Física 1-445-447

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Centro de massa 443
d
2
d
1
CM
x
1
m
1
0 x
2
m
2
x
Figura f.
Pela equação 1 temos:
xCM = 
m1x1 + m2x2
m1 + m2
 = 0 ⇒ m1x1 + m2x2 = 0 ⇒
⇒ m2x2 = m1(–x1)
Mas, observando a figura c, temos: 
–x1 = d1 e x2 = d2
Assim: m1d1 = m2d2
2. As partículas A e B representadas abaixo têm 
massas respectivamente iguais a 50 e 150 gra-
mas. A que distância da partícula A se encontra 
o centro de massa do 
sistema formado pelas 
duas partículas?
3. As partículas A e B da figura têm massas iguais. 
Qual é a abscissa do centro de massa do conjunto?
8 x (cm)0
BA
4. Na figura são representadas as posições de quatro 
partículas: A, B, C e D, de massas respectivamen-
te iguais a 5, 3, 4 e 8 gramas. Determine as coor-
denadas do centro de massa do sistema formado 
por essas partículas.
1 2
A
D
B
C
3 4 5 60 x (cm)
y (cm)
6
5
4
3
2
1
 
5. Na figura, CM é o centro de massa de um sistema 
de três partículas, A, B e C, de massas iguais. 
Quais são as coordenadas da partícula C ?
 1 2
A
B
CM
3 4 5 60 x
y
6
5
4
3
2
1
 
Assim, as coordenadas do centro de massa (CM) 
são dadas por:
xCM = 
m1x1 + m2x2
m1 + m2
 = 
(10)(2) + 5(8)
10 + 5 = 
60
15 ⇒ 
⇒ xCM = 4 m
yCM = 
m1y1 + m2y2
m1 + m2
 = 
(10)(0) + 5(0)
10 + 5
 ⇒
⇒ yCM = 0
O centro de massa está no segmento de reta que 
une as partículas, a 2 m da partícula de massa 
maior e a 4 m da partícula de massa menor (fig. c). 
É importante observar que o centro de massa está 
mais próximo da partícula de maior massa.
4 m2 m
CM
2
m
1
4 6 8
0 x (m)
y (m)
10
m
2
Figura c.
Vamos ver agora o que acontece se escolhermos 
um outro sistema de coordenadas. Em geral, para 
facilitar os cálculos, adotamos a origem sobre 
uma das partículas, como na figura d, para a qual 
temos: x1 = 0 e x2 = 6 m. 
6 m
0
m
1
2 4 6
x (m)
m
2
 
Figura d.
Assim:
xCM = 
m1x1 + m2x2
m1 + m2
 = 
(10)(0) + 5(6)
10 + 5
 = 2 ⇒
⇒ xCM = 2 m
4 m2 m
CM
0
m
1
2 4 6
x (m)
m
2
 
Figura e.
Como podemos observar (fig. e), embora o siste-
ma de coordenadas seja outro, o centro de massa 
continua na mesma posição obtida anteriormente 
em relação às partículas do sistema: a uma dis-
tância de 2 m da partícula de massa maior e 4 m 
da outra partícula.
O sistema de duas partículas é um caso particu-
lar importante, ao qual vale a pena acrescentar 
um comentário. Vamos considerar um sistema de 
coordenadas cuja origem coincida com o centro 
de massa (fig. f ), isto é, xCM = 0. 
12 cm
BA
Il
U
St
r
A
ç
õ
ES
: 
ZA
pt
Capítulo 22444
Exercícios de Reforço
6. (UF-PE) Duas partículas de massas M
1
 = M e 
M
2
 = M
2
 estão presas por uma haste de compri-
mento L = 48 cm e massa desprezível, conforme 
a figura. Qual a distância, em centímetros, do 
centro de massa do sistema em relação à posição 
da partícula de massa M
1
?
L
M
1
M
2
7. (ITA-SP) Na figura a seguir estão representadas 
as posições de três partículas, R, S e T, cujas 
massas são 2 kg, 2 kg e 4 kg. Entre os pontos A, 
B, C, D e E, qual representa o centro de massa do 
sistema formado pelas partículas R, S e T ?
1 2
A
3 4 5 60 x (m)
y (m)
6
5
4
3
2
1
T
E
B
S
D
C
R
a) A c) C e) E
b) B d) D
3. Centro de massa de corpos extensos
para obtermos o centro de massa de um corpo extenso (fig. 12a), devemos dividi-lo 
em um número muito grande de “pedacinhos” (fig. 12b), de modo que cada “pedaci-
nho” possa ser considerado uma partícula. Em seguida, aplicamos as fórmulas 1 , 2 e 
3 , para obtermos as coordenadas do centro de massa. No entanto, como se trata de 
um número infinitamente grande de partículas, isso deve ser feito usando-se o Cálculo 
Integral, que está além do nível do nosso curso. Assim, vamos apresentar apenas alguns 
casos particulares, sem demonstração.
Quando o corpo é homogêneo e apresenta um pon-
to de simetria, o centro de massa está sobre esse ponto. 
por exemplo, o centro de massa de um corpo esférico 
homogêneo está em seu centro geométrico (fig. 13a) e 
o centro de massa de um corpo homogêneo em forma 
de cubo também está sobre o seu centro geométrico, 
que é o ponto de encontro das diagonais (fig. 13b).
Na figura 14, temos dois casos de chapas homogêneas. 
Na figura 14a, a chapa é triangular, e o centro de mas-
sa C está no ponto de encontro das medianas, o qual em 
geometria plana é conhecido pelo nome de baricentro do 
triângulo (lembre-se de que a mediana une um vértice do 
triângulo ao ponto médio do lado oposto). Na figura 14b 
temos uma chapa em forma de paralelogramo, cujo centro 
de massa C está no ponto de encontro das diagonais.
(a) (b)
Figura 12.
CM
CM
(a) Corpo esférico homogê-
neo: o centro de massa está 
no centro da esfera.
(a) Chapa triangular homogênea: o 
centro de massa (C ) está no ponto 
de encontro das medianas.
(b) Corpo cúbico homogê-
neo: o centro de massa está 
no centro do cubo.
(b) Chapa homogênea em forma de 
paralelogramo: o centro de massa 
está no encontro das diagonais.
Figura 13.
Figura 14.
S'
C
R'
TS
T'
R
C
E F
D G
Il
U
St
r
A
ç
õ
ES
: 
ZA
pt
RC = 2 · CR'
SC = 2 · CS'
TC = 2 · CT'
Centro de massa 445
(b)
y
F
y
E
y
G
y
C
y
D
x
C
x
D
x
E
x
F
x
G
F
x0
y
E
D
G
C
Figura 15.
(a)
y
R
y
C
y
T
y
S
x
S
x
R
x
C
x
T
T
x0
y
R
C
S
x
C
 = 
x
S
 + x
R
 + x
T
3
y
C
 = 
y
S
 + y
R
 + y
T
3
x
C
 = 
x
D
 + x
F
2
 = 
x
E
 + x
G
2
y
C
 = 
y
D
 + y
F
2
 = 
y
E
 + y
G
2
Se as chapas da figura 14 estiverem referidas a um sistema de coordenadas cartesia-
nas (fig. 15), nas aulas de Matemática (na parte de Geometria Analítica) você aprenderá 
que as coordenadas de C podem ser obtidas por meio das equações apresentadas na 
figura 15.
Exercícios de Aplicação
8. Determine a posição do centro de massa da chapa 
homogênea representada na figura a.
0
1
2
3
4
5
6
y (m)
1 2 3 4 5 x (m)
Figura a.
Resolu•‹o:
Como a chapa não tem nenhuma das formas 
particulares apresentadas, vamos dividi-la em 
“pedaços” cujos centros de massa saibamos 
determinar. A partir das fórmulas 1 , 2 e 3 , 
é possível mostrar que podemos substituir cada 
“pedaço” por seu centro de massa e calcular o 
centro de massa da chapa como se tivéssemos 
partículas, e não corpos extensos.
Vamos, por exemplo, dividir a chapa em dois 
retângulos, como indica a figura b. O retângulo 
superior tem centro de massa C
1
, cujas coordena-
das são: x
1
 = 2,5 m e y
1
 = 5 m.
0
1
2
3
4
5
6
y (m)
1 2 3 4 5 x (m)
C
1
C
2
Figura b.
O retângulo inferior tem centro de massa C
2
, 
cujas coordenadas são: x
2
 = 1 m e y
2
 = 2 m.
A partir de agora, tudo se passa como se quisés-
semos determinar o centro de massa do sistema 
formado pelas partículas C
1
 e C
2
.
Não sabemos as massas dos retângulos; porém, 
levando em conta que a chapa é homogênea, 
podemos admitir que a massa é proporcional à 
área e, assim, usar as áreas no lugar das massas:
A
1
 = (5 m) · (2 m) = 10 m2 e 
A
2
 = (2 m) · (4 m) = 8 m2
Portanto, as coordenadas do centro de massa C 
da chapa são:
x
C
 = 
A
1
x
1
 + A
2
x
2
A
1
 + A
2
 = 
(10)(2,5) + (8)(1)
10 + 8
 ≅
≅ 1,83 ⇒ x
C
 ≅ 1,83 m
y
C
 = 
A
1
y
1
 + A
2
y
2
A
1
 + A
2
 = 
(10)(5) + (8)(2)
10 + 8
 ≅
≅ 3,66 ⇒ y
C
 ≅ 3,66 m
Observe, pela figura c, que o centro de massa 
da chapa C está no segmento de reta que une 
os pontos C
1
 e C
2
, como é de esperar no caso de 
duas partículas.
0
3,66
y (m)
1,83 x (m)
C
1
C
2
C
Figura c.
Il
U
St
r
A
ç
õ
ES
: 
ZA
pt