AVA1 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - JORGE LUIZ BRAZIEL

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UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA 
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
TRABALHO DA DISCIPLINA (AVA 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aluno: Jorge Luiz Oliveira Braziel Ferreira 
Matrícula: 1210303732 
 
 
 
 
RIO DE JANEIRO, AGOSTO DE 2023. 
 
 
 
Funções de várias variáveis: algumas aplicações 
Ao longo das unidades 1 e 2 discutimos algumas possíveis aplicações das funções 
de várias variáveis. Nas questões abaixo teremos uma noção geral de como tais 
funções e o conhecimento adquirido até agora podem ser utilizados em algumas 
áreas do conhecimento. 
 
1ª Questão: A temperatura T de uma localidade do Hemisfério Norte depende 
da longitude x, da latitude y e do tempo t, de modo que podemos escrever 
T=f(x,y,t). O tempo é medido em horas a partir do princípio de janeiro. 
(a) Qual o significado das derivadas parciais 
R: A taxa de variação da temperatura muda a longitude, com latitude e tempo 
fixados. 
Taxa de variação quando muda só a latitude. 
Taxa de mudança quando muda apenas o tempo. 
 
(b) Honolulu tem longitude de 158º W e latitude de 21º N. Suponha que às 9 horas 
em 1º de janeiro esteja ventando do noroeste uma brisa quente, de forma que a 
oeste e a sul o ar esteja quente e a norte e leste o ar esteja frio. Você esperaria 
fx(158,21,9), fy(158,21,9) e ft(158,21,9) serem positivos ou negativos? Explique. 
(Atenção para o fato das longitudes serem contadas a partir do meridiano central, 
sendo positivas para leste (E) e negativas para oeste (W)). 
R: Longitude= 𝑓𝑥(158,21,9) > 0 (Positiva) 
Latitude= 𝑓𝑦(158,21,9) < 0 (Negativa) 
Tempo= 𝑓𝑡(158,21,9) > 0 (Positiva) 
Sobre vento e as coordenadas, a parábola é voltada para cima e abaixo da 
longitude. 
 
 
2ª Questão: Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico 
seja V seja dado por 𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)=5𝑥2−3𝑥𝑦+𝑥𝑦𝑧. 
(a) Qual o domínio da função V? 
R: 𝐷 = {𝑓(𝑉) = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 /(5𝑥) − 3𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 ≥ 0} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Determine a taxa de variação do potencial em P(3,4,5) na direção do 
vetor �̂�+ 𝒋 ̂+�̂�. 
R: 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 5𝑥 − 3𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 
∂V
∂𝑥
= 10𝑥 − 3𝑦 + 𝑥𝑧 
∂𝑉
∂𝑦
= −3𝑥 + 𝑥𝑧 
∂𝑉
∂𝑧
= 𝑥𝑦 
∂V
∂𝑥
= (10.3) − (3.4) + (4.5) = 38 
∂V
∂𝑦
= −(3.3) + (3.5) = 6 
∂V
∂𝑧
= 3.4 = 12 
 
 
∂V(P) = (38,6,12) 
𝑉 = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘 
𝑉 = (1,1,1) 
𝑉 = 1 + 1 + 1 = √3 
DV(P) = (38 + 6 + 12).
(1,1,1)
√3
 
DV(P) = (38 + 6 + 12). 3 
DV(P) =
56
√3
 
Dvf = (x, y, z) = ∇f. cos 
𝑐𝑜𝑠 = 1 
Dvf = (x, y, z)maximo = |∇f|. cos ∗∗ 
Dvf = (x, y, z)maximo = |∇f|.1 
Dvf = (x, y, z)maximo = |∇f| 
Dvf = (x, y, z)maximo = (38,6,12) 
 
(c) Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P? 
R: Varia mais rápido na direção do vetor V(P): 
𝑉(𝑃) = (38; 6; 12) 
 
 
 
 
3ª Questão: Uma caixa de papelão (com tampa) deve ter um volume de 32.000 
cm3. Determine as dimensões (aproximadas) da caixa que minimizem a 
quantidade de papelão utilizado. (Atenção: o raciocínio desenvolvido deve ser 
o mais geral possível, logo a caixa deve ser considerada, inicialmente, 
retangular) 
R: Altura=31,75cm / Largura=31,75cm / Profundidade=31,74cm 
𝑉 = 𝑥𝑧𝑦 = 32000𝑐𝑚 
𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2(𝑥𝑦 + 𝑧𝑦 + 𝑦𝑧) 
𝑧 =
3200
𝑥𝑧
 
𝐴(𝑥, 𝑦) = 2 𝑥𝑦 +
3200
𝑥
+
3200
𝑦
 
∂A
∂𝑥
= 0 → 2 𝑦 −
32000
𝑥
= 0 → 𝑦 =
32000
𝑥
 
∂A
∂𝑦
= 0 → 2 𝑥 −
32000
𝑥
= 0 → 𝑥 =
32000
𝑦
 
𝑥 =
32000
𝑦𝑥
→ 𝑥 =
32000
32000
𝑥
→ 𝑥 =
x2
32000
→ 𝑥 = 32000 → 𝑥 = √32000 ≅ 31,75 
𝑦 =
32000
𝑥
→ 𝑥 =
32000
( 32000)²
→ 𝑦 = √32000 ≅ 31,75 
𝑧 =
32000
𝑥𝑦
= 𝑦 =
32000
31,75.31,75
≅ 31,74