Método dos Deslocamentos parte 1

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TC036 - Mecânica das 
Estruturas II
Prof. Marcos Arndt
3. Método dos Deslocamentos –
Parte 1
3 Método dos Deslocamentos
3.1 Metodologia Básica
O método dos deslocamentos consiste em “somar
uma série de soluções básicas (casos básicos) que
satisfazem as condições de compatibilidade, mas não
satisfazem as condições de equilíbrio da estrutura
original, para na superposição restabelecer as
condições de equilíbrio”.
Condições a serem atendidas pelo modelo:
1. Condições de compatibilidade;
2. Condições sobre o comportamento dos materiais
(leis constitutivas);
3. Condições de equilíbrio.
3.2 Deslocabilidades e Sistema 
Hipergeométrico (SH)
Pode-se determinar a configuração deformada de
qualquer barra a partir dos deslocamentos e rotações
dos nós extremos da barra e do seu carregamento.
Deslocabilidades são as componentes de
deslocamentos e rotações nodais que estão livres,
isto é, que devem ser conhecidas para determinar a
configuração deformada de uma estrutura. São os
parâmetros que definem completamente a
configuração deformada de uma estrutura. São as
incógnitas do método dos deslocamentos.
Na estrutura da figura abaixo verificamos a existência
de 6 deslocabilidades.
Fonte: Martha (2001)
Uma estrutura que tem todas as suas deslocabilidades
definidas (com valores conhecidos) é chamada de
estrutura cinematicamente determinada.
O método dos deslocamentos utiliza nos casos
básicos, uma estrutura cinematicamente determinada
obtida através da estrutura original pela adição de
vínculos. Esta estrutura é chamada de sistema
hipergeométrico (SH).
Existe um único sistema hipergeométrico (SH) para
uma dada estrutura.
Fonte: Martha (2001)
Por exemplo, o SH do
pórtico anterior é obtido
pela adição de 6 vínculos
restringindo as 6
deslocabilidades existentes.
3.3 Desenvolvimento do método
Seja a estrutura hiperestática abaixo:
Analisando a estrutura verificamos a existência de 3
deslocabilidades: os deslocamentos horizontal e
vertical, e a rotação do nó C.
a)Condições de compatibilidade entre deslocamentos:
Esta estrutura pode ser encarada como sendo o
Sistema Hipergeométrico correspondente com as
deslocabilidades do sistema original impostas:
Impedimos todas as deslocabilidades pela colocação
de vínculos e aplicamos os deslocamentos e rotações
impedidas. As deslocabilidades D1, D2 e D3 são as
incógnitas do método.
b) Leis constitutivas:
Conceitos e hipóteses utilizados nos cálculos dos
coeficientes utilizados no método.
c) Condições de equilíbrio:
Para garantir o equilíbrio do SH é necessário que as
reações de apoio nos vínculos fictícios sejam todas
nulas, pois estes vínculos não existiam na estrutura
original.
Pelo Princípio da Superposição de Efeitos, a estrutura
pode ser analisada através da soma dos casos básicos
O método consiste, portanto, em construir casos básicos
de carregamento (caso 0) e deslocamentos impostos
(recalques) aplicados ao sistema hipergeométrico (SH).
O caso 0 corresponde ao sistema hipergeométrico
sujeito ao carregamento externo original.
Os demais casos (casos i) correspondem ao sistema
hipergeométrico sujeito a apenas uma das
deslocabilidades consideradas unitárias (Di = 1).
As reações nos apoios fictícios nas direções das
deslocabilidades Di são obtidas, em cada caso, através
da utilização de tabelas que sintetizam resultados
obtidos pelo Método das Forças.
Logo:
𝛽𝑖0 é a reação de apoio fictício associado à
deslocabilidade Di causada pela solicitação externa
(caso 0). É conhecido como termo de carga.
𝐾𝑖𝑗 é a força ou momento que deve atuar na direção
Di para manter a estrutura (SH) em equilíbrio quando
é imposta uma configuração deformada onde Dj = 1
e as demais deslocabilidades são nulas (caso j). É
conhecido como coeficiente de rigidez global da
estrutura.
Os coeficientes 𝛽𝑖0 e 𝐾𝑖𝑗 são obtidos utilizando
formulário apropriado.
Das condições de equilíbrio do nó C, obtemos um
sistema linear na forma:
d) Sistema de equações:
Escrevendo o sistema de equações de equilíbrio na
forma matricial, obtemos:
𝛽10 + 𝐾11𝐷1 + 𝐾12𝐷2 + 𝐾13𝐷3 = 0
𝛽20 + 𝐾21𝐷1 + 𝐾22𝐷2 + 𝐾23𝐷3 = 0
𝛽30 + 𝐾31𝐷1 + 𝐾32𝐷2 + 𝐾33𝐷3 = 0
𝛽10
𝛽20
𝛽30
+
𝐾11 𝐾12 𝐾13
𝐾21 𝐾22 𝐾23
𝐾31 𝐾32 𝐾33
𝐷1
𝐷2
𝐷3
=
0
0
0
𝛽0 + 𝐾 𝐷 = 0
Vetor das 
deslocabilidades
Vetor dos termos 
de carga
Matriz de rigidez 
global
Do teorema de Maxwell temos que 𝐾𝑖𝑗 = 𝐾𝑗𝑖 .
Verificamos portanto que a matriz de rigidez 𝐾 é
quadrada e simétrica, além de ser independente do
carregamento externo e única para cada estrutura.
𝛽10
𝛽20
𝛽30
+
𝐾11 𝐾12 𝐾13
𝐾21 𝐾22 𝐾23
𝐾31 𝐾32 𝐾33
𝐷1
𝐷2
𝐷3
=
0
0
0
𝛽0 + 𝐾 𝐷 = 0
e) Obtenção dos Esforços Finais:
Os esforços finais (momentos fletores, esforços
cortantes, esforços normais e reações de apoio) da
estrutura hiperestática são obtidos por superposição
dos efeitos, a partir dos seus valores nos casos
básicos, pela expressão:
Por exemplo, para determinar o momento fletor em
um ponto qualquer da estrutura exemplo, utilizamos:
𝐸 = 𝐸0 +෍𝐸𝑖𝐷𝑖
𝑀 = 𝑀0 +𝑀1𝐷1 +𝑀2𝐷2 +𝑀3𝐷3
f) Roteiro para o Método dos Deslocamentos:
1. Escolha o sistema hipergeométrico (SH);
2. Obtenção dos termos de carga 𝛽𝑖0 (caso 0);
3. Obtenção dos coeficientes de rigidez ( 𝐾𝑖𝑗 )
(demais casos);
4. Formulação do sistema de equações (equilíbrio);
5. Solução do sistema de equações (obter
deslocabilidades);
6. Obtenção dos efeitos finais (superposição dos
efeitos).
3.4 Termos de Carga ( 𝛽𝑖0) e 
Coeficientes de Rigidez (𝐾𝑖𝑗)
Ao aplicarmos o Método dos Deslocamentos
devemos utilizar a convenção de sinais do método
para deslocabilidades, cargas, reações de apoio e
também para esforços internos. A figura abaixo
apresenta as direções positivas da convenção de
sinais.
 
Como o método dos deslocamentos não necessita de
combinação de diagramas de momentos fletores dos
casos básicos, é comum a utilização de diagramas
esquemáticos que indicam apenas os momentos
fletores nas extremidades das barras e com o sinal
conforme a convenção de sinais do método.
A figura abaixo mostra o diagrama esquemático
conforme essa convenção:
 
a) Termos de carga ( 𝛽𝑖0):
Os termos de carga 𝛽𝑖0 são obtidos de soluções
básicas de vigas bi engastadas, também chamadas de
soluções de engastamento perfeito. Estas soluções
são obtidas pelo método das forças.
Por exemplo, os termos de carga para carregamento
distribuído são obtidos do quadro abaixo.
 
b) Coeficientes de rigidez globais (𝐾𝑖𝑗):
Os coeficientes de rigidez globais 𝐾𝑖𝑗 são obtidos pela
combinação de coeficientes de rigidez locais, ou seja,
coeficientes de rigidez associados a cada uma das
barras que se conectam ao nó considerado.
Os coeficientes de rigidez locais são obtidos das
soluções para deslocamentos ou rotações impostas
isoladamente em uma das extremidades de uma viga
bi engastada.
A figura abaixo apresenta os coeficientes de rigidez
locais para barras bi engastadas com comprimento L,
e módulo de elasticidade E, inércia I e área A,
constantes.
Estruturas que possuem cargas ou momentos
aplicados ao longo do comprimento da barra, ou seja,
fora dos nós, podem a ser resolvidas com a utilização
da tabela anterior considerando o ponto de aplicação
de carga como um nó. Considerado como nó, o
ponto de aplicação de carga no SH teria a inclusão de
vínculos fictícios e a carga ou momento atuaria
diretamente sobre apoios.
Uma outra opção para a situação descrita acima é a
utilização de soluções de viga bi engastada para cargas
concentradas e momentos aplicados ao longo de
barras. Estas soluções estão apresentadas no
formulário do método.
Estruturas que possuem rótulas em apoios ou rótulas
internas, também podem ter sua solução simplificada
pela utilização de soluções básicas para vigas
engastadas em uma extremidade e rotuladas na outra
extremidade. Os termos de carga e coeficientes de
rigidez locais para estas soluçõesencontram-se
também no formulário.