Aula 09 - Produto Vetorial

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Curso: Bacharelado em Engenharia de Produção
Disciplina: Geometria Analítica AULA 9
Professor: Prof. Me. Sérgio Luiz Francisco
Produto Vetorial
Definição de Produto Vetorial
Considere dois vetores no espaço Ԧ𝑣 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 e
𝑢 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 , o Produto Vetorial Ԧ𝑣 × 𝑢 entre
eles é definido pelo vetor obtido por meio do
determinante a seguir:
Ԧ𝑣 × 𝑢 = 𝒚𝟏𝒛𝟐 − 𝒛𝟏𝒚𝟐 Ԧ𝒊 + (𝒛𝟏𝒙𝟐 −𝒙𝟏 𝒛𝟐) Ԧ𝒋 + (𝒙𝟏𝒚𝟐-𝒚𝟏𝒙𝟐) 𝒌
O produto vetorial de Ԧ𝑣 por 𝑢 também é denotado:
Ԧ𝑣 ⋀ 𝑢 e se lê “ Ԧ𝑣 vetorial 𝑢 “
Ԧ𝑣 × 𝑢 =
Ԧ𝒊 Ԧ𝒋 𝒌
𝒙𝟏 𝒚𝟏 𝒛𝟏
𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐
=
Ԧ𝒊 Ԧ𝒋 𝒌 Ԧ𝒊 Ԧ𝒋
𝒙𝟏 𝒚𝟏 𝒛𝟏 𝒙𝟏 𝒚𝟏
𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐 𝒙𝟐 𝒚𝟐
=
= Ԧ𝒊 ∙ 𝒚𝟏 ∙ 𝒛𝟐 + Ԧ𝒋 ∙ 𝒛𝟏 ∙ 𝒙𝟐 + 𝒌 ∙ 𝒙𝟏 ∙ 𝒚𝟐 −
Ԧ𝒋 ∙ 𝒙𝟏 ∙ 𝒛𝟐 + Ԧ𝒊 ∙ 𝒛𝟏 ∙ 𝒚𝟐 + 𝒌 ∙ 𝒚𝟏 ∙ 𝒙𝟐 ⟹
O Produto Vetorial Ԧ𝑣 × 𝑢 também pode ser
apresentado por meio do teorema de Laplace:
Ԧ𝑣 × 𝑢 =
𝒚𝟏 𝒛𝟏
𝒚𝟐 𝒛𝟐
Ԧ𝒊 −
𝒙𝟏 𝒛𝟏
𝒙𝟐 𝒛𝟐
Ԧ𝒋 +
𝒙𝟏 𝒚𝟏
𝒙𝟐 𝒚𝟐
𝒌
Exemplo 1: Dados os vetores 𝑢 = 3,−5,8 e Ԧ𝑣 =
4,−2,−1 determine “𝑢 vetorial Ԧ𝑣 “
O Produto Vetorial Ԧ𝑣 × 𝑢 também pode ser
apresentado por meio do teorema de Laplace:
Ԧ𝑣 × 𝑢 =
𝒚𝟏 𝒛𝟏
𝒚𝟐 𝒛𝟐
Ԧ𝒊 −
𝒙𝟏 𝒛𝟏
𝒙𝟐 𝒛𝟐
Ԧ𝒋 +
𝒙𝟏 𝒚𝟏
𝒙𝟐 𝒚𝟐
𝒌
Exemplo 2: Calcule 𝑢 × Ԧ𝑣 para 𝑢 = 5Ԧ𝑖 + 4Ԧ𝑗 + 3𝑘 e
Ԧ𝑣 = Ԧ𝑖 + 𝑘.
Propriedades do Produto Vetorial
i) 𝑢 × Ԧ𝑣 = − Ԧ𝑣 × 𝑢
iii) O vetor 𝑢 × Ԧ𝑣 é ortogonal 𝑢 𝑒 Ԧ𝑣
ii) Se 𝑢 × Ԧ𝑣 = 0, então 𝑢 ∥ Ԧ𝑣
Comprimento do vetor produto
Se  é o ângulo entre os vetores 𝑢 e Ԧ𝑣, então: 
𝑢 × Ԧ𝑣 = 𝑢 ∙ Ԧ𝑣 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃
Comprimento do vetor produto
𝑢 × Ԧ𝑣 = 𝑢 ∙ Ԧ𝑣 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃
Exemplo 3:
Atividade-2
Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores
𝑢 = 2,−3, 4 e Ԧ𝑣 = 1,−2,−1