Aula 2 ENIAC Equações Diferenciais

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Equações diferenciais de primeira ordem
APRESENTAÇÃO
Equações diferenciais são uma parte da matemática com aplicações em diversos ramos da 
ciência. Você pode encontrar problemas associados em Física, Química, Biologia, Economia, 
etc. Esse tipo de equação pode ser definido como uma equação que contém as derivadas (ou 
diferenciais) de uma ou mais variáveis, sendo estas dependentes em relação a uma ou mais 
variáveis independentes. Uma equação diferencial pode ser classificada por tipo, ordem e 
linearidade. É importante que você entenda essa classificação para, então, reconhecer uma 
equação diferencial de primeira ordem a partir de sua definição.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai aprender os conceitos iniciais de equações 
diferenciais, bem como a resolver essas equações e problemas de valor inicial. A proposta é que 
você possa, além de aprender as definições, aplicar equações diferenciais em situações-
problemas. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Reconhecer a forma de uma equação diferencial de primeira ordem.•
Resolver equações diferenciais de primeira ordem e problemas de valor inicial.•
Aplicar equações diferenciais em situações-problemas.•
DESAFIO
As equações diferenciais de primeira ordem podem ser utilizadas para resolver problemas de 
mistura, por exemplo, em casos de problemas envolvendo a mistura de fluidos em tanques. 
Levando em conta essa possibilidade, imagine que você trabalha como químico em uma 
renomada empresa. No dia a dia, você está acostumado a resolver os mais variados problemas. 
Nesta semana, você se deparou com a seguinte situação para solucionar:
 
Considerando o problema com o qual você se deparou nesta semana na empresa, sua tarefa será 
verificar quando a concentração de sal no tanque alcançará 0,05 kg/litro e justificar como você 
chegou a esse resultado.
INFOGRÁFICO
Muitos problemas físicos, quando formulados matematicamente, levam a equações diferenciais 
de primeira ordem ou a problemas de valor inicial. Uma aplicação bastante interessante de 
equações diferenciais (ED) de primeira ordem está relacionada aos problemas envolvendo a 
segunda lei de Newton. Problemas de movimento de um corpo em queda são exemplos de 
situações em que se recorre à ED de primeira ordem.
Acompanhe o exemplo do movimento de um corpo em queda livre que será explanado no 
Infográfico a seguir:
"Um objeto cai do ar em direção à Terra. Supondo que as únicas forças que atuam sobre o 
objeto sejam a gravidade e a resistência do ar, determine sua velocidade como uma função do 
tempo." (NAGLE et al., 2012, p. 26)
Em dada situação, seriam recebidos valores de m, g e b. Para determinar a constante A
na solução geral, é possível usar a velocidade inicial do objeto. Pode-se encontrar a velocidade 
do objeto caindo no ar como uma função do tempo se a velocidade inicial do objeto for v0, por 
exemplo.
Para um corpo em queda, é possível observar que:
- e-bt/m tende a zero rapidamente. 
- A velocidade é mais ou menos o peso. 
- mg é dividido pelo coeficiente de resistência do ar, qual seja b.
Assim, na presença de resistência do ar, quanto mais pesado o objeto, mais rápido ele cairá, 
considerando que formas e tamanhos são iguais. Ainda, quando a resistência do ar é reduzida (b 
se torna menor), e o objeto cairá mais depressa.
CONTEÚDO DO LIVRO
O capítulo Equações diferenciais de primeira ordem, da obra Cálculo III, que serve como base 
teórica desta Unidade de Aprendizagem, inicia o diálogo abordando conceitos iniciais a respeito 
das equações diferenciais. Você vai conhecer a classificação dessas equações quanto ao tipo, à 
ordem e à linearidade. Em seguida, você vai iniciar os estudos das equações diferenciais de 
primeira ordem partindo de sua definição, mas sempre acompanhando exemplos resolvidos que 
têm como finalidade elucidar a teoria e as definições que você vai conhecer ao longo do livro.
Boa leitura.
CALCULO III
Cristiane da Silva
Equações diferenciais 
de 1ª ordem
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Reconhecer a forma de uma equação diferencial de 1ª ordem.
 � Resolver equações diferenciais de 1ª ordem e problemas de valor inicial.
 � Aplicar equações diferenciais em situações-problema.
Introdução
Equações diferenciais são uma parte da matemática com aplicações 
em diversos ramos da ciência. Encontramos problemas associados em 
física, química, biologia, economia, etc. Com o intuito de contribuir com 
o entendimento dos conceitos estudados na disciplina de Cálculo III, 
além de apresentar alguns teoremas e definições, você será direcionado 
a diversos problemas relacionados ao conteúdo.
Neste texto, você vai aprender os conceitos iniciais de equações dife-
renciais. É importante que você entenda a classificação dessas equações 
quanto a tipo, ordem e linearidade, para reconhecer uma equação dife-
rencial de 1ª ordem a partir da sua definição. Além disso, você aprenderá 
a resolver essas equações e problemas de valor inicial. A proposta é que 
você possa, além de aprender as definições, aplicar equações diferenciais 
em situações-problema.
Equações diferenciais
Antes de abordarmos as equações diferenciais de 1ª ordem, vamos compre-
ender alguns conceitos iniciais a respeito de equações diferenciais e das suas 
aplicações. 
Boyce e DiPrima (2015) afirmam que muitos princípios e leis que regem 
o comportamento do mundo físico são proposições ou relações que envolvem 
uma taxa segundo a qual as coisas ocorrem. Matematicamente falando, essas 
relações são equações e as taxas são as derivadas. Nesse contexto, equações 
envolvendo derivadas são equações diferenciais. 
No que diz respeito à aplicação desse tipo de equação, cabe destacar que são 
utilizadas para compreender e investigar problemas envolvendo o movimento 
de fluídos, o fluxo de corrente elétrica em circuitos, a dissipação de calor em 
objetos sólidos, a propagação e detecção de ondas sísmicas, o aumento ou 
diminuição de populações, etc.
Zill (2013, p. 2) define equação diferencial da seguinte forma: “Uma equação que contém 
as derivadas (ou diferenciais) de uma ou mais variáveis dependentes em relação a 
uma ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial (ED). Elas 
podem ser classificadas por tipo, ordem e linearidade”.
Classificação por tipo
As equações diferenciais podem ser classificadas em ordinária ou parcial. 
Quando a equação contém apenas derivadas ordinárias de uma ou mais 
variáveis dependentes em relação a uma única variável independente, é 
chamada de equação diferencial ordinária (EDO) (ZILL, 2013). Vejamos 
exemplos:
Note que no terceiro exemplo a equação diferencial contém mais de uma 
variável dependente.
Quando uma equação envolve as derivadas parciais de uma ou mais va-
riáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes é chamada de 
equação diferencial parcial (EDP). (ZILL, 2013). Vejamos exemplos:
Equações diferenciais de 1ª ordem2
Note que existem notações diferentes para expressar as derivadas ordinárias. 
Podemos utilizar a notação de Leibniz ou com a notação 
linha . Em geral, a n-ésima derivada é escrita como y(n). 
Derivadas parciais também são denotadas por uma notação em subscrito 
indicando as variáveis independentes. Por exemplo: uxx = utt – 2ut.
Classificação por ordem
Zill (2013) explica que a ordem de uma equação diferencial (EDO ou EDP) é 
a ordem da maior derivada na equação. Veja:
Esse é um exemplo de EDO de 2ª ordem. 
Classificação por linearidade
Uma EDO de ordem n é linear se F for linear em . Isso 
significa que uma EDO de n-ésima ordem é linear quando:
Vejamos a equação diferencial linear de 1ª e 2ª ordens a seguir:
Observamos duas propriedades:
 � A variável dependente y e todas as duas derivadas são de 
1º grau, ou seja, o expoente de cada termo envolvendo y é um.
3Equações diferenciais de 1ª ordem
 � Os coeficientesa0, a1, ..., an de dependem quando muito da 
variável independente x.
As equações (y − x)dx + 4xdy = 0, e 
são, respectivamente, equações diferenciais ordinárias lineares de 1ª, 2ª e 3ª 
ordem.
Uma EDO não linear é simplesmente uma que não é linear. Por exemplo:
Esses são exemplos de equações diferenciais ordinárias não lineares de 2ª 
e 4ª ordem, respectivamente.
Equações diferenciais de 1ª ordem
Boyce e DiPrima (2015) afirmam que, se uma função, como 
, depender linearmente da variável y, a equação será dita uma equação li-
near de 1ª ordem. A equação linear de primeira ordem tem a seguinte forma 
, em que p e g são funções dadas da variável independente 
t. Também podemos escrever a equação na forma
em que P, Q e G são dadas.
De acordo com os autores, em alguns casos, é possível resolver uma equa-
ção linear de 1ª ordem imediatamente por integração. Vejamos um exemplo.
Equações diferenciais de 1ª ordem4
Resolva a equação diferencial . A expressão à esquerda do sinal 
de igualdade é uma combinação linear de e y, uma combinação que também 
aparece em cálculo na regra para a derivada de um produto. De fato,
A equação pode ser escrita como: 
Assim, embora y seja desconhecida, poderíamos integrar a equação em relação a t 
obtendo:
Em que c é uma constante de integração arbitrária. Resolvendo para y, encontramos que:
Essa é a solução geral.
Fonte: Boyce e DiPrima (2015, p. 26).
EDO de 1ª ordem e problemas de valor inicial
Nagle, Saff e Snider (2012) explica que uma classe simples de equações di-
ferenciais de 1ª ordem que pode ser resolvida utilizando a integração é a de 
equações separáveis. São equações que podem ser reescritas 
de maneira a isolar as variáveis x e y em lados opostos da equação, como em 
.
Informalmente, equações separáveis são resolvidas por meio da separação 
e, depois, da integração de cada lado (NAGLE; SAFF; SNIDER, 2012).
5Equações diferenciais de 1ª ordem
Método para solução de equações separáveis.
Para resolver a equação multiplique por dx e por h(y) para obter h(y)
dy = g(x)dx. Depois integre os dois lados:
em que mesclamos as duas constantes de integração em um único símbolo C. A 
última equação dá uma solução implícita para a equação diferencial.
Fonte: Nagle, Saff e Snider (2012).
Vejamos agora um exemplo de resolução de uma equação separável.
Resolva a equação não linear .
Resolução
Seguindo a técnica simplificada, separamos as variáveis e reescrevemos a equação 
na forma:
Então, integrando, temos:
E, solucionando para y, temos:
Como C é uma constante de integração que pode ser qualquer número real, 3C 
também pode ser qualquer número real. Portanto, substituiremos 3C por K:
Fonte: Nagle, Saff e Snider (2012, p. 29-30).
Equações diferenciais de 1ª ordem6
Equações lineares
Nagle, Saff e Snider (2012) explica que uma equação linear de 1ª ordem é uma 
equação que pode ser escrita da seguinte forma:
em que a1(x), a0(x) e b(x) dependem apenas da variável independente x, 
não de y.
Nagle, Saff e Snider (2012) explica duas maneiras de resolver uma equação 
diferencial linear. A primeira é quando o coeficiente a0(x) for identicamente 
zero, então teremos , que é equivalente a 
desde que a1(x) ≠ 0. E a segunda maneira é esta: se a0(x) for igual à derivada de 
a1(x), então os dois termos no lado esquerdo da equação 
compreendem a derivada do produto a1(x)y:
que resulta em . E a solução se torna:
A forma pode ser alcançada a partir da multiplicação da 
equação original, , por uma função escolhida µ(x). A 
função µ(x) é chamada de fator integrante. Vamos dividir a equação original 
por a1(x) e colocá-la na forma padrão (NAGLE; SAFF; SNIDER, 2012):
em que e . Agora, para determinar µ(x):
7Equações diferenciais de 1ª ordem
Isso exige que µ satisfaça . Para encontrar essa função, ve-
rificamos que ela é uma equação diferencial separável, e podemos escre-
ver como . Integrando os dois lados, . Assim, 
, que tem a solução . 
Vejamos um exemplo.
Encontre a solução geral da equação diferencial .
Resolução
A equação é da forma com a = −2; logo, o fator 
integrante é . Multiplicando a equação diferencial por 
µ(t), obtemos:
ou
Então, integrando a última equação, temos
Em que usamos integração por partes no último termo da equação
Fonte: Boyce e DiPrima (2015, p. 29).
Vejamos um exemplo de resolução de uma equação não linear.
Equações diferenciais de 1ª ordem8
Considere a equação não linear . Para resolver a equação de 
Bernoulli, fazemos uma mudança de variáveis, ou seja, y1−n = z. Agora, ao fazermos a 
mudança de variáveis, temos uma EDO linear de primeira ordem.
Resolução
Fazendo a mudança de variáveis:
Solução para y = 0: 
Temos uma EDO linear de 1ª ordem:
9Equações diferenciais de 1ª ordem
Equações homogêneas e não homogêneas
Se o lado direito da equação puder ser expresso como uma 
função da razão y/x somente, então dizemos que a equação é homogênea. 
Caso contrário, ela não é homogênea (NAGLE; SAFF; SNIDER, 2012).
A solução geral é:
Fonte: Toda a Matemática (2017).
Equações diferenciais de 1ª ordem10
A equação (x – y) dx + x dy = 0 pode ser escrita da forma . Como ex-
pressamos como uma função da razão , ou seja, , onde , 
então a equação (x – y) dx + x dy = 0 é homogênea.
Já a equação (x – 2y + 1)dx + (x – y)dy = 0 pode ser escrita como 
. Aqui, o lado direito não pode ser expresso como uma 
função de apenas, por causa do termo no numerador. Logo, a equação (x – 2y + 
1)dx + (x – y)dy = 0 não é homogênea.
Fonte: Nagle, Saff e Snider (2012, p. 53-54).
Vejamos um exemplo de resolução de um problema de valor inicial.
Resolva o problema de valor inicial 
Resolução.
Separamos as variáveis e integramos:
Nesse ponto, podemos tanto solucionar para y explicitamente (retendo a constante C) 
quanto usar a condição inicial para determinar C e depois resolver explicitamente para y.
Aplicando a função exponencial na equação, temos:
onde . Agora, dependendo dos valores de y, temos ; e, 
de modo semelhante, . Assim,
 ou 
11Equações diferenciais de 1ª ordem
Da aplicação de equações diferenciais
Agora que conhecemos a definição de equações diferenciais e a sua classi-
ficação, e vimos exemplos a partir da resolução de exercícios envolvendo 
equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem e problemas de valor inicial, 
vamos mostrar a aplicação desses conteúdos em situações-problema nas di-
ferentes áreas da ciência.
Crescimento de bactérias
Uma cultura tem inicialmente bactérias. Em t = 1h, o número medido 
de bactérias é de . Se a taxa de crescimento for proporcional ao número 
de bactérias P(t) presente no instante t, determine o tempo necessário para 
triplicar o número de bactérias.
Resolução: em primeiro lugar, resolvemos a equação diferencial substituindo 
o símbolo x por P. Tomando , a condição inicial é . Usamos, 
então, a observação empírica de que para determinar a constante de 
proporcionalidade k. Note que a equação diferencial é ao mesmo tempo 
separável e linear. Colocando-a na forma padrão de uma ED linear de primeira 
ordem, temos:
onde a escolha de sinal depende dos valores de x e y. Como é uma constante 
positiva, podemos substituir por K, onde K agora representa uma constante 
arbitrária diferente de zero. Temos, portanto:
Por fim, determinamos K de modo que a condição inicial y (–1) = 0 seja satisfeita. 
Colocando x = –1 e y = 0 na equação, temos: 
E, portanto, . Assim, a solução para o problema de valor inicial é:
Fonte: Nagle, Saff e Snider (2012, p. 30-31).
Equações diferenciais de 1ª ordem12
Podemos ver, por inspeção, que o fator integrante é . Multiplicando 
ambos os lados da equação por esse termo e integrando, obtemos:
 e 
Portanto . Em t = 0, segue que , então . Em 
t = 1 temos . Da última equação, obtemos 
e, portanto . Para encontrar o instante no qual o número de 
bactérias triplicou, resolvemos: para t. Segue que 
ou .
Veja a Figura 1, que ilustra essa situação.
Figura 1. Tempo em que uma população triplica.
Fonte: Zill (2013, p. 86).
13Equaçõesdiferenciais de 1ª ordem
A meia-vida do plutônio
Um reator regenerador converte urânio 238 relativamente estável no isótopo 
plutônico 239. Depois de 15 anos, determinou-se que 0,043% da quantidade 
inicial de plutônio desintegrou-se. Ache a meia-vida desse isótopo, se a 
taxa de desintegração for proporcional à quantidade remanescente.
Resolução: seja A(t) a quantidade de plutônio remanescente no instante t. A so-
lução do problema de valor inicial é . Se 0,043% 
dos átomos de tiverem se desintegrado, restarão 99,957% de substância. 
Para encontrar a constante de decaimento k, usamos , isto é, 
. Resolvendo para k, temos . 
Logo, . Agora, a meia-vida corresponde ao valor do 
tempo no qual . Resolvendo para t, obtemos 
ou . A última equação fornece:
. 
Fonte: Zill (2013, p. 87).
Idade de um fóssil
Foi encontrado um osso fossilizado que contém um milésimo da quantidade 
original de C-14. Estime a idade do fóssil.
Resolução: o ponto de partida é . Para determinar o valor da cons-
tante de decaimento k, usamos o fato de que ou . 
De , obtemos . Logo, 
. De , temos ; logo, 
. Assim, a idade do fóssil é aproximadamente:
.
Fonte: Zill (2013, p. 88).
Lançamento de objeto
Um objeto com massa de 3 kg é lançado do repouso 500 m acima do solo 
e depois é deixado cair sob a influência da gravidade. Suponha que a força 
gravitacional seja constante, com g= 9,81 m/s², e a força devido à resistência do 
Equações diferenciais de 1ª ordem14
ar seja proporcional à velocidade do objeto com constante de proporcionalidade 
b = 3 N – s/m. Determine quando o objeto atingirá o solo.
Resolução: usamos o modelo com . A equação 
do movimento neste caso é:
Como o objeto é lançado 500 m acima do solo, podemos determinar quando 
ele atinge o solo pondo x (t) = 500 e resolvendo para t. Assim, colocamos:
ou
onde arredondamos os cálculos para duas casas decimais. Essa equação 
não pode ser resolvida de modo explícito para t. Poderíamos tentar aproximar 
t usando o método de aproximação de Newton, mas aqui não é necessário. 
Como será muito pequeno para t próximo de , basta 
ignorar o termo , e obtemos como nossa aproximação t = 51,97 s.
Fonte: Nagle, Saff e Snider (2012, p. 84-85).
BOYCE, W.E.; DIPRIMA, R.C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de 
contorno. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
NAGLE, R.K; SAFF, E.B.; SNIDER, A.D. Equações diferenciais. 8. ed. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2012.
TODA A MATEMÁTICA. Equação de Bernoulli. YouTube, 2017. Disponível em: <https://
www.youtube.com/watch?v=IiKuXsFFHag>. Acesso em: 22 nov. 2017.
ZILL, D.G. Equações diferenciais: com aplicações em modelagem. 2. ed. São Paulo: 
Cengage Learning, 2013.
Leitura recomendada
FIGUEIREDO, D.G.; NEVES, A.F. Equações diferenciais aplicadas. 2. ed. Rio de Janeiro: 
Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), 2002.
15Equações diferenciais de 1ª ordem
 
DICA DO PROFESSOR
Uma classe simples de equações diferenciais de primeira ordem que pode ser resolvida 
utilizando a integração é a de equações separáveis. Na Dica do Professor a seguir, você vai 
reforçar os conhecimentos sobre equações diferenciais de primeira ordem por meio da 
explicação de EDOs separáveis e de um exemplo prático resolvido passo a passo.
Confira.
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EXERCÍCIOS
1) Se P(t) é o valor em reais em uma conta bancária de poupança que rende uma taxa 
de juros anual de r% compostos continuamente, então:
 t em anos. 
Considere que os juros sejam de 5% anualmente, P(0)=R$ 1.000,00 e nenhum 
dinheiro seja sacado. Quando a conta chegará a R$ 4.000,00?
A) Aproximadamente quatro anos.
B) Aproximadamente 17,73 anos.
C) Aproximadamente 30 anos.
D) Aproximadamente 28 anos.
E) Aproximadamente 21 anos.
2) 
Determine se a equação (1-x)y"-4xy'+5y=cos x é linear ou não linear e qual a ordem 
dela. Assinale a alternativa que contém a resposta correta: 
A) Linear de primeira ordem.
B) Não linear de segunda ordem.
C) Linear em x, mas não linear em y, de segunda ordem.
D) Linear de terceira ordem.
E) Linear de segunda ordem.
3) Determine se a equação t5y(4)-t3y"+6y=0 é linear ou não linear e qual a ordem dela.
A) Linear de quarta ordem.
B) Não linear de segunda ordem.
C) Linear de quinta ordem.
D) Linear em x, mas não linear em y, de segunda ordem.
E) Não linear de quarta ordem.
Determine se a equação:4) 
É linear ou não linear e qual a ordem dela.
A) Linear de primeira ordem.
B) Linear de segunda ordem.
C) Não linear de segunda ordem.
D) Linear de quarta ordem.
E) Não linear de primeira ordem.
5) Resolva o seguinte problema de valor inicial: 
 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
NA PRÁTICA
Às vezes, parece difícil imaginar a aplicação de determinados conteúdos, especialmente no que 
tange à matemática, em situações reais. Você vai verificar na prática uma situação envolvendo 
aplicação financeira em que serão utilizadas equações diferenciais de primeira ordem para 
resolvê-la.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Na página da web Só matemática, você encontra a definição de equação diferencial, a 
diferença entre equação diferencial ordinária e parcial, além de exemplos resolvidos. A 
página traz diversos conteúdos nos diferentes níveis de ensino e mostra, de maneira clara e 
explicativa, como solucionar problemas, no nosso caso, envolvendo equações diferenciais.
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No texto Equações diferenciais ordinárias lineares, você vai encontrar noções gerais sobre 
equações diferenciais, com exemplos e problemas ilustrados e resolvidos detalhadamente. 
Você também vai ser convidado a realizar algumas atividades como forma de reafirmar os 
conhecimentos aprendidos.
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