Semana 2 - Videoaula 4 - Matemática Financeira - MAT200

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Desconto para vários títulos 
e desconto composto
MATEMÁTICA FINANCEIRA
DESCONTO PARA VÁRIOS TÍTULOS
Bancos comerciais – desconto único para mais de 
um título. 
Cada título tem um PRAZO e um VALOR NOMINAL. 
Serão descontados na MESMA DATA.
O desconto, então, representa a soma do valor 
descontado de cada título.
Fonte: ASSAF NETO (2019)
VALOR NOMINAL E DESCONTADO
Como obter a taxa efetiva (racional) de um conjunto 
de títulos com prazos desiguais? 
Definir o prazo de antecipação dos títulos pelo seu 
valor médio ponderado.
Fonte: ASSAF NETO (2019)
EXEMPLO
Em determinada data um banco creditou o valor 
líquido de $ 23.600,00 na conta de um cliente após 
efetuar a operação de desconto no borderô de 
duplicatas enviado.
Vamos verificar os valores e prazos de antecipação.
Fonte: ASSAF NETO (2019)
EXEMPLO
Fonte: ASSAF NETO (2019)
EXEMPLO
Fonte: ASSAF NETO (2019)
Realizada média ponderada pelo número de dias de antecipação:
EXEMPLO
Fonte: ASSAF NETO (2019)
Substituindo os valores identificados na fórmula da taxa de juros 
racional, conforme apresentada, chega-se a:
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE A TAXA 
EFETIVA
• A taxa racional é baseada nos juros simples.
• Rigorosamente, não é o sistema mais 
adequado.
• O uso dessa taxa em bancos comerciais é 
explicado pela simplicidade
• Adotando juros compostos, calcularemos a 
Taxa Interna de Retorno.
Fonte: ASSAF NETO, 2019 
TAXA INTERNA DE RETORNO (IRR)
Taxa de juros que iguala, numa única data (comum adotar a 
data zero), entradas de caixa (valor descontado) com 
saídas de caixa (valor nominal de cada título).
Fonte: ASSAF NETO, 2019 
TAXA INTERNA DE RETORNO (IRR)
Fonte: ASSAF 
NETO, 2019 
i = 4,35% ao mês (por calculadora financeira)
i = (1,0435)12 – 1 = 66,7% ao ano.
TAXA INTERNA DE RETORNO (IRR)
Fonte: ASSAF NETO, 2019 
DESCONTO COMPOSTO
• Usado em operações de longo prazo.
• Também possui as modalidades “por dentro” e 
“por fora”.
• “Por fora” raramente é aplicado no Brasil, 
carecendo de aplicação prática.
• “Por dentro” envolve valor atual e nominal com 
capitalização composta.
Fonte: ASSAF NETO, 2019 
DESCONTO COMPOSTO “POR FORA”
• Incidência sucessiva da taxa de desconto sobre o 
valor nominal do título, o qual é deduzido, em cada 
período, dos descontos obtidos em períodos 
anteriores.
• Vamos analisar os resultados numa sucessão de 
períodos.
Fonte: ASSAF NETO, 2019 
DESCONTO COMPOSTO “POR FORA”
O valor N (1 – d) é o 
novo valor nominal 
sobre o qual incidirá 
a taxa de desconto no 
período seguinte.
Fonte: ASSAF NETO, 2019 
DESCONTO COMPOSTO 
“POR FORA”
Fonte: ASSAF NETO, 2019 
DESCONTO 
COMPOSTO “POR 
FORA”
Fonte: ASSAF NETO, 2019 
E assim 
sucessivamen
te até n 
períodos. 
DESCONTO COMPOSTO “POR FORA”
Fonte: ASSAF NETO, 2019 
Expressão geral para cálculo:
Como: DF = N – VF
Tem-se que: DF = N – N (1 – d)
n
EXEMPLO 1
Um título de valor nominal de $ 35.000,00 é 
negociado mediante uma operação de desconto 
composto “por fora” 3 meses antes de seu 
vencimento. A taxa de desconto adotada atinge 5% 
ao mês. Pede-se determinar o valor descontado, o 
desconto e a taxa de juros efetiva da operação.
Fonte: ASSAF NETO (2019)
EXEMPLO 1
Desconto
DF = N × [1 – (1 – d)
n]
DF = 35.000,00 × [1 – (1 –
0,05)3]
DF = 35.000,00 × 0,142625
DF = $ 4.991,88
Fonte: ASSAF NETO (2019)
Valor Descontado
VF = N (1 – d)
n
VF = 35.000,00 (1 – 0,05)
3
VF = $ 30.008,12
ou: VF = N – DF
VF = 35.000,00 – 4.991,88
VF = $ 30.008,12
EXEMPLO 1
Fonte: ASSAF NETO (2019)
DESCONTO COMPOSTO “POR DENTRO”
O desconto racional é aquele estabelecido segundo 
as conhecidas relações do regime de juros 
compostos.
O valor descontado racional (Vr) equivale ao valor 
presente de juros compostos
Fonte: ASSAF NETO (2019)
DESCONTO COMPOSTO “POR DENTRO”
Como o desconto é 
obtido pela diferença 
entre o valor nominal e o 
valor descontado, o 
desconto racional (Dr) 
tem a seguinte 
expressão de cálculo:
Fonte: ASSAF NETO (2019)
DESCONTO COMPOSTO “POR DENTRO”
Uma pessoa deseja descontar uma nota promissória 3 meses antes de 
seu vencimento. O valor nominal desse título é de $ 50.000,00. Sendo 
de 4,5% ao mês a taxa de desconto racional, o valor líquido recebido 
(valor descontado) pela pessoa na operação atinge:
Fonte: ASSAF NETO (2019)
EXEMPLO 2
Se uma pessoa deseja descontar uma nota 
promissória 3 meses antes de seu vencimento. O 
valor nominal desse título é de $ 50.000,00. Sendo 
de 4,5% ao mês a taxa de desconto racional, qual 
valor líquido recebido é atingido?
Fonte: ASSAF NETO (2019)
EXEMPLO 2
Dr = 50.000,00 – 43.814,83 
= $ 6.185,17
Taxa Efetiva:
É a própria 
Taxa de desconto!
Fonte: ASSAF NETO (2019)
EXEMPLO 3
Um banco libera a um cliente $ 6.800,00 
provenientes do desconto de um título de valor 
nominal de $ 9.000,00 descontado à taxa de 4% a.m. 
Calcular o prazo de antecipação que foi descontado 
este título.
Fonte: ASSAF NETO (2019)
EXEMPLO 3
Fonte: ASSAF NETO 
(2019)
REFERÊNCIA
• ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas Aplicações. São 
Paulo: GEN, 2019. ISBN 9788597021608 Link: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597021615/