Lista 4

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4ª Lista de Exercícios
1 - Lance um dado equilibrado até que a face 5 apareça pela primeira vez. Enumere os possíveis
resultados desse experimento.
2 - Três jogadores A, B e C disputam um torneio de tênis. Inicialmente, A joga com B e o vencedor
joga com C, e assim por diante. O torneio termina quando um jogador ganha duas vezes em
seguida ou quando são disputadas, ao todo, quatro partidas. Quais são os resultados possíveis
do torneio?
3 - Duas moedas honestas são lançadas. Dê dois possíveis espaços amostrais para esse experimento.
4 - De�na um espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios.
a) Numa entrevista telefônica com 250 assinantes, anota-se se o proprietário tem ou não
máquina de secar roupa.
b) Um �chário com dez nomes contém três nomes de mulheres. Seleciona-se �cha após �cha,
até o último nome de mulher ser selecionado, e anota-se o número de �chas selecionadas.
c) Um relógio mecânico pode parar a qualquer momento por falha técnica. Mede-se o ângulo
(em graus) que o ponteiro dos segundos forma com o eixo imaginário orientado do centro
ao número 12.
d) Mesmo enunciado anterior, mas supondo que o relógio seja elétrico e, portanto, seu pon-
teiro dos segundos mova-se continuamente.
e) De um grupo de cinco pessoas {A,B,C,D,E}, sorteiam-se duas, uma após outra, com
reposição, e anota-se a con�guração formada.
f) Mesmo enunciado que (e), sem reposição.
g) Mesmo enunciado que (e), mas as duas selecionadas simultaneamente.
h) De cada família entrevistada numa pesquisa, anotam-se a classe social a que pertence
(A,B,C,D) e o estado civil (solteiro, casado ou viúvo) do chefe da família.
5 - Sejam A, B e C três eventos de um espaço amostral. Determine expressões em função de A,
B e C para os seguintes eventos.
a) A, B e C ocorrem simultaneamente.
b) Pelo menos um dos eventos ocorre.
c) Nenhum dos eventos ocorre.
d) Apenas A ocorre.
e) Apenas B ocorre.
f) Exatamente um dos eventos ocorre.
g) Pelo menos dois eventos ocorrem.
h) Exatamente dois eventos ocorrem.
i) Não mais do que dois eventos ocorrem.
j) A e C ocorrem.
6 - Considere o lançamento de duas moedas honestas. Calcule a probabilidade de
a) ocorrer pelo menos uma cara.
b) ocorrer duas caras.
c) não ocorrer duas caras.
7 - Considere o lançamento de dois dados honestos. Considere os eventos: A = soma dos números
obtidos igual a 9, e B = número no primeiro dado maior ou igual a 4.
a) Enumere os elementos de A e B.
b) Obtenha os eventos A ∪B, A ∩B e Ac.
c) Calcule P (A), P (B), P (A ∪B), P (A ∩B) e P (Ac).
8 - No espaço amostral do Problema 2, atribua a cada ponto contendo k letras a probabilidade
1/2k. Assim, o ponto amostral AA tem probabilidade 1/4, ACC tem probabilidade 1/8 e,
assim por diante.
a) Mostre que a soma das probabilidades dos pontos amostrais é igual a 1.
b) Calcule a probabilidade de que A vença (um jogador vence quando ganha duas partidas
seguidas).
c) Qual a probabilidade de que não haja decisão?
9 - No Problema 1, suponha que 5 indique o aparecimento da face 5 e Q indique que apareceu
outra face qualquer diferente de 5. Atribua probabilidade (5/6)k(1/6) a cada ponto amostral
com k letras iguais a Q seguidas de 5.
a) Mostre que a soma das probabilidades dos pontos amostrais é igual a 1.
b) Calcule a probabilidade de que a face 5 apareça no terceiro lançamento do dado.
10 - Sejam A, B e C eventos quaisquer. Mostre que
P (A ∪B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C)− P (A ∩B)− P (A ∩ C)− P (B ∩ C) + P (A ∩B ∩ C).
11 - A tabela a seguir apresenta dados dos 1000 ingressantes de uma universidade, com informações
sobre área de estudo e classe socioeconômica.
Área/Classe Alta (A) Média (M) Baixa (B) Total
Exatas (E) 120 156 68 344
Humanas (H) 72 85 112 269
Saúde (S) 169 145 73 387
Total 361 386 253 1000
Se um aluno ingressante é escolhido ao acaso, determine a probabilidade de:
a) estudar na área de humanas.
b) ser da classe média.
c) ser da classe baixa e estudar na área de saúde.
d) não ser da área de saúde.
e) não ser da classe econômica mais alta.
f) estudar na área de exatas e não ser da classe econômica mais baixa.
12 - Três jornais A, B e C são publicados em uma pequena cidade de 10 mil habitantes. Uma
recente pesquisa entre os leitores indicou o seguinte: 2000 pessoas leem A, 2600 leem B, 1400
leem C, 800 leem A e B, 500 leem A e C, 400 leem B e C, e 200 leem A, B e C. Para uma
pessoa escolhida ao acaso dessa cidade, calcule a probabilidade de que:
a) ele não leia qualquer dos jornais.
b) ele leia pelo menos um dos jornais.
c) ele leia apenas o jornal C.
d) ele leia exatamente um dos jornais.
e) ele leia o jornal A e o jornal B mas não leia o jornal C.
f) ele leia exatamente dois dos jornais.
g) ele leia pelo menos dois dos jornais.
13 - Dois processadores tipos A e B são colocados em teste por 50 mil horas. A probabilidade de
que um erro de cálculo aconteça em um processador do tipo A é de 1/30, no tipo B é 1/80 e
em ambos é 1/1000. Qual a probabilidade de que:
a) pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro?
b) nenhum processador tenha apresentado erro?
c) apenas o processador B tenha apresentado erro?
d) exatamente um dos processadores tenha apresentado erro?
Bom Trabalho!
RESPOSTAS
Questão 01:
Ω = {5, Q5, QQ5, QQQ5, . . . }, em que 5 representa a ocorrência da face 5 e Q indica a ocorrência
de outra face qualquer diferente de 5.
Questão 02: Ω = {AA,ACBA,ACBB,ACC,BB,BCAA,BCAB,BCC}.
Questão 03
Ω1 = {CC,CR,RC,RR}, em que C representa a ocorrência de cara e R de coroa.
Ω2 = {0, 1, 2}, em que cada valor representa a quantidade de coroas nos lançamentos.
Questão 04
(a) Ω = {(N,N, . . . , N), (S,N, . . . , N), (N,S, . . . , N), (S, S,N, . . . , N), . . . , (S, S, . . . , S)}, em que S
indica sim e N indica não.
(b) Ω = {3, 4, . . . , 10}.
(c) Ω = {0◦, 6◦, 12◦, . . . , 354◦}.
(d) Ω = [0◦, 360◦).
(e) Ω = {(A,A), (A,B), . . . , (A,E), (B,A), (B,B), . . . , (B,E), . . . , (E,A), (E,B), . . . , (E,E)}.
(f) Ω = {(A,B), (A,C), . . . , (A,E), (B,A), (B,C), . . . , (B,E), . . . , (E,A), (E,B), . . . , (E,D)}.
(g) Ω = {(A,B), (A,C), (A,D), (A,E), (B,C), (B,D), (B,E), (C,D), (C,E), (D,E)}.
(h) Ω = {(A, S), (A,Ca), (A, V ), (B, S), (B,Ca), (B, V ), (C, S), (C,Ca), (C, V ), (D,S), (D,Ca), (D, V )},
em que S representa solteiro, Ca casado e V viúvo.
Questão 05
(a) A ∩B ∩ C.
(b) A ∪B ∪ C.
(c) Ac ∩Bc ∩ Cc.
(d) A ∩Bc ∩ Cc.
(e) Ac ∩B ∩ Cc.
(f) (A ∩Bc ∩ Cc) ∪ (Ac ∩B ∩ Cc) ∪ (Ac ∩Bc ∩ C).
(g) (A ∩B ∩ Cc) ∪ (A ∩Bc ∩ C) ∪ (Ac ∩B ∩ C) ∪ (A ∩B ∩ C).
(h) (A ∩B ∩ Cc) ∪ (A ∩Bc ∩ C) ∪ (Ac ∩B ∩ C).
(i) (A ∩B ∩ C)c.
(j) A ∩ C.
Questão 06: (a) 3/4; (b) 1/4; (c) 3/4.
Questão 07: (c) 1/9, 1/2, 19/36, 1/12 e 8/9.
Questão 08: (b) 5/16; (c) 1/8.
Questão 09: (b) 25/216.
Questão 11: (a) 0,269; (b) 0,386; (c) 0,073; (d) 0,613; (e) 0,639; (f) 0,276.
Questão 12: (a) 0,55; (b) 0,45; (c) 0,07; (d) 0,32; (e) 0,06; (f) 0,11; (g) 0,13.
Questão 13: (a) 269/6000; (b) 5731/6000; (c) 23/2000; (d) 263/6000.