Quadrivium - John Martineau-181-182

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Livro III -177
OS DUAIS DE ARQUIMEDES
Tudo tem o seu oposto
Os duais dos sólidos de Arquimedes foram primeiramente descritos como 
um grupo por Eugène Charles Catalan (1814-1894), e estão posicionados na 
imagem ao lado de modo a mostrar a correspondência com os seus parceiros 
da página 165. Para criar o dual de um sólido arquimediano, prolongue linhas 
perpendiculares, a partir dos pontos médios de suas arestas, tangenciando a 
interesfera do sólido. Essas linhas são as arestas do dual; os pontos onde elas se 
cruzam primeiro são seus vértices. Os sólidos arquimedianos possuem um tipo 
de vértice e diferentes tipos de faces, portanto, seus duais possuem um tipo de 
face, mas diferentes tipos de vértices.
Os dois sólidos arquimedianos quase regulares, o cuboctaedro e o ico- 
sidodecaedro, possuem duais rômbicos que foram descobertos por Kepler. 
Os compostos de pares duais platônicos (páginas 148, 168 e 172) definem as dia­
gonais de face desses poliedros rômbicos, que estão na proporção yf 2 para o 
dodecaedro rômbico e na proporção para o triacontaedro rômbico. Kepler 
percebeu que as abelhas terminam suas células de favo de mel hexagonais com 
três desses losangos 72. Também descreveu os três pares duais que envolvem 
sólidos quase regulares (abaixo), em que o cubo é visto como um sólido rômbico, 
e o octaedro, como um sólido quase regular.
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