slides AULA 3 Aula Teórica e Prática 03

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Prof.ª Aline Purcote
Probabilidade e Estatística
Aula 3
Conversa Inicial
Probabilidade e estatística
O que são medidas de dispersão?
Medidas de posição versus dispersão
Quais as principais medidas e onde 
podemos utilizá-las?
Como calcular cada medida?
O que é assimetria e curtose?
Aula 3:
Medidas de dispersão
Desvio médio
Variância e desvio padrão
Medidas de assimetria
Medidas de curtose
Medidas de dispersão
Medidas de dispersão = afastamento 
Utilizadas para verificar o quanto os valores 
estão afastados/dispersos em relação à média
Grau de variação existente em um conjunto de 
valores
Indicam se os valores estão próximos um 
dos outros ou separados
Mede a representatividade 
da média
Medidas de dispersão
Dispersão
𝐱
1 2
3 4
5 6
2
Exemplo 1:
Produto A: 20, 20, 20
Produto B: 15, 10, 20, 25, 30
Média = R$ 20,00
Exemplo 2: Quantidade de peças produzidas
Seg. Ter. Qua. Qui. Sex. Média
A 10 9 11 12 8 10
B 15 12 16 10 11 12,8
C 11 10 8 11 12 10,4
D 8 12 15 9 11 11
Medidas: amplitude total, desvio médio, 
variância e desvio padrão
Amplitude total = intervalo total
É a diferença entre o maior e o menor valor 
de uma série de dados
A = maior – menor
Análise: quanto maior a amplitude, maior 
será a dispersão dos valores
Exemplos: qual a amplitude total?
40 45 48 62 70
A = 70 – 40 = 30
10 3 10 20 10
A = 20 – 3 = 17
Dados agrupados por classe:
Ponto médio das classes
Limites das classes 
Ponto médio: 
1.900 – 1.100 = 800
Limites das classes:
2.000 – 1.000 = 1.000
Salários (R$) N. de 
func.
1.000,00  1.200,00 2
1.200,00  1.400,00 6
1.400,00  1.600,00 10
1.600,00  1.800,00 5
1.800,00  2.000,00 2
Desvio médio
Analisa a média dos desvios em torno da 
média de cada um dos valores da série 
Representa a média das distâncias entre cada 
elemento da amostra e seu valor médio
Cálculo:
Desvio médio
𝑫𝒎
∑ 𝒙 𝒙 · 𝒇
𝑵
7 8
9 10
11 12
3
Não agrupado:
8 4 6 9 10 5
𝑫𝒎
∑ 𝒙 𝒙 · 𝒇
𝑵
𝑿
𝟖 𝟒 𝟔 𝟗 𝟏𝟎 𝟓
𝟔
𝟒𝟐
𝟔
𝟕
𝑫𝒎
𝟖 𝟕 𝟏 𝟒 𝟕 𝟏 𝟔 𝟕 𝟏 𝟗 𝟕 𝟏 𝟏𝟎 𝟕 𝟏 𝟓 𝟕 𝟏
𝟔
𝑫𝒎
𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟑 𝟏 𝟐 𝟏
𝟔
𝑫𝒎
𝟏 𝟑 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐
𝟔
𝟏𝟐
𝟔
𝟐
Distribuição de frequência
X f
1 1
2 3
3 5
4 1
X f x.f 𝒙 𝒙 𝑥 𝒙f
1 1 1 1,6 1,6
2 3 6 0,6 1,8
3 5 15 0,4 2
4 1 4 1,4 1,4
10 26 6,8
𝑫𝒎
∑ 𝒙 𝒙 · 𝒇
𝑵
𝒙
𝟐𝟔
𝟏𝟎
𝟐, 𝟔
𝑫𝒎
𝟔, 𝟖
𝟏𝟎
𝟎, 𝟔𝟖
Distribuição de frequência por classe:
Calcular o ponto médio
Calcular a média
Calcular o desvio em relação à média
Calcular o desvio médio 
𝑫𝒎
∑ 𝒙 𝒙 · 𝒇
𝑵
𝑫𝒎
∑ 𝑷𝒎 𝒙 · 𝒇
𝑵
Notas Alunos 
𝑭𝒊
Pm
35 |- 45 5 40
45 |- 55 12 50
55 |- 65 18 60
65 |- 75 14 70
75 |- 85 6 80
85 |- 95 3 90
TOTAL 58 -
𝒙
𝟒𝟎. 𝟓 𝟓𝟎. 𝟏𝟐 𝟔𝟎. 𝟏𝟖 𝟕𝟎. 𝟏𝟒 𝟖𝟎. 𝟔 𝟗𝟎. 𝟑
𝟓𝟖
𝒙
𝟐𝟎𝟎 𝟔𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟖𝟎 𝟗𝟖𝟎 𝟒𝟖𝟎 𝟐𝟕𝟎
𝟓𝟖
𝟑𝟔𝟏𝟎
𝟓𝟖
𝟔𝟐, 𝟐𝟒
𝑫𝒎
𝟓𝟗𝟔, 𝟖𝟖
𝟓𝟖
𝟏𝟎, 𝟐𝟗
Notas 𝒇 Pm 𝑷𝒎 𝒙 𝑷𝒎 𝒙 𝒇
35 |- 45 5 40 22,24 111,20
45 |- 55 12 50 12,24 146,88
55 |- 65 18 60 2,24 40,32
65 |- 75 14 70 7,76 108,64
75 |- 85 6 80 17,76 106,56
85 |- 95 3 90 27,76 83,28
TOTAL 58 - - 596,88
Variância e desvio padrão
É a média dos quadrados dos desvios 
População versus amostra:
Análise: se os desvios forem baixos, teremos 
pouca dispersão. Se os desvios forem altos, 
teremos elevada dispersão
Variância
𝑺𝟐 ∑ 𝒙 𝒙 𝟐. 𝒇
𝑵
𝑺𝟐 ∑ 𝒙 𝒙 𝟐. 𝒇
𝑵 𝟏
13 14
15 16
17 18
4
Raiz quadrada da variância
Cálculo:
Passos:
Calcular a média
Calcular a variância
Tirar a raiz quadrada da variância
Desvio padrão
𝑺
∑ 𝒙 𝒙 𝟐. 𝒇
𝑵
𝑺
∑ 𝒙 𝒙 𝟐. 𝒇
𝑵 𝟏 𝑺 𝑺𝟐
Não agrupado:
5, 7, 8, 6, 5, 4, 8, 9, 10, 6 
𝑿
𝟓 𝟕 𝟖 𝟔 𝟓 𝟒 𝟖 𝟗 𝟏𝟎 𝟔
𝟏𝟎
𝟔𝟖
𝟏𝟎
𝟔, 𝟖
𝑺𝟐 𝟒 𝟔, 𝟖 𝟐. 𝟏 𝟓 𝟔, 𝟖 𝟐. 𝟐 𝟔 𝟔, 𝟖 𝟐. 𝟐 𝟕 𝟔, 𝟖 𝟐. 𝟏 𝟖 𝟔, 𝟖 𝟐. 𝟐 𝟗 𝟔, 𝟖 𝟐. 𝟏 𝟏𝟎 𝟔, 𝟖 𝟐. 𝟏
𝟏𝟎 𝟏
𝑺𝟐 𝟕, 𝟖𝟒 𝟔, 𝟒𝟖 𝟏, 𝟐𝟖 𝟎, 𝟎𝟒 𝟐, 𝟖𝟖 𝟒, 𝟖𝟒 𝟏𝟎, 𝟐𝟒
𝟗
𝑺𝟐 𝟑𝟑, 𝟔
𝟗
𝟑, 𝟕𝟑
𝑺 𝟑, 𝟕𝟑 𝑺 𝟏, 𝟗𝟑
Distribuição de frequência – população:
Defeitos Itens x.f 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝟐 𝒙 𝒙 𝟐. 𝒇
0 32 0 (0-1)=-1 (-1)2=1 1.32=32
1 28 28 0 0 0
2 11 22 1 1 11
3 4 12 2 4 16
4 3 12 3 9 27
5 1 5 4 16 16
79 79 102
𝑿
𝟕𝟗
𝟕𝟗
𝟏
𝑺𝟐 𝟏𝟎𝟐
𝟕𝟗
𝟏, 𝟐𝟗 𝑺 𝟏, 𝟐𝟗 𝟏, 𝟏𝟒
Distribuição de frequência por classe:
𝑿
𝟑𝟎𝟎
𝟓𝟎
𝟔
𝑺𝟐 𝟐𝟏𝟔, 𝟓𝟎
𝟓𝟎
𝟒, 𝟑𝟑
𝑺 𝟒, 𝟑𝟑 𝟐, 𝟎𝟖𝟎𝟖𝟔𝟓
Salários Funcionários x x.f
1 |---2 1 1,5 1,5
2 |---3 4 2,5 10
3 |---4 6 3,5 21
4 |---5 5 4,5 22,5
5 |---6 6 5,5 33
6 |---7 10 6,5 65
7 |---8 9 7,5 67,5
8 |---9 6 8,5 51
9 |---10 3 9,5 28,5
50 300
Salários Funcionários X X - Média (X – Média)2 (X – Média2).f
1 |---2 1 1,5 -4,5 20,25 20,25
2 |---3 4 2,5 -3,5 12,25 49
3 |---4 6 3,5 -2,5 6,25 37,50
4 |---5 5 4,5 -1,5 2,25 11,25
5 |---6 6 5,5 -0,5 0,25 1,5
6 |---7 10 6,5 0,5 0,25 2,5
7 |---8 9 7,5 1,5 2,25 20,25
8 |---9 6 8,5 2,5 6,25 37,50
9 |---10 3 9,5 3,5 12,25 36,75
50 216,50
Medidas de assimetria
Medidas de assimetria
Grau de afastamento de uma distribuição da 
unidade de simetria
Indica o grau de deformação de uma curva 
de frequências
Distribuição simétrica
Distribuição assimétrica positiva = 
assimétrica à direita
Assimétrica negativa = assimétrica à 
esquerda
19 20
21 22
23 24
5
Distribuição simétrica
Média = Mediana = Moda
Assimetria à direita ou positiva
MedianaModa
Média
𝑴𝒐 𝑴𝒅 𝑿
Assimetria à esquerda ou negativa
Mediana Moda
Média
𝑴𝒐𝑴𝒅𝑿
1º coeficiente de assimetria de Pearson:
2º coeficiente de Pearson:
AS = 0, a distribuição é simétrica
AS > 0, a distribuição é assimétrica positiva ou à 
direita
AS < 0, a distribuição é assimétrica negativa ou à 
esquerda
𝑨𝒔
𝑿 𝑴𝒐
𝑺
𝑨𝒔
𝟑. 𝑿 𝑴𝒅
𝑺
Considere a seguinte distribuição, que 
representa uma amostra dos diâmetros 
externos das tubulações fabricadas 
por determinada empresa, e calcule o 
coeficiente de assimetria de Pearson
Diâmetros Frequências
20,1 |--- 20,2 10
20,2 |--- 20,3 25
20,3 |--- 20,4 30
20,4 |--- 20,5 35
20,5 |--- 20,6 45
20,6 |--- 20,7 25
20,7 |--- 20,8 15
20,8 |--- 20,9 10
20,9 |--- 21,0 5
Total 200
Diâmetros (mm) Frequências PM PM.f (PM – Média)² (PM – Média)².f
20,1 |--- 20,2 10 20,15 201,5 0,1225 1,225
20,2 |--- 20,3 25 20,25 506,25 0,0625 1,5625
20,3 |--- 20,4 30 20,35 610,5 0,0225 0,675
20,4 |--- 20,5 35 20,45 715,75 0,0025 0,0875
20,5 |--- 20,6 45 20,55 924,75 0,0025 0,1125
20,6 |--- 20,7 25 20,65 516,25 0,0225 0,5625
20,7 |--- 20,8 15 20,75 311,25 0,0625 0,9375
20,8 |--- 20,9 10 20,85 208,5 0,1225 1,225
20,9 |--- 21,0 5 20,95 104,75 0,2025 1,0125
Total 200 4.099,50 7,40 
𝑿
𝟒𝟎𝟗𝟗, 𝟓𝟎
𝟐𝟎𝟎
𝟐𝟎, 𝟓𝟎
𝑺𝟐 𝟕, 𝟒𝟎
𝟐𝟎𝟎 𝟏
𝟎, 𝟎𝟑𝟕𝟐
𝑺 𝟎, 𝟎𝟑𝟕𝟐 𝟎, 𝟏𝟗𝟐𝟗
𝑴𝒐 𝟐𝟎, 𝟓
𝟐𝟓 . 𝟎, 𝟏𝟎
𝟑𝟓 𝟐𝟓
𝑴𝒐 𝟐𝟎, 𝟓 𝟎, 𝟎𝟒𝟏𝟕 𝟐𝟎, 𝟓𝟒
𝑨𝒔
𝑿 𝑴𝒐
𝑺
𝑨𝒔
𝟐𝟎, 𝟓𝟎 𝟐𝟎, 𝟓𝟒
𝟎, 𝟏𝟗𝟐𝟗
𝟎, 𝟎𝟒
𝟎, 𝟏𝟗𝟐𝟗
𝟎, 𝟐𝟎𝟕𝟒
Considere uma distribuição de frequência 
que apresenta média igual a 88, mediana 
igual a 82 e desvio padrão igual a 40, 
calcule o 2º coeficiente de Pearson
𝑨𝒔
𝟑. 𝑿 𝑴𝒅
𝑺
𝑨𝒔
𝟑. 𝟖𝟖 𝟖𝟐
𝟒𝟎
𝑨𝒔
𝟑. 𝟔
𝟒𝟎
𝟏𝟖
𝟒𝟎
𝟎, 𝟒𝟓
Medidas de curtose
25 26
27 28
29 30
6
Medidas de curtose
Indica o quanto uma distribuição de 
frequências é mais achatada ou mais 
afilada do que uma curva padrão, 
a qual é denominada de curva normal
Curva leptocúrtica Curva mesocúrtica Curva platicúrtica
Cálculo:
K = 0,263 – curva normal, 
distribuição mesocúrtica
K > 0,263 – curva mais achatada, 
distribuição platicúrtica
K < 0,263 – curva mais alongada, 
distribuição leptocúrtica
𝑲
𝑸𝟑 𝑸𝟏
𝟐 𝒑𝟗𝟎 𝒑𝟏𝟎
Passos para calcular o quartil e o percentil: 
Encontrar o valor de N
Calcular a posição:
Calcular a frequência acumulada (fa) 
Identificar na frequência acumulada a 
posição
Calcular o quartil ou percentil, utilizando a 
fórmula:
𝑸𝒊 𝑳𝒊
𝑵
𝟒 . 𝒊 ∑ 𝒇𝒂𝒏𝒕
𝒇𝑫𝒊
. 𝑨 𝑷𝒊 𝑳𝒊
𝑵
𝟏𝟎𝟎 . 𝒊 ∑ 𝒇𝒂𝒏𝒕
𝒇𝑷𝒊
. 𝑨
Salários Nº de Funcionários
02 |--- 04 3
04 |--- 06 6
06 |--- 08 12
08 |--- 10 6
10 |---| 12 3
Salários Nº de Funcionáriosfa
02 |--- 04 3 3
04 |--- 06 6 9
06 |--- 08 12 21
08 |--- 10 6 27
10 |---| 12 3 30
Total 30
𝑲
𝑸𝟑 𝑸𝟏
𝟐 𝒑𝟗𝟎 𝒑𝟏𝟎
𝑲
𝟖, 𝟓 𝟓, 𝟓
𝟐 𝟏𝟎 𝟒
𝑲
𝟑
𝟐 𝟔
𝟑
𝟏𝟐
𝟎, 𝟐𝟓
𝟑𝟎
𝟒
. 𝟏 𝟕, 𝟓
𝑸𝟏 𝟒
𝟕, 𝟓 𝟑
𝟔
. 𝟐
𝑸𝟏 𝟒
𝟒, 𝟓
𝟔
. 𝟐
𝑸𝟏 𝟒 𝟏, 𝟓 𝟓, 𝟓
𝟑𝟎
𝟒
. 𝟑 𝟐𝟐, 𝟓
𝑸𝟑 𝟖
𝟐𝟐, 𝟓 𝟐𝟏
𝟔
. 𝟐
𝑸𝟑 𝟖
𝟏, 𝟓
𝟔
. 𝟐
𝑸𝟑 𝟖 𝟎, 𝟓 𝟖, 𝟓
𝟑𝟎
𝟏𝟎𝟎
. 𝟏𝟎 𝟑
𝑷𝟏𝟎 𝟐
𝟑 𝟎
𝟑
. 𝟐
𝑷𝟏𝟎 𝟐
𝟑
𝟑
. 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒
𝟑𝟎
𝟏𝟎𝟎
. 𝟗𝟎 𝟐𝟕
𝑷𝟗𝟎 𝟖
𝟐𝟕 𝟐𝟏
𝟔
. 𝟐
𝑷𝟗𝟎 𝟖
𝟔
𝟔
. 𝟐 𝟖 𝟐 𝟏𝟎
31 32
33 34