Física 3-226-228

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Capítulo 12224
Resolução:
Sejam P
1
(x
1
) e P
2
(x
2
) os dois pontos de potencial 
nulo mencionados no problema. Inicialmente tra-
balharemos com o ponto P
1
.
B
6,0 – x
1
x
1
6,0
A
Q
A
Q
B
P
1
V
A1
 = K · 
Q
A
x
1
; V
B1
 = K · 
Q
B
(6,0 – x
1
)
V
res
P
1
 = V
A1
 + V
B1
 = 0
K 
Q
A
x
1
 + 
Q
B
(6,0 – x
1
)
 = 0 ⇒ 
Q
A
x
1
 = 
Q
B
x
1
 – 6,0
Sendo: Q
A
 = –1,0 μC e Q
B
 = +2,0 μC, vem:
–1,0
x
1
 = 
2,0
x
1
 – 6,0
6,0 – 1,0x
1
 = 2,0x
1
6,0 = 3,0x
1
 ⇒ x
1
 = 2,0 m
Observação: entre A e B o único ponto de poten-
cial nulo é o ponto P
1
, pois obtivemos uma equa-
ção de 1o. grau em x que nos forneceu uma única 
raiz. No entanto, o enunciado do exercício fala 
em dois pontos. Onde estará o ponto P
2
?
A única solução é procurá-lo do lado externo do 
segmento AB. Certamente mais próximo da carga 
de menor módulo. Assim, ele estará à esquerda 
de A, e sua abscissa será negativa.
B x
6,0 + | x
2
|
| x
2
|
AP
2
V
A2
 = K · 
Q
A
|x
2
|
V
B2
 = K · 
Q
B
6,0 + |x
2
|
Usamos o módulo, pois trata-se de uma distância:
V
res
P
2
 = V
A2
 + V
B2
 = 0
K 
Q
A
|x
2
|
 + 
Q
B
6,0 + |x
2
|
 = 0 ⇒ 
⇒ 
Q
A
|x
2
|
 + 
Q
B
6,0 + |x
2
|
 = 0 ⇒ 
Q
B
6,0 + |x
2
|
 = 
–Q
A
|x
2
|
Sendo: Q
A
 = –1,0 μC e Q
B
 = +2,0 μC, vem:
2,0
6,0 + |x
2
|
 = 
1,0
|x
2
|
 ⇒
⇒ 2,0|x
2
| = 6,0 + 1,0|x
2
| ⇒ 1,0|x
2
| = 6,0
Sendo x
2
 < 0, vem:
x
2
 = –6,0 m
Exercícios de Reforço
42. Na figura temos um triângulo retângulo ABC, 
de catetos 5,0 cm e 12 cm. Sobre o vértice A 
colocou-se uma carga Q
1
 = +5,0 nC. Sobre B foi 
posta uma segunda carga Q
2
. Resultou em C um 
potencial nulo. Logo:
a) Q
2
 = +13 nC 
b) Q
2
 = –13 nC 
c) Q
2
 = +12 nC
d) Q
2 
= –12 nC
e) Q
2
 = –5,0 nC 
A
5,0 cm
12 cm
C B
43. Sobre uma reta r fixaram-se duas pequenas esferas 
eletrizadas com cargas elétricas +Q e –Q, tal que a 
distância entre elas fosse igual a 2d. A constante 
eletrostática do meio é K. No ponto médio M do 
segmento formado pelas duas esferinhas, traçou-se 
a reta mediatriz. Tomou-se um ponto P sobre a reta 
mediatriz, tal que a distância PM = d. 
+Q –Q
M r
P
O potencial elétrico resultante em P vale:
a) zero c) 
2KQ
2d
 e) 
4 2KQ
d
b) 2KQ
d
 d) 
2KQ
d
Il
u
St
r
A
ç
õ
eS
: 
ZA
Pt
41. No eixo x da figura fixaram-se duas cargas pun-
tiformes Q
1
 = +1,0 μC e Q
2
 = –2,0 μC, respecti-
vamente, nas abscissas x
1
 = 0 e x
2
 = 3,0 cm.
Q
1
 = +1,0 μC Q
2
 = –2,0 μC
x
2
 = 3,0x
1
 = 0 x (cm)
Determine:
a) a abscissa de um ponto P
1
 entre as cargas, tal 
que o seu potencial seja nulo;
b) a abscissa de um ponto P
2
 à esquerda de Q
1
, 
tal que seu potencial seja nulo.
Potencial elétrico 225
44. Na figura foram fixadas duas cargas puntiformes: 
Q
1
 = –3,0 μC e Q
2
 desconhecida. Sabe-se que na 
origem do sistema o potencial é nulo. O meio 
é o vácuo e é dada a constante eletrostática: 
K
0
 = 9,0 ∙ 109 V · m/C. 
0 x (m)
y (m)
Q
2
Q
1
y
2
 = 4,0
x
1
 = 3,0
Determine:
a) o valor da carga Q
2
;
b) o módulo do campo elétrico resultante na 
origem do sistema.
45. No triângulo equilátero, 
de lado a, foram coloca-
das, em seus vértices, três 
cargas elétricas: +Q; +Q; 
–2Q. Estando o sistema no 
vácuo, determine o poten-
cial resultante no baricen-
tro G. No vácuo se conhece 
a constante K
0
 da Lei de 
Coulomb.
46. Observe a figura.
A
B
D
y
x
C
O
q
1
 > 0q
2
 < 0
Duas cargas elétricas pontuais, q
1
 = 1,0 ∙ 10–8 C 
e q
2
 = –2,0 · 10–8 C, encontram-se fixas no 
vácuo, respectivamente, no ponto O e no ponto 
A. O ponto O é o centro de uma circunferência, de 
raio 10 cm, e os pontos A, B, C e D pertencem à 
circunferência. Dado: K
0
 = 9,0 ∙ 109 N · m2 · C–2. 
Considere desprezíveis as ações gravitacionais.
a) Calcule o potencial elétrico que as cargas q
1
 e 
q
2
 criam no ponto B.
b) Uma terceira carga elétrica q
3
 = 3,0 ∙ 10–12 C, 
suposta pontual, descreve o arco BCD. Qual é 
o trabalho realizado, neste deslocamento, pela 
força elétrica que atua na carga elétrica q
3
 devi-
do à ação das cargas elétricas q
1
 e q
2
? Justifique.
47. Na figura temos um quadra-
do cuja diagonal mede 2d. O 
meio tem constante eletros-
tática K. Nos vértices foram 
colocadas cargas elétricas 
positivas de valor +Q.
Determine, em função de 
Q, d e K:
a) o potencial elétrico resultante no centro O do 
quadrado;
b) o módulo do campo elétrico resultante no 
centro O do quadrado.
48. (UPE-PE) Na figura, considere o campo elétrico 
originado por duas cargas puntiformes Q
1
 = 8,0 μC 
e Q
2
 = –8,0 μC. Adote: d = 8,0 cm. Dado: constan-
te eletrostática no vácuo K
0
 = 9,0 · 109 N · m2/C2. 
Q
1
Q
2
D
d
A B C
d
d
4
d
4
d
4
d
4
Assinale (V) verdadeiro ou (F) falso.
I. O módulo de energia potencial elétrica do 
sistema das duas cargas vale 7,2 J.
II. O potencial elétrico no ponto A vale 2,4 ∙ 106 V.
III. O potencial elétrico no ponto B e o potencial 
elétrico no ponto D são nulos.
IV. O trabalho da força elétrica sobre uma carga 
q = 2,0 ∙ 10–9 C que se desloca do ponto D ao 
ponto A vale 2,4 ∙ 10–3 J.
49. (UCSal-BA) Considere uma carga puntiforme 
positiva Q, fixa na origem O de um sistema de 
eixos cartesianos, e dois pontos A e B desse 
plano, como mostra a figura. No ponto B o vetor 
e o campo elétrico têm intensidade E e o poten-
cial elétrico é V. 
0
Q
5 10
A
x
y
5
B
No ponto A, os valores dessas grandezas serão, 
respectivamente:
a) 
E
4
 e 
V
2
 c) E e V e) 4E e 2V
b) 
E
2
 e 
V
2
 d) 2E e 2V
Il
u
St
r
A
ç
õ
eS
: 
ZA
Pt
C
G
aa
a
BA
+Q +Q
+Q +Q
O
Capítulo 12226
V
1
V
2
V
3
Figura 15. Família de super-
fícies equipotenciais V
1
, V
2
 
e V
3
.
8. Superfícies equipotenciais 
Denomina-se superfície equipotencial, ou superfície de nível, o lugar geométri-
co dos pontos que apresentam um mesmo potencial elétrico.
Geralmente, nas representações de campos elétricos usa-se uma “família” de superfí-
cies equipotenciais, cada uma correspondendo a determinado valor de potencial (fig. 15).
Consideremos uma carga puntiforme Q, em repouso, gerando um campo elétrico cujas linhas de força estão representadas 
na figura 16a. Em cada ponto da região que a envolve, o potencial elétrico é dado por:
V = K · Q
d
Se fixarmos uma distância d = r
1
 e tomarmos todos os pontos do espaço em torno de Q, correspondentes a essa distância, 
geraremos uma superfície esférica de raio r
1
 e centro em Q (fig.16b).
Se fixarmos d = r
2
 > r
1
 e depois d = r
3
 > r
2
 e assim por diante, geraremos novas superfícies esféricas, concêntricas, com 
centro em Q, constituindo uma família de superfícies equipotenciais (fig.16c).
Q
+
(a)
r
1
Q
superfície
equipotencial
(b)
Q
r
1
r
2
r
3
(c)
Figura 16.
Exemplo 8
q
A
B
Figura 17. Uma carga puntiforme é deslocada numa 
superfície equipotencial entre os pontos A e B.
Il
u
St
r
A
ç
õ
eS
: 
ZA
Pt
Propriedades das superfícies equipotenciais 
1a. ) O trabalho da força elétrica durante o deslocamento de uma carga elétrica 
puntiforme sobre uma superfície equipotencial é nulo.
Para demonstrá-la, basta deslocar uma carga puntiforme q em 
uma trajetória qualquer AB, contida numa superfície equipotencial 
(fig. 17).
O trabalho da força elétrica será:
ö
AB
 = q ∙ (V
A
 – V
B
)
Como V
A
 = V
B
, concluímos que ö
AB
 = 0.