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Aluno: FRANCISCA BRUNNA PEREIRA BRAZ Matr.: 202204346397 Disc.: TRIGONOMETRIA 2023.4 EAD (G) / EX Prezado (a) Aluno(a), Você fará agora seu EXERCÍCIO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha. Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS. 02832 - TRANSFORMAÇÕES, IDENTIDADES, EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 1. Os arcos soluções da equação trigonométrica sen9x+sen5x+2sen2x=1���9�+���5�+2� ��2�=1 determinam quantos pontos distintos no círculo trigonométrico? 14 18 4 uma infinidade 7 Data Resp.: 16/03/2024 16:14:53 Explicação: Justificativa: Observe que sen9x+sen5x=2sen7xcos2x���9�+���5�=2���7����2� e 1−2sen2x=cos2x1−2���2�=���2� Logo, a equação é equivalente a 2sen7xcos2x=cos2x2���7����2�=���2� ⟹ {cos2x=0,ousen7x=1/2{���2�= 0,ou���7�=1/2 Daí, 2x=k360°±90°⟹x=k180°±45°⟹4pontos distintos2�=�360°±90°⟹�=�180°±45°⟹4pontos distintos 7x=k360°+30°7�=�360°+30° ou k360°+150°�360°+150° ⟹ {x=17(k360°+30°)⟹7pontos x=17(k360°+150°)⟹7pontos{�=17(�360°+30°)⟹7pontos�=17(�360°+150°)⟹7ponto s https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio_temas.asp Logo tais arcos determinam há 4+7+7=184+7+7=18 pontos distintos no círculo trigonométrico. 2. Simplificando a expressão sen40°.sen50°−sen30°sen80°���40°.���50°−� ��30°���80°, obtemos: 1 0 -1 -1/2 1/2 Data Resp.: 16/03/2024 16:14:56 Explicação: Justificativa: sen40°.sen50°=sen40°.cos40°=12sen80°���40°.���50°=���40°.���40°=12�� �80° sen30°.sen80°=12.sen80°���30°.���80°=12.���80° Logo, sen40°.sen50°−sen30°sen80°=0���40°.���50°−���30°���80°=0 3. O valor de sen10°���10° é raiz da equação: 6x3−8x+1=06�3−8�+1=0 6x3−8x−1=06�3−8�−1=0 8x3+6x−1=08�3+6�−1=0 8x3−6x−1=08�3−6�−1=0 8x3−6x+1=08�3−6�+1=0 Data Resp.: 16/03/2024 16:14:58 Explicação: Justificativa: Observe que a relação sen3a=3sena−4sen3a���3�=3����−4���3� é uma relação do terceiro grau! Fazendo, portanto, sena=x����=�, obtemos: sen3′10°=3sen10°−4sen310°���3′10°=3���10°−4���310° 12=3x−4x3⟹8x3−6x+1=012=3�−4�3⟹8�3−6�+1=0 https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio_temas.asp https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio_temas.asp 4. Se secx=4����=4 e x� é do 1° quadrante, qual o valor de sen3x���3�? −3√ 15 64−31564 3√ 15 1631516 −√ 15 8−158 −√ 15 64−1564 −√ 15 16−1516 Data Resp.: 16/03/2024 16:15:01 Explicação: Justificativa: Se secx=4����=4, então cosx=¼����=¼. Daí, senx=√ 15 4����=154. Logo, sen3x=3.senx−4.sen3x=senx.(3−4.sen2x)���3�=3.����−4.���3�=���� .(3−4.���2�) =√ 15 4(3−4.1516)=√ 15 4(−1216)=−3√ 15 16=154(3−4.1516)=154(−1216)=−31516 5. Simplificando cos3°+cos5°+cos7°+cos9°���3°+���5°+�� �7°+���9°, obtemos: 4cos1°cos2°sen6°4���1°���2°���6° 4sen1°cos2°sen6°4���1°���2°���6° 4cos1°sen2°cos6°4���1°���2°���6° 4sen1°cos2°cos6°4���1°���2°���6° 4cos1°cos2°cos6°4���1°���2°���6° Data Resp.: 16/03/2024 16:15:04 Explicação: Justificativa: cos3°+cos5°+cos7°+cos9°=(cos3°+cos9°)+(cos5°+cos7°)���3°+���5°+���7°+�� �9°=(���3°+���9°)+(���5°+���7°) =2cos6°cos3°+2cos6°cos1°=2���6°���3°+2���6°���1° =2cos6°(cos3°+cos1°)=2���6°(���3°+���1°) =2cos6°(2cos2°cos1°)=2���6°(2���2°���1°) =4cos1°cos2°cos6°=4���1°���2°���6° https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio_temas.asp https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio_temas.asp 6. A solução da equação trigonométrica sen3x=8sen3x���3�=8���3� é dada por: 2kπ2�π, k inteiro kπ/3�π/3, k inteiro kπ�π, k inteiro kπ/6�π/6, k inteiro kπ±π/6�π±π/6 ou kπ�π, k inteiro Data Resp.: 16/03/2024 16:15:06 Explicação: Justificativa: sen3x=sen3x⇒3senx−4sen3x=8sen3x���3�=���3�⇒3����−4���3�=8�� �3� ⇒3senx=12sen3x⇒senx(1−4sen2x)=0⇒3����=12���3�⇒����(1−4���2�)= 0 ⇒{senx=0senx=±1/2{����=0����=±1/2 ⇒ {x=kπ,kinteirox=kπ±π6,kinteiro{�=�π, ���������=�π±π6,�������� 7. Simplificando X=sen3°+sen7°+sen11°+...+sen39°�=���3°+�� �7°+���11°+...+���39°, obtemos: cos19°cos20°���19°���20°. cos20°cos21°���20°���21°. sen21°sen22°���21°���22°. sen19°sen20°���19°���20°. sen20°sen21°���20°���21°. Data Resp.: 16/03/2024 16:15:09 Explicação: Justificativa: Multiplicando cada termo da soma por sen2°���2° (2° = metade da razão...), obtemos: sen2°.sen3°=−12(cos1°−cos5º)���2°.���3°=−12(���1°−���5º) sen2°.sen7°=−12(cos5°−cos9º)���2°.���7°=−12(���5°−���9º) https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio_temas.asp https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio_temas.asp sen2°.sen11°=−12(cos9°−cos13º)���2°.���11°=−12(���9°−���13º) ... sen2°.sen39°=−12(cos37°−cos41º)���2°.���39°=−12(���37°−���41º) Somando as parcelas, obtemos: X=−12(cos1°−cos41°)=−12[−2sen21°sen(20°)]=sen20°sen21°�=−12(���1°−���41°)= −12[−2���21°���(20°)]=���20°���21° 8. Simplificando a expressão sen6a+sen4acos6a+cos4a���6�+���4����6�+ ���4�, obtemos: −tg5a−��5� −cot5a−���5� tg5a��5� cot5a���5� 11 Data Resp.: 16/03/2024 16:15:12 Explicação: Justificativa: sen6a+sen4acos6a+cos4a=2.sen5a.cosa2.cos5a.cosa=tg5a���6�+���4����6�+���4�=2. ���5�.����2.���5�.����=��5� 9. Se a+b=60°�+�=60° calcule o valor da expressão sena+senbcosa+cosb����+��������+�� ��. √3 3 √ 2 /22/2 √3 /33/3 11 √ 2 2 Data Resp.: 16/03/2024 16:15:16 Explicação: https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio_temas.asp https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio_temas.asp Justificativa: sena+senbcosa+cosb=2sena+b2cosa−b22cosa+b2cosa−b2=tga+b2=tg30°=√3 /3����+��������+� ���=2����+�2����−�22����+�2����−�2=���+�2=��30°=3/ 3 10. Se em um triângulo vale sen2B+sen2C=sen2A���2�+���2�=���2 �, então o triângulo: possui um ângulo igual a 60°60°. é necessariamente equilátero. possui um ângulo igual a 45°45°. é necessariamente retângulo. é necessariamente escaleno. Data Resp.: 16/03/2024 16:15:20 Explicação: Justificativa: sen2B+sen2C=sen2A⇒2sen(B+C)cos(B−C)=2senAcosA���2�+���2�=���2�⇒2 ���(�+�)���(�−�)=2�������� ⇒2senAcos(B−C)=2senAcosA⇒2�������(�−�)=2�������� Como senA10����10 então cos(B−C)=cosA=−cos(B+C)���(�−�)=����=−��� (�+�). Logo, cos(B−C)+cos(B+C)⇒2cosAcosB=0���(�−�)+���(�+�)⇒2�������� =0, ou seja, B ou C = https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio_temas.asp
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