Álgebra-Módulo 17 - Aula 30 - Sistemas Lineares

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ÁLGEBRA
Módulo 17
Aula 30: Sistemas Lineares
Sistemas Lineares
291
Álgebra
Módulo 17 (Resolução)
Receita de “bolo”
1º. Passo: Calcular o “Dêzão”
2º. Passo: Calcular o Dx e o Dy
3º. Passo: Aplicar as Fórmulas:
(Determinantes formados a partir do Dêzão
substituindo coluna x, para o Dx e coluna y,
para o Dy; pelos termos independentes)
Dx
D
x = 
Dy
D
y = 
REGRA DE CRAMER
x - 2y + 3z = 2
2x - 5y + z = -3
3x - 3y - z = 2
(Determinante formado com os coeficientes
das incógnitas.)
Sistemas Lineares
292
Álgebra
Módulo 17 (Resolução)
Receita de “bolo”
1º. Passo: Copiar a 1ª. equação.
2º. Passo: Sumir com o x da 2ª. e 3ª.
equações.
3º. Passo: Copiar a 1ª. e a 2ª.
equações.
ESCALONAMENTO
x - 2y + 3z = 2
2x - 5y + z = -3
3x - 3y - z = 2
4º. Passo: Sumir com o y da 3ª.
equação.
Sistemas Especiais
293
Álgebra
Módulo 17 (Resolução)
(ITA 2017) Considere o sistema de equações
Se (x; y; z) é uma solução real de S, então |x| + |y| + |z| é igual a
A ( ) 0. B ( ) 3. C ( ) 6. D ( ) 9. E ( ) 12.
Sistemas Especiais
294
Álgebra
Módulo 17 (Resolução)
(Fuvest) Carlos e sua irmã Andréia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram
uma velha balança com defeito que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim eles se
pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:
Carlos e o cão pesam juntos 87 kg;
Carlos e Andréia pesam 123 kg, e
Andréia e Bidu pesam 66kg.
Podemos afirmar que
a) cada um pesa menos que 60kg.
b) dois deles pesam mais que 60kg.
c) Andréia é a mais pesada.
d) o peso de Andréia é a média aritmética dos
pesos de Carlos e Bidu.
e) Carlos é mais pesado que Andréia e Bidu juntos.
Exercícios de Aplicação
295
Álgebra
Módulo 17 1. (Fuvest) Um caminhão transporta maçãs, peras e laranjas, num total de 10.000 frutas. As
frutas estão condicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo de fruta), sendo que
cada caixa de maçãs, peras e laranjas tem, respectivamente, 50 maçãs, 60 peras e 100
laranjas e custam, respectivamente, 20, 40 e 10 reais. Se a carga do caminhão tem 140
caixas e custa 3300 reais, calcule quantas maçãs, peras e laranjas estão sendo
transportadas.
Exercícios de Aplicação
296
Álgebra
Módulo 17 2. (Unicamp) Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha-de-caju e
castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$ 5,00, o quilo da castanha-de-
caju, R$ 20,00 e o quilo da castanha-do-pará, R$ 16,00. Cada lata deve conter meio quilo da
mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$ 5,75. Além disso, a
quantidade de castanha-de-caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras
duas.
a) Escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima.
b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata.
Classificações de Sistemas Lineares
297
Álgebra
Módulo 17
x + 2y = 7
x + y = 5
I)
x + 2y = 7
3x + 6y = 21
II)
x + 2y = 7
2x + 4y = 10
III)
Discussão de Sistemas
298
Álgebra
Módulo 17
Exemplo: Considere o sistema linear nas incógnitas x e y:
a) Para que valores de a e b o sistema é determinado? 
Indeterminado? Impossível?
b) Resolva o sistema para a = 2 e b = 6.
Receita de “bolo”
1º. Passo: Calcular o Dêzão.
2º. Passo: Igualar o Dêzão a zero.
3º. Passo: Substituir o valor encontrado
no sistema.
4º. Passo: Verificar o sistema:
✓ Equações Incompatíveis: S.I.
✓ Equações Equivalentes: S.P.I.
5º. Passo: Escrever uma conclusão.
Obs.: Caso o sistema seja 3e3i será necessário
escalonar o sistema após o 3º. passo.



=+
=+
b4y2x
3ayx
Exercícios de Aplicação
299
Álgebra
Módulo 17
3. (Unioeste-PR) A respeito do sistema de equações abaixo, é correto afirmar que:
01. para k = 3, o sistema é impossível.
02. para k = 6, o sistema é indeterminado.
04. para k = 4, o sistema possui uma única solução.
08. para todo número real k, o sistema é possível e determinado.
16. não existe número real k tal que (3, 1) seja solução do sistema.
32. para k = 6, (1,1) é a única solução do sistema.
Some os números dos itens corretos.
x + y = 2
3x + 3y = k
Exercícios de Aplicação
300
Álgebra
Módulo 17
4. (Fuvest) O sistema linear:
x + y - 2z = 0
x + y + z = 1
x - y - z = 3
não admite solução se α for igual a:
a) 0 
b) 1 
c) –1
d) 2
e) –2
Exercícios de Aplicação
301
Álgebra
Módulo 17
5. (UFMG) Determine os valores de a e b para que o sistema
x + 2y - 2z = 0
2x + y + z = b
x + ay + z = 0
a) tenha solução única;
b) tenha infinitas soluções;
c) não tenha soluções.
Sistema Linear e Homogêneo (S.L.H.)
302
Álgebra
Módulo 17
Exemplo: Considere o sistema de equações lineares:





=++−
=−−
=++
0
0
0
z3y2x
z2yx2
zyx
Então, pode-se afirmar que o sistema é:
a) Impossível.
b) possível e determinado.
c) possível e indeterminado.
d) sistema não linear.
e) sistema não homogêneo.
Características
✓ Termos independentes iguais a zero
✓ Sempre admite solução, a chamada:
SOLUÇÃO TRIVIAL: S = {(0; 0; 0)}
✓ Por conta disso, jamais será S.I.
✓ Portanto:
D = 0  S.P.I.
D ≠ 0  S.P.D.
Sistema Linear e Homogêneo (S.L.H.)
303
Álgebra
Módulo 17
(Fatec-SP)
Exercícios de Aprofundamento
304
Álgebra
Módulo 17
1. (AFA) A solução do sistema
x y x y x y x y
1
2 6 18 54
3x y 2
− − − −
− + − + = −

 − = −
é tal que x + y é igual a 
Exercícios de Aprofundamento
305
Álgebra
Módulo 17
2. (Unicamp) Sabendo que m é um número real, considere o sistema linear nas
variáveis x, y e z:
a) Seja A a matriz dos coeficientes desse sistema. Determine os valores de m para os quais a soma
dos quadrados dos elementos da matriz A é igual à soma dos elementos da matriz A2 = A  A.
b) Para m = 2, encontre a solução do sistema linear para a qual o produto xyz é mínimo.
mx 2z 4,
x y z 3,
2x mz 4.
+ =

− + =
 + =