Apostila Matemática EPCAr-CMC-CPM-IFPR 2022

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SUMÁRIO 
1. Conjuntos ___________________________________________ 3 
1.1. Teoria dos Conjuntos 
1.2. Conjuntos Numéricos (ℕ, ℤ, ℚ, 𝕀 𝑒 ℝ) __________________08 
2. Critérios de divisibilidade ______________________________10 
3. Múltiplos e Divisores _________________________________14 
3.1. Decomposição em primos 
3.2. MMC e MDC 
4. Operações _________________________________________18 
4.1. Potenciação 
4.2. Radiciação 
4.3. Operações com frações 
4.4. Expressões Algébricas 
5. Razão e Proporção___________________________________ 22 
6. Regra de Três _______________________________________25 
7. Matemática Financeira _______________________________31 
7.1. Porcentagem 
7.2. Juros Simples 
7.3. Juros Compostos 
8. Equação do 1º Grau ______________________________34 
11.1 Sistemas de Equações do 1º Grau 
11.2 Inequação do 1º Grau 
12 Polinômios ___________________________________43 
12.1 Operações 
12.2 Produtos Notáveis 
12.3 Fatoração 
13 Equação do 2º grau ________________________________54 
13.1 Equação Biquadrada 
14 Funções _________________________________________62 
14.1 Plano Cartesiano 
14.2 Relações 
S
I
S
T
E
M
A
 E
S
P
E
C
Í
F
I
C
O
 D
E
 E
N
S
I
N
O
 
C
U
R
IT
IB
A
/P
R
 
 
 
2 
15 Função Polinomial do 1º grau _________________________67 
16 Função polinomial do 2º grau _________________________73 
17 Geometria _______________________________________79 
17.1. Elementos Fundamentais 
17.2. Polígonos 
17.3. Transformações/Simetrias (Reflexão, Rotação e Translação) 
17.4 Circunferência 
17.4 Polígonos Regulares 
18 Semelhança/Congruência ____________________________91 
18.1 Teorema de Tales 
19 Trigonometria no triângulo retângulo __________________97 
19.1 Ângulos Notáveis 
20 Relações Métricas no triângulo retângulo _______________101 
21 Relações Métricas em um triângulo qualquer ____________101 
22 Potência de ponto/Relações métricas no círculo _________108 
23 Volumes ________________________________________110 
24 Estatística _______________________________________116 
24.1 Defnições 
24.2 Tabelas 
24.3 Gráficos 
24.4 Medidas de Tendência Central 
25 Probabilidade ___________________________________119 
26 FOCO NOS EXERCÍCIOS _____________________________121 
Apostila de Matemática para Escolas Técnicas e Militares 
Gabriel Velloso Henriques dos Santos, 2022 
Curso Preparatório ESPECÍFICO, 2022 
Todos os direitos reservados. 
 
 
 
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TEORIA DOS CONJUNTOS 
Conjuntos: é o mesmo que agrupamento, classe, 
coleção, sistema. Indicamos, em geral, por uma 
letra maiúscula. 
 
Elemento: cada membro ou objeto que entra na 
formação do conjunto. 
 
Pertinência: a relação entre elemento e conjunto, 
denotada pelo símbolo “ ”, que se lê “pertence 
a”. 
 
 
DESCRIÇÃO DE UM CONJUNTO 
A representação de um conjunto pode ser feita 
das seguintes maneiras: 
 
1) Listagem ou enumeração dos 
elementos 
Neste caso os elementos devem estar entre 
chaves e separados por vírgula ou por ponto-e-
vírgula. 
Exemplos: 
a) Conjunto V das vogais: V = {a, e, i, o, u}. 
b) Conjunto P dos números primos: P = {2, 3, 5, 
7, 11, ...} 
 
2) Uma propriedade de característica de seus 
elementos 
Podemos fazer a apresentação do conjunto por 
meio de uma propriedade P que sirva a todos os 
elementos do conjunto e somente a estes 
elementos, “A = {x| x tem a propriedade P}”. 
Exemplos: 
a) {x | x é divisor inteiro de 3} 
b) {x | x é um número perfeito} 
 
Obs.: Número perfeito é um número natural 
para o qual a soma de todos os seus divisores 
naturais próprios (excluindo ele mesmo) é igual 
ao próprio número. 
 
3) Diagrama de Euler-Venn 
Os elementos são representados por pontos 
interiores a uma linha fechada não entrelaçada. 
Exemplo: 
a ∈ B 
e ∈ B 
i ∈ B 
o ∈ B 
o ∈ B 
m ∉ B 
t ∉ B 
 
 
 
 
 Axioma de extensão 
 Um conjunto é completamente determinado pelos 
seus elementos; 
 A ordem na qual os elementos estão listados é 
irrelevante; 
 Elementos podem aparecer mais de uma vez no 
conjunto 
 
Conjunto Unitário: aquele que possui um único 
elemento. 
Exemplos: 
a) Conjunto dos números primos, pares e positivos: 
{2} 
b) Conjunto dos satélites naturais da Terra: {Lua} 
c) Conjunto das raízes da equação x + 5 = 11: {6} 
 
Conjunto Vazio: aquele que não possui elemento 
algum. 
Símbolo: { } ou Ø. 
 
Conjunto Universo: Conjunto U ao qual pertencem 
todos os elementos utilizados em determinado 
assunto. 
 
 
SUBCONJUNTOS – Relação de Inclusão 
Dizemos que o conjunto A está contido 
no conjunto B se todo elemento que pertencer a A, 
pertencer também a B. Indicamos que 
o conjunto A está contido em B por meio da seguinte 
simbologia: 
 
 
Obs.: Podemos encontrar em algumas publicações 
uma outra notação para a relação de inclusão: 
 
 
O conjunto A não está contido em B quando existe 
pelo menos um elemento de A que não pertence a B. 
Indicamos que o conjunto A não está contido 
em B desta maneira: 
 
 
Propriedades da inclusão: 
Sejam A, B e C três conjuntos arbitrários: 
1) ⊘ ⊂ A 
2) A ⊂ A (reflexiva) 
3) (A ⊂ B e B ⊂ A) ⇒ A = B (anti-simétrica) 
4) (A ⊂ B e B ⊂ C) ⇒ A ⊂ C (transitiva) 
 
 
 
 
4 
Igualdade de conjuntos; 
 Chama-se igualdade de conjuntos quando 
cada elemento do conjunto A está em B e cada 
elemento de B está em A. 
Simbolicamente: A = B ⇔ A ⊆ B e B ⊆ A. 
 
Conjunto das Partes: Dado um conjunto A, 
dizemos que o seu conjunto de partes, 
representado por P (A), é o conjunto formado por 
todos os subconjuntos do conjunto A. 
Obs.: Se A tem n elementos, P(A) tem 2n 
elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
União: a união de dois conjuntos A e B é o conjunto 
formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. 
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} 
 
Intersecção: a intersecção de dois conjuntos A e B é 
o conjunto formado pelos elementos que pertecem a 
A e a B. 
A ∩ B = { x | x ∈ A e x ∈ B} 
 
Obs.: Quando A ∩ B = Ø, ou seja, A e B não têm 
elemento comum, A e B são denominados conjuntos 
disjuntos. 
 
Diferença: a diferença de dois conjuntos A e B é o 
conjunto formado pelos elementos de A que não 
pertencem a B. 
A – B = { x | x ∈ A e x ∉ B} 
 
Complementar de B em A: Se B ⊂ A então o 
complementar de B em relação a A é o conjunto 
A – B. 
Símbolo: 𝐶𝐴
𝐵 ou �̅� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. Considere o conjunto A = {2,4,6,8}, coloque V 
para verdadeiro e F para falso nos itens abaixo: 
a) ( ) 0  A 
b) ( ) 8  A 
c) ( ) 8  A 
d) ( )   A 
e) ( )   A 
f) ( ) {2, 4, 6, 8}  A 
g) ( ) {2, 4, 6, 8}  A 
h) ( ) { 1, 2, 4, 6, 8}  A 
i) ( ) {}  A 
j) ( ) { 2,4}  A 
k) ( ) {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12}  A 
l) ( ) A é um conjunto unitário 
m) ( ) A é um conjunto finito 
 
2. Marque V para verdade e F para falso nas 
seguintes proposições: 
a) ( ) {{1,2},{3,4}} = {1,2,3,4} 
b) ( )  = {} 
c) ( ) {1,2}  {{1,2}} 
d) ( )   {} 
e) ( ) {1,2}  {{1,2}} 
f) ( ) {1,2,2,3,3} = {1,2,3} 
g) ( ) {a}  {b,{a}} 
h) ( ) {1,2,3}  {1,2,2,3,3} 
i) ( ) {a}  {b,{a}} 
j) ( )    
 
3. Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7} e 
C = {5, 6, 7, 8, 9}, determine: 
a) AB 
b) AC 
c) ABC 
d) AB 
e) AC 
f) ABC 
g) A – B 
h) (A – B) – C 
 
4. Dados A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4} e 
C = {2, 3, 4, 5}, calcule: 
a) 
CA
BC 
 
b)B
CAC )(  
c) 
)( AB
CC 
 
 
 
5. Seja U o conjunto de todas as pessoas que 
trabalham ou estudam em uma certa escola. E ainda 
sejam: 
P = {xU / x é professor} 
A = {xU / x é aluno} 
H = {x U / x é homem} 
M = {xU / x é mulher} 
S = {xU / x é funcionário administrativo} 
Descreva os seguintes conjuntos: 
a) HPc  
b) 
cMS )(  
c) )( MS  C 
 
6. Indique as sentenças verdadeiras em relação aos 
conjuntos A, B e C. 
a. Se AB e BA, então A = B. 
b.  B ØB. 
c. Se CA e AB, então CB. 
d. Se x A e x B, então AB. 
 
7. Quando temos AB =  , dizemos que A e B são 
disjuntos. Escreva dois conjuntos, A e B, de modo 
que sejam disjuntos. 
 
8. Um conjunto A tem 10 elementos e um conjunto B 
tem 20 elementos. Quantos elementos tem A U B? 
 
9. Se o conjunto A tem 7 elementos, o conjunto B, 4 
elementos e A B tem 1 elemento, quantos 
elementos terá AB? 
 
10. Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {b, c, d} e 
C = {a, c, d, e}, o conjunto 
(A – C) U (C – B) U (A ∩ B ∩ C) é: 
a) {a, b, c, e} 
b) {a, c, e} 
c) A 
d) {b, d, e} 
e) {b, c, d, e} 
 
11. (CESCEM) A = {Ø; a; {b}}, com {b} ≠ a ≠ b ≠ Ø, 
então: 
a) {Ø, {b}} ⊂ A 
b) {Ø, b} ⊂ A 
c) {Ø, {a}} ⊂ A 
d) {a, b} ⊂ A 
d) a) {{a}, {b}} ⊂ A 
 
 
 
6 
12. Numa pesquisa em que foram ouvidas 
crianças, constatou-se que: 
15 crianças gostavam de refrigerante. 
25 crianças gostavam de sorvete 
5 crianças gostavam de refrigerante e de sorvete 
Quantas crianças foram pesquisadas? 
 
13. Em uma escola, 100 alunos praticam vôlei, 150 
futebol, 20 os dois esportes e 110 alunos, nenhum 
esporte. O número total de alunos é 
a) 230 
b) 300 
c) 340 
d) 380 
 
14. Foram instaladas 66 lâmpadas para iluminar 
as ruas A e B, que se cruzam. Na rua A foram 
colocadas 40 lâmpadas e na rua B 30 lâmpadas. 
Quantas lâmpadas foram instaladas no 
cruzamento? 
 
15. Numa concentração de atletas há 42 que 
jogam basquetebol, 28 voleibol e 18 voleibol e 
basquetebol, simultaneamente. Qual é o número 
de atletas na concentração? 
 
16. Uma atividade com duas questões foi aplicada 
em uma classe de 40 alunos. Os resultados 
apontaram que 20 alunos haviam acertado as 
duas questões, 35 acertaram a primeira questão 
e 25, a segunda. Faça o diagrama e calcule o 
percentual de alunos que acertou apenas uma 
questão? 
 
17. No último clássico Corinthians × Flamengo, 
realizado em São Paulo, verificou-se que só foram 
ao estádio paulistas e cariocas e que todos eles 
eram só corintianos ou só flamenguistas. 
Verificou-se também que, dos 100.000 torcedores, 
85.000 eram corintianos, 84.000 eram paulistas e 
que apenas 4.000 paulistas torciam para o 
Flamengo. Pergunta-se: 
a) Quantos paulistas corintianos foram ao 
estádio? 
b) Quantos cariocas foram ao estádio? 
c) Quantos não-flamenguistas foram ao estádio? 
d) Quantos flamenguistas foram ao estádio? 
e) Dos paulistas que foram ao estádio, quantos 
não eram flamenguistas? 
f) Dos cariocas que foram ao estádio, quantos eram 
corintianos? 
g) Quantos eram flamenguistas ou cariocas? 
h) Quantos eram corintianos ou paulistas? 
i) Quantos torcedores eram não-paulistas ou não-
flamenguistas? 
 
18. As marcas de cerveja mais consumidas em um 
bar, num certo dia, foram A, B e S. Os garçons 
constataram que o consumo se deu de acordo com a 
tabela a seguir: 
a) Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia? 
b) Dentre os consumidores de A, B e S, quantos 
beberam apenas duas dessas marcas? 
c) Quantos não consumiram a cerveja S? 
d) Quantos não consumiram a marca B nem a marca 
S? 
 
19. Considere três conjuntos A, B e C, tais que: n(A) 
= 28, n(B) = 21, n(C) = 20, n(A ∩ B) = 8, n(B ∩ C) = 
9, n(A ∩ C) = 4 e n(A ∩ B ∩ C) = 3. Assim sendo, o 
valor de n((A U B) ∩ C) é: 
a) 3 
b) 10 
c) 20 
d) 21 
 
20. Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes 
dados: 
- 600 entrevistados lêem o jornal A. 
- 825 entrevistados lêem o jornal B. 
- 525 entrevistados lêem o jornal C. 
- 180 entrevistados lêem os jornais A e B. 
- 225 entrevistados lêem os jornais A e C. 
- 285 entrevistados lêem os jornais B e C. 
- 105 entrevistados lêem os três jornais. 
- 135 pessoas entrevistadas não lêem nenhum dos 
três jornais. 
 Considerando-se esses dados, é CORRETO 
afirmar que o número total de entrevistados foi: 
 
 
7 
21. O diagrama abaixo destaca a união das 
regiões exclusivas dos conjuntos A, B e C em 
relação aos outros dois. 
 
Usando o mesmo modelo de três conjuntos 
entrelaçados, destaque as regiões: 
a) (A ∩ C) – B 
b) (B ∩ C) ∪ A 
c) [C – (A ∪ B)] ∪ [(A ∩ B) – C] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 GABARITO 
Exercícios de Aplicação 
1- a) V b) V c) F d) V e) F f) F g) V 
 h) F i) F j) F k) V l) F m) V 
 
2- a) F b) F c) F d) V e) V f) V 
 g) V h) V i) F j) V 
 
3- a) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 
 b) A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
 c) A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
 d) A  B = {3, 4, 5} 
 e) A  C = {5} 
 f) A  B  C = {5} 
 g) A – B = {1, 2} 
 h) (A – B) – C = {1, 2} 
 
4- a) {1, 4} b) {5} c) {2, 3, 5} 
 
5- a) Conjunto de todos os homens que não são 
professores. 
 b) Conjunto de todos os homens que não são 
funcionários administrativos. 
 c) 
 
6- a) V b) V c) V d) V 
 
7- A = {x/ x é primo} 
 B = {x/ x é par maior do que dois} 
 
8- 20 ≤ n(A∪ B) ≤ 30 
 
9- 10 
 
10- A 
 
11- A 
 
12- 35 
 
13- C 
 
14- 4 
 
15- 52 
 
16- 50% 
 
21- a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ℕ 
 
Conjunto dos Números Naturais ℕ: é o conjunto 
formado pelos números 0, 1, 2, 3, ... 
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
ℕ* = {1, 2, 3, 4, ...} 
 
Obs.: Quando adicionado o * em qualquer 
conjunto, significa a exclusão do elemento nulo (0). 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ℤ 
 
O conjunto dos números inteiros é infinito e 
pode ser representado da seguinte maneira: 
ℤ = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3,...} 
 
Vamos destacar os subconjuntos notáveis para Z. 
Z+ = Conjuntos dos números inteiros positivos. 
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} = N 
 
Z- = Conjuntos dos números inteiros negativos 
Z- = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0} 
 
Z* = Conjuntos dos números inteiros não nulos. 
Z* = {…,-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, …} 
 
Z*+ = Conjuntos dos números inteiros positivos não 
nulos. 
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, …} = N* 
 
Z*- = Conjuntos dos números inteiros negativos não 
nulos. 
Z*- = {…, -5, -4, -3, -2, -1} 
 
 
Reta numérica 
 
 
Módulo de um número inteiro: o módulo ou valor 
absoluto de um número inteiro n é a sua distância 
até o 0 (zero). 
|n|: módulo de n. 
 
Obs.: No que se segue, usaremos as notações: 
• a > b (lê-se a é maior que b) para indicar que a 
està à direita de b, 
 
• a < b (lê-se a é menor que b) para indicar que a 
está à esquerda de b. 
 
 
 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ℚ 
O conjunto dos números racionais é 
definido da seguinte forma: 
ℚ = {x| x = 
𝒂
𝒃
 ; a ∈ ℤ, b ∈ ℤ, b ≠ 0) 
 
Obs.: Na fração 
𝑎
𝑏
, a é o numerador e b é o 
denominador. Se a e b são primos entre si, isto é, 
se mdc(a,b) = 1, dizemos que 
𝑎
𝑏
 é uma fração 
irredutível. 
 
NÚMEROS IRRACIONAIS 
 
Número Irracional: um número irracional é um número 
que possui representação decimal infinita e não 
periódica. O número dado pela representação decimal 
0,01001000100001 ..., é um número irracional. 
Se quisermos outros números irracionais 
podemos obtê-los, por exemplo, através da expressão 
√𝑝 onde pe é primo e positivo.São irracionais: √2, √3, 
√5, etc. 
Outro recurso para a construção de irracionais é 
usar o fato de que se α é irracional e r é racional não 
nulo então, α + r, α ∙ r, 
r

 e 

r
, são todos irracionais. 
 
NÚMEROS REAISOs Números Reais: o conjunto dos números reais, que 
é denotado por ℝ, é a reunião do conjunto dos números 
racionais com o conjunto dos números irracionais. Os 
elementos de ℝ são 
chamados números reais. 
 
 
 
 
 
 
 
9 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. Efetue as seguintes adições. 
a) 110 + 251. 
b) 225 + 312. 
c) 763 + 249. 
d) 1.258 + 2.407. 
e) 27 + 319 + 1.328. 
 
2. Efetue as subtrações abaixo. 
a) 379 - 125. 
b) 432 - 321. 
c) 1.278 - 1.154. 
d) 411 - 277. 
e) 1.007 - 328. 
f) 1.000 - 872. 
 
3. Efetue: 
a) 234x2. 
b) 129x6. 
c) 23x21. 
d) 341x37. 
 
4. Determine o quociente das divisões a seguir. 
a) 44 : 2. 
b) 69 : 3. 
c) 72 : 4. 
d) 144 : 6. 
 
5. Roberto tinha 35 figurinhas. Deu 7 para André, 12 
para João e ganhou 5 de Tomas. Com quantas figurinhas 
ficou Roberto? 
 
6. Antônio foi ao mercado com 30 reais. Comprou 
biscoito, que custa 2 reais, suco, que custa 4 reais, e 
bombom, que custa 3 reais. Com quanto Antônio voltou 
do mercado? 
 
7. Quando Júlia tinha 7 anos, seu pai tinha 33 anos. Se 
hoje ela tem 11 anos, qual a soma da sua idade com a de 
seu pai? 
 
8. A soma de dois números é 75. Se um deles é 31, qual 
é o outro? 
 
9. Qual a soma de todos os números de três algarismos 
que podem ser formados com os algarismos 1, 5 e 6? 
 
10. Telma comprou uma boneca, usando 50 reais. Se o 
troco foi 13 reais, quanto custou a boneca? 
 
11. Jonas nasceu em 1992. Quantos anos tinha em 
2011? 
 
 
12. Em uma partida de basquete, os ”Abe-lhas” venceram 
os ”Legumes” por uma diferença de 19 pontos. Se os 
”Abelhas” fizeram 104 pontos, quantos pontos fizeram os 
”Legumes”? 
 
13. Em uma sala de aula, cada aluno tem 3 canetas. Se o 
total de alunos é 23, qual o total de canetas nesta sala de 
aula? 
 
14. Jorge fez 7 pilhas de cartas de baralho, cada uma com 
12 cartas. Quantas cartas Jorge usou ao todo? 
 
15. João deu 19 reais para cada um de seus filhos. Quanto 
João tinha se ele possui 4 filhos? 
 
16. Um bairro da cidade tem 17 ruas. Se cada rua tem 41 
casas, qual o total de casas deste bairro? 
 
17. Sara faz, para vender, 27 pães por dia. Quantos pães ela 
faz em uma semana? 
 
18. Observe a multiplicação abaixo: 
7x53 = 7x(50 + 3) 
7x50 + 7x3 
350 + 21 
371. 
 
Efetue usando o modelo: 
a) 5x21. 
b) 8x34. 
c) 9x57. 
d) 6x123. 
 
GABARITO 
Exercícios de Aplicação 
1- a) 361 b) 537 c)1012 
 d) 3665 e) 1674 
2- a) 254 b) 111 c) 124 
 d) 134 e) 679 f) 128 
3- a) 468 b) 774 c) 483 
 d) 12617 
4- a) 22 b) 23 c)18 d) 24 
5- 21 figurinhas 
6- 21 reais 
7- 44 
8- 44 
9- 2664 
10- 37 reais 
11- 19 anos 
12- 85 pontos 
13- 69 canetas 
14- 84 cartas 
15- 76 reais 
16- 697 casas 
17- 189 pães 
18- a) 105 b) 272 c) 513 d) 738 
 
 
10 
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 
 
DIVISIBILIDADE 
Um número inteiro a, com a ≠ 0, 
é divisível por outro número b, se a divisão destes 
números for exata, isto é, possuir resto zero. 
Exemplos: 
 
 2 é divisor de 4, pois 4 ÷ 2 = 2. 
 3 é divisor de 9, pois 9 ÷ 3 = 3. 
 
Para descobrir se algum número é divisível 
ou não por um determinado número podemos 
utilizar algumas regras. Essas regras são 
chamadas de critérios de divisibilidade. 
 
Divisibilidade por 2: Um número natural é 
divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 
4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par. 
Exemplos: 
1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0. 
1) 237 não é divisível por 2, pois não é um 
número par. 
 
Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 
quando a soma dos valores absolutos dos seus 
algarismos for divisível por 3. 
Exemplo: 
234 é divisível por 3, pois a soma de seus 
algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível 
por 3, então 234 é divisível por 3. 
 
Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 
quando termina em 00 ou quando o número 
formado pelos dois últimos algarismos da direita 
for divisível por 4. 
Exemplo: 
1) 1800 é divisível por 4, pois termina em 00. 
2) 4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4. 
3) 1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4. 
4) 3850 não é divisível por 4, pois não termina em 
00 e 50 não é divisível por 4. 
 
Divisibilidade por 5: Um número natural é 
divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5. 
Exemplos: 
1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5. 
2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0. 
3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 
nem em 5. 
 
 
 
 
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 
quando é divisível por 2 e por 3. 
Exemplos: 
1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) 
e por 3 (soma: 6). 
2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) 
e por 3 (soma: 12). 
3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas 
não é divisível por 3). 
4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas 
não é divisível por 2). 
 
Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 
quando termina em 000, ou quando o número 
formado pelos três últimos algarismos da direita for 
divisível por 8. 
Exemplos: 
1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000. 
2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8. 
3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8. 
4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível 
por 8. 
 
Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 
quando a soma dos valores absolutos dos seus 
algarismos for divisível por 9. 
Exemplo: 
1) 2871 é divisível por 9, pois a soma de seus 
algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é 
divisível por 9, então 2871 é divisível por 9. 
 
Divisibilidade por 10: Um número natural é divisível 
por 10 quando ele termina em 0. 
Exemplos: 
1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0. 
2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0. 
 
https://matematicabasica.net/multiplos-e-divisores/
 
 
11 
EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO E DE 
EXAMES 
1. (OBMEP – 2015) O número 4.580.254 é múltiplo 
de 7. Qual dos números abaixo também é múltiplo de 
7? 
a) 4.580.249. 
b) 4.580.248. 
c) 4.580.247. 
d) 4.580.246. 
e) 4.580.245. 
 
2. (OBMEP – 2015) Cinco dados foram lançados e a 
soma dos pontos obtidos nas faces de cima foi 19. Em 
cada um desses dados, a soma dos pontos da face de 
cima com os pontos da face de baixo é sempre 7. Qual 
foi a soma dos pontos obtidos nas faces de baixo? 
a)10. 
b)12. 
c)16. 
d)18. 
e)20. 
 
3. (OBMEP – 2015) Qual é o algarismos das 
unidades do número 
1x3x5x7x9x11x13x15x17x19 - 2015? 
A) 0. 
B) 1. 
C) 5. 
D) 6. 
E) 8. 
 
4. (OBMEP – 2015) Os 1.641 alunos de uma escola 
devem ser distribuídos em salas de aula para a prova da 
OBMEP. As capacidades das salas disponíveis e suas 
respectivas quantidades estão informadas na tabela 
abaixo: 
 
Capacidade por sala Quantidade de salas 
 
30 alunos 30 
40 alunos 12 
50 alunos 7 
55 alunos 4 
 
Qual é a quantidade mínima de salas que devem ser 
utilizadas para essa prova? 
A)41. 
B)43. 
C)44. 
D)45. 
E)47 
 
5. (OBM – 2015) Para cortar um tronco reto de eucalipto 
em 6 partes, o madeireiro Josué faz 5 cortes. Ele leva meia 
hora para fazer os cortes, que são feitos sempre da mesma 
maneira. Quanto tempo Josué levará para cortar outro 
tronco igual em 9 pedaços? 
A) 40 min. 
B) 44 min. 
C) 45 min. 
D) 48 min. 
E) 54 min. 
 
6. (OBM – 2015) Joana fez uma compra e, na hora de 
pagar, deu uma nota de 50 reais. O caixa reclamou, dizendo 
que o dinheiro não dava. Ela deu mais uma nota de 50 e o 
caixa deu um troco de 27 reais. Então Joana reclamou, 
corretamente, que ainda faltavam 9 reais de troco. Qual era 
o valor da compra? 
a) 52. 
b) 53. 
c) 57. 
d) 63. 
e) 64. 
 
7. (CN) Para registrar o resultado da operação 2101.597,o 
numero de dígitos necessários é: 
A) 96. 
B)97. 
C)98. 
D)99. 
E)100. 
 
8. (OBM 2016) Jaci entrega jornais numa rua na qual os 
números das casas têm exatamente dois algarismos e 
ambos são impares, como por exemplo, 37. No domingo 
passado ela entregou jornais em 18 casas. No máximo, 
quantas casas não receberam jornal? 
a) 1. 
b) 3. 
c) 5. 
d) 7. 
e) 9. 
 
9. (OBM – 2016) Janaína escreveu uma lista de 10 números 
inteiros positivos no quadro-negro e obteve todas as somas 
possíveis de dois desses números, verificando que todas 
eram diferentes. O número de somas pares que ela obteve 
era igual a quatro vezes o número de somas ímpares. Qual 
é a maior quantidade de números pares que poderia haver 
na lista de Janaína? 
a)1. 
b)3. 
c)5. 
d)7. 
e)9. 
 
 
 
12 
10. (CN) Um número natural de 6 algarismos começa, 
à esquerda, pelo algarismo 1. Levando-se este 
algarismo, para o último lugar, à direita, conservando a 
sequência dos demais algarismos, o novo número é o 
triplo do número primitivo. O número primitivo é: 
a) 100.006. 
b) Múltiplo de 11. 
c) Múltiplo de 4. 
d) Múltiplo de 180.000. 
e) Divisível por 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de Aprofundamento e de Exames 
1) B 2) C 3) A 4) B 5) D 
6) E 7) D 8) D 9) E 10) B 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. Assinale a alternativa verdadeira. 
a) todo número divisível por 2 também é divisível por 4. 
b) todo número divisível por 8 também é divisível por 2. 
c) existe número ímpar que é divisível por 2. 
d) todo número cujo algarismo das unidades é 3 é 
divisível por 3. 
e) se a soma dos algarismos de um número é divisível por 
7, então esse número é divisível por 7. 
 
2. Qual dos números abaixo é divisível por 5? 
a)32. 
b)33. 
c)35. 
d)36. 
e)38. 
 
3. Qual dos números abaixo é divisível por 3 
a) 361. 
b) b)364 
c) c)365. 
d) d)368. 
e) e)369. 
 
4. No quadro abaixo, marque um X nas casas 
correspondentes aos divisores (que estão na linha superior) 
de cada número (que estão na coluna da esquerda). 
 
 
Divisores 2 3 5 6 9 
 
264 
 
315 
 
1461 
 
3258 
 
 
5. Qual é o menor número de 4 algarismos múltiplo de 9? 
 
6. Quantos são os possíveis valores para A e B, para que 
444A4B seja divisível por 9? 
 
7. Um livro possui 100 páginas numeradas de 1 a 100. 
Camila leu somente as páginas com números múltiplos de 
2, 3, 5 e 7. Quantas páginas ficaram sem ser lidas? 
 
8. Quantos números de 3 algarismos são pares, múltiplos 
de 11 e divisíveis por 13 existem? 
 
 
 
 
 
 
13 
9. Chamamos de ano bissexto os anos que são 
divisíveis por 4 e, terminando em dois zeros, também 
devem ser divisíveis por 400. Por, exemplo, 2000 e 
2016 são bissextos, mas 2017 e 2100, não são. Quantos 
serão os anos bissextos no terceiro milênio? 
 
10. Uma escola tem 100 alunos e 100 armários 
numerados de 1 a 100. Inicialmente, todos os armários 
estão fechados. O primeiro aluno passa e abre todos os 
armários; o segundo passa e fecha todos os pares; o 
terceiro passa e muda a posição de todos os múltiplos 
de 3, ou seja, os que estão abertos ele fecha e os que 
estão fechados ele abre; o quarto aluno muda a posição 
de todos os armários que são múltiplos de 4; e assim 
por diante até o centésimo aluno, que muda a posição 
dos armários múltiplos de 100. Depois da passagem de 
todos os alunos, quantos armários ficam fechados? 
 
11. (CM – RJ 2015) O menor número natural que 
devemos subtrair de 12.272, de modo que o resultado 
seja divisível por 9 e por 11 ao mesmo tempo: 
a) é menor do que 20. 
b) está entre 20 e 40. 
c) está entre 40 e 60. 
d) está entre 60 e 80. 
e) é maior do que 80. 
 
 
12. Cinco amigas ganham um pacote de balas e 
começam a dividir: uma para Alice, uma para Bia, 
uma para Carla, uma para Dani e uma para Esmeralda; 
novamente uma para Alice, uma para Bia, uma para 
Carla, uma para Dani e uma para Esmeralda; e assim 
por diante até que termine as 1.786 balas que haviam 
no pacote. Qual das cinco meninas recebeu a última 
bala? 
a) Alice. 
b) Bia. 
c) Carla. 
d) Dani. 
e) Esmeralda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
Exercícios de Aplicação 
1- B 
2- C 
3- E 
4- 
 
 
 
 
 
 
 
 
5- 1008 
6- 11 
7- 22 páginas 
8- 3 
9- 242 
10- 90 
11- E 
12-A 
 
 
14 
MÚLTIPLOS E DIVISORES 
Vamos começar observando algumas divisões. 
 
 
Valem as seguintes relações para esses números: 
14 = 5・2 + 4, 
12 = 3・4 + 0, 
15 = 4・3 + 3 e 
18 = 6・3 + 0. 
 
Em geral, em uma divisão, onde b ≠ 0, 
 
a, b, q e r são chamados dividendo, 
divisor, quociente e resto, 
respectivamente, e vale a seguinte 
relação 
 
a = b・q + r, onde 0 ≤ r < b. 
 
Obs.: Quando uma divisão é exata, o resto r é igual 
a zero então a = b・q. 
 
Neste caso, dizemos que a é múltiplo de b, ou que 
a é divisível por b, ou ainda que b divide a. 
 
 
NÚMEROS PRIMOS 
Quando um número natural tem exatamente dois 
divisores, ele é chamado número primo. Se um 
número natural diferente de 0 e de 1 não é primo, 
dizemos que ele é composto. 
 
Obs.: Quando 1 é o único divisor comum de dois 
ou mais números naturais, não todos nulos, 
dizemos que estes números são primos entre si, ou 
relativamente primos. 
 
 
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS 
Ao decompor um número em fatores 
primos, você deverá observar os critérios de 
divisibilidade para escolher o primeiro número 
primo como divisor. 
Exemplo 1. Decompor em fatores primos o 
número 12. 
 
Podemos, então, escrever 12 = 2x2x3. 
Exemplo 2. Vejamos agora um número maior. 
Decompor 360 em fatores primos. 
 
 
 
 
 
15 
MMC e MDC 
 
MMC (Mínimo Múltiplo Comum): considerando-se 
vários números naturais, eles possuem uma 
infinidade de múltiplos comuns e o menor deles é 
denominado mínimo múltiplo comum (o zero está 
excluído). 
 
MDC (Máximo Divisor Comum): Considerando-se 
vários números naturais, eles podem possuir 
alguns divisores comuns, dentre os quais, o maior 
é denominado máximo divisor comum e 
representa-se por m.d.c. (o número de divisores é 
sempre um número finito, maior ou igual a 1). 
 
Para determinarmos o MMC e o MDC de vários 
números, devemos colocar todos os números na 
forma fatorada. Após este procedimento podemos 
estabelecer: 
2) o mdc dos números é o produto de todos os 
fatores comuns às fatorações com os menores 
expoentes com os quais eles se apresentam nas suas 
respectivas decomposições. 
 
3) o mmc dos números é o produto de todos os 
fatores existentes nas decomposições, comuns ou 
não, considerados com os maiores expoentes com os 
quais eles se apresentam nas suas respectivas 
decomposições. 
 
Exemplo: Consideremos os números A, B e C já 
faorados: 
A = 23x3x52 
B = 22x5x7 
C = 24x32x53 
Teremos que: 
MDC(A, B, C) = 22x5 
 
MMC(A, B, C) = 24x32x53x7 
 
 
M.D.C pelas divisões sucessivas 
 
 Consistem em ir dividindo até obter uma 
divisão exata. Efetua-se a divisão seguindo do 
maior para o menor. 
Veja o MDC de 66 e 40: 
 
 
Observação (utilizado somente para a prova do 
colégio naval): O método das divisões sucessivas 
é conhecido também como Algoritmo de Euclides e 
se baseia em várias divisões até obter um resto 
nulo. Há uma regra importante: 
“Se não encontrar um resto zero, obtêm-se uma 
sequência decrescente de infinitos números não 
nulos, todos menores que n. Porém, isso é 
impossível já que existem apenas n – 1 números 
naturais não nulos, todos menores que n.” 
 
 
Regra importante: 
M.D.C(a,b) x M.M.C(a, b) = a x b 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO E DE EXAMES 
1. (UTFPR 2015) O cometa Azul passa pela Terra de 12 
em 12 anos e o cometa Verde, de 15em 15 anos. Esses 
dois cometas passaram pela Terra em 2014.Assinale a 
alternativa que representa o ano em que os dois cometas 
passarão juntos pela Terra novamente 
a) 2134 
b) 2064 
c) 2084 
d) 2020 
e) 2041 
 
2. (UTFPR 2014) Luizinho ficou doente e teve que 
tomar 3 antibióticos diferentes. O antibiótico “A” ele 
toma de 3 em 3 horas, o “B” de 4 em 4 horas e o “C” de 
6 em 6 horas. Se ele começar a tomar os remédios ao 
meio dia, assinale a alternativa que apresenta o horário 
que ele tomará os 3 remédios juntos 
a) 24 horas 
b) 14 horas 
c) 13 horas 
d) 12 horas 
e) 3 horas 
 
3. (CN 2013) Sabendo que 2x ∙ 34x+y ∙ (34)y é o menor 
múltiplo de 17 que pode-se obter para x e y inteiros não 
negativos, determine o número de divisores positivos da 
soma de todos os algarismos desse número, e assinale a 
opção correta. 
a) 12 
b) 10 
c) 8 
d) 6 
e) 4 
 
4. (ENEM – 2015) Um arquiteto está reformando uma 
casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide 
reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele 
dispõe de 40 tábuas de 540cm, 30 de 810cm e 10 de 
1080cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu 
a um carpinteiro que cortasse as tábuas em peças de 
mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que 
as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, 
mas de comprimento menor que 2m. Atendendo o pedido 
do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir: 
a) 105 peças. 
b) 120 peças. 
c) 210 peças. 
d) 243 peças. 
e) 420 peças. 
 
 
 
 
5. (CM – Fortaleza 2014) Da rodoviária da cidade de 
Alegrelândia, saem ônibus de 75 em 75 minutos para a cidade 
de Vila Feliz e de 2 em 2 horas com destino à cidade de Boa 
Esperança. 
Em um determinado dia, às 8 horas da manhã, dois ônibus 
saem juntos, um para cada cidade. Qual é a diferença entre o 
número de viagens realizadas para Vila Feliz e para Boa 
Esperança até o próximo horário em que dois ônibus sairão 
juntos novamente da rodoviária de Alegrelândia, um para 
cada cidade? 
a) 3. 
b) 5. 
c) 6. 
d) 8. 
e) 9. 
 
6. (CM – Fortaleza 2014) D. Laura quer decorar a maior 
quantidade possível de caixas com fitas azuis, brancas e 
vermelhas. Para decorar uma caixa, D. Laura utiliza 2 pedaços 
de fita azul, 4 pedaços de fita branca e 5 pedaços de fita 
vermelha, sendo que todos esses pedaços têm o mesmo 
tamanho. No momento, D. Laura dispõe de 28 metros de fita 
azul, 48 metros de fita branca e 60 metros de fita vermelha, 
que serão cortados em pedaços com o maior tamanho 
possível, de modo que não haja sobra. Com essas quantidades 
de fitas, pode-se afirmar que D. Laura poderá decorar a maior 
quantidade possível de caixas e sobrará(âo) apenas fita(s): 
a) branca. 
b) vermelha. 
c) azul. 
d) branca e vermelha. 
e) azul e branca. 
 
7. (CM – Brasília 2015) Cristina vai comemorar o 
aniversário de 5 anos de seu filho, Pedro, com uma festinha 
na escola dele. Para montar as sacolinhas surpresa, que as 
crianças levam para casa, Cristina, que é dona de uma 
papelaria, colocará os seguintes materiais escolares: lápis, 
borrachas, apontadores e cartelas de adesivos. Ela verificou 
que dispunha, em sua papelaria, de 156 lápis, 130 borrachas, 
78 apontadores e 52 cartelas de adesivos. Sabendo-se que foi 
utilizado todo o material disponível, e que foi feito o maior 
número possível de sacolinhas, todas com a mesma 
quantidade de material, pode-se afirmar que, em cada 
sacolinha, a quantidade de: 
a)cartelas de adesivos é igual a um quarto da quantidade de 
lápis. 
b) borrachas é igual à quantidade de apontadores mais uma 
unidade. 
c) lápis é igual ao dobro da quantidade de apontadores. 
d) apontadores é igual à quantidade de cartelas de adesivos 
mais duas uniades. 
e) cartelas de adesivos é igual à metade da quantidade de 
borrachas. 
 
 
 
 
17 
8. Determinar o menor número que dividido por 24, 30 
e 45, deixa resto 11, 17 e 32 respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
9. Determine o maior número pelo qual se deve dividir 
1207 e 803 para obtermos os restos 7 e 3, 
respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de Aprofundamento e de Exames 
1) A 2) A 3) C 4) E 5) A 
6) C 7) C 8) 347 9) 400 
 
 
18 
OPERAÇÕES 
 
POTENCIAÇÃO 
 
A potenciação indica multiplicações de 
fatores iguais. Por exemplo, o produto 3.3.3.3 pode 
ser indicado na forma 43 . Assim, o símbolo na , 
sendo a um número inteiro e n um número natural 
maior que 1, significa o produto de n fatores iguais 
a a: 

fatores n
n aaaaa .......
 
 
a é a base; 
n é o expoente; 
o resultado é a potência. 
 
Cuidado com os sinais. 
Número negativo elevado a expoente par fica 
positivo. Exemplos: 
 
  1622222
4
 
  9333
2
 
 
Número negativo elevado a expoente ímpar 
permanece negativo. Exemplo: 
  2222
3


 
  24 8 
 
Quadro Resumo das Propriedades 
 
0;1
1
.).(
.
0 
















aa
a
a
aa
b
a
b
a
baba
aa
a
a
a
aaa
n
n
m
n
m n
m
mm
mmm
nmnm
nm
n
m
nmnm
 
RADICIAÇÃO 
 
A radiciação é a operação inversa da 
potenciação. De modo geral podemos escrever: 
 1nenabba nn  
 
4224 2  pois 
 8228 33  pois 
 
Na raiz n a , temos: 
O número n é chamado índice; 
O número a é chamado radicando. 
 
Propriedades: 
 
n
p
n p aa  
 
aaaa 1n
n
n n  
 
nnn baba  
 
n
n
n
b
a
b
a
 
 
  n
mm
n
m
n
m
n
m
n bbbbb 







1
11
1
 
nmn m aa 
 
 
Obs.: O número b = 216 · 34 · 512 · 718 é um 
quadrado perfeito, pois os expoentes de sua 
representação como produto de potências de 
primos distintos são todos pares. Além disso, 
a = √ b = 28 · 32 · 56 · 79 . O número inteiro a, por 
sua vez, não é um quadrado perfeito, pois um dos 
expoentes de sua representação como produto 
potências de primos distintos é ímpar: o expoente 
9 do primo 7. 
 
 
 
19 
FRAÇÕES 
 
Operações com Números Racionais 
 
 
 
 
 
 
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
Uma expressão algébrica é o resultado de um 
número finito de operações (escolhidas dentre 
adição, subtração, multiplicação, divisão, 
potenciação e radiciação) entre variáveis, 
sempre que os resultados de tais operações 
fizerem sentido no conjunto R dos números reais. 
As expressões algébricas serão denotadas por 
letras maiúsculas: E, F, G, etc. São exemplos de 
expressões algébricas: 
32
2
5
3 yxE  e 
122
3 32



ba
bca
F 
 
Valores numéricos de uma expressão: um 
valor numérico de uma expressão algébrica é o 
número real obtido quando atribuímos valores 
(números reais) às variáveis que compõem a 
expressão. 
 
REPRESENTAÇÃO DE MULTIPLICAÇÕES 
NA FORMA DE POTÊNCIA 
Muita vezes a decomposição mostra uma 
fatoração como 2 x 2 x 2 x 2 ou 3 x 3. Em 
Matemática é usual representar essas 
multiplicações da seguinte forma: 
a) 2 x 2 x 2 x 2 = 24 . Lê-se dois elevado à quarta 
potência. 
Atenção! Esse resultado não é 8 e sim, 16. Muito 
cuidado. 
 
b) 3 x 3 = 32 . Lê-se três elevado à segunda 
potência ou três elevado ao quadrado. 
O resultado é 9. 
 
c) 4 x 4 x 4 = 43 . Lê-se quatro elevado à terceira 
potência ou quatro elevado ao cubo. 
OBSERVAÇÕES. 
1) Somente as potências 2 e 3, possuem nomes 
especiais de quadrado e cubo. 
 
2) No caso de aparecer somente um fator primo, a 
potência é considerada 1. Exemplos: representamos 3 = 
31, 5 = 51, 10 = 101. É desnecessário utilizar a potência 
1. Ela será considerada no caso do cálculo dos divisores. 
 
Voltando à decomposição em fatores primos de 360, 
podemos escrever na forma de potência como: 
360= 23 x 32 x 5 
 
O procedimento que permite calcular os divisores 
consiste em somar 1 a cada potência e multiplicar esses 
resultados. No caso do fator 5, lembre que sua potência 
é 1. 
360 = 2(3+1) x 3(2+1) x 5(1+1) 
Multiplicando as somas, temos: (3+1) x (2+1) 
x (1+1) = 4 x 3 x 2 = 24 divisores. Confira com os 
divisores que você encontrou. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. (CPM 2014) O dobro de 2222é : 
a) 2²²³ 
b) 2444 
c) 4²²² 
d) 4444 
 
2. (CPM 2012) Considere as igualdades : 
( 3 + 5)² = 3² + 5² 
(10² )³ = 105 
7 . 7² = 7³ 
100 = 0 
Quantas são verdadeiras? 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
3. Calcule o valor das expressões: 
a) 35. 
b) 22 + (-3)2. 
c) (-5)4. 
d) (-2)3 + (-3)3. 
 
4. Escreva como um única potência: 
a) 
3
26
16
84 
 
b) 
23)32( 
c) 
47
35
1010
101010




 
d) 83 : 2-5. 
 
5. (CN 2015) O número de divisores positivos de 102015 
que são múltiplos de 102000 é: 
A) 152 
b) 196 
c) 216 
d) 256 
e) 276 
 
6. (FUVEST) Qual a metade de 
222 ? 
 
7. Simplificando-se  
2342 obtém-se: 
a)
68 
b) 
242 
c) 
816 
d) 
362 
e) 
2122 
 
 
 
8. (Cesgranrio) O número de algarismos do produto 517× 49 
é igual a: 
a) 17 
b) 18 
c) 26 
d) 34 
e) 35 
 
9. (Mack) O número de algarismos do produto 
515. 46 é: 
a) 21 
b) 15 
c) 18 
d) 17 
e) 23 
 
10. (IBMEC) Os astrônomos estimam que, no universo 
visível, existem aproximadamente 100 bilhões de galaxias, 
cada uma com 100 bilhões de estrelas. De acordo com estes 
números, se cada estrela tiver, em média, 10 planetas a sua 
volta, então existem no universo visível aproximadamente 
1012 planetas. 
1017 planetas. 
1023 planetas. 
10121 planetas. 
10220 planetas 
 
11. Qual dos números a seguir é o maior? 
a) 345 
b) 920 
c) 2714 
d) 2439 
e) 8112 
 
12. (PUC-SP-2005) Se N é o número que resulta do cálculo 
de 219 . 515 , então o total de algarismos que compõem N é: 
A) 17 
B) 19 
C) 25 
D) 27 
E) maior do que 27. 
 
 
GABARITO 
Exercícios de Aplicação 
1– A 
2- B 
3- a) 243 b) 13 c) 625 d) -35 
4- a) 26 b) -245 c) 106 d) 213 
5- 256 
6- 221 
7- D 
8- B 
9- B 
10- C 
11- E 
12- A 
 
 
21 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. O ano bissexto possui 366 dias e sempre é múltiplo 
de 4. O ano de 2012 foi o último bissexto. Porém, há 
casos especiais de anos que, apesar de múltiplos de 4, 
não são bissextos: são aqueles que também são 
múltiplos de 100 e não são múltiplos de 400. O ano de 
1900 foi o último caso especial. A soma dos algarismos 
do próximo ano que será um caso especial é: 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
 
2. Num país, a eleição para presidente ocorre a cada 5 
anos e para prefeito, a cada 4 anos. Se em 2012 houve 
coincidência das eleições para esses cargos, qual o 
próximo ano em que elas voltarão a coincidir? 
 
3. Coloque V (verdadeiro) ou F (falso) para cada 
afirmação abaixo: 
( ) a decomposição em fatores primos de 300 é 
2 x 2 x 3 x 5 x 5. 
( ) a decomposição em fatores primos de 100 é 
2 x 2 x 2 x 5. 
( ) a decomposição em fatores primos de 38 é 
2 x 2 x 7. 
( ) a decomposição em fatores primos de 56 é 
2 x 2 x 2 x 7. 
( ) a decomposição em fatores primos de 350 é 
2 x 3 x 3 x 5 x 7. 
 
4. Coloque V (verdadeiro) ou F (falso); 
( ) Todo número natural é múltiplo de 1. 
( ) Todo número natural é múltiplo de zero. 
( ) O número zero é múltiplo de todos os números. 
( ) O conjunto dos múltiplos de 3 é o conjunto dos 
números ímpares. 
( ) Todo número primo é ímpar. 
( ) Alguns números primos são ímpares. 
( ) 1 é primo e ímpar. 
( ) Todo número múltiplo de 4 é múltiplo de 2. 
( ) Todo múltiplo de 2 e 5 tem como algarismos das 
unidades o 0. 
 
5. Determine o conjunto dos divisores naturais de: 
a) 12. 
b) 24. 
c) 30. 
 
 
6. Qual a quantidade de divisores de: 
a) 60?. 
b) 121?. 
c) 120?. 
d) 72? 
e) 164? 
f) 225? 
 
7. Quantos divisores tem o produto A x B, sendo 
A = 2 x 32 x 11 e B = 23 x 112? 
 
8. Qual dos números abaixo é divisível por 18? 
a)325. 
b)336. 
c)354. 
d)368. 
e)396. 
 
9. Determine o maior número de 3 algarismos que é 
divisível por 12. 
 
10. A forma fatorada de um número é 23x32x112. Quantos 
divisores tem este número? 
 
11. Uma professora leva para a sala de aula uma caixa com 
24 bombons. Ela quer distribuir estes bombons de maneira 
que cada aluno receba a mesma quantidade de bombons e 
também que não sobre nem um bombom com ela. Quantas 
são as possíveis quantidades de alunos em sala para que isso 
aconteça? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
Exercícios de Aplicação 
1- A 
2- 2032 
3- V F F V F 
4- V F V F F V F V V 
5- a) {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
 b) {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. 
 c) {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}. 
6- a) 12 b) 3 c) 16 
 d) 12 e) 6 f) 9 
7- 60 
8- E 
9- 996 
10- 36 
11- 8 
 
 
22 
 RAZÃO 
 É o quociente entre dois números 
b
a
= 𝑘 
Aplicação: 
Escala = 
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑝𝑎
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙
 
 
Velocidade média = 
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜
 
 
Densidade = 
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
 
 
 
 
 
PROPORÇÃO 
 Chama-se proporção a igualdade de duas 
ou mais razões. 
b
a
 = 
d
c
 = k 
a e c → antecedentes 
b e d → consequentes 
k → constante de 22roporcionalidade 
 
Propriedade Fundamental das Proporções: “O 
produto dos extremos é igual ao produto dos 
meios”. Essa propriedade é comumente chamada 
de multiplicação cruzada. Vejamos: 
b
a
 = 
d
c
 
a.d = b.c 
Duas grandezas são diretamente 
proporcionais quando, ao se multiplicar o valor 
de uma delas por um número positivo, o valor da 
outra é multiplicado por esse mesmo número 
positivo. 
K=
f
c
=
e
b
=
d
a
 
Propriedade: 
f+e+d
c+b+a
=
f
c
=
e
b
=
d
a
 
 
 
 
 
 
 
 
Duas grandezas são inversamente 
proporcionais quando, ao se multiplicar o valor 
de uma delas por um número positivo, o valor da 
outra é dividido por esse mesmo número positivo. 
 
K=cf=be=ad 
 
 
Propriedade: 
 
 
Obs.: Dados os números positivos a e b, 
chamamos média geométrica entre a e b o 
número positivo x que verifica a proporção 
contínua 
x
a
 = 
b
x
. 
 
 
 
23 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. O dono de uma revenda de veículos tem um total de 
77 automóveis. A razão entre veículos novos e usados é 
de (4:3). Quantos são os carros novos? 
 
2. Em uma conferência, a razão entre brasileiros e 
estrangeiros era de (7 : 9). Se haviam 80 pessoas nessa 
reunião, quantos eram os brasileiros? 
 
3. Um caminhão pode levar 300 sacos de cimento ou 
7290 tijolos. Se o veículo já foi carregado com 100 sacos 
de cimento, quantos tijolos ainda poderemos colocar? 
 
4. Uma escala E pode ser definida pela fórmula: 
E = 
D
d
, na qual d é o comprimento de algum elemento 
ou a distância entre objetos no mapa e D o tamanho real 
em centímetros, acompanhada do e (erro gráfico, cujo 
cálculo é feito como e = 0,02 ∙ D milímetros). 
 
a) As dimensões de um avião em um mapa são 24 cm 
de comprimento e 19 cm de largura. As dimensões reais 
são 36 metros de comprimento e 28,5 de largura. Qual a 
escala e o erro gráfico desse mapa? 
 
b) Uma estrada de 120km foi representada num mapa 
por um segmento de reta de 6cm. Qual o comprimento 
no mapa de outra estrada, paralela à inicial, de 85 km? 
 
c) Uma casa com área total de 240m2 foi representada 
numa maquete numa escala de 1:400. A sala de jantar 
na maquete da casa tem dimensões 0,75 cm e 1,25 cm. 
Qual a razão entre a área total da casa e a área da sala 
jantar? 
 
5. Uma planta de uma casa foi desenhada em escala1 : 
50. Qual o comprimento de uma parede que tem 8cm de 
comprimento na planta? 
 
6. Os comprimentos de dois postes estão entre si assim 
como 3 está para 5. Sabendo-se que o menor deles mede 
6m, então o maior mede: 
a) 20m. 
b) 18m. 
c) 15m. 
d) 12m. 
e) 10m. 
 
7. Denomina-se velocidade média Vm como a razão 
entre a distância d percorrida e o tempo t gasto para 
percorrê-la, ou seja, Vm = 
t
d
. 
a) João percorreu 450 km em 5 horas. Qual foi a sua 
velocidade média? 
 
b) O maratonista Dennis Kimetto correu por 
aproximadamente 42km em quase duas horas. Qual foi sua 
velocidade média? 
 
8. Sabendo que velocidade média é a razão entre a distância 
percorrida e o intervalo de tempo do percurso. Determine a 
velocidade média nas situações abaixo. 
a) Uma viagem de 300 quilômetros que demorou 6 horas. 
 
b) Uma caminhada de 800 metros até a padaria que demorou 
25 minutos. 
 
c) Uma corrida de 100 metros em 10 segundos. 
 
9. O consumo médio Cm é a razão entre a distância d 
percorrida e o consumo de combustível g gasto para percorrer 
essa distância, ou seja, Cm = 
g
d
. 
a) Maria foi de Salvador até Maceió (582km) no seu carro. 
Foram gastos nesse percurso 48,5 litros de combustível. Qual 
foi o consumo médio do carro de Beatriz? 
 
b) José foi de Salvador até Feira de Santana no seu carro em 
4 horas com um consumo médio de 56 km/l. Foram gastos 
nesse percurso 2 litros de combustível. Qual foi a velocidade 
média entre Salvador e Feira de Santana? 
 
10. Densidade demográfica D é a razão entre o número de 
habitantes n e a área A que é ocupada por eles, ou seja, D =
A
n
. A Região A tem área de 10000 km2 e população de 98000 
habitantes e a Região B possui área de 8000 km2 e população 
de 82000 habitantes. Nestas condições, calcule a densidade 
demográfica de cada uma das regiões e conclua qual é a mais 
densamente povoada. 
 
11. A densidade demográfica de um país, de uma cidade ou 
de qualquer região é calculada através da razão entre a 
quantidade de pessoas que habitam esta localidade e sua área. 
Determine a densidade demográfica dos países abaixo. (Seus 
valores estão aproximados) 
a) França: 60 milhões de habitantes em 500 mil 
quilômetros quadrados. 
 
b) Portugal: 10 milhões de habitantes em 100 mil quilômetros 
quadrados. 
 
c) Reino Unido: 60 milhões de habitantes em 250 mil 
quilômetros quadrados. 
 
d) Bélgica: 12 milhões de habitantes em 30 mil quilômetros 
quadrados. 
 
e) Mônaco: 30 mil habitantes em 2 quilômetros 
quadrados. 
 
 
24 
f) Brasil: 200 milhões de habitantes em 8 milhões de 
quilômetros quadrados. 
 
12. (IFPE (PE) - 2015) Sabe-se que a distância real, em 
linha reta, de Recife para Vitória de Santo Antão é igual 
a 45 quilômetros. Um estudante do IFPE, ao analisar um 
mapa, constatou com sua régua que a distância entre 
essas duas cidades era de 5 centímetros. De acordo com 
o texto, o mapa observado pelo estudante está em qual 
escala? 
 
13. Uma biblioteca precisa encadernar alguns livros. 
Uma oficina pode encadernar estes livros em 30 dias, 
outra em 45 dias. Em quantos dias estas oficinas podem 
cumprir a tarefa se trabalharam ao mesmo tempo? 
 
14. Um grupo de pessoas foi dividido em duas metades. 
Na primeira metade, a razão do número de homens para 
o mulheres é de 1 para 2, na segunda metade, a razão do 
número de mulheres para o de homens é de 2 para 3. No 
grupo todo, qual a razão do número de mulheres para o 
de homens? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
Exercícios de Aplicação 
1- 44 
2- 35 
3- 4680 tijolos 
4- a) E = 1/150 e e = 30mm 
 b) E = 1/2000000 e e = 170000mm 
 c) x = 3m e y = 5m; r = 240/15 = 16 
5- 4 metros 
6- E 
7- a) 90km/h b) 21km/h 
8- a) 50km/h b) 32m/min c) 10m/s 
9- a) Cm = 12km/ℓ b) Vm = 20km/h 
10- DA = 9,8 pessoas/km2 
 DB = 10,25 pessoas/km2 
11- a) 120 hab/km2 b) 100 hab/km2 
 c) 240 hab/km2 d) 400 hab/km2 
 e) 1500 hab/km2 f) 25 hab/km2 
12- 1:900000 
13- 18 dias 
14- 8/7 
 
 
25 
REGRA DE TRÊS 
 
Regra de três é um método de resolução de 
problemas que envolvem grandezas 
proporcionais. 
“A solução dos problemas de regra de três tem 
como base a utilização da “propriedade 
fundamental das proporções” e a “quarta 
proporcional”. 
 
Regra de três simples permite encontrar um 
quarto valor que não conhecemos em um 
problema, dos quais conhecemos apenas três 
deles. Assim, encontraremos o valor desconhecido 
a partir dos três já conhecidos. 
 
Ex1.: Um conjunto de três impressoras industriais, 
todas iguais, é capaz de imprimir 2400 folhas em 
uma hora, caso as três máquinas trabalhem juntas. 
Quantas folhas serão produzidas se utilizássemos 
sete dessas impressoras? 
 
7
3
 = 
x
240
 → x = 
3
2407 
 = 7 ∙ 800 = 5600. 
Portanto, sete iguais impressoras trabalhando 
juntas produziriam 5600 folhas por hora. 
 
Ex2.: Cinco homens levam 20 dias para construir 
um telhado. Quanto tempo um conjunto de oito 
homens levaria para realizar este mesmo serviço? 
Admita que, todos os trabalhadores envolvidos em 
ambas as situações têm capacidades de trabalho 
equivalentes. 
 
 
Obs.: Para indicar que as duas variáveis são 
inversamente proporcionais, colocamos duas 
setas, uma para cima e outra para baixo, ao lado 
de cada um dos nomes. 
8
5
 = 
20
x
 → x = 
8
205 
 = 
8
100
 = 13,5. 
 
Portanto, serão necessários treze dias e meio para 
terminar o telhado. 
 
 
Regra de três composta, na matemática, é a forma 
de encontrar um valor desconhecido quando 
conhecemos três ou mais grandezas diretamente ou 
inversamente proporcionais. 
 
Ex1.: (OBM). Um galão de mel fornece energia 
suficiente para uma abelha voar 7 milhões de 
quilômetros. Quantas abelhas iguais a ela 
conseguiriam voar mil quilômetros se houvesse 10 
galões de mel para serem compartilhados entre elas? 
 
Agora fazemos a primeira equação igual ao produto 
das demais: 
x
1
 = 
10
1
 ∙ 
6107
1000

 → x = 
1000
10710 6
 = 70 000 
 
Portanto, teríamos um total de 70:000 abelhas. 
 
Ex2.: Em uma empresa de construção, 20 caminhões 
são capazes de descarregar 160m3 de areia em oito 
horas. Quantos caminhões serão necessários para 
descarregar 125m3 de areia em cinco horas? 
 
A partir daí podemos montar a equação de 
proporcionalidade: 
x
20
 = 
125
160
 ∙ 
8
5
 → x = 25 
 
http://www.matematicadidatica.com.br/RegraDeTres.aspx
 
 
26 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. Um atleta dá 6 volta numa pista, mantendo velocidade 
constante, em 24 minutos. Quantas voltas ele dará em 
duas horas? 
 
 
 
 
 
 
 
2. Parque Eólico de Osório é uma usina de produção de 
energia eólica na cidade de Osório, no Rio Grande do 
Sul, com 150 aerogeradores de 2 Megawatts (MW) 
cada. Se forem instalados mais 40 aerogeradores de 
mesma potência, qual será o novo total de Megawatts do 
Parque? 
 
 
 
 
 
 
 
3. (ESA) Dez pessoas realizam um trabalho em 15 dias. 
Qual o número de dias em que seis pessoas, com igual 
força de trabalho, fariam o mesmo trabalho? 
 
 
 
 
 
 
 
4. (PUC – RJ) Duas torneiras jogam água em um 
reservatório, uma na razão de 1 m3 por hora e a outra na 
razão de 1 m3 a cada 6 horas. Se o reservat ório tem 14 
m3, em quantas horas ele estará cheio? 
 
 
 
 
 
 
 
5. Na travessia Rio-Niterói há barcas com viagens que 
duram 20 minutos e aerobarcos com travessias de 15 
minutos. Qual o horário do encontro entre a barca que 
sai às 10 h e o aerobarco das 10 : 04h, ambos partindo 
do Rio? 
 
 
 
 
 
 
6. (FUVEST) Um automóvel, modelo flex, consome 34 
litros de gasolina para percorrer 374 km. Quando se opta 
pelo uso do álcool,o automóvel consome 37 litros deste 
combustível para percorrer 259 km. Suponha que um litro 
de gasolina custe R$ 2,20. Qual deve ser o preço do litro do 
álcool para que o custo do quilômetro rodado por esse 
automóvel, usando somente gasolina ou somente álcool 
como combustível, seja o mesmo? 
 
 
 
 
 
 
 
7. (UNEMAT – MT) José e Pedro decidiram fazer uma 
viagem de férias para o litoral brasileiro. José, que já havia 
feito este percurso, afirmou que rodando uma média de 8 
horas por dia a uma velocidade média de 60 km/h, tinha 
levado 6 dias para completá-lo. Pedro comprometeu-se a 
dirigir 9 horas por dia à velocidade média de 80 km/h. 
Considerando que Pedro vá dirigindo, qual a quantidade de 
dias, que levarão para completar o percurso da viagem? 
 
 
 
 
 
 
 
8. Empregando 3 equipes, consegue-se construir 5 km de 
estrada em 7 dias, trabalhando 8 horas por dia. Usando 4 
equipes, durante 10 dias, mas trabalhando apenas 6 horas 
por dia, quantos km de estrada serão construídos? 
 
 
 
 
 
 
 
9. Dois tanques, em forma de blocos retangulares, têm o 
mesmo volume. O primeiro tem 1,2 m de profundidade e sua 
tampa mede 18 metros quadrados. O segundo tem 2 metros 
de profundidade. Qual deve ser a medida da 
tampa para cobri-lo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
10. Um muro de 12 metros foi construído utilizando 
2160 tijolos. Caso queira construir um muro de 30 
metros nas mesmas condições do anterior, quantos 
tijolos serão necessários? 
 
 
 
 
 
 
 
11. Após o término do vestibular, uma equipe de 10 
professores gastou 24 dias para corrigir as provas. 
Considerando a mesma proporção, quantos dias levarão 
30 professores para corrigir as provas? 
 
 
 
 
 
 
 
12. Um acidente num navio deixou cinco náufragos à 
deriva, com comida suficiente para alimentálos por 18 
dias. Dois deles resolveram saltar e tentar chegar em 
terra nadando. Com dois náufragos a menos, qual será a 
duração dos alimentos? 
 
 
 
 
 
 
 
13. Uma empresa tem 750 funcionários e comprou 
marmitas individuais congeladas suficientes para o 
almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse 
mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já 
adquiridas seria suficiente para quantos dias? 
 
 
 
 
 
 
 
14. Um pintor utilizou 18 litros de tinta para pintar 60 
m2. Quantos litros de tinta serão necessários para pintar 
450 m2, da mesma forma como foram pintados os 60 
m2? 
 
 
 
 
 
 
15. Um galpão pode ser construído em 48 dias por 7 
pedreiros que trabalham num certo ritmo. Como ele deve ser 
construído em 2 semanas, no mesmo ritmo de trabalho, 
quantos pedreiros serão necessários? 
 
 
 
 
 
 
 
16. Em uma disputa de tiro, uma catapulta, operando durante 
6 baterias de 15 minutos cada, lança 300 pedras. Quantas 
pedras lançará em 10 baterias de 12 minutos cada? 
 
 
 
 
 
 
 
17. (ESA) Para armar um circo, 50 homens levam 2 dias, 
trabalhando 9 horas por dia. Com a dispensa de 20 homens, 
em quantos dias o circo será armando, trabalhando-se 10 
horas por dia? 
 
 
 
 
 
 
 
18. (CM – Brasília) Uma montadora recebeu a encomenda 
de 40 carros. A montadora trabalhou durante 5 dias, 
utilizando 6 robôs, de mesmo rendimento, que trabalham 8 
horas por dia para atender esta encomenda. Uma outra 
encomenda foi feita, para montar 60 carros, mas um dos 
robôs apresentou defeito e não pôde começar esse trabalho. 
Para atender o segundo pedido, foi preciso trabalhar 12 
horas por dia. Qual o número de dias de trabalho na fábrica 
foram necessários para cumprir os dois pedidos? 
 
 
 
 
 
19. (ENEM 2012) Uma mãe recorreu à bula para verificar a 
dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na 
bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 
2 kg de massa corporal a cada 8 horas. Se a mãe ministrou 
corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, 
então qual a massa corporal dele? 
 
 
 
 
 
28 
20. (UNCISAL – AL) Tanto no basquete masculino 
como no feminino a altura dos aros das cestas é 3,05 m. 
Por sua vez, a altura da rede do voleibol masculino é 
2,43 m e do feminino 2,24 m. Se as regras do basquete 
respeitassem as diferenças de gênero da mesma forma 
que as regras do voleibol respeitam e a altura da cesta 
do masculino fosse mantida, qual seria a altura da cesto 
do basquete feminino? 
 
 
 
 
 
 
 
21. (IFSP – 2015) Um cano de escoamento, cuja secção 
transversal tem 5 cm2 de área, esvazia um reservat ório 
de água em 4 horas. Em quanto tempo se esvaziaria esse 
mesmo reservatório se o cano de escoamento tivesse 12 
cm2 de área? 
 
 
 
 
 
 
 
22. (PUC – CAMPINAS 2015) Para fazer a 
digitalização de 30 páginas, um estagiário leva 28 
minutos. Se o estagiário trabalhar durante suas 4 horas e 
40 minutos de expediente com o dobro dessa velocidade 
de digitalização, nesse expediente de trabalho, quantas 
páginas ele será capaz de digitalizar? 
 
 
 
 
 
 
 
 
23. Um livro tem 150 páginas, cada página tem 36 
linhas, e cada linha 50 letras. Se quisermos escrever o 
mesmo texto em 250 páginas, quantas letras haverá em 
cada linha para que cada página tenha 30 linhas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24. (UEG – GO) Um trator, ao ser puxado por cinco homens 
durante 30 minutos, percorre uma distância de 125 metros. 
Em quanto tempo o mesmo trator percorrerá a distância de 
150 metros ao ser puxado por quatro homens? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25. (UFAM – 2015) Em uma fábrica 12 máquinas 
produziram 120 peças em 4 dias. Qual o tempo necessário 
para que 8 máquinas iguais às primeiras produzam 300 
peças? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26. (UNIFOR – CE 2015) Numa editora, 10 digitadores 
trabalhando 8 horas por dia, digitaram 
5
2
 de um 
determinado livro em 10 dias. Então 2 digitadores foram 
deslocados para outro serviço, e os restantes passaram a 
trabalhar apenas 6 horas por dia na digitação desse livro. 
Mantendo-se a mesma produtividade para completar a 
digitaçao do referido livro, após o deslocamento dos 2 
digitadores, quantos dias a equipe remanescente terá de 
trabalhar? 
 
 
 
 
 
 
 
 
27. Um pequeno barco a vela, com 7 tripulantes, 
deve atravessar o oceano em 42 dias. Seu suprimento de 
água potável permite a cada pessoa dispor de 3,5 litros de 
água por dia (e é isso o que os tripulantes fazem). Após 12 
dias de viagem, o barco encontra 3 náufragos numa jangada 
e os acolhe. Pergunta-se: 
a) Quantos litros de água por dia caberão agora a cada 
pessoa se a viagem prosseguir como antes? 
 
 
 
 
 
 
29 
b) Se os 10 ocupantes de agora continuarem consumindo 
3,5 litros de água cada um, em quantos dias, no máximo, 
será necessário encontrar uma ilha onde haja água? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28. (IFPE – 2015) Numa fazenda há 5 cavalos que 
consomem 300 kg de ração em 6 dias. Suponha que 
todos eles consomem por dia a mesma quantidade de 
ração. Com apenas 240 kg de ração, por quantos dias, 
12 cavalos iguais aos dessa fazenda seriam alimentados? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29. (USP – 2014) A fábrica do Sr. Eusébio possui 12 
máquinas, de mesmo tipo e capacidade, que usualmente 
executam determinada tarefa em 16 dias, funcionando 6 
horas por dia. Como quatro dessas máquinas ficaram 
inutilizadas, as restantes passaram a ser colocadas em 
funcionamento 8 horas por dia. Nessas condições, em 
quanto tempo a mesma tarefa será realizada? 
 
 
 
 
 
 
 
30. Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de 
areia ou 400 tijolos. Se foram colocados no caminhão 32 
sacos de areia, quantos tijolos pode ainda ele carregar? 
 
 
 
 
 
 
 
31. (IFSP – 2015) Para abrir uma valeta de 300 m de 
comprimento por 2 m de profundidade e 80 cm de largura, 
25 operários do Serviço de Águas e Esgotos levaram 40 
dias. Se o número de operários é diminuído em 20%, a 
profundidade da valeta aumentada em 50% e a larguradiminuída em 25%, quantos dias são necessários para abrir 
160 m de valeta? 
 
 
 
 
 
 
 
32. (PAPMEM – 2013.2) Um fazendeiro, na safra passada, 
usou 12 camponeses para cortar sua plantação de cana de 
120 hectares. Os trabalhadores concluíram o serviço em 7 
dias, trabalhando 6 horas por dia. Este ano, o fazendeiro 
plantou 180 hectares e precisa fazer o corte de plantação em 
5 dias. Com este objetivo, já fez um acordo com os 
trabalhadores para que eles trabalhem 8 horas por dia, mas 
viu que a equipe de 12 homens usada no anterior não era é 
suficiente. Quantas pessoas a mais devem ser contratadas? 
 
 
 
 
 
 
 
33. Certo trabalho é feito por 16 tratores iguais em 10 dias, 
cada um deles trabalhando 10 horas por dia. Após dois dias 
de trabalho , 6 tratores apresentaram defeitos, não podendo 
mais serem utilizados. Determinar o número de horas por 
dia que deverão trabalhar os demais tratores, prevendo que 
ocorrerá um atraso de 8 dias para o término do trabalho. 
 
 
 
 
34. Para executar certa obra em 19 dias, uma firma de 
construção contrata 15 operários. Transcorrido 13 dias, 5 
deles abandonaram o serviço, e não foram substituídos 
durante 3 dias. Com quantos operários deverá a firma atacar 
a obra a partir do décimo sétimo dia para concluí-la no prazo 
pré-fixado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
35. José é 50% mais eficiente do que João. Se João 
executa uma tarefa em 12 horas, em quanto tempo esta 
mesma tarefa deverá ser executada por José? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36. Um grupo de 15 bombeiros parte em uma expedição, 
com mantimentos para 20 dias. Passados 5 dias, um 
novo grupo de 10 bombeiros, sem mantimentos, se junta 
ao anterior. Quantos dias durarão os mantimentos, 
contados a partir da chegada do novo grupo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
Exercícios de Aplicação 
1- 30 voltas 
2- 380 MW 
3- 9 horas 
4- 12 horas 
5- 10 : 16 h. 
6- R$1,40 
7- 4 dias 
8- 7km e 143 m 
9- 10,8 m2 
10- 540 tijolos 
11- 8 dias 
12- 20 dias 
13- 15 dias 
14- 135 m2 
15- 24 pedreiros 
16- 400 pedras lançadas 
17- 3 dias 
18- 11 dias 
19- 12kg 
20- x ≅ 2,81 metros 
21- 1hora e 40 minutos 
22- 600 páginas 
23- 36 letras por linha 
24- 45 minutos 
25- 15 dias 
26- 25 dias 
27- a) 2,45 litos b) 21 dias 
28- 2 dias 
29- 18 dias 
30- 144 tijolos 
31- 30 dias 
32- 7 pessoas 
33- 8 horas de trabalho por dia 
34- 3 dias 
35- 8 horas 
36- 9 dias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Parte da matemática que envolve cálculos, 
operações e ideias utilizadas em contextos 
monetários, de compra, investimento, descontos, 
juros, entre outras ideias. 
PORCENTAGEM 
 
Porcentagem ou razão centesimal são as razões 
cujo termo consequente é igual a 100. 
Representamos a porcentagem através do 
símbolo “%”. 
1) 10% é o mesmo que 0,10 (10 centésimos). 
2) 
2
1
= 
10
5
=
100
50
= 50%. 
3) 
4
1
= 
100
25
= 25%. 
4) Temos também a fração 
100
100
 = 1 = 100%. 
Portanto, o número 1 representa uma determinada 
totalidade. 
 
 
JUROS SIMPLES E 
JUROS COMPOSTOS 
 
Juros Simples: no regime de juros simples, se i é 
a taxa de juros por unidade de tempo (que pode 
ser dia, mês ou ano, conforme acordado pelas 
partes envolvidas na negociação) e t é o número 
de unidades de tempo que durou a aplicação (i.e., 
o número de dias, meses ou anos), temos a 
seguinte relação entre o valor final (VF) e o valor 
inicial (VI): 
 
 
A fórmula para calcular os juros simples é: 
j = C.i.t 
Sendo que: 
j = juros, 
C = capital inicial, 
i = taxa, 
t = tempo. 
 
Juros Compostos: No regime de juros 
compostos, se i é a taxa de juros por unidade de 
tempo (dia, mês, ano) e t é o número de unidades 
de tempo que durou a aplicação, temos a seguinte 
relação entre o valor final (VF) e o valor inicial (VI): 
 
Ou ainda, 
A fórmula para calcular os juros compostos é: 
M = C. (1 + i)t, 
em que: 
M = montante 
C = capital 
i = taxa 
t = tempo 
 
 
http://www.matematicadidatica.com.br/Porcentagem.aspx
 
 
32 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. Um investidor quer aplicar a quantia de R$ 800,00 por 
3 meses, a uma taxa de 8% ao mês (a.m.) em juros 
simples, para retirar no final deste período. Quanto ele 
irá retirar? 
 
 
 
 
 
 
2. Qual é a taxa mensal de juros simples que faz um 
capital de R$ 9500,00 produzir um montante de R$ 
11900,00 ao fim de 1 ano de aplicação? 
 
 
 
 
 
 
3. O preço à vista de um eletrodoméstico é R$ 350,00. 
Dando-se uma entrada de R$ 80,00, o restante será pago 
com um cheque com vencimento para 3 meses depois da 
compra incluindo um acréscimo de juros simples de 4% 
ao mês. Qual será o valor do cheque? 
 
 
 
 
 
 
4. Esmeraldino aplicou R$ 800,00, a juros simples, a 
uma taxa de 2,5% ao mês e, ao final de um certo tempo, 
recebeu R$ 1080,00. Quanto tempo ela deixou o 
dinheiro aplicado a essa taxa? 
 
 
 
 
 
 
5. Determine quanto renderá, em juros simples, um 
capital de R$ 60000,00 aplicado à taxa de 24% ao ano, 
durante sete meses. 
 
 
 
 
 
 
6. A que taxa mensal de juros simples um capital de R$ 
500,00, aplicado durante 10 meses, produz R$ 150,00 de 
juros? 
 
 
 
7. Mário devia, em seu cartão de crédito, R$ 2000,00. Como 
não conseguiu pagar, em dois meses essa dívida aumentou 
para R$ 2880,00. Nesse caso, qual foi a taxa de juros simples 
cobrada mensalmente pelo cartão de crédito? 
 
 
 
 
 
 
8. Um certo capital foi aplicado por 5 meses. Ao fim desse 
prazo, só de juros simples, o aplicador recebeu o triplo do 
dinheiro. Qual é a taxa mensal dessa aplicação? 
 
 
 
 
 
 
 
9. Por um empréstimo de R$ 80000,00, à taxa de i% ao mês, 
paga-se, de uma única vez, após 2 meses, o montante de R$ 
115200,00. Por terem sido aplicados juros compostos, qual 
a taxa mensal aplicada? 
 
 
 
 
 
 
 
10. Um capital quadruplica em 2 meses ao se utilizar de 
capitalização composta. Qual a taxa mensal aplicada? 
 
 
 
 
 
 
11. Uma aplicação de R$ 3000,00 rendeu R$ 2370,00 em 10 
meses. Qual a taxa mensal composta de juros dessa 
operação? 
 
 
 
 
 
 
12. O preço do cento de laranja teve dois aumentos 
consecutivos: 10% e 20%. Se hoje o cento da laranja custa 
R$5,28, determine o seu preço antes dos aumentos. 
 
 
 
 
 
33 
13. O preço de certa mercadoria sofre anualmente um 
acréscimo de 100%. Supondo que o preço atual seja R$ 
100,00, qual o preço daqui a 3 anos? 
 
 
 
 
 
 
 
14. João fez um empréstimo de R$ 800,00 em uma 
financeira, que cobra uma taxa de juros de 10% ao mês, 
comprometendo-se a saldar a dívida em dois meses. No 
fim do primeiro mês, Pedro pagou à financeira uma 
parcela de R$ 580,00. Assim sendo, qual o valor que 
ficará para João pagar ao final do segundo mês? 
 
 
 
 
 
 
15. Maria pegou no banco um empréstimo de R$ 
2000,00, que cobra uma taxa de juros de 5% ao mês, 
comprometendo-se a saldar a dívida em quatro meses. 
No fim do primeiro mês, Maria pagou uma parcela de 
R$ 600,00. No fim do segundo mês, ela pagou R$ 
575,00. No fim do terceiro mês, pagou R$ 550,00. 
Assim sendo, qual o valor que ficará para Maria pagar 
ao final do quarto mês? 
 
 
 
 
 
16. Duas pessoas fizeram um empréstimo de uma 
mesma quantia por dois meses, nas seguintes condições: 
i) A primeira, a juros compostos de 2% a.m. 
ii) A segunda, a juros simples de x% a.m. 
Sabendo-se que, ao quitar à dívida, as duas pagaram o 
mesmo valor, qual o valor de x? 
 
 
 
 
 
 
17. Uma pessoa aplicou metade do seu capital à taxa de 
30% ao semestre no regime de juros compostos e a outra 
metade à taxa de 27% ao quadrimestre no sistema de 
juros simples e obteve ao final de um ano um montante 
de R$ 4200,00. Qual o capital inicial desta pessoa? 
 
 
 
 
18. Uma quantia de x reais foi aplicada a juros compostosde 1% ao mês. Ao final de 10 meses, foi feito o resgate total 
da aplicação, obtendo-se y reais. Qual a razão 
x
y
? 
 
 
 
 
 
 
19. (UNEB) Um investidor fez uma aplicação a juros simples 
de 10% mensal. Depois de dois meses, retirou capital e juros 
e os reaplicou a juros compostos de 20% mensal, por mais 
dois meses e, no final do prazo, recebeu R$ 1728,00. Qual o 
valor do capital inicial? 
 
 
 
 
 
 
20. (UFPA) Daqui a seis meses você deve saldar uma dívida 
de R$ 520,00. Que importância deve aplicar hoje ao juro 
simples de 5% ao mês para que, no prazo devido, você esteja 
com a quantia devida? 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
Exercícios de Aplicação 
1- 992 reais 
2- 2/95 ≅ 2,11% 
3- 302,40 reais 
4- 14 meses 
5- 8400 reais 
6- 3% am 
7- 22% 
8- 60% 
9- 20% 
10- 100% 
11- i = √1,7910
 - 1 
12- 4 reais 
13- 800 reais 
14- 330 reais 
15- 525 reais 
16- x = 2,02 
17- C = 1200 e 2C = 2400 
18- (1,01)10 
19- 1000 reais 
20- C = 400 
 
 
34 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
 
Equação é toda sentença matemática aberta que 
exprime uma relação de igualdade. 
A equação do primeiro grau é escrita na forma de 
“ax + b = 0”, 
onde “a” e “b” são números reais com a ≠ 0 e x é a 
incógnita. 
Método de resolução. 
Consiste em isolar a incógnita. Para isto, toda vez 
que “trocar” o número perante a igualdade, inverte-
se a operação. 
Obs.: Os elementos do conjunto verdade de uma 
equação são chamados raízes da equação. 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 
Alguns problemas de matemática são 
resolvidos a partir de soluções comuns a duas 
equações do 1º grau a duas variáveis. 
Nesse caso, diz-se que as equações 
formam um sistema de equações do 1º grau a 
duas variáveis, que se indica escrevendo as 
equações abrigadas por uma chave. 
 
Um sistema linear de equações do 1º grau (ou 
simplesmente um sistema linear) com duas 
equações e duas incógnitas é um conjunto 
formado por duas equações lineares (ou de 1º 
grau), em que 
cada uma dessas equações possui duas 
incógnitas. Portanto, qualquer sistema de 
equações do 1º grau com duas equações e duas 
incógnitas deve ter a seguinte forma: 
{
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓
 
 
O Método da Adição 
 O método da adição para a resolução de 
sistemas lineares consiste em adicionar membro a 
membro as equações do sistema, previamente 
multiplicadas por constantes reais adequadas, 
com o objetivo de diminuir a quantidade de 
incónitas. 
 
O Método da substituição 
O método da substituição consiste em 
isolar o valor de uma das incógnitas em uma das 
equações e substituir esta incógnita nas outras 
equações, de modo que a quantidade de 
incógnitas e de equações diminua. Em particular, 
quando o sistema possui duas incógnitas, apenas 
uma substituição é suficiente para resolvê-lo. 
 
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU 
 
 
Toda inequação do 1° grau com uma variável pode ser 
transformada numa equivalente da forma: 
 ax + b > 0 
 ax + b < 0 
 ax + b  0 
 ax + b  0 
 
sendo a  R* e b  R. 
 
Na inequação utilizaremos os símbolos: 
 > (Leia-se: Maior que) 
 < (Leia-se: Menor que) 
 ≥ (Leia-se: Maior ou igual) 
 ≤ (Leia-se: Menor ou igual) 
 
Propriedades da inequação do 1º grau 
Resolvemos problemas de inequação isolando a 
variável x na sentença. Então as seguintes 
propriedades são utilizadas. 
Considerando x, y e a números reais: 
1. x < y ⇔ x + a < y + a, ∀a ∈ R 
2. x < y ⇔ ax < ay, se a > 0 
3. x < y ⇔ ax > ay, se a < 0 
 
 
 
 
35 
1. Determine o conjunto solução das equações abaixo, 
sabendo que o conjunto universo é ℕ (conjunto dos 
números naturais). 
a) x – 7 = 0 
b) 
2
x
 = 5 
c) 2x + 6 = 12 
d) –x + 8 = 0 
e) 3x + 9 = 0 
f) x - 
5
2
= 
5
8
 
g) 3x + 15 = 2x + 18 
h) 32 x 
i) 4
5
2

x
 
j) 1263 x 
k) xx 284  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Verifique se 2 é raiz das equações abaixo. 
a) 2x – 4 = 0 
b) 3x + 5 = 11 
c) 3x + 6 = 2x + 8 
d) 
x
12
 = 8 
e) 
4
x
 + 
2
3
 = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Se o dobro de um número é 20, qual é esse número? 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Se um retângulo tem 20cm de comprimento e 100cm2 de 
área, qual a medida de sua largura? 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Quando os gêmeos Anderson e Ricardo nasceram, Maitê 
tinha 7 anos. Qual a idade dos gêmeos, se hoje a soma das 
idades dos três irmãos é 34 anos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Diminuindo-se seis anos da idade de minha filha, 
obtém-se os 
5
3
 de sua idade. Determine a idade de 
minha filha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Sendo o conjunto universo igual ao conjunto dos 
números racionais (U = ℚ), resolva as equações 
seguintes. 
 
 
36 
a) 
3
25
5
1 x
x
x 


 
b) 
5
8
7
5
8 nn
n



 
c) 











 x
x
2
1
3
1
4
1
3
2
2
1
 
d)  52
4
1
8
42
1
3 





 x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Resolva as seguintes equações no conjunto dos 
racionais. 
a) 2(x + 3) = 26. 
b) 4x + 10(x + 1) - 2(x - 2) = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. A soma de dois números naturais consecutivos é 87. 
Determine esses números. 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Determine um número cujo dobro de seu antecessor, 
menos 3 é igual a 25. 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Ricardo tem em seu bolso apenas moedas de 25 e 50 
centavos, num total de 31 moedas. Sabe-se ainda que o 
número de moedas de 25 centavos excede em 5 unidades o 
número de moedas de 50 centavos. Qual a quantia, em reais, 
que Ricardo tem no bolso? 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. 
Algumas, são ocupadas por 4 pessoas, outras, por apenas 2 
pessoas, num total de 28 fregueses. Determine o número de 
mesas ocupadas por 2 pessoas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. A soma de dois números ímpares consecutivos é 64. 
Determine esses dois números. 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. Cláudio e Mário possuem juntos R$240,00. Cláudio 
possui R$90,00 a mais que o dobro da quantia de Mário. 
Quanto possui Cláudio? 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. Nas últimas 3 etapas da volta de Portugal, um ciclista 
percorreu, ao todo, 360km. A primeira etapa tinha 
120km a mais do que a segunda; a última etapa era 
quatro vezes maior que a segunda. Calcule o 
comprimento de cada etapa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
Exercícios de Aplicação 
1- a) x = 7 b) x = 10 c) x = 3 
 d) x = 8 e) x = -3 ∉ ℕ f) x = 2 
 g) x = 3 h) x = 5 i) x = 10 
j) x = 6 k) x = 4 
2- a) Sim b) Sim c) Sim 
 d) Não e) Sim 
3- 10 
4- 5cm 
5- Os gêmeos tem 9 anos e Maitê tem 16 anos. 
6- 15 anos 
7- a) x = -14 b) n = 19/3 c) x = 1/16 d) x = 22 
8- a) 10 b) -7/6 
9- 43 e 44 
10- 15 
11- 11 reais 
12- 10 mesas 
13- 31 e 33 
14- 190 reais 
15- 40km, 160km e 160km 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. Resolva as seguintes inequações. 
a) 2x + 1 < x - 4. 
b) 3x - 4 ≥ 3 - x. 
c) 4(x - 2) + 3(4 - 2x) ≤ x - 5(x + 1). 
d) 03
6
1
3
22
1







x
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Qual é o menor número natural tal que seu dobro seja 
menor que seu quádruplo menos 17? 
 
 
 
 
 
 
 
3. Qual é o maior inteiro que satisfaz a inequação: 
2<
6
5
3

x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Os dois maiores lados de um triângulo medem 6cm e 8cm. 
Quais são as possíveis medidas para o menor lado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Quantos valores naturais são solução para a inequação: 
2 < 4x - 5 ≤ 25? 
 
 
 
 
 
 
 
6. Determine os números inteiros negativos que são 
solução da inequação 2x + 4 > x - 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Sendo U = ℤ, determine o conjunto solução 
da inequação: 
3 ≤ 2x - 1 ≤ 17 
 
 
 
 
38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Jaime vende dois tipos de picolés: de frutas a R$3,00 
cada e de leite a R$4,00 cada. Se em um dia ele vender 
11 picolés de