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Índice 1 Resumo do programa da parte II 2 2 Coletânea de exercícios - Parte II 3 2.1 Trabalho e energia cinética . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Forças conservativas: energia potencial . . . . . . . . . . 5 2.3 Sistemas de partículas: conservação do momento linear . 11 2.4 Sistemas de partículas: colisões . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Sistema de massa variável: propulsão de um foguete 19 3.1 Exercício resolvido 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 Exercício proposto 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 Solução do exercício 35 24 5 Respostas 26 5.1 Trabalho e energia cinética . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.2 Forças conservativas: energia potencial . . . . . . . . . . 26 5.3 Sistemas de partículas: conservação do momento linear . 29 5.4 Sistemas de partículas: colisões . . . . . . . . . . . . . . 30 1 1 | Resumo do programa da parte II 1. Trabalho e Energia: (a) Teorema da energia cinética; (b) Trabalho de forças conservativas e não conservativas; (c) Energia potencial; (d) Energia mecânica e conservação de energia; aplicações. 2. Sistemas de partículas: conservação do momento linear. 3. Colisões elásticas e inelásticas em uma dimensão. 4. Colisões elásticas e inelásticas em duas dimensões. 2 2 | Coletânea de exercícios - Parte II 2.1 Trabalho e energia cinética 1. Um estudante em um laboratório levanta uma rocha de massa m = 12 kg, e eleva-a, com aceleracão desprezível, até a alturaD = 1, 8 m, para colocá-la em um armário. (a) Qual o trabalho realizado pelo estudante sobre a rocha? (b) Qual o trabalho realizado pela força de atração gravitacional da Terra sobre a rocha? (c) Qual o trabalho total realizado sobre a rocha por todas as forças que atuam sobre ela? 2. Um funcionário empurra, num assoalho áspero, uma escrivaninha, cuja massa é igual a 85 kg, com velocidade constante, por uma distância de 3, 0 m. O coeficiente de atrito entre a mesa e o assoalho é de 0,22. (a) Qual o trabalho realizado pelo funcionário sobre a escrivaninha? (b) Qual o trabalho realizado pela força peso, pela força normal e pela força de atrito? (c) Qual o trabalho realizado sobre a escrivaninha por todas as forças que atuam sobre ela? 3. Um engradado de massa m = 15 kg é puxado com velocidade cons- tante por um guincho, numa distância d = 6, 0 m, numa rampa sem atrito, até uma altura H = 3, 0 m acima do ponto de partida. (a) Qual é o módulo da força ~F exercida pelo guincho e qual o tra- balho realizado por esta força? 3 (b) Quanto trabalho seria necessário para elevar o engradado verti- calmente para cima, na mesma altura H? Neste caso, qual a força exercida pelo guincho? (c) Compare e analise os resultados encontrados nos itens anteriores. 4. Um corpo de 10 kg está em repouso sobre uma superfície horizon- tal, sem atrito. Uma força de módulo constante de 20 N, fazendo um ângulo de 30◦ com a horizontal, puxa o corpo. Determinar o trabalho efetuado pela força da corda e a velocidade escalar final do corpo, depois de deslocar-se 3 m sobre a superfície horizontal. 5. Um bloco de 4 kg está apoiado sobre uma mesa e ligado a uma mola horizontal que obedece a lei de Hooke F (x) = −kx, onde x se mede a partir do comprimento de equilíbrio da mola e a constante de força k vale 400 N/m. A mola está comprimida até x1 = −5 cm. (a) Determinar o trabalho efetuado pela mola quando o bloco se desloca desde x1 = −5 cm até a sua posição de equilíbrio x2 = 0 m, admitindo que não haja atrito entre o bloco e a mesa; (b) Determinar a velocidade escalar do bloco em x2 = 0 m, admi- tindo que não haja atrito entre o bloco e a mesa; (c) Determinar a velocidade do bloco quando a mola está na posição de equilíbrio, mas agora admitindo que o coeficiente de atrito cinético entre a mesa e o bloco é 0,20. 6. Uma partícula move-se, sob a ação da força ~F = 10 y~ı− 10 x~ (N), no plano xy. Calcule: (a) O trabalho realizado pela força ~F ao longo do quadrado indicado na figura 2.1. O que você conclui sobre o cárater conservativo ou não de ~F ? (b) O trabalho realizado pela força ~F ao longo da diagonal do qua- drado da trajetória da figura 2.1, partindo da posição (2,2) e chegando a posição (6,6). Escola Politécnica/2020 4 0 2 4 6 x(m) 2 4 6 y(m) Figura 2.1: Trajetória da partícula do exercício 6. 7. Uma partícula de massa m = 2 kg desloca-se ao longo de uma reta. Entre x = 0 m e x = 7 m, ela está sujeita à uma força F (x) representada no gráfico da figura 2.2. Calcule a velocidade da partícula depois de percorrer 4 m e 7 m, sabendo que sua velocidade para x = 0 m é de 3 m/s. -2 -1 0 1 2 1 2 3 4 5 6 F(N) x(m) Figura 2.2: Gráfico de F(x) do exercício 7. 8. A posição de uma partícula de massam = 2 kg é dada pela expressão x(t) = 2t − t2 + t3, onde x é dado em metros e t em segundos. Obtenha o trabalho realizado, durante os primeiros 2 s, pela força que atua sobre a partícula. 2.2 Forças conservativas: energia potencial 9. Um carrinho desliza, a partir do repouso, do alto de uma montanha russa de 5 m de altura, com atrito desprezível. Chegando ao sopé da montanha, ele é freado pelo terreno coberto de areia, parando Escola Politécnica/2020 5 em 1, 25 s. Qual é o coeficiente de atrito cinético entre o carrinho e a areia? Figura 2.3: Esquema do exercício 9. 10. A corda da figura 2.4 tem comprimento L = 120 cm e a distância d até o pino fixo P é de 75 cm. A bola é liberada, a partir do repouso, com a corda na posição horizontal, descrevendo a trajetória indicada pela linha tracejada como mostra a figura. Qual é a velocidade da bola (a) quando está passando pelo ponto mais baixo da trajetória? (b) quando chega ao ponto mais alto da trajetória depois que a corda toca o pino? (c) Mostre que para que a bola faça uma volta completa em torno do pino d > 3L 5 . (Sugestão: A bola ainda deve estar se movendo quando chegar ao ponto mais alto da trajetória). L d P r Figura 2.4: Esquema massa-mola do exercício 10. 11. Um bloco de massam = 5 kg, deslizando sobre uma mesa horizontal, com coeficiente de atrito cinético µc = 0, 5, colide com uma mola de Escola Politécnica/2020 6 massa desprezível, de constante de mola k = 250 N/m, inicialmente na posição relaxada. O bloco atinge a mola com velocidade de 1 m/s. (a) Qual é a deformação máxima dmáx da mola? (b) Que acontece depois que a mola atinge a sua deformação má- xima? (c) Que fração da energia inicial é dissipada pelo atrito nesse pro- cesso? Figura 2.5: Esquema massa-mola do exercício 11. 12. Um vagão de massa m2 = 4 ton está sobre um plano inclinado de inclinação θ = 45◦, ligado a uma esfera suspensa, de massa m1 = 500 kg, pelo sistema de cabos e polias ideais, como ilustrado na figura 2.6. O coeficiente de atrito cinético entre o vagão e o plano inclinado é µc = 0, 5 e o sistema é solto do repouso. (a) Determinar as relações entre os deslocamentos e as velocidades das massas m1 e m2; (b) Utilizando a conservação da energia, calcule de que distância D o vagão terá se deslocado, ao longo do plano inclinado, quando sua velocidade atingir 4, 5 km/h. Figura 2.6: Esquema do vagão no plano inclinado do exercício 12. 13. Uma conta de massa m = 300 g, enfiada em um aro circular de raio R = 1 m, situado em um plano vertical, está presa por uma mola Escola Politécnica/2020 7 de constante de mola k = 200 N/m ao ponto C, localizado no topo do aro. Na posição relaxada da mola, ela está localizada em B, o qual é o ponto mais baixo do aro. Se soltarmos a conta, a partir do repouso, do ponto A, que faz um ângulo de 60◦ com B, como indicado na figura 2.7, com que velocidade ela atinge o ponto B? Figura 2.7: Esquema do aro circular e da conta do exercício 13. 14. O cabo de um elevador de 20 kN rompe-se, quando ele está parado no primeiro andar. No instante do rompimento, o piso do elevador encontra-se a uma distância d = 3, 5 m acima de uma mola amor- tecederora, cuja constante de mola é k = 150 kN/m. Um sistema de segurança prende os trilhos laterais que servem de guia, de modo que uma força de atritoconstante de 4, 5 kN opõe-se ao movimento do elevador após o rompimento do cabo. Determine: (a) A velocidade do elevador imediatamente antes de atingir a mola; (b) A deformação máxima da mola ; (c) A altura que o elevador subirá de volta, a partir da posição inicial da mola relaxada; (d) A distância total, aproximada, percorrida pelo elevador antes de parar totalmente, utilizando, para isto, o princípio da conserva- ção de energia. Porque esta resposta não é exata? 15. Um bloco de massa m = 10 kg é solto em repouso em um plano inclinado de 45◦ em relação ao plano horizontal, com coeficiente de atrito cinético µc = 0, 5. Depois de percorrer uma distância d = 2 m ao longo do plano inclinado, o bloco colide com uma mola Escola Politécnica/2020 8 de constante k = 800 N/m, de massa desprezível, que se encontrava relaxada, de acordo com o esquema mostrado na figura 2.8. (a) Qual é a compressão sofrida pela mola? (b) Qual é a energia dissipada pelo atrito durante o trajeto do bloco desde o alto do plano até a compressão máxima da mola? Que fração representa da variação total de energia potencial durante o trajeto? (c) Se o coeficiente de atrito estático com o plano é de µe = 0, 8, que acontece com o bloco logo após colidir com a mola? Figura 2.8: Plano inclinado e corpo do exercício 15. 16. Num parque de diversões, um carrinho desce de uma altura h, a partir do repouso, para dar a volta no loop de raio R indicado na figura 2.9. Figura 2.9: Esquema do loop do exercício 16. (a) Desprezando o atrito do carrinho com o trilho, qual é o menor valor de h = h1 necessário para permitir ao carrinho dar a volta completa? (b) Se R < h < h1 o carrinho cai no trilho em um ponto rotulado por B, quando ainda falta percorrer mais um ângulo θ para chegar até o topo A. Calcule θ. Escola Politécnica/2020 9 (c) Que acontece com o carrinho para h < R? 17. Uma partícula de massa m = 1 kg se move ao longo da direção x sob o efeito da força F (x) = 3x2 − 12x + 9 (N). (a) Tomando U(1) = 0 J, calcule a energia potencial da partícula; (b) Faça um gráfico de U(x) em função de x para o intervalo de posições −0, 5 < x < 4, 5 m. Determine as posições de equilíbrio e discuta suas estabilidades. (c) Considere o caso em que a partícula parte da origem com velo- cidade nula. Discuta o movimento da partícula nesta situação. Qual será a velocidade máxima e em que ponto isso ocorrerá? (d) Para que valores da energia mecânica total a partícula poderá apresentar um comportamento oscilatório? 18. Uma partícula está submetida a uma força dada pela energia po- tencial U(x, y) = 3x2y − 7x. (a) Qual é a força ~F (x, y) a que ela está sujeita? (b) Qual é a variação da energia cinética entre os pontos (0,0) e (1,1)? Este resultado depende do caminho percorrido pela partícula? Justifique. 19. Uma partícula de massa m = 2 kg move-se ao longo do eixo x sob a ação de uma força conservativa F (x) em uma região onde a energia potencial U(x) varia conforme o gráfico apresentado na figura 2.10. 2 4 6 8 10 12 x(m) 2 4 0 -2 -4 U(J) Figura 2.10: Gráfico da energia potencial do exercício 19. (a) Quais são os pontos ou as regiões de equilíbrio? (b) Se a energia mecânica total for ETOTAL = 5 J determine as regiões permitidas para o movimento da partícula; Escola Politécnica/2020 10 (c) Determine a energia cinética da partícula em x = 12 m; (d) Determine o trabalho realizado pela força F (x) para deslocar o corpo desde x = 1, 5 m até x = 12 m; (e) Se a partícula tem energia cinética nula quando posicionada em x = 1, 5 m, qual é a energia mínima que deve ser fornecida para que ela possa atingir a posição x = 12 m? Neste caso, qual sua energia cinética em x = 12 m? 20. Uma partícula de massa m = 6 kg move-se em uma trajetória reti- línea sob a ação de uma força conservativa F (x) = x − x3, onde x é medido em metros e F em Newtons. (a) Determine a expressão da energia potencial associada a esta força, a qual satisfaz a condição U(0) = 1/4; (b) Esboce o gráfico de U(x)× x; (c) É possível esta partícula ter uma energia mecânica total igual a 0, 15 J? Justifique. (d) Supondo que a partícula parta da origem com velocidade 0, 5 m/s, encontre a energia mecânica total da partícula. Nesse caso seu movimento é oscilatório? Se sim, encontre os pontos de retorno clássico. 2.3 Sistemas de partículas: conservação do momento li- near 21. Ache as coordenadas do centro de massa das figuras seguintes. Em (b) considere que os fios tem a mesma densidade linear de massa uniforme. Em (c) considere que a densidade superficial de massa é uniforme. 22. A posição de três partículas de massasm1 = m2 = 1 kg em3 = 2 kg são dadas (no sistema SI) pelos seguintes vetores posição: ~r1 = (3− 5t2) ~, ~r2 = 3~ı + (5− 5t2) ~, ~r3 = (4 + 2t)~ı + (2− 5t2) ~. Escola Politécnica/2020 11 6 m 6 m 2 m z (m) y (m) 1 1 1 x (m) X y (m) 8 kg 3 kg 4 kg x (m) (a) 2 3 1 2 3 (b) (c) 1 y (m) x (m) 2 m Figura 2.11: Exercício 21. (a) Determine a posição e a aceleração do centro de massa para um instante t qualquer; (b) Há forças externas no sistema? Encontre a força externa ou argumente porque não há forças externas. 23. Um avião explode no ar e se divide em três partes, cujas massas e velocidades imediatamente depois da explosão são (unidades no SI): m1 = 4000 kg, ~v1 = 200 ~ı + 25 ~k m2 = 2000 kg, ~v2 = −50 ~ı + 50 ~− 25 ~k; m3 = 2000 kg, ~v3 = −50 ~ı− 25 ~k (a) Qual era a velocidade do avião ao explodir? (b) Qual era o seu momento linear? 24. Um corpo de 5 kg desloca-se para a direita a 5 m/s, perseguindo outro corpo de 3 kg, que se desloca também para a direita a 1 m/s. (a) Determine a energia cinética dos dois corpos nesse referencial e a velocidade do centro de massa. (b) Determine a velocidade de cada um dos corpos em relação ao centro de massa. (c) Determine a energia cinética do movimento em relação ao centro de massa. (d) Determine a energia cinética do movimento do centro de massa. 25. Um corpo de 3 kg escorrega ao longo de um plano horizontal sem atrito com velocidade ~v = (4 m/s) ~ı. Num certo instante, explode, Escola Politécnica/2020 12 dividindo-se em duas partes, uma de massa 2 kg e outra de massa 1 kg. Depois da explosão, o pedaço de 1 kg desloca-se com veloci- dade ~v = (8 m/s) ~. (a) Qual a velocidade do pedaço de 2 kg depois da explosão? (b) Qual a velocidade do centro de massa depois da explosão? 26. Um projétil de 6 kg é disparado num ângulo θ = 30◦ com a hori- zontal, com velocidade inicial de 40 m/s. No topo da sua trajetória, o projétil explode em dois fragmentos com massas de 2 kg e 4 kg. Os fragmentos deslocam-se na horizontal, imediatamente depois da explosão, e o fragmento de 2 kg cai no lugar do disparo do projétil. Determine: (a) O local onde cai o fragmento de 4 kg; (b) A energia liberada na explosão. Figura 2.12: Exercício 26. 27. Um homem com 70 kg e um garoto de 35 kg, estão juntos sobre uma superfície gelada, na qual o atrito é desprezível. Um empurra o outro, e o homem se desloca para trás, com velocidade de 0, 3 m/s, em relação ao gelo. (a) Qual a separação dos dois depois de 5 s? (b) A energia mecânica do sistema se conserva? 28. Uma esportista de 75 kg sentada na popa de uma canoa de 150 kg e 3 m de comprimento, conseguiu encostá-la em uma estaca, onde quer amarrar a canoa. Ao encostar a canoa, ela se levanta e caminha até atingir a outra extremidade, o que leva a canoa a afastar-se da Escola Politécnica/2020 13 margem. Ela consegue esticando o braço, alcançar até uma distância de 80 cm da estaca. Conseguirá amarrar a canoa? Caso contrário, quanto falta? Despreze a resistência da água e considere o centro de massa da canoa como localizado em seu ponto médio. Figura 2.13: Esportista do exercício 28. 29. Um garoto de massa 30 kg, correndo a 2, 5 m/s, salta sobre um carrinho de massa 10 kg, que estava parado, permanecendo sobre ele. (a) Determine a velocidade do conjunto carrinho+garoto depois que ambos estiverem andando juntos.(b) Em seguida, o garoto começa a andar sobre o carrinho com a velocidade de 0, 5 m/s, relativa ao carrinho, dirigindo-se para frente do mesmo. Qual a nova velocidade do carrinho? (c) Quando o garoto chega na extremidade do carrinho, ele pula para frente com velocidade de 1 m/s em relação ao carrinho. Com que velocidade o carrinho fica depois disso? Figura 2.14: Exercício 29. 30. Um atirador, com um rifle de 2 kg apoiado ao ombro, dispara uma bala de 15 g, cuja velocidade na boca da arma é de 800 m/s. (a) Com que velocidade inicial a arma recua? (b) Que impulso transmite ao ombro do atirador? Escola Politécnica/2020 14 (c) Se o impulso é absorvido pelo ombro em 0, 05 s, qual e a força média exercida sobre ele? 2.4 Sistemas de partículas: colisões 31. Uma bala de 10 g é disparada sobre um pêndulo balístico de massa 990 g. (a) Se a velocidade inicial da bala é 300 m/s, qual a altura atingida pelo pêndulo (junto com a bala) depois da colisão? (b) Se a velocidade inicial da bala é 200 m/s, determine a altura máxima atingida pelo pêndulo quando a bala passa através dele e emerge com velocidade de 50 m/s. Figura 2.15: Pêndulo balístico do exercício 31. 32. Um vagão de 20 toneladas está freado no topo de uma descida. Em dado instante ele é solto, rola pela ladeira, descendo 9 m em relação à posição original. Na parte mais baixa da ladeira, ele engata em outro vagão, de 10 toneladas, que está livre nos trilhos. Os dois, engatados, sobem uma ladeira até uma altura H. Calcular H. 33. Um bloco de madeira, de 1, 0 kg, está ligado a uma mola de cons- tante de força 200 N/m e repousa sobre uma superfície horizontal lisa. Uma bala de 20 g atinge o bloco e comprime a mola de 13, 3 cm. (a) Calcular a velocidade da bala antes da colisão. (b) Que fração da energia mecânica inicial se perde na colisão? 34. Um corpo de 4 kg, deslocando-se a 5 m/s, efetua uma colisão per- feitamente elástica com um corpo de 1 kg, inicialmente em repouso. Determine a velocidade final de cada corpo e a energia transferida para o corpo de 1 kg. Escola Politécnica/2020 15 Figura 2.16: Sistema massa-mola do exercício 33. 35. Considere o espalhamento elástico entre uma partícula alfa de massa m1 = 4m por um neutron em repouso, de massa m2 = m como mostra a figura. (a) Qual é o ângulo máximo de espalhamento θ1? Neste ângulo, que fração da energia cinética incidente vai para o neutron? (b) Qual é o ângulo entre a direção de recuo e a de incidência? m1 v Antes Depois m2 q1 q2 m1 1i v1f v2f m1 m2 m2 Figura 2.17: Espalhamento bidimensional do exercício 35. 36. Um caminhão carregado, M = 3 ton, viajando para o norte a 60 km/h, colide com um carro de massa totalm = 1 ton, trafegando para leste a 90 km/h, num cruzamento. Calcule em que direção e de que distância o carro é arrastado pelo caminhão, sabendo que o coeficiente de atrito cinético no local do acidente é 0,5. 37. Uma bola deslocando-se a 10 m/s, faz um colisão perfeitamente elástica, mas oblíqua, com uma outra bola de mesma massa e em repouso. A bola incidente é desviada de 30◦ em relação à direção inicial do movimento. Determinar a velocidade de cada bola depois da colisão. 38. Num choque entre dois corpos de massas m1 = 0, 8 kg e m2 = 1, 2 kg, o primeiro desvia 90◦ de sua trajetória original, mantendo Escola Politécnica/2020 16 inalterada sua energia cinética. Se as velocidades iniciais dos corpos eram, respectivamente, ~v1 = (3, 0 m/s) ~ı, e ~v2 = (2, 0 m/s) ~ı − (1, 0 m/s) ~: (a) Calcule o vetor velocidade de m2 após a colisão. (b) Verifique se o choque foi elástico ou inelástico. 39. Uma bala de massa igual a 4, 5 g é disparada horizontalmente num bloco de madeira de massa igual a 2, 4 kg, em repouso sobre a su- perfície horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície vale 0,20. A bala fica retida no bloco que sofre um deslocamento de 1, 8 m até o repouso. (a) Qual a velocidade do bloco imediatamente após a bala parar em seu interior? (b) Qual a velocidade inicial da bala? 40. Uma bola de massa m = 0, 5 kg é presa a um pino por um fio leve e inextensível de 0, 8 m de comprimento. A bola é abandonada quando o fio está na horizontal. Na parte mais baixa da trajetória a bola atinge um bloco de massa M = 2, 0 kg, inicialmente em repouso sobre uma superfície áspera. A colisão, entre a bola e o bloco, pode ser considerada como perfeitamente elástica. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície é µc = 0, 16. (a) Qual o trabalho realizado pelas forças que atuam sobre a bola? (b) Quais as velocidades dos corpos após a colisão? (c) Até que altura sobe a bola após a colisão? (d) Qual a distância percorrida pelo bloco depois da colisão? Escola Politécnica/2020 17 0,5 kg 0,8 m Figura 2.18: Colisão do exercício 40. Escola Politécnica/2020 18 3 | Sistema de massa variável: propulsão de um foguete As considerações sobre o momento linear são úteis para analisarmos um sistema cuja massa pode variar com o tempo. Neste caso não podemos usar diretamente a segunda lei de Newton na forma m~a = ~Fresultante porque a massa m varia. Para ilustrar o comportamento de um sistema de massa variável vamos considerar o movimento de um foquete, que se move no espaço longe da ação de qualquer campo gravitacional, e onde não existe resistência do ar. O foguete é impulsionado para a frente pela ejeção para trás dos gases resultantes da queima do combustível que estava dentro do foguete. A força sobre o foguete, orientada para a frente (no sentido do eixo x), é a reação da força para trás exercida sobre o combustível ejetado. A massa total do sistema é constante, porém a massa do foguete vai diminuindo à medida que o material é ejetado. A figura 3.1 mostra o foguete em um instante t, quando a sua massa é m e a sua velocidade é ~v = v~ı, onde escolhemos o eixo Ox com o sentido positivo no mesmo sentido do movimento do foguete. Nesta situação, o momento inicial do sistema, ~Pi, é dado por: ~Pi = mv ~ı (3.1) No instante (t + ∆t), o foguete com massa m − |∆m| move-se com velocidade ~vfoguete = (v + ∆v)~ı e a massa de gás expelida pela com- bustão |∆m| move-se com velocidade ~vgas = (v + ∆v− µe)~ı em relação ao sistema de coordenadas indicado (referencial inercial) sendo µe a velocidade de expulsão dos gases em relação ao foguete. Portanto, o momento do sistema no instante (t + ∆t) é dado por: ~Pf = mfoguete~vfoguete + mgas~vgas = (m− |∆m|)(v + ∆v)~ı + |∆m| (v + ∆v − µe)~ı (3.2) 19 De acordo com nossa hipótese inicial, o foguete e o combústivel cons- sentido +x (a) instante t (b) instante (t+Dt) m v (v+Dv) m - Dm Dm (v-m)e Figura 3.1: (a) O foguete movendo-se no espaço sideral, sendo m a sua massa e ~v = v~ı o seu vetor velocidade no instante t. (b) No instante (t + ∆t), a massa do foguete é m − |∆m| e a sua velocidade é ~vfoguete = (v + ∆v) ~ı; a massa de gás expelida pela combustão é |∆m|, e sua velocidade em relação ao sistema de coordenadas indicado (referencial inercial) é ~vgas = (v + ∆v − µe) ~ı. tituem um sistema isolado, isto é, a força externa resultante é nula (Fexterna = 0). Portanto, existe conservação do momento linear, ou seja: d~Psistema dt = Fexterna = 0⇒ ~P se conserva. (3.3) Logo, o momento do sistema deve ser o mesmo no instante t e no instante (t + ∆t): ~Pi = ~Pf . Igualando as equações 3.2 e 3.3 obtemos: mv = (m− |∆m|)(v + ∆v) + |∆m| (v + ∆v − µe) (3.4) Desenvolvendo a expressão 3.4 ficamos com: m∆v − |∆m|µe = 0 (3.5) Dividindo a expressão anterior por ∆t e tomando o limite de ∆t ten- dendo a zero podemos escrever: m lim ∆t→0 ( ∆v ∆t ) = µe lim ∆t→0 ( |∆m| ∆t ) (3.6) ou m dv dt = µe ∣∣∣∣dmdt ∣∣∣∣ (3.7) A grandeza µe ∣∣∣∣dmdt ∣∣∣∣ é a força de propulsão do foguete. Desde que Escola Politécnica/2020 20 ( dm dt ) é negativo (pois o foguete está perdendo massa), podemos trocar µe ∣∣∣∣dmdt ∣∣∣∣ −→ −(dmdt ) (3.8) e a equação 3.7 fica: m dv dt = −µe dm dt (3.9) A equação 3.9 é conhecida como equação do foguete. Integrando-a obtemos: ∫ vi vf dv = ∫ mi mfd m (3.10) que resulta vf − vi = −µe [lnmf − lnmi] = +µe ln ( mi mf ) (3.11) A equação 3.11 é a variação da velocidade do foguete em termos da velocidade escalar de ejeção dos gases de descarga e da razão entre a massa inicial e final do foguete. A massa do foguete sem qualquer combustível é demoninada carga útil. Na análise feita, imaginamos que o foguete se deslocava no espaço vazio sem campo gravitacional. Contudo quando um foguete é lançado da superfície de um planeta, devemos levar em conta a ação do campo gravitacional. Neste caso, calculando a variação do momento linear e igualando esta variação com o impulso temos: ∆~Psistema = ~Pf − ~Pi = m∆~v − µe |∆m| = ~Fexterna∆t (3.12) Dividindo a expressão anterior por ∆t e tomando o limite de ∆t ten- dendo a zero podemos escrever: m lim ∆t→0 ( ∆v ∆t ) = µe lim ∆t→0 ( |∆m| ∆t ) + Fexterna (3.13) Quando o foguete se desloca nas vizinhanças da superfície da Terra, a força externa Fexterna é o peso do foguete. Escola Politécnica/2020 21 3.1 Exercício resolvido 1 A massa inicial de um foguete é 20.000 kg, dos quais 20% é a carga útil. A taxa de queima do combustível é 200 kg/s e os gases de descarga são ejetados a 2 km/s (em relação ao foguete). Determinar a força de propulsão do foguete e a velocidade escalar final quando o combustível está todo gasto, admitindo que não existam forças externas. Resolução: Os dados do exercício são: • mi = 20.000 kg • mf = 4.000 kg (carga útil) • ∣∣∣∣dmdt ∣∣∣∣ = 200 kg/s • µe = 2 km/s = 2000 m/s A força de propulsão é dada por: F = µe ∣∣∣∣dmdt ∣∣∣∣ = (2000 m/s)× (200 kg/s) = 4× 105 N Utilizando a equação 3.11, podemos calcular a velocidade final. Admi- tindo que o foguete parta do repouso temos: vf = +µe ln ( mi mf ) = (2000 m/s) ln ( 20.000 4.000 ) = 2000 ln 5 ≈ 3, 22 km/h 3.2 Exercício proposto 2 Um foguete está no espaço sideral, longe de qualquer planeta, quando então seu motor é acionado. Na primeira etapa da queima de combustí- vel, o foguete ejeta 1 120 da sua massa com uma velocidade relativa igual a 2400 m/s. Suponha que a massa útil do foguete seja m = m0 4 e que o combustível seja consumido com uma taxa constante em um intervalo de tempo total de 90 s. Se o foguete parte do repouso em nosso sistema de coordenadas, calcule: Escola Politécnica/2020 22 (a) Qual é a aceleração inicial do foguete? [Resposta: a = 20 m/s2] (b) Qual é a velocidade do foguete depois de 90 s de movimento? [Res- posta: v = 3327 m/s] (c) Qual é a velocidade do gás (no nosso sistema de coordenadas) quando t = 90 s? [Resposta: vgas = 927 m/s] Escola Politécnica/2020 23 4 | Solução do exercício 35 Seja ~p1i o momento da partícula incidente de massa m1. Então o mo- mento do sistema na configuração inicial é ~Pi = ~p1i = m1~v1i. Se ~p1f e ~p2f são os momentos finais das duas partículas, o momento do sistema na configuração final é ~Pf = ~p1f + ~p2f . Por causa da conservação do momento, ~Pi = ~Pf, teremos: ~p1i = ~p1f + ~p2f ⇒ ~p2f = ~p1i − ~p1f (4.1) Como estamos supondo a colisão elástica, temos a conservação da energia: p2 1i 2m1 = p2 1f 2m1 + p2 2f 2m2 ⇒ p2 2f m2 = 1 m1 ( p2 1i − p2 1f ) (4.2) Elevando a expressão (4.1) ao quadrado obtemos: ~p2f ·~p2f = (~p1i − ~p1f)· (~p1i − ~p1f) Esta expressão ainda pode ser desenvolvida como: p2 2f = p2 1i + p2 1f − 2~p1i · ~p1f (4.3) Por causa da conservação do momento, os vetores ~p1i, ~p1f e ~p2f estão dispostos como no triângulo representado na figura ao lado. O produto escalar do terceiro termo no lado direito da equação (4.3) pode ser escrito como 2~p1i · ~p1f = 2p1ip1fcos θ1. Desta forma, a expressão (4.3) pode ser re- escrita como: q1 p 2f q2 p 1f p 1i p2 2f = p2 1i + p2 1f − 2p1ip1fcosθ1 (4.4) Substituindo a expressão (4.4) em (4.2) obtemos: p2 1i + p2 1f − 2p1ip1fcosθ1 = λp2 1i − λp2 1f (4.5) 24 onde introduzimos o parâmetro adimensional λ = m2 m1 . (4.6) Os termos da expressão (4.5) podem ser reagrupados e obtemos a equa- ção do segundo grau: (1 + λ)p2 1f − 2p1icosθ1p1f + (1− λ)p2 1i = 0 (4.7) Para que esta equação do segundo grau tenha solução devemos ter que: ∆ = 4p2 1icos 2θ1 − 4(1 + λ)(1− λ)p2 1i ≥ 0 (4.8) ou 4p2 1i[cos 2θ1 − (1− λ2)] ≥ 0 ⇒ cos2θ1 ≥ (1− λ2) (4.9) Em nosso problema, λ = m2 m1 = 1 4. Então, obtemos a condição: cos2θ1 ≥ [ 1− ( 1 4 )2 ] ⇒ cos2 θ1 ≥ 0, 9375 ⇒ θ1 ≤ 14, 5◦ Escola Politécnica/2020 25 5 | Respostas 5.1 Trabalho e energia cinética 1.(a) We = 216 J; (b) Wg = −216 J; (c) WT = 0. 2.(a) Wf = 561, 0 J; (b) Wg = WN = 0 e Wat = −561, 0 J; (c) WT = 0. 3.(a) F = 75 N e WF = 450 J; (b) F = 150 N e WF = 450 J. 4. WF = 30 √ 3 = 52 J e v = {6 √ 3}1/2 = 3, 2 m/s. 5.(a) Wm = 0, 5v J; (b) vbloco = 0, 5 m/s; (c) vbloco = 0, 22 m/s. 6.(a) WF = −320 J. A força não é conservativa. (b) WF = 0. 7. v = √ 5 m/s e v = √ 10 m/s. 8. WF = 96 J. 5.2 Forças conservativas: energia potencial 9. µc = 0, 8. 10.(a) v = 4, 8 m/s; (b) v = 2, 4 m/s. 11.(a) dmáx = 7, 3 cm; 26 (b) O bloco pára; (c) 73%. 12.(a) ∆x1 = 2∆x2 e v1 = 2v2; (b) D = 1, 13 m. 13. vB = 7, 6 m/s. 14.(a) v = 7, 473 m/s; (b) d = 0, 9673 m; (c) y = 1, 8673 m; (d) D = 15, 673 m. Não é exata porque quando o elevador pára de oscilar, a mola fica um pouco comprimida e, portanto, não é toda a energia inicial que é dissipada pelo atrito, ficando uma pequena parte armazenada na mola. 15.(a) ∆d = 4773 cm; (b) Ed = 87, 373 J (50%); (c) Ele volta a subir o plano inclinado. 16.(a) h1 = 5 2R; (b) θ = arccos [ 2 3 ( h R − 1 )] ; (c) Fica oscilando entre dois pontos, à direita e à esquerda do eixo vertical, ao redor da base do loop. O ângulo com o eixo vertical é α = arccos ( h R − 1 ) . 17.(a) U(x) = −x3 + 6x2 − 9x + 4; (b) Gráfico de U(x)× x na figura 5.1. equilíbrio estável: x = 1 m; equilíbrio instável: x = 3 m. (c) O movimento se inicia em x = 0 e a partícula pára em x = 3 m, apresentando vmáx = 2 √ 2 m/s em x = 1 m; (d) 0 < ET ≤ 4 J. Escola Politécnica/2020 27 0 4 8 -4 -8 -12 -16 U(J) x(m) 0 1 2 3 4 5 Figura 5.1: Gráfico de U(x)× x do exercício 17 18.(a) ~F (x, y) = (7− 6xy)~ı− 3x2~; (b) ∆Ec = 4 J. 19.(a) equilíbrio estável: x = 4 m equilíbrio instável: x = 8, 5 m equilíbrio indiferente: x ≥ 11, 2 m; (b) 0 ≤ x ≤ 8, 0 m e x ≥ 9, 5 m; (c) x = 12, 0 m =⇒ Ec = 3 J; (d) W = −2 J; (e) Emin > 6 J e Ec = 4 J. 20.(a) U(x) = 1 4 [ x4 − 2x2 + 1 ] (J); (b) Gráfico de U(x)× x na figura 5.2. Figura 5.2: Gráfico de U(x)× x do exercício 20 Escola Politécnica/2020 28 (c) É possível. Se ET = 0, 15 J, a partícula poderá ter movimento oscilatório, que pode ser ao redor da posição x = 1 m ou ao redor da posição x = −1 m. Se o movimento for ao redor de x = −1 m, os pontos de retorno são xmin = −1, 33 m e xmax = −0, 474 m. Se for ao redor de x = 1 m, os pontos de retorno são xmin = 0, 474 m e xmax = 1, 33 m. Para a região com −0, 474 < x < 0, 474 m não é possível esta partícula ter energia total ET = 0, 15 J, pois isto implicaria em uma energia cinética negativa. (d) ET = 1 J e o movimento é oscilatório, com pontos de retorno em x = ± √ 3 m. 5.3 Sistemas de partículas: conservação do momento li- near 21.(a) ~RCM = 16 15~ı + 20 15~ (m); (b) ~RCM = 5 6~ı + 3 6~ + 1 6 ~k (m); (c) ~RCM = −1 4~ı (m). 22.(a) ~RCM(t) = ( 11+4t 4 ) ~ı + ( 12−20t2 4 ) ~ (m); (b) Sim, há forças externas no sistema pois o momento não é cons- tante [~P = 4~ı− 40t~ (kg ·m/s)]. 23.(a) ~Vaviao = ~VCM = 75~ı + 12, 5~ (m/s); (b) ~P = 6× 105~ı + 1× 105~ (kg ·m/s). 24.(a) Ec = 64, 0 J, ~VCM = 7 2 ~ı (m/s); (b) ~u1 = 1, 5 ~ı (m/s), ~u2 = −2, 5 ~ı (m/s); (c) Erel = 15, 0 J. (d) ECM = 49, 0 J. 25.(a) ~v2 = 6, 0 ~ı− 4, 0 ~ (m/s); (b) ~VCM = 4, 0 ~ı (m/s). Escola Politécnica/2020 29 26.(a) x2 = 120 √ 3 m; (b) ∆E = +7200, 0 J . 27.(a) D = 4, 5 m; (b) A energia mecânica não se conserva, pois a energia cinética inicial é nula e a energia cinética final é diferente de zero, sendo que a energia potencial não se altera. A energia cinética final é igual a 9, 45 J. 28. O remador não consegue alcançara estaca. Faltam 20 cm. 29.(a) ~v = +1, 88~ı (m/s); (b) ~vc = +1, 50~ı (m/s); (c) ~vc = +1, 13~ı (m/s); 30.(a) ~vr = −6~ı (m/s); (b) ∣∣∣~I∣∣∣ = 12 N.s; (c) ∣∣∣~F ∣∣∣ = 240 N. 5.4 Sistemas de partículas: colisões 31.(a) H = 0, 45 m. (b) H = 0, 12 m. 32. H = 4 m. 33.(a) v ≈ 95 m/s. (b) Aproximadamente 98 % da energia mecânica inicial se perde na colisão. 34.(a) v1f = 3 m/s e v2f = 8 m/s. (b) A energia transferida é de 32 J. 35.(a) Resolução na apostila. (b) Enc Eαc = 0, 4 (c) θ2 ≈ 37, 5◦ 36.(a) ~vf = 24 4~ı + 50 4 ~ (m/s). O carro foi arrastado em uma direção que faz um ângulo θ ≈ 63, 4◦ com o eixo x. Escola Politécnica/2020 30 (b) D = 19, 53 m. 37. v1f = 5 √ 3 m/s e v2f = 5 m/s, θ2 = 60◦. 38.(a) ~v2f = 4~ı− 3 ~ (m/s). (b) Choque inelástico. A variação da energia cinética foi de ∆Ec = +12 J. 39.(a) ~vbloco = (2, 68 m/s)~ı. (b) ~vbala = (1432 m/s)~ı. 40.(a) W = +4 J. (b) Depois da colisão, vbola = −2, 4 m/s e vbloco = +1, 6 m/s. (c) H = 0, 288 m. (d) ∆s = 0, 8 m. Escola Politécnica/2020 31 Resumo do programa da parte II Coletânea de exercícios - Parte II Trabalho e energia cinética Forças conservativas: energia potencial Sistemas de partículas: conservação do momento linear Sistemas de partículas: colisões Sistema de massa variável: propulsão de um foguete Exercício resolvido 1 Exercício proposto 2 Solução do exercício 35 Respostas Trabalho e energia cinética Forças conservativas: energia potencial Sistemas de partículas: conservação do momento linear Sistemas de partículas: colisões
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