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Áreas e Perímetros de Polígonos


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ATIVIDADE 5: ÁREAS E PERÍMETROS DOS 
 POLÍGONOS. 
 
OBJETIVOS: Ampliar o estudo de área de triângulos e quadriláteros. 
 Calcular áreas de polígonos regulares e do círculo. 
 Calcular perímetros e áreas de figuras em situações problema. 
 
PARTE 1: TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Folha-tipo I-5. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Entregue a cada aluno uma folha-tipo I-5 para discutir com o 
seu grupo formado de até 5 alunos, as questões formuladas. Dê um tempo para 
eles responderem as questões e fazerem os cálculos necessários para achar a 
área das figuras desenhadas tomando como unidade o quadradinho do papel 
quadriculado. 
 Lembre-os que esse trabalho já foi feito em outras atividades, 
no entanto, aqui, eles terão o objetivo de chegar ao cálculo da área, atentando 
para o modo como vão fazê-lo e anotando no seu caderno as etapas desse 
processo. 
 Verifique se o procedimento adotado inclui a contagem dos 
quadradinhos ou se já dispõem de um recurso mais geral para o cálculo da área 
de cada uma das figuras. É necessário então que cada grupo descreva o 
caminho adotado para ser discutido e de modo que uma síntese possa ser feita. 
 
 
 Veja se identificam as dimensões base e altura, ou se preferir, 
largura e comprimento e a área como os elementos comuns a cada tipo de 
figura. 
 Caso não seja imediata a conclusão e tenham algum tipo de 
dificuldade recomende que: 
 . No caso dos paralelogramos, desenhem um retângulo sobre 
cada um deles, ajustando a medida das duas figuras e observem o que ocorre. 
 
 
 
 
 . No caso dos triângulos, trapézios e losangos, tentem ajustá-
los da mesma forma, tentem inscrevê-los num paralelogramo, façam recortes e 
observem o que ocorre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMENTÁRIOS: 
 
 O objetivo desta parte é retomar a noção de área de um 
triângulo ou quadrilátero associada à área de um triângulo. 
 
 
PARTE 2: DESCOBRINDO UMA FÓRMULA. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Folha–tipo II – 5 e cartolina. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Entregue uma folha-tipo II-5 para cada grupo e solicite aos 
alunos que observem a figura escurecida e compare sua área com a área do 
paralelogramo que a contém. Além disso, tendo como base as unidades de 
comprimento e a área sugeridas pelo papel quadriculado, destacarão as 
dimensões de cada uma delas que sejam importantes na determinação de sua 
área. 
 Por exemplo, no caso do retângulo e do paralelogramo: 
 Altura = 3 e largura = 4 ( ou base) 
 
 3 x 4 = 12 3 x 4 = 12 
 Verifique se os alunos percebem que os demais 
paralelogramos têm base e altura definidas pelas dimensões do triângulo, do 
trapézio e do losango. 
 
 Peça para os alunos completarem: 
Dimensões 
Paralelogramo Base = .......... altura = ........ Área 
Triângulo 
Trapézio 
 
 
 Solicite agora que desenhem as figuras indicadas abaixo, 
numa folha de cartolina, onde as letras representam suas dimensões. Para 
tanto, cada grupo pode usar compasso e esquadro. Se for necessário, 
desenharão mais uma figura de mesmo tipo, para compor o paralelogramo 
auxiliar. 
 
 
 
 Peça aos alunos que escrevam as expressões para o cálculo 
das áreas do triângulo, trapézio e losango em função das letras que indicam as 
dimensões das figuras. 
 
 
 
 
 Verifique se as expressões indicadas pelos grupos são: 
 
 Paralelogramo A = b x a 
 Triângulo A = b x a : 2 
 Trapézio A = ( B + b ). h : 2 
 Losango A = D x d : 2 
 
COMENTÁRIOS: 
 
 O cálculo das áreas das figuras em geral é feito através da 
transformação de uma figura em uma outra de mesma área ( equivalente ), 
através da composição e decomposição. 
 Há várias transformações que uma figura pode sofrer, para 
transformar-se em outra equivalente possibilitando a comparação das suas áreas 
e facilitando seu cálculo. 
 Alguns casos, como os que se seguem, são exemplos de 
situações em que as áreas das figuras sombreadas podem ser determinadas, 
tanto experimentalmente, recortando ou superpondo as figuras no papel 
quadriculado e em cartolina, como dedutivamente, com base em axiomas e 
propriedades das congruências, semelhanças, paralelismo, etc. Escolha 
algumas das situações que se seguem para trabalhar com os alunos: 
 
Paralelogramo 
 
 
 
Triângulos 
 
 
Trapézios 
 
 
 
Losangos 
 
 
 
Trapezóides 
 
 
 
 
PARTE 3: A ÁREA DE UM POLÍGONO REGULAR. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Nenhum. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 
 
 
 Discuta com os alunos o fato de se poder calcular a área de 
uma figura através da decomposição em outras. Assim, a área de um polígono 
qualquer pode ser determinada pela soma das partes em que foi decomposto: 
 
 
 Solicite aos grupos que desenhem polígonos regulares em 
circunferências de mesmo raio r e que discutam um meio de se calcular a área 
de cada um deles. 
 Após a discussão, recomende a decomposição dos polígonos 
em triângulos isósceles, com um dos vértices no centro da circunferência. 
 Por exemplo: 
 
 
 
 Peça para identificarem a altura e os lados dos triângulos 
isósceles em cada polígono regular. 
 Pergunte como podemos calcular a área de cada polígono 
regular ? 
 
 
 
 Solicite aos alunos que façam medições e comparem a altura 
dos triângulos com os raios dos círculos em que os polígonos estão inscritos. 
Verifique se eles concluem que a altura de cada um dos triângulos é uma parte 
do raio perpendicular ao lado l de cada polígono regular ( lado este que é uma 
corda lembra?). Essa altura é chamada apótema do polígono regular, pode ser 
indicado pela letra a. 
 Assim, a área de cada um dos triângulos identificados é dada 
pela expressão: 
 
 T = a . l : 2 
 
 A área do polígono, soma das áreas dos triângulos isósceles, 
é, então, o número de lados n do polígono multiplicado por T, uma vez que os 
triângulos em cada polígono têm mesmas medidas. 
 A área do polígono regular também é a área de um 
quadrilátero equivalente a ele. Como? 
 Proponha aos grupos que decomponham os polígonos, 
recortando os triângulos e tentem compor quadriláteros já conhecidos: 
 
 
 
 Discuta com os grupos os tipos de figuras obtidas, suas 
características e um modo de calcular sua área, com base nas expressões 
utilizadas nas atividades anterior: 
 
 Observe, após a discussão, que as figuras obtidas são 
trapézio isósceles, se o número de lados do polígono regular for impar, e um 
paralelogramo se o número de lados do polígono regular for par. 
 Chame a atenção para o fato que a soma dos comprimentos 
das duas bases do paralelogramo ou do trapézio é igual ao perímetro do 
polígono a que se refere e a altura dos mesmos é o apótema do polígono. 
 Desse modo você pode discutir com os grupos um outro jeito 
de representar a área, usando uma única expressão para o trapézio ou para o 
paralelogramo: 
 
Nº ímpar de lados: trapézio 
 A = ( base maior + base menor) . a : 2 = p . a : 3 
 
Nº para de lados: paralelogramo 
 A = ( base ) . a = p . a : 2 
 
 Obs.: Neste texto o p é usado para indicar perímetro. 
 
COMENTÁRIOS: 
 
 Aqui, apresentamos o conceito de apótema de um polígono 
sem, no entanto, calcular o seu valor, tendo em vista a necessidade de utilizar 
a relação obtida pelo Teorema de Pitágoras, que será formalizado 
posteriormente. 
 
 Coloque ainda questões do seguinte tipo: 
 Se aumentarmos tanto quanto queiramos o número de lados 
do polígono o que podemos dizer sobre: 
 O seu apótema? 
 O seu perímetro? 
 A sua área? 
 
 Discuta com eles a possibilidade de aumentar infinitamente onúmero de lados do polígono regular de modo que o seu perímetro e a sua área 
se confundam com o perímetro e a área do círculo. 
 Verifique se eles concluem alguma coisa sobre uma possível 
expressão para o cálculo da área do círculo. Se não concluírem nada a 
discussão terá sido útil para a atividade sobre o perímetro do círculo logo mais 
adiante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FOLHA-TIPO I-5 
 
 Observe cada grupo de figuras e tire conclusões sobre as suas 
dimensões. 
 Calcule a área de cada uma e descreva o processo que você 
usou para isso. 
 
 
FOLHA-TIPO II-5 
 
 Observe a parte escurecida da figura e compare sua área com 
a da figura toda. 
 Como você pode calcular a área da figura escurecida usando 
suas dimensões e a área da figura toda?

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