TD DE MATEMÁTICA - AULA 9 - Frente 1 - versao 5

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PARTE 1 - GEOMETRIA PLANA – ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS 
 
ÁREA DOS QUADRILÁTEROS 
 
1. Retângulo 
A b h  
Diagonal: 22 hbd  . 
 
2. Quadrado 
2A L
 
Diagonal: d L 2 
 
3. Paralelogramo 
A b h  
 
4. Losango 
D d
A
2

 
 
Relação Importante: 
2 2 2dD
2 2
L ( ) ( )  
5. Trapézio 
 
B b
A h
2
 
  
 
 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
Aula 9 – Prof Raul Brito 
 
2 
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Propriedades !!! 
 
 
 Base Média: 
2
ABDC
MN

 
 Mediana de Euler: 
2
ABDC
EF

 
 
6. Quadrilátero com diagonais perpendiculares 
D d
A
2

 
 
7. Fórmula de Brahmagupta 
 
A área de um quadrilátero inscrito com lados medindo a, b, c e d é dada por: 
 
)dp)(cp)(bp)(ap(A  
 
onde 
2
dcba
p

 
 
ÁREA DOS TRIÂNGULOS 
 
1. Triângulo Qualquer 
hb
2
1
A  
 
2. Triângulo Equilátero 
 
 
23A L
4
 
 
 
3 
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3. Área de um Hexágono Regular 
 
23 3A L
2
 
 
4. Triângulo Retângulo 
 
 
a h
A
2

 ou 
b c
A
2

 
 
Obs.: bc = ah 
 
5. Em função dos 3 lados (Fórmula de Herão) 
 
)cp()bp()ap(pA  
a
A2
h  
 
onde 
2
cba
p

 (semi-perímetro) 
 
6. Em função de 2 lados e do ângulo entre eles 
 
 
 senba
2
1
A  senca
2
1
A 
 
 sencb
2
1
A 
 
 
7. Em função dos lados e do raio da circunferência circunscrita 
 
R4
cba
A


 
 
4 
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8. Em função dos lados e do raio da circunferência inscrita 
 
rpA  
onde 
2
cba
p

 (semi-perímetro) 
 
9. Propriedade da Mediana 
 
“Toda mediana de um triângulo o divide em dois triângulos de áreas iguais.” 
 
 
ABC
1 2
A
A A
2
  
 
 
ÁREA DAS FIGURAS CIRCULARES 
 
1. Polígono Regular Inscrito 
 
 
apA  ou  senRn
2
1
A 2 
 
Onde: 
n
360
  ângulo central do polígono 
p = ½nL  semi-perímetro do polígono 
)
2
cos(Ra

  apótema do polígono 
)
2
sen(R2L

  lado do polígono 
 
 
 
 
 
 
 
5 
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2. Polígono Regular Circunscrito 
 
rpA  ou  sen)
4
L
r(n
2
1
A
2
2
 
Onde: 
n
360
  ângulo central do polígono 
p = ½nL  semi-perímetro do polígono 
 
a = r  apótema do polígono 
L 2r tg( )
2

   lado do polígono 
 
TÓPICO EXTRA 
Área de um polígono regular em função do lado 
 
)
2
(gcot
4
Ln
A
2
ladosn

 onde 
360
n


 
 
 
3. Círculo 
 
2RA  ou 
4
D
A
2
 
Onde: D = 2R  diâmetro da circunferência 
 
Comprimento da Circunferência 
 
C = 2R ou C = D 
 
 = 3,14159... 
 
4. Coroa Circular 
 
 
)rR(A 22  ou 
2L
A
4



 
 
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5. Setor Circular 
 
 
  em graus: 



360
RA 2 
 
  em radianos: 
2
R
A
2 
 
 
 em função do comprimento do arco: 
2
RL
A

 
 
 
Lembrete !!! 
 
   em rad 
 
6. Segmento Circular 
 
 
ABOsetorseg AAA  
 
7. Polígono Semelhantes 
 
 
 
k
'f
f
'e
e
'd
d
'c
c
'b
b
'a
a
 
2
2
1 k
A
A
 
 
k razão de semelhança 
 
R
L

 
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PROBLEMAS DE APRENDIZAGEM 
 
Questão 01 
Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de 
lados de medida igual a y centímetros. Essas placas são 
vendidas em caixas com N unidades e, na caixa, é 
especificada a área máxima S que pode ser coberta 
pelas N placas. 
Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, 
a fábrica triplicou a medida dos lados de suas placas e 
conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que 
a área coberta S não fosse alterada. 
 
A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada 
nova caixa será igual a: 
a) 
N
9
 
b) 
N
6
 
c) 
N
3
 
d) 3N 
e) 9N 
 
Questão 02 
A cerâmica constitui-se em um artefato bastante 
presente na história da humanidade. Uma de suas várias 
propriedades é a retração (contração), que consiste na 
evaporação da água existente em um conjunto ou bloco 
cerâmico quando submetido a uma determinada 
temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, 
que ocorre durante o processo de cozimento, causa uma 
redução de até 20% nas dimensões lineares de uma 
peça. 
Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar. 2012. 
 
Suponha que uma peça, quando moldada em argila, 
possuía uma base retangular cujos lados mediam 30 cm 
e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos 
em 20%. 
 
Em relação à área original, a área da base dessa peça, 
após o cozimento, ficou reduzida em 
a) 4%. 
b) 20%. 
c) 36%. 
d) 64%. 
e) 96%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 03 
Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio 
externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro 
de um cano de raio maior, de medida R. Para 
posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver 
uma distância de 10cm entre os canos soldados e o 
cano de raio maior. Essa distância é garantida por um 
espaçador de metal, conforme a figura: 
 
 
 
Utilize 1,7 como aproximação para 3. 
O valor de R, em centímetros, é igual a 
a) 64,0. b) 65,5. c) 74,0. d) 81,0. e) 91,0. 
 
Questão 04 
Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto 
projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados 
de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir. 
 
 
Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios 
dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 
1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar 
um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a 
parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m
2
, e 
outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e 
BCDQB), que custa R$ 50,00 o m
2
. 
 
De acordo com esses dados, qual é o custo dos 
materiais usados na fabricação de um vitral? 
a) R$ 22,50 
b) R$ 35,00 
c) R$ 40,00 
d) R$ 42,50 
e) R$ 45,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 05 
Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza 
para melhorar o conforto dos seus clientes no inverno. 
Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de 
aquecedores: modelo A, que consome 600 g/h (gramas 
por hora) de gás propano e cobre 35 m
2
 de área, ou 
modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 
45 m
2
 de área. O fabricante indica que o aquecedor deve 
ser instalado em um ambiente com área menor do que a 
da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por 
ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A 
área do salão que deve ser climatizada encontra-se na 
planta seguinte (ambientes representados por três 
retângulos é um trapézio). 
 
 
Avaliando-se todas as informações, serão necessários 
a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo 
B. 
b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B. 
c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. 
d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B. 
e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo 
B. 
 
Questão 06 
Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a 
informação de que encolherá após a primeira lavagem, 
mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir 
mostra as medidas originais do forro e o tamanho do 
encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A 
expressão algébrica que representa a área do forro após 
ser lavado é (5 – x) (3 – y). 
 
 
 
Nessas condições, a área perdida do forro, após a 
primeira lavagem, será expressa por: 
a) 2xy b) 15 – 3x c) 15 – 5y 
d) –5y – 3x e) 5y + 3x – xy 
 
 
 
 
 
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Questão 07 
Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, 
em grande quantidade, uma peça com o formato de um 
prisma reto com base triangular, cujas dimensões da 
base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal 
peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração 
na forma de um cilindro circular reto seja tangente as 
suas faces laterais, conforme mostra a figura. 
 
 
 
O raio da perfuração da peça é igual a 
a) 1 cm. 
b) 2 cm. 
c) 3 cm. 
d) 4 cm. 
e) 5 cm. 
 
Questão 08 
O governo cedeu terrenos para que famílias 
construíssem suas residências com a condição de que 
no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como 
área de preservação ambiental. Ao receber o terreno 
retangular ABCD, em que AB = 
BC
2
, Antônio demarcou 
uma área quadrada no vértice A, para a construção de 
sua residência, de acordo com o desenho, no qual AE = 
AB
5
 é lado do quadrado. 
 
 
 
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria 
exatamente o limite determinado pela condição se ele 
a) duplicasse a medida do lado do quadrado. 
b) triplicasse a medida do lado do quadrado. 
c) triplicasse a área do quadrado. 
d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%. 
e) ampliasse a área do quadrado em 4%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 09 
O quadro apresenta informações da área aproximada de 
cada bioma brasileiro. 
 
biomas 
continentais 
brasileiros 
área 
aproximada 
(Km
2
) 
Área / total 
Brasil 
 
Amazônia 4.196.943 49,29% 
Cerrado 2.036.448 23,92% 
Mata atlântica 1.110.182 13,04% 
Caantiga 844.453 9,92% 
Pampa 176.496 2,07% 
Pantanal 150.355 1,76% 
Área Total Brasil 8.514.877 
 
É comum em conversas informais, ou mesmo em 
noticiários, o uso de múltiplos da área de um campo de 
futebol (com as medidas de 120 m x 90 m) para auxiliar a 
visualização de áreas consideradas extensas. Nesse 
caso, qual é o número de campos de futebol 
correspondente à área aproximada do bioma Pantanal? 
a) 1.400 
b) 14.000 
c) 140.000 
d) 1.400.000 
e) 14.000.000 
 
Questão 10 
As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas 
à linha do equador e em pontos diametralmente postos 
no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 
6370km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, 
voando em média 800km/h, descontando as paradas de 
escala, chega a Cingapura em aproximadamente 
a) 16 horas. 
b) 20 horas. 
c) 25 horas. 
d) 32 horas. 
e) 36 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PROBLEMAS DE FIXAÇÃO 
 
Questão 1 
Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas 
com base quadradas. Todos os copos desse restaurante 
têm o formato representado na figura: 
 
 
Considere que 
7
AC BD
5
 e que é a medida de um 
dos lados da base da bandeja. 
Qual deve ser o menor valor da razão 
BD
 para que uma 
bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro 
copos de uma só vez? 
a) 2 
b) 
14
5
 
c) 4 
d) 
24
5
 
e) 
28
5
 
 
Questão 2 
Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção 
do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização 
geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em 
inglês para Sistema de Posicionamento Global) com 
longitude de 124° 3’ 0” a leste do Meridiano de 
Greenwich. 
Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”. 
PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado) 
 
A representação angular da localização do vulcão com 
relação a sua longitude da forma decimal é 
a) 124,02°. 
b) 124,05°. 
c) 124,20°. 
d) 124,30°. 
e) 124,50°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 3 
Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas 
sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma 
medida de segurança é que a base da escultura esteja 
integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se 
providencie o equipamento adequado, no caso de uma 
base quadrada que será fixada sobre uma plataforma 
circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a 
medida R do raio adequado para a plataforma em termos 
da medida L do lado da base da estatua. 
 
Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá 
apresentar de modo que a exigência de segurança seja 
cumprida? 
a) R L/ 2 
b) R 2L/π 
c) R L/ π 
d) R L/2 
e)  R L/ 2 2 
 
 
Questão 4 
Em uma certa cidade, os moradores de um bairro 
carente de espaços de lazer reinvidicam à prefeitura 
municipal a construção de uma praça. A prefeitura 
concorda com a solicitação e afirma que irá construí-la 
em formato retangular devido às características técnicas 
do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem 
que sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar 
a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse 
bairro as medidas dos terrenos disponíveis para a 
construção da praça: 
 
Terreno 1: 55 m por 45 m 
Terreno 2: 55 m por 55 m 
Terreno 3: 60 m por 30 m 
Terreno 4: 70 m por 20 m 
Terreno 5: 95 m por 85 m 
 
Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às 
restrições impostas pela prefeitura, os moradores 
deverão escolher o terreno 
a) 01. 
b) 02. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 5 
O atletismo é um dos esportes que mais se identificam 
com o espírito olímpico. A figura ilustra uma pista de 
atletismo. A pista é composta por oito raias e tem largura 
de 9,76 m. As raias são numeradas do centro da pista 
para a extremidade e são construídas de segmentos de 
retas paralelas e arcos de circunferência. Os dois 
semicírculos da pista são iguais. 
 
 
 
Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma 
volta completa, em qual das raias o corredor estaria 
sendo beneficiado? 
a) 1 
b) 4 
c) 5 
d) 7 
e) 8 
 
 
Questão 6 
A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro 
quadrado de tela, 15 reais por metro linear de moldura, 
mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais. 
Uma artista plástica precisa encomendar telas e 
molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros 
retangulares (25 cm x 50 cm). Em seguida, fez uma 
segunda encomenda, mas agora para 8 quadros 
retangulares (50 cm x 100 cm). 
 
O valor da segunda encomenda será 
a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a 
altura e a largura dos quadros dobraram. 
b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas 
não o dobro. 
c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a 
altura e a largura dos quadros dobraram. 
d) menor do que o valor da primeira encomenda, mas 
não a metade. 
e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo 
de entrega será o mesmo. 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 7 
A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos 
pesados provavelmente surgiu com os antigos egípcios 
ao construírem as pirâmides. 
Representando por R o raio da base dos rolos cilíndricos, 
em metros, a expressão do deslocamento horizontal y do 
bloco de pedra em função de R, após o rolo ter dado 
uma volta completa sem deslizar, é 
a) y = R. 
b) y = 2R. 
c) y = R. 
d) y = 2R. 
e) y = 4R. 
 
Questão 8 
A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui 
preocupação constante nos períodos chuvosos. Em 
alguns trechos, são construídas canaletas para controlar 
o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte 
vertical determina a forma de um trapézio isósceles, tem 
as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a 
vazão da água é de 1.050 m
3
/s. O cálculo da vazão, Q 
em m
3
/s, envolve o produto da área A do setor 
transversal(por onde passa a água), em m
2
, pela 
velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av. 
Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões 
especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de 
enchentes. 
 
 
Na suposição de que a velocidade da água não se 
alterará, qual a vazão esperada para depois da reforma 
na canaleta? 
a) 90 m
3
/s. 
b) 750 m
3
/s. 
c) 1.050 m
3
/s. 
d) 1.512 m
3
/s. 
e) 2.009 m
3
/s. 
 
 
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Questão 9 
O tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de 
quebra-cabeça, constituído de sete peças: 5 triângulos 
retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1 quadrado. 
Essas peças são obtidas recortando-se um quadrado de 
acordo com o esquema da figura 1. Utilizando-se todas 
as sete peças, é possível representar uma grande 
diversidade de formas, como as exemplificadas nas 
figuras 2 e 3. 
 
 
Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 
2cm, então a área da figura 3, que representa uma 
"casinha", é igual a 
a) 24cm . 
b) 28cm . 
c) 212cm . 
d) 214cm . 
e) 216cm . 
 
Questão 10 
Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para 
tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 
metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, 
a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas 
pequenas. 
 
 
Área do círculo:  2r 
 
As sobras de material da produção diária das tampas 
grandes, médias e pequenas dessa empresa são 
doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para 
efetuarem reciclagem do material. A partir dessas 
informações, pode-se concluir que 
a) a entidade I recebe mais material do que a entidade 
II. 
b) a entidade I recebe metade de material do que a 
entidade III. 
c) a entidade II recebe o dobro de material do que a 
entidade III. 
d) as entidades I e II recebem, juntas, menos material do 
que a entidade III. 
e) as três entidades recebem iguais quantidades de 
material. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO RESOLUÇÃO DAS QUESTOES DE FIXAÇÃO 
 
 
Resposta da questão 1: [D] 
 
Considere a figura, em que BD x e AC y. 
 
 
 
Para que a bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro copos de uma só vez, deve-se ter 
247
2 (x y) 2 x.x x
55
 
      
 
 
Portanto, o resultado pedido é dado por 
24
x
245 .
x 5BD
  
 
Resposta da questão 2: [B] 
 
3’= (3/60)° = 0,05° 
 
124° 3’ 0” = 124,05° 
 
Resposta da questão 3: [A] 
 
 
 
Considerando R o raio da menor plataforma para se apoiar uma estátua e L o lado da base da estátua, podemos 
escrever: 
 
R
2
 + R
2
 = L
2
 
 
 
18 
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2
2 LR
2
L
R
2


 
 
Portanto: 
 
L
R .
2
 
 
Resposta da questão 4: [C] 
 
Apenas os terrenos 3 e 4 possuem 180 m de comprimento. Calculando a área de cada um deles, temos: 
2
3
2
4
A 60 30 1800 m
A 70 20 1400 m
  
  
 
Logo, o terreno com maior área que possui 180 m
 
de perímetro é o terrenos de n
o
 3. 
 
Resposta da questão 5:[A] 
 
Na raia 1, o atleta percorreria a menor distância, pois seu comprimento é menor. Os raios das semicircunferências são 
menores. 
 
Resposta da questão 6: [B] 
 
Valor da primeira encomenda = 8.0,25.0,50.20 + 8.2(0,25 + 0,50).15 + 10 = 20 + 180 + 10 = 210,00 
Valor da segunda encomenda = 8.0,50.1.20 + 8.2(1 + 0,5). 15 + 10 = 80 + 360 + 10 = 450,0 
 
Logo, o valor da segunda encomenda será maior que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro. 
 
Resposta da questão 7: [E] 
 
Deslocamento do rolo em relação ao solo: R.2 . 
Deslocamento do bloco em relação ao rolo: R.2 . 
Deslocamento do bloco em relação ao solo: R.4 . 
 
Resposta da questão 8: [D] 
Área da figura I = 
  25,62
2
5,2.2030
m

 e seja v a velocidade da água. 
1050 = v.62,5  v = 16,8 m/s 
Área da figura II = 
  290
2
2.4149
m

 
Nova vazão = 90.16,8 = 1512m
3
/ s 
 
Resposta da questão 9: [B] 
Considere a figura. 
 
 
Seja RT . 
Temos que 
 
    TS 2 AB 2 2 4. 
 
Mas TS é a diagonal do quadrado RSUT. Logo, 
 
 
19 
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  TS 2 2 2. 
 
Como todas as sete peças foram utilizadas para fazer a casinha, segue que o quadrado RSUT e a casinha são 
equivalentes. 
Portanto, o resultado pedido é   2 2 2(RSUT) (2 2) 8cm . 
 
Resposta da questão 10: [E] 
 
Sejam I IIr , r e IIIr os raios das tampas. 
Como os círculos são tangentes, segue que o raio de cada um dos três tipos de tampa é dado por 

2 1
,
2 n n
 em que n é 
o número de círculos tangentes a um dos lados da chapa. 
 
Desse modo, as sobras de cada chapa são respectivamente iguais a 
 
 
 
          
 
 
            
 
2
2
I
2
2
II
1
4 r 4 4 ,
1
1
4 4 r 4 4 4
2
 
 E 
 
 
 
 
            
 
2
2
III
1
4 16 r 4 16 4 .
4
 
 Portanto, as três entidades recebem iguais quantidades de material. 
 
20 
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 PARTE 2 - GEOMETRIA PLANA – POLÍGONOS REGULARES 
 
POLÍGONOS 
 
Chamaremos de polígonos as regiões do plano cujos contornos são formados apenas por segmentos de retas. 
 
 Elementos de um Polígono 
A
C
B
D
E
F
 
 
- Lados: São os segmentos que forma o contorno: AB , BC , CD etc. 
- Vértices: São os pontos comuns a dois lados consecutivos: A, B, C, D etc. 
- Diagonais: São os segmentos que unem dois vértices não consecutivos: AE , AD , BF , CE etc. 
 
Os polígonos recebem nomes de acordo com o número de seus lados. Veja o nome de alguns: 
 
3 lados - triângulo 9 lados - eneágono 
4 lados - quadrilátero 10 lados - decágono 
5 lados - pentágono 11 lados - undecágono 
6 lados - hexágono 12 lados - dodecágono 
7 lados - heptágono 15 lados - pentadecágono 
8 lados - octógono 20 lados - icoságono 
 
 
Formulário 
 
 Soma dos Ângulos Internos 
 180)2n(Si 
 
 Soma dos Ângulos Externos 
 360Se 
 
 Quantidade de Diagonais 
2
3)-n(n
d  
 
 
POLÍGONOS REGULARES 
 
Chamaremos de polígonos regulares os poligonos que possuírem todos os lados com o mesmo comprimento e todos os 
ângulos internos congruentes. 
 
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Aula 9 – Prof Raul Brito 
 
21 
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Exemplos.: 
 
 
Formulário 
 
 Ângulo Interno 
n
S
a ii  ou 
n
180)2n(
a i

 
 
 Ângulo Externo 
 
n
S
a ee  ou 
n
360
ae

 
 
 Ângulo Central 
 
n
360
ae

 
 
 
 Quantidade de diagonais que passam pelo centro 
 
2
n
d  d = 0 
n  par n  ímpar 
 
 Quantidade de diagonais que não passam pelo centro 
 
2
4)-n(n
d  
2
3)-n(n
d  (todas) 
 n  par n  ímpar 
 
 
Polígono Regular Inscrito 
 
 
apA  ou  senRn
2
1
A 2 
 
Onde: 
n
360
  ângulo central do polígono 
p = ½nL  semi-perímetro do polígono 
)
2
cos(Ra

  apótema do polígono )
2
sen(R2L

  lado do polígono 
 
22 
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Polígono Regular Circunscrito 
 
 
rpA  ou  sen)
4
L
r(n
2
1
A
2
2
 
 
Onde: 
n
360
  ângulo central do polígono 
p = ½nL  semi-perímetro do polígono 
 
a = r  apótema do polígono 
L 2r tg( )
2

   lado do polígono 
TÓPICO EXTRA 
 
Área de um polígono regular em função do lado 
 
)
2
(gcot
4
Ln
A
2
ladosn

 onde 
360
n


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
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QUESTOES APRENDIZAGEM – Pólígonos Regulares 
 
Questão 11 
Um hexágonoregular tem lado de comprimento 1. 
A soma dos quadrados de todas as suas diagonais é 
a) 6. 
b) 12. 
c) 18. 
d) 24. 
e) 30 
 
Questão 12 
(Fgv 2013) Na figura, ABCDEF é um hexágono regular 
de lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a 
ele. 
 
O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a 
a) 4 2 
b) 4 3 
c) 6 
d) 4 5 
e) 2(2 2) 
 
Questão 13 
(Uepb 2013) A área de um triângulo equilátero cujo 
apótema mede 2cm é igual a: 
a) 23 cm 
b) 29 3 cm 
c) 24 3 cm 
d) 216 3 cm 
e) 24 2 cm 
 
Questão 14 
(Insper 2014) Um polígono regular possui n lados, 
sendo n um número par maior ou igual a 4. Uma pessoa 
uniu dois vértices desse polígono por meio de um 
segmento de reta, dividindo-o em dois polígonos 
convexos P1 e P2, congruentes entre si. O número de 
lados do polígono P1 é igual a 
a) 
n
2.
2
 
b) 
n
1.
2
 
c) 
n
.
2
 
d) 
n
1.
2
 
e) 
n
2.
2
 
 
 
 
 
 
24 
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Questão 15 
(G1 - ifce 2014) Um robô, caminhando em linha reta, 
parte de um ponto A em direção a um ponto B, que 
distam entre si cinco metros. Ao chegar ao ponto B, gira 
novamente 60° à esquerda e caminha mais cinco 
metros, repetindo o movimento e o giro até retornar ao 
ponto de origem. O percurso do robô formará um 
polígono regular de 
a) 10 lados. b) 9 lados. c) 8 lados. d) 7 lados. 
e) 6 lados. 
 
Questão 16 
(Insper 2013) O quadrado ABCD está inscrito na 
circunferência de centro O e raio de medida 2 2 cm, 
como mostra a figura. 
 
Os vértices E e F do quadrado EFGH pertencem ao 
lado CD e os vertesses G e H pertencem à 
circunferência. Assim, a medida do lado do quadrado 
EFGH, em cm, é igual a 
a) 0,8. b) 0,9. c) 1,0. d) 1,1. e) 1,2. 
 
Questão 17 
(Insper 2014) As disputas de MMA (Mixed Martial Arts) 
ocorrem em ringues com a forma de octógonos 
regulares com lados medindo um pouco menos de 4 
metros, conhecidos como “Octógonos”. Medindo o 
comprimento exato de seus lados, pode-se calcular a 
área de um “Octógono” decompondo-o, como mostra a 
figura a seguir, em um quadrado, quatro retângulos e 
quatro triângulos retângulos e isósceles. 
 
 
A medida do lado do quadrado destacado no centro da 
figura é igual à medida a do lado do “Octógono”. Se a 
área desse quadrado é S, então a área do “Octógono” 
vale 
a) S(2 2 1). b) S( 2 2). c) 2S( 2 1). 
d) 2S( 2 2). e) 4S( 2 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
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Questão 18 
ENEM – Na construção civil, é muito comum a utilização 
de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para 
o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são 
todas as combinações de polígonos que se prestam a 
pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas 
ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras. 
 
 pavimentando o plano. 
 
Figura 2 – Heptágonos regulares 
Não pavimentam o plano (há falhas ou superposição) 
 
 
A tabela traz uma relação de alguns polígonos 
regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos 
internos. Se um arquiteto deseja utilizar uma 
combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre 
os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o 
outro tipo escolhido deverá ter a forma de um: 
a) triângulo. 
b) quadrado. 
c) pentágono. 
d) hexágono. 
e) eneágono. 
 
 
 
26 
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Questão 19 
A figura adiante representa parte de uma praça na 
cidade de Itarema-Ce. Sabendo que ABCDE é um 
pentágono regular, a medida, em graus, do ângulo é: 
 
a) 32º 
b) 34º 
c) 36º 
d) 38º 
e) 40º 
 
Questão 20 - (UERJ) 
No toldo da barraca de seu Antônio, decorado com 
polígonos coloridos, destaca-se um dodecágono cujos 
vértices são obtidos a partir de quadrados construídos 
em torno de um hexágono regular conforme a mostra a 
figura a seguir. 
 
Tomando o quadrado de lado AB como unidade unitária, 
determine a medida do ângulo ˆABC : 
a) 110º b) 120º c) 130º d) 140º e) 150º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
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QUESTOES DE FIXAÇÃO – Polígonos Regulares 
 
Questão 11 
Dois pontos A e E estão situados na margem 
esquerda de um rio, a uma distância de 40 m um do 
outro. Um ponto C, no qual está ancorado um bote, 
está situado na margem direita, de tal modo que os 
ângulos CAE e CEA medem 60°. 
Considerando as margens praticamente retas e 
paralelas, qual e, em metros, a largura aproximada do 
rio no local em que está o bote? Para efeitos de cálculo 
utilize: 3 1,7. 
a) 17 
b) 34 
c) 45 
d) 68 
e) 80 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade 
de Engenharia, visitou a PUCRS para colher 
informações. Uma das constatações que fez foi a de 
que existe grande proximidade entre Engenharia e 
Matemática. 
 
 
Questão 12 
Para uma engrenagem mecânica, deseja-se fazer uma 
peça de formato hexagonal regular. A distância entre os 
lados paralelos é de 1cm, conforme a figura abaixo. 
 
 
 
O lado desse hexágono mede ______ cm. 
a) 
1
2
 
b) 
3
3
 
c) 3 
d) 
5
5
 
e) 1 
 
Questão 13 
Uma circunferência está inscrita em um quadrado cuja 
diagonal mede 10 2cm. O comprimento dessa 
circunferência é: 
a) 10 cmπ 
b) 5 cmπ 
c) 6 cmπ 
d) 8 cmπ 
e) 7 cmπ 
 
 
28 
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Questão 14 
Um triângulo equilátero e um quadrado têm o mesmo 
perímetro. A medida do lado do quadrado é 90 cm. 
Nessas condições, a medida do lado do triângulo 
equilátero é de... 
a) 90 cm. 
b) 180 cm. 
c) 120 cm. 
d) 100 cm. 
e) 150 cm. 
 
Questão 15 
Considere um quadrado com 3 2 cm de lado, inscrito 
em um círculo como mostra a figura. 
 
O raio desse círculo mede, em centímetros 
a) 2. 
b) 3 . 
 
c) 
 3 3
2
. 
 
d) 3. 
e) 2 3 . 
 
Questão 16 
Uma circunferência, inscrita em um quadrado cuja 
diagonal mede 20 cm, possui comprimento, em cm, 
igual a 
a) 10 2   
b) 20 2   
c) 30 2   
d) 20 
e) 30 
 
 
Questão 17 
O apótema do quadrado inscrito numa circunferência é 
igual a 2 cm. O lado do hexágono regular inscrito nessa 
mesma circunferência, em cm, é 
a) 2 2 
b) 2 
c) 4 
d) 4 2 
e) 6 
 
 
 
 
29 
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Questão 18 
(Universidade Federal ES) 
Um polígono regular possui a partir de cada um de seus 
vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de 
um hexágono. Cada ângulo interno desse polígono 
mede em graus: 
a) 140 
b) 150 
c) 155 
d) 160 
e) 170 
 
Questão 19 
(Escola Técnica Federal - RJ) 
O perímetro de um hexágono regular inscrito em um 
círculo de 25 cm
2
 de área é igual a 
a) 150 cm 
b) 75 cm 
c) 25 cm 
d) 15 cm 
e) 30 cm 
 
Questão 20 
A distância entre dois lados paralelos de um hexágono 
regular é igual a 2 3 cm. A medida do lado desse 
hexágono, em centímetros, é: 
a) 2 
b) 5. 
c) 2,5. 
d) 3. 
e) 4. 
 
 
 
 
 
30 
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RESOLUÇÕES DAS QUESTOES DE FIXAÇÃO – PARTE 2 – POLÍGONOS 
 
Resposta da questão 11: [B] 
Dado que CAE CEA 60 ,   é imediato que o triângulo ACE é equilátero. Logo, queremos calcular a altura do 
triângulo ACE relativa ao lado AE. 
 
Portanto, sendo 40 metros a medida do lado do triângulo, o resultado é igual a 
 
40 3
20 1,7 34 m.
2
   
 
Resposta da questão 12: [B] 
Como o raio r do círculo inscrito no hexágono é a metade da distância entre os lados paralelos, segue que 
1
r cm.
2
 
Logo, o lado do hexágono regularé dado por 
1
2 3
32 cm.
3 3

 
 
Resposta da questão 13: [A] 
 
 
 
a 2 10 2
a 10
r 10 2 5


 
 
 
Portanto, o comprimento da circunferência será dado por: C 2 r 2 5 10 cm.π π π       
 
Resposta da questão 14: [C] 
Seja a medida do lado do triângulo equilátero, portanto 
3.a = 4.90 
A = 120 cm 
 
Resposta da questão 15: [D] 
Sejam  o lado do quadrado e r o raio do círculo circunscrito. 
 .cm3
2
223r2r2   
 
 
 
31 
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Questão 16: 
Resolução: Considere a figura abaixo: 
 
 
Como a diagonal vale 20 cm, pela expressão da diagonal, temos: 
         
20 2 20 2
d 2 20 2 10 2
22 2
 
Da figura, temos que o raio é a metade do lado, ou seja, r 5 2 . Assim, pela expressão do comprimento: 
 C 2 r C 2 5 2 C 10 2        
 
Resposta: Alternativa A 
 
Questão 17: 
Resolução: Considere a figura abaixo: 
 
 
Como o quadrado está inscrito na circunferência, o raio vale a metade da diagonal, como o apótema vale 2, 
temos que o lado do quadrado vale 4 (o apótema é a metade do lado), assim, pela expressão da diagonal do 
quadrado, temos d 4 2 , como o raio é a metade, então r 2 2 , ora, mas se o hexágono está inscrito, 
temos que o lado dele vale o mesmo que o raio, assim hex 2 2 
 
Resposta: Alternativa A 
 
 
32 
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Questão 18: 
Resolução: Da expressão da diagonal de um polígono, temos: 
   
hex hex hex
n n 3 6 6 3
d d d 3.3 d 9
2 2
 
       
Assim, de cada vértice saem 9 diagonais. Assim, como de um vértice saem n 3 diagonais (duas são lados), 
temos que o polígono tem 12 lados. 
Logo, da expressão do ângulo interno: 
   i
i i i i i i
n 2 180 12 2 180S 10 180 1800
a a a a a a 150
n n 12 12 12
      
            
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 19: 
Resolução: Como o hexágono é inscrito, o seu lado vale o mesmo que o raio, assim, temos: 
2 2 2
círculoA r 25 r r 25 r 5          
Assim, o perímetro do hexágono vale: 
Perímetro 6 , com r 5 Perímetro 6 5 Perímetro 30 cm        
 
Resposta: Alternativa E 
 
Questão 20: 
Resolução: Considere a figura abaixo: 
 
 
Como a distância entre os dois lados paralelos vale 2 3 , temos que do centro até um lado (que é o apótema) 
vale a metade, ou seja, 3 . Assim, pelo teorema de Pitágoras (ver figura 2), temos: 
 
 Figura 2 
 
 
33 
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 
2 2 2 222 2 2 2L L 4L LL 3 L 3 3 3L 12 L 4 L 2
2 4 4
 
             
 
 
 
Resposta: Alternativa A