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1 
Nome completo: Mateus Henrique Bernabe 
Código RA: 91513312 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I e II 
 
Fernando Geraldo Simão 
Data: 29/12/2023 
 
 
 
TÍTULO: 
A integral definida: uma ferramenta essencial para a resolução de problemas 
reais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
INDICE 
 
INTRODUÇÃO----------------------------------------------------------------------------------------3 
DESENVOLVIMENTO------------------------------------------------------------------------------4 
CONCLUSÕES---------------------------------------------------------------------------------------9 
REFERÊNCIAS-------------------------------------------------------------------------------------10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
INTRODUÇÃO 
 
O estudo da Física representa uma jornada fascinante pela compreensão 
dos fenômenos naturais que moldam o universo ao nosso redor. Desde seus 
primórdios até os avanços contemporâneos, o estudo da integral em cálculo muitas 
vezes é percebido como distante do mundo real, entretanto, ao aprofundarmos 
nesse conteúdo, percebemos sua aplicação em diversos setores, como na 
computação, economia, entre outras áreas. Neste contexto, este texto busca 
abordar a Integral Definida, destacando sua definição, aplicações e importância 
prática. 
O cálculo é uma área da matemática que estuda o movimento, o crescimento 
e a mudança. Ele é dividido em dois ramos principais: cálculo diferencial e cálculo 
integral. O cálculo diferencial estuda as taxas de variação, enquanto o cálculo 
integral estuda as áreas, volumes e comprimentos. A integral definida é uma das 
ferramentas mais importantes do cálculo integral. Ela é usada para calcular a área 
sob uma curva, o volume de um sólido de revolução e o trabalho realizado por uma 
força. 
 
"A integral definida é uma 
ferramenta poderosa que tem diversas 
aplicações na economia, como no cálculo 
de áreas sob curvas de demanda e oferta, 
no cálculo de lucros e custos, e no cálculo 
de fluxos de caixa." (Valle, 2020, p. 2) 
 
 
 
 
 
 
4 
Desenvolvimento 
Definição da Integral Definida: 
A Integral Definida é um conceito matemático que representa a área sob uma 
curva em um intervalo específico. É uma extensão da soma de Riemann e fornece 
ferramentas fundamentais para calcular áreas, volumes e resolver problemas 
dinâmicos em diversas disciplinas. 
Citação de Aplicações: 
Economia: A aplicação da Integral Definida na economia é evidenciada pelo 
artigo "APLICAÇÃO DA INTEGRAL DEFINIDA NA ECONOMIA - UMA VISÃO DO 
FUTURO PROFESSOR" de Jaqueline Valle. O estudo explora como os modelos 
econômicos utilizam integrais para analisar e prever variáveis econômicas, 
fornecendo insights valiosos para os profissionais da área. 
1. Cálculo de Custos Totais e Receita Total: A Integral Definida é utilizada para 
calcular os custos totais e a receita total em função da quantidade produzida. Isso 
é fundamental para a análise de lucros, margens e pontos de equilíbrio em 
diferentes níveis de produção. 
2. Análise de Elasticidade da Demanda: A elasticidade da demanda mede a 
sensibilidade da quantidade demandada em relação a mudanças nos preços. A 
Integral Definida pode ser empregada para calcular a elasticidade ao longo de uma 
curva de demanda, auxiliando na compreensão das respostas dos consumidores a 
variações de preço. 
3. Modelos de Crescimento Econômico: Em modelos de crescimento econômico, 
a Integral Definida é utilizada para analisar a acumulação de capital, investimentos 
e variações na produtividade ao longo do tempo. Esses modelos são cruciais para 
entender o desenvolvimento econômico a longo prazo. 
4. Avaliação de Investimentos e Fluxo de Caixa: A técnica de análise de fluxo de 
caixa descontado, amplamente usada em finanças, envolve o uso de integrais 
definidas para calcular o valor presente líquido de investimentos futuros. Isso auxilia 
na tomada de decisões sobre a viabilidade financeira de projetos. 
 
5 
5. Previsão de Taxas de Crescimento e Inflação: Modelos econômicos que 
incorporam a Integral Definida podem ser usados para prever taxas de crescimento 
econômico, inflação e outros indicadores macroeconômicos. A análise dessas 
variáveis é crucial para políticas monetárias e fiscais. 
6. Avaliação de Políticas Públicas: Ao modelar o impacto de políticas públicas, 
como impostos, subsídios ou regulamentações, a Integral Definida pode ser 
aplicada para analisar as mudanças resultantes nas variáveis econômicas, como 
produção, consumo e distribuição de renda. 
Essas aplicações destacam a versatilidade da Integral Definida na análise 
econômica, contribuindo para uma compreensão mais profunda dos fenômenos 
econômicos e apoiando a tomada de decisões informadas em contextos 
econômicos diversos. 
Computação: 
Na computação, a Integral Definida é empregada em algoritmos que 
envolvem cálculos de áreas, otimização de processos e análise de dados. Por 
exemplo, em processamento de imagem, a integral é utilizada para calcular áreas 
de regiões específicas, contribuindo para a identificação de padrões. 
Engenharia: 
Em engenharia, a Integral Definida é crucial para calcular volumes de sólidos 
complexos. Em projetos estruturais, essa ferramenta matemática é aplicada para 
determinar a quantidade de material necessária, otimizando o uso de recursos. 
Exemplos de Aplicação: 
Economia: 
Podemos usar a Integral Definida para calcular o total de vendas ao longo 
de um período específico, fornecendo informações valiosas para estratégias de 
produção e marketing. 
 
6 
Computação: 
Considere uma imagem digital onde precisamos calcular a área de uma 
região específica. Aplicando a Integral Definida, podemos determinar a quantidade 
de pixels nessa área, sendo útil em reconhecimento de padrões ou segmentação 
de imagens. 
Engenharia: 
Em um projeto de construção, ao calcular a Integral Definida sobre a função 
que descreve a forma do material, obtemos o volume exato do material necessário, 
evitando desperdícios e garantindo eficiência na construção 
Definição da integral definida 
A integral definida é definida pela seguinte fórmula: 
"A integral definida é uma função 
que associa a cada intervalo [a, b] um 
número real, representado pela soma das 
áreas de um conjunto infinito de retângulos 
infinitamente pequenos que têm a mesma 
base e altura." (Stewart, 2021, p. 572) 
∫_a^b f(x) dx = lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(a+i\Delta x)\Delta x 
onde: 
 f(x) é a função que estamos integrando; 
 a e b são os limites de integração; 
 Δx é o comprimento de cada retângulo; 
 n é o número de retângulos. 
Aplicações da integral definida 
 
7 
A integral definida tem diversas aplicações na matemática, na física, na 
engenharia e em outras áreas. 
Aplicação 1: cálculo de áreas 
A integral definida pode ser usada para calcular a área sob uma curva. Por 
exemplo, para calcular a área sob a curva y = x² no intervalo [0, 1], podemos usar 
a seguinte integral definida: 
∫_0^1 x^2 dx = (x^3/3)_0^1 = (1/3) - (0/3) = 1/3 
O resultado é 1/3, que é a área do triângulo retângulo com base 1 e altura 1. 
Aplicação 2: cálculo de volumes 
A integral definida também pode ser usada para calcular o volume de um 
sólido de revolução. Por exemplo, para calcular o volume de um cilindro de raio r e 
altura h, podemos usar a seguinte integral definida: 
∫_0^h 2πr^2 dx 
O resultado é 2πr²h, que é o volume do cilindro. 
Aplicação 3: cálculo de trabalho 
A integral definida também pode ser usada para calcular o trabalho realizado 
por uma força. Por exemplo, para calcular o trabalho realizado por uma força 
constante F ao mover um objeto de um ponto A para um ponto B, podemos usar a 
seguinte integral definida: 
∫_A^B F dx 
O resultado é a força multiplicada pela distância percorrida, que é o trabalho 
realizado. 
 
8 
Exemplos 
A seguir, sãoapresentados alguns exemplos de aplicação da integral 
definida: 
 Um engenheiro civil usa a integral definida para calcular a quantidade de concreto 
necessária para construir uma laje. 
 Um físico usa a integral definida para calcular a energia cinética de um objeto em 
movimento. 
 Um economista usa a integral definida para calcular a área sob a curva de demanda 
de um produto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
Conclusão 
A integral definida é uma ferramenta poderosa que tem diversas aplicações 
na matemática e em outras áreas. Ela é usada para calcular áreas, volumes, 
trabalho e outras grandezas. A compreensão da integral definida é essencial para 
o estudo de cálculo e para a resolução de problemas em diversas áreas do 
conhecimento. 
Em síntese, a Integral Definida transcende o âmbito teórico, manifestando-
se como uma ferramenta indispensável em diversas áreas. Seja na economia, 
computação ou engenharia, suas aplicações são vastas e impactam positivamente 
a resolução de problemas complexos. Ao compreender e aplicar esse conceito, os 
profissionais adquirem uma perspectiva mais prática e eficiente na análise e 
resolução de questões do mundo real. Assim, a importância da Integral Definida é 
evidente, contribuindo significativamente para o avanço e aprimoramento em 
diferentes campos do conhecimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
Referências 
 PERES, Fernando F. História da Física. São Paulo: Editora Moderna, 2010. 
 FERREIRA, Luiz Antonio. A Física na história da humanidade. São Paulo: 
Editora Contexto, 2008. 
 RODRIGUES, Francisco. A Física no mundo antigo. São Paulo: Editora 
Scipione, 2006. 
 STEWART, James. Cálculo. 10. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2021. 
 VALLE, Jaqueline. Aplicação da integral definida na economia - uma visão 
do futuro professor. 
 Disponível em: https://www.ufsm.br/cursos/pos-graduacao/santa-
maria/ppgemef/wp-
content/uploads/sites/534/2020/03/CC_Valle_Jaqueline.pdf. Acesso em: 20 
de julho de 2023.

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