SintesisCapituloN15 Fisicalll

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SÍNTESIS DEL CAPÍTULO N°15 
Ondas mecánicas 
las ondas mecánicas son aquellas alteraciones que se transmiten por medio de un material o 
una sustancia. 
15.1. Tipos de ondas mecánicas 
Las ondas mecánicas al momento de desplazarse por un medio lo hacen de distintas maneras 
dependiendo de la naturaleza de las ondas. 
• Una onda transversal propagada en una cuerda tensada como medio, presenta 
oscilaciones donde las partículas se desplazan perpendicularmente al movimiento de la 
onda. 
• Una onda longitudinal es aquella que al propagarse en cualquier medio, lo hará de forma 
paralela al desplazamiento de la onda, es decir, que irán en la misma dirección sin tener 
en cuenta el sentido. 
• Una onda superficial presenta tanto un desplazamiento longitudinal como transversal. 
Un ejemplo común es la propagación de ondas en superficies liquidas. 
 
15.2. Ondas periódicas 
Las ondas periódicas son un conjunto de pulsaciones que poseen la misma amplitud, que son 
generadas en intervalos iguales de tiempo. 
𝑣 = 𝜆𝑓 
La rapidez de propagación (𝑣) es igual al producto de la longitud de onda (𝜆) por la frecuencia 
(𝑓), todos los puntos de la onda presentan una misma frecuencia. Cabe resaltar que la 
frecuencia disminuye si la longitud de onda aumenta. 
15.3. Descripción matemática de una onda 
Función de una onda sinusoidal 
En la figura 1, se puede apreciar que todas las partículas de la cuerda al oscilar poseen un 
movimiento armónico simple con la misma amplitud y frecuencia. No obstante, los diferentes 
movimientos periódicos de la cuerda se encuentran 
desfasados entre sí, es decir, no se hallan en fase 
todas las partículas a lo largo de la cuerda. Dichas 
diferencias tienen por nombre diferencias de fase. 
 
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
Onda sinusoidal que se mueve a lo largo de +x 
 
Siendo: 
𝑘 =
2𝜋
𝜆
 𝑜 
1
𝜆
 (número de onda) → 𝑟𝑎𝑑 𝑚⁄ 
𝜔 = 𝑣𝑘 (𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑎) → 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ 
 
Gráfica de la función de onda 
Las ondas se pueden representar con la función 
𝑦(𝑥, 𝑡), función del tiempo o de la distancia. A 
partir de esto la longitud de onda y el periodo se puede determinar por medio del grafico de 
desplazamiento, en la gráfica 3 se observa. 
𝑦(𝑥, 0) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 2𝜋
𝑥
𝜆
 
 
𝑦(0, 𝑡) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 (−𝜔𝑡) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 2𝜋
𝑡
𝑇
 
 
Velocidad y aceleración de partículas en una onda sinusoidal 
Tanto la velocidad como la aceleración provienen de la primera y 
segunda derivada de la ecuación respectivamente, que simboliza el 
desplazamiento de la onda sinusoidal que se encuentra arriba descrita. 
 
Figura 1. 
 
Figura 2. 
 
Figura 3. 
Se ha de resaltar que 𝑣𝑦 no es la velocidad de propagación, sino la velocidad transversal de 
cualquier partícula en una onda. 
𝑣𝑦(𝑥, 𝑡) =
𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
= 𝜔𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
 
𝑎𝑦(𝑥, 𝑡) =
𝜕2𝑦(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡2
= −𝜔2𝐴𝑐𝑜𝑠 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) = −𝜔2𝑦(𝑥, 𝑡) 
 
Ecuación de onda 
Toda onda puede ser representada con la siguiente ecuación, no se limita únicamente a las 
ondas sinusoidales, cualquiera perturbación en un medio cumple que se propagará a lo largo 
del eje x y con una rapidez v; sea periódica o no. 
𝜕2𝑦(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥2
=
1
𝑣2
 
𝜕2𝑦(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡2
 
 
En la figura 4 se visualiza que la aceleración en 
capa punto que examine en la cuerda va a ser 
proporcional al desplazamiento efectuado hasta 
ese punto. Y de igual manera, cuando la cuerda va 
hacia arriba – la curvatura – la aceleración es 
hacia arriba y al contrario. 
 
15.4. Rapidez de una onda transversal 
La rapidez de una onda se ve determinada por una fuerza de tensión (F) y por la densidad de 
masa lineal (𝜇), esta última siendo la masa dividida entre la longitud (
𝑚
𝐿
). Cuando se perturba 
se tiene en cuenta que a mayor tensión se encuentra mayor fuerza de restitución, la cual 
alineará la cuerda después de ser perturbada, cuando esto pasa se aumenta la rapidez de onda. 
 
 
Figura 4. 
Rapidez de onda en una cuerda o alambres estirados 
𝑣 = √
𝐹
𝜇
 
Vemos que la rapidez es inversamente proporcional a la densidad lineal y proporcional a la 
fuerza. 
Rapidez de las ondas mecánicas 
La siguiente expresión no es únicamente para una cuerda o alambre tensionados, también lo 
es para los otros tipos de ondas mecánicas. 
𝑣 = √
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑣𝑒 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑎𝑙 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑙𝑏𝑟𝑖𝑜 
𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑜𝑝𝑜𝑛𝑒 𝑎 𝑣𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑎𝑙 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜
 
 
15.5. Energía del movimiento ondulatorio 
Cuando se difunde una onda a través de un medio, inevitablemente habrá energía debido al 
trabajo que se está efectuando al ser necesario aplicar una fuerza a una parte del medio. Y 
además, la energía se va a transportar de una zona a otra. 
𝑃(𝑥, 𝑡) = √𝜇𝐹 𝜔2𝐴2𝑠𝑒𝑛2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
 
Valor máximo de la potencia instantánea 
La potencia máxima se da cuando 𝑠𝑒𝑛2 es igual a uno. 
𝑃𝑚𝑎𝑥 = √𝜇𝐹 𝜔
2𝐴2 
Potencia media o promedio 
La potencia media es la mitad de la potencia instantánea 
máxima. La razón media de transferencia de energía es 
proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia. 
 
Figura 5. 
 
 
𝑃𝑚𝑒𝑑 =
1
2
√𝜇𝐹 𝜔2𝐴2 
Intensidad de las ondas 
La intensidad (I) es la potencia media o promedio por 
unidad de área. Se mide en watts por metro cuadrado 
(W/𝑚2). 
𝐼1 =
𝑃
4𝜋𝑟12
 
La intensidad media 𝐼2 en una esfera con diferente radio 
𝑟2 está dada por una expresión similar. Si no se absorbe 
energía entre las dos esferas, la potencia P deberá ser la 
misma en ambas. 
𝐼1
𝐼2
=
𝑟2
2
𝑟1
2 (Ley del cuadrado inverso de la intensidad) 
 
15.6. Interferencia de onda, condiciones de frontera y superposición 
La interferencia de una onda es cuando se refleja una onda en otra, es decir, que hay 
superposición de las mismas. Existen dos tipos de interferencias; la constructiva, que es 
cuando dos ondas con fase parecida chocan o se interfieren, dando como resultado una mayor 
amplitud por la suma de la amplitud de las ondas iniciales; y la destructiva, se da cuando las 
ondas se oponen en fase y, por tanto, habrá una amplitud menor a la inicial de las ondas 
implicadas. 
Las condiciones de frontera se dan cuando se ejecuta un pulso en el extremo de ellas van a 
haber un comportamiento dependiendo de las condiciones de los extremos. Y el principio de 
superposición trata de la combinación de los desplazamientos de los pulsos individuales de 
dos diferentes ondas. La función de onda 𝑦(𝑥, 𝑡) que describe el movimiento resultante se 
obtiene sumando las dos funciones de onda de las ondas individuales. 
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦1(𝑥, 𝑡) + 𝑦2(𝑥, 𝑡) 
 
Figura 6. 
Figura 6. 
15.7. Ondas estacionarias en una cuerda 
Es la combinación de dos ondas cuando 
los pulsos ya no se reflejan con 
desplazamiento inverso, sino que se 
subdivide en varios segmentos con una 
misma rapidez, longitud de onda y 
amplitud, tenemos los nodos y los 
antinodos. 
Función de onda para las ondas estacionarias 
𝑦(𝑥, 𝑡) = (𝐴𝑆𝑊𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥)𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 
Se tiene en cuenta que 𝐴𝑆𝑊 es dos veces la amplitud de cualquiera de las ondas originales. 
 
15.8. Modos normales de una cuerda 
Ondas estacionarias en una cuerda fija en ambos extremos donde se tiene un nodo en cada 
extremo. Cada nodo está separado por λ/2 y según la cantidad de nodos varia así: 
 
Longitud (L) 
𝐿 = 𝑛
𝜆𝑛
2
 (𝑛 = 1, 2, 3, … ) 
 
Longitud de onda (λ) 
𝜆𝑛 =
2𝐿
𝑛
 (𝑛 = 1, 2, 3, … ) 
 
Frecuencia fundacional (f) 
𝑓𝑛 = 𝑛
𝑣
2𝑙
 (𝑛 = 1, 2, 3, … ) 
 
Figura 7. 
PREGUNTAS PARA ANÁLISIS DEL CAPÍTULO N°15 
15.1. Dos ondas viajan en la misma cuerda. ¿Es posible para ambas tener a) diferentes 
frecuencias, b) diferentes longitudes de onda, c) diferentes rapideces, d) diferentes 
amplitudes, e) la misma frecuencia, pero diferentes longitudesde onda? Explique su 
razonamiento. 
R/ Tomando en cuenta las distintas leyes y teoremas si es posible que las cuerdas se 
diferencias en todos los aspectos antes mencionados menos en su frecuencia, debido a que 
estos se mueven en el mismo medio material, que compartan nodos en común. La longitud de 
onda será independiente en cada una ya que esta se debe a la energía que contenga cada uno. 
15.4. La amplitud de una onda disminuye gradualmente a medida que la onda viaja por una 
cuerda larga y estirada. ¿Qué sucede con la energía de la onda en ese caso? 
R/ / Debido a la oscilación que se realizan en la cuerda la energía de la onda se transforma y 
pasa a convertirse en calor. 
15.5. Para los movimientos ondulatorios estudiados en el capítulo, ¿la rapidez de propagación 
depende de la amplitud? ¿Cómo lo sabe? 
R/ Según lo visto anteriormente la rapidez de propagación no depende de la amplitud, sino de 
las características con las que cuente el medio como son la longitud de onda, masa y tensión. 
15.24. Los violines son instrumentos cortos, en tanto que los violonchelos y los contrabajos 
son largos. Explique por qué esto es así en términos de la frecuencia de las ondas que 
producen. 
R/ Debemos tomar en cuenta el funcionamiento y el sonido o tamaño de onda que genera cada 
instrumento con respecto al tamaño de este, teniendo presente eso se puede decir que el 
violonchelo y el contrabajo son más largo debido a que la onda que se desea generar es más 
baja y para esto se necesita una gran superficie y de esta forma transmitir el movimiento lento 
de las moléculas en el aire, pero el caso contrario es con el violín su sonido es más agudo por 
lo que su frecuencia de onda es más alta y por esa razón este instrumento es corto. 
15.47. 
Masa = 2g 𝑓2 = 587Hz 
Longitud = 0,6m 
Frecuencia = 440 Hz 
A. V = 2f * L → v = 2*(440Hz) *0,6 =528m/s 
L = 
v
2∗f
 =
528𝑚/𝑠
2∗587 𝐻𝑧
= 0,449m 
 
B. 
v
2∗f
 =
528𝑚/𝑠
2∗392 𝐻𝑧
= 0,67m 
R/ Tomando en cuenta estos resultados podemos analizar que no se puede tocar una nota de 
392Hz sin antes afinar la cuerda o si tener una cuerda más grande. 
 
PROBLEMAS DEL CAPÍTULO N°15 
15.5. a) Longitudes de onda audibles. El rango de frecuencias audibles es de 20 a 20,000 
Hz aproximadamente. ¿Cuál es el rango de las longitudes de onda audibles en el aire? 
20 ≤ 𝑓 ≤ 20 × 103 [𝐻𝑧] 
𝑣 = 340 𝑚/𝑠 
𝑣 = 𝜆𝑓 → 𝜆 =
𝑣
𝑓
 
𝜆 =
340 𝑚/𝑠
20 𝐻𝑧
= 17 𝑚 
𝜆 =
340 𝑚/𝑠
20 × 103 𝐻𝑧
= 17 × 10−3 𝑚 
 
17 × 10−3 ≤ 𝜆 ≤ 17 [𝑚] 
 
b) Luz visible. El rango de luz visible va de 400 a 700 nm. ¿Cuál es el rango de las frecuencias 
visibles de la luz? 
400 ≤ 𝜆 ≤ 700 [𝑛𝑚] 
𝑣 = 3 × 108 𝑚/𝑠 
𝑓 =
𝑣
𝜆
 
𝑓 =
3 × 108 𝑚/𝑠
400 × 10−9 𝑚
= 7,5 × 1014 𝐻𝑧 
𝑓 =
3 × 108 𝑚/𝑠
700 × 10−9 𝑚
= 4,286 × 1014 𝐻𝑧 
 
4,286 × 1014 ≤ 𝑓 ≤ 7,5 × 1014 [𝐻𝑧] 
 
c) Cirugía en el cerebro. Los cirujanos pueden eliminar tumores cerebrales usando un 
aspirador quirúrgico ultrasónico, que produce ondas de sonido de 23 kHz de frecuencia. ¿Cuál 
es la longitud de onda de estas ondas en el aire? 
𝑓 = 23 𝑘𝐻𝑧 
𝑣 = 340 𝑚/𝑠 
𝜆 =
340 𝑚/𝑠
23 × 103 𝐻𝑧
= 14,78 × 10−3 𝑚 
 
d) Sonido en el cuerpo. ¿Cuál sería la longitud de onda del sonido del inciso c) en los fluidos 
corporales, si la rapidez del sonido es de 1480 ms pero la frecuencia es la misma? 
𝑓 = 23 𝑘𝐻𝑧 
𝑣 = 1480 𝑚/𝑠 
𝜆 =
1480 𝑚/𝑠
23 × 103 𝐻𝑧
= 64,35 × 10−3 𝑚 
 
15.12. Rapidez de propagación contra rapidez de las partículas. a) Demuestre que la 
ecuación (15.3) puede escribirse como 
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠 [
2𝜋
𝜆
(𝑥 − 𝑣𝑡)] 
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠 [2𝜋𝑓 (
𝑥
𝑣
− 𝑡)] (15.3) 
𝑣 = 𝜆𝑓 → 𝑓 =
𝑣
𝜆
 (1) 
Reemplazamos (1) en (15.3): 
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠 [2𝜋
𝑣
𝜆
 (
𝑥
𝑣
− 𝑡)] 
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠 [
2𝜋
𝜆
 (𝑥 − 𝑣𝑡)] 
 
b) Utilice y (x, t) para obtener una expresión para la velocidad transversal 𝑣𝑦 de una partícula 
de la cuerda en la que viaja la onda. 
𝑣𝑦(𝑥, 𝑡) =
𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
= −
2𝜋𝑣𝐴
𝜆
𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑣𝑡) 
 
c) Calcule la rapidez máxima de una partícula de la cuerda. ¿En qué circunstancias esta 
rapidez es igual a la rapidez de propagación v? ¿Menor que v? ¿Y mayor que v? 
v es máxima cuando el seno es ±1 
𝑣𝑚á𝑥 = ±
2𝜋𝑣𝐴
𝜆
 
15.18. Una cuerda de 1.50 m que pesa 0.0125 N está atada al techo por su extremo superior, 
mientras que el extremo inferior sostiene un peso W. Desprecie la pequeña variación de la 
tensión a lo largo de la cuerda producida por el peso de la misma. Cuando usted da un leve 
pulso a la cuerda, las ondas que viajan hacia arriba de esta obedecen la ecuación: 
 
𝑦(𝑥, 𝑡) = (8,50𝑚𝑚) cos(172 𝑚−1𝑥 − 4830 𝑠−1𝑡) 
𝐿 = 1,5 𝑚 
𝑤𝑐 = 𝑇 = 1,25 × 10
−2 𝑁 
𝐴 = 8,5 × 10−3 𝑚 
𝑘 = 172 𝑚−1 
𝜔 = 4830 × 𝑠−1 
 
Suponga que la tensión de la cuerda es constante e igual a W. a) ¿Cuánto tiempo tarda un 
pulso en recorrer toda la cuerda? 
𝑣 =
𝜔
𝑘
=
4830 × 𝑠−1
172 𝑚−1
= 28,08 𝑚/𝑠 
𝑣 =
𝑥
𝑡
→ 𝑡 =
𝑥
𝑣
 
𝑡 =
1,5 𝑚
28,08 𝑚/𝑠
= 5,32 × 10−2 𝑠 
b) ¿Cuál es el peso W? 
𝑣2 =
𝑇
𝜇
=
𝜔
𝑤𝑐
𝑔𝐿
 
𝜔 =
𝑤𝑐𝑣
2
𝑔𝐿
 
𝜔 =
(1,25 × 10−2 𝑁) (28,08
𝑚
𝑠 )
2
(9,8
𝑚
𝑠2
 ) (1,5 𝑚)
 
𝜔 = 0,67 𝑁 
c) ¿Cuántas longitudes de onda hay en la cuerda en cualquier instante? 
𝑘 =
2𝜋
𝜆
→ 𝜆 =
2𝜋
𝑘
 
𝑁°𝜆 =
𝐿
2𝜋
𝑘
=
𝑘𝐿
2𝜋
 
𝑁°𝜆 =
172 𝑚−1(1,5 𝑚)
2𝜋
= 41,06 
 
d) ¿Cuál es la ecuación para las ondas que viajan hacia abajo de la cuerda? 
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 cos (𝑘𝑥 + 𝑤𝑡) 
𝑦(𝑥, 𝑡) = (8,5 𝑚) cos(172 𝑚−1𝑥 + 4830172 𝑠−1𝑡) 
 
15.24. Un alambre ligero se estira firmemente con una tensión F. Las ondas que viajan 
transversalmente, de amplitud A y longitud de onda 𝜆1, transportan una potencia media 
𝑃𝑚𝑒𝑑,1 = 0.400 W. Si la longitud de onda se duplica, de modo que 𝜆2 = 2𝜆1 , mientras que 
la tensión F y la amplitud A no se alteran, ¿cuál es entonces la potencia media 𝑃𝑚𝑒𝑑,2 
transportada por la onda? 
𝑃𝑚𝑒𝑑,1 = 0,4 W 
𝜆2 = 2𝜆1 
𝑃𝑚𝑒𝑑,1 =
1
2
√𝜇𝐹𝜔2𝐴2 
𝑃𝑚𝑒𝑑,1 =
1
2
√𝜇𝐹
4𝜋2𝑣2𝐴2
𝜆1
2 
𝑃𝑚𝑒𝑑,2 =
1
2
√𝜇𝐹
4𝜋2𝑣2𝐴2
(2𝜆)2
 
𝑃𝑚𝑒𝑑,2 =
1
4
[
1
2
√𝜇𝐹
4𝜋2𝑣2𝐴2
𝜆1
2 ] 
𝑃𝑚𝑒𝑑,2 =
1
4
𝑃𝑚𝑒𝑑,1 
𝑃𝑚𝑒𝑑,2 = 0,1 𝑊 
 
15.34. Dos pulsos se desplazan en sentidos opuestos a 1.0 cm/s en una cuerda tensada, como 
se ilustra en la figura E15.34. 
 
 
 
Cada cuadro representa 1.0 cm. 
Dibuje la forma de la cuerda al final 
de: 
a) 6.0 s 
 
 
 
 
b) 7.0 s 
 
 
c) 8 s. 
 
 
 
15.36. Los antinodos adyacentes de una onda estacionaria en una cuerda están separados 15.0 
cm. Una partícula en un antinodo oscila con movimiento armónico simple de amplitud igual 
a 0.850 cm y periodo de 0.0750 s. La cuerda está en el eje +x, fija en x = 0. 
𝐴𝑠 = 0,85 × 10
−2 𝑚 
𝑇𝑠 = 0,075 𝑠𝑥 
𝑓 =
40
3
𝐻𝑧 
a) ¿Qué tan separados están los nodos adyacentes? 
Los nodos tendrán la misma separación de los antinodos que es de 15 cm. 
b) ¿Cuáles son la longitud de onda, la amplitud y la rapidez de las dos ondas viajeras que 
forman este patrón? 
 
 
c) Calcule las rapideces transversales máxima y mínima de un punto en un antinodo. 
 
 
d) ¿Cuál es la distancia mínima en la cuerda entre un nodo y un antinodo? 
 
15.43. La forma de una cuerda delgada tensa sujeta por ambos extremos y que oscila en su 
tercer armónico se describe con la ecuación 
𝑦 (𝑥, 𝑡) = (5.60 𝑐𝑚) 𝑠𝑒𝑛 [(0.0340 𝑟𝑎𝑑/𝑐𝑚)𝑥]𝑠𝑒𝑛[(50.0 𝑟𝑎𝑑𝑠)𝑡] 
Donde el origen está en el extremo izquierdo de la cuerda, el eje x está a lo largo de la cuerda 
y el eje y es perpendicular a la misma. 
a) Dibuje el patrón de onda estacionaria. 
 
 
b) Calcule la amplitud de las dos ondas viajeras que forman esta onda estacionaria. 
 
 
c) ¿Qué longitud tiene la cuerda? 
 
 
d) Calcule la longitud de onda, la frecuencia, el periodo y la rapidez de las ondas viajeras.e) Calcule la rapidez transversal máxima de un punto de la cuerda. 
 
f) ¿Qué ecuación y (x, t) tendría esta cuerda si vibrara en su octavo armónico?