz
Kg de
grasa
Kg de
alfalfa
Mínimo
diario
Carbohidratos 90 20 40 200
Proteínas 30 80 60 180
Vitaminas 10 20 60 150
Costos 42 36 30 140
Formule y resuelva el modelo de programación lineal.
130. La comida para perros alojados en una perrera se prepara mezclando 3 productos con
los que se obtiene una dieta balanceada para los canes; la información sobre los 3
productos, se muestra en la siguiente tabla.
Producto Costo por libra Proteína (%) Carbohidratos Grasas
A 0.45 62 5 3
B 0.38 55 10 2
C 0.27 36 20 1
Si se desea alimentar 200 perros asegurándose que cada uno ingiera diariamente cuando
menos 8 onzas de proteínas; una onza de carbohidratos y no más de ½ onza de grasas.
¿Qué cantidad de cada producto debe comprarse con el fin de minimizar los costos y
entregar la dieta a los canes?
131. Los hospitales enfrentan constantemente problemas con el horario de trabajo de sus
enfermeras. Un modelo de planificación de horarios en un problema de programación de
enteros para minimizar el número total de trabajadores sujetos a un número específico de
enfermeras durante cada periodo del día.
Periodo Turno del día Nª requerido de enfermeras
1 8:00 – 10:00 10
2 10:00- 12:00 8
3 12:00 – 02:00 9
4 02:00 – 04:00 11
5 04:00 – 06:00 13
6 06:00 – 08:00 8
7 08:00 – 10:00 5
8 10:00 – 12:00 3
CAPÍTULO II Programación Lineal
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 147
Dado que cada enfermera trabaja jornadas de 8 horas diarias, el/ellas puede comenzar a
trabajar al inicio de cualquiera de los primeros cinco periodos: 8:00, 10:00, 12:00, 2:00
o 4:00. Adicionalmente, no se necesita ninguna enfermera que comience a trabajar
después de las 4:00, dado que su horario se extendería hasta después de la media noche
cuando no son necesarias. ¿Cuántas enfermeras se deben reportar de tal forma que
cumpla los requerimientos en la tabla anterior?
132. Desde dos almacenes A y B, se tiene que distribuir fruta de tres mercados de la ciudad.
El almacén A, dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas, que se
reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan diariamente 8 toneladas
de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias. El costo del transporte
desde cada almacén a cada mercado viene dado por el siguiente cuadro:
Almacén Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3
A 10 15 20
B 15 10 10
Planificar el transporte para que el coste sea mínimo.
2.12.4. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX DEGENERACIÓN
En los problemas 134 y 135. El problema de programación lineal asociado con la tabla dada.
¿Tiene degeneración? Si es así, ¿Por qué?
133.
134.
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 -5 0 1 0 -3 4
𝒔𝟏 2 0 2 1 1 4
𝒙𝟐 3 1 1 0 1 0
Resolver por el método simplex los problemas del 136 al 143
135.
Maximizar: 𝑍 = 2𝑥1 + 7𝑥2
Sujeta a:
{
4𝑥1 − 3𝑥2 ≤ 4
3𝑥1 − 𝑥2 ≤ 6
5𝑥1 ≤ 8
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑹
𝒁 0 -3 -2 0 10
𝒙𝟏 1 2 4 0 6
𝒔𝟐 0 1 1 1 3
CAPÍTULO II Programación Lineal
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 148
136.
Maximizar: 𝑍 = 2𝑥1 + 𝑥2
Sujeta a:
{
4𝑥1 − 𝑥2 ≤ 7
−𝑥1 + 𝑥2 ≤ 5
8𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 40
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
137.
Maximizar: 𝑍 = −4𝑥1 + 8𝑥2
Sujeta a:
{
2𝑥1 − 2𝑥2 ≤ 4
−𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 4
3𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
138.
Maximizar: 𝑧 = 8𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3
Sujeta a:
{
𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 ≤ 6
𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 ≥ −4
𝑥1 − 6𝑥2 + 𝑥3 ≤ 8
𝑥1, 𝑥2,𝑥3 ≥ 0
139.
Maximizar: 𝑧 = 5𝑥1 + 3𝑥2 + 6𝑥3
Sujeta a:
{
9𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 ≤ 5
4𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 ≤ 2
𝑥1 − 4𝑥2 + 𝑥3 ≤ 3
𝑥1,𝑥2,𝑥3 ≥ 0
140.
Maximizar: 𝑧 = 2𝑥1 + 𝑥2 − 4𝑥3
Sujeta a:
{
6𝑥1 + 3𝑥2 − 3𝑥3 ≤ 10
𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 ≤ 1
2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 ≤ 12
𝑥1,𝑥2,𝑥3 ≥ 0
CAPÍTULO II Programación Lineal
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 149
141.
Maximizar: 𝑧 = 6𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3
Sujeta a:
{
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≤ 7
−4𝑥1 − 𝑥2 ≥ −6
𝑥1,𝑥2,𝑥3 ≥ 0
142.
Maximizar: 𝑝 = 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4
Sujeta a:
{
𝑥1 − 𝑥2 ≤ 2
𝑥2 − 𝑥3 ≤ 3
𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4 ≥ 0
2.12.5. PROBLEMAS DE DUALIDAD
Encuentre los duales de los problemas del 144 al 151
143.
Maximizar: 𝑍 = 𝑥1 + 2𝑥2
Sujeta a:
{
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 5
−𝑥1 + 𝑥2 ≤ 3
𝑥1,𝑥2 ≥ 0
144.
Maximizar: 𝑍 = 2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3
Sujeta a:
{
2𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 3
−𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 ≤ 5
𝑥1,𝑥2,𝑥3 ≥ 0
145. Minimizar: 𝑍 = −𝑥1 + 8𝑥2 + 5𝑥3
Sujeta a:
{
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≥ 8
−𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 ≥ 2
𝑥1,𝑥2,𝑥3 ≥ 0
CAPÍTULO II Programación Lineal
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 150146.
Minimizar: 𝑍 = 8𝑥1 + 12𝑥2
Sujeta a:
{
2𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 1
𝑥1 + 3𝑥2 ≥ 2
𝑥1,𝑥2 ≥ 0
147.
Maximizar: 𝑍 = 𝑥1 − 𝑥2
Sujeta a:
{
−𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 13
−𝑥1 + 𝑥2 ≥ 3
𝑥1 + 𝑥2 ≥ 11
𝑥1,𝑥2 ≥ 0
148.
Maximizar: 𝑍 = 𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3
Sujeta a:
{
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≤ 9
𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 ≥ 6
𝑥1,𝑥2,𝑥3 ≥ 0
149.
Minimizar: 𝑍 = 4𝑥1 + 4𝑥2 + 6𝑥3
Sujeta a:
{
𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 ≤ 3
𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 ≥ 3
𝑥1,𝑥2,𝑥3 ≥ 0
150.
Minimizar: 𝑍 = 5𝑥1 + 4𝑥2
Sujeta a:
{
−4𝑥1 + 3𝑥2 ≥ − 10
8𝑥1 − 10𝑥2 ≤ 80
𝑥1,𝑥2 ≥ 0
Resuelva los duales y por el método simplex los problemas propuestos por los autores
Gould, Eppen, & Schmidt (1992)
152 al 160
151.
Minimizar: 𝑍 = 2𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3
Sujeta a:
CAPÍTULO II Programación Lineal
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 151
{
𝑥1 − 𝑥2+2𝑥3 ≥ 2
−𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 ≥ 3
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0
152.
Minimizar: 𝑍 = 2𝑥1 + 2𝑥2
Sujeta a:
{
𝑥1 + 4𝑥2 ≥ 28
2𝑥1 − 𝑥2 ≥ 2
−3𝑥1 + 8𝑥2 ≥ 16
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
153.
Maximizar: 𝑍 = 3𝑥1 + 8𝑥2
Sujeta a:
{
𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 8
𝑥1 + 6𝑥2 ≤ 12
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
154.
Maximizar: 𝑍 = 2𝑥1 + 6𝑥2
Sujeta a:
{
3𝑥1 + 𝑥2 ≤ 12
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 8
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
155.
Minimizar: 𝑍 = 6𝑥1 + 4𝑥2
Sujeta a:
{
−𝑥1 + 𝑥2 ≤ 1
𝑥1 + 𝑥2 ≥ 3
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
156.
Minimizar: 𝑍 = 2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3
Sujeta a:
{
2𝑥1 − 𝑥2−𝑥3 ≤ 2
−𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 ≥ 4
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0
157. Anuncios. Una compañía compara los costos de publicidad en dos medios, periódico y
radio. La tabla siguiente muestra el número de personas, por grupo de ingresos, que alcanza
cada uno de estos medios por cada dólar de publicidad.
CAPÍTULO II Programación Lineal
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 152
La empresa quiere captar al menos 80000 individuos con ingresos menores de $ 40000, y al
menos 60000 con ingresos de $ 400000 o más. Utilice el dual y el método simplex para
determinar las cantidades que la compañía debe gastar en publicidad en periódico y en
radio, de modo que alcance a este número de personas con un costo mínimo. ¿Cuál es el
costo mínimo de la publicidad?
158. Programación de envíos por camión: A causa de un incremento en los negocios, una
compañía de banquetes a domicilio encuentra que debe rentar camiones de entrega
adicionales. Las necesidades mínimas son de: 12 unidades de espacio con refrigeración y
12 unidades de espacio sin refrigeración. El mercado de renta ofrece dos tipos de
camiones. El A tiene 2 unidades de espacio con refrigeración y 1 unidad de espacio sin
refrigeración. El tipo B tiene 2 unidades de espacio con refrigeración y 3 unidades sin
refrigeración. El costo por milla es de $ 0.40 para A y de $ 0.60 para B. ¿Cuántos
camiones de cada tipo deben rentarse de modo que se minimice el costo total por milla?
¿Cuál es el costo total por milla?
159. Costo de mano de obra: Una compañía paga a sus trabajadores calificados y
semicalificados de su departamento de ensamblado $ 14 y $ 8 por hora, respectivamente.
En el departamento de embarques, los empleados reciben $ 9 por hora y los aprendices $
6 por hora. La empresa requiere al menos de 90 trabajadores en el departamento de
ensamblado y 60 empleados en el departamento de embarques. Debido a acuerdos
sindicales deben emplearse, al menos el doble de trabajadores semicalificados que de
calificados. También, deben contratarse al menos el doble de los empleados de
embarques que de aprendices. Utilice el dual y el método simplex para determinar el
número de trabajadores de cada tipo que la compañía debe emplear, de modo que el total
de salarios por horas sea mínimo. ¿Cuál es el costo mínimo en salario por hora?
Menos de $ 40000 Mas de $ 40000
PERIÓDICO 40 100
RADIO 50 25
Roberto Valencia Página 153
CAPÍTULO III
CAPÍTULO III……..…… ................................................................................................................................. 1
3. MODELOS DE TRANSPORTE ............................................................................................................................................... 1
3.1. INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................................................................... 1
3.2. CARACTERÍSTICAS DE UN MODELO DE TRANSPORTE ........................................................................................ 1
3.3. MÉTODOS PARA CALCULAR EL COSTO INICIAL ....................................................................................................... 15
3.3.1. MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE ................................................................................................................. 15
3.3.2. MÉTODO DEL COSTO MÍNIMO ........................................................................................................................... 1
3.3.3. MÉTODO DE VOGEL ............................................................................................................................................ 1
3.4. PROBLEMAS DE TRANSPORTE DESBALANCEADO ................................................................................................. 16
3.4.1. LA DEMANDA MAYOR QUE LA OFERTA .............................................................................................................. 16
3.4.2. LA OFERTA MAYOR QUE LA DEMANADA ............................................................................................................ 1
3.5. COSTO ÓPTIMO ......................................................................................................................................................................... 1
3.5.1. MÉTODO DEL BANQUILLO .................................................................................................................................. 1
3.5.2. MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES ................................................................................................................. 1
3.6. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EQUILIBRADOS PARA CALCULAR EL COSTO ÓPTIMO ...................... 1
3.7. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DESBALANCEADOS ............................................................................................... 1
3.8. MODELOS DE ASIGNACIÓN ................................................................................................................................................ 20
3.8.1. PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN, MINIMIZACIÓN .................................................................................................. 2
3.8.2. PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN MAXIMIZACIÓN .................................................................................................. 21
3.9. PROBLEMAS PROPUESTOS DE TRANSPORTE ........................................................................................................... 2
3.9.1. PROBLEMAS BALANCEADOS ............................................................................................................................... 2
3.9.2. PROBLEMAS DESBALANCEADOS ......................................................................................................................... 2
3.9.3. PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN ............................................................................................................................ 23
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Introducción
Roberto Valencia Página 154
CAPÍTULO III
3. MODELOS DE TRANSPORTE
3.1. INTRODUCCIÓN
El modelo de transporte se puede describiren términos generales, como aquel que se ocupa de
asignar y encontrar la ruta para las unidades desde los centros de suministros hacia los centros
de recepción, pasando por los puntos de transbordo.
Uno de los requisitos del problema de transporte, es el que se conozca de antemano la forma en
que se van a distribuir las unidades de cada origen a cada destino, para poder determinar cuál es
el coste por unidad. En ocasiones, no resulta evidente cuál es el mejor medio de distribución,
pues existe la posibilidad de transbordos en los que los empaques pasarían por puntos de
transferencias intermedios.
El modelo de transporte consiste en buscar con procesos matemáticos la ruta más económica del
origen a cada destino, sin embargo, si existen muchos puntos de transferencia intermedia, esta
tarea puede ser complicada y laboriosa.
La idea básica consiste en interpretar los viajes individuales como si se tratara de un transporte
de un origen a un destino, y así pensar que todos los puntos intermedios son tanto orígenes
como destinos potenciales.
PROPÓSITO
Los modelos permiten representar procesos o fenómenos complejos de una forma simple. Los
modelos simplifican la realidad. La modelación de la demanda de transporte busca poder
pronosticar para situaciones futuras:
La cantidad de viajes que se atraen o se producen en una zona.
Cómo se distribuyen los viajes producidos en todas las zonas que atraen.
En qué modos de transporte viajan.
Los volúmenes de pasajeros en las líneas de transporte público.
Los flujos vehiculares en las vías.
Para llevar a cabo estos pronósticos, se requiere la aplicación de una sucesión de algoritmos
matemáticos. Las expresiones matemáticas se determinan a partir de modelos que correlacionan
variables o modelos probabilísticos. Estos últimos se aplican a razón de que es muy complejo
tratar de encontrar relaciones definidas y fijas para representar situaciones en las que las
decisiones de personas entran en juego. Los modelos de transporte, además pueden ser
utilizados en la evaluación de situaciones hipotéticas futuras, bajo ciertas circunstancias
controladas (escenarios).
Los modelos de transporte son usados en definición de políticas de transporte, y para su
planificación, e ingeniería: calcular la capacidad de una infraestructura, por ejemplo, ¿cuántos
carriles debería tener un puente?; estimar la viabilidad financiera y social de un proyecto, por
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Introducción
Roberto Valencia Página 155
ejemplo, utilización de análisis costo-beneficio y análisis de impacto social; y calcular
impactos ambientales, por ejemplo, contaminación atmosférica y acústica.
3.2. CARACTERÍSTICAS DE UN MODELO DE TRANSPORTE
Un modelo de transporte, debe cumplir ciertas condiciones básicas; el modelo de transporte es
un caso especial de programación lineal que tiene que ver con transportar un vehículo desde sus
fuentes (fábricas) hasta sus destinos (bodegas). El objetivo es determinar el programa de
transporte que minimice el costo total y que al mismo tiempo satisfaga los límites de oferta y
demanda.
12El modelo de Transporte es una técnica cuantitativa creada para minimizar los costos
asociados a la distribución de un bien o servicio desde diferentes orígenes hasta diferentes
destinos. Las condiciones de linealidad están presentes, como en cualquier técnica de
programación lineal. Esta técnica se utilizó posteriormente en otros sistemas. En ellos, el
problema no implica transporte físico de bienes pero existen relaciones lineales, y el modelo
formulado tiene las características de un Modelo de Transporte.
Las características que hacen del Modelo Lineal de Transporte un modelo de programación
lineal especial son:
Los coeficientes de las variables, en las restricciones, son uno o cero.
Las cantidades demandadas deben ser iguales a las cantidades ofrecidas para solucionar
el modelo.
Por otro lado, el producto a transportar debe ser único y homogéneo. Si se ofrece cemento, por
ejemplo, la demanda debe ser de cemento, es decir, un producto único. Si se ofrecen sacos de
cemento la demanda debe ser de sacos de cemento y no a granel, es decir, es homogéneo. En
caso de multiproductos, se puede hacer una multi-formulación.
En el siguiente cuadro se resume la oferta y demanda:
FUENTES DESTINOS
Q
12 http://es.scribd.com/doc/56430288/El-Modelo-Del-Transporte
O
F
E
R
T
A
1
D
E
M
A
N
D
A
𝑪𝟏𝟏: 𝑿𝟏𝟏
𝑪𝒎𝒏: 𝑿𝒎𝒏
2
m
1
2
n
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Introducción
Roberto Valencia Página 156
Las fuentes o los destinos están dados por el número de nodos, en donde m (número de fuentes)
y n (número de destinos), las fuentes o fábricas genera: una oferta, y los destinos o clientes
generan una demanda, los arcos o flechas son los que unen las fuentes con los destinos, en
donde el (𝑪𝟏𝟏; 𝑪𝒎𝒏) es el costo del transporte por unidad y (𝑿𝟏𝟏;𝑿𝒎𝒏) es la cantidad a
transportar. El modelo de transporte consiste en transportar toda la cantidad ofertada a sus
demandantes (clientes) al menor costo.
Para facilitar los cálculos se trabajará con la tabla de transporte:
DESTINOS
(Clientes)
OFERTA
Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
Fábrica
1
𝑋11 𝐶11 𝑋12 𝐶12 𝑋13 𝐶13 𝑋14 𝐶14 𝑆1
Fábrica
2
𝑋21 𝐶21 𝑋22 𝐶22 𝑋23 𝐶23 𝑋24 𝐶24 𝑆2
Fábrica
3
𝑋31 𝐶31 𝑋32 𝐶32 𝑋33 𝐶33 𝑋34 𝐶34 𝑆3
DEMANDA 𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4
REFERENCIA
(𝐶11; 𝐶𝑚𝑛) Costo de transporte
(𝑋11;𝑋𝑚𝑛) Cantidad a transportar
¿Qué significa 𝑪𝟐𝟑 ?: Es el costo de transporte de la fuente 2 al destino 3.
Si queremos resolver mediante el método simplex, la función objetivo y las restricciones
tendrían que ser planteadas de la siguiente forma:
Por el Método Simplex
𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 = 𝐶11𝑋11 + 𝐶12𝑋12 + 𝐶13𝑋13 ……… .+𝐶34𝑋34
RESTRICCIONES
{
𝑭𝑼𝑬𝑵𝑻𝑬𝑺
𝑋11 + 𝑋12 + 𝑋13 + 𝑋14 = 𝑺𝟏
𝑋21 + 𝑋22 + 𝑋23 + 𝑋24 = 𝑺𝟐
𝑋31 + 𝑋32 + 𝑋33 + 𝑋34 = 𝑺𝟑
𝑫𝑬𝑺𝑻𝑰𝑵𝑶𝑺
𝑋11 + 𝑋21 + 𝑋31 = 𝑫𝟏
𝑋12 + 𝑋22 + 𝑋32 = 𝑫𝟐
𝑋13 + 𝑋23 + 𝑋33 = 𝑫𝟑
𝑋14 + 𝑋24 + 𝑋34 = 𝑫𝟒
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Problemas balanceados, costo Inicial
Roberto Valencia Página 157
3.3. MÉTODOS PARA CALCULAR EL COSTO INICIAL
3.3.1. MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE
Esta regla nos permite encontrar una solución factible básica inicial (SFBI), una vez que
tengamos el problema de transporte “Balanceado” o equilibrado, es decir que la sumatoria
de ofertas deben ser iguales a la sumatoria de demandas.
El método de la esquina Noroeste es un algoritmo heurístico capaz de solucionar problemas de
transporte o distribución mediante la consecución de una solución básica inicial que satisfaga
todas las restricciones existentes sin que esto implique que se alcance el costo óptimo total. Este
método tiene como ventaja, frente a sus similares, la rapidez de su ejecución, y es utilizado con
mayor frecuencia en ejercicios donde el número de fuentes y destinos sea muy elevado. Su
nombre se debe al génesis del algoritmo, el cual inicia en la ruta, celda o esquina Noroeste.
(Gallagher & Watson, 2002).
ALGORITMO:
1. Construya una tabla de ofertas (disponibles) y demandas (requerimientos).
2. Iniciar la asignación en la fila uno y columna uno (esquina noroeste, 𝑿𝟏𝟏). Y si la
fábrica uno no agotó su oferta continuará en la casilla 𝑋12 y así sucesivamente. En el
caso de que el total de la oferta de la fábrica uno no haya sido suficiente para cubrir la
demanda del mercado uno, completar con la oferta de la fábrica dos, que es la casilla
𝑋21 y si no se agotó la oferta pasar a la casilla𝑋22 y así continuar hasta concluir el
proceso de asignación.
3. Asigne lo máximo posible (Lo menor entre la oferta y la demanda, respectivamente).
4. Actualice la oferta y la demanda y rellene con ceros o (x) el resto de casillas (Filas o
columnas) en donde la oferta y la demanda haya quedado satisfecha.
5. Muévase a la derecha o hacia abajo, según haya quedado disponible para asignar.
6. Repita los pasos del 3 al 5 sucesivamente hasta llegar a la esquina inferior derecha, en la
que se elimina fila y columna al mismo tiempo.
COSTO INICIAL
Caso1:
Esquina
Noroeste
Caso 2:
Costo mínimo
Caso 3:
Aproximación
de Vogel
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CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Problemas balanceados, costo Inicial
Roberto Valencia Página 158
CARACTERÍSTICAS:
Sencillo y fácil de hacer.
No tiene en cuenta los costos para hacer las asignaciones.
Generalmente nos deja lejos del óptimo.
160. La compañía Tecnologyrv tiene tres fábricas (F1, F2, F3) para ensamblar
computadoras, y dispone de cuatro destinos habilitados para la venta (C1, C2, C3, C4).
Las cantidades producidas por las fábricas son: 15, 25 y 5 unidades por día
respectivamente. Las demandas máximas son: 5, 15, 15, y 10 unidades por cada día.
Los costos en (dólares) de transporte de cada fábrica a cada almacén están dados en la
siguiente tabla:
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 10 0 20 11 15
F 2 12 7 9 20
25
F3 0 14 16 18 5
DEMANDA 5 15 15 10 45
45
Nota:
No elimines fila y columna al mismo tiempo, a no ser que
sea la última casilla. El romper esta regla ocasionará una
solución en donde el número de variables básicas es menor
a m+n-1,(esto se verá en el método de los multiplicadores)
produciendo una solución básica factible degenerada.
Las celdas con cero (0) o con una (x) son variables no
básicas. Y las celdas asignadas son variables básicas.
Recuerda:
Para iniciar con el método de la esquina
noroeste la oferta debe ser igual a la
demanda y comenzamos asignar
siguiendo los pasos estudiados
anteriormente.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Problemas balanceados, costo Inicial
Roberto Valencia Página 159
MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 5 10 10 0 0 20 0
11 15
10
F 2 0 12 5 7 15 9 5 20 25
20 5
F3 0 0 0 14 0 16 5 18
5
DEMANDA 5 15
5
15
10
5
45
45
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 5(10) + 10(0) + 5(7) + 15(9) + 5(20) + 5(18) = 410 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
161. Una compañía tiene un programa de embarque. La empresa tiene tres fábricas y
cuatro bodegas. A continuación se dan los datos necesarios en términos de costos del
transporte, capacidad de cada fábrica y los requerimientos de cada bodega. Busque un
programa óptimo de embarque de tal manera que los costos sean mínimos.
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 10 16 14 12 1600
F 2 8 14 16 14
1200
F3 16 8 12 12 600
DEMANDA 1600 400 400 1000
3400
3400
Para comprobar que las asignaciones estén
correctas, sumamos filas y columnas
independientemente y nos debe dar la oferta o
demanda correspondiente a dicha fila o columna.
Costo inicial.- para calcular dicho costo es igual a
la sumatoria de la cantidad asignada por el costo
unitario de dicha celda.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Problemas balanceados, costo Inicial
Roberto Valencia Página 160
MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 1600 10 0 16 0 14 0
12 1600
F 2 𝜖 8 400 14 400 16 400 14 1200
800 400
F3 0 16 0 8 0 12 600 12
600
DEMANDA 1600 400
400
1000
600
3400
3400
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 1600(10) + 400(14) + 400(16) + 400(14) + 600(12) = 40800 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
162. Una empresa energética ecuatoriana dispone de cuatro plantas de generación
para satisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Guayaquil, Quito, Cuenca
y Ambato. Las plantas 1, 2, 3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al
día respectivamente. Las necesidades de las ciudades son de 70, 40, 70 y 35 millones de
KW al día respectivamente. Los costos asociados al envío de suministros energéticos
por cada millón de KW entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la
siguiente tabla:
DESTINOS
(Ciudades) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4
FU
E
N
T
E
S
(P
la
nt
as
)
F 1
70 5 10 2 0 7 0 3 80
10
F 2
0 3 30 6 0 6 0 1
30
F 3 0
6 𝜖 1 60 2 0 4 60
F 4
0 4 0 3 10 6 35 6 45
35
DEMANDA 70
40
30
70
10
35
215
215
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 70(5) + 10(2) + 30(6) + 60(2) + 10(6) + 35(6) = 940 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
Cuando se elimine la fila y columna al mismo
tiempo obligatoriamente, aumentar un épsilon,
para cumplir con la condición de que:
m + n - 1= # celdas llenas en este ejemplo: 6=6
m= número de filas
n= número de columnas
# Celdas llenas= variables básicas
Épsilon toma el valor de cero pero se lo hace pasar
como una variable básica, para cumplir con la
condición mencionada.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Problemas balanceados, costo Inicial
Roberto Valencia Página 161
3.3.2. MÉTODO DEL COSTO MÍNIMO
Es un algoritmo desarrollado con el objetivo de resolver problemas de transporte o
distribución, arrojando mejores resultados que métodos como el de la esquina noroeste,
dado que se enfoca en las rutas que presentan menores costos. El diagrama de flujo de
este algoritmo es mucho más sencillo que los anteriores dado que se trata simplemente
de la asignación de la mayor cantidad de unidades posibles (sujeta a las restricciones de
oferta y/o demanda) a la celda menos costosa de toda la matriz hasta finalizar el
método.
Esta regla se realiza, una vez que tengamos el problema de trasporte “Balanceado” o
equilibrado.
ALGORITMO:
1. Construya una tabla de disponibilidades, requerimientos y costos.
2. Empiece en la casilla que tenga el menor costo de toda la tabla, si hay empate, se escoge
(Cualquiera de los dos costos, en orden primero fila luego columna. Hay que tener en
cuenta que la casilla que se escoja no se elimine fila y columna al mismo tiempo).
3. Asigne lo máximo posible entre la disponibilidad y el requerimiento (El menor de los
dos).
4. Rellene con ceros la fila o columna satisfecha y actualice la disponibilidad y el
requerimiento, restándole lo asignado.
5. Muévase a la casilla con el costo mínimo de la tabla resultante (Sin tener en cuenta la
fila o columna satisfecha).
6. Regrese a los puntos 3, 4, 5 sucesivamente, hasta que todas las casillas queden
asignadas.
CARACTERÍSTICAS:
Es más elaborado que el método de la esquina noroeste.
Tiene en cuenta los costos para hacer las asignaciones.
Generalmente nos deja alejados del óptimo.
Recuerda:
Aumentar un épsilon, para cumplir con
la condición de que:
m + n - 1= # celdas llenas
En este ejemplo: 7=7
Más adelante tenemos que fijarnos
mucho en esta igualdad y el uso del
épsilon para llegar al costo óptimo.
Nota:
Recuerde que no debe eliminar o satisfacer fila y columna al mismo
tiempo, si la oferta es igual a la demanda, en tal caso recuerde usar la
E (Épsilon). Que representa una casilla llena o asignada,𝐸 ≅ 0
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CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Problemas balanceados, costo Inicial
Roberto Valencia Página 162
163. Resolver el problema 161 por el método del costo mínimo:
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 0 10 15 0 0 20 0
11
15
F 2 0 12 𝜖 7 15 9 10 20 25
10
F3 5 0 𝜖 14 0 16 0 18 5
DEMANDA 5 15 15 10 45
45
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 5(0) + 15(0) + 15(9) + 10(20) = 335 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
164. La empresa SUPAN elabora un tipo de pan en dos sus plantas para ser
distribuidas a tres tiendas, los costos, ofertas y demandas se detallan en la siguiente
tabla, calcular el costo inicial.
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1
0 8 10 4 30 3
40
F 2
20 2 30 6 0 8
50
DEMANDA 20 40 30 90
90
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 20(2) + 10(4) + 30(6) + 30(3) = 350
165. Una compañía envía camiones cargados de grano desde tres silos a cuatro
molinos. La oferta y la demanda, junto con los costes de transporte por carga de camión
en las diferentes rutas, se resumen en la siguiente tabla, en donde la oferta y la demanda
viene dada en términos de camiones cargados y los costes en dólares. Para calcular el
costo del silo 3 a todos los molinos se hace un incremento del 50% para no sufrir
pérdidas.
Molino 1 Molino 2 Molino 3 Molino 4 Oferta
Silo 1 10 2 20 11 15
Silo 2 12 7 9 20 25
Silo 3 2 7 8 9 10
Demanda 5 15 15 15
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Problemas balanceados, costo Inicial
Roberto Valencia Página 163
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
M1 M 2 M 3 M 4
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
S 1 0 10 15 2 0 20 0 11
15
S 2 0 12 𝜖 7 15 9 10 20 25
S3 5 4 0 14 0 16 5 18 10
DEMANDA 5 15 15 15 50
50
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 15(2) + 15(9) + 10(20) + 5(4) + 5(18) = 475
3.3.3. MÉTODO DE VOGEL
El método de aproximación de Vogel es un método heurístico (se basa en hallar una
solución de calidad aceptable mediante la exploración de una parte del universo de
todas soluciones posibles) de resolución de problemas de transporte capaz de alcanzar
una solución básica no artificial de inicio, este modelo requiere de la realización de un
número generalmente mayor de iteraciones que los demás métodos heurísticos
existentes con este fin, sin embargo, produce mejores resultados iniciales que los
mismos.
Esta regla se realiza, una vez que tengamos el problema de trasporte “Balanceado” o
equilibrado.
ALGORITMO:
1. Construir una tabla de disponibilidades y requerimientos con sus respectivos costos
2. Calcular la diferencia entre el costo más pequeño y el segundo costo más pequeño, para
cada fila y cada columna. A este resultado se lo llama penalización
3. Escoger entre las filas y columnas las que tengan mayor penalización, en caso de
empate se escoge arbitrariamente
4. Asigne lo máximo posible en la casilla con menor costo en la fila o columna,
escogiendo el punto 3
5. Asignar cero en las otras casillas de las filas o columnas donde la disponibilidad o
requerimiento queda satisfecho
6. Repetir los pasos del 2 al 5 sin tener en cuenta las filas o columnas satisfechas hasta que
todas las casillas queden asignadas.
Nota:
Para colocar la épsilon se tiene dos criterios:
1. Se elimina la fila o columna que presente
los mayores costos, es decir si se elimina la
fila entonces la épsilon va en la columna.
2. Se elimina la fila primero y la épsilon va a ir
siempre en la columna.
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CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Problemas balanceados, costo Inicial
Roberto Valencia Página 164
CARACTERÍSTICAS:
Es más elaborado que los anteriores, más técnico y dispendioso.
Tiene en cuenta los costos, las ofertas y las demandas para hacer las asignaciones.
Generalmente nos deja cerca al óptimo.
166. Resolver el problema 161 por el método de Vogel:
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4 P.1 P.2
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 0 10 0 20 11 15 10 11
F 2
0
12
7
9
20 25
2 2
F 3 5
0
0
14
0
16
0
18
5 14 -
DEMANDA 5 15 15 10
45
45
P. 1 10 7 7 7
P. 2 - 7 11 9
Recuerda:
El procedimiento para la asignación es: se calcula la penalización 1 de
fila y columna y se asigna, luego la penalización 2 y se asigna, así
hasta asignar todo. El cálculo de los valores de la penalización 1, son:
P1 columnas
10 – 0 = 10
7 – 0 = 7
16 – 9 = 7
18 – 11 = 7
P1 filas
10 – 0 = 10
9 – 7 = 2
14 – 0 = 14
Al calcular la penalización 2 tenemos un empate por lo que
resolvemos el ejercicio por los dos casos escogiendo la fila y luego la
columna, para seleccionar el menor valor.
P2 columnas
-----
7 – 0 = 7
20 – 9 = 11
20 – 11 = 9
P2 filas
11 – 0 = 11
9 – 2 = 7
-----
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Problemas balanceados, costo Inicial
Roberto Valencia Página 165
CASO 1: SELECCIONANDO LA FILA
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 5(0) + 15(0) + 15(9) + 10(20) = 335 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
CASO 2: SELECCIONANDO LA COLUMNA
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 5(0) + 5(0) + 10(7) + 15(9) + 10(11) = 315 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
167. Una cadena de cinco (5) almacenes, ubicados en diferentes partes del país,
requiere cierta mercancía para cada uno de sus almacenes. Las empresas abastecedoras
han informado que disponen de la mercancía solicitada, pero en tres (3) diferentes
fábricas. La escasez del producto hace que la cadena de almacenes deba transportar la
mercancía. En base a los costos del transporte por unidad, a los requerimientos de los
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4 P.1 P.2
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 0 10 15 0 0 20 0 11 15 10 11
F 2
0
12
0
7
15
9
10
20 25
15
2 2
F 3 5
0
0
14
0
16
0
18
5 14 -
DEMANDA 5 15 15 10
45
45
P. 1 10 7 7 7
P. 2 - 7 11 9
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4 P.1 P.2 P.3
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 0 10 5 0 0 20 10 11 15 10 11 11
F 2
0
12
10
7
15
9
0
20 25
15
2 2 13
F 3 5
0
0
14
0
16
0
18
5 14 - -
DEMANDA 5 15 15 10
45
45
P. 1 10 7 7 7
P. 2 - 7 11 9
P. 3 - 7 - 9
Luego de resolver por los dos casos posibles escogemos
el caso dos, el de la columna ya que se obtiene el menor
costo inicial.
No hace falta calcular la siguiente penalización, porque ya no
tenemos dos celdas para restar. Por tal razón simplemente
asignamos a la celda de menor costo. Y finalizamos con el proceso.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Problemas balanceados, costo Inicial
Roberto Valencia Página 166
almacenes y a la disponibilidad de las fábricas, que se muestra en el siguiente tabla de
transporte. Calcular el costo inicial.
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 300(10) + 700(20) + 700(20) + 300(10) + 100(40) + 600(10)
+ 800(50) = 𝟖𝟒𝟎𝟎𝟎
168. Una compañía envía camiones cargados de grano desde tres silos a cuatro
molinos. La oferta y la demanda, junto con los costes de transporte por carga de camión
en las diferentes rutas, se resumen en la siguiente tabla, en donde la oferta y la demanda
viene dada entérminos de camiones cargados y los costes en dólares.
Molino 1 Molino 2 Molino 3 Molino 4 Oferta
Silo 1 10 2 20 11 15
Silo 2 12 7 9 20 25
Silo 3 4 14 16 18 10
Demanda 5 15 15 15
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 15(2) + 15(9) + 10(20) + 5(4) + 5(18) = 𝟒𝟕𝟓
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
P.1
C 1 C 2 C 3 C 4 C5 P.2 P.3 P.4 P.5
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 300
10
700
20
0
40
0
30 50
1000 10 10 10 10 10
0
F 2 700
20
30
0
50
0
40 10 700
1000 10 10 10 - - 300
F 3
0
30
100
40
600
10
800
50 20 800
900
1500
10 10 10 10 10
0
DEMANDA 1000
300
800
100
600 800 300
45
45
P. 1 10 10 30 10 10
P. 2 10 10 - 10 10
P. 3 10 10 - 10 -
P. 4 20 20 - 20 -
P. 5 - 20 - 20 -
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
M1 M 2 M 3 M 4 P.1 P.2 P.3
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
S 1 0 10 15 2 0 20 0 11 15 8 9 -
S 2
0
12
𝜖
7
15
9
10
20 25
2 2 11
S 3 5
4
0
14
0
16
5
18 10
5
10 2 2
DEMANDA 5 15 15 15
45
45
P. 1 6 5 7 7
P. 2 - 5 7 7
P. 3 - - 7 2
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 167
3.4. PROBLEMAS DE TRANSPORTE DESBALANCEADO
3.4.1. LA DEMANDA MAYOR QUE LA OFERTA
Al sumar la oferta y la demanda, nos encontramos con el caso de que la demanda es mayor que
la oferta, tenemos un problema de transporte desbalanceado o no equilibrado, por lo que
tenemos que aumentar una fila ficticia, con un valor de oferta, sacada del total de la demanda
menos la oferta. Una vez que tenemos la tabla de transporte balanceado o equilibrada podemos
calcular el costo inicial aplicando cualquiera de los tres métodos anteriormente estudiados,
como son el método de la esquina noroeste, costo mínimo y vogel. (Wisnton, 2005). Ejemplo:
169. MG Auto tienen 3 plantas: en los Ángeles Detroit y New Orleans; y 2 centros
principales de distribución en Denver y en Miami. Las capacidades de las 3 plantas
durante el próximo trimestre serán 1000, 1300 y 1200 autos. Las demandas trimestrales
en los 2 centros de distribución son 2300 y 1400 autos. El kilometraje entre las fábricas
y los centros de distribución se da en la siguiente tabla.
Denver Miami
Los Ángeles 1000 2690
Detroit 1250 1350
New Orleans 1275 850
La empresa transportista cobra 8 centavos por milla y por auto. El costo de transporte por auto,
en las distintas rutas y redondeando, se calcula como se ve en la tabla.
Denver Miami
Los Ángeles 80 215
Detroit 100 108
New Orleans 102 68
PROBLEMAS
DESBALANCEADOS
Caso1:
Demanda > Oferta
Caso 2:
Oferta > Demanda
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 168
TABLA INICIAL DE TRANSPORTE
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 80 215 1000
F 2 100 108
1300
F3 102 68
1200
DEMANDA 2300 1400 3500
3700
DEMANDA = 3700
OFERTA = 3500
Como la demanda es mayor que la oferta, Brighman y Pappas (1978) explican que “tenemos
un sistema desbalanceado o imperfecto para lo cual aumentamos una fuente ficticia, con un
valor de la diferencia de la demanda con respecto a la oferta”.
En este caso es de 200, y procedemos a calcular el costo inicial por cualquiera de los tres
métodos antes estudiados.
TABLA DE TRANSPORTE CON LA FUENTE FICTICIA
Método de la esquina noroeste
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 1000 80 0 215
1000
F 2 1300 100 0 108
1300
F3 𝜖 102 1200 68 1200
FF 0
0 200 0
200
DEMANDA 2300
1300
1400
200
3700
3700
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 1000(80) + 1300(100) + 1200(68) + 200(0) = 𝟐𝟗𝟏𝟔𝟎𝟎
Cuando el valor de la demanda es mayor que el
de la oferta aumentamos una fila ficticia (F.F.) el
valor de la oferta para dicha fila es igual a la
demanda total menos la oferta total. Y los costos
unitarios tienen un valor de cero. Dicho valor no
existe en la práctica, entonces para la
interpretación no se tomará en cuenta.
Recuerda:
Para el cálculo del costo inicial,
por cualquiera de los tres métodos.
Resolvemos idéntico como
problemas balanceados, las fuentes
y destinos ficticios no influyen en
nada, para el proceso matemático.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 169
Método del costo mínimo
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 1000 80 0 215
1000
F 2 1100 100 200 108 1300
200
F3 0 102 1200 68
1200
FF 200
0 0 0
200
DEMANDA
2300
2100
1100
1400
200
3700
3700
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 1000(80) + 1100(100) + 200(108) + 1200(68) = 293200
170. Una compañía de renta de autos tienen problemas de distribución, debido a que
los acuerdos se dieron en lugares diferentes a aquellos en que originalmente fueron
rentados. Por el momento hay dos lugares (fuentes) con 15 y 13 autos en exceso, en
su orden, y cuatro lugares (destinos) en los que se requieren 9,6,7,9 autos,
respectivamente. Los costes unitarios de transporte (en dólares) entre los lugares se
presentan en la siguiente tabla.
Destino 1 Destino 2 Destino 3 Destino 4 Oferta
Fuente1 45 17 21 30 15
Fuente 2 14 18 19 31 13
Demanda 9 6 7 9
Método de la esquina noroeste (fuente ficticia):
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
D1 D2 D3 D4
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 9
45 6 17 0 21 0 30 15
6
F 2 0
14 𝜖 18 7 19 6 31 13
6
F.F. 0
0 0 0 0 0 3 0 3
DEMANDA 9 6 7 9
3
31
31
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 9(45) + 6(17) + 7(19) + 6(31) = 826
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 170
Método de Vogel (fuente ficticia):
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
P1 P2 P3 P4
D1 D2 D3 D4
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1
0 45 6 17 3 21 6 30 15
9 6
4 4 4 9
F 2 9 14 0 18 4 19 0 31 13
4
4 4 1 12
F.F. 0 0 0 0 0 0 3 0 3 0 - - -
DEMANDA 9 6 7
3
9
6
31
31
P 1 14 17 19 30
P 2 31 1 2 1
P 3 - 1 2 1
P 4 - - 2 1
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 6(17) + 3(21) + 6(30) + 9(14) + 4(19) = 547
3.4.2. LA OFERTA MAYOR QUE LA DEMANADA
Al sumar la oferta y la demanda, nos encontramos con el caso de que la oferta es mayor que la
demanda, entonces tenemos un problema de transporte desbalanceado o no equilibrado, por lo
que tenemos que aumentar una columna ficticia (C.F.), con un valor de demanda, sacada del
total de la oferta menos el total de la demanda. Una vez que tenemos la tabla de transporte
balanceado o equilibrada podemos calcular el costo inicial aplicando cualquiera de los tres
métodos anteriormente estudiados, como son el método de la esquina noroeste, costo mínimo y
vogel. Ejemplo:
171. MG Auto tienen 3 plantas: en los Ángeles Detroit y New Orleans; y 2 centros
principales de distribución en Denver y en Miami. Las capacidades de las 3 plantas
durante el próximo trimestre serán 1000, 1500 y 1200 autos. Las demandas trimestrales
en los 2 centros de distribución son 1900 y 1400 autos. El kilometraje entre las fábricas
y los centros de distribución se da en la siguiente tabla.
TABLA INICIAL DE TRANSPORTE
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 80 215 1000
F 2 100 108
1500
F3 102 68
1200
DEMANDA 1900 1400 3700
3300
OFERTA = 3700
Nota:
Para calcular las
penalizaciones.
Si se toma en
cuenta los
costos de cero.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 171DEMANDA = 3300
Como la oferta es mayor que la demanda, tenemos que aumentar un cliente ficticio y los
costos unitarios van a ser de 0. La demanda de dicho cliente ficticio es igual a la diferencia de
la oferta con respecto de la demanda. En este caso es de 400, y procedemos a calcular el costo
inicial por el método de la esquina noroeste.
TABLA DE TRANSPORTE CON EL DESTINO FICTICIO
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C.F.
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 1000
80 0 215 0 0
1000
F 2 900
100 600 108 0 0 1500
600
F 3 0
102 800 68 400 0 1200
400
DEMANDA 1900
900
1400
800
400
3700
3700
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 1000(80) + 900(100) + 600(108) + 800(68) = 289200
172. Una compañía tiene tres fábricas, la fábrica 1 tiene una capacidad de 50
toneladas, la fábrica 2 de 75 toneladas y la fábrica 3 de 92 toneladas. Además cuenta
con 2 centros de distribución el A tiene una capacidad de almacenaje de 110
toneladas y el centro de distribución B de 80 toneladas . Los costes unitarios de
transporte (en miles de dólares) entre los lugares, se presentan en la siguiente tabla:
TABLA DE TRANSPORTE CON EL DESTINO FICTICIO
Método del costo mínimo (destino ficticio):
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C.F.
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 0
9 23 5 27 0 50
23
F 2 75
4 0 6 0 0 75
F 3 35
7 57 8 0 0 92
57
DEMANDA 110
35
80
57
27
217
217
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 23(5) + 75(4) + 35(7) + 57(8) = 1116
Cuando el valor de la oferta es mayor que el de la demanda aumentamos una columna
ficticia (C.F.) el valor de la demanda para dicha columna es igual a la oferta total menos la
demanda total. Y los costos unitarios tienen un valor de cero. Dicho valor no existe en la
práctica, entonces para la interpretación no se tomará en cuenta.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 172
173. Tres centrales (I, II, III) de distribución tienen que darle electricidad a tres
ciudades (A,B,C) 35, 50 y 40 de Kwh (kilowatt-hora) y cuyas demandas máximas
son: 45, 20 y 30. Los costos unitarios se describen en la siguiente tabla:
Método de Vogel (destino ficticio):
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
P1 P2 P3
D1 D2 D3 D.F.
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1
5 8 0 15 30 10 0 0 35
5
8 2 2
F 2 20 10 0 12 0 14 30 0 50
20
10 2 4
F 3 20 14 20 9 0 16 0 0 40
20
9 5 2
DEMANDA 45
40 20
20 30 30
125
125
P 1 2 3 4 0
P 2 2 3 4 -
P 3 2 - 4 -
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 5(8) + 30(10) + 20(10) + 20(14) + 20(9) = 1000
3.5. COSTO ÓPTIMO
Una vez realizada la distribución de unidades desde sus orígenes hacia sus destinos, este modelo
de transporte exige que su resultado sea comprobado hasta reducir su costo al mínimo. Donde
existen dos métodos diferentes de comprobación:
Banquillo
Multiplicadores
3.5.1. MÉTODO DEL BANQUILLO
13La forma de verificar si la solución actual puede mejorarse es examinar las variables no
básicas actuales (casilleros vacíos) en busca de mejoras potenciales en el valor de la función
objetivo. Si existe una de tales variables, será la variable que entra, en cuyo caso una de las
variables básicas actuales debe dejar la solución (como en el método simplex).
A fin de determinar la variable que entra y la que sale, se identifica un circuito cerrado para
cada variable no básica. Espinoza (1975) explica que, El circuito comienza y termina con la
variable no básica designada. Un circuito consiste en segmentos horizontales y verticales
sucesivos (conectados) cuyos puntos extremos deben ser variables básicas (casilleros llenos),
excepto para los 2 segmentos de inicio y terminación en la variable no básica.
El circuito se utiliza para comprobar si el valor de la función objetivo puede mejorarse cuando
la variable no básica se aumenta sobre su valor actual de cero. El procedimiento consiste en
13
http://www.itlalaguna.edu.mx/Academico/Carreras/industrial/invoperaciones1/U5E.HTML
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 173
encontrar el aumento o disminución en el costo de transporte como resultado de aumentar
unidades en la variable no básica investigada.
Este valor se encuentra asignando signos positivos y negativos alternos en los costos asociados
a las variables que forman el circuito, empezando con el costo de la variable no básica. La suma
de los costos del circuito puede hacerse en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido
contrario.
El resultado obtenido en la suma de los costos del circuito puede ser positivo o negativo. Si es
positivo indica que el asignar unidades a la variable que se está considerando aumenta el costo
total de transporte. Pero si este valor es negativo, la solución puede mejorarse asignado a la
variable no básica el valor más pequeño de las variables que deben reducir su valor en el
circuito que se está considerando.
El procedimiento termina hasta que todas las variables no básicas tienen valor positivo en la
suma de los costos del circuito.
3.5.2. MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES
Este método reproduce interacciones parecidas al método del banquillo. La principal diferencia
ocurre en la forma en que las variables no básicas se evalúan en cada iteración. Para cada fila i
existen multiplicadores con la variable 𝑢𝑖; similarmente para cada columna j existen
multiplicadores con la variable 𝑣𝑗. En donde, para cada variable 𝑥𝑖𝑗 de la solución actual se
aplica la ecuación 1 y de la misma manera para cada variable no básica se aplica la ecuación 2.
Ecuación 1 Ecuación 2
Casilleros llenos
𝑪𝒊𝒋 = 𝒖𝒊 + 𝒗𝒋
Casilleros vacíos
𝐴𝐹𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗 − 𝑢𝑖 − 𝑣𝑗
Dónde:
𝑢𝑖 = Variable multiplicadora de la fila
𝑣𝑗 = Variable multiplicadora de la columna
𝐴𝐹𝑖𝑗 = Criterio de factibilidad
Los valores de los multiplicadores pueden ser determinados a partir de las ecuaciones
suponiendo un valor arbitrario para cualquiera de los multiplicadores (usualmente se establece
𝑢1 = 0 ; 𝑢1 = 10 ) cualquiera de los dos valores, y resolviendo el sistema de ecuaciones para
encontrar los multiplicadores desconocidos. El circuito comienza en la variable no básica con
signo positivo y termina con la misma variable no básica designada. Un circuito consiste en
segmentos con signos alternados (conectados) solo con las variables básicas.
RUTAS REALIZADAS CORRECTAMENTE:
Caso 1: Ruta en forma de un rectángulo o cuadrado.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 174
5 10 10 0 2 20 13 11
17 12 5 7 15 9 5 20
15 0 5 14 7 16 5 18
Caso 2: Ruta en forma de ocho
15 8 20 6 12 10 1 9
30 9 7 12 20 13 2 7
12 14 10 9 10 16 30 5
RUTAS QUE ESTÁN INCORRECTAS:
3.6. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EQUILIBRADOS PARA CALCULAR EL
COSTO ÓPTIMO
174. Resolver el problema 161, determinar la solución óptima en donde se requiere
determinar cuántos artículos se van a enviar de cada fuente a cada destino con el
mínimo costo.
TABLA INICIAL DE TRANSPORTE
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 10 0 20 11 15
F 2 12 7 9 20
25
F3 0 14 16 18
5
DEMANDA 5 15 15 10 45
45
El punto sombreado (rojo) es donde se inicia la ruta, se
llama variable no básica y comienza con signo positivo.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 175
La oferta y la demanda deben estar equilibradas
Si esverdadero continuamos.
Si es falso hay que igualar la oferta con respecto de la demanda o viceversa, aumentando
fuentes ficticias (filas) o destinos ficticios (columnas) para equilibrar la oferta a la demanda,
según lo estudiado en el problema desbalanceado.
Encontramos una solución básica factible inicial por cualquiera de los tres
métodos anteriormente estudiados.
a) Método de la esquina Noroeste (esquina superior izquierdo).
b) Método del Costo Mínimo.
c) Método Aproximación Vogel.
Calculando el costo inicial por el método de la esquina noroeste tenemos:
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 5 10 10 0 0 20 0 11 15
10
F 2 0 12 5 7 15 9 5 20 25
20 5
F3 0 0 0 14 0 16 5 18
5
DEMANDA 5 15
5
15 10
45
45
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 5(10) + 10(0) + 5(7) + 15(9) + 5(20) + 5(18) = 410
Verificar si la solución inicial obtenida es degenerado o no con la siguiente
desigualdad.
#𝒇𝒊𝒍𝒂𝒔 + #𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂𝒔 − 𝟏 ≤ # Celdas llenas
Constante Variable
Si es verdadero, la solución no es degenerada y podemos continuar con en el proceso:
3 + 4 – 1 ≤ 6
6 ≤ 6 (VERDADERO)
Si es falso, tenemos que completar el número de celdas faltantes con una cantidad muy pequeña
que se llama Épsilon (€ ≅ 0) y luego continuamos buscando la solución óptima.
Cálculo de la solución óptima aplicando cualquiera de los dos métodos anteriores
(banquillo o multiplicadores).
Calculamos la solución óptima aplicando el método de los multiplicadores para lo cual partimos
de la solución inicial en este caso (esquina noroeste).
Que consiste en fijar un número en la celda inicial (𝑢1 = 0 ; 𝑢1 = 10) dicho puede ser el cero
o el diez.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 176
Calculamos los valores de las columnas y de las filas con dicho número (10) solamente con las
casillas llenas. Para lo cual restamos el costo unitario de envío con respecto del número 10.
MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES
0 -10 -8 3
10 5 10 10 0 20 11
17
12 5 7 15 9 5 20
15
0 14 16 5 18
RESOLUCIÓN
10 – 10 = 0 0 – 10 = - 10 7 – (– 10) = 17
9 – 17 = - 8 20 – 17 = 3 18 – 3 = 15
Una vez que hemos calculado las cabeceras de las columnas y de las filas realizamos la suma
entre la intersección de la fila y la columna solamente de las celdas vacías.
0 -10 -8 3
10 5
10 10 0 2 20 13 11
17 17
12 5 7 15 9 5 20
15 15
0 5 14 7 16 5 18
RESOLUCIÓN
10 – 8 = 2 17 + 0 = 17 15 – 10 = 5
10 + 3 = 13 15 + 0 = 15 15 – 8 = 7
Los valores calculados en las celdas vacías marcamos con un punto en donde el valor es
mayor que el costo unitario de envío.
0 -10 -8 3
10 5
10 10 0 2 20 13 11
17 17
12 5 7 15 9 5 20
15 15
0 5 14 7 16 5 18
De los puntos marcados seleccionamos la celda en donde el costo unitario sea el más
económico, y en dicha celda asignamos producción.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 177
Se inicia a formar un camino cerrado o circuito cerrado partiendo de la celda seleccionada
anteriormente, y yendo en forma horizontal y vertical solamente con las celas llenas, el circuito
cerrado debe quedar con signos alternados.
0 -10 -8 3
10 5
10 10 0 2 20 13 11
17 17
12 5 7 15 9 5 20
15 15
0 5 14 7 16 5 18
Asignar producción
Para saber qué cantidad vamos a asignar nos fijamos en el circuito cerrado, especialmente en las
celdas donde está el signo menos y escogemos la menor cantidad entre ellos, en este caso el (5).
Dicha cantidad vamos sumando o restando en toda la ruta según sus signos, los que se hacen
cero es una celda vacía.
Verificar que las nuevas asignaciones cumplan con la cantidad de la oferta y la demanda dada
en el ejercicio original.
Calcular el siguiente costo con las nuevas asignaciones
10 15 0 20 11
12 7 15 9 10 20
5
0 14 16 18
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 # 2 = 5(0) + 15(0) + 15(9) + 10(20) = 335
Continuamos con el proceso iterativo
Repetimos los pasos 3, 4, 5, hasta que el ejercicio se termina cuando se tenga las dos opciones:
a) El costo de envío deja de disminuir.
b) En las celdas vacías, no hay casillas marcadas
Entonces regresamos al paso 3:
#𝒇𝒊𝒍𝒂𝒔 + #𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂𝒔 − 𝟏 ≤ # Celdas llenas
Constante Variable
3 + 4 – 1 ≤ 4
6 ≤ 4 (FALSO)
Para igualar tendremos que aumentar dos Épsilon, estos pueden ir en cualquier celda vacía, de
preferencia se completa filas luego columnas.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 178
10 15 0 20 11
𝝐 12 𝝐 7 15 9 10 20
5 0 14 16 18
-5 -10 -8 3
10 5
10 15 0 2 20 13 11
17 𝜖
12 𝜖 7 15 9 10 20
5 5
0 -5 14 -3 16 8 18
-5 -10 -8 1
10 5
10 5 0 2 20 10 11
17 𝜖
12 10 7 15 9 18 20
5 5
0 -5 14 -3 16 6 18
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 # 3 = 5(0) + 5(0) + 10(7) + 15(9) + 10(11) = 315
El proceso se ha terminado porque no hay ninguna celda marcada, y el costo se ha ido
disminuyendo consecutivamente.
TABLA FINAL DE TRANSPORTE
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 10 5 0 20 10 11 15
F 2 12 10 7 15 9 20
25
F3 5 0 14 16 18
5
DEMANDA 5 15 15 10 45
45
Interpretación:
El costo óptimo es de 315 dólares, con las siguientes asignaciones:
La fábrica 1 debe transportar 5 artículos al cliente 2 con un costo unitario de 0.
La fábrica 1 debe transportar 10 artículos al cliente 4 con un costo unitario de 11.
La fábrica 2 debe transportar 10 artículos al cliente 2 con un costo unitario de 7.
La fábrica 2 debe transportar 15 artículos al cliente 3 con un costo unitario de 9.
La fábrica 3 debe transportar 5 artículos al cliente 1 con un costo unitario de 0.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 179
175. Una empresa energética dispone de tres plantas de generación para satisfacer la
demanda eléctrica de cuatro ciudades. Las plantas 1, 2 y 3 pueden satisfacer 35, 50 y 40
millones de kilovatios/hora respectivamente. El valor máximo de consumo ocurre a las
2 PM y es de 45, 20, 30 y 30 millones de kilovatios/hora en las ciudades 1, 2, 3 y 4
respectivamente. El costo de enviar 1 kilovatio/hora depende de la distancia que deba
recorrer la energía. La siguiente tabla muestra los costos de envío unitario desde cada
planta a cada ciudad. Formule un modelo de programación lineal que permita minimizar
los costos de satisfacción de la demanda máxima en todas las ciudades.
TABLA INICIAL DE TRANSPORTE
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1
8 6 10 9
35
F 2
9 12 13 7
50
F3
14 9 16 5
40
DEMANDA 45 20 30 30 125
125
NOTA
Cuando se presente un problema en el que no exista costo de
envío en uno de los casilleros, este será llenado con el costo
más alto de la matriz aproximando su valor, ya sea
terminado en cero o cinco; si por casualidad el costo más
alto termina en uno de estos dos dígitos, es aconsejable
sumarle cinco, de esta forma resolveremos los ejercicios, y al
mismo tiempo nos ayuda en la comprobación.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 180
MÉTODO ESQUINA NOROESTE
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 35
8 0 6 0 10 0 9
35
F 2 10
9 20 12 20 13 0 7 50
40 20
F3 0
14 0 9 10 16 30 5 40
30DEMANDA 45
10
20
30
10
30
125
125
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 35(8) + 10(9) + 20(12) + 20(13) + 10(16) + 30(5) = 1180
MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES
-2 1 2 -9
10 35
8 11 6 12 10 1 9
11 10
9 20 12 20 13 2 7
14 12
14 15 9 10 16 30 5
-2 -4 2 -9
10 15
8 20 6 12 10 1 9
11 30
9 7 12 20 13 2 7
14 12
14 10 9 10 16 30 5
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 # 2 = 15(8) + 20(6) + 30(9) + 20(13) + 10(16) + 30(5) = 1080
-2 -4 2 -8
10 25
8 10 6 12 10 2 9
11 20
9 7 12 30 13 3 7
13 11
14 10 9 11 16 30 5
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 # 3 = 25(8) + 10(6) + 20(9) + 10(9) + 30(13) + 30(5) = 1070
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 181
-4 -4 0 -8
10 6
8 10 6 25 10 2 9
13 45
9 9 12 5 13 5 7
13 9
14 10 9 13 16 30 5
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 ó𝒑𝒕𝒊𝒎𝒐 = 45(9) + 10(6) + 10(9) + 25(10) + 5(13) + 30(5) = 1020
TABLA FINAL DE TRANSPORTE
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 6
8 10 6 25 10 2 9
35
F 2 45
9 9 12 5 13 5 7
50
F3 9
14 10 9 13 16 30 5
40
DEMANDA 45 20 30 30 125
125
Interpretación:
El costo óptimo es de $1020 , con las siguientes asignaciones:
La Planta 2 debe satisfacer con 45 millones KWh a la ciudad 1 con un costo unitario de
9.
La Planta 1 debe satisfacer con 10 millones KWh a la ciudad 2 con un costo unitario de
6.
La Planta 3 debe satisfacer con 10 millones KWh a la ciudad 2 con un costo unitario de
9.
La Planta 1 debe satisfacer con 25 millones KWh a la ciudad 3 con un costo unitario de
10.
La Planta 2 debe satisfacer con 5 millones KWh a la ciudad 3 con un costo unitario de
13.
La Planta 3 debe satisfacer con 30 millones KWh a la ciudad 4 con un costo unitario de
5.
176. Se envían automóviles en camión, de tres centros de distribución a cinco
distribuidores. El costo de envío está basado en la distancia recorrida entre las fuentes y
destinos. El costo es independiente de si el camión hace el recorrido con una carga
parcial o completa. La tabla que sigue hace un resumen de las distancias de recorrido
entre los centros de distribución y los distribuidores (millas) y también las cifras
mensuales de oferta y demanda calculadas en números de automóviles. El costo de
transporte por milla recorrida por el camión es de $10, formule el problema como un
modelo de transporte. Calcular el costo mínimo óptimo.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 182
Dist.1 Dist.2 Dist.3 Dist.4 Dist.5 Oferta
Centro de Distribución 1 10 15 20 14 3,5 40
Centro de Distribución 2 5 7 6 6,5 8 20
Centro de Distribución 3 4 9 10 15 13 15
Demanda 10 20 15 16 14
TABLA INICIAL DE TRANSPORTE
DESTINOS
(Clientes)
OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4 C 5
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1
100 150 200 140 35
400
F 2
50 70 60 65 80
200
F 3
40 90 100 150 130
150
DEMANDA 100 200 150 160 140 750
750
COSTO INICIAL POR EL MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE
DESTINOS
(Clientes)
OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4 C 5
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1
100 100 200 150 100 200 0 140 0 35
400
F 2
0 50 0 70 50 60 150 65 0 80
200
F 3
0 40 0 90 0 100 10 150 140 130
150
DEMANDA 100 200 150 160 140
750
750
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 100(100) + 200(150) + 100(200) + 50(60) + 150(65) + 10(150)
+ 140(130) = 𝟗𝟐𝟒𝟓𝟎
MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES
100 150 200 205 185
0 100
100 200 150 100 200 205 140 185 35
-140 -40
50 10 70 50 60 150 65 45 80
-55 45
40 95 90 145 100 10 150 140 130
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 183
35
35
100 150 50 55 35
0 100
100 200 150 50 200 55 140 100 35
10 110
50 160 70 150 60 50 65 45 80
95 95
40 245 90 145 100 110 150 140 130
Costo factible # 2= 77450
100 150 205 210 35
0 60
100 200 150 205 200 210 140 140 35
-145
-45 50 5 70 150 60 50 65 -1 80
-60
40 40 90 90 145 100 110 150 -25 130
Costo factible # 3= 71250
Costo factible # 4= 66300
75 150 135 140
0 75
100 200 150 135 200 60 140 140 35
-75
0 50 75 70 100 60 100 65 -40 80
-35
100 40 115 90 50 100 105 150 0 130
Costo factible # 5= 64800
80 150 140 140 35
0 80
100 100 150 140 200 160 140 140 35
-80
0 50 100 70 100 60 60 65 -60 80
-40
100 40 110 90 50 100 105 150 -5 130
Costo factible # 6= 64300
100 150 160 165 35
0 60
100 200 150 160 200 165 140 140 35
-100
0 50 50 70 40 60 160 65 -65 80
-60
40 40 90 90 110 100 105 150 -25 130
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 184
100 150 140 140 35
0 100
100 100 150 140 200 160 140 140 35
-80
20 50 50 70 150 60 60 65 -40 80
-60
100 40 50 90 80 100 80 150 -25 130
Costo mínimo óptimo = 63300
TABLA FINAL DE TRANSPORTE
DESTINOS
(Clientes)
OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4 C 5
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1
100 100 150 200 160 140 140 35
400
F 2
50 50 70 150 60 65 80
200
F 3
100 40 50 90 100 150 130
150
DEMANDA 100 200 150 160 140
750
750
Interpretación:
El costo óptimo es de $ 63300, con las siguientes asignaciones:
El centro de distribución uno, al distribuidor uno, 100 autos a un costo de 150. Al
cuatro se tiene que enviar 160 autos sujetos a un valor de envío de 140 y al quinto 140,
a un costo de 35.
Desde el centro de distribución dos se deben enviar 50 al dos a un costo de 70; al tres
150 a un costo de 60.
Desde el centro de distribución tres se tiene que enviar al uno 100 a un costo de 40; al
dos 50 a un costo de 90, para obtener un costo mínimo óptimo de $63300.
177. Una fábrica dispone de tres centros de distribución A, B y C cuyas
disponibilidades de materia prima son 100, 120 tm respectivamente. Dicha materia
prima debe ser entregada a cinco almacenes I, II, III, IV y V, los cuales deben de recibir
en su orden 40, 50, 70, 90 y 90 tm. Determinar una solución que optimice el costo de
envío.
Destino 1 Destino 2 Destino 3 Destino 4 Destino 5
Orígenes A 10 20 5 9 10
Orígenes B 2 10 8 30 5
Orígenes C 1 20 7 10 4
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 185
TABLA INICIAL DE TRANSPORTE
DESTINOS
(Centros de distribución) OFERTA
D 1 D 2 D 3 D 4 D 5
O
R
ÍG
E
N
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1
10 20 5 9 10
100
F 2
2 10 8 30 5
120
F 3
1 20 7 10 4
120
DEMANDA 40 50 70 90 90
340
340
Problema balanceado, por tal razón se procede a calcular el costo inicial.
COSTO INICIAL POR EL MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE
DESTINOS
(Centros de distribución) OFERTA
D 1 D 2 D 3 D 4 D 5
O
R
IG
E
N
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1
40 10 50 20 10 5 0 9 0 10
100
F 2
0 2 0 10 60 8 60 30 0 5
120
F 3 0
1 0 20 0 7 30 10 90 4
120
DEMANDA 40 50 70 90 90
340
340
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 40(10) + 50(20) + 10(5) + 60(8) + 60(30) + 30(10) + 90(4) = 𝟒𝟑𝟗𝟎
MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES
0 10 -5 17 11
10 40 10 50 20 10 5 27 9 21 10
13 13 2 23 10 60 8 60 30 24 5
-7 -7 1 3 20 -12 7 30 10 90 4
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 #2 = 40(10) + 50(20) + 10(5) + 60(8) + 60(30) + 30(10) + 90(4) = 3790
-11 10 -5 -2 -8
10 -1 1050 20 50 5 8 9 2 10
13 40 2 23 10 20 8 11 30 60 5
12 1 1 22 20 7 7 90 10 30 4
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 #3 = 50(20) + 40(2) + 50(5) + 20(8) + 90(10) + 60(5) + 30(4) = 2810
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 186
2 10 -5 11 5
10 12 10 30 20 70 5 21 9 15 10
0 40 2 20 10 -5 8 11 30 60 5
-1 1 1 9 20 -6 7 90 10 30 4
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 #4 = 40(2) + 30(20) + 20(10) + 70(5) + 90(10) + 60(5) + 30(4) = 2550
-10 -2 -5 -1 -7
10 0 10 8 20 70 5 30 9 3 10
12 40 2 50 10 7 8 11 30 30 5
11 1 1 9 20 6 7 60 10 60 4
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 = 2190
TABLA FINAL DE TRANSPORTE
DESTINOS
(Centros de distribución) OFERTA
D 1 D 2 D 3 D 4 D 5
O
R
IG
E
N
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1
10 20 70 5 30 9 10
100
F 2
40 2 50 10 8 30 30 5
120
F 3
1 20 7 60 10 60 4
120
DEMANDA 40 50 70 90 90
340
340
Interpretación:
El costo óptimo es de $ 2190, con las siguientes asignaciones:
La fábrica 1 debe entregar al cliente 3, 70 de materia prima (tm) a un precio de 5
dólares y al cliente 4 entrega 30 tm a un precio de 9 dólares.
De la fábrica 2 al cliente 1, 40 tm a un precio de 2 dólares, al cliente 2 entrega 50 tm a
un precio de 10 dólares y al cliente 5 entrega 30 tm a un precio de 5 dólares.
De la fábrica 3 al cliente 4 entrega 60 tm a un precio de 10 dólares y al cliente 5
entrega 60 tm a un precio de 4 dólares; para obtener un costo mínimo óptimo de 2190.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 187
178. Resolver el problema anterior iniciando por el método de Vogel.
DESTINOS
(Centros de distribución) OFERTA
P
1
P
2
P
3
P
4
P
5
P
6
D 1 D 2 D 3 D 4 D 5
O
R
IG
E
N
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1
0 10 0 20 70 5 30 9 0 10 100
30
4 4 1 1 1 9
F 2
40 2 50 10 0 8 0 30 30 5 120
70 30
3 3 3 25 - -
F 3
0 1 0 20 0 7 60 10 60 4 120
60
3 3 3 6 6 10
DEMANDA 40 50 70
90
30
90
60
340
340
P 1 1 10 2 1 1
P 2 1 - 2 1 1
P 3 1 - - 1 1
P 4 - - - 1 1
P 5 - - - 1 6
P 6 - - - 1 -
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 40(2) + 50(10) + 70(5) + 30(9) + 60(10) + 30(5) + 60(4) = 𝟐𝟏𝟗𝟎
-10 -2 -5 -1 -7
10 0 10 8 20 70 5 30 9 3 10
12 40 2 50 10 7 8 11 30 30 5
11 1 1 9 20 6 7 60 10 60 4
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 = 40(2) + 50(10) + 70(5) + 30(9) + 60(10) + 30(5) + 60(4) = 𝟐𝟏𝟗𝟎
Al resolver
Sadsadsad
TABLA FINAL DE TRANSPORTE
DESTINOS
(Centros de distribución) OFERTA
D 1 D 2 D 3 D 4 D 5
O
R
ÍG
E
N
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1
10 20 70 5 30 9 10
100
F 2
40 2 50 10 8 30 30 5
120
F 3
1 20 7 60 10 60 4
120
DEMANDA 40 50 70 90 90
340
340
Calculando el costo inicial por el método de Vogel, se llega
directamente al costo óptimo. Por tal razón se concluye que, este
método de Vogel nos deja en el óptimo o cercano al costo
mínimo óptimo.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 188
Interpretación:
El costo óptimo es de $ 2190, con las siguientes asignaciones:
La fábrica 1 debe entregar al cliente 3, 70 de materia prima (tm) a un precio de 5
dólares y al cliente 4 entrega 30 tm a un precio de 9 dólares.
De la fábrica 2 al cliente 1, 40 tm a un precio de 2 dólares, al cliente 2 entrega 50 tm a
un precio de 10 dólares, al cliente 5 entrega 30 tm a un precio de 5 dólares.
De la fábrica 3 al cliente 4 entrega 60 tm a un precio de 10 dólares y al cliente 5
entrega 60 tm a un precio de 4 dólares; para obtener un costo mínimo óptimo de 2190.
179. Una empresa energética dispone de cuatro plantas de generación para satisfacer
la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Junín, Salto, Vedia y Lincoln. Las
plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al día en su orden.
Las necesidades de las ciudades de Junín, Salto, Vedia y Lincoln son de 70, 40, 70 y 35
millones de Kw al día respectivamente.
Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW entre cada planta
y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.
Junín Salto Vedia Lincoln
Planta 1 5 2 7 3
Planta 2 3 6 6 1
Planta 3 6 1 2 4
Planta 4 4 3 6 6
TABLA INICIAL DE TRANSPORTE
COSTO INICIAL POR EL MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE
DESTINOS
(Ciudades) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4
FU
E
N
T
E
S
(P
la
nt
as
)
F 1 70
5 0 2 0 7 0 3
70
F 2 10
3 30 6 0 6 0 1
40
F 3 0
6 0 1 60 2 10 4
70
F 4 0
4 0 3 0 6 35 6
35
DEMANDA 80 30 60 45
215
215
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 70(5) + 10(3) + 30(6) + 60 (2) + 10(4) + 35(6) = 𝟗𝟑𝟎
-5 -2 -5 -3
10 70
5 8 2 5 7 7 3
8 10
3 30 6 3 6 5 1
7 2
6 5 1 60 2 10 4
9 E 4 7 3 4 6 35 6
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 #2 = 70(5) + 30(6) + 10(1) + 60 (2) + 10(4) + 10(4) + 25(6) = 𝟖𝟗𝟎
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 189
-5 2 -5 -3
10 70
5 12 2 5 7 7 3
4 -1
3 30 6 -1 6 10 1
7 2
6 9 1 60 2 10 4
9 10 4 11 3 4 6 25 6
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 #3 = 70(5) + 20(6) + 20(1) + 10 (1) + 60(2) + 10(4) + 25(6) = 𝟖𝟏𝟎
-5 2 3 -3
10 70
5 12 2 13 7 7 3
4 -1
3 20 6 7 6 20 1
-1 -6
6 10 1 60 2 -4 4
9 10 4 11 3 12 6 25 6
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 #4 = 50(5) + 20(2) + 40(1) + 10 (1) + 60(2) + 30(4) + 5(6) = 𝟔𝟏𝟎
-5 -8 -7 -3
10
50 5 20 2 3 7 7 3
4 -1
3 -4 6 -3 6 40 1
9 4
6 10 1 60 2 6 4
9 30 4 1 3 2 6 5 6
-5 -8 -7 -7
10
45 5 20 2 3 7 5 3
8 3
3 0 6 1 6 40 1
9 4
6 10 1 60 2 2 4
9 35 4 1 3 2 6 2 6
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 = 45(5) + 35(4) + 20(2) + 10 (1) + 60(2) + 5(3) + 40(1) = 𝟓𝟗𝟎
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 190
TABLA FINAL TRANSPORTE
DESTINOS
(Ciudades) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4
FU
E
N
T
E
S
(P
la
nt
as
)
F 1
45 5 20 2 7 5 3
70
F 2
3 6 6 40 1
40
F 3
6 10 1 60 2 4
70
F 4
35 4 3 6 6
35
DEMANDA 80 30 60 45
215
215
Interpretación:
El costo óptimo es de $ 590, con las siguientes asignaciones:
La empresa energética deberá enviar de la planta 1 a la cuidad de Junín 45 millones
de kw a un costo de 5 dólares; de la misma planta, se deberá enviar a la ciudad del
Salto 20 millones kw a un costo de 2 dólares y 5 millones de kw a un costo de 3 dólares
a la ciudad Lincoln.
La empresa energética deberá enviar de la planta 2 a la cuidad de Lincoln 40 millones
de kw a un costo de 1 dólar.
La empresa energética deberá enviar de la planta 3 a la ciudad de Salto 10 millones
de kw a un costo de 1 dólar y 60 millones de kw a un costo de 2 dólares a la ciudad
Vedia.
La empresa energética deberá enviar de la planta 1 a la cuidad de Junín 35 millones
de kw.
180. Resolver el problema anterior iniciando por el método del costo mínimo.
TABLA POR EL COSTO MÍNIMO
DESTINOS
(Ciudades) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4
FU
E
N
T
E
S
(P
la
nt
as
)
F 1
45 5 0 2 20 7 5 3 70
25 5
F 2
0 3 0 6 0 6 40 1
40
F 3
0 6 30 1 40 2 0 4 70
40
F 4
35 4 0 3 0 6 0 6
35
DEMANDA 80
45
30
60
20
45
5
215
215
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 45(5) + 20(7) + 5(3) + 40 (1) + 30(1) + 40(2) + 35(4) = 𝟔𝟕𝟎
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 191
-5 -4 -3 -7
10
45 5 6 2 20 7 5 38 3
3 4 6 5 6 40 1
5 0
6 30 1 40 2 -2 4
9 35 4 5 3 6 6 2 6
-5 -8 -7 -7
10 45
5 20 2 3 7 5 3
8 3
3 0 6 1 6 40 1
9 4
6 10 1 60 2 2 4
9
35 4 1 3 2 6 2 6
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 = 45(5) + 35(4) + 20(2) + 10(1) + 60(2) + 5(3) + 40(1) = 𝟓𝟗𝟎
TABLA FINAL TRANSPORTE
DESTINOS
(Ciudades) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4
FU
E
N
T
E
S
(P
la
nt
as
)
F 1
45 5 20 2 7 5 3
70
F 2
3 6 6 40 1 40
F 3
6 10 1 60 2 4 70
F 4
35 4 3 6 6 35
DEMANDA 80 30 60 45
215
215
Interpretación:
El costo óptimo es de $ 590, con las siguientes asignaciones:
La empresa energética deberá enviar de la planta 1 a la cuidad de Junín 45 millones
de kw a un costo de 5 dólares; de la misma planta, se deberá enviar a la ciudad del
Salto 20 millones kw a un costo de 2 dólares y 5 millones de kw a un costo de 3 dólares
a la ciudad Lincoln.
La empresa energética deberá enviar de la planta 2 a la cuidad de Lincoln 40 millones
kw a un costo de 1 dólar.
La empresa energética deberá enviar de la planta 3 a la ciudad de Salto 10 millones
de kw a un costo de 1 dólar y 60 millones de kw a un costo de 2 dólares a la ciudad
Vedia.
La empresa energética deberá enviar de la planta 1 a la cuidad de Junín 35 millones
de kw.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 192
181. Una compañía desea saber, que política de distribución minimizará sus costos
totales. Para lo cual en la siguiente tabla se muestra los costos unitarios, la oferta y
demanda:
CLIENTES OFERTA
1 2 3 4 5
FÁBRICAS
A 10 2 3 15 9 25
B 5 10 15 2 4 30
C 15 5 14 7 15 20
D 20 15 13 - 8 30
DEMANDA 20 20 30 10 25
La tabla de costos, demandas y ofertas queda de la siguiente manera:
CLIENTES OFERTA
1 2 3 4 5
FÁBRICAS A 10 2 3 15 9 25
B 5 10 15 2 4 30
C 15 5 14 7 15 20
D 20 15 13 25 8 30
DEMANDA 20 20 30 10 25
El problema se resuelve sin ninguna dificultad como los ejercicios anteriores.
3.7. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DESBALANCEADOS
182. Una compañía tiene en Distrito Federal y Monterrey sus centros de distribución;
están ubicados en Puebla, ciudad de México y Zacatecas, sus capacidades en las plantas
durante el semestre próximo son: 2000 y 1400 motocicletas, las demandas de
Recuerda:
No existe costo de envío en un casillero, este
será llenado con el costo más alto de la matriz
aproximando su valor ya sea terminado en cero
o cinco; si por casualidad el costo más alto
termina en uno de estos dos dígitos, es
aconsejable sumarle cinco. En este caso el costo
unitario más alto es (20), coincide con lo
anteriormente estudiado, entonces sumamos (5),
quedando el costo de (25).
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 193
distribución son: 1000, 1500 y 1200 motocicletas. El costo de transporte de una
motocicleta por traer es de 0,08 centavos por milla; la siguiente tabla muestra la
distancia recorrida entre las plantas y los centros de distribución.
Distrito Federal Distrito Monterrey
Puebla 850 millas 1350 millas
México 2688 millas 1000 millas
Zacatecas 1250 millas 1275 millas
Distrito Federal Distrito Monterrey
Puebla $ 68 $ 108
México $ 215 $ 80
Zacatecas $100 $ 102
TABLA INICIAL DE TRANSPORTE
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1
68 215 100
2000
F 2
108 80 102
1400
DEMANDA 1000 1500 1200
3400
3700
Problema desbalanceado, por tal razón se procede aumentar una fábrica ficticia, para calcular
el costo inicial.
MÉTODO ESQUINA NOROESTE
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 1000
68 1000 215 0 100 2000
1000
F 2 0
108 500 80 900 102 1400
900
F F 0
0 0 0 300 0
300
DEMANDA 1000 1500
500
1200
900 300
3700
3700
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 1000(68) + 1000(215) + 500(80) + 900(102) + 300(0) = 414800
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 194
MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES
68 215 237
0 1000
68 1000 215 237 100
-135 -67
108 500 80 900 102
-237 -169
0 -22 0 300 0
68 215 100
0 1000
68 100 215 900 100
-135 -67
108 1400 80 -35 102
-100 -32
0 115 0 300 0
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 # 2 = 1000(68) + 100(215) + 900(100) + 1400(80) + 300(0) = 291500
68 100 100
0 1000
68 100 215 1000 100
-20 48
108 1400 80 80 102
-100 -32
0 100 0 200 0
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 = 1000(68) + 1400(80) + 1000(100) + 100(0) + 200(0) = 280000
TABLA FINAL DE TRANSPORTE
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 1000
68 215 1000 100
2000
F 2
108 1400 80 102
1400
F F
0 100 0 200 0
300
DEMANDA 1000 1500 1200 3700
3700
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 195
Interpretación:
El costo óptimo es de $ 280000, con las siguientes asignaciones:
El D. Federal debe transportar 1000 motocicletas a Puebla con un costo unitario de $
68.
El D. Federal debe transportar 1000 motocicletas a Zacatecas con un costo unitario de
$ 100.
El D. de Monterrey debe transportar 1400 motocicletas a México con un costo unitario
de $ 80.
183. Una tienda de cosméticos tiene dos plantas una en Panamá y otra en los Estados
Unidos. Los productos se deben comercializar a través de unas tiendas que se
encuentran en España, México y Brasil. La oferta de cada planta es de 4000 y 5000
artículos mientras que las demandas de estos es de 4000, 2800 y 2000. Los costos
unitarios de transporte son:
España México Brasil
Panamá $ 200 $ 150 $ 190
Estados Unidos $ 180 $ 100 $ 240
TABLA INICIAL DE TRANSPORTE
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1
200 150 190
4000
F 2
180 100 240
5000
DEMANDA 4000 2800 2000 9000
8800
MÉTODO ESQUINA NOROESTE
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C F
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1
4000 200 0 150 0 190 0 0
4000
F 2
𝜖 180 2800 100 2000 240 200 0 5000
2200 200
DEMANDA 4000 2800 2000 200 9000
9000
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 4000(200) + 2800(100) + 2000(240) + 200(0) = 1560000
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 196
MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES
190 110 250 10
10 4000
200 120 150 260 190 20 0
-10 𝜖
180 2800 100 2000 240 200 0
190 110 250 -10
10 3800
200 120 150 260 190 200 0
-10 200
180 2800 100 2000 240 -20 0
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 # 2 = 3800(200) + 200(0) + 200(180) + 2800(100) + 2000(240) = 1556000
190 110 180 -10
10 1800
200 120 150 2000 190 200 0
-10 2200
180 2800 100 170 240 -20 0
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 = 1800(200) + 2000(190) + 200(0) + 2200(180) + 2800(100) = 1416000
TABLA FINAL DE TRANSPORTE
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C F
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1
1800 200 150 2000 190 200 0
4000
F 2
2200 180 2800 100 240 0
5000
DEMANDA 4000 2800 2000 200 9000
9000
Interpretación:
El costo óptimo es de $ 1416000, con las siguientes asignaciones:
La Planta de Panamá debe transportar 1800 cosméticos a España con un costo
unitario de $ 200.
La Planta de Estados Unidos debe transportar 2200 cosméticos a España con un costo
unitario de $ 180.
La Planta de Estados Unidos debe transportar 2800 cosméticos a México con un costo
unitario de $ 100.
La Planta de Panamádebe transportar 2000 cosméticos a Brasil con un costo unitario
de $ 190.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 197
184. Una aerolínea regional puede comprar su combustible para jet a cualquiera de
tres proveedores. Las necesidades de la aerolínea para el próximo mes, en cada uno de
los tres aeropuertos a los que da servicio, son 100000 galones en el aeropuerto 1,
180000 galones en el aeropuerto 2 y 350000 galones en el aeropuerto 3. Cada proveedor
puede suministrar combustible a cada aeropuerto a los precios (en centavo por galones)
que se dan en el siguiente cuadro:
Aeropuerto 1 Aeropuerto 2 Aeropuerto 3
Proveedor 1 92 89 90
Proveedor 2 91 91 95
Proveedor 3 87 90 92
Cada proveedor, sin embargo, tiene limitaciones en cuanto al número total de galones que puede
proporcionar durante un mes dado. Estas capacidades son 320000 galones para el proveedor 1,
270000 galones para el proveedor 2 y 190000 galones para el proveedor 3. Determínese una
política de compra que cubra los requerimientos de la aerolínea en cada aeropuerto, a un costo
total mínimo.
TABLA INICIAL DE TRANSPORTE
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1
92 89 90
320
F 2
91 91 95
270
F 3
87 90 92
190
DEMANDA 100 180 350 780
630
Problema desbalanceado, por tal razón se procede aumentar un cliente ficticio, para calcular el
costo inicial.
COSTO INICIAL POR EL MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C F
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 100
92 180 89 40 90 0 0 320
220 40
F 2 0
91 0 91 270 95 0 0
270
F3 0
87 0 90 40 92 150 0 190
150
DEMANDA 100 180 350
310 40
150
780
780
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 100(92) + 180(89) + 40(90) + 270(95) + 40(92) + 150(0) = 𝟓𝟖𝟏𝟓𝟎
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 198
MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES.
82 79 80 -12
10 100
92 180 89 40 90 -2 0
15 97
91 94 91 270 95 3 0
12 94
87 91 90 40 92 150 0
82 79 80 -15
10 100
92 180 89 40 90 -5 0
15 97
91 94 91 120 95 150 0
12 94
87 91 90 190 92 -3 0
Costo factible # 2= 57700
75 79 80 -15
10 82
92 180 89 140 90 -5 0
15 90
91 94 91 120 95 150 0
12 100
87 91 90 90 92 -3 0
Costo factible # 3= 57000
76 79 80 -15
10 86
92 90 89 230 90 -5 0
15 91
91 94 91 120 95 150 0
11 100
87 90 90 91 92 -4 0
Costo factible # 5= 56910
73 76 80 -15
10 83
92 86 89 320 90 -5 0
15 88
91 90 91 30 95 150 0
14 100
87 90 90 94 92 -1 0
Costo factible # 6= 56640
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 199
75 78 80 -13
10 85
92 88 89 320 90 -3 0
13 88
91 120 91 93 95 150 0
12 100
87 60 90 30 92 -1 0
Costo mínimo óptimo = 56580
TABLA FINAL DE TRANSPORTE
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C F
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1
92 89 320 90 0
320
F 2
91 120 91 95 150 0
270
F3 100
87 60 90 30 92 0
190
DEMANDA 100 180 350 150 780
780
Interpretación:
El costo óptimo es de $ 56580000, con las siguientes asignaciones:
Del proveedor 1 al aeropuerto 3, 320000 galones a un precio de 90 centavos.
Del proveedor 2 al aeropuerto 2, 120000 galones a un precio de 91 centavos.
Del proveedor 3 al aeropuerto 1, 100000 galones a un precio de 87 centavos; del
mismo proveedor al aeropuerto 2, 60000 galones a un precio de 90 centavos; del
mismo proveedor al aeropuerto 3, 30000 galones a un precio de 92 centavos, para
obtener un costo mínimo óptimo de $56580000.
Nota:
A este costo le añadimos tres ceros
para facilitar los cálculos,
trabajamos sin tres ceros.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 200
185. Resolver el problema anterior iniciando por el método de Vogel.
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 100(91) + 20(91) + 160(90) + 320(90) + 30(92) + 150(0) = 𝟓𝟔𝟖𝟖𝟎
MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES
78 78 80 -13
10 88
92 88 89 320 90 -3 0
13 100
91 20 91 93 95 150 0
12 90
87 160 90 30 92 -1 0
Costo factible # 2= 56880
75 78 80 -13
10 85
92 88 89 320 90 -3 0
13 83
91 120 91 93 95 150 0
12 100
87 60 90 30 92 -1 0
Costo mínimo óptimo = 56580
TABLA FINAL DE TRANSPORTE
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C F
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1
92 89 320 90 0
320
F 2
91 120 91 95 150 0
270
F3 100
87 60 90 30 92 0
190
DEMANDA 100 180 350 150 780
780
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C F P.1 P.2 P.3 P.4
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 0 92 0 89 320 90 0 0 320 89 1 1 1
F 2
100
91
20
91
0
95
150
0
270 91 4 4 -
F 3
0
87
160
90
30
92
0
0
190 87 3 2 2
DEMANDA 100 180 350 150
780
P. 1 4 1 2 -
P. 2 2 1 2 -
P. 3 - 1 2 -
P.4 - 1 2 -
780
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 201
Interpretación:
El costo óptimo es de $ 56580000, con las siguientes asignaciones:
Del proveedor 1 al aeropuerto 3, 320000 galones a un precio de 90 centavos.
Del proveedor 2 al aeropuerto 2, 120000 galones a un precio de 91 centavos.
Del proveedor 3 al aeropuerto 1, 100000 galones a un precio de 87 centavos; del
mismo proveedor al aeropuerto 2, 60000 galones a un precio de 90 centavos; del
mismo proveedor al aeropuerto 3, 30000 galones a un precio de 92 centavos, para
obtener un costo mínimo óptimo de $56580000.
186. Tres fábricas envían su producto a cinco distribuidores. Las disponibilidades,
los requerimientos y costos unitarios de transporte, se dan en la siguiente tabla.
Distrib. 1 Distrib. 2 Distrib. 3 Distrib. 4 Distrib.5
Fábrica 1 20 19 14 21 16
Fábrica 2 15 20 13 19 16
Fábrica 3 18 15 18 20 X
¿Qué cantidad del producto se debe enviar desde cada fábrica a cada distribuidor para minimizar
los costos del transporte?
NOTA: La “X” significa que desde la fábrica 3 es imposible enviar unidades al distribuidor 5.
TABLA INICIAL DE TRANSPORTE
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C4 C5
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1
20 19 14 21 16
40
F 2
15 20 13 19 16
60
F 3
18 15 18 20 0
70
DEMANDA 30 40 50 40 60 170
220
Problema desbalanceado, por tal razón se procede aumentar una fábrica ficticia, para calcular
el costo inicial.
Costo inicial por el método de la esquina noroeste.
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C4 C5
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1
30 20 10 19 0 14 0 21 0 16 40
10
F 2
0 15 30 20 30 13 0 19 0 16 60
30
F 3
0 18 0 15 20 18 40 20 10 0 70
30 10
FF 0
0 0 0 0 0 0 0 50 0
50
DEMANDA 30
40
30
50
20
40
60
50
220
220
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 202
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 30(20) + 10(19) + 30(20) + 30(13) + 20(18) + 40(20) + 10(0) + 50(0) = 𝟐𝟗𝟒𝟎
MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES
20 19 12 14 -6
0
30 20 10 19 12 14 14 21 -6 16
1
21 15 30 20 30 13 15 19 -5 16
6
26 18 25 15 20 18 40 20 10 0
6
26 0 25 0 18 0 20 0 50 0
20 19 12 40 20
0
10 20 30 19 12 14 40 21 20 16
1
21 15 10 20 50 13 41 19 21 16
-20
0 18 -1 15 -8 18 40 20 30 0
-20
20 0 -1 0 -8 0 20 0 30 0𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 #2 = 10(20) + 30(19) + 10(20) + 50(13) + 40(20) + 30(0) + 20(0) + 30(0) = 𝟐𝟒𝟐𝟎
20 19 12 20 0
0
10 20 30 19 12 14 20 21 0 16
1
21 15 10 20 50 13 21 19 1 16
0
20 18 19 15 12 18 10 20 60 0
-20
20 0 -1 0 -8 0 30 0 -20 0
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 #3 = 10(20) + 30(19) + 10(20) + 50(13) + 20(10) + 60(0) + 20(0) + 30(0) = 𝟏𝟖𝟐𝟎
20 19 12 20 4
0
20 20 20 19 12 14 20 21 4 16
1
21 15 10 20 50 13 21 19 5 16
-4
16 18 10 15 8 18 16 20 60 0
-20
10 0 -1 0 -8 0 40 0 -16 0
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 #4 = 20(20) + 20(19) + 10(20) + 10(15) + 50(13) + 60(0) + 10(0) + 40(0) = 𝟏𝟕𝟖𝟎
Nota: seleccionamos la casilla de menor valor (19)
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 203
20 19 18 20 4
0
10 20 30 19 18 14 20 21 4 16
-5
10 15 14 20 50 13 15 19 -1 16
-4
16 18 10 15 14 18 16 20 60 0
-20
10 0 -1 0 -2 0 40 0 -16 0
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 #5 = 10(20) + 30(19) + 10(15) + 10(15) + 50(13) + 60(0) + 10(0) + 40(0) = 𝟏𝟕𝟐𝟎
16 19 14 16 4
0
16 20 30 19 10 14 16 21 4 16
-1
20 15 18 20 40 13 15 19 3 16
-4
12 18 10 15 10 18 12 20 60 0
-16
10 0 3 0 -2 0 40 0 -12 0
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 #6 = 15(20) + 30(19) + 10(15) + 10(14) + 40(13) + 60(0) + 10(0) + 40(0) = 𝟏𝟔𝟖𝟎
16 19 14 19 4
0
16 20 20 19 20 14 19 21 4 16
-1
30 15 18 20 30 13 18 19 3 16
-4
12 18 10 15 10 18 15 20 60 0
-19
-3 0 10 0 -5 0 40 0 -15 0
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 = 20(19) + 20(14) + 10(15) + 30(13) + 20(14) + 40(0) + 10(0) + 60(0) = 𝟏𝟔𝟓𝟎
TABLA FINAL DE TRANSPORTE
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C4 C5
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1
20 20 19 20 14 21 16
40
F 2
30 15 20 30 13 19 16
60
F 3
18 10 15 18 20 60 0
70
FF
0 10 0 0 40 0 0
50
DEMANDA 30 40 50 40 60
220
220
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 204
Interpretación:
El costo óptimo es de $ 1650, con las siguientes asignaciones:
Las fábrica 1 debe enviar al proveedor 2, 20 a un precio de 19 centavos y al proveedor
3, 20 a un precio de 14 centavos.
De la fábrica 2 debe enviar al proveedor 1, 30 a un precio de 15 centavos y al
proveedor 3, 30 a un precio de 13 centavos.
La fábrica 3 debe enviar al proveedor 2, 10 a un precio de 15 centavos y al proveedor
5, no se puede enviar nada, ya que esto es imposible, para obtener un costo mínimo
óptimo de 1650.
187. Una compañía desea saber, que política de distribución minimizará sus costos
totales, se cuenta con tres (3) fábricas y cuatro (4) clientes, la producción de las fábricas
es de: 550, 300 y 260 unidades respectivamente, y las necesidades de los cuatro (4)
clientes son: 250, 300, 200, 160 unidades respectivamente. Los costos de enviar una (1)
unidad entre cada fábrica y los clientes se da a continuación:
CLIENTES OFERTA
1 2 3 4
FÁBRICAS
A 8 3 4 5 550
B 7 6 5 2 300
C 2 4 3 3 260
DEMANDA 250 300 200 160
TABLA INICIAL DE TRANSPORTE
DESTINOS
(Clientes)
OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 8 3 4 5 550
F 2 7 6 5 2 300
F 3 2 4 3 3 260
DEMANDA 250 300 200 160
910
1110
Problema desbalanceado, por tal razón se procede a aumentar un cliente ficticio, para
calcular el costo inicial.
Costo inicial por el método de la esquina noroeste.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 205
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4 C F
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1 250 8 300 3 0 4 0 5 0 0 550
300
F 2 0 7 0 6 200 5 100 2 0 0 300
100
F 3 0 2 0 4 0 3 60 3 200 0 260
200
DEMANDA 250 300 200 160
60
200
1110
1110
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 250(8) + 300(3) + 200(5) + 100(2) + 60(3) + 200(0) = 𝟒𝟐𝟖𝟎
MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES.
-2 -7 -6 -9 -12
10 250
8 300 3 E 4 1 5 -2 0
11 9
7 4 6 200 5 100 2 -1 0
12 10
2 5 4 6 3 60 3 200 0
-2 -7 -6 -9 0
10 190
8 300 3 60 4 1 5 10 0
11 9
7 4 6 140 5 160 2 11 0
0 60
2 -7 4 -6 3 -9 3 200 0
Costo factible # 2= 3800
-8 -7 -6 -9 -10
10 2
8 300 3 60 4 1 5 190 0
11 3
7 4 6 140 5 160 2 1 0
10 250
2 3 4 4 3 1 3 10 0
Costo factible # 3= 2660
-8 -7 -6 -8 -10
10 2
8 300 3 200 4 2 5 50 0
10 2
7 3 6 4 5 160 2 140 0
10 250
2 3 4 4 3 2 3 10 0
Costo factible # 4= 2520
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 206
-7 -7 -6 -8 -10
10 1
8 300 3 190 4 2 5 60 0
10 3
7 3 6 4 5 160 2 140 0
9 250
2 2 4 10 3 1 3 -1 0
Costo mínimo óptimo = 2510
TABLA FINAL DE TRANSPORTE
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4 C F
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1
8 300 3 190 4 5 60 0
550
F 2
7 6 5 160 2 140 0
300
F 3 250 2 4 10 3 3 0 260
DEMANDA 550 300 200 160 200
1110
1110
Interpretación:
El costo óptimo es de $ 2510, con las siguientes asignaciones:
De la fábrica 1 al cliente 2, 300 unidades a un precio de 3 dólares; de la misma fábrica
se debe enviar al cliente 3, 190 unidades a un precio de 4 dólares.
De la fábrica 2 debe enviarse 160 unidades a un precio de 2 dólares para el cliente 2.
Para el cliente 1 se debe enviar de la fábrica 3, 250 unidades a un precio de 2 dólares y
para el cliente 3 se deberá enviar 10 unidades a un precio de 3 dólares desde la misma
fábrica, para obtener un costo mínimo óptimo de $2510.
188. Resolver el problema anterior iniciando por el método del costo mínimo
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4 C F
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1
50 8 300 3 200 4 0 5 0 0 550
250 50
F 2
140 7 0 6 0 5 160 2 0 0 300
140
F 3 60 2 0 4 0 3 0 3 200 0 260
60
DEMANDA 250
190 50
300 200 160 200
1110
1110
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 50(8) + 300(3) + 200(4) + 140(7) + 160(2) + 60(2) + 200(0) = 𝟑𝟓𝟐𝟎
El costo inicial iniciando por la celda X14 es 2650, y tendríamos solamente una ruta
para llegar al costo óptimo.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 207
Método de los multiplicadores para llegar al mínimo costo.
-2 -7 -6 -7 -4
10 50
8 300 3 200 4 3 5 6 0
9
140 7 2 6 3 5 160 2 5 0
4
60 2 -3 4 -2 3 -3 3 200 0
Costo factible # 1= 3520
-2 -7 -6 -2 -4
10 50
8 300 3 200 4 8 5 6 0
4 2
7 -3 6 -2 5 160 2 140 0
4 200
2 -3 4 -2 3 2 3 60 0
Costo factible # 2= 2820
-8 -7 -6 -8 -10
10 2
8 300 3 200 4 2 5 50 0
10 2
7 3 6 4 5 160 2 140 0
10 250
2 3 4 4 3 2 3 10 0
Costo factible # 3= 2520
-7 -7 -6 -8 -10
10 3
8 300 3 190 4 2 5 60 0
10 3
7 3 6 4 5 160 2 140 0
9 250
2 2 4 10 3 1 3 -1 0
Costo mínimo óptimo = 2510
TABLA FINAL DE TRANSPORTE
DESTINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C 4 C F
FU
E
N
T
E
S
(F
áb
ri
ca
s)
F 1
8 300 3 190 4 5 60 0
550
F 2
7 6 5 160 2 140 0
300
F 3
250 2 4 10 3 3 0
260
DEMANDA 550 300 200 160 200
1110
1110
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Costo óptimo multiplicadores
Roberto Valencia Página 208
Interpretación:
El costo óptimo es de $ 2510, con las siguientes asignaciones:
De la fábrica 1al cliente 2, 300 unidades a un precio de 3 dólares; de la misma fábrica
se debe enviar al cliente 3,190 unidades a un precio de 4 dólares.
De la fábrica 2 debe enviarse 160 unidades a un precio de 2 dólares para el cliente 2.
Para el cliente 1 se debe enviar de la fábrica 3, 250 unidades a un precio de 2 dólares y
para el cliente 3 se deberá enviar 10 unidades a un precio de 3 dólares desde la misma
fábrica, para obtener un costo mínimo óptimo de $2510.
189. Una compañía desea saber, que política de distribución minimizará sus costos
totales. Para lo cual en la siguiente tabla se muestran los costos unitarios, la oferta y
demanda:
CLIENTES
OFERTA
1 2 3 4 5
FÁBRICAS
A 21 12 28 17 9 50
B 15 13 20 - 12 60
C 18 17 22 10 8 40
D - 2 10 5 - 70
F 33 29 35 27 23 30
DEMANDA 40 30 50 60 50
La tabla de costos, demandas y ofertas queda de la siguiente manera:
CLIENTES OFERTA
1 2 3 4 5
FÁBRICAS A 21 12 28 17 9 50
B 15 13 20 40 12 60
C 18 17 22 10 8 40
D 40 2 10 5 40 70
F 33 29 35 27 23 30
DEMANDA 40 30 50 60 50
El problema se resuelve sin ninguna dificultad como los ejercicios anteriores.
Recuerda:
No existen costos de envío en tres casilleros, este será llenado con el
costo más alto de la matriz aproximando su valor, ya sea terminado en
cero o cinco; si por casualidad el costo más alto termina en uno de estos
dos dígitos, es aconsejable sumarle cinco. En este caso el costo unitario
más alto es (35), coincide con lo anteriormente estudiado, entonces
sumamos (5), quedando el costo de (40).
CAPÍTULO III Modelos de Transporte Modelos de Asignación
Roberto Valencia Página 209
3.8. MODELOS DE ASIGNACIÓN
Definición:
Hadley, (1963) nos explica que un modelo de asignación es un método que se deriva del modelo
de transporte y sirve para calcular los tiempos que se demora una persona en realizar cualquier
trabajo, para su asignación y resolución se utiliza el método HÚNGARO, en cualquier giro de
negocio será necesario repartir tareas, que para ello se debe contar con un procedimiento que
permita realizar de manera adecuada en donde se debe minimizar costos o tiempos y maximizar
ganancias.
Siguiendo el mismo orden de pensamiento Thierauf & Grosse (1977) enfatizan que, para que
este procedimiento funcione debe haber igual número de tareas que de elementos a quienes
realizar la asignación, así como contar con el costo o tiempo que tomará en la relación existente.
Características:
El problema de asignación presenta las siguientes características:
Un elemento importante para el problema de asignación es la matriz de costos, si el
número de renglones o columnas no son iguales el problema está desbalanceado y se
puede obtener una solución incorrecta, para obtener una solución correcta la matriz
debe ser cuadrada.
Si el número de agentes y tareas son iguales y el coste total de la asignación para todas
las tareas es igual a la suma de los costes de cada agente (o la suma de los costes de
cada tarea, que es lo mismo en este caso), entonces el problema es llamado problema de
asignación lineal. Normalmente, cuando hablamos de problema de asignación sin
ninguna matización adicional, nos referimos al problema de asignación lineal.
MÉTODO HÚNGARO
Este algoritmo se usa para resolver problemas de minimización, ya que es más eficaz que el
empleado para resolver el problema de transporte por el alto grado de degeneración que pueden
presentar los problemas de asignación. A continuación los pasos a seguir:
1. Se debe construir una matriz en donde las tareas estén al inicio de las filas (renglones),
y a quienes se le va asignar al inicio de las columnas. El número de filas tiene que ser
igual al número de columnas; caso contrario se procede a aumentar una fila ficticia o
columna ficticia con un valor de cero (0).
2. Para la matriz del costo original, identificar el mínimo de cada fila y restarlo de todos
los elementos de dicha fila.
3. Usando el resultado del paso anterior identificar el mínimo de cada columna y restar a
todos los elementos de la misma.
4. La asignación óptima serán aquellos ceros de la matriz resultante.
Si no es posible obtener una asignación factible se debe hacer lo siguiente:
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Roberto Valencia Página 210
a) Cubrir todos los ceros (0) en la matriz revisada de costos con el menor número
de líneas horizontales y verticales que sea posible. Cada línea horizontal debe
pasar por toda la fila y cada línea vertical debe pasar por toda la columna.
b) Localice el número menor que no esté cubierto con una línea en la matriz de
costos. Reste el valor de este número a cada elemento no cubierto con una línea,
los valores cubiertos por la las líneas quedan idénticos tal como están, excepto
las intersecciones de las dos líneas que hay que sumar dicho número.
c) Si no es posible encontrar una asignación factible regresar al paso número 2.
Hasta cuando se cumpla la siguiente igualdad:
3.8.1. PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN, MINIMIZACIÓN
190. Se desea asignar depósitos para abastecer cada una de las localidades, para ello
se dispone la siguiente tabla de distancias (km), encontrar la asignación de cada
depósito a cada localidad, utilizando el Método Húngaro (con la menor distancia
posible).
LOCALIDADES
𝑳𝟏 𝑳𝟐 𝑳𝟑 𝑳𝟒
D
E
P
Ó
S
IT
O
S
𝑫𝟏 230 200 210 240
𝑫𝟐 190 210 200 200
𝑫𝟑 200 180 240 220
𝑫𝟒 220 180 210 230
Se identifica el valor mínimo de cada fila:
LOCALIDADES
𝑳𝟏 𝑳𝟐 𝑳𝟑 𝑳𝟒
D
E
PÓ
SI
T
O
S
𝑫𝟏 230 200 210 240 200
𝑫𝟐 190 210 200 200 190
𝑫𝟑 200 180 240 220 180
𝑫𝟒 220 180 210 230 180
Se resta dicho valor para cada fila y luego se identifica el valor mínimo de cada columna:
30 0 10 40
0 20 10 10
20 0 60 40
40 0 30 50
0
0
10
10
(Número de líneas horizontales + Número de líneas verticales) = Número de filas.
Se selecciona el valor
mínimo de cada fila
Se selecciona el valor
mínimo de cada
columna.
Modelos de Asignación
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Roberto Valencia Página 211
Opción 1
Opción 2
Se trazan líneas horizontales y verticales cubriendo el mayor número de ceros con el menor
número de líneas horizontales y verticales. En donde se tiene dos opciones de trazar las líneas
por cualquiera de los dos caminos llegamos a la misma respuesta.
30 0 0 30
0 20 0 0
20 0 50 30
40 0 20 40
𝟑 𝒍í𝒏𝒆𝒂𝒔 < 𝟒 𝒇𝒊𝒍𝒂𝒔, como no se cumple la igualdad buscamos el menor valor que no estén en
las líneas (20), sumamos en las intersecciones, restamos al resto excepto a los valores que están
cubiertas por las líneas.
30 20 0 30
0 40 0 0
0 0 30 10
20 0 0 20
𝟒 = 𝟒, se cumple la igualdad por lo tanto el proceso se ha terminado y podemos hacer la
asignación. Se inicia la asignación por la fila que solo tenga un cero, en este caso (fila 1), luego
tendría que irme a la fila 4, ya que la columna 3 ya está asignada, quedando la columna 2 para
asignar, luego asignamos a la fila 3, obligatoriamente la columna 1 porque la columna 2 ya está
asignada y por último la fila 2.
TABLA FINAL DE ASIGNACIÓN
LOCALIZACIONES
𝑳𝟏 𝑳𝟐 𝑳𝟑 𝑳𝟒
D
E
PÓ
SI
T
O
S
𝑫𝟏 210
𝑫𝟐 200
𝑫𝟑 200
𝑫𝟒 180
30 0 0 30
0 20 0 0
20 0 50 30
40 0 20 40
20
Modelos de Asignación
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Roberto Valencia Página 212
Solución:
DEPÓSITOS LOCALIDADES
𝑫𝟏
→
𝐿3 (210)
𝑫𝟐
→
𝐿2 (200)
𝑫𝟑
→
𝐿1 (200)
𝑫𝟒
→
𝐿4 (180)
𝒁(𝒎𝒊𝒏) = 𝟕𝟗𝟎
30 0 0 30
0 20 0 0
20 0 50 30
40 0 20 40
3 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 < 4 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠10 0 0 10
0 40 20 0
0 0 50 10
20 0 20 20
4 = 4
TABLA FINAL DE ASIGNACIÓN
LOCALIZACIONES
𝑳𝟏 𝑳𝟐 𝑳𝟑 𝑳𝟒
D
E
PÓ
SI
T
O
S
𝑫𝟏 210
𝑫𝟐 200
𝑫𝟑 200
𝑫𝟒 180
Cálculo de la asignación mínima
Interpretación:
El Depósito 1 debe asignar a la localidad 3
= 210 Km.
El Depósito 2 debe asignar a la localidad 2
= 200 Km.
El Depósito 3 debe asignar a la localidad 1
= 200 Km.
El Depósito 4 debe asignar a la localidad 4
= 180 Km
La menor distancia de todas las
asignaciones es: 210+200+200+180 =
790Km
20
Modelos de Asignación
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Roberto Valencia Página 213
Solución:
191. Se desea asignar una de las cinco tareas a cada uno de los cinco empleados
utilizando el menor tiempo posible para finalizarlas, recordamos que el tiempo de
trabajo se traduce en dinero, pero cada uno utiliza diferentes tiempos para resolverlo,
estos tiempos se representan en la siguiente tabla, tiempo en horas.
TAREAS
𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 E
E
M
PL
E
A
D
O
S
𝟏 3 8 2 10 3
𝟐 8 7 2 9 7
𝟑 6 4 2 7 5
𝟒 8 4 2 3 5
5 9 10 6 9 10
TABLA INICIAL
TAREAS
𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 E
E
M
PL
E
A
D
O
S
𝟏 3 8 2 10 3 2
𝟐 8 7 2 9 7 2
𝟑 6 4 2 7 5 2
𝟒 8 4 2 3 5 2
5 9 10 6 9 10 6
1 6 0 8 1
6 5 0 7 5
4 2 0 5 3
6 2 0 1 3
3 4 0 3 4
1
2
0
1
1
DEPÓSITOS LOCALIDADES
𝑫𝟏
→
𝐿3 (210)
𝑫𝟐
→
𝐿2 (200)
𝑫𝟑
→
𝐿1 (200)
𝑫𝟒
→
𝐿4 (180)
𝒁(𝒎𝒊𝒏) = 𝟕𝟗𝟎
Modelos de Asignación
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Roberto Valencia Página 214
0 4 0 7 0
5 3 0 6 4
3 0 0 4 2
5 0 0 0 2
2 2 0 2 3
4 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑠 < 5
0 4 2 7 0
3 1 0 4 2
3 0 2 4 2
5 0 2 0 2
0 0 0 0 1
5 = 5
TABLA FINAL DE ASIGNACIÓN
TAREAS
𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 E
E
M
PL
E
A
D
O
S
𝟏 3
𝟐 2
𝟑 4
𝟒 3
5 9
Solución:
EMPLEADOS TAREAS
𝑬𝟏
→
𝐸 (3)
𝑬𝟐
→
𝐶 (2)
𝑬𝟑
→
𝐵 (4)
𝑬𝟒
→
𝐷 (3)
𝑬𝟓
→
𝐴 (9)
𝒁(𝒎𝒊𝒏) = 𝟐𝟏
2
Cálculo de la asignación mínima
El empleado 1, debe realizar la tarea E
= 3 horas.
El empleado 2, debe realizar la tarea C
= 2 horas.
El empleado 3, debe realizar la tarea B
= 4 horas.
El empleado 4, debe realizar la tarea
D = 3 horas.
El empleado 5, debe realizar la tarea E
= 9 horas.
La menor tiempo de todas las
asignaciones es: 3+2+4+3+9=
21horas
Modelos de Asignación
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Roberto Valencia Página 215
192. Resolver el problema de asignación de la empresa Parmalat en donde se tiene 4
jefes de proyecto disponibles asignarlos a tres clientes. Lo tiempos son estimados de la
terminación de los proyectos, están dados en días y son los siguientes.
CLIENTES
1 2 3
JE
FE
S
A 10 15 19
B 9 18 5
C 6 14 3
D 8 16 6
TABLA INICIAL
CLIENTES
1 2 3 4
JE
FE
S
A 10 15 19 0
B 9 18 5 0
C 6 14 3 0
D 8 16 6 0
6
14
3
0
4 1 16 0
3 4 2 0
0 0 0 0
2 2 3 0
2 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 < 4
3 0 15 0
2 3 1 0
0 0 0 1
1 1 2 0
3 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 < 4
3 0 15 1
1 2 0 0
0 0 0 2
0 0 1 0
4 = 4
Se aumenta una columna
ficticia, para igualar a las
filas y proceder a resolver.
1
1
Modelos de Asignación
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Roberto Valencia Página 216
TABLA FINAL DE ASIGNACIÓN
CLIENTES
1 2 3 4
JE
FE
S
A 15
B 0
C 3
D 8
Solución:
JEFES CLIENTES
A
→
𝐶2 (15)
B
→
𝐶3 (3)
C
→
𝐶𝑓 (0)
D
→
𝐶1 (8)
𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 26
193. Una empresa de transportes tiene cuatro diferentes modelos de camiones.
Dependiendo de la pericia del conductor para manejar los cambios de la caja de
velocidades, el camión consume más o menos combustible. En la actualidad, la planta
cuenta con tres conductores. Los costos por uso adicional de combustible se muestran
en la siguiente tabla:
Hallar la asignación que minimiza los costos de combustible adicional.
TABLA INICIAL
CAMIONES
1 2 3 4
C
O
N
D
U
C
T
O
R
A 180 150 200 200 𝟏𝟓𝟎
B 250 305 450 500 𝟐𝟓𝟎
C 200 208 320 100 𝟏𝟎𝟎
D
0
0
0
0
𝟎
Camión 1 Camión 2 Camión 3 Camión 4
Conductor 1 $ 180 $ 150 $ 200 $ 200
Conductor 2 $ 250 $ 305 $ 450 $ 500
Conductor 3 $ 200 $ 208 $ 320 $ 100
MUCHO OJO
Cálculo de la asignación
minimización
Para la interpretación de este
problema no tomamos en cuenta el
cliente ficticio (4) que se aumentó.
El tiempo mínimo del proyecto es:
15+3+8= 26 días
Se aumenta una fila
ficticia, para igualar a
las filas y proceder a
resolver.
Modelos de Asignación
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Roberto Valencia Página 217
30 0 50 50
0 55 200 250
100 108 220 0
0 0 0 0
4 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 = 4
TABLA FINAL DE ASIGNACIÓN
CAMIONES
1 2 3 4
C
O
N
D
U
C
T
O
R
A 150
B 250
C 100
D 0
Solución:
CONDUCTOR CAMIONES
A
→
𝐶2 (150)
B
→
𝐶1 (250)
C
→
𝐶4 (100)
D
→
𝐶𝑓 (0)
𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 500
3.8.2. PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN MAXIMIZACIÓN
Para resolver los problemas de asignación mediante maximización, se escoge el valor “mayor”
de toda la tabla. Dicho valor se resta con respecto de todos los valores, una vez obtenido los
nuevos valores de la tabla se procede a resolver con los pasos anteriormente ya estudiados.
194. La empresa Coca-Cola S.A. tiene 4 territorios de ventas, y se debe asignar un
representante de ventas a cada uno de ellos. De acuerdo a su experiencia, el gerente de
ventas de la empresa ha estimado el volumen de ventas para cada representante en cada
territorio. Encontrar las asignaciones del representante de ventas y territorios que
maximicen las ventas (los datos dados son en dólares).
Mucho Ojo
Para la interpretación de
este problema no
tomamos en cuenta el
conductor ficticio (D) que
se aumentó.
Por tal razón el costo
mínimo de trasporte es:
150+250+100 = $ 500
Modelos de Asignación
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Roberto Valencia Página 218
REPRESENTANTE DE
VENTAS
𝑨 𝑩 𝑪 𝑫
T
E
R
R
IT
O
R
IO
D
E
V
E
N
T
A
S
QUITO 44 80 52 60
GUAYAQUIL 60 56 40 72
CUENCA 36 60 48 48
AMBATO 52 76 56 40
TABLA INICIAL
REPRESENTANTE DE VENTAS
𝑨 𝑩 𝑪 𝑫
T
er
ri
to
ri
o
QUITO 36 0 28 20 0
GUAYAQUIL 20 24 40 8 8
CUENCA 44 20 32 32 20
AMBATO 28 4 24 40 4
36 0 28 20
12 16 32 0
24 0 12 12
24 0 20 36
12
0
12
0
24 0 16 20
0 16 20 0
12 0 0 12
12 0 8 36
3 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 < 4
16 0 8 12
0 24 20 0
12 8 0 12
0 0 8 28
4 = 4
TERRITORIO DE
VENTAS
REPRESENTANTE DE
VENTAS
Quito
→
𝐵 (80)
Guayaquil
→
𝐶 (48)
Cuenca
→
𝐷 (72)
Ambato
→
𝐴 (52)
𝑍(𝑚𝑎𝑥) = $ 252
El valor mayor de la tabla es
80, dicho dato restamos a
toda la tabla. Con la nueva
tabla continuamos con los
pasos anteriormente
mencionados, como el caso
de asignación minimización.
8
Maximización
Las asignaciones para que
se maximice las
ganancias son:
80+48+72+52= $252
Modelos de Asignación
CAPÍTULOIII Modelos de Transporte
Roberto Valencia Página 219
195. Una organización de recolección de café cuenta con tres equipos de siembra y
cosecha del mismo (equipo 1, 2, 3). Estos equipos de trabajo se encuentran entrenados
para laborar en condiciones particulares del proceso, condiciones como lo son el tipo de
suelo, las condiciones de clima y el tipo de grano. La organización cuenta con cuatro
terrenos disponibles para efectuar el proceso de siembra y cosecha (terrenos A, B, C,
D), estos terrenos tienen condiciones particulares de suelo, clima y tipo de grano. Cada
equipo cuenta con la capacidad de efectuar el proceso en solo uno de los terrenos
disponibles, salvo el equipo 2, que cuenta con una serie de herramientas tecnológicas
que le permiten realizar la siembra y cosecha del grano en dos de los terrenos
disponibles. Realizar las asignaciones precisas que maximicen la cantidad de sacos de
café cosechados en total. El siguiente tabulado muestra la capacidad (en cientos de
sacos) de cosecha de café de cada uno de los equipos dependiendo de cada uno de los
terrenos.
TERRENOS
A B C D
E
Q
U
IP
O
S
1 13 7 12 12
2 10 13 15 7
3 13 10 8 7
TABLA INICIAL
TERRENOS
A B C D
E
Q
U
IP
O
S
1 13 7 12 12
2a 10 13 15 7
2b 10 13 15 7
3 13 10 8 7
𝟐 𝟖 𝟑 𝟑 2
𝟓 2 0 8 0
𝟓 2 0 8 0
𝟐 5 7 8 2
PROBLEMA NO BALANCEADO:
El problema indica que uno de los equipos se encuentra en la
capacidad de que se le asigne 2 terrenos, en este caso creamos un
equipo 2 alterno (equipo 2b) el cual nos balanceará la tabla,
además la fila creada (2b) tendrá los mismos valores de la (2a)
Valor mayor
15
El valor 15 se resta a toda la tabla, luego se procede a
resolver como los problemas de asignación minimización.
Modelos de Asignación
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Roberto Valencia Página 220
0 4 1 0
5 0 0 7
5 0 0 7
2 3 7 7
3 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 < 4
0 4 1 0
5 0 0 7
5 0 0 7
0 1 5 5
4 = 4
TABLA FINAL DE ASIGNACIÓN
TERRENOS
A B C D
E
Q
U
IP
O
S
1 12
2a 13
2b 15
3 13
Solución:
EQUIPOS TERRENOS
1
→
𝐶𝐷 (12)
2ª
→
𝐶𝐵 (13)
2b
→
𝐶𝐶 (15)
3
→
𝐶𝐴 (13)
𝒁(𝒎𝒂𝒙) = 𝟓𝟑
196. Un corredor de bienes raíces, planea la venta de 5 lotes de terreno y ha recibido
ofertas individuales de cuatro clientes. Debido a la cantidad de capital que se requiere,
estas ofertas se han hecho en el entendimiento de que ninguno de los cuatro clientes
comprará más de un lote. El corredor de bienes raíces quiere maximizar su ingreso total
𝟎 𝟔 𝟏 𝟏
𝟓 2 𝟎 8
𝟓 2 𝟎 8
𝟐 5 7 8
0
2
0
1
2
Cálculo de la asignación
maximización
Las asignaciones precisas que
maximicen la cantidad de sacos
de café cosechados en total, y
considerando que el equipo 2
trabaja el doble tenemos:
12+13+15+13= 53 cientos de sacos
Modelos de Asignación
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Roberto Valencia Página 221
a partir de esas ofertas. Resuelva este problema mediante el método Húngaro. Las
ofertas se muestran en la siguiente tabla:
Nota: dichas ofertas en la tabla fueron restadas de un valor de oferta máximo.
LOTES
1 2 3 4 5
C
O
M
PR
A
D
O
R
E
S
A 16 15 25 19 20
B 19 17 24 15 25
C 15 15 18 0 16
D 19 0 15 17 18
TABLA INICIAL
LOTES
1 2 3 4 5
C
O
M
PR
A
D
O
R
E
S
A 16 15 25 19 20 15
B 19 17 24 15 25 15
C 15 15 18 0 16 0
D 19 0 15 17 18 0
FF 0 0 0 0 0 0
1 0 10 4 5
4 2 9 0 10
15 15 18 0 16
19 0 15 17 18
0 0 0 0 0
3 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 < 5
0 0 9 4 4
3 2 8 0 9
14 15 17 0 15
18 0 14 17 17
0 1 0 1 0
PROBLEMA NO BALANCEADO:
Aumentamos una fila ficticia, para igualar con
las columnas y resolver el problema.
1
3
Modelos de Asignación
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Roberto Valencia Página 222
4 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 < 5
0 3 9 7 4
0 2 5 0 6
11 15 14 0 12
15 0 11 17 14
0 4 0 4 0
4 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 < 5
0 3 5 7 0
0 2 1 0 2
11 15 10 0 8
15 0 7 17 10
4 8 0 8 0
5 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 = 5
TABLA FINAL DE ASIGNACIÓN
LOTES
1 2 3 4 5
C
O
M
PR
A
D
O
R
E
S
A 20
B 19
C 0
D 0
FF 0
Solución:
COMPRADORES LOTES
A
→
5 (20)
B
→
1 (19)
C
→
4 (0)
D
→
2 (0)
FF
→
3 (0)
𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 39
4
Se creó un comprador ficticio por lo
que no se toma en cuenta para el
análisis.
El corredor de bienes raíces para
maximizar su ingreso total a partir de
esas ofertas es:
20+19 = 39 unidades monetarias
Cálculo de la asignación maximización
Modelos de Asignación
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 223
3.9. PROBLEMAS PROPUESTOS DE TRANSPORTE
3.9.1. PROBLEMAS BALANCEADOS
197. Tres refinerías con capacidades diarias máximas de 6, 5 y 8 millones de galones
de gasolina reparten a tres áreas de distribución con demandas diarias de 4, 8 y 7
millones de galones del combustible. La gasolina se transporta a las tres áreas de
distribución a través de una red de tubería. El costo de transporte se calcula con base a
la longitud de la tubería aproximadamente a 1 centavo por 100 galones por milla
recorrida. La tabla de distancia que aquí se resume muestra que la refinería 1 no está
conectada al área de distribución 3. Calcular el costo mínimo de envío.
Área Dist. 1 Área Dist. 2 Área Dist.3
Refinería 1 120 180 -
Refinería 2 300 100 80
Refinería 3 200 250 120
198. Una compañía tiene tres plantas que fabrican carriolas de bebé que deben
mandarse a cuatro centros de distribución. Las plantas 1, 2 y 3 producen 12, 17 y 11
cargas mensuales, respectivamente. Cada centro de distribución necesita recibir 10
cargas al mes. La distancia desde cada planta a los respectivos centros de distribución es
la siguiente. Calcular el costo mínimo de envío.
Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4
Proveedor 1 800 1300 400 700
Proveedor 2 1100 1400 600 1000
Proveedor 3 600 1200 800 900
199. Suponga que Inglaterra, Francia y España producen todo el trigo, cebada y
avena en el mundo. La demanda mundial de trigo requiere que se dediquen 125
millones de acres a la producción de este cereal. De igual manera, se necesitan 60
millones de acres para cebada y 75 millones de acres para avena. La cantidad total de
tierra disponible en Inglaterra, Francia y España es 70, 110 y 80 millones de acres. El
número de horas de mano de obra necesarias para producir un acre de trigo, en los
respectivos países, es 18, 13 y 16 horas. La producción de un acre de cebada requiere
15, 12 y 12 horas de mano de obra y la producción de un acre de avena requiere 12, 10
y 16 horas de mano de obra en Inglaterra, Francia y España. El costo de mano de obra
por hora en cada país es: $ 9.00, $ 7.20 y $ 9.90 para la producción de trigo, $ 8.10, $
9.00 y $ 8.40 para la de cebada y $ 6.90, $ 7.50 y $ 6.30 para la de avena. El problema
es asignar la tierra en cada país de manera que se cumpla con los requerimientos de
alimentación en el mundo y se minimice el costo total de mano de obra.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 224
Cebada Trigo Avena
Inglaterra 15x8.10 18x9.00 12x6.90
Francia 12x9.00 13x7.20 10x7.50
España 12x8.40 16x9.90 16x6.30
200. Una empresa que fabrica un solo producto tiene tres plantas y cuatro clientes.
Las plantas respectivas podrán producir 60, 80 y 40 unidades, durante el siguienteperíodo. La empresa se ha comprometido a vender 40 unidades al cliente 1, 60 unidades
al cliente 2 y por lo menos 20 unidades al cliente 3. Tanto el cliente 3 como el 4 desean
comprar tantas unidades como sea posible de las restantes. La utilidad neta asociada con
el envío de una utilidad de la planta i al cliente j está dada en la tabla:
Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4
Planta 1 $800 $700 $500 $200
Planta 2 $500 $200 $100 $300
Planta 3 $600 $400 $300 $500
El gerente desea saber cuántas unidades debe vender a los clientes 3 y 4, y cuantas
unidades conviene mandar de cada planta a cada cliente, para minimizar los costos.
201. Los Cost-Less Corp. surte sus cuatro tiendas desde sus cuatro plantas. El
costo de envío de cada planta a cada tienda se da en la siguiente tabla:
Tienda 1 Tienda 2 Tienda 3 Tienda 4
Planta 1 $500 $600 $400 $200
Planta 2 $200 $900 $100 $300
Planta 3 $300 $400 $200 $100
Planta 4 $200 $100 $300 $200
Las plantas respectivas 1, 2, 3 y 4 realizan 10, 20, 20 y 10 envíos al mes. Las tiendas 1,
2, 3 y 4 deben recibir 20, 10 10 y 20 envíos por mes. El gerente de distribución, desea
determinar el mejor plan de cuántos envíos mandar de cada planta a cada tienda cada
mes. El objetivo del gerente es minimizar el costo total de envío. Utilizar el método de
esquina noroeste.
202. Uno de los productos más importantes de la PT Company son los frijoles
enlatados. Los frijoles se preparan en tres enlatadoras y después se mandan por camión
a cuatro almacenes de distribución en el Oeste de USA. Debido a que los costos de
embarque constituyen un gasto importante, la gerencia ha iniciado un estudio para
reducirlos lo más que se pueda. Se ha hecho una estimación de la producción de cada
enlatadora para la próxima temporada y se ha asignado a cada almacén una cierta
cantidad de la producción total de frijoles. En la tabla que se muestra a continuación se
observa esta información (en unidades de carga camión), junto con el costo de
transporte por camión cargado para cada combinación de enlatadora-almacén. Como se
ve, hay un total de 300 cargas de camión que se deben transportar. El problema es
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 225
determinar el plan de asignación de estos embarques a las distintas combinaciones de
enlatadora-almacén. Minimice el costo total de transporte.
Almacén Producción
1 2 3 4
Enlatadora
1 464 513 654 867 75
2 352 416 690 791 125
3 995 682 388 685 100
Asignación 80 65 70 85
203. Una cadena de cinco (5) almacenes, ubicados en diferentes partes del país,
requiere cierta mercancía para cada uno de sus almacenes. Las Empresas abastecedoras
han informado que disponen de la mercancía solicitada, pero en tres (3) diferentes
fábricas. La escasez del producto hace que la cadena de almacenes deba transportar la
mercancía: En base a los costos del transporte por unidad, a los requerimientos de los
almacenes y a la disponibilidad de las fábricas, que se muestra en el siguiente cuadro;
formule el problema de programación lineal que minimice los costos totales del
transporte y resuélvalo.
Almacén Disponibilidad
1 2 3 4
5
Fábricas
1 10 20 40 30 50 1000
2 20 30 50 40 10 1000
3 30 40 10 50 20 1500
Requerimientos 1000 800 600 800 300
204. Una compañía tiene un programa de embarque. La empresa tiene 3 fábricas y 4
bodegas. A continuación se dan los datos necesarios en términos de costo del transporte,
capacidad de cada fábrica y los requerimientos de cada bodega. Busque un programa
óptimo de embarque de tal manera que los costos sean mínimos.
Bodegas Disponibilidad
1 2 3 4
Fábricas
A 10 16 14 12 1600
B 8 14 16 14 1200
C 16 8 12 12 600
Requerimientos 1600 400 400 1000
205. Se tiene que distribuir un producto desde tres fábricas (A, B, C) hasta cinco
almacenes (D, E, F, G, H); la siguiente tabla muestra: costos, demandas y ofertas.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 226
Almacén Oferta
D E F G
H
Fábricas
A 42 42 44 40 44 19
B 34 42 40 46 48 28
C 46 44 42 48 46 25
Demanda 11 13 7 17 24
¿Qué cantidad de producto se debe enviar de cada fábrica a cada almacén, si se quiere
minimizar los costos?
206. Se envían automóviles en camión desde 3 centros de distribución a 5
distribuidores. El costo de envío está basado en la distancia recorrida entre las fuentes y
destinos. El costo es independiente de si el camión hace el recorrido con una carga
parcial o completa. La tabla que sigue, hace un resumen de las distancias a recorrer
entre los centros de distribución y los distribuidores y también las cifras mensuales de
oferta y demanda calculadas en número de automóviles. Cada camión puede transportar
un máximo de 18 vehículos. Dado que el costo de transporte por kilómetro recorrido es
de $10. Formule el problema como un modelo de transporte, resuélvalo e interprete la
solución.
DISTRIBUIDORES
OFERTA
1 2 3 4 5
CENTROS
DE
DISTRIBUCIÓN
1 100 150 200 140 35 400
2 50 70 60 65 80 200
3 40 90 100 150 130 150
DEMANDA 100 200 150 160 140
207. MG Auto Company tiene plantas en Los Ángeles, Detroit y Nueva Orleáns. Sus
centros de distribución principales son: Denver y Miami. Las capacidades de las plantas
durante el trimestre próximo son: 1000, 1500, y 1200 automóviles. Las demandas
trimestrales en los dos centros de distribución son de 2300 y 1400 vehículos. El costo
del transporte de un automóvil por tren es de 8 centavos por milla. El diagrama de las
distancias recorridas entre las plantas y los centros de distribución son:
Denver Miami
Los Ángeles 1000 2690
Detroit 1250 1350
Nueva Orleans 1275 850
Esto produce un costo por automóvil a razón de 8 centavos por milla recorrida. Produce
los costos siguientes (redondeados a enteros), que representan a 𝐶𝑖𝑗 del modelo original.
Denver Miami
Los Ángeles 80 215
Detroit 100 108
Nueva Orleans 102 68
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 227
Calcular el costo que minimice el transporte de los vehículos de las plantas a los centros
de distribución.
208. Una cadena de cinco (5) almacenes, ubicados en diferentes partes del país,
requiere cierta mercancía para cada uno de sus almacenes. Las empresas abastecedoras
han informado que disponen de la mercancía solicitada, pero en tres (3) diferentes
fábricas. La escasez del producto hace que la cadena de almacenes deba transportar la
mercancía. En base a los costos del transporte por unidad, a los requerimientos de los
almacenes y a la disponibilidad de las fábricas, que se muestra en el siguiente cuadro.
Formule el problema de programación lineal que minimice los costos totales del
transporte y resuélvalo.
ALMACENES
Disponibilidad
FÁBRICAS 1 2 3 4 5
1 10 20 40 30 50 1000
2 20 30 50 40 10 1000
3 30 40 10 50 20 1500
Requerimientos 1.000 800 600 800 300 3500
209. Tres tortillerías abren a las 7:00 AM y transcurrido un tiempo a las 8:00 AM ya
tienen disponibles para suministrar 50 Kg de tortillas, distribuido de la siguiente
manera: “Alexo 1” tiene 20 Kg, “Alexo 2” tiene 15 Kg y la “Alex” tiene 15. Si el dueño
de las tortillerías recibe 4 propuestas de restaurantes que quieren las tortillas a más
tardar a las 8:20, por lo cual los pedidos se ven forzados a surtir con los primeros kilos
que salen a las 8:00. Los costos de transporte y los kilos que requiere cada restaurante,
están en las siguientes tablas. Calcular el costo mínimo.
Kilos requeridos por los restaurantes
Fonda Lucia 15 Kg
Restaurante el Kiosko 20 Kg
Pozoleria Alma 20 Kg
Mariscos Murria 15 Kg
Costos de transporte en pesos
Lucia El Kiosko Alma Murria
Alexo 1 2 4 7 8
Alexo 2 6 3 2 5
Alex 2 3 12
210. La compañía Bimbo elabora un tipo de pan especial en dos de sus plantas en
Acapulco, debido a las diferencias de maquinaria y equipo en cada planta existe un
costo distinto de producción. La siguiente tabla muestra las plantas y sus tasas de
producción:
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 228
Planta
Producción
en Cajas
Costo de Producción/Caja
Planta Sabana 40 20
Planta Pie de la Cuesta 50 91
Tres Hoteles están interesados en el pan, y sus respectivos precios que desean pagar son
las siguientes:
Hotel Demanda Precios a pagar/Caja
Parador del Sol 20 30
Hotel calidad 40 25
Fiesta Americana 30 35
El costo (en pesos) de enviar una caja de pan de la planta a los diferentes hoteles es el
siguiente:
Parador del
Sol
Hotel calidad Fiesta Americana
Planta Sabana 8 4 3
Planta Pie de la Cuesta 2 6 8
Determine un programa de entregas para Bimbo, de tal manera que minimice el costo
total en este pan.
211. Una empresa de camiones envía camiones cargados de grano desde tres silos a
cuatro molinos. La oferta (en camiones cargados) y la demanda (también en camiones
cargados), junto con los costes de transporte por carga de camión en las diferentes rutas
se resumen en el modelo de transporte siguiente. Los costos de transporte por unidad,
cij, son en cientos de dólares. Encontrar su costo.
MOLINOS
(Clientes) OFERTA
C 1 C 2 C 3 C4
FU
E
N
T
E
S
(S
IL
O
S)
F 1 10 2 20 11 15
F 2 12 7 9 20 25
F3 4 14 16 18 10
DEMANDA 5 15 15 15
212. Tres centros de distribución envían automóviles a cinco distribuidores. El costo
del envío se basa en el millaje entre los puntos de origen y los puntos de destino y es
independiente si el camión hace el viaje con cargas parciales o totales. La tabla 5
resume el millaje entre los centros de distribución y los distribuidores, junto con las
cifras mensuales de oferta y demanda dadas por el número de automóviles. El costo del
transporte por milla de camión es de 25 dólares. Formule el problema de trasporte
asociado.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 229
Distribuidor
Centro
1 2 3 4 5 Oferta
1 100 150 200 140 35 400
2 50 70 60 65 80 200
3 40 90 100 150 130 150
Demanda 100 200 150 160 140
213. Tres empresas suministran ordenadores a cuatro detallistas. La cantidad de
demanda semanal de los cuatro detallistas es de 150, 150, 400 y 100 ordenadores,
respectivamente. La oferta de las tres empresas está dictada por la mano de obra regular
disponible y se calcula en 250, 300 y 250 unidades a la semana. El costo en dólares del
transporte por unidad viene detallado en la siguiente tabla. Determinar el costo mínimo
de envío.
Detallistas
Proveedores
1 2 3 4
1 10 20 30 20
2 20 40 10 20
3 10 30 50 30
214. Un fabricante de chips tiene que planificar la producción para los próximos tres
meses de tres diferentes chips (A, B, C). Los costes de producción por chip son de A, 6
céntimos en los primeros meses y de 9 céntimos en el tercero; de B, 8 los dos primeros
y 11 el último mes; y de C, 6 céntimos los dos primeros meses y 8 el ultimo. El
departamento de marketing ha llevado a cabo un estudio estimado que la demanda en
los tres meses será de 300, 400 y 500 unidades, respectivamente. La fábrica puede
producir 400 unidades de cada tipo de chip. ¿Cómo se puede optimizar la distribución
de la fabricación de los chips en estos tres meses?
215. Un fabricante de automóviles puede comprar neumáticos a tres proveedores y
su objetivo es minimizar el coste total de la compra. Los proveedores disponen, en
miles de unidades, de: 6, 2 y 2 respectivamente. El fabricante necesita neumáticos en
tres plantas de producción que requieren en miles de unidades de: 5, 3 y 2
respectivamente. El precio en cientos de euros por cada unidad entregada en cada planta
es como sigue. Encuentre la solución óptima.
LOCALIDAD
PROVEEDOR
1 2 3
1 1 8 9
2 4 2 5
3 2 3 1
216. Una empresa de componentes informáticos puede comprar discos duros a tres
proveedores y su objetivo es minimizar el coste total de la compra. Los proveedores
disponen de 1000, 3000 y 1000 discos respectivamente. La empresa necesita los discos
en tres cadenas de montaje situadas en tres localidades distintas. Dichas cadenas
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 230
requieren 1500, 1000 y 2500 discos respectivamente. Los precios, en cientos de dólares,
por cada disco entregado a cada cadena son como siguen. Calcular la solución óptima.
Cadena 1 Cadena 2 Cadena 3
Proveedor 1 4 7 2
Proveedor 2 3 5 2
Proveedor 3 9 11 10
217. Una compañía fabrica estufas y hornos. La compañía tiene tres almacenes y dos
tiendas de venta al detalle. En los tres almacenes se dispone, respectivamente, de: 60, 80
y 50 estufas, y de 80, 50 y 50 hornos. En las tiendas de detalle se requieren,
respectivamente, 100 y 90 estufas, y 60 y 120 hornos. En la siguiente tabla se dan los
costos de envío por unidad, de los almacenes a las tiendas de detalle, los cuales se
aplican tanto a estufas como a hornos.
Cadena 1 Cadena 2
Almacén 1 3 5
Almacén 2 2 3
Almacén 3 6 3
Encontrar las soluciones factibles óptimas para estos problemas de transporte.
218. Tres refinerías, con capacidades diarias de 6, 5 y 8 millones de galones,
respectivamente, abastecen a tres áreas de distribución con demandas diarias de 4, 8 y 7
millones de galones, en su orden. La gasolina se transporta a las tres áreas de
distribución a través de una red de ductos. El costo del transporte es de 10 centavos de
dólar por cada 1000 galones por milla de ducto. La tabla 3 proporciona el millaje entre
las tres refinerías y las áreas de distribución. La refinería 1 no está conectada al área de
distribución 3. Calcular el mínimo costo.
Licitador
Áreas de distribución
1 2 3
1 120 180 --
2 300 100 80
3 200 250 120
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 231
3.9.2. PROBLEMAS DESBALANCEADOS
219. Tres plantas generadoras de energía eléctrica, con capacidad de 25, 40 y 30
millones de kilowatts-hora (kw/h), suministran electricidad a tres ciudades cuyas
demandas máximas son de 30, 35 y 25 millones de kw/h. El costo en unidades
monetarias ($) de la venta de corriente eléctrica a las diferentes ciudades, por millón de
kw/h, es como sigue:
Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3
Planta 1 10 15 20
Planta 2 5 7 6
Planta 3 4 9 10
Durante el mes de agosto se incrementa un 20% la demanda en cada una de las tres ciudades.
Calcular el costo mínimo.
220. Tres huertas abastecen a cuatro detallistas con cajas de naranjas. La demanda
diaria de los cuatro es de 150, 150, 400 y 100 cajas, respectivamente. La oferta de las
tres huertas está determinada por la mano de obra regular disponible, que se estima en
150, 200 y 250 caja diarias. Sin embargo, las huertas 1 y 2 han indicado que pueden
abastecer más cajas, si es necesario, recurriendo a tiempo extra de la mano de obra. La
huerta 3 no ofrece esta opción. Los costos de transporte por caja, desde las huertas hasta
los detallistas, se ven en la tabla. Calcule el costo óptimo.
Detallista 1 Detallista 2 Detallista 3 Detallista 4
Huerta 1 1 3 3 2
Huerta 2 2 4 1 2
Huerta 3 1 3 5 3
221. La compañía Move-It tiene dos plantas que producen montacargas que se
mandan a tres centros de distribución. Los costos de producción unitarios son los
mismos para las dos plantas y los costos de transporte (en cientos de dólares) por unidad
para todas las combinaciones de planta y centro de distribución son los siguientes:
Centro de
distribución 1
Centro de
distribución 2
Centrode
distribución 3
Planta A $800 $700 $400
Planta B $600 $800 $500
Se debe producir y mandar un total de 60 unidades por semana. Cada planta puede
producir y mandar cualquier cantidad hasta un máximo de 50 unidades a la semana, de
manera que hay una gran flexibilidad para dividir la producción total entre las dos
plantas y reducir los costos de transporte. El objetivo de la gerencia es determinar
cuántos se debe producir en cada planta y después, cuál debe ser el patrón de embarque,
de manera que se minimice el costo total de transporte.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 232
222. Una contratista tiene que acarrear grava a tres construcciones. Puede comprar
hasta 18 toneladas en un foso de grava al norte de la ciudad y 14 toneladas en las
construcciones 1, 2 y 3. Necesita 10, 5 y 10 toneladas en los respectivos sitios de
construcción 1, 2 y 3. El precio de compra por tonelada en cada foso y los costos de
acarreo son los siguientes:
La contratista desea determinar cuánto acarrear de cada foso a cada construcción, de
manera que se minimice el costo total de compra y acarreo de la grava.
223. Una compañía desea saber, que política de distribución minimizará sus costos
totales; se cuenta con tres (3) fábricas y cuatro (4) clientes, la producción de las fábricas
es de 550, 300 y 260 unidades respectivamente; y las necesidades de los cuatro (4)
clientes son: 250, 300, 200 y 160 unidades en su orden .Los costos de enviar una (1)
unidad entre cada fabricante y los clientes se da a continuación. Calcular el costo
óptimo.
Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4
Fábrica A 8 3 4 5
Fábrica B 7 6 5 2
Fábrica C 2 4 3 3
224. Tres plantas generadoras de energía eléctrica, con capacidades de 25, 40 y 30
millones de kilowatts-hora (Kwh), suministran electricidad a 3 ciudades cuyas
demandas máximas son: 30, 35 y 25 millones de Kwh. El costo en unidades monetarias
(u.m.) de la venta de corriente eléctrica a las diferentes ciudades, por millón de KWH
es:
Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3
Planta 1 60 70 40
Planta 2 32 30 35
Planta 3 50 48 45
Durante el siguiente mes, se incrementa un 20% en la demanda en cada una de las tres
ciudades, para satisfacer el exceso de demanda, la compañía eléctrica debe comprar
electricidad adicional de otra red a 100 unidades monetarias por millón de KWH.
Calcular el costo óptimo.
225. Una compañía produce motores eléctricos pequeños en cada una de sus tres plantas,
para 4 fabricantes de instrumentos. Los costos de producción por unidad varían según las
ubicaciones, debido a diferencias en el equipo de producción en el rendimiento de los
Costo por tonelada acarreada
Precio por
toneladas
Foso 1 2 3
Norte $30 $60 $50 $100
Sur $60 $30 $40 $120
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 233
trabajadores. Los costos de producción por unidad y la capacidad mensual (oferta) se
presentan en la siguiente tabla.
PLANTA
Costo de producción
Por unidad
Costo de producción
mensual
A 17 800
B 20 600
C 24 700
Tabla de costos por unidad transportada.
DESDE 1 2 3 4
A 3 2 5 7
B 6 4 8 3
C 9 1 5 4
Los pedidos de los clientes que deben producirse el siguiente mes, se muestran en la tabla:
CLIENTE DEMANDA
1 300
2 500
3 400
4 600
La empresa debe decidir cuántas se producirán en cada planta y qué porción de la demanda de
cada cliente se surtirá desde cada una de ellas. Se desea minimizar la producción total y los
costos de transporte. Formule al problema como uno de transporte y resuélvalo, indicando
claramente ¿cuántas se deben enviar y producir desde cada planta a cada cliente? y ¿cuál es el
costo mínimo?
226. Una empresa tiene 3 centros de distribución: Bogotá, Barranquilla y Medellín,
con una capacidad de despacho de 9000, 11000 y 5000 unidades por semana. Los
clientes están clasificados por zonas: Occidente, Costa, Oriente y Viejo Caldas: cuyas
demandas por semana son: 6000, 5000, 8500 y 4500 unidades respectivamente. En la
siguiente tabla se muestran los costos de despachar 100 unidades desde cualquier centro
de distribución a cualquier zona:
Occidente Costa Oriente Viejo Caldas
Bogotá 420 395 400 435
Barranquilla 460 305 380 345
Medellín 300 375 455 405
¿Cuántas unidades hay que despachar desde cada centro de distribución a cada cliente,
con el fin de que los costos totales del transporte sean mínimos, y todos los clientes
queden satisfechos?
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 234
227. Tres plantas de energía eléctrica con capacidades de 25, 40 y 50 millones de
kilovatios/hora, ubicadas en Lima (Provincia Bs As), Costanera Sur, y Arroyo Seco
(Provincia de Santa Fe) deben suministrar electricidad a Junín (Provincia. Bs As),
Buenos Aires y Rosario. La demanda máxima prevista en cada ciudad; es de 30, 35 y 25
millones de kilovatios/hora, respectivamente. El costo de transporte UM (unidades
monetarias) por millón de kilovatio/hora está dado en la siguiente tabla. Minimice los
costos.
Junín Buenos Aires Rosario
Lima 600 700 700
Costanera Sur 320 300 300
Arroyo Seco 500 480 450
228. Se está presentando una crisis de salud nacional en México, una pandemia de
influenza que es un tipo de gripa está asolando al país. Dos compañías farmacéuticas
tienen inventarios de dosis de 1.1 y 0.9 millones de la vacunas contra la influenza y se
considera inminente la muerte de personas en tres ciudades, si no se envían ya las
vacunas. Debido a la gripe es más fatal para niños y adultos, serán ellos los primeros en
ser vacunados; a los demás se les vacunará, según se presenten los casos mientras duren
los suministros de la vacuna. Las cantidades de vacuna (en millones de dosis) que cada
cuidad estima poder administrar son las siguientes:
D.F Monterrey Acapulco
Ancianos y Niños 0.325 0.260 0.195
Otras Personas 0.750 0.800 0.650
Los costos de embarque (en centavos por dosis) entre las compañías farmacéuticas y las
ciudades son los siguientes:
D.F Monterrey Acapulco
Compañía 1 3 3 6
Compañía 2 1 4 7
Determine un programa de embarque de costo mínimo que provea a cada ciudad de
vacuna suficiente para atender al menos a los ancianos y niños.
229. Tres plantas de energía eléctrica, con capacidades de 25, 40 y 50 millones de
kilovatios/hora proporcionan electricidad a tres ciudades. La demanda máxima en las
tres ciudades se calcula en 30, 35 y 35 millones de kilovatios/hora. En la tabla se
proporciona el precio por millón de kilovatio/hora en las tres ciudades. Además se
conoce que hay una pérdida del 10% en la transmisión de la energía a todo lo largo de la
red. La compañía de servicios públicos quiere determinar el plan más económico para la
distribución y la compra de la energía eléctrica adicional.
CAPÍTULO III Modelos de Transporte
Problemas propuestos
Roberto Valencia Página 235
Planta
Ciudad
1 2 3
1 $600 $700 $400
2 $320 $300 $350
3 $500 $480 $450
230. La demanda de un pequeño motor especial a lo largo de los siguientes cinco
trimestres es de: 200, 150, 300, 250 y 400 unidades. El fabricante que suministra el
motor tiene diferentes capacidades de producción, calculadas en 180, 230, 430, 300 y
300 para los mismos cinco periodos. Los pedidos pendientes no están permitidos, pero
el fabricante puede utilizar horas extra de producción para satisfacer la demanda, si es
necesario. La capacidad de horas extras para cada período es igual a la mitad de la
capacidad de la producción regular. Los costos de producción por unidad para los cinco
períodos son de 100, 96, 116, 102 y 106 dólares, respectivamente. El costo de las horas
extra de producción por motor es el 50% más alto que el costoMais conteúdos dessa disciplina
O que é deficiência intelectual? Questão 8Resposta a. É a designação para problemas de visão. b. É a designação para problemas emocionais. c. É a desi- I Problema linear inteiro e problema relaxado são conceitos usados para o mesmo tipo de problema linear. PORQUE II. São definidos sempre com as m...
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b) Simulacao d...
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b) Certificar-se de qu...
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- Marketing no Setor Público
