Livro 1 - Mat e Nat-025-030

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MateMática e suas tecnologias Matemática I
Anual – Volume 1
Em particular, no sistema decimal de numeração, podemos 
usar para representar um número natural:
• de dois algarismos: a
1
a
0
 = a
1 
⋅ 101 + a
0 
⋅ 100 ou xy = 10x + y;
• de três algarismos: a
2 
a
1 
a
0 
= a
2 
⋅ 102 + a
1 
⋅ 101 + a
0
 ou 
xyz = 100x + 10y + z.
Desvendando o segredo do número pensado
Pede-se a uma pessoa que pense em um número natural 
de dois algarismos; solicita-se a essa pessoa multiplicar o algarismo 
das dezenas do número pensado por 5, somar 7, dobrar, somar o 
algarismo das unidades do número original e anunciar o resultado 
fi nal. Mentalmente, você subtrai 14 unidades do resultado fi nal e 
descobre o número pensado. 
Por exemplo, se uma pessoa tiver pensado no número 38, 
ela fará, ocultamente, os seguintes cálculos:
1) Multiplicará o algarismo das dezenas por 5 → 3 x 5 = 15
2) Somará 7 → 15 + 7 = 22
3) Dobrará → 22 x 2 = 44
4) Somará o algarismo das unidades do número original → 44 + 8 = 52
Quando essa pessoa revelar o resultado fi nal 52, basta 
você subtrair 14 desse resultado para obter o pensado 38 
(mentalmente você calcula: 52 – 14 = 38).
Assim como esse, muitos dos truques numéricos, nos quais 
se deve “adivinhar um número escolhido”, têm explicações no nosso 
próprio sistema de numeração posicional. Vejamos o que acontece 
com os algarismos, qualquer que seja o número pensado:
De modo geral, chamando o algarismo das dezenas do 
número pensado de a, e de b o algarismo das unidades, temos:
Número pensado: ab = 10 ⋅ a + b, com a, b ∈ {0, 1, 2, ..., 9} 
e a ≠ 0. Daí:
1) Multiplicando o algarismo das dezenas por 5 → 5 ⋅ a = 5a
2) Somando 7 → 5a + 7
3) Dobrando → 2 · (5a + 7) = 10a + 14
4) Somando o algarismo das unidades → (10a + 14) + b = 
(10a + b) + 14 = nº pensado + 14
Assim, concluímos que, para quaisquer a e b possíveis, 
a sequência de operações sugeridas nos leva sempre ao número 
pensado, mais 14. Logo, se desse resultado fi nal for subtraído 14, 
obteremos o número pensado.
O problema dos algarismos invertidos
Durante uma viagem de Fortaleza a Recife, o professor 
Francisco Júnior observou uma placa contendo um número natural 
de dois algarismos, indicando, à beira da estrada, a quilometragem. 
54 km mais adiante, ele observou outra placa com os mesmos 
algarismos, agora na ordem inversa. 126 km mais adiante, ele viu 
outra placa com os mesmos algarismos, na mesma ordem vista 
inicialmente, porém com um zero entre eles. Veja a fi gura a seguir.
xy km0 km yx km
x0y km
FORTALEZA
A que distância de Fortaleza se encontra cada uma dessas 
três placas?
Solução:
Observando que xy = 10x + y, yx = 10y + x e x0y = 100x + y, em 
que x, y ∈ {0, 1, 2, ..., 9} e x ≠ 0, devemos ter:
I. yx – xy = 54 ⇒ (10y +x) – (10x + y) = 54 ⇒ 9y – 9x = 54 ⇒
y – x = 6 
II. x0y – yx = 126 ⇒ (100x + y) – (10y + x) = 126 ⇒ 99x – 9y = 126 
⇒ 11x – y = 14
III. Resolvendo o sistema
− + =
− =




= =
x y
x y
encontramos x e y
6
11 14
2 8, .
Assim, xy = 28 km, yx = 82 km e x0y = 208 km.
Resposta: As placas fi cam a 28 km, 82 km e 208 km de Fortaleza, 
respectivamente.
Reconstituindo a multiplicação
Na multiplicação seguinte, o multiplicando e o produto 
têm os mesmos 6 algarismos, porém em ordens diferentes. 
Deslocando-se o algarismo das unidades do multiplicando (7) para 
a primeira posição da esquerda, obtém-se o produto:
abcde
abcde
7
5
7
×
Reconstitua a multiplicação.
Solução:
Fazendo abcde = x, temos:
I. abcde7 = a b c d e 0 + 7 = 10 ⋅ (abcde) + 7 = 10x + 7
II. 7 abcde = 7 0 0 0 0 0 + a b c d e = 7 0 0 0 0 0 + x
Da multiplicação, concluímos que:
7abcde = 5 ⋅ (abcde7), isto é:
7 0 0 0 0 0 + x = 5 ⋅ (10x + 7) ⇒ x x= ⇒ =
699965
49
14285
Resposta: 142857
5
714285
×
Descobrindo a diferença
Déborah pensou em um número natural de três algarismos, 
em que os algarismos das extremidades são diferentes, e calculou 
a diferença positiva entre o número pensado e o número obtido 
invertendo a ordem dos algarismos. Se Déborah encontrou o 
algarismo das unidades dessa diferença igual a 7, qual o valor 
numérico dessa diferença?
Solução:
Sendo abc – cba, a ≠ 0, a diferença positiva calculada por Déborah, 
temos:
a b c
c b a
x y
−
7
, em que a > c. Daí, temos:
I. Operando nas unidades:
10 + c – a = 7 ⇒ c – a = –3 ⇒ a – c = 3
Note: uma dezena foi transformada em 10 unidades e sobraram 
(b – 1) dezenas.
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MateMática e suas tecnologiasMatemática I
Anual – Volume 1
II. Operando nas dezenas:
10 + (b – 1) – b = y ⇒ y = 9
Note: uma centena foi transformada em dezenas e sobraram 
(a – 1) centenas.
III. Operando nas centenas:
a – 1 – c = x ⇒ (a – c) – 1 = x ⇒ 3 – 1 = x ⇒ x = 2
Resposta: A diferença encontrada por Déborah foi 297.
Contando os algarismos
Para uma melhor compreensão do processo utilizado na 
contagem dos algarismos utilizados em uma sequência de números 
inteiros consecutivos, vejamos os seguintes exemplos:
Exemplo 1:
Déborah numerou todas as páginas do seu caderno, iniciando 
com a página 5 e terminando com a página 245. Responda:
A) Quantas páginas tem o caderno de Déborah?
B) Quantos algarismos foram utilizados nessa numeração?
Comentários que ajudarão na resolução:
Observe que a sequência de números naturais 1, 2, 3, …, n 
tem n números. 
Veja:
1, 2, 3 ⇒ tem 3 números.
1, 2, 3, 4 ⇒ tem 4 números.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ⇒ tem 7 números.
1, 2, 3, 4, ..., 100 ⇒ tem 100 números.
Então:
1, 2, 3, 4, ..., n terá n números.
Observe, também, como se calcula a quantidade de números 
das seguintes sequências de números naturais consecutivos:
• 20, 21, 22, 23, ..., 100 tem 100 − 19 = 81 números. Podemos 
calcular, também, assim:
100 – 20 + 1 = 81 números.
Você duvida desse resultado? Então, observe:
1 2 3 19 20 21 22 100
19
, , , , , , , , ,…� ��� ��� …� ���� ����
n meros n merosú úx
1100 n merosú
� �������� ��������
Daí:
x = 100 – 19 ⇒ x = 81
ou
x x= − + ⇒ =100 20 1 81
• 32, 33, 34, 35, ..., 200 tem 169 números. Note:
1 2 3 4 31 32 33 34 200
31
, , , , , , , , , ,…� ��� ��� …� ����� �
n meros n merosú úx
�����
� �������� ��������
200 n merosú
Daí: x = 200 – 31 ⇒ x = 169
Ou, se preferir: x x= − + ⇒ =200 32 1 169
Em geral, a sequência de números naturais consecutivos
a, a + 1, a + 2, a + 3, ..., b tem b – (a – 1) números, em que b é 
o maior dos números dessa sequência e (a – 1), o antecessor do 
menor. Se você preferir, pode-se dizer, também, que a sequência 
tem b – a + 1 números, em que a é o menor dos números.
Solução:
Observando as sequências de números naturais escritos por 
Déborah, temos:
Sequências
5, 6, 7, 8, 9
10, 11, 12, ..., 99 90
100, 101, 102, ..., 245 146
5 5 × 1 = 5
90 × 2 = 180
146 × 3 = 438
Quantidade de
números (páginas)
Quantidade de
algarismos
Logo, Déborah escreveu 245 – 4 = 241 números (241 páginas) e 
5 + 180 + 438 = 623 algarismos.
Resposta: A) 241 páginas;
 B) 623 algarismos.
Exemplo 2:
A numeração das páginas do livro de Matemática de Gabriela 
começa com o número 1. Se para numerar todas as páginas 
desse livro foram utilizados 618 algarismos, qual o número da 
última página?
Solução:
I. Para numerar da página 1 à página 9, usamos 9 números e 
9 ⋅ 1 = 9 algarismos.
Retirando esses algarismos, fi camos com:
618
9
609
−
 algarismos (para numerar as outras páginas)
II. Para numerar da página 10 à página 99, usamos 90 números 
e 90 ⋅ 2 = 180 algarismos. Restam:
609
180
429
−
a arismoslg
III. Com 429 algarismos, não dá para escrever todos os números 
de 3 algarismos, pois seriam necessários 900 × 3 = 2700 
algarismos. Dá para escrever apenas:
429 3
12 143
09
0
números de três algarismos
Veja:
Sequências
1 ao 9
10 ao 99 90
100 ao x 143
9 9 × 1 = 9
90 × 2 = 180
143 × 3 = 429
Total = 618 algarismos
Quantidade de
números (páginas)
Quantidade de
algarismos
Assim, da página 100 à página x, devemos ter 143 números 
naturais: x – 100 + 1 = 143 ⇒ x = 242
Resposta: O número da última página é o 242.
Exemplo 3:
Escrevendo todos os números naturais não nulos, um ao 
ladodo outro, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15..., qual o 
algarismo que ocupa a 2006a posição?
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MateMática e suas tecnologias Matemática I
Anual – Volume 1
Temos:
Sequências
1 ao 9
10 ao 99 90
100 ao x 605
(III)
9 9 × 1 = 9 (I)
90 × 2 = 180 (II)
605 × 3 = 1815
Total = 2004 algarismos
(posições)
Quantidade de
números
Quantidade de
algarismos 
(posições)
CÁLCULOS AUXILIARES
2006
9
1997
180
1817
017
2
3
605
−
−
(I)
( )
(II)
(III)
Quantidade de números de 3 algarismos
escritos completamente.
Daí:
• x – 100 + 1 = 605 ⇒ x = 704 (último número de 3 algarismos 
escrito completamente).
• Ao escrevermos do 1 ao 704, utilizamos 2004 algarismos, ou 
seja, ocupamos 2004 posições:
1a posição 2a posição
2004a posição
2006a posição
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 703 70 4 7 0 5… …( ) ( ) ( )
Logo, a 2006a posição é ocupada pelo algarismo zero (0) do 
número 705.
Resposta: 0
Exercícios de Fixação
01. (Enem) João decidiu contratar os serviços de uma empresa por 
telefone através do SAC (Serviço de Atendimento ao Consumidor). 
O atendente ditou para João o número de protocolo de 
atendimento da ligação e pediu que ele anotasse. Entretanto, 
João não entendeu um dos algarismos ditados pelo atendente e 
anotou o número 1 3 9 8 2 0 7 , sendo que o espaço 
vazio é o do algarismo que João não entendeu.
De acordo com essas informações, a posição ocupada pelo 
algarismo que falta no número de protocolo é a de
A) centena. B) dezena de milhar.
C) centena de milhar. D) milhão.
E) centena de milhão.
02. No sistema romano de numeração, cada símbolo principal I, X, 
C e M pode se repetir no máximo três vezes e seus respectivos 
valores no sistema decimal são 1, 10, 100 e 1000. Os símbolos 
secundários V, L e D não se repetem e correspondem aos 
números 5, 50 e 500 do sistema indo-arábico (decimal). Os 
números 4, 9, 40, 90, 400 e 900, no sistema romano, são 
representados subtraindo-se o valor de um símbolo principal 
do valor de um símbolo secundário, ou seja, colocando-se 
o símbolo principal à esquerda do secundário. Assim, por 
exemplo, podemos dizer que a primeira presidenta do Brasil 
tomou posse no dia 01 de janeiro de MMXI (2011), reelegendo-se
nas eleições de MMXIV (2014), e sofrendo impeachment em 
31 de agosto de MMXVI (2016).
 Um determinado ano da última década do século XX é 
representado, na base 10, pelo número abba e um outro, da 
primeira década do século XXI, é representado, também na 
base 10, pelo número cddc. A que século pertencerá o ano 
representado pela soma abba + cddc?
A) XXII B) XXIII
C) XXXIX D) XL
E) XLI
03. Gabriel pensou em um número natural de dois algarismos, 
quintuplicou o algarismo das dezenas e somou 12 ao 
resultado; duplicou a soma obtida e adicionou o algarismo 
das unidades do número pensado inicialmente, obtendo um 
resultado fi nal igual a 78.
 A soma dos algarismos do número em que Gabriel pensou 
é igual a
A) 7 B) 8
C) 9 D) 10
E) 11
04. (PUC-SP) Para a orientação dos maquinistas, ao longo de uma 
ferrovia existem placas com a indicação da quilometragem. 
Um trem percorre essa ferrovia em velocidade constante e, 
num dado instante, seu maquinista observa uma placa em 
que o número indicador da quilometragem tinha 2 algarismos. 
Após 30 minutos, ele passa por uma outra em que, 
curiosamente, os algarismos assinalados eram os mesmos 
da primeira, só que escritos na ordem inversa. Decorridos 30 
minutos de sua passagem pela segunda placa, ele passa por 
uma terceira em que o número marcado tinha os mesmos 
algarismos das anteriores mas na mesma ordem dos da primeira 
e com um zero intercalado entre eles. Nessas condições, a 
velocidade desse trem, em quilômetros por hora, era: 
A) 72 B) 90
C) 100 D) 116
E) 120
05. Justapondo-se os números naturais conforme a representação 
abaixo, onde o sinal * indica o último algarismo, forma-se um 
número de 1002 algarismos:
12345678910111213141516...........*
Nesse caso, o símbolo * está representando o algarismo:
A) 0 B) 1
C) 3 D) 7
E) 8
Exercícios Propostos
01. (CFT-MG) Sobre um número natural n formado por dois 
algarismos, sabe-se que:
– O algarismo das unidades excede o triplo do das dezenas 
em 1;
– a inversão da ordem dos algarismos produz um número que 
excederá o dobro do original em 18 unidades.
A soma dos algarismos do número n, que atende as condições 
anteriores, é:
A) 5 B) 7
C) 9 D) 11
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MateMática e suas tecnologiasMatemática I
Anual – Volume 1
02. (Enem) O medidor de energia elétrica de uma residência, 
conhecido por “relógio de luz”, é constituído de quatro 
pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados 
conforme a fi gura:
Re
pr
od
uç
ão
/E
ne
m
Disponível em: <http://www.enersul.com.br>.
Acesso em: 26 abr. 2010.
A medida é expressa em kWh. O número obtido na leitura é 
composto por 4 algarismos. Cada posição do número é formada 
pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro.
 O número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é
A) 2614 B) 3624
C) 2715 D) 3725
E) 4162
03. (Enem) Uma pessoa ganhou uma pulseira formada por pérolas 
esféricas, na qual faltava uma das pérolas. A fi gura indica a 
posição em que estaria faltando esta pérola.
Re
pr
od
uç
ão
/E
ne
m
 2
01
7
Ela levou a joia a um joalheiro que verifi cou que a medida do 
diâmetro dessas pérolas era 4 milímetros. Em seu estoque, as 
pérolas do mesmo tipo e formato, disponíveis para reposição, 
tinham diâmetros iguais a: 4,025 mm; 4,100 mm; 3,970 mm; 
4,080 mm e 3,099 mm. O joalheiro então colocou na pulseira 
a pérola cujo diâmetro era o mais próximo do diâmetro das 
pérolas originais.
 A pérola colocada na pulseira pelo joalheiro tem diâmetro, em 
milímetro, igual a
A) 3,099 B) 3,970
C) 4,025 D) 4,080
E) 4,100
04. (Fuvest) A seguir está representada uma multiplicação onde os 
algarismos a, b e c são desconhecidos.
Qual é o valor da soma a + b + c?
A) 5 
1abc
× 3
abc4
B) 8
C) 11
D) 14
E) 17
05. (PUC-MG) O número natural n tem três algarismos. Da soma 
de n com 297 resulta o número obtido invertendo-se a ordem 
dos algarismos de n. Além disso, a soma do algarismo das 
centenas com o algarismo das unidades de n é igual a 9. 
Então, o algarismo das unidades de n é: 
A) 4 B) 5
C) 6 D) 7
06. Considere um número natural N representado no sistema 
decimal de numeração e multiplique seus algarismos. Repita o 
processo até que o resultado seja um único algarismo. Chame 
esse algarismo de “resíduo” do número N.
Por exemplo, o “resíduo” de 714 é 6, porque 7 · 1 · 4 = 28 →
2 · 8 = 16 → 1 · 6 = 6
Nessas condições, a soma dos algarismos do maior número 
natural formado por quatro algarismos diferentes, cujo resíduo 
é ímpar, é igual a
A) 19 B) 20
C) 21 D) 22
E) 23
07. Para numerar as páginas de um livro, começando pela página 
1, foram utilizados 357 algarismos. Nesse livro, a quantidade 
de páginas cuja numeração corresponde a um número par é 
igual a
A) 75 B) 76
C) 77 D) 78
E) 79
08. (Uece) Se x representa um dígito, na base 10 em cada um dos 
três números 11x, 1x1 e x11 e se a soma desses números for 
igual a 777, então, o valor de x é
A) 4 B) 5
C) 6 D) 7
09. (Fatec) Leia o texto e siga as orientações.
– pense em um número inteiro positivo N de três algarismos 
distintos e não nulos;
– com os algarismos de N, forme todos os possíveis números 
de dois algarismos distintos;
– obtenha a soma (S) de todos esses números de dois 
algarismos;
– obtenha a soma (R) dos três algarismos do número N;
– fi nalmente, divida S por R;
O quociente da divisão de S por R é igual a
A) 21 B) 22
C) 23 D) 24
E) 25
10. Gabriela pretende numerar artisticamente as páginas dos 
álbuns A, B e C com fotografi as da festa de seus 15 anos, 
obedecendo às seguintes paginações.
Álbum A (preparativos): páginas 1 a 60; 
Álbum B (agradecimentos a Deus): páginas 61 a 102;
Álbum C (baile): páginas 103 a 180.
Sabe-se que o profi ssional a ser contratado para o serviço 
cobrará R$ 0,40 por cada algarismo desenhado. Nessas 
condições, Gabriela irá gastar na numeração de seus três 
álbuns:
A) R$ 162,80 B) R$ 172, 80
C) R$ 182, 80 D) R$ 192, 80
E) R$ 202, 80
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MateMática e suas tecnologias Matemática I
Anual – Volume 1
Fique de Olho
Apesar de parecer impossível, calcular o resto da divisão de 
7131 por 12 é relativamente fácil, quando se conhece as propriedades 
das potências. Veja:
72 = 49 = 12 ⋅ 4 + 1 (resto = 1)
7131 = 7 ⋅ 7130 = 7 ⋅ (72)65 = 7 · (12 ⋅ 4 + 1 )65 
Note:
12 4 1 12 4 1 12 4 1 12 4 1
65
65
� �� � � � �� � � � �� � � � � � � � �� �
vezes� �������� ���������
 = múltiplo de 12, mais 1 1 1 1
65 vezes
⋅ ⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅
� ������
= 12 ⋅ m + 165
= 12 ⋅ m + 1
Daí, 
7131 = 7 ⋅ (12 ⋅ m + 1)
=12 ⋅ 7m + 7 (resto = 7)
Aula 03 
Sistemas de Numeração 
Posicionais (Outras Bases)
Introdução
Como foi visto no sistema de numeração decimal, em um 
sistema posicional escolhe-se um número b para ser a base de 
contagem e utilizam-se b símbolos básicos para representar os 
números 0, 1, 2, 3, ..., b –1. Já para representar os números maiores 
que ou iguais a b, utilizam-se combinações desses símbolos básicos, 
em que, da direita para a esquerda, estão indicando as quantidades 
de potências de b0, b1, b2, b3, ..., respectivamente, a serem somadas. 
Assim, por exemplo, podemos considerar o numeral 4203 como 
um número expresso em qualquer base de contagem maior que 4. 
Para deixar claro de que base de contagem se trata, escreve-se 
o numeral entre parênteses, associado a um índice indicando 
a base. 
Veja:
(4203)
5
 (lê-se: 4, 2, 0, 3, na base 5);
(4203)
6
 (lê-se: 4, 2, 0, 3, na base 6);
(4203)
10
 ou simplesmente 4203 (lê-se: quatro mil, duzentos 
e três unidades).
No sistema decimal, os dois primeiros numerais equivalem a:
(4203)
5
= 4 ⋅ 53 + 2 ⋅ 52 + 0 ⋅ 51 + 3 ⋅ 50 = 553;
(4203)
6
= 4 ⋅ 63 + 2 ⋅ 62 + 0 ⋅ 61 + 3 ⋅ 60 = 939.
Quando a base de contagem do sistema é o número dois, 
dizemos que o sistema é binário e utilizamos apenas dois algarismos: 
0 (zero, indicando a ausência da respectiva potência de base 2) e 
1 (um, indicando a presença da respectiva potência de base 2).
C-1 H-1, 3
C-18
C-18 H-4
C-18
Aula
03
Veja outros exemplos com os respectivos correspondentes 
no sistema decimal:
a) (100111)
2
 = 1 ⋅ 25 + 0 ⋅ 24 + 0 ⋅ 23 + 1 ⋅ 22 + 1 ⋅ 21 +1 ⋅ 20
= 32 + 4 + 2 + 1
= 39
∴ (100111)
2
 = 39
b) (10001)
2
 = 1 ⋅ 24 + 1 ⋅ 20
= 16 + 1
= 17
∴ (10001)
2
 = 17
c) (2210)
3
 = 2 ⋅ 33 + 2 ⋅ 32 + 1 ⋅ 31 + 0 ⋅ 30
= 54 + 18 + 3
= 75
∴ (2210)
3
 = 75
No sistema de numeração posicional de base 11, utilizam-se 
11 símbolos, que podem ser os mesmos símbolos do sistema decimal 
(0, 1, 2, 3, ..., 9) e mais um outro símbolo para representar 
o número 10. Se, por exemplo, escolhe-se 10 = D, temos os 
seguintes numerais com os respectivos correspondentes no sistema 
indo-arábico (decimal):
a) (3DD)
11
 = 3 ⋅ 112 + 10 ⋅ 111 + 10 ⋅ 110
= 363 + 110 + 10
= 483 ∴ (3DD)
11
 = 483
b) (20D9)
11
 = 2 ⋅ 113 + 10 ⋅ 111 + 9 ⋅ 110
= 2662 + 110 + 9
= 2781
∴ (20D9)
11
 = 2781
Já no sistema de base doze, devemos escolher um 
símbolo para representar o número 10 e outro para representar o 
número 11. Se em um sistema de numeração posicional de base 
12 considerarmos os mesmos símbolos do sistema decimal e mais 
D = 10 e E = 11, podemos dizer que:
a) (1DE)
12
 = 1 ⋅ 122 + 10 ⋅ 121 + 11 ⋅ 120
= 144 + 120 + 11
= 275
∴ (1DE)
12
 = 275
b) (ED0E)
12
 = 11 ⋅ ��� + 10 ⋅ 122 + 11 ⋅ 120
= 19008 + 1440 + 11
= 20 459
∴ (ED0E)
12
 = 20 459
De modo geral, o número (a
n
a
n – 1
 ... a
2
a
1
a
0
)
b
, escrito na base 
b, pode ser escrito na base 10 assim: 
(a
n
a
n – 1
 ... a
2
a
1
a
0
)
b
 = a
n 
⋅ bn + a
n – 1
⋅ bn –1 + ... + a
2
⋅ b2 + a
1
⋅ b1 + a
0
, 
em que os algarismos podem tomar apenas os valores 0, 1, 2, ..., 
b – 1.
Por exemplo:
(2011)
3
 = 2 ⋅ 33 + 0 ⋅ 32 + 1 ⋅ 31 + 1 = 58
Já para escrever 58 no sistema de numeração de base 3 
(processo inverso), devemos agrupar essas 58 unidades de 3 em 3, 
formando grupos de 30 = 1; 32 = 9; 33 = 27; ... Vejamos quantos 
grupos de 3 unidades podemos formar, com 58 unidades (58 
grupos de 1).
19
MateMática e suas tecnologiasMatemática I
Anual – Volume 1
58 3
28 19
1
58 19 3 1⇔ = ⋅ +
Ficamos com apenas um grupo de uma unidade (resto = 1), 
mas com 19 grupos de 3 unidades. Cada três grupos de 3 unidades 
equivale a um grupo de 9 unidades. Vejamos quantos grupos de 
32 = 9 unidades podemos formar.
19 3
19 6 3 1
1 6
⇔ = ⋅ +
Ficamos com apenas um grupo de três unidades (resto = 1), 
mas com 6 grupos de 32 = 9 unidades. Cada 3 grupos de 9 unidades 
forma um grupo de 33 = 27 unidades. Vejamos quantos grupos de 
33 = 27 unidades podemos formar:
6 3
6 2 3 0
0 2
⇔ = ⋅ +
Ficamos com zero grupo de nove unidades (resto = 0), 
mas com 2 grupos de 27 unidades. Cada 3 grupos de 27 unidades 
forma um grupo de 34 = 81 unidades. Vejamos quantos grupos de 
81 unidades podemos formar:
2 3
2 0
Ficamos com dois grupos de 27 unidades (resto = 2) e não 
obtemos nenhum grupo de 81 unidades.
Ao fi m das contas, os restos das divisões sucessivas de 58 
e dos respectivos quocientes obtidos (até quociente igual a zero) 
pela base do sistema (no caso, base = 3) indicam as quantidades de 
grupos de 30 = 1; 31 = 3; 32 = 9 e 33 = 27 gerados com 58 unidades.
Na prática, façamos apenas assim: 
3
3
3
3
0
0 2
2
11 6
1928
58
Daí: 58 = (2 011)
3
Seguindo o mesmo raciocínio, podemos, por exemplo, escrever 
o número 120 nos sistemas de bases 6, 2 e 9, respectivamente. Veja:
a) 
3
6
6
6
0
2000
120
3
20
Daí: 120 = (320)
6
De fato: (320)
6
 = 3 ⋅ 62 + 2 ⋅ 61 + 0 ⋅ 60
= 108 + 12
= 120
b) 
0
1
2
2
2
2
2
2
2
10
00
120
00 30
60
15
7
3
1
1
1
1
0
0
0
Daí: 120 = (1111000)
2
De fato: (1111000)
2
 = 1 ⋅ 26 + 1 ⋅ 25 + 1 ⋅ 24 + 1 ⋅ 23
= 64 + 32 + 16 + 8
= 120
c) 
1
9
9
9
0
1330
120
1
43
Daí, 120 = (143)
9
De fato: (143)
9
 = 1 ⋅ 92 + 4 . 91 + 3 ⋅ 90
= 81 + 36 + 3
= 120
Exercícios de Fixação
01. Qualquer número pode ser representado na base “2” como 
a soma de fatores que indicam potências crescentes de 2, da 
direita para esquerda, aparecendo o símbolo “1” se 2 elevado 
aquela potência está presente na composição do número e o 
símbolo “o” se 2 elevado aquela potência não está presente 
na composição do número
 Por exemplo: o número 5 é representado por (101), pois 
5 = 1 × (22) + 0 × (21) + 1 × (20)
 O número 9 pode ser representado por:
 (1001), pois 9 = 1 × (23) + 0 × (22) + 0 × (21) + 1 × (20)
 O numeral (1110101), escrito na base 2, equivale a que número 
do sistema decimal?
A) 97 B) 99
C) 103 D) 115 
E) 117
02. Maheus e João Victor associaram as cinco lâmpadas seguintes 
aos grupos do sistema binário de numeração, conforme 
indicado.
 
 s
ud
ow
oo
do
/1
23
RF
/E
as
yp
ix
 (24 = 16) (23 = 8) (22 = 4) (21 = 2) (20 = 1)