Exercícios_Aprofundados_Operações_com_Arcos,_Funções_e_Equações

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OPERAÇÕES COM ARCOS, FUNÇÕES 
E EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
4. (UEM 2017) Assinale o que for correto. 
01) 𝑐𝑜𝑠   140° + 𝑐𝑜𝑠   100° + 𝑐𝑜𝑠   20° = 0. 
02) 𝑓 𝑥 = 2  𝑠𝑒𝑛 2𝑥 é uma função de 
período 4π.
04) 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 
𝜋
4
= 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 
2
2
. 
08) sen 250° < cos  330° < tg 30°. 
16) A equação 3 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 4 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1 = 0
não tem solução real. 
 
5. (UFSC 2018) É correto afirmar que: 
01) A função 𝑓:ℝ→ℝ definida por
𝑓(𝑥 )= 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⋅𝑐𝑜𝑠 𝑥 é ímpar e de período 
fundamental 2π. 
02) A equação 𝑐𝑜𝑠
3𝜋
2
− 𝑥 = − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 é 
satisfeita para todo 𝑥 ∈ ℝ.
04) Seja 𝑓: − 
𝜋
2
, 
𝜋
2
→ ℝ definida por 
𝑓(𝑥 ) = cos 𝑥 (2𝑥 ). A função é crescente no 
intervalo �− 
𝜋
2
, 0�, decrescente em �0,
𝜋
2
� e 
não possui raízes reais. 
08) Numa progressão aritmética 
𝑎12 + 𝑎21 = 302 e 𝑎23 + 𝑎46 = 446, então o 
terceiro termo dessa sequência é 97. 
16) Se cossec 𝑥 = 2 e 0 < 𝑥 <
𝜋
2
, então tg 𝑥 
é um número irracional. 
32) Se 𝑓: ℝ → 𝐴 é sobrejetora e definida 
por 𝑓(𝑥 ) = a + b sen 𝑥 com a, b ∈ ℝ, tais que 
a > b > 0, então A = [0, a + b]. 
 
1. (UEM 2017) Assinale o que for correto. 
01) Para todo 𝑥 real, temos 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥 2 = 1.
02) Um ângulo de π radianos e um ângulo 
de 360° têm a mesma medida. 
04) A área do setor circular determinado 
por um ângulo central de 30° em uma 
circunferência de raio 2 cm é igual a π cm2. 
08) Se em dois triângulos retângulos 
as hipotenusas têm a mesma medida e 
se um cateto de um deles tem o mesmo 
comprimento de um cateto do outro, então 
esses triângulos são congruentes. 
16) O valor do seno de qualquer ângulo 
obtuso é um número real negativo. 
 
2. (UEPG 2017) Considere as expressões 
𝐴 = 𝑠𝑒𝑛( 𝜋 + 𝑥 ) ⋅ 𝑐𝑜𝑠( 𝜋 + 𝑥 ) e 
𝐵 = 𝑠𝑒𝑐(2𝜋 − 𝑥 ) ⋅ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 , sendo 𝑥 um 
número real em que as expressões são 
definidas. Nesse contexto, assinale o que 
for correto. 
01) Se 𝑥 =
5𝜋
3
, então A ⋅ B > 0 
02) Se 𝑥 =
𝜋
6
, então B2 = 4
04) A ⋅ B = cos 𝑥 
08) B = sec 𝑥 
16) A = sen 2𝑥 
 
3. (ITA 2019) Determine todas as soluções 
da equação 𝑠𝑒𝑛6 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠6   𝑥 =
7
12
. 
2
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as 6. (UEM 2018) Sobre trigonometria, 
assinale o que for correto. 
01) Se um mastro de navio está preso 
no seu topo, por um cabo de 10 m de 
comprimento, ao convés, a uma distância 
de 5 m, então o ângulo do cabo com o 
convés é de 60°. 
02) (1 + 𝑡𝑔( 𝑥 ))(1 − 𝑡𝑔( 𝑥 )) = ( 2 − 𝑠𝑒𝑐( 𝑥 ))( 2 + 𝑠𝑒𝑐( 𝑥 )), 
para todo 𝑥 nos domínios das funções. 
04) A função 𝑓(𝑥 ) = 3 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥 )+2 𝑐𝑜𝑠2 (𝑥 )
é crescente no intervalo �0,
𝜋
2
�. 
08) A solução da equação
3 𝑐𝑜𝑠2 (2𝑥 ) 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 ) + 3 𝑠𝑒𝑛3 (2𝑥 ) = 3 é 
𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 =
𝜋
4
+ 𝑘𝜋,  𝑘 ∈ ℤ .
16) Em uma pequena cidade há um 
aeroporto com uma pista de 1 km, ao 
final da qual há um prédio de 30 m de 
altura. Um monomotor precisa de 650 m 
para ganhar velocidade a fim de decolar, 
e a altura de segurança entre o avião e o 
prédio é de no mínimo 220 m. Assim, se o 
monomotor decolar a um ângulo de 30°, 
ele estará seguro. 
 
7. (UEPG 2018) Dadas as funções
𝑓(𝑥 ) = 3𝑠𝑒𝑛(𝑥 ) e 𝑔(𝑥 ) = 3𝑐𝑜𝑠(𝑥 ), assinale o que 
for correto. 
01) A imagem da função 𝑓(𝑥 ) é o intervalo 
1
3
, 3 .
02) A imagem da função 𝑔(𝑥 ) é o intervalo 
[0, 3]. 
04) 𝑓
𝜋
4
> 𝑔
𝜋
3
.
08) 𝑓 − 
1 3𝜋
6
< 𝑔
1 9𝜋
3
.
16) Os períodos das funções 𝑓(𝑥 ) e 𝑔(𝑥 ) 
são iguais. 
 
8. (UEPG 2018) Assinale o que for correto. 
01) Se um ângulo tem medida de 2,5 
radianos, então ele é obtuso. 
02) Se 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥 ) = 0,3 então a 𝑡𝑔2 (𝑥 ) =
7
1 3
. 
04) Se
𝑦 = 2 𝑐𝑜𝑠  
26𝜋
3
+ 𝑠𝑒𝑛  − 
39𝜋
4
+ 𝑡𝑔  − 
29𝜋
6
− 3, 
então 𝑦 = − 
2 3
3
.
08) Para todo 𝑥 ∈ 0, 
𝜋
2
 e 𝑥 ≠
𝜋
4
 temos 
que 
1
𝑐𝑜𝑠2   𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 2
− 
4 𝑡𝑔2 𝑥 
1 − 𝑡𝑔2 𝑥 2
= 1.
16) Se 𝑥 ∈ 𝜋,  5𝜋
4
 então 
𝑐𝑜𝑠(𝑥 ) > 𝑡𝑔(𝑥 ) > 𝑠𝑒𝑛(𝑥 ).
 
9. (UEPG 2018) Considerando a função 
real definida por 𝑓(𝑥 ) = 𝑎 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛 (2𝑏𝑥 ), 
onde 𝑎 e 𝑏 são números reais não nulos, 
assinale o que for correto. 
01) Se 𝑎 = 2 e 𝑏 = 1 , 𝑓(𝑥 ) tem período 2π 
e imagem [1 ,3]. 
02) Se 𝑓(𝑥 ) tem período 
𝜋
3
 e imagem 
[− 4,2] então 𝑎 = − 1 e 𝑏 pode assumir dois 
valores. 
04) Se 𝑎 = 1 , a imagem de 𝑓(𝑥 ) é o intervalo 
[− 1 ,3], somente no caso do 𝑏 = 2.
08) Se 𝑏 = 2, 𝑓(𝑥 ) tem período 0 < 𝑥 <
𝜋
2
, 
independente do valor de 𝑎. 
16) Se 𝑏 = 2, qualquer que seja o valor de 
𝑎, o gráfico de 𝑓(𝑥 ) sempre intercepta o 
eixo 𝑥 .
10. (UFPR 2018) Faça o que se pede.
a) Seja 𝛼 ∈ 0,  
𝜋
2
. Sabendo que 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 0,6, 
calcule 𝑐𝑜𝑠𝛼 e o determinante da matriz 
𝐴 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 41 3 .
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asb) Encontre todos os valores de 𝜃 ∈ ℝ para 
os quais a matriz 𝐵 =
𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠 𝑒𝑛𝜃 0
1 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠 𝑒𝑛𝜃 
1 2 1
 
tem determinante 𝑑𝑒𝑡(𝐵) = 1 .
 
11. (UFSC 2019) O dólar americano (US$) 
é moeda bastante usada em transações 
financeiras internacionais, mas, em 
decorrência de vários fatores, o seu preço 
pode variar bastante. Em um dia de forte 
variação, o preço, em reais, de venda e de 
compra de um dólar americano 
comercializado no Brasil foi descrito, 
respectivamente, pelas funções 
𝑉(𝑡) = 3,8 + 0,4 𝑠𝑒𝑛 
𝜋
4
𝑡 e 
𝐶(𝑡) = 3,5 + 0,5 𝑠𝑒𝑛 
𝜋
4
𝑡 , nas quais 𝑡
representa o tempo medido, em horas, 
sendo que 𝑡 ∈ ℝ e 8 ≤ 𝑡 ≤ 1 7. 
01) Os valores máximo e mínimo do 
preço do dólar para venda foram de, 
respectivamente, R$3,80 e R$0,40.
02) Apenas para 𝑡 = 1 3ℎ, o preço de 
compra do dólar foi de R$3,30.
04) Uma pessoa que comprou US$ 130,00 
quando 𝑡 = 8ℎ e vendeu essa quantia 
quando 𝑡 = 1 4ℎ perdeu R$13,00. Contudo, 
se a venda fosse feita quando 𝑡 = 1 6ℎ, 
obteria um lucro de R$39,00. 
08) Usando cartão de crédito, uma pessoa 
comprou um produto em um site americano 
ao preço de US$50,00. Considerando que 
a cobrança da fatura do cartão de crédito 
ocorre segundo o preço de compra sempre 
às 1 7ℎ, então o produto custou mais do 
que R$175,00.
16) Para cada 𝑡 pertencente ao intervalo 
{𝑡 ∈ ℝ;  12 < 𝑡 < 16}, a diferença entre o 
preço de venda e o preço de compra foi 
maior que US$0,30.
12. (ITA 2019) Sejam 𝐴,  𝐵,  𝐶 os vértices 
de um triângulo. Determine 𝑠𝑒𝑛 𝐵� , sabendo 
que 𝑠𝑒𝑛 (�̂� + 𝐵�) =
4
5
= 𝑠𝑒𝑛 (�̂� − 𝐶). 
 
13. (UEPG 2016) Em relação às funções 
𝑓(𝑥 ) = 32𝑥 − 1 + 2 e 𝑔(𝑥 ) = 4 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 
𝜋
2
− 1, 
assinale o que for correto. 
01) 𝑓
1
2
+ 𝑔
𝜋
2
= 6. 
02) 𝑓(0)+𝑔(0)<0. 
04) 𝑓 𝑔
𝜋
6
= 5.
08) 𝑔(𝑥 + 𝜋) = − 4𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1 . 
16) A imagem de 𝑔(𝑥 ) é [-5, 3].
 
14. (UEM 2016) Usando conhecimentos 
sobre trigonometria, assinale o que for 
correto. 
01) Num triângulo isósceles, a base mede 
10 e os ângulos da base medem, cada um 
deles, 
𝜋
4
. Portanto o perímetro desse 
triângulo é 10 + 10 2. 
02) Vale a igualdade 𝑠𝑒𝑛
𝜋
6
+
𝜋
3
=
2
2
. 
04) Se 𝑦 =
𝑐𝑜𝑡 𝑔 3𝜋2 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐
3𝜋
2
𝑠𝑒𝑛 3𝜋2
 e 
𝑐𝑜𝑠
3𝜋
2
= 0, então 𝑦 = 1 .
08) Se 𝑡𝑔𝑥 = 𝑎 e 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 = 𝑏, então 𝑎 · 𝑏 = 1 .
16) Supondo que 𝑠𝑒𝑛𝑥 =
3
4
 e 𝑡𝑔𝑥 =
1
2
, 
então 𝑠𝑒𝑐 𝑥 =
1
4
.
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as 15. (UEPG 2016) Considerando
𝑓(𝑥 ) = 2 + 3𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 ) e 𝑔(𝑥 ) = 2 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 ) − 2, 
assinale o que for correto. 
01) A interseção entre as imagens de 𝑓(𝑥 ) 
e 𝑔(𝑥 ) é o intervalo [− 1 ,0].
02) 𝑓(𝑥 ) + 𝑔(𝑥 ) = 2 𝑐𝑜𝑠(𝑥 ) [1 + 3 𝑠𝑒𝑛(𝑥 )]. 
04) 
𝑓(𝜋)
𝑔(𝜋)
=
1
2
08) O período de 𝑓(𝑥 ) é 2𝜋.
16) A união entre as imagens das funções 
𝑓(𝑥 ) e 𝑔(𝑥 ) é o intervalo(− 4,5). 
16. (IME 2016) Determine o conjunto 
solução da equação:
(𝑠𝑒𝑛 𝑥 ) 1 + 𝑡𝑔 𝑥  𝑡𝑔
𝑥 
2
= 4 − 𝑐𝑜𝑡 𝑔  𝑥 
17. (ITA 2019) Sejam 𝑎, 𝑏 e 𝑐 três números 
reais em progressão aritmética crescente, 
satisfazendo
𝑐𝑜𝑠  𝑎 + 𝑐𝑜𝑠  𝑏 + 𝑐𝑜𝑠  𝑐 = 0 e
𝑠𝑒𝑛 𝑎 + 𝑠𝑒𝑛 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛 𝑐 = 0.
Encontre a menor razão possível para essa 
progressão aritmética. 
 18. (IME 2017) Se 
𝑐𝑜𝑠 𝑥 
𝑐𝑜𝑠 𝑦 
+
𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑠𝑒𝑛 𝑦 
= − 1, 
calcule o valor de S.
𝑆 =
3 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑐𝑜𝑠 3 𝑦 
𝑐𝑜𝑠 𝑥 
+
3 𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 3𝑦 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 
19. (IME 2019) Determine todas as 
soluções da equação
4  𝑠𝑒𝑛2   (7𝑥 ) ⋅ 𝑐𝑜𝑠   (2𝑥 ) + 2 𝑠𝑒𝑛   (9𝑥 ) + 8  𝑠𝑒𝑛2   (𝑥 )
+ 5  𝑐𝑜𝑠   (2𝑥 ) + 2 𝑠𝑒𝑛   (5𝑥 ) = 4
no intervalo 
3𝜋
2
,  2𝜋 .
20. (IME 2012) O valor de
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 70° 𝑐𝑜𝑠 50° + 𝑠𝑒𝑛 260° 𝑐𝑜𝑠 280° é: 
a) 3
b) 
3
2
 
c) 
3
3
 
d) 
3
4
e) 
3
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ANOTAÇÕES
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asGABARITO
1: 08.
[01] FALSO. Para todo 𝑥 real, temos
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1 .
[02] FALSO. Um ângulo de 𝜋 radianos e 
um ângulo de 180° têm a mesma medida. 
[04] FALSO. Calculando:
360°
30°
= 12
𝑆 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 =
𝜋 ⋅ 22
12
=
4𝜋
12
=
𝜋
3
 𝑐𝑚2
[08] VERDADEIRO. Se eles possuem duas 
medidas iguais, então serão congruentes.
[16] FALSO. No segundo quadrante 
teremos ângulos obtusos com seno 
positivo 
2: 01 + 02 + 04 = 07.
Tem-se que
𝐴 = 𝑠𝑒𝑛( 𝜋 + 𝑥 ) ⋅ 𝑐𝑜𝑠( 𝜋 + 𝑥 )
= (− 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ) ⋅ (− 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ) =
1
2
⋅ 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 
e
𝐵 = 𝑠𝑒𝑐( 2𝜋 − 𝑥 ) ⋅ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 
= 𝑠𝑒𝑐 𝑥 ⋅ 𝑐𝑜 𝑡𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 .
[01] Verdadeira. De fato, pois
> 0.
[02] Verdadeira. Com efeito, pois
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2
𝜋
6
=
1
1
4
= 4.
[04] Verdadeira. De fato, conforme [01].
[08] Falsa. Na verdade, temos 𝐵 = cossec 𝑥 .
[16] Falsa. Mostramos que 𝐴 =
1
2
⋅ 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 . 
3:
De (𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 )3 = 1 3,
𝑠𝑒𝑛6𝑥 + 3 𝑠𝑒𝑛2𝑥 2 ⋅ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 + 3𝑠𝑒𝑛2𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 2
+ 𝑐𝑜𝑠6 𝑥 = 1
Como 𝑠𝑒𝑛6𝑥 + 𝑐𝑜𝑠6 𝑥 =
7
12
,
7
12
+ 3𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 ⋅ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1
3𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 =
5
12
𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 =
5
36
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 =
5
36
2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
2
2
=
5
36
𝑠𝑒𝑛2𝑥 2
4
=
5
36
𝑠𝑒𝑛2𝑥 = ±
5
3
2𝑥 = 𝑎𝑟 𝑐𝑠𝑒𝑛 ±
5
3
+ 𝑘𝜋,  𝑘 ∈ ℤ
𝑥 =
1
2
𝑎𝑟 𝑐𝑠𝑒𝑛 ±
5
3
+
𝑘𝜋
2
,  𝑘 ∈ ℤ
Resposta: 𝑥 =
1
2
𝑎𝑟 𝑐𝑠𝑒𝑛 ±
5
3
+
𝑘𝜋
2
,  𝑘 ∈ ℤ.
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as 4: 01.
[01] Verdadeira. Com efeito, pois
𝑐𝑜𝑠1 40° + 𝑐𝑜𝑠1 00° + 𝑐𝑜𝑠20° = − 𝑐𝑜𝑠40° − 𝑐𝑜𝑠80° + 𝑐𝑜𝑠20°
= − 𝑐𝑜𝑠80° + 𝑐𝑜𝑠40° + 𝑐𝑜𝑠20°
= − 2𝑐𝑜𝑠60°𝑐𝑜𝑠20° + 𝑐𝑜𝑠20°
= − 𝑐𝑜𝑠20° + 𝑐𝑜𝑠20°
= 0.
[02] Falsa. Na verdade, o período de 𝑓 é 
2𝜋
|2|
= 𝜋.
[04] Falsa. Se 𝑥 =
3𝜋
2
𝑟 𝑎𝑑, então
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 
𝜋
4
= 2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 
2
2
𝑠𝑒𝑛 3𝜋 − 
𝜋
4
= 2𝑠𝑒𝑛
3𝜋
2
− 
2
2
𝑠𝑒𝑛
3𝜋
4
= − 2 − 
2
2
Absurdo.
[08] Falsa. Tem-se que
𝑐𝑜𝑠 330° = 𝑐𝑜𝑠 30° =
3
2
>
3
3
= 𝑡𝑔 30° .
[16] Falsa. Sabendo que 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 = 1 
para todo 𝛼 real, temos
3 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 4 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1 = 0 ⇔ 3(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 ) − 4 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1 = 0
⇔ 3 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 4 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 4 = 0
⇒ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 23 .
Portanto, a equação possui solução real e 
a afirmação é falsa. 
5: 02 + 08 + 16 = 26.
[01] De 𝑓(𝑥 ) = 2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 ,
𝑓(𝑥 ) = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
Sendo P o período de 𝑓,
𝑃 =
2𝜋
2
= 𝜋
Portanto, a afirmação [01] é falsa.
[02] De 𝑐𝑜𝑠
3𝜋
2
− 𝑥 = − 𝑠𝑒𝑛𝑥 ,
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
− 
3𝜋
2
+ 𝑥 = − 𝑠𝑒𝑛𝑥 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝜋 = − 𝑠𝑒𝑛𝑥 
𝑠𝑒𝑛 − 𝜋 − 𝑥 = − 𝑠𝑒𝑛𝑥 
− 𝑠𝑒𝑛 𝜋 − 𝑥 = − 𝑠𝑒𝑛𝑥 
− 𝑠𝑒𝑛𝑥 = − 𝑠𝑒𝑛𝑥 
Portanto, a afirmação [02] é verdadeira.
[04] De 𝑓: − 
𝜋
2
,
𝜋
2
→ ℝ, 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 2𝑥 ,
𝑓 𝑥 = 0 ⇔ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 2𝑥 = 0
De 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 2𝑥 = 0,
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 ou 2𝑥 = 0
De 2𝑥 = 0,
𝑥 = 0
Como 0 ∈ − 
𝜋
2
,
𝜋
2
, a função 𝑓 apresenta 
raiz real.
Portanto, a afirmação [04] é falsa.
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as[08] De 𝑎12 + 𝑎21 = 302,
𝑎3 + 9𝑟 + 𝑎3 + 18𝑟 = 302
2𝑎3 + 27𝑟 = 302 𝑖
De 𝑎23 + 𝑎46 = 446,
𝑎3 + 21 𝑟 + 𝑎3 + 43𝑟 = 446
2𝑎3 + 63𝑟 = 446 𝑖𝑖
Das equações (𝑖) e (𝑖𝑖).
2𝑎3 + 63𝑟 − 2𝑎3 + 27𝑟 = 446 − 302
2𝑎3 + 63𝑟 − 2𝑎3 − 27𝑟 = 144
36𝑟 = 144
𝑟 = 4
Substituindo 𝑟 = 4 na equação (𝑖),
2𝑎3 + 27 ⋅ 4 = 302
2𝑎3 + 108 = 302
2𝑎3 = 194
𝑎3 = 97
Portanto, a afirmação [08] é verdadeira.
[16] De 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 , 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 = 2 
e 0 < 𝑥 <
𝜋
2
,
1 + 𝑐𝑜𝑡g 2𝑥 = 22
cotg 2𝑥 = 3
𝑡𝑔2𝑥 =
1
3
𝑡𝑔𝑥 =
3
3
, ou seja, 𝑡𝑔𝑥 é um número 
irracional.
Portanto, a afirmação [16] é verdadeira.
[32] De 𝑓:ℝ → 𝐴, 𝑓(𝑥 ) = 𝑎 + 𝑏𝑠𝑒𝑛𝑥   (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ),
𝑓𝑚á𝑥 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 1 = 𝑎 + 𝑏
𝑓𝑚í𝑛 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ − 1 = 𝑎 − 𝑏
Como 𝑎>𝑏> 0, 𝑎 − 𝑏>0 e 𝐼𝑚𝑓 = [𝑎− 𝑏, 𝑎 +𝑏].
Como 𝑓 é sobrejetora, 𝐴 = [𝑎 − 𝑏, 𝑎 + 𝑏] e 
não 𝐴 = [0, 𝑎 + 𝑏].
Portanto, a afirmação [32] é falsa. 
6: 01 + 02 + 04 + 08 = 15.
[01] CORRETA. Se a hipotenusa é igual a 
1 0 𝑚 e o cateto menor é a metade (5 𝑚), 
então o triângulo retângulo formado será 
do tipo 30/60/90 e o ângulo em questão 
será igual a 60°.
[02] CORRETA. Calculando:
(1 + 𝑡𝑔( 𝑥 ))(1 − 𝑡𝑔( 𝑥 )) = ( 2 − 𝑠𝑒𝑐( 𝑥 ))( 2 + 𝑠𝑒𝑐( 𝑥 ))
1 − 𝑡𝑔2𝑥 = 2 − 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 ⇒ 1 − 𝑡𝑔2𝑥 = 2 − 1 + 𝑡𝑔2𝑥 
⇒ 1 − 𝑡𝑔2𝑥 = 1 − 𝑡𝑔2𝑥 
[04] CORRETA. Tanto a função seno 
quanto a função cosseno são positivas no 
intervalo 0, 
𝜋
2
.
[08] CORRETA. Calculando:
3 ⋅ 𝑐𝑜𝑠2( 2 𝑥 ) ⋅ 𝑠𝑒𝑛( 2 𝑥 ) + 3 ⋅ 𝑠𝑒𝑛3( 2 𝑥 ) = 3
3 ⋅ 𝑐𝑜𝑠2( 2 𝑥 ) ⋅ 𝑠𝑒𝑛( 2 𝑥 ) + 3 ⋅ 𝑠𝑒𝑛2( 2 𝑥 ) ⋅ 𝑠𝑒𝑛( 2 𝑥 ) = 3
3 ⋅ 𝑠𝑒𝑛( 2 𝑥 ) ⋅ 𝑐𝑜𝑠2( 2 𝑥 ) + 𝑠𝑒𝑛2( 2 𝑥 ) = 3
𝑠𝑒𝑛( 2 𝑥 ) = 1 ⇒ 𝑥 =
𝜋
4
+ 𝑘𝜋
[16] INCORRETA. Segundo os dados 
informados, o triângulo retângulo formado 
pela pista, prédio mais altura de segurança 
e rota do avião teria catetos iguais a 350 
metros (1000 metros menos 650 metros 
necessários para ganhar velocidade) e 250 
metros (30 metros do prédio mais 220 m de 
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as altura de segurança). Assim, o ângulo de 
decolagem será igual a:
𝑡𝑔 𝑥 =
250
350
=
25
35
⇒ 𝑥 ≠ 30°
7: 01 + 04 + 08 + 16 = 29.
[01] Verdadeira. De fato, como − 1 ≤ 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≤ 1 , 
segue que a imagem de 𝑓 é o intervalo 
1
3
,  3 .
[02] Falsa. Sendo − 1 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 1 , podemos 
afirmar que a imagem de 𝑔 é o intervalo 
1
3
,  3 .
[04] Verdadeira. Com efeito, pois 
𝑓
𝜋
4
= 3𝑠𝑒𝑛
𝜋
4 = 3
2
2 > 3
1
2 = 3𝑐𝑜𝑠
𝜋
3 = 𝑔
𝜋
3
. 
[08] Verdadeira. De fato, pois − 
1 3𝜋
6
≡ − 
𝜋
6
 
e 
19𝜋
3
≡
𝜋
3
 implicam em 
𝑓 − 
1 3𝜋
6
= 𝑓 − 
𝜋
6
= 3𝑠𝑒𝑛 −
𝜋
6 = 3−
1
2 < 3
1
2
= 3𝑐𝑜𝑠
𝜋
3 = 𝑔
𝜋
3
= 𝑔
19𝜋
3
.
[16] Verdadeira. Com efeito, pois as 
funções seno e cosseno têm o mesmo 
período fundamental. 
8: 01 + 02 + 04 + 08 = 15.
Analisando as alternativas uma a uma:
[01] CORRETA. Calculando:
𝑥 =
2,5 ⋅ 360
2𝜋
= 1 43,23°
 
[02] CORRETA. Calculando:
𝑐𝑜𝑠   2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
� 𝑐𝑜𝑠
2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 0,3
 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 1
⇒ 2 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1,3 ⇒ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 =
1,3
2
=
1 3
20
⇒ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 =
7
20
𝑡𝑔2𝑥 = 𝑠𝑒𝑛
2𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 =
7
20 ⋅
20
13 =
7
13
[04] CORRETA. Calculando: 
𝑦 = 2 𝑐𝑜𝑠  
26𝜋
3
+ 𝑠𝑒𝑛  − 
39𝜋
4
+ 𝑡𝑔  − 
29𝜋
6
− 3
𝑦 = 2 𝑐𝑜𝑠  
30𝜋
3
− 
4𝜋
3
+ 𝑠𝑒𝑛 
𝜋
4
− 
40𝜋
4
+ 𝑡𝑔 
𝜋
6
− 
30𝜋
6
− 3
𝑐𝑜𝑠  
30𝜋
3
− 
4𝜋
3
= 𝑐𝑜𝑠  
30𝜋
3
⋅ 𝑐𝑜𝑠  
4𝜋
3
− 𝑠𝑒𝑛 
30𝜋
3
⋅  
4𝜋
3
=
𝑐𝑜𝑠  
30𝜋
3
− 
4𝜋
3
= 𝑐𝑜𝑠   1 0𝜋 ⋅ 𝑐𝑜𝑠   240° − 𝑠𝑒𝑛1 0𝜋 ⋅  𝑠𝑒𝑛 240°
= 0 ⋅ 𝑐𝑜𝑠   240° − 0 ⋅  𝑠𝑒𝑛 240° = 0
𝑠𝑒𝑛 
𝜋
4
− 
40𝜋
4
= 𝑠𝑒𝑛 
𝜋
4
⋅ 𝑐𝑜𝑠
40𝜋
4
− 𝑠𝑒𝑛
40𝜋
4
⋅ 𝑐𝑜𝑠  
𝜋
4
𝑦 =
3
3
− 3 =
3 − 3 3
3
=
− 2 3
3
[08] CORRETA. Calculando:
1 − 𝑐𝑜𝑠2   2𝑥 
𝑐𝑜𝑠2   2𝑥 
= 𝑡𝑔22𝑥 ⇒
𝑠𝑒𝑛2 2𝑥 
𝑐𝑜𝑠2   2𝑥 
= 𝑡𝑔22𝑥 ⇒ 𝑡𝑔22𝑥 = 𝑡𝑔22𝑥 
[16] INCORRETA. Calculando:
𝑥 ∈ 𝜋,  
5𝜋
4
⇒ 𝑥 ∈ 180°,  225° 
9: 02 + 08 = 10.
Analisando as alternativas uma a uma:
[01] INCORRETA. Calculando:
𝑓 𝑥 = 2 + 𝑠𝑒𝑛  2𝑥 
𝐼𝑚 = 2 − 1 ;  2 + 1 = 1 ;  3
𝑃 =
2𝜋
2
= 𝜋
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as[02] CORRETA. Calculando:
𝑓 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛  2𝑏𝑥 
𝑃 =
2𝜋
2𝑏
=
𝜋
3
⇒ 2𝑏 = 6 ⇒ 𝑏 = 3
𝐼𝑚 ⇒ � 𝑎 + 𝑏 = 2 𝑎 − 𝑏 = − 4 ⇒ 𝑎 = − 1 ⇒ 𝑏 = ±3
[04] INCORRETA. Calculando:
𝑓 𝑥 = 1 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛  2𝑏𝑥 
𝐼𝑚 ⇒ � 1 + 𝑏 = 3 1 − 𝑏 = − 1 ⇒ 𝑏 = ±2
[08] CORRETA. Calculando:
𝑓(𝑥 ) = 𝑎 + 2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 (4𝑥 )
𝑃 =
2𝜋
4
=
𝜋
2
[16] INCORRETA. Se 𝑎 = 3 e 𝑏 = 2 o gráfico 
da função não intercepta o eixo 𝑥 . 
10:
 a) Calculando:
𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 = 1 ⇒ 0,62 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 = 1 ⇒ 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 = 1 − 0,36
⇒ 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 = 0,64 ⇒ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 0,8
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 3 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 4 ⋅ 1 ⇒ 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 3 ⋅ 0,8 − 4 ⇒ 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = − 1,6
 
b) Calculando:
𝑑𝑒𝑡( 𝐵) = 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 1
⇒ 1 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 1
− 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 0 ⇒ 𝑠𝑒𝑛𝜃 ⋅ 1 + 2 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 0
Assim:
 
11: 04 + 08 + 16 = 28.
[01] Falsa. O valor mínimo ocorre quando 
𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
𝑡 = − 1. Logo, vem
𝑉𝑚í𝑛 𝑡 = 3,8 + 0,4 � − 1 = 𝑅$3,40.
Contradição.
[02] Falsa. Tem-se que
𝐶 1 3 = 3,5 + 0,5𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
� 1 3
= 3,5 + 0,5𝑠𝑒𝑛 3𝜋 + 𝜋4
= 3,5 − 0,5 + 22
≅ 3,1 5.
[04] Verdadeira. Com efeito, pois 
𝐶(8) = 3,5 + 0,5 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
⋅ 8 = 3,5 e 
𝑉 14 = 3,8 + 0,4𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
� 14
= 3,8 + 0,4𝑠𝑒𝑛 3𝜋 + 𝜋2
= 3,8 − 0,4
= 3,4.
Logo, a perda foi de (3,5 3,4) 130 R$ 13,00.− ⋅ = 
Por outro lado, sendo 
𝑉(16) = 3,8 + 0,4 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
⋅ 16 = 3,8, o 
lucro seria de (3,8 3,5) 130 R$ 39,00.− ⋅ =
[08] Verdadeira. De fato, pois sendo
𝐶 17 = 3,5 + 0,5𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
� 17
= 3,5 + 0,5𝑠𝑒𝑛 4𝜋 + 𝜋4
= 3,5 + 0,5 � 22
≅ 3,9,
vem que o produto custou, 
aproximadamente, 50 3,9 R$ 195,00.⋅ = 
10
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as [16] Verdadeira. Tem-se que
3,8 + 0,4 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
𝑡 − 3,5 − 0,5 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
𝑡
= 0,3 − 0,1 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
𝑡 .
Daí, como
𝜋
4
𝑡 <
𝜋
4
⋅ 16 ⇔ 3𝜋 <
𝜋
4
𝑡 < 4𝜋,
podemos concluir que, para cada 𝑡 
pertencente ao intervalo {𝑡 ∈ ℝ; 1 2 < 𝑡 < 1 6}, 
a diferença entre o preço de venda e o 
preço de compra foi maior do que R$ 0,30. 
12: Do enunciado,
�̂� + 𝐵� + 𝐶 = 𝜋
�̂� + 𝐵� = 𝜋 − 𝐶
𝑠𝑒𝑛 �̂� + 𝐵� = 𝑠𝑒𝑛 𝜋 − 𝐶
4
5
= 𝑠𝑒𝑛𝐶
De �̂� + 𝐵� + 𝐶 = 𝜋,
�̂� + 𝐵� + 𝐶 − 2𝐶 = 𝜋 − 2𝐶
�̂� − 𝐶 = 𝜋 − 𝐵� − 2𝐶
�̂� − 𝐶 = 𝜋 − 𝐵� + 2𝐶
𝑠𝑒𝑛 �̂� − 𝐶 = 𝑠𝑒𝑛 𝜋 − 𝐵� + 2𝐶
𝑠𝑒𝑛 �̂� − 𝐶 = 𝑠𝑒𝑛 𝐵� + 2𝐶
4
5
= 𝑠𝑒𝑛𝐵� 𝑐𝑜𝑠 2 𝐶 + 𝑠𝑒𝑛2𝐶𝑐𝑜𝑠𝐵�
4
5
= 𝑠𝑒𝑛𝐵� ⋅ 𝑐𝑜𝑠2𝐶 − 𝑠𝑒𝑛2𝐶 + 2𝑠𝑒𝑛𝐶 𝑐𝑜𝑠𝐶 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝐵�
4
5
= 𝑠𝑒𝑛𝐵� ⋅ 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝐶 − 𝑠𝑒𝑛2𝐶 + 2𝑠𝑒𝑛𝐶 𝑐𝑜𝑠𝐶 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝐵�
4
5
= 𝑠𝑒𝑛𝐵� ⋅ 1 − 2𝑠𝑒𝑛2𝐶 + 2𝑠𝑒𝑛𝐶 𝑐𝑜𝑠𝐶 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝐵�
Como 𝑠𝑒𝑛𝐶 =
4
5
,
4
5
= − 
7
25
𝑠𝑒𝑛𝐵� +
8
5
 𝑐𝑜𝑠𝐶 𝑐𝑜𝑠𝐵�
− 7𝑠𝑒𝑛𝐵� + 40 𝑐𝑜𝑠𝐶 𝑐𝑜𝑠𝐵� = 20 𝑖
De 4ˆsenC ,
5
=
3ˆcosC
5
= ou 3ˆcosC
5
= −
De 3ˆcosC
5
= e da equação (i),
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2
3ˆ ˆ7senB 40 cosB 20
5
ˆ ˆ20 7senB 24cosB
ˆ ˆ20 7senB 24cosB
ˆ ˆ20 7senB 24cosB
ˆ ˆ400 280senB 49sen B 576 1 sen B
ˆ625sen B 280senB 176 0
− + ⋅ ⋅ =
= − +
+ =
+ =
+ + = ⋅ −
+ − =
44ˆsenB
125
= ou 4ˆsenB
5
= −
De 3ˆcosC
5
= − e da equação (i),
44ˆsenB
125
= ou 4ˆsenB
5
= −
Note que se 𝑠𝑒𝑛𝐵� < 0, 𝐵� > 𝜋, logo, 
𝑠𝑒𝑛𝐵� =
44
1 25
.
Verificando que 𝑠𝑒𝑛𝐵� =
44
1 25
. é uma 
solução:
De 𝑠𝑒𝑛𝐵� =
44
1 25
.,
117ˆcosB
125
= ou 117ˆcosB
125
= −
Para 44 117ˆ ˆsenB , cosB
125 125
= = e 3ˆcosC ,
5
=
44 3 117ˆˆ ˆ7senB 40cosCcosB 7 40
125 5 125
ˆˆ ˆ7senB 40cosCcosB 20
− + = − ⋅ + ⋅ ⋅
− + =
Resposta: 44ˆsenB .
125
= 
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as13: 01 + 04 + 08 + 16 = 29.
[01] Verdadeira. De fato, pois 
𝑓 12 + 𝑔
𝜋
2 = 3
2�12−1 + 2 + 4𝑐𝑜𝑠 𝜋2 − 
𝜋
2 − 1
= 1 + 2 + 4 − 1
= 6.
[02] Falsa. Tem-se que
𝑓 0 + 𝑔 0 = 32�0−1 + 2 + 4𝑐𝑜𝑠 0 − 𝜋2 − 1
= 13 + 2 + 0 − 1
= 43
> 0.
[04] Verdadeira. Com efeito, pois
𝑓 𝑔
𝜋
6
= 32 4𝑐𝑜𝑠
𝜋
6−
𝜋
2 −1 −1 + 2
= 32−1 + 2
= 5.
[08] Verdadeira. De fato, pois
𝑔 𝑥 + 𝜋 = 4𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝜋 − 
𝜋
2
− 1
= 4𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝜋2 − 1
= 4𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1.
[16] Verdadeira. Com efeito, pois sendo a 
imagem da função cosseno o intervalo 
[ 1, 1],− temos Im(g) [4 ( 1) 1, 4 1 1] [ 5, 3].= ⋅ − − ⋅ − = − 
14: 01 + 04 + 08 = 13.
[01] Verdadeiro. Sendo cada um dos 
ângulos da base igual a 
𝜋
4
= 45°, logo o 
ângulo faltante mede 90°. Assim, traçando 
uma reta que divide o ângulo maior em 
dois iguais, até a base, dividindo-a também 
em duas partes iguais, pode-se dividir o 
triângulo isósceles em dois triângulos 
retângulos de catetos 5. Ou seja:
Por Pitágoras, pode-se concluir que a 
hipotenusa de cada um dos triângulos 
retângulos será igual a:
2 2 2h 5 5 h 50 25 2 5 2= + → = = ⋅ = 
Assim, o perímetro do triângulo será:
p 10 2 5 2 10 10 2= + ⋅ = + 
[02] Falso. Calculando:
𝑠𝑒𝑛
𝜋
6
+
𝜋
3
= 𝑠𝑒𝑛
𝜋 + 2𝜋
6
= 𝑠𝑒𝑛
3𝜋
6
= 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
= 1 ≠
2
2
[04] Verdadeiro. Calculando:
𝑐𝑜𝑠
3𝜋
2
= 0
[08] Verdadeiro. Calculando:
1 1cotgx tgx 1
tgx tgx
= → ⋅ = 
[16] Falso. Calculando:
3senx
4
3senx 1 6 34tgx cos x
cos x cos x 2 4 2
1 2sec x
cos x 3
=
= = = → = =
= =
 
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as 15: 01 + 02 = 03.
Sabendo que 1 senx 1,− ≤ ≤ vem
1 senx 1 1 sen(2x) 1
1 2 3sen(2x) 5.
− ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤
⇔ − ≤ + ≤
Ademais, como 1 cos x 1,− ≤ ≤ temos 
1 cos x 1 2 2cos(x) 2
4 2cos(x) 2 0.
− ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤
⇔ − ≤ − ≤
[01] Verdadeira. De fato, pois 
[ 1, 5] [ 4, 0] [ 1, 0].− ∩ − = − 
[02] Verdadeira. Com efeito, pois sendo 
sen2x 2senxcos x,= temos 
f(x) g(x) 2 3 2senxcos x 2cos x 2
2cos x(3senx 1).
+ = + ⋅ + −
= +
[04] Falsa. Desde que 𝑠𝑒𝑛2 𝜋 = 0 e 𝑐𝑜𝑠𝜋 = − 1 , 
temos
𝑓(𝜋)
𝑔(𝜋)
=
2 + 3 𝑠𝑒𝑛 2 𝜋
2 𝑐𝑜𝑠 𝜋 − 2
=
2
− 4
= − 
1
2
≠
1
2
.
[08] Falsa. O período fundamental da 
função 𝑠𝑒𝑛𝑥 é 2𝜋. Logo, segue que o 
período de 𝑓 é dado por 
2𝜋
2
= 𝜋. 
[16] Falsa. Temos 
[ 1, 5] [ 4, 0] [ 4, 5] ( 4, 5).− ∪ − = − ≠ − 
16:
Sabendo que:
2 2 2
x xsen (2x) 2 sen x cos x sen x 2 sen cos
2 2
x xcos (2x) 1 2 sen x cos x 1 2 sen 2 sen 1 cos x
2 2
   = ⋅ ⋅ → = ⋅ ⋅   
   
   = − ⋅ → = − ⋅ → ⋅ = −   
   
Pode-se resolver a equação:
x x(sen x)(1 tg x tg ) 4 cot g x sen x sen x tg x tg 4 cot g x
2 2
x x 1 x x x 1sen x sen 2 tg tg x 4 sen x 2 sen cos tg tg x 4
2 2 tg x 2 2 2 tg x
xsen
x x 2sen x 2 sen cos
x2 2 cos
2
 + = − → + ⋅ ⋅ = − 
 
         + ⋅ ⋅ = − → + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = −         
         
 
      + ⋅ ⋅ ⋅       


( )
2
2
1 x 1tg x 4 sen x 2 sen tg x 4
tg x 2 tg x
1 sen x 1sen x 1 cos x tg x 4 sen x tg x cos x 4
tg x cos x tg x
1 1sen x tg x sen x 4 tg x 4 tg x 4 tg x 1 0 tg x 2 3
tg x tg x
 ⋅ = − → + ⋅ ⋅ = −   


+ − ⋅ = − → + − ⋅ = −
+ − = − → = − → − ⋅ + = → = ±
Assim, o conjunto solução será:
𝑄𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑔 𝑥 = 2 − 3 → 𝑥 =
𝜋
12
+ 𝑘𝜋,   𝑘 ∈ ℤ
𝑄𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑔 𝑥 = 2 + 3 → 𝑥 =
5𝜋
12
+ 𝑘𝜋,   𝑘 ∈ ℤ
𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ⁄ =
𝜋
12
+ 𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 =
5𝜋
12
+ 𝑘𝜋,𝑘 ∈ ℤ
17:
Da PA (a, b, c),
a cb
2
+
=
De sena senb senc 0,+ + =
a c a c2sen cos senb 0
2 2
a c2senbcos senb 0
2
a csenb 2cos 1 0
2
+ −    + =   
   
−  + = 
 
 − ⋅ + =  
  
senb 0= ou a c 1cos
2 2
−  = − 
 
De cosa cosb cosc 0,+ + =
a c a c2cos cos cosb 0
2 2
a c2cosbcos cosb 0
2
a ccosb 2cos 1 0
2
+ −    + =   
   
−  + = 
 
 − ⋅ + =  
  
cosb 0= ou a c 1cos
2 2
−  = − 
 
Então, o que satisfaz, simultaneamente, as 
condições sena senb senc 0+ + = e 
cosa cosb cosc 0+ + = é:
a c 1cos
2 2
−  = − 
 
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asDaí,
𝑎 − 𝑐
2
= ±
2𝜋
3
+ 2𝑘𝜋,  𝑘 ∈ ℤ
𝑎 − 𝑐 = ±
4𝜋
3
+ 4𝑘𝜋,  𝑘 ∈ ℤ
Sendo r a razão da PA, segue que:
𝑎 − 𝑐 = − 2𝑟 
±
4𝜋
3
+ 4𝑘𝜋 = − 2𝑟 
𝑟 = ±
2𝜋
3
− 2𝑘𝜋
Como a PA é crescente, o menor valor de r 
para o qual a PA é satisfeita nas condições 
dadas ocorre para k 0.=
Portanto, 𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 =
2𝜋
3
.
Resposta: A menor razão da PA nas 
condições dadas é 𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 =
2𝜋
3
.
18: Calculando:
𝑐𝑜𝑠 𝑥 
𝑐𝑜𝑠 𝑦 
+
𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑠𝑒𝑛 𝑦 
= − 1 → 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑦 = − 𝑠𝑒𝑛 𝑦 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑦 
𝑠𝑒𝑛 3𝑦 = 3 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 4 ⋅ 𝑠𝑒𝑛3𝑦 
𝑐𝑜𝑠 3 𝑦 = 4 ⋅ 𝑐𝑜𝑠3 𝑦 − 3 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑦 
𝑆 =
3 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑐𝑜𝑠 3 𝑦 
𝑐𝑜𝑠 𝑥 
+
3 𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 3𝑦 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑆 =
3 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 4 ⋅ 𝑐𝑜𝑠3 𝑦 − 3 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑦 
𝑐𝑜𝑠 𝑥 
+
3 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 3 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 4 ⋅ 𝑠𝑒𝑛3𝑦 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑆 = 4 ⋅
𝑐𝑜𝑠3 𝑦 
𝑐𝑜𝑠 𝑥 
+
𝑠𝑒𝑛3𝑦 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑐𝑜𝑠3 𝑦 
𝑐𝑜𝑠 𝑥 
+
𝑠𝑒𝑛3𝑦 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 
=
=
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠3 𝑦 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑠𝑒𝑛3𝑦 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
=
=
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑦 ⋅ 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑦 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 ⋅ 1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑦 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
=
=
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + − 𝑠𝑒𝑛 𝑦 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑦 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑦 
𝑠𝑒𝑛  𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
=
=
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 1
𝑠𝑒𝑛  𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
=
=
𝑐𝑜𝑠 𝑦 
𝑐𝑜𝑠 𝑥 
+
𝑠𝑒𝑛 𝑦 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 
⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 1 =
=
𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑐𝑜𝑠 𝑥 
⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑦 +
𝑐𝑜𝑠 𝑦 
𝑐𝑜𝑠 𝑥 
+ 𝑠𝑒𝑛2𝑦 +
𝑐𝑜𝑠 𝑥 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 
⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑦 +
𝑠𝑒𝑛 𝑦 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 
=
= 1 +
𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑐𝑜𝑠 𝑥 
+
𝑐𝑜𝑠 𝑥 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 
⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑦 +
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑠𝑒𝑛 𝑦 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
=
= 1 +
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑦 +
− 𝑠𝑒𝑛 𝑦 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑦 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
=
= 1 +
𝑠𝑒𝑛 𝑦 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑦 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
− 
𝑠𝑒𝑛 𝑦 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑦 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
= 1
 
Assim,
𝑆 = 4 ⋅ 1 = 4
19:
4𝑠𝑒𝑛2 7𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛 9𝑥 + 8𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 5 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛 5𝑥 = 4
4𝑠𝑒𝑛2 7𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 9𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 + 8𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 5 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 
− 4 = 0
4𝑠𝑒𝑛2 7𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 2 ⋅ 2𝑠𝑒𝑛 7𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 4 ⋅ 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 1
+ 5 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 0
4𝑠𝑒𝑛2 7𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 4𝑠𝑒𝑛 7𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 4
⋅ 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 + 5 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 0
4𝑠𝑒𝑛2 7𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 4𝑠𝑒𝑛 7𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 4 ⋅ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 
+ 5 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 0
4𝑠𝑒𝑛2 7𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 4𝑠𝑒𝑛 7𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 − 4 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 5 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 0
4𝑠𝑒𝑛2 7𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 4𝑠𝑒𝑛 7𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 
= 0 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 ⋅ 4𝑠𝑒𝑛2 7𝑥 + 4𝑠𝑒𝑛 7𝑥 + 1 = 0
𝑐𝑜𝑠 2𝑥 ⋅ 2𝑠𝑒𝑛 7𝑥 + 1 2 = 0
𝑐𝑜𝑠(2𝑥 ) = 0 ou (2𝑠𝑒𝑛(7𝑥 ) + 1 )2 = 0
Como 
3𝜋
2
≤ 𝑥 ≤ 2𝜋,
3𝜋 ≤ 2𝑥 ≤ 4𝜋 e 
21 𝜋
2
≤ 7𝑥 ≤ 1 4𝜋
De 𝑐𝑜𝑠(2𝑥 ) = 0 e 3𝜋 ≤ 2𝑥 ≤ 4𝜋,
2𝑥 =
7𝜋
2
𝑥 =
7𝜋
4
De (2𝑠𝑒𝑛(7𝑥 ) + 1 )2 = 0 e 
21 𝜋
2
≤ 7𝑥 ≤ 1 4𝜋,
𝑠𝑒𝑛 7𝑥 = − 
1
2
7𝑥 =
67𝜋
6
𝑥 =
67𝜋
42
ou
7𝑥 =
71 𝜋
6
𝑥 =
71 𝜋
42
ou
7𝑥 =
79𝜋
6
𝑥 =
79𝜋
42
14
Ex
er
cí
ci
os
 A
pr
of
un
da
do
s:
 O
pe
ra
çõ
es
 c
om
 A
rc
os
, F
un
çõ
es
 e
 E
qu
aç
õe
s 
Tr
ig
on
om
ét
ric
as ou
7𝑥 =
83𝜋
6
𝑥 =
83𝜋
42
Resposta: 𝑆 =
7𝜋
4
;  
67𝜋
42
; 
71 𝜋
42
;  
79𝜋
42
;  
83𝜋
42
. 
20: [D]
𝑦 = sen70° cos50° + sen260° cos280°
𝑦 = sen70° cos50° + (− sen10° cos80°)
𝑦 =
𝑠𝑒𝑛120∘ + 𝑠𝑒𝑛20∘
2
+
𝑐𝑜𝑠90∘ − 𝑐𝑜𝑠 7 0∘
2
𝑦 =
𝑠𝑒𝑛120∘ + 𝑐𝑜𝑠 9 0∘ + 𝑠𝑒𝑛20∘ − 𝑐𝑜𝑠 7 0∘
2
𝑦 =
3
2 +0+0
2 𝑦 =
3
4 
ANOTAÇÕES
Através dos cursos