Função Afim

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A Matemática está em TUDO, inclusive em VOCÊ!
FUNÇÃO AFIM
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Matemática em Foco - Profº Mick Xavier
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FUNÇÃO AFIM
Este ebook contém um resumo especial sobre FUNÇÃO AFIM além de ques-
tões diversas. 
Uma função RRf →: , que associa todo número Rx∈ ao número baxy += , 
com a e b reais, é chamada de FUNÇÃO AFIM.
baxy
ou
baxxf
baxx
+=
+=
+
)(

CASOS ESPECIAIS:
 Toda função afim f(x) = ax + b, com b = 0, é chamada de FUNÇÃO LINEAR.
 Toda função afim f(x) = ax + b, com a = 0, isto é, f(x) = b, é chamada de 
FUNÇÃO CONSTANTE.
 A função afim f(x) = ax + b, com a = 1 e b = 0 isto é, f(x) = x, é chamada 
de FUNÇÃO IDENTIDADE.
COEFICIENTES DE UMA FUNÇÃO AFIM: Os coeficientes a e b de uma 
função afim f(x) = ax + b, são chamados coeficiente angular e coeficiente linear, 
respectivamente. Esses coeficientes nos fornecem informações sobre o comporta-
mento do seu gráfico e interseção com os eixos coordenados.
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM: O gráfico de uma função afim é sempre 
uma reta, o que indica uma variação proporcional na imagem, para uma mesma 
variação do domínio.
RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO AFIM: Considerando uma função f(x) = 
ax + b, a raiz da função é o elemento do domínio que possui imagem igual a zero. 
Ou seja, se x1 é elemento do domínio de f(x) e f(x1) = 0, então x1 é raiz ou zero da 
função afim.
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Agora observe os gráficos a seguir das funções f(x) e g(x):
 
Nos gráficos acima podemos notar que o par ordenado em que a reta intersec-
ta o eixo Y é o (0, b). Ou seja, a reta sempre corta o eixo Y exatamente no valor 
do coeficiente linear da função. Por exemplo, na função 1
2
1)( −= xxf , temos b = 
-1, e o gráfico intersecta o eixo Y no par ordenado (0,-1). Note também que a reta 
corta o eixo X exatamente no valor da sua raiz. Portanto se a raiz da função é 
um elemento x1 do domínio, então a reta corta o eixo X no par ordenado (x1,0).
ÂNGULO ENTRE A RETA E O EIXO X: Cada uma dessas retas forma um ân-
gulo θ (no sentido anti-horário) com o eixo X conforme imagem abaixo.
Esse ângulo está relacionado ao coeficiente angular da função .
Para uma função afim qualquer f(x) = ax + b, cujo ângulo que a reta forma com 
o eixo X no sentido anti-horário é o θ , a tangente deste ângulo corresponde ao va-
lor do coeficiente angular da função:
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=θtg a.
O coeficiente angular também é chamado de “taxa de variação”. Existe uma 
maneira rápida de encontrar o coeficiente angular de uma função afim, utilizando 
DOIS PONTOS do gráfico. Por exemplo, dada uma função afim cujo gráfico con-
tém os pontos (1,5) e (5,17) então fazemos o seguinte cálculo:
Considerando os pontos acima como (x1,y1) e (x2,y2) devemos fazer o se-
guinte cálculo para descobrir o coeficiente angular: 
12
12
xx
yya
−
−
= ; sendo “a” o coefi-
ciente angular da função.
Portanto, para o exemplo dado acima o coeficiente angular vale 34
12
15
517
==−
−
−
=a .
Observação: o cálculo realizado anteriormente correspondente exatamente ao 
cálculo para determinar a tangente do ângulo (sentido anti-horário) que a reta for-
ma o eixo X.
CRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO AFIM: Considerando uma função afim 
qualquer f(x) = ax + b, com a ≠ 0:
 A função é crescente se a > 0;
 A função é decrescente se a < 0;
 A função é constante se a = 0.
ESTUDO DOSINAL DE UMA FUNÇÃO AFIM: Considerando uma função afim 
qualquer f(x) = ax + b, com a ≠ 0:
 Quando a função f(x) é CRESCENTE (a > 0) ela possui imagens po-
sitivas [f(x) > 0] para qualquer valor do domínio maior que a raiz da função, e 
imagens negativas: f(x) < 0 para qualquer valor do domínio menor que a raiz da 
função, conforme imagem abaixo. Lembre-se que a imagem da função exatamente 
no valor de sua raiz é zero.
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 Quando a função f(x) é DECRESCENTE (a < 0) ela é positiva [f(x) > 0] 
para qualquer valor do domínio menor que a raiz da função, e negativa: f(x) < 0 
para qualquer valor do domínio maior que a raiz da função:
EXERCICIOS 
1. Seja f uma função do primeiro grau tal que f(2) = 7 e f(5) = 13, qual o valor 
de f(-1) ?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
2- A função f: R → R definida por y = f(x) = ax + b tem o gráfico esboçado. O 
coeficiente linear e o zero da função são respectivamente:
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a) 3 e 3 
b) 5 e 3 
c) 3 e 5 
d) 5 e 5 
e) 5/3 e 3/5
3- (Unicamp) O custo de uma corrida de táxi é constituído por um valor inicial Q0 
fixo, mais um valor que varia proporcionalmente à distância D percorrida nessa corri-
da. Sabe-se que, em uma corrida na qual foram percorridos 3,6km, a quantia cobra-
da foi de R$8,25 e que em outra corrida, de 2,8km a quantia cobrada foi de R$7,25.
a) Calcule o valor inicial de Q0 .
b) Se, em um dia de trabalho, um taxista arrecadou R$75,00 em 10 corridas, 
quantos quilômetros seu carro percorreu naquele dia?
4- (UFPE) A poluição atmosférica em metrópoles aumenta ao longo do dia. Em 
certo dia, a concentração de poluentes no ar, às 8h, era de 20 partículas, em cada 
milhão de partículas, e, às 12h, era de 80 partículas, em cada milhão de partícu-
las. Admitindo que a variação de poluentes no ar durante o dia é uma função do 1º 
grau (função afim) no tempo, qual o número de partículas poluentes no ar em cada 
milhão de partículas, às 10h20min?
a) 45 
b) 50 
c) 55 
d) 60 
e) 65
5- (UFSE) Na figura mostrada tem-se o gráfico da função do 1º grau definida 
por y = ax + b. O valor de a/b é igual a:
a) 3 
b) 2 
c) 3/2 
d) 2/3 
e) ½
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6- (UNIFOR) Seja f a função real definida por 
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x1)x(f −= , para todo x do interva-
lo [-3,1]. Seu conjunto imagem é:
a) R 
b) [-1/2, 1] 
c) [-1/2,1/2] 
d) [-1/2 ; 5/2] 
e) [1/2 ; 5/2]
7- (UFPI) A função real de variável real, definida por f(x) = (3 – 2a)x + 2, é 
crescente quando:
a) a > 0 
b) a < 3/2 
c) a = 3/2 
d) a >3/2 
e) a < 3
8- (FGV) Uma fábrica de camisas tem um custo mensal dado por C = 5000 + 
15x, onde x é o número de camisas produzidas e vendidas por mês. Cada camisa 
é vendida por R$25,00. Atualmente, o lucro mensal é de R$2000,00. Para dobrar 
esse lucro, a fábrica deverá produzir e vender mensalmente:
a) o dobro do que produz e vende. 
b) 100 unidades a mais do que produz e vende. 
c) 200 unidades a mais do que produz e vende. 
d) 300 unidades a mais do que produz e vende.
9- (UFPE) Um provedor de acesso à Internet oferece dois planos para seus 
assinantes:
 Plano A - Assinatura mensal de R$8,00 mais R$0,03 por cada minuto de 
conexão durante o mês.
 Plano B - Assinatura mensal de R$10,00 mais R$0,02 por cada minuto de 
conexão durante o mês.
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Acima de quantos minutos de conexão por mês é mais econômico optar pelo 
plano B?
a) 160 
b) 180 
c) 200 
d) 220 
e) 240
10- (FUVEST) A reta de equação 2x + 12y - 3 = 0, em relação a um sistema 
cartesiano ortogonal, forma com os eixos do sistema um triângulo cuja área é:
a) 1/3 
b) 1/4 
c) 1/15 
d) 3/8 
e) 3/16 
11- (UERJ) As baterias B1 e B2 de dois aparelhos celulares apresentam em 
determinado instante, respectivamente, 100% e 90% da carga total. Considere as 
seguintes informações: 
• as baterias descarregam linearmente ao longo do tempo; 
• para descarregar por completo, B1 leva t horas e B2 levaduas horas a mais 
do que B1; 
• no instante z, as duas baterias possuem o mesmo percentual de carga igual 
a 75%. 
Observe o gráfico:
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O valor de t, em horas, equivale a: 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
GABARITO
1- A 
2- C 
Apenas precisamos observar onde a reta corta os eixos X e Y. Neste caso os 
valores são, 5 e 3, portanto a raiz vale 5 e o coeficiente linear vale 3.
3- a) R$3,75
b) 30km
4- C 
5- E 
6- E
Como a expressão da função é 
2
x1)x(f −= , para todo x do intervalo [-3,1], e se 
trata de uma função afim, apenas devemos substituir o menor valor do domínio e 
o maior, na expressão da função para encontrarmos o intervalo que determina a 
imagem da função. Sendo assim:
2
1
2
11)1(
2
5
2
31
2
)3(1)3(
=−=
=+=
−
−=−
f
f
Logo o intervalo que determina a imagem é 



2
5,
2
1 .
7- B
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Sabemos que uma função afim é crescente quando seu coeficiente angular é 
positivo. Neste caso a expressão da função é f(x) = (3 – 2a)x + 2, portanto seu coe-
ficiente angular está representado pelo binômio (3 – 2a). Logo precisamos resolver 
a seguinte inequação: 3 – 2a > 0. Resolvendo a inequação obtemos:
3 > 2a
3/2 > a
Logo, a < 3/2 .
8- C 
9- C
Para responder essa questão devemos comparar as expressões das duas 
empresas, isto é, queremos que a empresa B seja mais barata que a empresa A:
Plano A - Assinatura mensal de R$8,00 mais R$0,03 por cada minuto de co-
nexão durante o mês. Para este plano teremos a seguinte função A(x) = 8 + 0,03x, 
sendo x a quantidade de minutos falados por mês.
Plano B - Assinatura mensal de R$10,00 mais R$0,02 por cada minuto de co-
nexão durante o mês. Para este plano teremos a seguinte função B(x) = 10 + 0,02x, 
sendo x a quantidade de minutos falados por mês.
Então queremos B(x) < A(x) portanto precisamos resolver a seguinte inequa-
ção: 
8 + 0,03x < 10 + 0,02x
Multiplicando a inequação por 100 obtemos a inequação: 
800 + 3x < 1000 + 2x
x < 200
10- E 
11- D 
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