Múltiplos e Divisores de um Número Natural

Prévia do material em texto

Colégio Almeida Gasparin
Rua Cyro Schmutzer Franco, 181 - Bom Clima – Guarulhos.
Fone 2408–7576 / 2409–1177
Site: www.colegioalmeidagasparin.com.br
Nº:
NOME:
CURSO: Ens.Fund. II
SÉRIE: 7º Ano
PROFESSOR: Rodrigo Bastos Souza 
TURMA: A
ATIVIDADE: Teoria e Exercícios
DISCIPLINA: Matemática A – Álgebra
DATA: __/__/_____
· Múltiplos e Divisores de um Número Natural
Múltiplo de um número natural é o produto desse número por um número natural qualquer.
Exemplos:
1) Determine:
a) os múltiplos de 5.
M (5) = { 0, 5, 10, 15, 20, 25, ... }
b) os múltiplos de 7, maiores que 15 e menores que 50.
M (7) = { 21, 28, 35, 42, 49 }
Observações:
· O conjunto dos múltiplos de um número diferente de zero é infinito.
· Zero é múltiplo de qualquer número.
· Todo número é múltiplo um e de si mesmo.
· O único múltiplo de zero é o próprio zero.
Divisor de um número é quando um número divide exatamente outro, ou seja, o resto da divisão de um pelo outro é igual a zero.
Exemplo:
1) Determine o conjunto dos divisores de 12.
1 	 x 12 	= 	12
2 	 x 6 	= 	12
3 	 x 4 	= 	12
	 D (12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }
	Observações:
	
· O conjunto dos divisores de um número natural é finito.
· O um é divisor de qualquer número
· Todo número é divisor dele mesmo.
· Critérios de Divisibilidade
· Números Primos e Números Compostos
· Sequência dos números primos → 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, ...
· Decomposição ou Fatoração de um Número em Fatores Primos
Um número composto pode ser indicado como um produto de fatores primos, ou seja, um número pode ser fatorado.
Procedimento
· Escrevemos o número dado à esquerda de uma barra vertical.
· Dividimos o número dado pelo menor número primo possível.
· Voltamos a dividir o quociente pelo menor número primo possível.
· O processo é repetido, até que o quociente seja 1.
Exemplo:
1) Decomponha em fatores primos o número 140.
140 2
 70 2
 35 5
 7 7
1 2 x 2 x 5 x 7 = 22 x 5 x 7
2) Qual é o número cuja fatoração dá 3 x 52 x 7?
3 x 52 x 7 = 3 x 5 x 5 x 7 = 525
· Determinação dos Divisores de um Número Natural
	
	
· Máximo Divisor Comum ( m.d.c. )
	O maior dos divisores comuns de dois ou mais números é denominado de máximo divisor comum (m.d.c.) .
	Exemplo:
1) Calcule o mdc ( 90, 54 ). 
Observem que os números 2, 3 e 3 foram assinalados com um asterisco (*) porque dividiram 90 e 54, depois 45 e 27 e depois 15 e 9, respectivamente, o que não acontece na sequência, quando o número 3 divide apenas o 3 e o 5 apenas o 5, no passo seguinte. Assim, os dois números em decomposição, foram fatorados simultaneamente apenas pelos números 2, 3 e 3, de forma que o mdc entre os números é:
mdc ( 90, 54 ) = 2 · 3² = 18
· Mínimo Múltiplo Comum ( m.m.c. )
	O menor dos múltiplos comuns (excluído o zero) de dois ou mais números chama-se mínimo múltiplo comum ( m.m.c. ) .
	Exemplo:
1) Calcule o mmc ( 8,12 ).
Para encontrar o mmc de dois ou mais números, basta realizarmos a decomposição simultânea dos números dados. 
Para isso, colocamos o 8 e o 12 um do lado do outro, passamos um traço do lado de ambos e vamos fatorando eles com números primos, inseridos do lado direito desse traço. Veja:
Dessa forma, você vai dividindo por 2 até que pelo menos um dos números possa ser dividido por 2. Quando um dos números não é divisível por 2, apenas copiamos ele. Assim, vamos dividindo por números primos maiores até que as colunas acabem em 1. Chegando nesse ponto, a decomposição acabou. 
Então, podemos calcular o mínimo múltiplo comum apenas multiplicando os números primos encontrados ao lado do traço.
Neste caso:
mmc ( 8, 12 ) = 2 . 2 . 2 . 3 = 24
· Redução de Frações ao menor denominador comum
Quando duas ou mais frações têm denominadores deferentes, é possível transformá-las em outras frações equivalentes, que tenham denominadores iguais. A isso chamamos redução de frações ao mesmo denominador.
Exemplo:
1) Reduzir ao mesmo denominador as frações . 
Para isso, basta multiplicarmos os termos de cada fração por um número natural conveniente. 
Assim, temos:
 	
As frações    são, respectivamente, equivalentes às frações  , que possuem denominadores iguais:
Na prática, essas reduções é feita da seguinte maneira:
· Calcula-se o mmc dos denominadores: mmc ( 2, 4, 6 ) = 12
· Divide-se o mmc pelos denominadores das frações dadas: 
12 ÷ 3 = 4, 12 ÷ 4 = 3 e 12 ÷ 6 = 2
· Multiplicam-se esses quocientes pelos respectivos numeradores:
· Comparação de Frações
Comparar números fracionários é estabelecer uma relação de igualdade ou desigualdade entre eles.
 
· 1º caso: Frações com denominadores iguais
Observe as figuras:
Se duas frações têm denominadores iguais, a maior será aquela que tiver maior numerador.
 
· 2º caso: Frações com denominadores diferentes
Nesse caso, reduzimos as frações ao menor denominador comum e, em seguida, procedemos como no primeiro caso.
Exemplo:
1) Compare as seguintes frações:
a) 
mmc ( 4, 3 ) = 12
Reduzindo as frações ao mesmo denominador, temos: 
 
Então, 
b) 
mmc ( 4, 8 ) = 8
Reduzindo as frações ao mesmo denominador, temos:
Então, 
· Operações com Frações
· Adição e Subtração
 
· 1º caso: As frações possuem denominadores iguais
Na adição/subtração de duas frações de mesmo denominador, basta que somemos/subtraíamos os numeradores e conservemos o denominador das frações. Caso o numerador e o denominador tenham algum divisor em comum, devemos simplificá-las até obter sua forma irredutível.
Exemplos:
1) Efetue:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
· 2º caso: As frações possuem denominadores diferentes
Numa adição/subtração de denominadores diferentes, devemos inicialmente reduzí-las ao menor denominador comum para, em seguida, efetuar a adição/subtração. Caso o numerador e o denominador tenham algum divisor em comum, devemos simplificá-las até obter sua forma irredutível.
Exemplos:
1) Efetue:
a) 
b) 
c) 
EXERCÍCIOS
1) Determine os cinco primeiros múltiplos de:
a) 
b) 6
c) 15
d) 13
e) 22
2) Determine os divisores de:
f) 
a) 10
b) 12
c) 8
d) 30
3) Sem efetuar divisões, identifique os números divisíveis por:
A) 2
a) 
b) 12
c) 78
d) 102
e) 134
f) 11.101
g) 1
h) 1.234
i) 3
j) 0
k) 555
l) 3.347
m) 13.890
B) 3
a) 
b) 12
c) 78
d) 102
e) 134
f) 11.101
g) 1
h) 1.234
i) 3
j) 0
k) 555
l) 3.347
m) 13.890
C) 4
a) 
b) 316
c) 4.148
d) 13.126
e) 47.108
f) 11.222
g) 101.010
h) 336
i) 540
j) 12.400
k) 1.875
l) 1.628
m) 18.000
D) 5
a) 
b) 13
c) 96
d) 13.260
e) 888
f) 0
g) 4.080
h) 75
i) 210
j) 1
k) 5
l) 12.345
m) 7346
E) 6
a) 
b) 12.300
c) 41.102
d) 56.789
e) 67.890
f) 70.234
g) 112.704
h) 102
i) 105
j) 110
k) 108
l) 118
m) 114
F) 9
a) 
b) 945
c) 108
d) 1.378
e) 4.698
f) 10.101
g) 30.222
h) 720
i) 477
j) 1.348
k) 2.466
l) 30.218
m) 12.400
G) 10
a) 
b) 967
c) 10
d) 234
e) 12.345
f) 6.140
g) 2.650
h) 543.210
i) 3.475
j) 1.001
k) 70
l) 900
m) 420
4) Decomponha em fatores primos os números:
a) 
b) 40
c) 60
d) 48
e) 92
f) 120
g) 168
5) Determine os divisores de:
a) 
b) 18
c) 72
d) 80
e) 110
6) Um cinema está em construção. Ele terá três setores para acomodar o público: 
· Setor A, de frente para a tela, com 135 lugares. 
· Setor B, na lateral direita de tela, com 105 lugares. 
· Setor C, na lateral esquerda da tela, com 90 lugares. 
O número de poltronas por fileiras será o mesmo nos três setores esse número deve ser o maior possível. Quantas fileiras de quantas poltronas haverá em cada setor?
7) Duas composições de metrô partem simultaneamente de um mesmo terminal fazendo itinerários diferentes. Uma delas torna a partir desse terminal a cada 80 minutos, enquanto a outra torna a partir a cada uma hora e meia. Qual é o tempo decorrido entre duas partidas simultâneas dessas composições, nesse terminal?
a) 10 horas.
b) 11 horas.
c) 12 horas.
d) 13 horas.
8) Este é o time de basquete masculino da escola de Ricardo. Cada jogador vai receber uma fração para colocar na camiseta. A fração maior fica para o meninomais alto; a menor, para o mais baixo.
a) Coloque as frações em ordem crescente e descubra a quem cada fração corresponde.
b) No campeonato, o time da escola de Ricardo ganhou dos jogos que disputou, e o time de uma outra escola ganhou do mesmo total de jogos. Qual dos dois times obteve melhor classificação nesse campeonato?
9) Efetue as operações com frações e simplifique o resultado, quando possível:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
m) 
Números Naturais
1
Números Compostos
Possuem mais de dois divisores, além do um e elemesmo .
Números Primos
Possuem apenas dois divisores, o um e ele mesmo.