Apostila Matemática EPCAr-CMC-CPM-IFPR 2022

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SUMÁRIO 
1. Conjuntos ___________________________________________ 3 
1.1. Teoria dos Conjuntos 
1.2. Conjuntos Numéricos (ℕ, ℤ, ℚ, 𝕀 𝑒 ℝ) __________________08 
2. Critérios de divisibilidade ______________________________10 
3. Múltiplos e Divisores _________________________________14 
3.1. Decomposição em primos 
3.2. MMC e MDC 
4. Operações _________________________________________18 
4.1. Potenciação 
4.2. Radiciação 
4.3. Operações com frações 
4.4. Expressões Algébricas 
5. Razão e Proporção___________________________________ 22 
6. Regra de Três _______________________________________25 
7. Matemática Financeira _______________________________31 
7.1. Porcentagem 
7.2. Juros Simples 
7.3. Juros Compostos 
8. Equação do 1º Grau ______________________________34 
11.1 Sistemas de Equações do 1º Grau 
11.2 Inequação do 1º Grau 
12 Polinômios ___________________________________43 
12.1 Operações 
12.2 Produtos Notáveis 
12.3 Fatoração 
13 Equação do 2º grau ________________________________54 
13.1 Equação Biquadrada 
14 Funções _________________________________________62 
14.1 Plano Cartesiano 
14.2 Relações 
S
I
S
T
E
M
A
 E
S
P
E
C
Í
F
I
C
O
 D
E
 E
N
S
I
N
O
 
C
U
R
IT
IB
A
/P
R
 
 
 
2 
15 Função Polinomial do 1º grau _________________________67 
16 Função polinomial do 2º grau _________________________73 
17 Geometria _______________________________________79 
17.1. Elementos Fundamentais 
17.2. Polígonos 
17.3. Transformações/Simetrias (Reflexão, Rotação e Translação) 
17.4 Circunferência 
17.4 Polígonos Regulares 
18 Semelhança/Congruência ____________________________91 
18.1 Teorema de Tales 
19 Trigonometria no triângulo retângulo __________________97 
19.1 Ângulos Notáveis 
20 Relações Métricas no triângulo retângulo _______________101 
21 Relações Métricas em um triângulo qualquer ____________101 
22 Potência de ponto/Relações métricas no círculo _________108 
23 Volumes ________________________________________110 
24 Estatística _______________________________________116 
24.1 Defnições 
24.2 Tabelas 
24.3 Gráficos 
24.4 Medidas de Tendência Central 
25 Probabilidade ___________________________________119 
26 FOCO NOS EXERCÍCIOS _____________________________121 
Apostila de Matemática para Escolas Técnicas e Militares 
Gabriel Velloso Henriques dos Santos, 2022 
Curso Preparatório ESPECÍFICO, 2022 
Todos os direitos reservados. 
 
 
 
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TEORIA DOS CONJUNTOS 
Conjuntos: é o mesmo que agrupamento, classe, 
coleção, sistema. Indicamos, em geral, por uma 
letra maiúscula. 
 
Elemento: cada membro ou objeto que entra na 
formação do conjunto. 
 
Pertinência: a relação entre elemento e conjunto, 
denotada pelo símbolo “ ”, que se lê “pertence 
a”. 
 
 
DESCRIÇÃO DE UM CONJUNTO 
A representação de um conjunto pode ser feita 
das seguintes maneiras: 
 
1) Listagem ou enumeração dos 
elementos 
Neste caso os elementos devem estar entre 
chaves e separados por vírgula ou por ponto-e-
vírgula. 
Exemplos: 
a) Conjunto V das vogais: V = {a, e, i, o, u}. 
b) Conjunto P dos números primos: P = {2, 3, 5, 
7, 11, ...} 
 
2) Uma propriedade de característica de seus 
elementos 
Podemos fazer a apresentação do conjunto por 
meio de uma propriedade P que sirva a todos os 
elementos do conjunto e somente a estes 
elementos, “A = {x| x tem a propriedade P}”. 
Exemplos: 
a) {x | x é divisor inteiro de 3} 
b) {x | x é um número perfeito} 
 
Obs.: Número perfeito é um número natural 
para o qual a soma de todos os seus divisores 
naturais próprios (excluindo ele mesmo) é igual 
ao próprio número. 
 
3) Diagrama de Euler-Venn 
Os elementos são representados por pontos 
interiores a uma linha fechada não entrelaçada. 
Exemplo: 
a ∈ B 
e ∈ B 
i ∈ B 
o ∈ B 
o ∈ B 
m ∉ B 
t ∉ B 
 
 
 
 
 Axioma de extensão 
 Um conjunto é completamente determinado pelos 
seus elementos; 
 A ordem na qual os elementos estão listados é 
irrelevante; 
 Elementos podem aparecer mais de uma vez no 
conjunto 
 
Conjunto Unitário: aquele que possui um único 
elemento. 
Exemplos: 
a) Conjunto dos números primos, pares e positivos: 
{2} 
b) Conjunto dos satélites naturais da Terra: {Lua} 
c) Conjunto das raízes da equação x + 5 = 11: {6} 
 
Conjunto Vazio: aquele que não possui elemento 
algum. 
Símbolo: { } ou Ø. 
 
Conjunto Universo: Conjunto U ao qual pertencem 
todos os elementos utilizados em determinado 
assunto. 
 
 
SUBCONJUNTOS – Relação de Inclusão 
Dizemos que o conjunto A está contido 
no conjunto B se todo elemento que pertencer a A, 
pertencer também a B. Indicamos que 
o conjunto A está contido em B por meio da seguinte 
simbologia: 
 
 
Obs.: Podemos encontrar em algumas publicações 
uma outra notação para a relação de inclusão: 
 
 
O conjunto A não está contido em B quando existe 
pelo menos um elemento de A que não pertence a B. 
Indicamos que o conjunto A não está contido 
em B desta maneira: 
 
 
Propriedades da inclusão: 
Sejam A, B e C três conjuntos arbitrários: 
1) ⊘ ⊂ A 
2) A ⊂ A (reflexiva) 
3) (A ⊂ B e B ⊂ A) ⇒ A = B (anti-simétrica) 
4) (A ⊂ B e B ⊂ C) ⇒ A ⊂ C (transitiva) 
 
 
 
 
4 
Igualdade de conjuntos; 
 Chama-se igualdade de conjuntos quando 
cada elemento do conjunto A está em B e cada 
elemento de B está em A. 
Simbolicamente: A = B ⇔ A ⊆ B e B ⊆ A. 
 
Conjunto das Partes: Dado um conjunto A, 
dizemos que o seu conjunto de partes, 
representado por P (A), é o conjunto formado por 
todos os subconjuntos do conjunto A. 
Obs.: Se A tem n elementos, P(A) tem 2n 
elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
União: a união de dois conjuntos A e B é o conjunto 
formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. 
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} 
 
Intersecção: a intersecção de dois conjuntos A e B é 
o conjunto formado pelos elementos que pertecem a 
A e a B. 
A ∩ B = { x | x ∈ A e x ∈ B} 
 
Obs.: Quando A ∩ B = Ø, ou seja, A e B não têm 
elemento comum, A e B são denominados conjuntos 
disjuntos. 
 
Diferença: a diferença de dois conjuntos A e B é o 
conjunto formado pelos elementos de A que não 
pertencem a B. 
A – B = { x | x ∈ A e x ∉ B} 
 
Complementar de B em A: Se B ⊂ A então o 
complementar de B em relação a A é o conjunto 
A – B. 
Símbolo: 𝐶𝐴
𝐵 ou �̅� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. Considere o conjunto A = {2,4,6,8}, coloque V 
para verdadeiro e F para falso nos itens abaixo: 
a) ( ) 0  A 
b) ( ) 8  A 
c) ( ) 8  A 
d) ( )   A 
e) ( )   A 
f) ( ) {2, 4, 6, 8}  A 
g) ( ) {2, 4, 6, 8}  A 
h) ( ) { 1, 2, 4, 6, 8}  A 
i) ( ) {}  A 
j) ( ) { 2,4}  A 
k) ( ) {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12}  A 
l) ( ) A é um conjunto unitário 
m) ( ) A é um conjunto finito 
 
2. Marque V para verdade e F para falso nas 
seguintes proposições: 
a) ( ) {{1,2},{3,4}} = {1,2,3,4} 
b) ( )  = {} 
c) ( ) {1,2}  {{1,2}} 
d) ( )   {} 
e) ( ) {1,2}  {{1,2}} 
f) ( ) {1,2,2,3,3} = {1,2,3} 
g) ( ) {a}  {b,{a}} 
h) ( ) {1,2,3}  {1,2,2,3,3} 
i) ( ) {a}  {b,{a}} 
j) ( )    
 
3. Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7} e 
C = {5, 6, 7, 8, 9}, determine: 
a) AB 
b) AC 
c) ABC 
d) AB 
e) AC 
f) ABC 
g) A – B 
h) (A – B) – C 
 
4. Dados A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4} e 
C = {2, 3, 4, 5}, calcule: 
a) 
CA
BC 
 
b)B
CAC )(  
c) 
)( AB
CC 
 
 
 
5. Seja U o conjunto de todas as pessoas que 
trabalham ou estudam em uma certa escola. E ainda 
sejam: 
P = {xU / x é professor} 
A = {xU / x é aluno} 
H = {x U / x é homem} 
M = {xU / x é mulher} 
S = {xU / x é funcionário administrativo} 
Descreva os seguintes conjuntos: 
a) HPc  
b) 
cMS )(  
c) )( MS  C 
 
6. Indique as sentenças verdadeiras em relação aos 
conjuntos A, B e C. 
a. Se AB e BA, então A = B. 
b.  B ØB. 
c. Se CA e AB, então CB. 
d. Se x A e x B, então AB. 
 
7. Quando temos AB =  , dizemos que A e B são 
disjuntos. Escreva dois conjuntos, A e B, de modo 
que sejam disjuntos. 
 
8. Um conjunto A tem 10 elementos e um conjunto B 
tem 20 elementos. Quantos elementos tem A U B? 
 
9. Se o conjunto A tem 7 elementos, o conjunto B, 4 
elementos e A B tem 1 elemento, quantos 
elementos terá AB? 
 
10. Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {b, c, d} e 
C = {a, c, d, e}, o conjunto 
(A – C) U (C – B) U (A ∩ B ∩ C) é: 
a) {a, b, c, e} 
b) {a, c, e} 
c) A 
d) {b, d, e} 
e) {b, c, d, e} 
 
11. (CESCEM) A = {Ø; a; {b}}, com {b} ≠ a ≠ b ≠ Ø, 
então: 
a) {Ø, {b}} ⊂ A 
b) {Ø, b} ⊂ A 
c) {Ø, {a}} ⊂ A 
d) {a, b} ⊂ A 
d) a) {{a}, {b}} ⊂ A 
 
 
 
6 
12. Numa pesquisa em que foram ouvidas 
crianças, constatou-se que: 
15 crianças gostavam de refrigerante. 
25 crianças gostavam de sorvete 
5 crianças gostavam de refrigerante e de sorvete 
Quantas crianças foram pesquisadas? 
 
13. Em uma escola, 100 alunos praticam vôlei, 150 
futebol, 20 os dois esportes e 110 alunos, nenhum 
esporte. O número total de alunos é 
a) 230 
b) 300 
c) 340 
d) 380 
 
14. Foram instaladas 66 lâmpadas para iluminar 
as ruas A e B, que se cruzam. Na rua A foram 
colocadas 40 lâmpadas e na rua B 30 lâmpadas. 
Quantas lâmpadas foram instaladas no 
cruzamento? 
 
15. Numa concentração de atletas há 42 que 
jogam basquetebol, 28 voleibol e 18 voleibol e 
basquetebol, simultaneamente. Qual é o número 
de atletas na concentração? 
 
16. Uma atividade com duas questões foi aplicada 
em uma classe de 40 alunos. Os resultados 
apontaram que 20 alunos haviam acertado as 
duas questões, 35 acertaram a primeira questão 
e 25, a segunda. Faça o diagrama e calcule o 
percentual de alunos que acertou apenas uma 
questão? 
 
17. No último clássico Corinthians × Flamengo, 
realizado em São Paulo, verificou-se que só foram 
ao estádio paulistas e cariocas e que todos eles 
eram só corintianos ou só flamenguistas. 
Verificou-se também que, dos 100.000 torcedores, 
85.000 eram corintianos, 84.000 eram paulistas e 
que apenas 4.000 paulistas torciam para o 
Flamengo. Pergunta-se: 
a) Quantos paulistas corintianos foram ao 
estádio? 
b) Quantos cariocas foram ao estádio? 
c) Quantos não-flamenguistas foram ao estádio? 
d) Quantos flamenguistas foram ao estádio? 
e) Dos paulistas que foram ao estádio, quantos 
não eram flamenguistas? 
f) Dos cariocas que foram ao estádio, quantos eram 
corintianos? 
g) Quantos eram flamenguistas ou cariocas? 
h) Quantos eram corintianos ou paulistas? 
i) Quantos torcedores eram não-paulistas ou não-
flamenguistas? 
 
18. As marcas de cerveja mais consumidas em um 
bar, num certo dia, foram A, B e S. Os garçons 
constataram que o consumo se deu de acordo com a 
tabela a seguir: 
a) Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia? 
b) Dentre os consumidores de A, B e S, quantos 
beberam apenas duas dessas marcas? 
c) Quantos não consumiram a cerveja S? 
d) Quantos não consumiram a marca B nem a marca 
S? 
 
19. Considere três conjuntos A, B e C, tais que: n(A) 
= 28, n(B) = 21, n(C) = 20, n(A ∩ B) = 8, n(B ∩ C) = 
9, n(A ∩ C) = 4 e n(A ∩ B ∩ C) = 3. Assim sendo, o 
valor de n((A U B) ∩ C) é: 
a) 3 
b) 10 
c) 20 
d) 21 
 
20. Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes 
dados: 
- 600 entrevistados lêem o jornal A. 
- 825 entrevistados lêem o jornal B. 
- 525 entrevistados lêem o jornal C. 
- 180 entrevistados lêem os jornais A e B. 
- 225 entrevistados lêem os jornais A e C. 
- 285 entrevistados lêem os jornais B e C. 
- 105 entrevistados lêem os três jornais. 
- 135 pessoas entrevistadas não lêem nenhum dos 
três jornais. 
 Considerando-se esses dados, é CORRETO 
afirmar que o número total de entrevistados foi: 
 
 
7 
21. O diagrama abaixo destaca a união das 
regiões exclusivas dos conjuntos A, B e C em 
relação aos outros dois. 
 
Usando o mesmo modelo de três conjuntos 
entrelaçados, destaque as regiões: 
a) (A ∩ C) – B 
b) (B ∩ C) ∪ A 
c) [C – (A ∪ B)] ∪ [(A ∩ B) – C] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 GABARITO 
Exercícios de Aplicação 
1- a) V b) V c) F d) V e) F f) F g) V 
 h) F i) F j) F k) V l) F m) V 
 
2- a) F b) F c) F d) V e) V f) V 
 g) V h) V i) F j) V 
 
3- a) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 
 b) A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
 c) A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
 d) A  B = {3, 4, 5} 
 e) A  C = {5} 
 f) A  B  C = {5} 
 g) A – B = {1, 2} 
 h) (A – B) – C = {1, 2} 
 
4- a) {1, 4} b) {5} c) {2, 3, 5} 
 
5- a) Conjunto de todos os homens que não são 
professores. 
 b) Conjunto de todos os homens que não são 
funcionários administrativos. 
 c) 
 
6- a) V b) V c) V d) V 
 
7- A = {x/ x é primo} 
 B = {x/ x é par maior do que dois} 
 
8- 20 ≤ n(A∪ B) ≤ 30 
 
9- 10 
 
10- A 
 
11- A 
 
12- 35 
 
13- C 
 
14- 4 
 
15- 52 
 
16- 50% 
 
21- a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ℕ 
 
Conjunto dos Números Naturais ℕ: é o conjunto 
formado pelos números 0, 1, 2, 3, ... 
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
ℕ* = {1, 2, 3, 4, ...} 
 
Obs.: Quando adicionado o * em qualquer 
conjunto, significa a exclusão do elemento nulo (0). 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ℤ 
 
O conjunto dos números inteiros é infinito e 
pode ser representado da seguinte maneira: 
ℤ = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3,...} 
 
Vamos destacar os subconjuntos notáveis para Z. 
Z+ = Conjuntos dos números inteiros positivos. 
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} = N 
 
Z- = Conjuntos dos números inteiros negativos 
Z- = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0} 
 
Z* = Conjuntos dos números inteiros não nulos. 
Z* = {…,-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, …} 
 
Z*+ = Conjuntos dos números inteiros positivos não 
nulos. 
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, …} = N* 
 
Z*- = Conjuntos dos números inteiros negativos não 
nulos. 
Z*- = {…, -5, -4, -3, -2, -1} 
 
 
Reta numérica 
 
 
Módulo de um número inteiro: o módulo ou valor 
absoluto de um número inteiro n é a sua distância 
até o 0 (zero). 
|n|: módulo de n. 
 
Obs.: No que se segue, usaremos as notações: 
• a > b (lê-se a é maior que b) para indicar que a 
està à direita de b, 
 
• a < b (lê-se a é menor que b) para indicar que a 
está à esquerda de b. 
 
 
 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ℚ 
O conjunto dos números racionais é 
definido da seguinte forma: 
ℚ = {x| x = 
𝒂
𝒃
 ; a ∈ ℤ, b ∈ ℤ, b ≠ 0) 
 
Obs.: Na fração 
𝑎
𝑏
, a é o numerador e b é o 
denominador. Se a e b são primos entre si, isto é, 
se mdc(a,b) = 1, dizemos que 
𝑎
𝑏
 é uma fração 
irredutível. 
 
NÚMEROS IRRACIONAIS 
 
Número Irracional: um número irracional é um número 
que possui representação decimal infinita e não 
periódica. O número dado pela representação decimal 
0,01001000100001 ..., é um número irracional. 
Se quisermos outros números irracionais 
podemos obtê-los, por exemplo, através da expressão 
√𝑝 onde pe é primo e positivo.São irracionais: √2, √3, 
√5, etc. 
Outro recurso para a construção de irracionais é 
usar o fato de que se α é irracional e r é racional não 
nulo então, α + r, α ∙ r, 
r

 e 

r
, são todos irracionais. 
 
NÚMEROS REAISOs Números Reais: o conjunto dos números reais, que 
é denotado por ℝ, é a reunião do conjunto dos números 
racionais com o conjunto dos números irracionais. Os 
elementos de ℝ são 
chamados números reais. 
 
 
 
 
 
 
 
9 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. Efetue as seguintes adições. 
a) 110 + 251. 
b) 225 + 312. 
c) 763 + 249. 
d) 1.258 + 2.407. 
e) 27 + 319 + 1.328. 
 
2. Efetue as subtrações abaixo. 
a) 379 - 125. 
b) 432 - 321. 
c) 1.278 - 1.154. 
d) 411 - 277. 
e) 1.007 - 328. 
f) 1.000 - 872. 
 
3. Efetue: 
a) 234x2. 
b) 129x6. 
c) 23x21. 
d) 341x37. 
 
4. Determine o quociente das divisões a seguir. 
a) 44 : 2. 
b) 69 : 3. 
c) 72 : 4. 
d) 144 : 6. 
 
5. Roberto tinha 35 figurinhas. Deu 7 para André, 12 
para João e ganhou 5 de Tomas. Com quantas figurinhas 
ficou Roberto? 
 
6. Antônio foi ao mercado com 30 reais. Comprou 
biscoito, que custa 2 reais, suco, que custa 4 reais, e 
bombom, que custa 3 reais. Com quanto Antônio voltou 
do mercado? 
 
7. Quando Júlia tinha 7 anos, seu pai tinha 33 anos. Se 
hoje ela tem 11 anos, qual a soma da sua idade com a de 
seu pai? 
 
8. A soma de dois números é 75. Se um deles é 31, qual 
é o outro? 
 
9. Qual a soma de todos os números de três algarismos 
que podem ser formados com os algarismos 1, 5 e 6? 
 
10. Telma comprou uma boneca, usando 50 reais. Se o 
troco foi 13 reais, quanto custou a boneca? 
 
11. Jonas nasceu em 1992. Quantos anos tinha em 
2011? 
 
 
12. Em uma partida de basquete, os ”Abe-lhas” venceram 
os ”Legumes” por uma diferença de 19 pontos. Se os 
”Abelhas” fizeram 104 pontos, quantos pontos fizeram os 
”Legumes”? 
 
13. Em uma sala de aula, cada aluno tem 3 canetas. Se o 
total de alunos é 23, qual o total de canetas nesta sala de 
aula? 
 
14. Jorge fez 7 pilhas de cartas de baralho, cada uma com 
12 cartas. Quantas cartas Jorge usou ao todo? 
 
15. João deu 19 reais para cada um de seus filhos. Quanto 
João tinha se ele possui 4 filhos? 
 
16. Um bairro da cidade tem 17 ruas. Se cada rua tem 41 
casas, qual o total de casas deste bairro? 
 
17. Sara faz, para vender, 27 pães por dia. Quantos pães ela 
faz em uma semana? 
 
18. Observe a multiplicação abaixo: 
7x53 = 7x(50 + 3) 
7x50 + 7x3 
350 + 21 
371. 
 
Efetue usando o modelo: 
a) 5x21. 
b) 8x34. 
c) 9x57. 
d) 6x123. 
 
GABARITO 
Exercícios de Aplicação 
1- a) 361 b) 537 c)1012 
 d) 3665 e) 1674 
2- a) 254 b) 111 c) 124 
 d) 134 e) 679 f) 128 
3- a) 468 b) 774 c) 483 
 d) 12617 
4- a) 22 b) 23 c)18 d) 24 
5- 21 figurinhas 
6- 21 reais 
7- 44 
8- 44 
9- 2664 
10- 37 reais 
11- 19 anos 
12- 85 pontos 
13- 69 canetas 
14- 84 cartas 
15- 76 reais 
16- 697 casas 
17- 189 pães 
18- a) 105 b) 272 c) 513 d) 738 
 
 
10 
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 
 
DIVISIBILIDADE 
Um número inteiro a, com a ≠ 0, 
é divisível por outro número b, se a divisão destes 
números for exata, isto é, possuir resto zero. 
Exemplos: 
 
 2 é divisor de 4, pois 4 ÷ 2 = 2. 
 3 é divisor de 9, pois 9 ÷ 3 = 3. 
 
Para descobrir se algum número é divisível 
ou não por um determinado número podemos 
utilizar algumas regras. Essas regras são 
chamadas de critérios de divisibilidade. 
 
Divisibilidade por 2: Um número natural é 
divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 
4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par. 
Exemplos: 
1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0. 
1) 237 não é divisível por 2, pois não é um 
número par. 
 
Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 
quando a soma dos valores absolutos dos seus 
algarismos for divisível por 3. 
Exemplo: 
234 é divisível por 3, pois a soma de seus 
algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível 
por 3, então 234 é divisível por 3. 
 
Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 
quando termina em 00 ou quando o número 
formado pelos dois últimos algarismos da direita 
for divisível por 4. 
Exemplo: 
1) 1800 é divisível por 4, pois termina em 00. 
2) 4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4. 
3) 1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4. 
4) 3850 não é divisível por 4, pois não termina em 
00 e 50 não é divisível por 4. 
 
Divisibilidade por 5: Um número natural é 
divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5. 
Exemplos: 
1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5. 
2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0. 
3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 
nem em 5. 
 
 
 
 
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 
quando é divisível por 2 e por 3. 
Exemplos: 
1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) 
e por 3 (soma: 6). 
2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) 
e por 3 (soma: 12). 
3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas 
não é divisível por 3). 
4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas 
não é divisível por 2). 
 
Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 
quando termina em 000, ou quando o número 
formado pelos três últimos algarismos da direita for 
divisível por 8. 
Exemplos: 
1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000. 
2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8. 
3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8. 
4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível 
por 8. 
 
Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 
quando a soma dos valores absolutos dos seus 
algarismos for divisível por 9. 
Exemplo: 
1) 2871 é divisível por 9, pois a soma de seus 
algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é 
divisível por 9, então 2871 é divisível por 9. 
 
Divisibilidade por 10: Um número natural é divisível 
por 10 quando ele termina em 0. 
Exemplos: 
1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0. 
2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0. 
 
https://matematicabasica.net/multiplos-e-divisores/
 
 
11 
EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO E DE 
EXAMES 
1. (OBMEP – 2015) O número 4.580.254 é múltiplo 
de 7. Qual dos números abaixo também é múltiplo de 
7? 
a) 4.580.249. 
b) 4.580.248. 
c) 4.580.247. 
d) 4.580.246. 
e) 4.580.245. 
 
2. (OBMEP – 2015) Cinco dados foram lançados e a 
soma dos pontos obtidos nas faces de cima foi 19. Em 
cada um desses dados, a soma dos pontos da face de 
cima com os pontos da face de baixo é sempre 7. Qual 
foi a soma dos pontos obtidos nas faces de baixo? 
a)10. 
b)12. 
c)16. 
d)18. 
e)20. 
 
3. (OBMEP – 2015) Qual é o algarismos das 
unidades do número 
1x3x5x7x9x11x13x15x17x19 - 2015? 
A) 0. 
B) 1. 
C) 5. 
D) 6. 
E) 8. 
 
4. (OBMEP – 2015) Os 1.641 alunos de uma escola 
devem ser distribuídos em salas de aula para a prova da 
OBMEP. As capacidades das salas disponíveis e suas 
respectivas quantidades estão informadas na tabela 
abaixo: 
 
Capacidade por sala Quantidade de salas 
 
30 alunos 30 
40 alunos 12 
50 alunos 7 
55 alunos 4 
 
Qual é a quantidade mínima de salas que devem ser 
utilizadas para essa prova? 
A)41. 
B)43. 
C)44. 
D)45. 
E)47 
 
5. (OBM – 2015) Para cortar um tronco reto de eucalipto 
em 6 partes, o madeireiro Josué faz 5 cortes. Ele leva meia 
hora para fazer os cortes, que são feitos sempre da mesma 
maneira. Quanto tempo Josué levará para cortar outro 
tronco igual em 9 pedaços? 
A) 40 min. 
B) 44 min. 
C) 45 min. 
D) 48 min. 
E) 54 min. 
 
6. (OBM – 2015) Joana fez uma compra e, na hora de 
pagar, deu uma nota de 50 reais. O caixa reclamou, dizendo 
que o dinheiro não dava. Ela deu mais uma nota de 50 e o 
caixa deu um troco de 27 reais. Então Joana reclamou, 
corretamente, que ainda faltavam 9 reais de troco. Qual era 
o valor da compra? 
a) 52. 
b) 53. 
c) 57. 
d) 63. 
e) 64. 
 
7. (CN) Para registrar o resultado da operação 2101.597,o 
numero de dígitos necessários é: 
A) 96. 
B)97. 
C)98. 
D)99. 
E)100. 
 
8. (OBM 2016) Jaci entrega jornais numa rua na qual os 
números das casas têm exatamente dois algarismos e 
ambos são impares, como por exemplo, 37. No domingo 
passado ela entregou jornais em 18 casas. No máximo, 
quantas casas não receberam jornal? 
a) 1. 
b) 3. 
c) 5. 
d) 7. 
e) 9. 
 
9. (OBM – 2016) Janaína escreveu uma lista de 10 números 
inteiros positivos no quadro-negro e obteve todas as somas 
possíveis de dois desses números, verificando que todas 
eram diferentes. O número de somas pares que ela obteve 
era igual a quatro vezes o número de somas ímpares. Qual 
é a maior quantidade de números pares que poderia haver 
na lista de Janaína? 
a)1. 
b)3. 
c)5. 
d)7. 
e)9. 
 
 
 
12 
10. (CN) Um número natural de 6 algarismos começa, 
à esquerda, pelo algarismo 1. Levando-se este 
algarismo, para o último lugar, à direita, conservando a 
sequência dos demais algarismos, o novo número é o 
triplo do número primitivo. O número primitivo é: 
a) 100.006. 
b) Múltiplo de 11. 
c) Múltiplo de 4. 
d) Múltiplo de 180.000. 
e) Divisível por 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de Aprofundamento e de Exames 
1) B 2) C 3) A 4) B 5) D 
6) E 7) D 8) D 9) E 10) B 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. Assinale a alternativa verdadeira. 
a) todo número divisível por 2 também é divisível por 4. 
b) todo número divisível por 8 também é divisível por 2. 
c) existe número ímpar que é divisível por 2. 
d) todo número cujo algarismo das unidades é 3 é 
divisível por 3. 
e) se a soma dos algarismos de um número é divisível por 
7, então esse número é divisível por 7. 
 
2. Qual dos números abaixo é divisível por 5? 
a)32. 
b)33. 
c)35. 
d)36. 
e)38. 
 
3. Qual dos números abaixo é divisível por 3 
a) 361. 
b) b)364 
c) c)365. 
d) d)368. 
e) e)369. 
 
4. No quadro abaixo, marque um X nas casas 
correspondentes aos divisores (que estão na linha superior) 
de cada número (que estão na coluna da esquerda). 
 
 
Divisores 2 3 5 6 9 
 
264 
 
315 
 
1461 
 
3258 
 
 
5. Qual é o menor número de 4 algarismos múltiplo de 9? 
 
6. Quantos são os possíveis valores para A e B, para que 
444A4B seja divisível por 9? 
 
7. Um livro possui 100 páginas numeradas de 1 a 100. 
Camila leu somente as páginas com números múltiplos de 
2, 3, 5 e 7. Quantas páginas ficaram sem ser lidas? 
 
8. Quantos números de 3 algarismos são pares, múltiplos 
de 11 e divisíveis por 13 existem? 
 
 
 
 
 
 
13 
9. Chamamos de ano bissexto os anos que são 
divisíveis por 4 e, terminando em dois zeros, também 
devem ser divisíveis por 400. Por, exemplo, 2000 e 
2016 são bissextos, mas 2017 e 2100, não são. Quantos 
serão os anos bissextos no terceiro milênio? 
 
10. Uma escola tem 100 alunos e 100 armários 
numerados de 1 a 100. Inicialmente, todos os armários 
estão fechados. O primeiro aluno passa e abre todos os 
armários; o segundo passa e fecha todos os pares; o 
terceiro passa e muda a posição de todos os múltiplos 
de 3, ou seja, os que estão abertos ele fecha e os que 
estão fechados ele abre; o quarto aluno muda a posição 
de todos os armários que são múltiplos de 4; e assim 
por diante até o centésimo aluno, que muda a posição 
dos armários múltiplos de 100. Depois da passagem de 
todos os alunos, quantos armários ficam fechados? 
 
11. (CM – RJ 2015) O menor número natural que 
devemos subtrair de 12.272, de modo que o resultado 
seja divisível por 9 e por 11 ao mesmo tempo: 
a) é menor do que 20. 
b) está entre 20 e 40. 
c) está entre 40 e 60. 
d) está entre 60 e 80. 
e) é maior do que 80. 
 
 
12. Cinco amigas ganham um pacote de balas e 
começam a dividir: uma para Alice, uma para Bia, 
uma para Carla, uma para Dani e uma para Esmeralda; 
novamente uma para Alice, uma para Bia, uma para 
Carla, uma para Dani e uma para Esmeralda; e assim 
por diante até que termine as 1.786 balas que haviam 
no pacote. Qual das cinco meninas recebeu a última 
bala? 
a) Alice. 
b) Bia. 
c) Carla. 
d) Dani. 
e) Esmeralda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
Exercícios de Aplicação 
1- B 
2- C 
3- E 
4- 
 
 
 
 
 
 
 
 
5- 1008 
6- 11 
7- 22 páginas 
8- 3 
9- 242 
10- 90 
11- E 
12-A 
 
 
14 
MÚLTIPLOS E DIVISORES 
Vamos começar observando algumas divisões. 
 
 
Valem as seguintes relações para esses números: 
14 = 5・2 + 4, 
12 = 3・4 + 0, 
15 = 4・3 + 3 e 
18 = 6・3 + 0. 
 
Em geral, em uma divisão, onde b ≠ 0, 
 
a, b, q e r são chamados dividendo, 
divisor, quociente e resto, 
respectivamente, e vale a seguinte 
relação 
 
a = b・q + r, onde 0 ≤ r < b. 
 
Obs.: Quando uma divisão é exata, o resto r é igual 
a zero então a = b・q. 
 
Neste caso, dizemos que a é múltiplo de b, ou que 
a é divisível por b, ou ainda que b divide a. 
 
 
NÚMEROS PRIMOS 
Quando um número natural tem exatamente dois 
divisores, ele é chamado número primo. Se um 
número natural diferente de 0 e de 1 não é primo, 
dizemos que ele é composto. 
 
Obs.: Quando 1 é o único divisor comum de dois 
ou mais números naturais, não todos nulos, 
dizemos que estes números são primos entre si, ou 
relativamente primos. 
 
 
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS 
Ao decompor um número em fatores 
primos, você deverá observar os critérios de 
divisibilidade para escolher o primeiro número 
primo como divisor. 
Exemplo 1. Decompor em fatores primos o 
número 12. 
 
Podemos, então, escrever 12 = 2x2x3. 
Exemplo 2. Vejamos agora um número maior. 
Decompor 360 em fatores primos. 
 
 
 
 
 
15 
MMC e MDC 
 
MMC (Mínimo Múltiplo Comum): considerando-se 
vários números naturais, eles possuem uma 
infinidade de múltiplos comuns e o menor deles é 
denominado mínimo múltiplo comum (o zero está 
excluído). 
 
MDC (Máximo Divisor Comum): Considerando-se 
vários números naturais, eles podem possuir 
alguns divisores comuns, dentre os quais, o maior 
é denominado máximo divisor comum e 
representa-se por m.d.c. (o número de divisores é 
sempre um número finito, maior ou igual a 1). 
 
Para determinarmos o MMC e o MDC de vários 
números, devemos colocar todos os números na 
forma fatorada. Após este procedimento podemos 
estabelecer: 
2) o mdc dos números é o produto de todos os 
fatores comuns às fatorações com os menores 
expoentes com os quais eles se apresentam nas suas 
respectivas decomposições. 
 
3) o mmc dos números é o produto de todos os 
fatores existentes nas decomposições, comuns ou 
não, considerados com os maiores expoentes com os 
quais eles se apresentam nas suas respectivas 
decomposições. 
 
Exemplo: Consideremos os números A, B e C já 
faorados: 
A = 23x3x52 
B = 22x5x7 
C = 24x32x53 
Teremos que: 
MDC(A, B, C) = 22x5 
 
MMC(A, B, C) = 24x32x53x7 
 
 
M.D.C pelas divisões sucessivas 
 
 Consistem em ir dividindo até obter uma 
divisão exata. Efetua-se a divisão seguindo do 
maior para o menor. 
Veja o MDC de 66 e 40: 
 
 
Observação (utilizado somente para a prova do 
colégio naval): O método das divisões sucessivas 
é conhecido também como Algoritmo de Euclides e 
se baseia em várias divisões até obter um resto 
nulo. Há uma regra importante: 
“Se não encontrar um resto zero, obtêm-se uma 
sequência decrescente de infinitos números não 
nulos, todos menores que n. Porém, isso é 
impossível já que existem apenas n – 1 números 
naturais não nulos, todos menores que n.” 
 
 
Regra importante: 
M.D.C(a,b) x M.M.C(a, b) = a x b 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO E DE EXAMES 
1. (UTFPR 2015) O cometa Azul passa pela Terra de 12 
em 12 anos e o cometa Verde, de 15em 15 anos. Esses 
dois cometas passaram pela Terra em 2014.Assinale a 
alternativa que representa o ano em que os dois cometas 
passarão juntos pela Terra novamente 
a) 2134 
b) 2064 
c) 2084 
d) 2020 
e) 2041 
 
2. (UTFPR 2014) Luizinho ficou doente e teve que 
tomar 3 antibióticos diferentes. O antibiótico “A” ele 
toma de 3 em 3 horas, o “B” de 4 em 4 horas e o “C” de 
6 em 6 horas. Se ele começar a tomar os remédios ao 
meio dia, assinale a alternativa que apresenta o horário 
que ele tomará os 3 remédios juntos 
a) 24 horas 
b) 14 horas 
c) 13 horas 
d) 12 horas 
e) 3 horas 
 
3. (CN 2013) Sabendo que 2x ∙ 34x+y ∙ (34)y é o menor 
múltiplo de 17 que pode-se obter para x e y inteiros não 
negativos, determine o número de divisores positivos da 
soma de todos os algarismos desse número, e assinale a 
opção correta. 
a) 12 
b) 10 
c) 8 
d) 6 
e) 4 
 
4. (ENEM – 2015) Um arquiteto está reformando uma 
casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide 
reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele 
dispõe de 40 tábuas de 540cm, 30 de 810cm e 10 de 
1080cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu 
a um carpinteiro que cortasse as tábuas em peças de 
mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que 
as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, 
mas de comprimento menor que 2m. Atendendo o pedido 
do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir: 
a) 105 peças. 
b) 120 peças. 
c) 210 peças. 
d) 243 peças. 
e) 420 peças. 
 
 
 
 
5. (CM – Fortaleza 2014) Da rodoviária da cidade de 
Alegrelândia, saem ônibus de 75 em 75 minutos para a cidade 
de Vila Feliz e de 2 em 2 horas com destino à cidade de Boa 
Esperança. 
Em um determinado dia, às 8 horas da manhã, dois ônibus 
saem juntos, um para cada cidade. Qual é a diferença entre o 
número de viagens realizadas para Vila Feliz e para Boa 
Esperança até o próximo horário em que dois ônibus sairão 
juntos novamente da rodoviária de Alegrelândia, um para 
cada cidade? 
a) 3. 
b) 5. 
c) 6. 
d) 8. 
e) 9. 
 
6. (CM – Fortaleza 2014) D. Laura quer decorar a maior 
quantidade possível de caixas com fitas azuis, brancas e 
vermelhas. Para decorar uma caixa, D. Laura utiliza 2 pedaços 
de fita azul, 4 pedaços de fita branca e 5 pedaços de fita 
vermelha, sendo que todos esses pedaços têm o mesmo 
tamanho. No momento, D. Laura dispõe de 28 metros de fita 
azul, 48 metros de fita branca e 60 metros de fita vermelha, 
que serão cortados em pedaços com o maior tamanho 
possível, de modo que não haja sobra. Com essas quantidades 
de fitas, pode-se afirmar que D. Laura poderá decorar a maior 
quantidade possível de caixas e sobrará(âo) apenas fita(s): 
a) branca. 
b) vermelha. 
c) azul. 
d) branca e vermelha. 
e) azul e branca. 
 
7. (CM – Brasília 2015) Cristina vai comemorar o 
aniversário de 5 anos de seu filho, Pedro, com uma festinha 
na escola dele. Para montar as sacolinhas surpresa, que as 
crianças levam para casa, Cristina, que é dona de uma 
papelaria, colocará os seguintes materiais escolares: lápis, 
borrachas, apontadores e cartelas de adesivos. Ela verificou 
que dispunha, em sua papelaria, de 156 lápis, 130 borrachas, 
78 apontadores e 52 cartelas de adesivos. Sabendo-se que foi 
utilizado todo o material disponível, e que foi feito o maior 
número possível de sacolinhas, todas com a mesma 
quantidade de material, pode-se afirmar que, em cada 
sacolinha, a quantidade de: 
a)cartelas de adesivos é igual a um quarto da quantidade de 
lápis. 
b) borrachas é igual à quantidade de apontadores mais uma 
unidade. 
c) lápis é igual ao dobro da quantidade de apontadores. 
d) apontadores é igual à quantidade de cartelas de adesivos 
mais duas uniades. 
e) cartelas de adesivos é igual à metade da quantidade de 
borrachas. 
 
 
 
 
17 
8. Determinar o menor número que dividido por 24, 30 
e 45, deixa resto 11, 17 e 32 respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
9. Determine o maior número pelo qual se deve dividir 
1207 e 803 para obtermos os restos 7 e 3, 
respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de Aprofundamento e de Exames 
1) A 2) A 3) C 4) E 5) A 
6) C 7) C 8) 347 9) 400 
 
 
18 
OPERAÇÕES 
 
POTENCIAÇÃO 
 
A potenciação indica multiplicações de 
fatores iguais. Por exemplo, o produto 3.3.3.3 pode 
ser indicado na forma 43 . Assim, o símbolo na , 
sendo a um número inteiro e n um número natural 
maior que 1, significa o produto de n fatores iguais 
a a: 

fatores n
n aaaaa .......
 
 
a é a base; 
n é o expoente; 
o resultado é a potência. 
 
Cuidado com os sinais. 
Número negativo elevado a expoente par fica 
positivo. Exemplos: 
 
  1622222
4
 
  9333
2
 
 
Número negativo elevado a expoente ímpar 
permanece negativo. Exemplo: 
  2222
3


 
  24 8 
 
Quadro Resumo das Propriedades 
 
0;1
1
.).(
.
0 
















aa
a
a
aa
b
a
b
a
baba
aa
a
a
a
aaa
n
n
m
n
m n
m
mm
mmm
nmnm
nm
n
m
nmnm
 
RADICIAÇÃO 
 
A radiciação é a operação inversa da 
potenciação. De modo geral podemos escrever: 
 1nenabba nn  
 
4224 2  pois 
 8228 33  pois 
 
Na raiz n a , temos: 
O número n é chamado índice; 
O número a é chamado radicando. 
 
Propriedades: 
 
n
p
n p aa  
 
aaaa 1n
n
n n  
 
nnn baba  
 
n
n
n
b
a
b
a
 
 
  n
mm
n
m
n
m
n
m
n bbbbb 







1
11
1
 
nmn m aa 
 
 
Obs.: O número b = 216 · 34 · 512 · 718 é um 
quadrado perfeito, pois os expoentes de sua 
representação como produto de potências de 
primos distintos são todos pares. Além disso, 
a = √ b = 28 · 32 · 56 · 79 . O número inteiro a, por 
sua vez, não é um quadrado perfeito, pois um dos 
expoentes de sua representação como produto 
potências de primos distintos é ímpar: o expoente 
9 do primo 7. 
 
 
 
19 
FRAÇÕES 
 
Operações com Números Racionais 
 
 
 
 
 
 
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
Uma expressão algébrica é o resultado de um 
número finito de operações (escolhidas dentre 
adição, subtração, multiplicação, divisão, 
potenciação e radiciação) entre variáveis, 
sempre que os resultados de tais operações 
fizerem sentido no conjunto R dos números reais. 
As expressões algébricas serão denotadas por 
letras maiúsculas: E, F, G, etc. São exemplos de 
expressões algébricas: 
32
2
5
3 yxE  e 
122
3 32



ba
bca
F 
 
Valores numéricos de uma expressão: um 
valor numérico de uma expressão algébrica é o 
número real obtido quando atribuímos valores 
(números reais) às variáveis que compõem a 
expressão. 
 
REPRESENTAÇÃO DE MULTIPLICAÇÕES 
NA FORMA DE POTÊNCIA 
Muita vezes a decomposição mostra uma 
fatoração como 2 x 2 x 2 x 2 ou 3 x 3. Em 
Matemática é usual representar essas 
multiplicações da seguinte forma: 
a) 2 x 2 x 2 x 2 = 24 . Lê-se dois elevado à quarta 
potência. 
Atenção! Esse resultado não é 8 e sim, 16. Muito 
cuidado. 
 
b) 3 x 3 = 32 . Lê-se três elevado à segunda 
potência ou três elevado ao quadrado. 
O resultado é 9. 
 
c) 4 x 4 x 4 = 43 . Lê-se quatro elevado à terceira 
potência ou quatro elevado ao cubo. 
OBSERVAÇÕES. 
1) Somente as potências 2 e 3, possuem nomes 
especiais de quadrado e cubo. 
 
2) No caso de aparecer somente um fator primo, a 
potência é considerada 1. Exemplos: representamos 3 = 
31, 5 = 51, 10 = 101. É desnecessário utilizar a potência 
1. Ela será considerada no caso do cálculo dos divisores. 
 
Voltando à decomposição em fatores primos de 360, 
podemos escrever na forma de potência como: 
360= 23 x 32 x 5 
 
O procedimento que permite calcular os divisores 
consiste em somar 1 a cada potência e multiplicar esses 
resultados. No caso do fator 5, lembre que sua potência 
é 1. 
360 = 2(3+1) x 3(2+1) x 5(1+1) 
Multiplicando as somas, temos: (3+1) x (2+1) 
x (1+1) = 4 x 3 x 2 = 24 divisores. Confira com os 
divisores que você encontrou. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. (CPM 2014) O dobro de 2222é : 
a) 2²²³ 
b) 2444 
c) 4²²² 
d) 4444 
 
2. (CPM 2012) Considere as igualdades : 
( 3 + 5)² = 3² + 5² 
(10² )³ = 105 
7 . 7² = 7³ 
100 = 0 
Quantas são verdadeiras? 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
3. Calcule o valor das expressões: 
a) 35. 
b) 22 + (-3)2. 
c) (-5)4. 
d) (-2)3 + (-3)3. 
 
4. Escreva como um única potência: 
a) 
3
26
16
84 
 
b) 
23)32( 
c) 
47
35
1010
101010




 
d) 83 : 2-5. 
 
5. (CN 2015) O número de divisores positivos de 102015 
que são múltiplos de 102000 é: 
A) 152 
b) 196 
c) 216 
d) 256 
e) 276 
 
6. (FUVEST) Qual a metade de 
222 ? 
 
7. Simplificando-se  
2342 obtém-se: 
a)
68 
b) 
242 
c) 
816 
d) 
362 
e) 
2122 
 
 
 
8. (Cesgranrio) O número de algarismos do produto 517× 49 
é igual a: 
a) 17 
b) 18 
c) 26 
d) 34 
e) 35 
 
9. (Mack) O número de algarismos do produto 
515. 46 é: 
a) 21 
b) 15 
c) 18 
d) 17 
e) 23 
 
10. (IBMEC) Os astrônomos estimam que, no universo 
visível, existem aproximadamente 100 bilhões de galaxias, 
cada uma com 100 bilhões de estrelas. De acordo com estes 
números, se cada estrela tiver, em média, 10 planetas a sua 
volta, então existem no universo visível aproximadamente 
1012 planetas. 
1017 planetas. 
1023 planetas. 
10121 planetas. 
10220 planetas 
 
11. Qual dos números a seguir é o maior? 
a) 345 
b) 920 
c) 2714 
d) 2439 
e) 8112 
 
12. (PUC-SP-2005) Se N é o número que resulta do cálculo 
de 219 . 515 , então o total de algarismos que compõem N é: 
A) 17 
B) 19 
C) 25 
D) 27 
E) maior do que 27. 
 
 
GABARITO 
Exercícios de Aplicação 
1– A 
2- B 
3- a) 243 b) 13 c) 625 d) -35 
4- a) 26 b) -245 c) 106 d) 213 
5- 256 
6- 221 
7- D 
8- B 
9- B 
10- C 
11- E 
12- A 
 
 
21 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. O ano bissexto possui 366 dias e sempre é múltiplo 
de 4. O ano de 2012 foi o último bissexto. Porém, há 
casos especiais de anos que, apesar de múltiplos de 4, 
não são bissextos: são aqueles que também são 
múltiplos de 100 e não são múltiplos de 400. O ano de 
1900 foi o último caso especial. A soma dos algarismos 
do próximo ano que será um caso especial é: 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
 
2. Num país, a eleição para presidente ocorre a cada 5 
anos e para prefeito, a cada 4 anos. Se em 2012 houve 
coincidência das eleições para esses cargos, qual o 
próximo ano em que elas voltarão a coincidir? 
 
3. Coloque V (verdadeiro) ou F (falso) para cada 
afirmação abaixo: 
( ) a decomposição em fatores primos de 300 é 
2 x 2 x 3 x 5 x 5. 
( ) a decomposição em fatores primos de 100 é 
2 x 2 x 2 x 5. 
( ) a decomposição em fatores primos de 38 é 
2 x 2 x 7. 
( ) a decomposição em fatores primos de 56 é 
2 x 2 x 2 x 7. 
( ) a decomposição em fatores primos de 350 é 
2 x 3 x 3 x 5 x 7. 
 
4. Coloque V (verdadeiro) ou F (falso); 
( ) Todo número natural é múltiplo de 1. 
( ) Todo número natural é múltiplo de zero. 
( ) O número zero é múltiplo de todos os números. 
( ) O conjunto dos múltiplos de 3 é o conjunto dos 
números ímpares. 
( ) Todo número primo é ímpar. 
( ) Alguns números primos são ímpares. 
( ) 1 é primo e ímpar. 
( ) Todo número múltiplo de 4 é múltiplo de 2. 
( ) Todo múltiplo de 2 e 5 tem como algarismos das 
unidades o 0. 
 
5. Determine o conjunto dos divisores naturais de: 
a) 12. 
b) 24. 
c) 30. 
 
 
6. Qual a quantidade de divisores de: 
a) 60?. 
b) 121?. 
c) 120?. 
d) 72? 
e) 164? 
f) 225? 
 
7. Quantos divisores tem o produto A x B, sendo 
A = 2 x 32 x 11 e B = 23 x 112? 
 
8. Qual dos números abaixo é divisível por 18? 
a)325. 
b)336. 
c)354. 
d)368. 
e)396. 
 
9. Determine o maior número de 3 algarismos que é 
divisível por 12. 
 
10. A forma fatorada de um número é 23x32x112. Quantos 
divisores tem este número? 
 
11. Uma professora leva para a sala de aula uma caixa com 
24 bombons. Ela quer distribuir estes bombons de maneira 
que cada aluno receba a mesma quantidade de bombons e 
também que não sobre nem um bombom com ela. Quantas 
são as possíveis quantidades de alunos em sala para que isso 
aconteça? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
Exercícios de Aplicação 
1- A 
2- 2032 
3- V F F V F 
4- V F V F F V F V V 
5- a) {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
 b) {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. 
 c) {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}. 
6- a) 12 b) 3 c) 16 
 d) 12 e) 6 f) 9 
7- 60 
8- E 
9- 996 
10- 36 
11- 8 
 
 
22 
 RAZÃO 
 É o quociente entre dois números 
b
a
= 𝑘 
Aplicação: 
Escala = 
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑝𝑎
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙
 
 
Velocidade média = 
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜
 
 
Densidade = 
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
 
 
 
 
 
PROPORÇÃO 
 Chama-se proporção a igualdade de duas 
ou mais razões. 
b
a
 = 
d
c
 = k 
a e c → antecedentes 
b e d → consequentes 
k → constante de 22roporcionalidade 
 
Propriedade Fundamental das Proporções: “O 
produto dos extremos é igual ao produto dos 
meios”. Essa propriedade é comumente chamada 
de multiplicação cruzada. Vejamos: 
b
a
 = 
d
c
 
a.d = b.c 
Duas grandezas são diretamente 
proporcionais quando, ao se multiplicar o valor 
de uma delas por um número positivo, o valor da 
outra é multiplicado por esse mesmo número 
positivo. 
K=
f
c
=
e
b
=
d
a
 
Propriedade: 
f+e+d
c+b+a
=
f
c
=
e
b
=
d
a
 
 
 
 
 
 
 
 
Duas grandezas são inversamente 
proporcionais quando, ao se multiplicar o valor 
de uma delas por um número positivo, o valor da 
outra é dividido por esse mesmo número positivo. 
 
K=cf=be=ad 
 
 
Propriedade: 
 
 
Obs.: Dados os números positivos a e b, 
chamamos média geométrica entre a e b o 
número positivo x que verifica a proporção 
contínua 
x
a
 = 
b
x
. 
 
 
 
23 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. O dono de uma revenda de veículos tem um total de 
77 automóveis. A razão entre veículos novos e usados é 
de (4:3). Quantos são os carros novos? 
 
2. Em uma conferência, a razão entre brasileiros e 
estrangeiros era de (7 : 9). Se haviam 80 pessoas nessa 
reunião, quantos eram os brasileiros? 
 
3. Um caminhão pode levar 300 sacos de cimento ou 
7290 tijolos. Se o veículo já foi carregado com 100 sacos 
de cimento, quantos tijolos ainda poderemos colocar? 
 
4. Uma escala E pode ser definida pela fórmula: 
E = 
D
d
, na qual d é o comprimento de algum elemento 
ou a distância entre objetos no mapa e D o tamanho real 
em centímetros, acompanhada do e (erro gráfico, cujo 
cálculo é feito como e = 0,02 ∙ D milímetros). 
 
a) As dimensões de um avião em um mapa são 24 cm 
de comprimento e 19 cm de largura. As dimensões reais 
são 36 metros de comprimento e 28,5 de largura. Qual a 
escala e o erro gráfico desse mapa? 
 
b) Uma estrada de 120km foi representada num mapa 
por um segmento de reta de 6cm. Qual o comprimento 
no mapa de outra estrada, paralela à inicial, de 85 km? 
 
c) Uma casa com área total de 240m2 foi representada 
numa maquete numa escala de 1:400. A sala de jantar 
na maquete da casa tem dimensões 0,75 cm e 1,25 cm. 
Qual a razão entre a área total da casa e a área da sala 
jantar? 
 
5. Uma planta de uma casa foi desenhada em escala1 : 
50. Qual o comprimento de uma parede que tem 8cm de 
comprimento na planta? 
 
6. Os comprimentos de dois postes estão entre si assim 
como 3 está para 5. Sabendo-se que o menor deles mede 
6m, então o maior mede: 
a) 20m. 
b) 18m. 
c) 15m. 
d) 12m. 
e) 10m. 
 
7. Denomina-se velocidade média Vm como a razão 
entre a distância d percorrida e o tempo t gasto para 
percorrê-la, ou seja, Vm = 
t
d
. 
a) João percorreu 450 km em 5 horas. Qual foi a sua 
velocidade média? 
 
b) O maratonista Dennis Kimetto correu por 
aproximadamente 42km em quase duas horas. Qual foi sua 
velocidade média? 
 
8. Sabendo que velocidade média é a razão entre a distância 
percorrida e o intervalo de tempo do percurso. Determine a 
velocidade média nas situações abaixo. 
a) Uma viagem de 300 quilômetros que demorou 6 horas. 
 
b) Uma caminhada de 800 metros até a padaria que demorou 
25 minutos. 
 
c) Uma corrida de 100 metros em 10 segundos. 
 
9. O consumo médio Cm é a razão entre a distância d 
percorrida e o consumo de combustível g gasto para percorrer 
essa distância, ou seja, Cm = 
g
d
. 
a) Maria foi de Salvador até Maceió (582km) no seu carro. 
Foram gastos nesse percurso 48,5 litros de combustível. Qual 
foi o consumo médio do carro de Beatriz? 
 
b) José foi de Salvador até Feira de Santana no seu carro em 
4 horas com um consumo médio de 56 km/l. Foram gastos 
nesse percurso 2 litros de combustível. Qual foi a velocidade 
média entre Salvador e Feira de Santana? 
 
10. Densidade demográfica D é a razão entre o número de 
habitantes n e a área A que é ocupada por eles, ou seja, D =
A
n
. A Região A tem área de 10000 km2 e população de 98000 
habitantes e a Região B possui área de 8000 km2 e população 
de 82000 habitantes. Nestas condições, calcule a densidade 
demográfica de cada uma das regiões e conclua qual é a mais 
densamente povoada. 
 
11. A densidade demográfica de um país, de uma cidade ou 
de qualquer região é calculada através da razão entre a 
quantidade de pessoas que habitam esta localidade e sua área. 
Determine a densidade demográfica dos países abaixo. (Seus 
valores estão aproximados) 
a) França: 60 milhões de habitantes em 500 mil 
quilômetros quadrados. 
 
b) Portugal: 10 milhões de habitantes em 100 mil quilômetros 
quadrados. 
 
c) Reino Unido: 60 milhões de habitantes em 250 mil 
quilômetros quadrados. 
 
d) Bélgica: 12 milhões de habitantes em 30 mil quilômetros 
quadrados. 
 
e) Mônaco: 30 mil habitantes em 2 quilômetros 
quadrados. 
 
 
24 
f) Brasil: 200 milhões de habitantes em 8 milhões de 
quilômetros quadrados. 
 
12. (IFPE (PE) - 2015) Sabe-se que a distância real, em 
linha reta, de Recife para Vitória de Santo Antão é igual 
a 45 quilômetros. Um estudante do IFPE, ao analisar um 
mapa, constatou com sua régua que a distância entre 
essas duas cidades era de 5 centímetros. De acordo com 
o texto, o mapa observado pelo estudante está em qual 
escala? 
 
13. Uma biblioteca precisa encadernar alguns livros. 
Uma oficina pode encadernar estes livros em 30 dias, 
outra em 45 dias. Em quantos dias estas oficinas podem 
cumprir a tarefa se trabalharam ao mesmo tempo? 
 
14. Um grupo de pessoas foi dividido em duas metades. 
Na primeira metade, a razão do número de homens para 
o mulheres é de 1 para 2, na segunda metade, a razão do 
número de mulheres para o de homens é de 2 para 3. No 
grupo todo, qual a razão do número de mulheres para o 
de homens? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
Exercícios de Aplicação 
1- 44 
2- 35 
3- 4680 tijolos 
4- a) E = 1/150 e e = 30mm 
 b) E = 1/2000000 e e = 170000mm 
 c) x = 3m e y = 5m; r = 240/15 = 16 
5- 4 metros 
6- E 
7- a) 90km/h b) 21km/h 
8- a) 50km/h b) 32m/min c) 10m/s 
9- a) Cm = 12km/ℓ b) Vm = 20km/h 
10- DA = 9,8 pessoas/km2 
 DB = 10,25 pessoas/km2 
11- a) 120 hab/km2 b) 100 hab/km2 
 c) 240 hab/km2 d) 400 hab/km2 
 e) 1500 hab/km2 f) 25 hab/km2 
12- 1:900000 
13- 18 dias 
14- 8/7 
 
 
25 
REGRA DE TRÊS 
 
Regra de três é um método de resolução de 
problemas que envolvem grandezas 
proporcionais. 
“A solução dos problemas de regra de três tem 
como base a utilização da “propriedade 
fundamental das proporções” e a “quarta 
proporcional”. 
 
Regra de três simples permite encontrar um 
quarto valor que não conhecemos em um 
problema, dos quais conhecemos apenas três 
deles. Assim, encontraremos o valor desconhecido 
a partir dos três já conhecidos. 
 
Ex1.: Um conjunto de três impressoras industriais, 
todas iguais, é capaz de imprimir 2400 folhas em 
uma hora, caso as três máquinas trabalhem juntas. 
Quantas folhas serão produzidas se utilizássemos 
sete dessas impressoras? 
 
7
3
 = 
x
240
 → x = 
3
2407 
 = 7 ∙ 800 = 5600. 
Portanto, sete iguais impressoras trabalhando 
juntas produziriam 5600 folhas por hora. 
 
Ex2.: Cinco homens levam 20 dias para construir 
um telhado. Quanto tempo um conjunto de oito 
homens levaria para realizar este mesmo serviço? 
Admita que, todos os trabalhadores envolvidos em 
ambas as situações têm capacidades de trabalho 
equivalentes. 
 
 
Obs.: Para indicar que as duas variáveis são 
inversamente proporcionais, colocamos duas 
setas, uma para cima e outra para baixo, ao lado 
de cada um dos nomes. 
8
5
 = 
20
x
 → x = 
8
205 
 = 
8
100
 = 13,5. 
 
Portanto, serão necessários treze dias e meio para 
terminar o telhado. 
 
 
Regra de três composta, na matemática, é a forma 
de encontrar um valor desconhecido quando 
conhecemos três ou mais grandezas diretamente ou 
inversamente proporcionais. 
 
Ex1.: (OBM). Um galão de mel fornece energia 
suficiente para uma abelha voar 7 milhões de 
quilômetros. Quantas abelhas iguais a ela 
conseguiriam voar mil quilômetros se houvesse 10 
galões de mel para serem compartilhados entre elas? 
 
Agora fazemos a primeira equação igual ao produto 
das demais: 
x
1
 = 
10
1
 ∙ 
6107
1000

 → x = 
1000
10710 6
 = 70 000 
 
Portanto, teríamos um total de 70:000 abelhas. 
 
Ex2.: Em uma empresa de construção, 20 caminhões 
são capazes de descarregar 160m3 de areia em oito 
horas. Quantos caminhões serão necessários para 
descarregar 125m3 de areia em cinco horas? 
 
A partir daí podemos montar a equação de 
proporcionalidade: 
x
20
 = 
125
160
 ∙ 
8
5
 → x = 25 
 
http://www.matematicadidatica.com.br/RegraDeTres.aspx
 
 
26 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. Um atleta dá 6 volta numa pista, mantendo velocidade 
constante, em 24 minutos. Quantas voltas ele dará em 
duas horas? 
 
 
 
 
 
 
 
2. Parque Eólico de Osório é uma usina de produção de 
energia eólica na cidade de Osório, no Rio Grande do 
Sul, com 150 aerogeradores de 2 Megawatts (MW) 
cada. Se forem instalados mais 40 aerogeradores de 
mesma potência, qual será o novo total de Megawatts do 
Parque? 
 
 
 
 
 
 
 
3. (ESA) Dez pessoas realizam um trabalho em 15 dias. 
Qual o número de dias em que seis pessoas, com igual 
força de trabalho, fariam o mesmo trabalho? 
 
 
 
 
 
 
 
4. (PUC – RJ) Duas torneiras jogam água em um 
reservatório, uma na razão de 1 m3 por hora e a outra na 
razão de 1 m3 a cada 6 horas. Se o reservat ório tem 14 
m3, em quantas horas ele estará cheio? 
 
 
 
 
 
 
 
5. Na travessia Rio-Niterói há barcas com viagens que 
duram 20 minutos e aerobarcos com travessias de 15 
minutos. Qual o horário do encontro entre a barca que 
sai às 10 h e o aerobarco das 10 : 04h, ambos partindo 
do Rio? 
 
 
 
 
 
 
6. (FUVEST) Um automóvel, modelo flex, consome 34 
litros de gasolina para percorrer 374 km. Quando se opta 
pelo uso do álcool,o automóvel consome 37 litros deste 
combustível para percorrer 259 km. Suponha que um litro 
de gasolina custe R$ 2,20. Qual deve ser o preço do litro do 
álcool para que o custo do quilômetro rodado por esse 
automóvel, usando somente gasolina ou somente álcool 
como combustível, seja o mesmo? 
 
 
 
 
 
 
 
7. (UNEMAT – MT) José e Pedro decidiram fazer uma 
viagem de férias para o litoral brasileiro. José, que já havia 
feito este percurso, afirmou que rodando uma média de 8 
horas por dia a uma velocidade média de 60 km/h, tinha 
levado 6 dias para completá-lo. Pedro comprometeu-se a 
dirigir 9 horas por dia à velocidade média de 80 km/h. 
Considerando que Pedro vá dirigindo, qual a quantidade de 
dias, que levarão para completar o percurso da viagem? 
 
 
 
 
 
 
 
8. Empregando 3 equipes, consegue-se construir 5 km de 
estrada em 7 dias, trabalhando 8 horas por dia. Usando 4 
equipes, durante 10 dias, mas trabalhando apenas 6 horas 
por dia, quantos km de estrada serão construídos? 
 
 
 
 
 
 
 
9. Dois tanques, em forma de blocos retangulares, têm o 
mesmo volume. O primeiro tem 1,2 m de profundidade e sua 
tampa mede 18 metros quadrados. O segundo tem 2 metros 
de profundidade. Qual deve ser a medida da 
tampa para cobri-lo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
10. Um muro de 12 metros foi construído utilizando 
2160 tijolos. Caso queira construir um muro de 30 
metros nas mesmas condições do anterior, quantos 
tijolos serão necessários? 
 
 
 
 
 
 
 
11. Após o término do vestibular, uma equipe de 10 
professores gastou 24 dias para corrigir as provas. 
Considerando a mesma proporção, quantos dias levarão 
30 professores para corrigir as provas? 
 
 
 
 
 
 
 
12. Um acidente num navio deixou cinco náufragos à 
deriva, com comida suficiente para alimentálos por 18 
dias. Dois deles resolveram saltar e tentar chegar em 
terra nadando. Com dois náufragos a menos, qual será a 
duração dos alimentos? 
 
 
 
 
 
 
 
13. Uma empresa tem 750 funcionários e comprou 
marmitas individuais congeladas suficientes para o 
almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse 
mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já 
adquiridas seria suficiente para quantos dias? 
 
 
 
 
 
 
 
14. Um pintor utilizou 18 litros de tinta para pintar 60 
m2. Quantos litros de tinta serão necessários para pintar 
450 m2, da mesma forma como foram pintados os 60 
m2? 
 
 
 
 
 
 
15. Um galpão pode ser construído em 48 dias por 7 
pedreiros que trabalham num certo ritmo. Como ele deve ser 
construído em 2 semanas, no mesmo ritmo de trabalho, 
quantos pedreiros serão necessários? 
 
 
 
 
 
 
 
16. Em uma disputa de tiro, uma catapulta, operando durante 
6 baterias de 15 minutos cada, lança 300 pedras. Quantas 
pedras lançará em 10 baterias de 12 minutos cada? 
 
 
 
 
 
 
 
17. (ESA) Para armar um circo, 50 homens levam 2 dias, 
trabalhando 9 horas por dia. Com a dispensa de 20 homens, 
em quantos dias o circo será armando, trabalhando-se 10 
horas por dia? 
 
 
 
 
 
 
 
18. (CM – Brasília) Uma montadora recebeu a encomenda 
de 40 carros. A montadora trabalhou durante 5 dias, 
utilizando 6 robôs, de mesmo rendimento, que trabalham 8 
horas por dia para atender esta encomenda. Uma outra 
encomenda foi feita, para montar 60 carros, mas um dos 
robôs apresentou defeito e não pôde começar esse trabalho. 
Para atender o segundo pedido, foi preciso trabalhar 12 
horas por dia. Qual o número de dias de trabalho na fábrica 
foram necessários para cumprir os dois pedidos? 
 
 
 
 
 
19. (ENEM 2012) Uma mãe recorreu à bula para verificar a 
dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na 
bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 
2 kg de massa corporal a cada 8 horas. Se a mãe ministrou 
corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, 
então qual a massa corporal dele? 
 
 
 
 
 
28 
20. (UNCISAL – AL) Tanto no basquete masculino 
como no feminino a altura dos aros das cestas é 3,05 m. 
Por sua vez, a altura da rede do voleibol masculino é 
2,43 m e do feminino 2,24 m. Se as regras do basquete 
respeitassem as diferenças de gênero da mesma forma 
que as regras do voleibol respeitam e a altura da cesta 
do masculino fosse mantida, qual seria a altura da cesto 
do basquete feminino? 
 
 
 
 
 
 
 
21. (IFSP – 2015) Um cano de escoamento, cuja secção 
transversal tem 5 cm2 de área, esvazia um reservat ório 
de água em 4 horas. Em quanto tempo se esvaziaria esse 
mesmo reservatório se o cano de escoamento tivesse 12 
cm2 de área? 
 
 
 
 
 
 
 
22. (PUC – CAMPINAS 2015) Para fazer a 
digitalização de 30 páginas, um estagiário leva 28 
minutos. Se o estagiário trabalhar durante suas 4 horas e 
40 minutos de expediente com o dobro dessa velocidade 
de digitalização, nesse expediente de trabalho, quantas 
páginas ele será capaz de digitalizar? 
 
 
 
 
 
 
 
 
23. Um livro tem 150 páginas, cada página tem 36 
linhas, e cada linha 50 letras. Se quisermos escrever o 
mesmo texto em 250 páginas, quantas letras haverá em 
cada linha para que cada página tenha 30 linhas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24. (UEG – GO) Um trator, ao ser puxado por cinco homens 
durante 30 minutos, percorre uma distância de 125 metros. 
Em quanto tempo o mesmo trator percorrerá a distância de 
150 metros ao ser puxado por quatro homens? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25. (UFAM – 2015) Em uma fábrica 12 máquinas 
produziram 120 peças em 4 dias. Qual o tempo necessário 
para que 8 máquinas iguais às primeiras produzam 300 
peças? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26. (UNIFOR – CE 2015) Numa editora, 10 digitadores 
trabalhando 8 horas por dia, digitaram 
5
2
 de um 
determinado livro em 10 dias. Então 2 digitadores foram 
deslocados para outro serviço, e os restantes passaram a 
trabalhar apenas 6 horas por dia na digitação desse livro. 
Mantendo-se a mesma produtividade para completar a 
digitaçao do referido livro, após o deslocamento dos 2 
digitadores, quantos dias a equipe remanescente terá de 
trabalhar? 
 
 
 
 
 
 
 
 
27. Um pequeno barco a vela, com 7 tripulantes, 
deve atravessar o oceano em 42 dias. Seu suprimento de 
água potável permite a cada pessoa dispor de 3,5 litros de 
água por dia (e é isso o que os tripulantes fazem). Após 12 
dias de viagem, o barco encontra 3 náufragos numa jangada 
e os acolhe. Pergunta-se: 
a) Quantos litros de água por dia caberão agora a cada 
pessoa se a viagem prosseguir como antes? 
 
 
 
 
 
 
29 
b) Se os 10 ocupantes de agora continuarem consumindo 
3,5 litros de água cada um, em quantos dias, no máximo, 
será necessário encontrar uma ilha onde haja água? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28. (IFPE – 2015) Numa fazenda há 5 cavalos que 
consomem 300 kg de ração em 6 dias. Suponha que 
todos eles consomem por dia a mesma quantidade de 
ração. Com apenas 240 kg de ração, por quantos dias, 
12 cavalos iguais aos dessa fazenda seriam alimentados? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29. (USP – 2014) A fábrica do Sr. Eusébio possui 12 
máquinas, de mesmo tipo e capacidade, que usualmente 
executam determinada tarefa em 16 dias, funcionando 6 
horas por dia. Como quatro dessas máquinas ficaram 
inutilizadas, as restantes passaram a ser colocadas em 
funcionamento 8 horas por dia. Nessas condições, em 
quanto tempo a mesma tarefa será realizada? 
 
 
 
 
 
 
 
30. Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de 
areia ou 400 tijolos. Se foram colocados no caminhão 32 
sacos de areia, quantos tijolos pode ainda ele carregar? 
 
 
 
 
 
 
 
31. (IFSP – 2015) Para abrir uma valeta de 300 m de 
comprimento por 2 m de profundidade e 80 cm de largura, 
25 operários do Serviço de Águas e Esgotos levaram 40 
dias. Se o número de operários é diminuído em 20%, a 
profundidade da valeta aumentada em 50% e a larguradiminuída em 25%, quantos dias são necessários para abrir 
160 m de valeta? 
 
 
 
 
 
 
 
32. (PAPMEM – 2013.2) Um fazendeiro, na safra passada, 
usou 12 camponeses para cortar sua plantação de cana de 
120 hectares. Os trabalhadores concluíram o serviço em 7 
dias, trabalhando 6 horas por dia. Este ano, o fazendeiro 
plantou 180 hectares e precisa fazer o corte de plantação em 
5 dias. Com este objetivo, já fez um acordo com os 
trabalhadores para que eles trabalhem 8 horas por dia, mas 
viu que a equipe de 12 homens usada no anterior não era é 
suficiente. Quantas pessoas a mais devem ser contratadas? 
 
 
 
 
 
 
 
33. Certo trabalho é feito por 16 tratores iguais em 10 dias, 
cada um deles trabalhando 10 horas por dia. Após dois dias 
de trabalho , 6 tratores apresentaram defeitos, não podendo 
mais serem utilizados. Determinar o número de horas por 
dia que deverão trabalhar os demais tratores, prevendo que 
ocorrerá um atraso de 8 dias para o término do trabalho. 
 
 
 
 
34. Para executar certa obra em 19 dias, uma firma de 
construção contrata 15 operários. Transcorrido 13 dias, 5 
deles abandonaram o serviço, e não foram substituídos 
durante 3 dias. Com quantos operários deverá a firma atacar 
a obra a partir do décimo sétimo dia para concluí-la no prazo 
pré-fixado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
35. José é 50% mais eficiente do que João. Se João 
executa uma tarefa em 12 horas, em quanto tempo esta 
mesma tarefa deverá ser executada por José? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36. Um grupo de 15 bombeiros parte em uma expedição, 
com mantimentos para 20 dias. Passados 5 dias, um 
novo grupo de 10 bombeiros, sem mantimentos, se junta 
ao anterior. Quantos dias durarão os mantimentos, 
contados a partir da chegada do novo grupo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
Exercícios de Aplicação 
1- 30 voltas 
2- 380 MW 
3- 9 horas 
4- 12 horas 
5- 10 : 16 h. 
6- R$1,40 
7- 4 dias 
8- 7km e 143 m 
9- 10,8 m2 
10- 540 tijolos 
11- 8 dias 
12- 20 dias 
13- 15 dias 
14- 135 m2 
15- 24 pedreiros 
16- 400 pedras lançadas 
17- 3 dias 
18- 11 dias 
19- 12kg 
20- x ≅ 2,81 metros 
21- 1hora e 40 minutos 
22- 600 páginas 
23- 36 letras por linha 
24- 45 minutos 
25- 15 dias 
26- 25 dias 
27- a) 2,45 litos b) 21 dias 
28- 2 dias 
29- 18 dias 
30- 144 tijolos 
31- 30 dias 
32- 7 pessoas 
33- 8 horas de trabalho por dia 
34- 3 dias 
35- 8 horas 
36- 9 dias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Parte da matemática que envolve cálculos, 
operações e ideias utilizadas em contextos 
monetários, de compra, investimento, descontos, 
juros, entre outras ideias. 
PORCENTAGEM 
 
Porcentagem ou razão centesimal são as razões 
cujo termo consequente é igual a 100. 
Representamos a porcentagem através do 
símbolo “%”. 
1) 10% é o mesmo que 0,10 (10 centésimos). 
2) 
2
1
= 
10
5
=
100
50
= 50%. 
3) 
4
1
= 
100
25
= 25%. 
4) Temos também a fração 
100
100
 = 1 = 100%. 
Portanto, o número 1 representa uma determinada 
totalidade. 
 
 
JUROS SIMPLES E 
JUROS COMPOSTOS 
 
Juros Simples: no regime de juros simples, se i é 
a taxa de juros por unidade de tempo (que pode 
ser dia, mês ou ano, conforme acordado pelas 
partes envolvidas na negociação) e t é o número 
de unidades de tempo que durou a aplicação (i.e., 
o número de dias, meses ou anos), temos a 
seguinte relação entre o valor final (VF) e o valor 
inicial (VI): 
 
 
A fórmula para calcular os juros simples é: 
j = C.i.t 
Sendo que: 
j = juros, 
C = capital inicial, 
i = taxa, 
t = tempo. 
 
Juros Compostos: No regime de juros 
compostos, se i é a taxa de juros por unidade de 
tempo (dia, mês, ano) e t é o número de unidades 
de tempo que durou a aplicação, temos a seguinte 
relação entre o valor final (VF) e o valor inicial (VI): 
 
Ou ainda, 
A fórmula para calcular os juros compostos é: 
M = C. (1 + i)t, 
em que: 
M = montante 
C = capital 
i = taxa 
t = tempo 
 
 
http://www.matematicadidatica.com.br/Porcentagem.aspx
 
 
32 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. Um investidor quer aplicar a quantia de R$ 800,00 por 
3 meses, a uma taxa de 8% ao mês (a.m.) em juros 
simples, para retirar no final deste período. Quanto ele 
irá retirar? 
 
 
 
 
 
 
2. Qual é a taxa mensal de juros simples que faz um 
capital de R$ 9500,00 produzir um montante de R$ 
11900,00 ao fim de 1 ano de aplicação? 
 
 
 
 
 
 
3. O preço à vista de um eletrodoméstico é R$ 350,00. 
Dando-se uma entrada de R$ 80,00, o restante será pago 
com um cheque com vencimento para 3 meses depois da 
compra incluindo um acréscimo de juros simples de 4% 
ao mês. Qual será o valor do cheque? 
 
 
 
 
 
 
4. Esmeraldino aplicou R$ 800,00, a juros simples, a 
uma taxa de 2,5% ao mês e, ao final de um certo tempo, 
recebeu R$ 1080,00. Quanto tempo ela deixou o 
dinheiro aplicado a essa taxa? 
 
 
 
 
 
 
5. Determine quanto renderá, em juros simples, um 
capital de R$ 60000,00 aplicado à taxa de 24% ao ano, 
durante sete meses. 
 
 
 
 
 
 
6. A que taxa mensal de juros simples um capital de R$ 
500,00, aplicado durante 10 meses, produz R$ 150,00 de 
juros? 
 
 
 
7. Mário devia, em seu cartão de crédito, R$ 2000,00. Como 
não conseguiu pagar, em dois meses essa dívida aumentou 
para R$ 2880,00. Nesse caso, qual foi a taxa de juros simples 
cobrada mensalmente pelo cartão de crédito? 
 
 
 
 
 
 
8. Um certo capital foi aplicado por 5 meses. Ao fim desse 
prazo, só de juros simples, o aplicador recebeu o triplo do 
dinheiro. Qual é a taxa mensal dessa aplicação? 
 
 
 
 
 
 
 
9. Por um empréstimo de R$ 80000,00, à taxa de i% ao mês, 
paga-se, de uma única vez, após 2 meses, o montante de R$ 
115200,00. Por terem sido aplicados juros compostos, qual 
a taxa mensal aplicada? 
 
 
 
 
 
 
 
10. Um capital quadruplica em 2 meses ao se utilizar de 
capitalização composta. Qual a taxa mensal aplicada? 
 
 
 
 
 
 
11. Uma aplicação de R$ 3000,00 rendeu R$ 2370,00 em 10 
meses. Qual a taxa mensal composta de juros dessa 
operação? 
 
 
 
 
 
 
12. O preço do cento de laranja teve dois aumentos 
consecutivos: 10% e 20%. Se hoje o cento da laranja custa 
R$5,28, determine o seu preço antes dos aumentos. 
 
 
 
 
 
33 
13. O preço de certa mercadoria sofre anualmente um 
acréscimo de 100%. Supondo que o preço atual seja R$ 
100,00, qual o preço daqui a 3 anos? 
 
 
 
 
 
 
 
14. João fez um empréstimo de R$ 800,00 em uma 
financeira, que cobra uma taxa de juros de 10% ao mês, 
comprometendo-se a saldar a dívida em dois meses. No 
fim do primeiro mês, Pedro pagou à financeira uma 
parcela de R$ 580,00. Assim sendo, qual o valor que 
ficará para João pagar ao final do segundo mês? 
 
 
 
 
 
 
15. Maria pegou no banco um empréstimo de R$ 
2000,00, que cobra uma taxa de juros de 5% ao mês, 
comprometendo-se a saldar a dívida em quatro meses. 
No fim do primeiro mês, Maria pagou uma parcela de 
R$ 600,00. No fim do segundo mês, ela pagou R$ 
575,00. No fim do terceiro mês, pagou R$ 550,00. 
Assim sendo, qual o valor que ficará para Maria pagar 
ao final do quarto mês? 
 
 
 
 
 
16. Duas pessoas fizeram um empréstimo de uma 
mesma quantia por dois meses, nas seguintes condições: 
i) A primeira, a juros compostos de 2% a.m. 
ii) A segunda, a juros simples de x% a.m. 
Sabendo-se que, ao quitar à dívida, as duas pagaram o 
mesmo valor, qual o valor de x? 
 
 
 
 
 
 
17. Uma pessoa aplicou metade do seu capital à taxa de 
30% ao semestre no regime de juros compostos e a outra 
metade à taxa de 27% ao quadrimestre no sistema de 
juros simples e obteve ao final de um ano um montante 
de R$ 4200,00. Qual o capital inicial desta pessoa? 
 
 
 
 
18. Uma quantia de x reais foi aplicada a juros compostosde 1% ao mês. Ao final de 10 meses, foi feito o resgate total 
da aplicação, obtendo-se y reais. Qual a razão 
x
y
? 
 
 
 
 
 
 
19. (UNEB) Um investidor fez uma aplicação a juros simples 
de 10% mensal. Depois de dois meses, retirou capital e juros 
e os reaplicou a juros compostos de 20% mensal, por mais 
dois meses e, no final do prazo, recebeu R$ 1728,00. Qual o 
valor do capital inicial? 
 
 
 
 
 
 
20. (UFPA) Daqui a seis meses você deve saldar uma dívida 
de R$ 520,00. Que importância deve aplicar hoje ao juro 
simples de 5% ao mês para que, no prazo devido, você esteja 
com a quantia devida? 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
Exercícios de Aplicação 
1- 992 reais 
2- 2/95 ≅ 2,11% 
3- 302,40 reais 
4- 14 meses 
5- 8400 reais 
6- 3% am 
7- 22% 
8- 60% 
9- 20% 
10- 100% 
11- i = √1,7910
 - 1 
12- 4 reais 
13- 800 reais 
14- 330 reais 
15- 525 reais 
16- x = 2,02 
17- C = 1200 e 2C = 2400 
18- (1,01)10 
19- 1000 reais 
20- C = 400 
 
 
34 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
 
Equação é toda sentença matemática aberta que 
exprime uma relação de igualdade. 
A equação do primeiro grau é escrita na forma de 
“ax + b = 0”, 
onde “a” e “b” são números reais com a ≠ 0 e x é a 
incógnita. 
Método de resolução. 
Consiste em isolar a incógnita. Para isto, toda vez 
que “trocar” o número perante a igualdade, inverte-
se a operação. 
Obs.: Os elementos do conjunto verdade de uma 
equação são chamados raízes da equação. 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 
Alguns problemas de matemática são 
resolvidos a partir de soluções comuns a duas 
equações do 1º grau a duas variáveis. 
Nesse caso, diz-se que as equações 
formam um sistema de equações do 1º grau a 
duas variáveis, que se indica escrevendo as 
equações abrigadas por uma chave. 
 
Um sistema linear de equações do 1º grau (ou 
simplesmente um sistema linear) com duas 
equações e duas incógnitas é um conjunto 
formado por duas equações lineares (ou de 1º 
grau), em que 
cada uma dessas equações possui duas 
incógnitas. Portanto, qualquer sistema de 
equações do 1º grau com duas equações e duas 
incógnitas deve ter a seguinte forma: 
{
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓
 
 
O Método da Adição 
 O método da adição para a resolução de 
sistemas lineares consiste em adicionar membro a 
membro as equações do sistema, previamente 
multiplicadas por constantes reais adequadas, 
com o objetivo de diminuir a quantidade de 
incónitas. 
 
O Método da substituição 
O método da substituição consiste em 
isolar o valor de uma das incógnitas em uma das 
equações e substituir esta incógnita nas outras 
equações, de modo que a quantidade de 
incógnitas e de equações diminua. Em particular, 
quando o sistema possui duas incógnitas, apenas 
uma substituição é suficiente para resolvê-lo. 
 
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU 
 
 
Toda inequação do 1° grau com uma variável pode ser 
transformada numa equivalente da forma: 
 ax + b > 0 
 ax + b < 0 
 ax + b  0 
 ax + b  0 
 
sendo a  R* e b  R. 
 
Na inequação utilizaremos os símbolos: 
 > (Leia-se: Maior que) 
 < (Leia-se: Menor que) 
 ≥ (Leia-se: Maior ou igual) 
 ≤ (Leia-se: Menor ou igual) 
 
Propriedades da inequação do 1º grau 
Resolvemos problemas de inequação isolando a 
variável x na sentença. Então as seguintes 
propriedades são utilizadas. 
Considerando x, y e a números reais: 
1. x < y ⇔ x + a < y + a, ∀a ∈ R 
2. x < y ⇔ ax < ay, se a > 0 
3. x < y ⇔ ax > ay, se a < 0 
 
 
 
 
35 
1. Determine o conjunto solução das equações abaixo, 
sabendo que o conjunto universo é ℕ (conjunto dos 
números naturais). 
a) x – 7 = 0 
b) 
2
x
 = 5 
c) 2x + 6 = 12 
d) –x + 8 = 0 
e) 3x + 9 = 0 
f) x - 
5
2
= 
5
8
 
g) 3x + 15 = 2x + 18 
h) 32 x 
i) 4
5
2

x
 
j) 1263 x 
k) xx 284  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Verifique se 2 é raiz das equações abaixo. 
a) 2x – 4 = 0 
b) 3x + 5 = 11 
c) 3x + 6 = 2x + 8 
d) 
x
12
 = 8 
e) 
4
x
 + 
2
3
 = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Se o dobro de um número é 20, qual é esse número? 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Se um retângulo tem 20cm de comprimento e 100cm2 de 
área, qual a medida de sua largura? 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Quando os gêmeos Anderson e Ricardo nasceram, Maitê 
tinha 7 anos. Qual a idade dos gêmeos, se hoje a soma das 
idades dos três irmãos é 34 anos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Diminuindo-se seis anos da idade de minha filha, 
obtém-se os 
5
3
 de sua idade. Determine a idade de 
minha filha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Sendo o conjunto universo igual ao conjunto dos 
números racionais (U = ℚ), resolva as equações 
seguintes. 
 
 
36 
a) 
3
25
5
1 x
x
x 


 
b) 
5
8
7
5
8 nn
n



 
c) 











 x
x
2
1
3
1
4
1
3
2
2
1
 
d)  52
4
1
8
42
1
3 





 x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Resolva as seguintes equações no conjunto dos 
racionais. 
a) 2(x + 3) = 26. 
b) 4x + 10(x + 1) - 2(x - 2) = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. A soma de dois números naturais consecutivos é 87. 
Determine esses números. 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Determine um número cujo dobro de seu antecessor, 
menos 3 é igual a 25. 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Ricardo tem em seu bolso apenas moedas de 25 e 50 
centavos, num total de 31 moedas. Sabe-se ainda que o 
número de moedas de 25 centavos excede em 5 unidades o 
número de moedas de 50 centavos. Qual a quantia, em reais, 
que Ricardo tem no bolso? 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. 
Algumas, são ocupadas por 4 pessoas, outras, por apenas 2 
pessoas, num total de 28 fregueses. Determine o número de 
mesas ocupadas por 2 pessoas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. A soma de dois números ímpares consecutivos é 64. 
Determine esses dois números. 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. Cláudio e Mário possuem juntos R$240,00. Cláudio 
possui R$90,00 a mais que o dobro da quantia de Mário. 
Quanto possui Cláudio? 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. Nas últimas 3 etapas da volta de Portugal, um ciclista 
percorreu, ao todo, 360km. A primeira etapa tinha 
120km a mais do que a segunda; a última etapa era 
quatro vezes maior que a segunda. Calcule o 
comprimento de cada etapa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
Exercícios de Aplicação 
1- a) x = 7 b) x = 10 c) x = 3 
 d) x = 8 e) x = -3 ∉ ℕ f) x = 2 
 g) x = 3 h) x = 5 i) x = 10 
j) x = 6 k) x = 4 
2- a) Sim b) Sim c) Sim 
 d) Não e) Sim 
3- 10 
4- 5cm 
5- Os gêmeos tem 9 anos e Maitê tem 16 anos. 
6- 15 anos 
7- a) x = -14 b) n = 19/3 c) x = 1/16 d) x = 22 
8- a) 10 b) -7/6 
9- 43 e 44 
10- 15 
11- 11 reais 
12- 10 mesas 
13- 31 e 33 
14- 190 reais 
15- 40km, 160km e 160km 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. Resolva as seguintes inequações. 
a) 2x + 1 < x - 4. 
b) 3x - 4 ≥ 3 - x. 
c) 4(x - 2) + 3(4 - 2x) ≤ x - 5(x + 1). 
d) 03
6
1
3
22
1







x
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Qual é o menor número natural tal que seu dobro seja 
menor que seu quádruplo menos 17? 
 
 
 
 
 
 
 
3. Qual é o maior inteiro que satisfaz a inequação: 
2<
6
5
3

x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Os dois maiores lados de um triângulo medem 6cm e 8cm. 
Quais são as possíveis medidas para o menor lado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Quantos valores naturais são solução para a inequação: 
2 < 4x - 5 ≤ 25? 
 
 
 
 
 
 
 
6. Determine os números inteiros negativos que são 
solução da inequação 2x + 4 > x - 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Sendo U = ℤ, determine o conjunto solução 
da inequação: 
3 ≤ 2x - 1 ≤ 17 
 
 
 
 
38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Jaime vende dois tipos de picolés: de frutas a R$3,00 
cada e de leite a R$4,00 cada. Se em um dia ele vender 
11 picolés defrutas, qual deve ser a menor quantidade 
de picolés de leite que ele tem que vender para que seu 
faturamento seja pelo menos R$100,00? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Telma tirou 6 em matemática no primeiro bimestre; 
5,5 no segundo e 4 no terceiro. Se, para passar de ano, 
sua média deve ser maior ou igual a 5, quanto ela poderá 
tirar no quarto bimestre se a prova vale de 0 a 10 e deve 
ser um número inteiro? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Resolva as seguintes inequações, sendo U = ℚ. 
a) (x - 5)2 ≤ 0. 
b) x2 ≤ 9. 
c) x2 + 13 ≥ 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Uma caixa grande de suco tem 10ℓ. Depois de vender 
vários copos desta caixa, com 250m ℓ cada, Marcos 
percebeu, pela sua experiência, que havia no máximo 2,8 ℓ 
na caixa. Qual a quantidade mínima de copos vendidos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
Exercícios de Aplicação 
1- a) x < -5 b) x ≥ 7/4 c) x ≤ -9/2 d) x ≥ -13 
2- 9 
3- 3 
4- 2 < x < 6 
5- {2, 3, 4, 5, 6} 
6- {-5, -4, -3, -2, -1} 
7- {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
8- 17 
9- 5 
10- a) x = 5 b) -3 ≤ x ≤ 3 c) ∀ x ∈ ℚ 
11- 29 
EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO E DE 
EXAMES 
1. (OBMEP 2005) Usando uma balança de dois pratos, 
verificamos que 4 abacates pesam o mesmo que 9 
bananas e que 3 bananas pesam o mesmo que 2 laranjas. 
Se colocarmos 9 laranjas num prato da balança, quantos 
abacates deveremos colocar no outro prato, para 
equilibrar a balança? 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 5 
e) 6. 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
 
 
 
 
2. (OBMEP 2011) Quando João vai para a escola a pé e 
volta de ônibus, ele gasta uma hora e quinze minutos; 
quando vai e volta de ônibus, ele gasta meia hora. Para 
cada meio de transporte, o tempo gasto na ida é igual ao 
tempo gasto na volta. Quanto tempo ele gasta quando 
vai e volta a pé? 
a) uma hora e meia. 
b) uma hora e quarenta e cinco minutos. 
c) duas horas. 
d) duas horas e quinze minutos. 
e) duas horas e meia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. (OBMEP 2011) Oito vasos iguais, encaixados, 
formam uma pilha de 36cm de altura. Dezesseis vasos 
iguais aos primeiros, também encaixados, formam outra 
pilha de 60cm de altura. Qual é a altura de cada vaso? 
a) 15cm 
b) 16cm 
c) 18cm 
d) 20cm 
e) 22cm. 
 
 
 
 
 
4. (OBMEP 2011) João e Ana são irmãos. João tem cinco 
irmãos a mais do que irmãs. Quantos irmãos Ana tem a mais 
do que irmãs? 
a) 2 
b) 3 
c) 5 
d) 6 
e) 7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. (OBMEP 2012) Uma balança de dois pratos esté 
equilibrada, onde de um lado estão dois copos cheios e do 
outro três copos pela metade. Os copos são idênticos e 
contêm, ao todo, 1400 gramas de farinha. Qual é o peso, em 
gramas de um copo vazio? 
a) 50 
b) 125 
c) 175 
d) 200 
e) 250. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. (OBMEP 2014)Rosa resolveu distribuir R$250;00 para 
seus sobrinhos, dando a mesma quantia inteira (sem 
centavos) para cada um e percebeu que sobrariam R$10;00. 
Então, ela pensou em diminuir em R$1;00 a quantia de cada 
um e descobriu que sobrariam R$22;00. Porém, ela resolveu 
distribuir apenas R$240;00. Quanto ganhou cada sobrinho? 
a) R$5;00 
b) R$10;00 
c) R$12;00 
d) R$15;00 
e) R$20;00 
 
 
 
 
 
 
7. (OBM 2012)Se x, y, a e b são reais positivos tais que 
√𝑥 − 𝑦= a e √𝑥 + √𝑦 = b, determine o valor de √𝑥. 𝑦. 
a) 
2
44
4b
ab 
 
b) 
b
a 2
 
c) 
b
ba 22 
 
d) 
b
1
 
e) 
2a 
 
 
 
 
 
40 
 
 
8. (OBM 2014) As massas de todos os pares possíveis 
formados com 5 estudantes são 90kg, 92kg, 93kg, 94kg, 
95kg, 96kg, 97kg, 98kg, 100kg e 101kg. Qual é a massa 
do estudante de massa intermediária? 
a) 52kg 
b) 51kg 
c) 49kg 
d) 48kg 
e) 46kg. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. (CN 2013) Dado que a e b são números reais não 
nulos, com b diferente de 4a, e tais que 
{
1 + 
2
𝑎𝑏
= 5
5 − 2𝑏²
4𝑎 − 𝑏
= 4𝑎 + 𝑏
 
qual é o valor de 16a4b2 - 8a3b3 + a2b4? 
a) 4 
b) 
18
1
 
c) 
12
1
 
d) 18 
e) 
4
1
. 
 
10. Resolva o sistema de equações 
 2x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 6 
 x1 + 2x2 + x3 + x4 + x5 = 12 
 x1 + x2 + 2x3 + x4 + x5 = 24 
 x1 + x2 + x3 + 2x4 + x5 = 48 
 x1 + x2 + x3 + x4 + 2x5 = 96: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. (EPCAR 2012) Pitágoras e Tales possuem hoje, cada 
um, certa quantia em reais. Se Pitágoras desse para Tales 
R$50;00, eles ficariam com a mesma quantia em reais, cada 
um. Porém, se Tales desse para Pitágoras R$100;00, Tales 
passaria a ter 
4
1
da quantia de Pitágoras. Dessa forma é 
correto afirmar que 
a) a quantia que os dois possuem hoje, juntos, é menor que 
R$600;00. 
b) Pitágoras possui hoje 
3
2
 do que Tales possui. 
c) Tales possui hoje mais de R$220;00. 
d) a diferença entre os valores que eles possuem hoje é 
menor que R$100;00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. (EPCAR 2012) Hoje, dia 29 de julho de 2012, José 
tem o dobro da idade que Luiz tinha quando José tinha 
a idade que Luiz tem. Quando Luiz tiver a idade que 
José tem, a soma das idades deles será 90 anos. Em 29 
de julho de 2017, a razão entre as idades de José e Luiz, 
nessa ordem, será 
a) 
5
6
 
b) 
7
9
 
c)
4
5
 
d)
20
27
 
 
 
 
 
41 
 
 
 
13. (EPCAR 2011) Certo dia, Isabela e Ana Beatriz 
saíram para vender pastéis na praia. Elas tinham juntas 
460 pastéis. No final do dia, verificou-se que Isabela 
conseguiu vender 
5
3
 dos pastéis que levara e Ana 
Beatriz, 
8
5
 dos pastéis que levara. Ao final do dia, o 
número de pastéis que restou para Ana Beatriz era a 
metade do número de pastéis que restou para Isabela. Se 
Ana Beatriz, levou x pastéis para vender, então a soma 
dos algarismos de x é 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
 
 
 
 
 
 
14. (CN 2012) Na fabricação de um produto é utilizado 
o ingrediente A ou B. Sabe-se que, para cada 100kg do 
ingrediente A devem ser utilizados 10kg do ingrediente 
B. Se, reunindo xkg do ingrediente A com ykg do 
ingrediente B resulta 44000g do produto, então 
a) yx = 260 
b) √𝑥𝑦 = 5√10 
c) √𝑦𝑥10
 = 256 
d) √𝑥𝑦4
 = 20 
e) √
𝑦
𝑥
 = 2√5 
 
 
15. Calcule 
y
x
, sabendo que {
𝑥 + 
1
𝑦
= 4
𝑦 + 
1
𝑥
= 
1
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16. (Olimpíada Russa 1946) Resolva o sistema de 
equações abaixo: 
x1 + x2 + x3 = 6 
x2 + x3 + x4 = 9 
x3 + x4 + x5 = 3 
x4 + x5 + x6 = -3 
x5 + x6 + x7 = -9 
x6 + x7 + x8 = -6 
x7 + x8 + x1 = -2 
x8 + x1 + x2 = 2: 
 
 
 
 
 
 
 
17. (UTFPR 2013) Numa gincana os participantes devem 
responder 15 questões. Para cada acerto ganham 4 pontos e 
para cada erro perdem 3 pontos. Qual o número de acertos 
de um participante que fez 25 pontos 
a) 5 
b) 7 
c) 8 
d) 10 
e) 12 
 
 
 
 
 
 
 
18. (CPM 2015) Em um estacionamento, há 21 veículos 
entre motos e carros num total de 66 rodas. Quantos 
carros e quantas motos há no estacionamento? 
a) 11 carros e 10 motos 
b) 12 carros e 9 motos 
c) 10 carros e 11 motos 
d) 13 carros e 8 motos 
 
 
19. (CPM 2015) Sabendo que o par ordenado (x,y) é a 
solução do sistema ao lado determine o valor de x : y 
{
𝑥
2
+
𝑦
3
=
4
3
2𝑥 − 𝑦
3
−
𝑥 + 3𝑦
5
= 0
 
a) −
1
2
 
b) 
2
3
 
c) 
1
2
 
d) 2 
 
 
 
 
 
42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20. (EPCAR 2014) Há dois anos Letícia tinha 
1
6
 da idade 
que seu pai tem hoje. Daqui a um ano Letícia terá 
1
4
 da 
idade atual de sua mãe. Hoje a soma das idades dos três 
é igual ao menor número natural de três algarismos 
distintos divisível por 3. Os irmãos gêmeos de Letícia 
têm hoje a metade da idade que Letícia terá daqui a oito 
anos. Atualmente, a soma das idades dos três irmãos é: 
a)24 
b)26 
c)28 
d)30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
 
Exercícios de Aprofundamento e de Exames 
1- E 
2- C 
3-A 
4- E 
5- D 
6- E 
7- A 
8- D 
9- E 
10- x1 = -25, x2 = -19, x3 = -7, x4 = 17, x5 = 65 
11- A 
12- B 
13- B 
14- C 
15- 16 
16- x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, 
 x5 = -4, x6 = -3, x7 = -2, x8 = -1 
17- D 
18- B 
19- 
20- C 
 
 
 
43 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
Produtos notáveis são identidades algébricas 
que merecem ser destacadas por conta da grande 
frequência com que aparecem quando operamos 
com expressões algébricas. 
 
1 – Quadrado da soma e quadrado da 
diferença de dois termos 
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2 
 
2 – Quadrado da soma de três termos 
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + xz + yz) 
 
3 – Produto da soma pela diferença 
(x + y) (x – y) = x2 – y2 
 
4 – Cubo da soma e cubo da diferença de dois 
termos 
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 
(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 
 
5 – Cubo da soma de três termos 
(x + y + z)3 = x3 + y3 + z3 + 3(x+y)(x+z)(y+z) 
 
6 – Soma e diferença de cubos 
x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2) 
x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2) 
 
FATORAÇÃO 
 
FATORAÇÃO: FATOR COMUM EM 
EVIDÊNCIA 
 
Pôr um fator comum em evidência, significa 
utilizar a propriedade distributiva da multiplicação 
em relação à adição para fatorar uma expressão 
algébrica que é dada por uma soma de monômios, 
em que existe um fator comum a todos esses 
monômios. Por exemplo, pondo o fator comum 
3 em evidência na expressão 3x + 9, obtemos 
3x + 9 = 3 · x + 3 · 3 = 3(x + 3), 
sendo esta última uma forma fatorada de 3x + 9. 
 
O polinômio x² + 2x possui forma fatorada, veja: 
x² + 2x = x (x + 2) 
 
 
 
 
 
 
FATORAÇÃO: AGRUPAMENTO 
Agrupamento é o método pelo qual simplificamos uma 
expressão algébrica, agrupando os termos 
semelhantes (termos em comum). Ao usarmos o 
método do agrupamento, necessitamos fazer uso da 
fatoração: termo comum em evidência. 
Observe no exemplo a seguir: 
4x² + 8x + 6xy + 12y 
Termo comum em evidência em cada agrupamento: 
4x² + 8x (8 = 4*2) e 6xy + 12y (12 = 6*2) 
4x(x + 2) + 6y(x + 2) 
Colocamos novamente em evidência, pois os termos 
4x e 6y possuem termos em comum. 
(4x + 6y) (x + 2) 
 
FATORAÇÃO – DIFERENÇA DE DOIS 
QUADRADOS: (PRODUTO DA SOMA PELA 
DIFERENÇA) 
 
A fatoração pela diferença de dois quadrados só 
poderá ser usada quando: 
- Tivermos uma expressão algébrica com dois 
monômios (sejam binômios). 
- Os dois monômios sejam quadrados. 
- A operação entre eles for de subtração. 
Veja alguns exemplos de expressões algébricas que 
seguem esse modelo: 
• a2 – 1, a expressão algébrica tem apenas dois 
monômios, os dois estão ao quadrado e entre eles há 
uma operação de subtração. 
A2 – 1 = (a +1)(a – 1) 
 
 
Fatoração: Trinômio do Quadrado Perfeito 
Ele só pode ser utilizado quando a expressão 
algébrica for um trinômio (polinômio com três 
monômios) e esse trinômio formar um quadrado 
perfeito. 
O que é trinômio? 
Trinômio é um polinômio que tem três monômios sem 
termos semelhantes. 
O que é quadrado perfeito? 
Para melhor entender o que é quadrado perfeito, veja: 
Podemos considerar um número sendo quadrado 
perfeito? Sim, basta que esse número seja o resultado 
de outro número elevado ao quadrado, por exemplo: 
25 é um quadrado perfeito, pois 52 = 25. 
 
 
 
44 
Como identificar um trinômio quadrado 
perfeito 
Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele 
deve ter algumas características: 
• Dois termos (monômios) do trinômio devem ser 
quadrados. 
• Um termo (monômio) do trinômio deve ser o 
dobro das raízes quadradas dos dois outros 
termos. 
 
FRAÇÃO ALGÉBRICA 
 
Uma fração algébrica é uma expressão algébrica 
da forma 
Q
P
, em que P e Q são polinômios e Q 
não é identicamente nulo. 
 
 
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS 
A simplificação de frações é feita dividindo 
o numerador e o denominador pelo mesmo 
número, isto seria o mesmo que eliminar todos os 
fatores comuns, obtendo uma fração mais simples 
e equivalente. Observe o exemplo: 
 
 
 
Com base nesse mesmo procedimento, 
simplificamos frações algébricas que apresentam 
fatores em comum. 
 
 
 
Para serem desenvolvidas, algumas 
simplificações requerem, primeiramente, o uso de 
técnicas de produtos notáveis e fatoração. 
 
Fator comum em evidência 
 
 
Diferença entre dois quadrados 
 
 
 
 
 
Agrupamento e fator comum em evidência 
 
 
Trinômio quadrado perfeito 
 
 
 
 
45 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. Simplifique as frações algébricas a seguir. 
a) 
xyz
yzx
12
24 2
 
b) 
ba
ba
2
23
3
3


 
c) 
2
32
16
32
qp
pq
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Simplifique as frações algébricas abaixo: 
a) 
1
2


y
yy
 
b) 
1
122


x
xx
 
c) 
22
22
2 baba
ba


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. A fração algébrica 
62
186


x
x
 pode ser reduzida a um 
número inteiro. Que número é esse? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Faça as multiplicações solicitadas, simplificando 
os resultados. 
a) 
3
42
10
3
4
5
x
y
y
x
 
b) 
4
8
4
2
2
x
x
x
 
c) 
3
2
3
2
3
4
8
3
k
nm
mn
k
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Resolva as divisões abaixo, simplificando os 
resultados. 
a) 
ba
ba
a
ba



 22
2
 
b) 
42
2 aaa 
 
c) 
82
2
4
42





x
x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Simpifique a expressão: 
3
22
2
2
33
2
2
3
3












ba
xy
ba
yx
 
 
 
 
 
 
46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Simplifique as expressões: 
a) 
3 2464x 
b) 4 284 zyx 
c) x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO E DE 
EXAMES 
1. Qual o valor da expressão 
1
12


a
a
, sendo a = 2017? 
a) 1004. 
b) 2004. 
c) 2016. 
d) 2017. 
e) 2018. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Sendo 1989a = 13 e 1989b = 17, determine o valor de 
  








b
ba
12
1
117 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Qual é o valor da expressão 
2015
120162 
 
a) 1003. 
b) 2003. 
c) 2015. 
d) 2016. 
e) 2017. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. (OBM 2016) Determine o valor da expressão 
222
13
201620151
12015


 
a) 1006. 
b) 1007. 
c) 1008. 
d) 2014. 
e) 2015. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
5. Quantos são os números naturais n tais que 
8
125


n
n
 
é também um número natural? 
a) 4. 
b) 5. 
c) 6. 
d) 7. 
e) 8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. O maior inteiro n, tal que 
5
372


n
n
, também inteiro, 
tem como soma dos seus algarismos um valor igual a: 
a) 6. 
b) 8. 
c) 10. 
d) 12. 
e) 14. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Determine o valor da expressão abaixo quando 
a = 2014 e n = 1000. 
1
1
na
+ 
1
1
1 na
+ ... + 
1
1
1 a
 + 
1
1
0 a
+ 
1
1
na
+ 
11
1
 na
+ ...+ 
1
1
1 a
 
a) 10002013 
b) 20131000 
c) 2013 
d) 
2
2001
 
e) 1000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Simplifique a expressão: 
20031001
10012002
20031001
10012003
34
92
34
92





. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Calcule o valor da expressão 
3 6
035 20153
...333,1
...333,5
229  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
 
48 
Exercícios de Aplicação 
1- a) 2x b) ab c) 2pq 
2- a) y b) x – 1 c) 
ba
ba


 
3- 3 
4- a) 
x
y
8
3 3
 b) 
2
x
 c) 
22kn
m
 
5- a) 
a2
1
 b) 
1
2
a
 c) 2(x – 2) 
6- 
43
8
y
x
 
7- a) 22x4 b) xy2z1/2 c) x1/8 
 
Exercícios de Aprofundamento e de Exames 
1- E 
2- 3 
3- E 
4- B 
5- C 
6- D 
7- D 
8- 1 
9- 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES IRRACIONAIS 
Equação irracional é toda equação que tem variável 
no radicando. 
Exemplos: 
1) 32 x 
2) 213 x 
3) 333 x 
 
 
A resolução de uma equação irracional deve ser 
efetuada procurando transformá-la inicialmente numa 
equação racional, obtidaao elevarmos ambos os 
membros da equação a uma potência conveniente. 
 
Em seguida, resolvemos a equação racional 
encontrada e, finalmente, verificamos se as raízes da 
equação racional obtidas podem ou não ser aceitas 
como raízes da equação irracional dada (verificar a 
igualdade). 
 
É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos 
os dois membros de uma equação a uma potência, 
podem aparecer na equação obtida raízes 
estranhas à equação dada. 
 
 
 
49 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. Determine o valor numérico de cada uma das 
expressões abaixo. 
a) 2x + 1, para x = 1. 
b) x - 3y, para x = 4 e y = 1. 
c) x2 – y3, para x = 3 e y = -1. 
d) xy2 - yx2, para x = 2 e y = 3. 
e) 
4
5yx 
, para x = 5 e y = 3 
f) x2 + 2xy + y2, para x = 4 e y = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Um edifício tem 12 andares, com 4 apartamentos por 
andar. Cada apartamento possui 6 janelas, que possuem, 
cada uma, um vidro retangular de dimensões a e b. Dê a 
expressão algébrica que representa a área total de vidro 
utilizado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Para calcular a média bimestral de seus alunos, um 
professor usa o seguinte critério: multiplica a nota da 
prova por 2, soma o resultado com a nota de um trabalho 
e divide a soma obtida por 3. Se você representar por n 
o número que expressa a média, por p a nota da prova e 
por t a nota do trabalho, qual seá a fórmula matemática 
para calcular a média bimestral? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Um professor ensinou a seus alunos a seguinte 
identidade: 
Para quaisquer inteiros a e b, 
a2 – b2 = (a + b)(a - b). 
Conhecendo esta identidade, determine: 
a) 1002 - 992 + 982 - 972 + ... + 22 - 12. 
b) dois números inteiros maiores que 1 cujo produto é 
999991. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Um feirante tinha uma cesta de ovos para vender e 
atendeu sucessivamente a 3 fregueses. Cada freguês levou a 
metade dos ovos e mais meio ovo do total de ovos existentes 
na cesta. Se o feirante não precisou quebrar nenhum ovo e 
sobraram 10 ovos na cesta, quantos ovos havia 
inicialmente? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Diz a lenda que no túmulo de Diofanto (matemático grego 
da antiguidade) havia o seguinte problema: 
Viajante, aqui estão as cinzas de Diofanto.É milagroso que 
os números possam medir a extensão de sua vida: 1/6 dela 
foi uma bela infância; depois de 1/12 de sua vida, sua barba 
cresceu; 1/7 de sua vida passou em um casamento sem 
filhos; cinco anos após isso nasceu seu primeiro filho, que 
viveu metade da vida de seu pai; e, em profundo pesar, o 
pobre velho terminou seus dias na terra quatro anos ap´os 
perder seu filho. Quantos anos viveu Diofanto? 
Construa uma equação, utilizando os dados do túmulo, na 
qual seja possível calcular a idade de Diofanto e a resolva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
GABARITO 
Exercícios de Aplicação 
1– a) 3 b)1 c)10 d)6 e) 
2
5
 f)36 
2- 288ab 
3- 
3
2 tp
n

 
4- a) 5050 b) 1003 e 997 
5- 87 
6- 844
2
5
7126
 x
xxxx
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. Sejam os polinômios P = x2 + 3x - 4 e Q = x2 + 2, 
determine: 
a) P + Q. 
b) P - Q. 
c) P x Q 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Verifique se 3 é raiz do polinômio 
P = x3 – 4x2 + 5x - 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Sejam os polinômios P(x) = x3 - 2x + 1 e 
Q(x) = x2 - 1. Determine: 
a) P(x) x Q(x). 
b) o quociente e o resto da divisão de P(x) por Q(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Determine o quociente e o resto da divisão de 
P(x) = x3 – 2x2 + x – 1 por Q(x) = x2 – x + 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO E DE 
EXAMES 
1. A raíz quadrada aproximada de um natural n pode ser 
encontrada através da expressão 
k
kn
2

, sendo k o 
quadrado perfeito menor que n e mais próximo de n. 
a) Determine a raiz quadrada aproximada de 19. 
b) Justifique que a expressão dada é uma boa 
aproximação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. (EPCAR 2012) Simplifique a expressão 
    
  122
2
1
41212
2 



nnn
nnn
xxxx
xxxxx
, x ≠ 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. (CN 2011) A expressão  3 6
1 x é um número 
real. Determine: 
a) o valor da expressão para x = 2. 
b) o maior valor possível para a expressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. (CN) Numa divisão polinomial, o dividendo, o divisor, o 
quociente e o resto são respectivamente: 
4x3 + ax2 + 19x - 8, 2x - b, 2x2 - 5x + 7 e -1. A soma dos 
valores de a e b é igual a: 
a) -14. 
b) -13. 
c) -12. 
d) -11. 
e) -10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
Exercícios de Aplicação 
1) a) 2x2 + 3x – 2 b) 3x – 6 
 c) x4 + 3x3 – 2x2 + 6x – 8 
2- Sim 
3- a) x5 – 3x3 + x2 + 2x – 1 b) Q(x) = x e R(x) = -x + 1 
4- Q(x) = x – 1 e R(x) = -x 
 
Exercícios de Aprofundamento e de Exames 
1- a) 4,375 
 b) Como tomamos k o mais próximo possível de n, então 
√𝑘 será mais próximo ainda de √𝑛, ou seja, √𝑛 - √𝑘 ≅ 0, e 
também o quadrado dessa diferença estará próximo de zero. 
Temos então: 
k
kn
n
knkn
kknn
kknknn
knkn
kn
2
2
02
0
0))((
0)( 2







 
2- -1 
3- a) -1 b) 0 
4- D 
 
 
52 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. Siga o modelo e calcule os produtos notáveis: 
(x + 5)2 = x2 + 2 ∙ x ∙ 5 + 52 
= x2 + 10x + 25 
a) (x + 1)2 
b) (4 + x)2. 
c) (x + √3)2 
d) (3x + 1)2 
e) (4x + 2)2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Calcule os produtos notáveis: 
a) (2x + 3)2 
b) (2x + 3y)2 
c) (x2 + 3)2 
d) (a2 + 3b2)2 
e) (x4 + 32)2 
 
 
 
 
 
3. Calcule 
o valor das expressões 
a) (√𝑎 + √𝑏)2 - 2√𝑎𝑏 
b) (x + 1)2 + (x – 1)2 
c) (a + 1)2 + 2(a + 1)a + a2 + 2(a + 1) + 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Siga o modelo abaixo e calcule o valor das 
expressões dadas. 
27 · 33 = (30 − 3)(30 + 3) 
= 302 − 32 
= 891 
a) 99 · 101. 
b) 1998 · 2002. 
c) 5 · 15 + 25 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO E DE 
EXAMES 
1. O professor Medialdo acaba de explicar a seus alunos que 
a média aritmética de dois números a e b é 
2
ba 
 e a média 
geométrica é √𝑎𝑏. Antes de entregar as notas de duas provas 
aplicadas anteriormente, ele decidiu testar o conhecimento 
dos seus alunos perguntando se eles prefeririam que cada 
um recebesse a média geométrica ou a média aritmética das 
duas notas. Considerando que os alunos desejam a maior 
nota possível no boletim, o que eles devem dizer ao 
professor Medialdo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Sejam a e b números reais. 
a) Verifique que (a+ b)2 ≥ 4ab. 
b) Verifique que 
baba 

411
. 
c) Verifique que 
dcbadcba 

6416411
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. (OBM 2014) Se x, y, a e b são números reais tais que 
√𝑥 − 𝑦 = a e √𝑥 + √𝑦 = b, determine o valor de √𝑥𝑦. 
a) 
2
44
4b
ab 
 
b) 
b
a 2
 
c) 
b
ba 22 
 
d) C 
e) a2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
4. Calcule o valor do número: 
201420132 − 2(20142013)(20142012)+ 201420122 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Sejam: 
32232 A 
32223222 B 
Quanto vale A x B? 
a) √2 
b) √3 
c) 1 
d) 2 + √2 
e) 2 + √3 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
Exercícios de Aplicação 
1- a) x2 + 2x + 1 
b) 16 + 8x + x2 
c) x2 + 2x√3 + 3 
d) 9x2 + 6x + 4 
 
2- a) 4x2 + 12x + 9 
b) 4x2 + 12xy + 9y2 
c) x4 + 6x2 + 9 
d) a4 + 6ª2b2 + 9b4 
e) x8 + 18x4 + 81 
 
3- a) a + b 
b) 2x2 + 2 
c) (2ª + 2)2 
 
4- a) 9999 b) 39999996 c) 100 
Exercícios de Aprofundamento e de exames 
1- A média aritmética é sempre maior ou igual à média 
geométrica 
2- 
3- A 
4- 1 
5- C 
 
 
 
 
54 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Definições: 
Chamamos de equação do segundo grau na 
incógnita x as equações do tipo 
ax² + bx + c = 0 
com a, b e c ∈ R, onde a ≠ 0. 
Os parâmetros da equação do segundo grau são: 
 a– coeficiente principal 
 b – coeficiente secundário 
 c – termo independente 
 
Equações Completas do 2ºgrau 
 
Uma equação do 2º grau é completa quando a, b 
e c são diferentes de zero. 
Exemplos: 
a) 2x² - 7x + 5 = 0 (a = 2,b = -7,c = 5) 
b) 3 x² + x + 2 = 0 (a = 3,b = 1,c = 2) 
 
 
Equações incompletas do 2º grau 
Uma equação do segundo grau é incompleta se 
b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0. 
Na equação incompleta o coeficiente a é diferente 
de zero. 
Exemplos: 
a) 4x² + 6x = 0 ( a = 4, b = 6, c = 0) 
b) -3x² - 9 = 0 ( a = -3, b = 0, c = -9) 
c) 2x² = 0 (a = 2, b = 0, c = 0) 
 
Raízes de uma equação do 2º grau 
A resolução de uma equação do segundo grau 
consiste em obtermos os possíveis valores reais 
para a incógnita, que torne a sentença matemática 
uma equação verdadeira. 
 
Raiz: é o número real que, ao substituir a incógnita 
de uma equação, transforma-a numa sentença 
verdadeira. 
 
O conjunto formado pelas raízes de uma equação 
denomina-se conjunto verdade ou conjunto 
solução. 
 
Resolução de Equações Incompletas 
 
Equações do tipo ax² = 0: Basta dividir toda a 
equação por a para obter: x² = 0. Significando que 
a equação possui duas raízes iguais a zero. 
Equações do tipo ax² + bx = 0: Neste caso, 
fatoramos a equação para obter: x (ax + b) = 0 e a 
equação terá duas raízes: 
x’ = 0 ou x” = -b/a. 
 
Equações do tipo ax² + c = 0: Novamente dividimos 
toda a equação por a e passamos o termo constante 
para o segundo membro para obter: 
x² = -c/a. 
 Se –c/a for negativo, não existe solução no conjunto 
dos números reais. 
 Se –c/a for positivo, a equação terá duas raízes com 
o mesmo valor absoluto (módulo), mas de sinais 
contrários. 
 
Resolução de Equações Completas 
Fórmula Geral 
 
Toda equação do segundo grau pode apresentar até 
duas soluções diferentes. Em todos os casos estas 
soluções podem ser obtidas pela fórmula de Bhaskara 
 
 
 
 
 
Delta ou Discriminante 
 
O polinômio dentro da raiz da fórmula resolutiva ou 
geral é chamado de delta ou discriminante. 
 
 
 
Dessa forma, a fórmula geral pode ser escrita na 
forma 
 
 
 
 
De acordo com o valor de delta, é possível tirar 
algumas conclusões sobre a equação. 
1) Se ∆ > 0, a equação terá duas raízes reais e 
distintas. 
2) Se ∆ = 0, a equação terá duas raízes reais e iguais. 
3) Se ∆ < 0, a equação terá duas raízes complexas. 
 
 
 
2a
4acbb
x
2 

https://pt.wikipedia.org/wiki/Bhaskara_II
 
 
55 
Relações entre os coeficientes e as raízes de 
uma equação do 2º grau 
 Soma das raízes (S) 
a
b
xxS  "' 
 Produto das raízes (P) 
a
c
xxP  "' 
Denominamos essas relações de relações de 
Girard. 
 
Composição de uma equação do 2º grau, 
conhecidas as raízes 
x² - Sx + P = 0 
 
EQUAÇÃO BIQUADRADA 
 
Como o nome sugere, esta equação ela 
representa uma equação onde a incógnita é 
elevada ao quadrado duas vezes. A resolução 
deste tipo de equação é dada por sua 
transformação em umaequação do 2º grau. 
Seu formato pode ser expresso por: 
𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥² + 𝑐 = 𝑜 
O primeiro passo para resolução é a escolha de 
uma nova incógnita para substituir 𝑥², por exemplo 
y. 
Escrevemos 𝑥² = 𝑦, e a equação inicial 
reescrevemos nos seguintes passos: 
𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥² + 𝑐 = 𝑜 
𝑎(𝑥2)² + 𝑏𝑥² + 𝑐 = 𝑜 
Substituindo pela incógnita escolhida teremos: 
𝑎𝑦² + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 𝑜 
 
E então resolvemos esta equação utilizando os 
métodos aprendidos no tópico anterior. 
 
 
 
 
 
56 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. A equação ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0 e a, b e c 
constantes, é denominada equação do segundo grau na 
variável x. Os numeros a, b e c são os coeficientes da 
equação. Observe os modelos abaixo e identifique-os: 
i) 2x2 - 9x + 3 = 0 , então a = 2, b = -9 e c = 3. 
ii) x2 + 2x - 6 = 0 , então a = 1, b = 2 e c = -6. 
iii) -x2 + 5x + 3 = 0 , então a = -1, b = 5 e c = 3. 
a) x2 - 2x + 6 = 0 
b) 2x2 + 3x - 8 = 0 
c) -x2 + 4x - 3 = 0 
d) -4x2 + 7x - 12 = 0 
e) x2 + x = 0 
f ) x2 - 25 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
2. Sejam m e n números tais que 
(x - m)(x - n) = x2 - 7x + 10: 
a) Determine o valor de m + n. 
b) Determine o valor de m ∙ n. 
c) Encontre as soluções da equação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. O discriminante da equação do segundo grau ax2 + bx 
+ c = 0 é o número ∆ = b2 - 4ac. Calcule-o em cada um 
dos itens abaixo. 
a) x2 - 5x + 4 = 0 
b) 5x2 + 3x - 2 = 0 
c) -x2 + x + 30 = 0 
d) 3x2 + 5x + 1 = 0 
e) -x2 - 2x - 1 = 0 
f ) 2x2 + 6x - 8 = 0 
g) x2 + 3x + 9 = 0 
h) x2 + 9x = 0 
i) -x2 + 16 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Determine o conjunto solução das equações abaixo: 
a) x2 - 4x = 0 
b) x2 - 4 = 0 
c) x2 + 9x = 0 
d) x2 + 9 = 0 
e) -x2 - 7x = 0 
f ) -x2 + 121 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Qual o valor de m para que -3 seja raiz da equação -mx2 - 
4mx + 21 = 0? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Determine as raízes das equações: 
a) x2 - 7x + 6 = 0 
b) x2 - 5x + 4 = 0 
c) 2x2 + 1x - 10 = 0 
d) -3x2 + 1x - 10 = 0 
e) x2 + 4x + 4 = 0 
f ) 5x2 + 2x + 2 = 0 
g) 3x2 + 5x + 7 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
7. Sendo h a maior raiz da equação 012  xx . 
Então qual o valor de 
 2
65
1
2
1 h
h
h
h



? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Um grupo de jovens aluga, por 342 reais, uma van 
para um passeio, sendo que três deles saíram sem pagar. 
Por isso, os outros tiveram que completar o total 
pagando, cada um deles, 19 reais a mais. Qual o número 
inicial de jovens no grupo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Encontre os valores de a para os quais a equação x2 - 
ax + 1 = 0 não possui raízes reais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Encontre todos os valores de k para os quais a 
equação x2 + 2(k - 1)x + (k + 5) = 0 possui pelo menos 
uma raiz positiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. O número -3 é a raiz da equação x2 - 7x - 2c = 0. Nessas 
condições, determine o valor do coeficiente c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Seja x um número real não nulo tal que 2
1

x
x . 
Calcule o valor de 2
1
2
2 
x
x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. Qual o conjunto solução da equação no universo dos reais, 
223  xx ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
14. A equação ax4 + bx2 + c, com a ≠ 0, é denominada 
equação biquadrada. É possível encontrar suas 
soluções fazendo a mudança de variável x2 = y e assim 
transformando-a em uma equação do segundo grau. Por 
exemplo, para encontrarmos as raízes de 
x4 - 18x2 + 32 = 0, 
trocamos x2 por y obtendo: 
x4 - 18x2 + 32 = 0 
y2 - 18y + 32 = 0 
y = 
2
19618
 
y = 9 ± 7 
Analisamos agora separadamente cada um dos possíveis 
valores para x. 
1) No primeiro caso, se y = 9 + 7 = 16, então x2 = 16. 
Logo x = ± 4 
2) No segundo caso, se y = 9 - 7 = 2, então x2 = 2. Logo 
x = ± √2. 
Portanto, o conjunto solução é 
S = {-4, 4, -√2, √2} 
 
Em alguns casos, pode ocorrer que o valor encontrado 
para y seja negativo e consequentemente não existiriam 
valores no conjunto dos números reais correspondentes 
para x. 
 
Seguindo o modelo anterior, encontre as raízes reais das 
equações abaixo: 
a) 9x4 - 13x2 + 4 = 0. 
b) x4 + 4x2 - 60 = 0. 
c) x4 + 10x2 + 9 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO E DE 
EXAMES 
1. (AIME) Encontre x2 + y2 se x, y ∈ Z e 





.880
71
22 xyyx
yxxy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Resolva a equação 
(x2 - 3x + 1)2 - 3(x2 - 3x + 1) + 1 = x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Encontre as soluções de: 
.224 2  xxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Encontre as soluções de: 
.122  xaaxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
5. Para quais valores de a a equação 
(a2 - 3a + 2)x2 - (a2 - 5a + 4)x + a - a2 = 0 
possui mais que duasraízes? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Encontre todas as soluções reais de: 
xx  22 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Encontre todas as soluções reais de 
.251 44  xx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Resolva a equação 
.55 xx  
Com 0 < x < 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Encontre as soluções de: 
2(x - 3) = √𝑥2 − 2𝑥 + 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Encontre todas as soluções reais de: 
 
.12
2
4
2
2
2 


x
x
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Deduza a fórmula para as raízes de ax2 + bx + c = 0, com 
a ≠ 0, em função dos coeficientes da equação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. (UTFPR 2015) A equação 4𝑥 − 𝑥(𝑥 − 2) = 5, tem 
raízes 𝑥1 e 𝑥2. O valor de 𝑥1 . 𝑥2 é igual a: 
a) 4 
b) –12 
c) 3 
d) 8 
e) 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
13. (UTFPR 2013) As raízes da equação 𝑥2 − 17𝑥 +
72 = 0 são: 
a) 9 e 8 
b) – 9 e – 8 
c) 9 e – 8 
d) – 9 e 8 
e) Uma raiz dupla igual a 9 
 
 
 
 
 
 
 
14. (CPM 2015) Uma das raízes da equação 2𝑥2 −
 3𝑝𝑥 + 40 = 0 é 8. Qual é o valor de p? 
a) P = 6 
b) P = 7 
c) P = 8 
d) P = 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. (CPM 2015) Uma das raízes da equação 4𝑥2 −
21𝑥 + 20 = 0 é um número fracionário. Qual a 
diferença entre o numerador e o denominador dessa 
fração 
a) 4 
b) 3 
c) 2 
d) 1 
 
 
 
 
 
 
 
16. (UTFPR 2015) Resolvendo a equação 𝑥4 − 13𝑥2 +
 36 = 0, obtemos quatro raízes. A razão entre a maior e 
a menor delas é 
a) −
3
2
 
b) 
3
2
 
c) –1 
d) 1 
e) –2 
 
 
 
 
17. (CPM 2012) Resolvendo a equação (x²)² + kx² + 144 =0, 
encontramos uma raíz igual a 4. As demais raízes são 
a) 1, −1 𝑒 − 2 
b) 3, −3 𝑒 − 4 
c) 1, −1 𝑒 − 4 
d) 2, −2 𝑒 − 4 
 
 
 
 
 
 
 
18. (CPM 2015) De 9 subtraímos um número real x e 
obtemos o número real √𝑥 + 3. Qual é o valor de x? 
a) S = { 4 } 
b) S = { 5 } 
c) S = { 7 } 
d) S = { 6 } 
 
 
 
 
 
 
 
 
19. (CPM 2014) Quantos números inteiros representam a 
solução da equação 𝑥 + √𝑥 − 1 = 13? 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
 
61 
Exercícios de Aplicação 
1- a) a = 1, b = -2 e c = 6 
 b) a = 2, b = 3 e c = -8 
 d) a = -4, b = 7 e c = 12 
 e) a = 1, b = 1 e c = 0 
 f) a = 1, b = 0 e c = -25 
2- a) m+n = 7 b) m ∙ n = 1 c) 2 e 5 
3. a) 9 b) 49 c)121 d)13 
 e) 0 f) 100 g) -27 h) 81 
4. a) S = {0, 4} b) S = {-2, 2} 
 c) S = {-9, 0} d) S = Ø 
 e) S = {-7, 0} f) S = {-11, 11} 
5. m = -7 
6. a) 1 e 6 b) 1 e 4 c)-5/2 e 2 
 d) -5/3 e 2 e) 2 f) Ø 
 g) Ø 
7- 1 
8- (n-3)(p+19) = 342 e n = 9 
9- |a| < 2, ou seja, -2 < a < 2 
10- S = {x ∈ ℝ | x ≤ -1} 
11- c = 15 
12. 2 
13. S = {9} 
14- a) S = {-1, 1, -2/3, 2/3} 
 b) S = {-√6, √6} 
 c) S = Ø 
 
Exercícios de Aprofundamento e de Exames 
1- 146 
2- S = {2 ± √3, 1 ± √2} 
3- S = {3} 
4. S = {1/2} 
5. a = 1 
6. S = {4} 
7- S = { x ∈ ℝ | x = 3 ± 4(√10 – 2) √√10 − 3} 
8- S = 





 
2
321
,
2
211
 
9- 3 e 13/3 
10- -1 ± √5 
11- Bhaskara 
12- E 
13- A 
14- p = 7 
15- D 
16- C 
17- B 
18- D 
19- B 
 
 
 
 
 
62 
FUNÇÕES 
 
PLANO CARTESIANO 
 
Par ordenado: admitiremos o conceito de par 
ordenado como conceito primitivo. Para cada 
elemento a e cada elemento b, admitiremos a 
existência de um terceiro elemento (a, b) que 
demnominaos par ordenado de modo que se tenha 
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d. 
 
O sistema cartesiano ortogonal é formado por dois 
eixos ortogonais (eixo x e eixo y). A intersecção 
dos eixos x e y é o ponto O chamado de origem do 
sistema. Há uma relação entre os pontos de um 
plano e o conjunto de pares ordenados, isto é, a 
cada ponto corresponde um único par ordenado (x, 
y). 
Os eixos x e y dividem o plano em quatro 
regiões chamadas quadrantes. O sinal positivo ou 
negativo da abscissa e da ordenada varia de 
acordo com o quadrante. 
 
 
Produto Cartesiano: sejam A e B dois conjuntos 
não vazios. Denominamos produto cartesiano de 
A por B o conjunto: 
A x B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B}. 
 
Definição: Dados dois conjuntos A e B, chama-se 
relação binária de A em B todo subconjunto R de 
A x B. 
R é relação binária de A em B ⇔ R ⊂ A x B 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES 
Domínio e Imagem 
Seja R uma relação de A em B: 
4) Chama-se domínio de R o conjunto D de todos os 
primeiros elementos dos pares ordenados 
pertencente a R. 
x ∈ D ⇔ ∃y ∈ B | (x, y) ∈ R 
 
5) Chama-se imagem de R o conjunto Im de todos os 
segundos elementos dos pares ordenados 
pertencentes a R. 
y ∈ Im ⇔ ∃x ∈ A | (x, y) ∈ R 
 
Definição: Dados dois conjuntos A e B, não vazios, 
uma relação f de A em B, recebe o nome função de 
A em B se, e somente se, para cada x ∈ A existe um 
só y ∈ B talque (x, y) ∈ f. 
f é função de A em B ⇔ (∀x∈A, ∃! Y∈B|(x, y) ∈ f). 
 
Domínio D(f) : é definido como uma série de valores 
de entrada para os quais a função produz um valor de 
saída. Em outras palavras, o domínio é o conjunto de 
valores x que podem ser usados em uma função para 
produzir valores y. 
 
Obs.: Para determinar o domínio de funções devemos 
observar que: 
 Não existe divisão por zero; 
 Não existe raiz quadrada de número negativo; 
 
Contradomínio CD(f): em f: A → B, o conjunto B é 
definido como contradomínio da função f. 
 
Imagem Im: Todos os elementos que refletem no 
conjunto domínio, ou seja, 
Im = {∀y ∈ B, ∃x ∈ A tal que y = f(x)}. 
 
Função injetora: f: A → B se diz injetora quando para 
todo x1 ≠ x2 ∈ A teremos f(x1) ≠ f(x2) ∈ B, ou seja, 
elementos diferentes do domínio possuem imagens 
diferentes. 
 
Função sobrejetora: f: A → B se diz sobrejetora 
quando ∀y ∈ B, ∃x ∈ A talque y = f(x), ou seja, o 
contradomínio é igual à imagem. 
 
Função Bijetora: f: A → B se diz bijetora quando é 
injetora e sobrejetora. 
 
Função Par: quando para todo x ∈ D(f) tivermos f(-x) 
= f(x). 
Obs.: A função par é uma função cujo gráfico 
apresenta simetria no eixo vertical. 
 
 
 
 
 
 
63 
Função Ímpar: quando para todo x ∈ D(f) tivermos 
f(-x) = -f(x). 
Obs.: A função par é uma função cujo gráfico 
apresenta simetria no eixo vertical. 
 Obs.: A função ímpar é uma função cujo gráfico 
apresenta simetria no eixo horizontal. 
 
 
 
 
 
64 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. Em um certo dia, três mães deram à luz em uma 
maternidade. Uma delas teve trigêmeos, outra gêmeos e 
a terceira, um único filho. Considere o conjunto das 
mães, o conjunto das crianças e as seguintes relações: 
a) a que associa a cada mãe o seu filho. 
b) a que associa a cada criança a sua mãe. 
c) a que associa a cada criança o seu irmão. 
Qual(ais) é(são) função(ões)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.Patrícia é nova em sua escola e acabou de conhecer 
três meninas: Alexandra, cujo signo é Áries; Beatriz, 
cujo signo é Virgem; e Cíntia, cujo signo é Leão. 
Considerando o conjunto A formado pelas novas 
colegas de Patrícia e o conjunto B dos 12 signos do 
zodíaco, classifique em verdadeiros ou falso: 
a) A → B é injetiva. 
b) A → B é sobrejetiva. 
c) A → B é bijetiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Construa o gráfico das seguintes funções, determine o 
conjunto imagem e classifique-as em injetiva, sobrejetiva ou 
bijetiva. 
a) f : {1, 2, 3, 4} → R 
 x → f (x) = 2x. 
 
b) f : {1, 2, 3, 4} → {2, 4, 6, 8} 
 x → f (x) = 2x. 
 
c) f : R → R 
 x → f (x) = 2x. 
 
d) f : {1, 2, 3, 4} → R 
 x → f (x) = 3x - 4. 
 
e) f : {1, 2, 3, 4} → {-1, 2, 5, 8} 
 x → f (x) = 3x - 4. 
 
f) f : R → R 
 x → f (x) = 3x - 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
4. Analise asfunções abaixo e classifique-as em injetiva, 
sobrejetiva e bijetiva. 
 
 
 
 
5. Uma fábrica de canetas tem um custo diário de produção 
de R$120,00, mais R$0,40 por caneta. Cada caneta é 
vendida por R$1,20. Determine 
a) a lei de associação da quantidade x de canetas e do 
custo diário de produção C(x) dessas x canetas. 
 
b) o custo di´ario de produc¸ ˜ao de 80 canetas. 
 
c) a lei de associação do lucro diário L(x) após a venda de x 
canetas e essa quantidade de canetas. 
 
d) o lucro da empresa com a venda de 200 canetas. 
 
 
 
 
 
 
6. Construa o gráfico das seguintes funções e classifique-as 
em injetiva, sobrejetiva ou bijetiva. 
a) f : {1, 2, 3, 4} → R 
 x → f (x) = x2. 
 
b) f : {1, 2, 3, 4} → {1, 4, 9, 16} 
 x → f (x) = x2. 
 
c) f : R → R 
 x → f (x) = x2. 
 
 
 
 
 
 
 
7. Quando colocamos gasolina no carro, o preço P que 
vamos pagar depende da quantidade x de litros. 
Considerando que o litro da gasolina seja R$3,60, 
determine: 
a) a lei de associação P(x) que relaciona as grandezas P e x. 
 
b) o maior conjunto domínio possível para P(x). 
 
c) o preço de 70 litros de gasolina. 
 
d) a quantidade de gasolina que se pode comprar com 
R$100,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
GABARITO 
Exercícios de Aplicação 
1- a) Não é função b) É função 
 c) Não é função 
2- a) V b) F c) F 
3- a) injetiva b) bijetiva c) bijetiva 
 d) injetiva e) bijetiva f) bijetiva 
4- a) bijetiva b) injetiva c) injetiva 
 d) bijetiva 
5- a) C(x) = 120 + 0,40x 
 b) C(80) = 108 
 c) L(x) = 0,80x – 120 
 d) L(200) = 40 
6- a) injetiva b) bijetiva 
 c) nem injetiva e nem sobrejetiva 
7- a) P(x) = 3,60x 
 b) D(f) = R+ 
 c) 252 reais 
 d) 27,28 litros 
 
 
 
 
67 
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU 
 
Definida por f(x) = ax + b, com a e b sendo 
números reais e a diferente de zero. 
 a é chamado de coeficiente angular. 
 b é chamado de coeficiente linear. 
 
Obs1.: A função polinomial do 1º grau é também 
chamada de função afim. 
 
Obs2.: O gráfico da função afim é uma reta. 
 
Função constante a = 0 
O gráfico da função constante é uma reta paralela 
ao eixo dos x passando pelo ponto (0, c) 
 
Função identidade f(x) = x 
O gráfico da função identidade é uma reta que 
contém as bissetrizes do 1º e 3º quadrantes. 
 
Função linear f(x) = ax 
O gráfico da função linear é uma reta que passa 
pela origem (0, 0). 
 
Zero da função afim: é todo número x cuja 
imagem é nula, isto é, f(x) = 0. 
 
Função crescente a ˃ 0 
∀ (x1 > x2) ∈ D(f) ⇒ (f(x1) > f(x2)) ∈ CD(f) 
 
Função decrescente a ˂ 0 
∀ (x1 > x2) ∈ D(f) ⇒ (f(x1) < f(x2)) ∈ CD(f) 
 
 
 
 
 
68 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. Em certa cidade, uma corrida de táxi custa R$4,80 a 
bandeirada, mais R$0,40 por quilômetro rodado. Quanto 
custa uma corrida de 50 quilômetros? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. O grau Fahrenheit (símbolo: ºF) é uma escala de 
temperatura proposta por Daniel Gabriel Fahrenheit 
em 1724. Nesta escala, o ponto de fusão da água (0ºC) é 
de 32ºF e o ponto de ebulição da água (100ºC) é de de 
212ºF. Sabendo que a temperatura na escala Fahrenheit 
é dada por uma função afim da escala Celsius, determine 
em qual temperatura na escala Celsius ambas assinalam 
o mesmo valor numérico? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. O custo total, por mês, de um serviço de fotocópias, 
com cópias do tipo A4, consiste de um custo fixo 
acrescido de um custo variável. O custo variável 
depende, de forma diretamente proporcional, da 
quantidade de páginas reproduzidas. Em um mês em que 
esse serviço fez 50000 cópias, seu custo total foi de 
R$21000,00; enquanto que em um mês em que fez 
20000 cópias, seu custo total foi de R$19200,00. 
Supondo que o custo por página seja o mesmo nos meses 
mencionados, determine-o. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. (ENEM) “Em fevereiro, o governo da Cidade do México, 
metrópole com uma das maiores frotas de automóveis do 
mundo, passou a oferecer à população bicicletas como 
opção de transporte. Por uma anuidade de 24 dólares, os 
usuários têm direito a 30 minutos de uso livre por dia. O 
ciclista pode retirar em uma estação e devolver em qualquer 
outra e, se quiser estender a pedalada, paga 
3 dólares por hora extra.” 
A expressão que relaciona o valor f pago pela utilização da 
bicicleta por um ano, quando se utilizam x horas extras nesse 
período é: 
a) f (x) = 3x. 
b) f (x) = 24. 
c) f (x) = 27. 
d) f (x) = 3x + 24. 
e) f (x) = 24x + 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Em uma corrida de táxi é cobrado um valor inicial 
chamado de a bandeirada, mais uma quantia proporcional 
por quilômetro rodado. Se por uma corrida de 8 km paga-se 
R$28,50 e por uma corrida de 5 km paga-seR$19,50. Qual 
o valor da bandeirada? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. (FGV – 2012) Duas pessoas combinaram de se encontrar 
entre 13h e 14h, no exato instante em que a posição do 
ponteiro dos minutos do relógio coincidisse com a posição 
do ponteiro das horas. Dessa forma, qual o horário que o 
encontro foi marcado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
7. (FGV) Cláudio, gerente capacitado de uma empresa 
que produz e vende instrumentos musicais, contratou 
uma consultoria para analisar o sistema de produção. 
Os consultores, após um detalhado estudo, concluíram 
que o custo total de produção de x flautas de 
determinado tipo pode ser expresso pela função C(x) = 
2400 + 36x, sendo R$2400,00 o custo fixo. Atualmente 
a empresa vende 60 flautas daquele tipo por mês, ao 
preço de R$120,00 por unidade. O trabalho da empresa 
de consultoria demonstrou, também, que um gasto extra 
de R$1200,00 em publicidade provocaria um aumento 
de 15% no volume atual de vendas das flautas. Na sua 
opinião, Cláudio deveria autorizar o gasto extra em 
publicidade? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Uma função f definida de R+ em R+, crescente, 
satisfaz a equação f (5x) = 5 f (x) para todo x real não-
negativo. Se f (25) = 125, então qual o valor de f (1)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. A função que determine o valor a ser pago por uma 
corrida de táxi é f (x) = 3,40 + 2,50x, sendo x a distância 
percorrida em km. Qual o valor a ser pago por uma corrida 
de 10km? 
a) R$25,00. 
b) R$25,40. 
c) R$28,40. 
d) R$28,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Um tanque está vazio e começa a ser preenchido 
com água utilizando-se uma torneira cuja vazão é 
constante. Se depois 20min havia apenas a quinta parte da 
capacidade do tanque com água, determine a função f (t) que 
relaciona o tempo t em minutos e a quantidade f (t) de água 
no tanque no tempo t, sendo a capacidade do tanque é de 
800 litros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70 
EXERCÍCIOS DE APROFUDAMENTO E DE 
EXAMES 
 
1. (UFMG – 2013) A fábula da lebre e da tartaruga, do 
escritor grego Esopo, foi recontada utilizando-se o 
gráfico abaixo para descrever os deslocamentos dos 
animais. 
 
Suponha que na fábula a lebre e a tartaruga apostam uma 
corrida em uma pista de 200 metros de comprimento. As 
duas partem do mesmo local no mesmo instante. A 
tartaruga anda sempre com velocidade constante. A 
lebre corre por 5 minutos, para, deita e dorme por certo 
tempo. Quando desperta, volta a correr com a mesma 
velocidade constante de antes, mas, quando completa o 
percurso, 
percebe que chegou 5 minutos depois da tartaruga. 
Considerando essas informações, 
a) determine a velocidade média da tartaruga durante 
esse percurso, em metros por hora. 
 
b) determine após quanto tempo da largada a tartaruga 
alcançou a lebre. 
 
c) determine por quanto tempo a lebre ficou dormindo.2. Os preços dos ingressos de um teatro nos setores 1, 2 e 3 
seguem uma função polinomial do primeiro 
grau crescente com a numeração dos setores. Se o preço do 
ingresso no setor 1 é de R$120,00 e no setor 3 é de 
R$400,00, então qual o preço do ingresso no setor 2? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. (FGV 2014) Considerando um intervalo de tempo de 10 
anos a partir de hoje, o valor de uma máquina deprecia 
linearmente com o tempo, isto é, o valor da máquina y em 
função do tempo x é dado por uma função polinomial do 
primeiro grau y = ax + b. Se o valor da máquina daqui a dois 
anos for R$6400,00, e seu valor daqui a cinco anos e meio 
for R$4300,00, qual será o seu valor daqui a sete anos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
71 
4. (FGV) Paulo é um fabricante de brinquedos que 
produz determinado tipo de carrinho. A figura a seguir 
mostra os gráficos das funções custo total e receita, 
considerando a produção e venda de x carrinhos 
fabricados na empresa de Paulo. 
 
a) Existem custos tais como: aluguel, folha de 
pagamento dos empregados e outros, cuja soma 
denominamos custo fixo, que não dependem da 
quantidade produzida, enquanto a parcela do custo que 
depende da quantidade produzida, chamamos de custo 
variável. A função custo total é a soma do custo fixo 
com o custo variável. Na empresa de Paulo, qual o custo 
fixo de produção de carrinhos? 
 
b) A função lucro é definida como sendo a diferença 
entre a função receita total e a função custo total. 
Quantos carrinhos Paulo tem que vender para obter um 
lucro de R$ 2.700,00? 
 
c) A diferença entre o preço pelo qual a empresa vende 
cada carrinho e o custo variável por unidade é chamada 
de margem de contribuição por unidade. Portanto, no 
que diz respeito aos carrinhos produzidos na fábrica de 
Paulo, qual a margem de contribuição por unidade? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. (EsSA 2015) Sejam f a função dada por 
f(x) = 2x + 4 e g a função dada por g(x) = 3x - 2. A função 
deve ser dada por: 
a) f(g(x)) = 6x 
b) f (g(x)) = 6x + 4 
c) f(g(x)) = 2x - 2 
d) f(g(x)) = 3x + 4 
e) f (g(x))= 3x + 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. (EsSA 2012) Se f(2x + 1) = x² + 2x, então f(2) vale 
a) 5/4 
b) 3/2 . 
c) 1/2 
d) ¾ 
e) 5/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. (EsSA 2012) Em um programa de TV, o participante 
começa com R$ 500,00. Para cada pergunta respondida 
corretamente, recebe R$200,00; e para cada resposta errada 
perde R$150,00. Se um participante respondeu todas as 25 
questões formuladas no programa e terminou com R$ 
600,00, quantas questões ele acertou? 
a) 14 
b) 9 
c) 10 
d) 11 
e) 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72 
8. (EsSA 2012) Para que uma escada seja confortável, 
sua construção deverá atender aos parâmetros e e p da 
equação 2e + p = 63 , onde e e p representam, 
respectivamente, a altura e o comprimento, ambos em 
centímetros, de cada degrau da escada. Assim, uma 
escada com 25 degraus e altura total igual a 4 m deve ter 
o valor de p em centímetros igual a 
a) 32. 
b) 31. 
c) 29. 
d) 27. 
e) 26. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. (EEAR 2015) Na função f(x) = mx - 2(m –n) , m e n 
 . Sabendo que f(3) = 4 e f(2) = - 2, os valores de m 
e n são respectivamente 
a) 1 e -1 
b) -2 e 3 
c) 6 e -1 
d) 6 e 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. (EEAR 2012) Considerando que o domínio de uma 
função é o maior subconjunto de R constituído por todos 
os valores que podem ser atribuídos à variável 
independente, o domínio da função ℎ(𝑥) = √𝑥 + 4 é: 
a) R* 
b) R {-4} 
c) x≺4 
d) x ≥ -4 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. (EFOMM 2015) Sejam as funções f : IR → IR e g : IR 
→ IR .Sabendo que f é bijetora e g é sobrejetora,considere as 
sentenças a seguir: 
I - g o f é injetora; 
II - f o g é bijetora; 
III- g o f é sobrejetora. 
Assinalando com verdadeiro (V) ou falso (F) a 
cada sentença, obtém-se 
( a ) V-V-V 
( b ) V-V-F 
( c ) F-V-F 
( d ) F-F-V 
( e ) V-F-V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
Exercícios de Aplicação 
1- 24,8 reais 
2- f(x) = 1,8x + 32 e x = -40 
3- 6 centavos 
4- D 
5- R$4,50 
6- 13h e 
11
5
5 min 
7- Não 
8- f(1) = 5 
9- C 
10- f(t) = 8t 
 
Exercícios de Aprofundamento e de Exames 
1- a) 50 metros por hora 
 b) 1 h 
 c) 225 min 
2- 260 reais 
3- 3400 reais 
4- a) 2400 reais 
 b) 850 carrinhos 
 c) 6 reais 
5- A 
6- A 
7- D 
8- B 
9- C 
10- D 
11- D 
 
 
 
 
 
73 
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU 
 
 Definida por f(x) = ax² + bx + c, onde a, b 
e c são números reais e a ≠ 0. 
 
Gráfico: O gráfico de uma função polinomial do 
2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva 
chamada parábola 
 
O sinal de a (coeficiente de x2) determina a 
concavidade da parábola. Assim: 
Se a > 0 (a positivo), a concavidade é 
voltada para cima:  
Se a < 0 (a negativo), a concavidade é 
voltada para baixo:  
 
O valor de c determina onde a parábola intercepta 
o eixo y (0,c). 
 
Vértices da parábola, também conhecido como 
eixo de simetria da função ou ponto de mínima/ 
máxima. 
avya
b
vx 4
 e 
2
 

 
 
Raízes da Função: As raízes ou zeros da função 
do segundo grau representam aos valores de x tais 
que f(x) = 0. As raízes da função são determinadas 
pela resolução da equação de segundo grau: 
f(x) = ax2 +bx + c = 0 
Para resolver a equação do 2º grau podemos 
utilizar vários métodos, sendo um dos mais 
utilizados é aplicando a Fórmula de Bhaskara, ou 
seja: 
 
 
 Se Δ > 0, o gráfico cortará o eixo x em dois 
pontos; 
 Se Δ < 0, o gráfico não intercepta o eixo x. 
 Se Δ = 0, a parábola tocará o eixo x em apenas 
um ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estudo do sinal da função quadrática 
 
 
 
Valor e máximo e Valor mínimo 
 
 
 
 
 
 
https://www.todamateria.com.br/formula-de-bhaskara/
 
 
74 
Exemplo 1: EEAR 2000 - Na figura estão 
representados os gráficos das funções definidas 
por :      31  xxxf 
e   3
2

x
xg . As ordenadas dos pontos P e Q 
são, respectivamente, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
2
3
 e 3 
b) 
2
3
 e 4 
c) 
4
9
 e 3 
 
d) 
4
9
 e 4 
 
Resolução 
Para determinar o ponto Q é necessário encontrar 
o vértice da função      31  xxxf = x² - 3x + 
x – 3 = x² - 2x – 3 
𝛥 = (−2)2 − 4.1. (−3) 
Δ= 4 + 12 
Δ = 16 
𝑦𝑣 = 
− 16
4
= −4 
Portanto o ponto Q tem ordenada -4 
 
Para encontrar a ordenada do ponto P é 
necessário igualar as duas funções 
x² - 2x – 3 = 
𝑥
2
 + 3 
Duplicando a função 
2x² - 4x – 6 = x + 6 
Passando todos os termos para o mesmo lado: 
2x² - 5x – 12. 
Determinando os zeros da função 
Δ = (-5)² - 4.2.(-12) 
Δ = 25 + 96 
Δ = 121 
𝑥 =
−(−5)±√121
2.2
 
𝑥 =
5±11
4
 
𝑥1 = 4 
𝑥2 = −
3
2
 
Substituindo o valor em qualquer uma das equações. 
No caso utilizaremos na primeira 
(−
3
2
) ² − 2. (−
3
2
) − 3 
= 9/4 +3 – 3 = 9/4 
 
Portanto: alternativa d 
 
Exemplo 2: CPCAR 2015 - Uma das curvas radicais 
de uma montanha russa será construída de modo que, 
quando observada, perceba-se a forma de uma 
parábola como mostra a figura. Será possível alcançar 
a maior altura, 280 m do solo, em dois pontos dessa 
curva, distantes 900 m um do outro, e a descida 
atingirá o ponto mais baixo da curva a 30 metros do 
solo, como se vê na figura. 
 
A distância horizontal entre o centro da roda dianteira 
do carrinho 1 e o centro da roda traseira do carrinho 3 
quando esses centros estiverem a m 70 do solo, são 
a ) 200 metros. 
b) 360 metros. 
c) 250 metros. 
d) 400 metros. 
 
Resolução 
Primeiro deve-se escolher onde traçar o eixo de 
simetrias da função. Neste caso será utilizado como 
eixo de simetria o vértice da função, para o eixo y e o 
solo como eixo x, como mostra a figura 
 
Esta figura nos mostra duas informações: 
b é automaticamente 0, e c equivale ao vértice, que no 
caso é 30 
 
Feitoisto utiliza-se um dos pontos coordenados para 
a resolução, que neste caso será o (450,280) 
Y = ax² + bx + c 
280 = a(450)² + 0 
 
Q 
P 
 
 
 
 
75 
280 = 202500 a 
a = 
280
202500
 
𝑎 = 
1
810
 
 
Deste modo conclui-se que 
𝑓(𝑥) = 
1
810
𝑥² + 30 
 
Feito isto agora é necessário determinar a 
distância das rodas sabendo que a altura das 
extremidades será igual a 70 m. Para esta 
resolução no lugar de f(x) será utilizado o 70 
70 = 
1
810
𝑥² + 30 
40 = 
1
810
𝑥² 
32400 = 𝑥² 
 
Portanto 
𝑥 = ±180 
 
Como a distância que ele quer envolve os dois 
lados do eixo x, 180 + 180 = 360. 
 
Alternativa b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
1. Seja a função f(x) = 3x2 – bx + c, em que f(2) = 10 e f(-1) 
= 3. Calcule b, c e o valor da expressão f(3) + 2.f(1). 
 
 
 
 
 
 
 
2. Determine os valores de m para que as funções do 2° grau 
tenha: 
i) Duas raízes reais e distintas 
ii) Duas raízes reais iguais 
iii) Não tenha raízes reais 
 
a) f(x) = (m - 1)x2 + (2m + 3)x + m 
b) f(x) = (m + 2) x2 + (3 – 2m)x + (m – 1) 
 
 
 
 
 
 
3. Determine o valor de m na função real f(x) = 3x2 − 2x + 
m para que o valor mínimo seja 
3
5
. 
 
 
 
 
 
 
4. Dentre todos os números reais de soma 8, determine 
aqueles cujo produto é máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Dentre todos os números reais x e z tais que 2x + z = 8, 
determine aqueles cujo o produto é máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
76 
6. (VUNESP-SP) Suponha que um grilo, ao saltar do 
solo, tenha sua posição no espaço descrita em função do 
tempo (em segundos) pela expressão ℎ(t) = 3t – 3t², onde 
h é a altura atingida em metros. 
a) Em que instante t o grilo retorna ao solo? 
b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Um objeto é atirado para cima, da janela situada no 
alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade 
inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao 
solo, em metros, t segundos após o lançamento, é ℎ(t) = 
80 + 30t – 5t2. 
Obter: 
(a) o instante em que o objeto atinge a altura máxima; 
(b) a altura máxima que ele atinge; 
(c) o instante em que ele atinge o solo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. O lucro de uma empresa é dado por L(x) = 50(10 – 
x)(x – 2), onde x é a quantidade vendida. Podemos 
afirmar que: 
(A) o lucro é positivo qualquer que seja x. 
(B) o lucro é positivo para x maior do que 10. 
(C) o lucro é positivo para x entre 2 e 10. 
(D) o lucro é máximo para x igual a 10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. (ENADE 2008) Em um jogo de futebol, um jogador irá 
bater uma falta diretamente para o gol. A falta é batida do 
ponto P, localizado a 12 metros da barreira. Suponha que a 
trajetória da bola seja uma parábola, com ponto de máximo 
em Q, exatamente acima da barreira, a 3 metros do chão, 
como ilustra a figura abaixo. 
 
Sabendo-se que o gol está a 8 metros da barreira, a que altura 
estará a bola ao atingir o gol? 
(A) 
2
3
 
(B) 
3
4
 
(C) 1 
(D) 
3
5
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Ao chutar uma lata, um cientista observou que sua 
trajetória seguiu a lei matemática ℎ(t) = 6 + 4t – t2 , na qual 
h é a altura, em metros, atingida pela lata em função do 
tempo t, em segundos, após o chute. Com base nesta 
situação e analisando as afirmativas a seguir: 
I. O gráfico que traduz a função acima descrita é uma 
parábola com concavidade voltada para baixo. 
II. A altura máxima atingida por essa lata é de 10m. 
III. Essa função possui duas raízes reais distintas. É correto 
afirmar que: 
(A) todas as afirmativas são verdadeiras 
(B) todas as afirmativas são falsas 
(C) somente a afirmativa I é falsa 
(D) somente a afirmativa II é verdadeira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
77 
EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO E DE 
EXAMES 
 
1. (EsSA 2015) As funções do 2º grau com uma 
variável: f(x) = ax² + bx + c terão valor máximo quando 
a) a < 0 
b) b > 0 
c) c < 0 
d) ∆ > 0 
e) a > 0 
 
 
 
 
2. (EsSA 2013) Um pelotão está formado de tal maneira 
que todas as n filas têm n soldados. Trezentos soldados 
se juntam a esse pelotão e a nova formação tem o dobro 
de filas, cada uma, porém, com 10 soldados a menos. 
Quantas filas há na nova formação? 
a) 20 
b) 30 
c) 40 
d) 60 
e) 80 
 
 
 
 
 
 
3. (EsSa 2013) Para que o polinômio do segundo grau 
A(x) = 3x² - bx + c , com c > 0 seja o quadrado do 
polinômio B(x) = mx + n ,é necessário que 
a) B² = 4c 
b) B² = 12c 
c) B² = 12 
d) B² = 36c 
e) B² = 36 
 
 
 
 
 
 
 
4. (EsSa 2012) Os gráficos das funções reais 𝑓(𝑥) =
2𝑥 − 
2
5
 e 𝑔(𝑥) = 3𝑥² − 𝑥 possuem um único ponto em 
comum. O valor de c é 
a) –1/5 
b) 0 
e) 1/5 
d) 1/15 
e) 1 
 
 
 
5. (EEAR 2015) Dado o polinômio: ax³ + (2a + b)x² + cx + 
d – 4 = 0, os valores de a e b para que ele seja um polinômio 
de 2º grau são 
a) a = 0 e b = 0 
b)a = 1 e b  0 
c) a = 0 e b  0 
d) a = - 1 e b = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. (AFA 2013) O gráfico de uma função polinomial do 
segundo grau y = f(x), que tem como coordenadas do vértice 
(5, 2) e passa pelo ponto (4, 3), também passará pelo ponto 
de coordenadas 
a) (1, 18) 
b) (6, 4) 
c) (0, 26) 
d) (–1, 36) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. (AFA 2011) Considere a função quadrática f: A → B de 
raízes 𝑥1 = 1 ou 𝑥2 = 3 , cujas coordenadas do vértice são 
iguais. Se f(x) ≥ 0 ∀ x pertence A e f é função crescente ∀ x 
pertence [p, q], então (q – p) é igual a 
a) 1 
b) 3 
c) 2 
d) 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
78 
8. (UFPR 2014) Um retângulo no plano cartesiano 
possui dois vértices sobre o eixo das abscissas e outros 
dois vértices sobre a parábola de equação y = 4 – x² , 
com y > 0. Qual é o perímetro máximo desse retângulo? 
a) 4. 
b) 8. 
c) 10. 
d) 12. 
e) 17. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. (EsPCEX 2014) Um fabricante de poltronas pode 
produzir cada peça ao custo de R$ 300,00. Se cada uma 
for vendida por x reais, este fabricante venderá por mês 
( 600 – x) unidades, em que 0 ≺ x ≺ 600. Assinale a 
alternativa que representa o número de unidades 
vendidas mensalmente que corresponde ao lucro 
máximo. 
a) 150 
b) 250 
c) 350 
d) 450 
e) 550 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. (EsPCEX 2013) Uma indústria produz 
mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal 
resultante da venda deste produto é V(x) = 3x² – 12x e o 
custo mensal da produção é dado por C(x) = 5x² – 40 x 
– 40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre 
o valor resultante das vendas e o custo da produção, 
então o número de lotes mensais que essa indústria deve 
vender para obter lucro máximo é igual a 
a) 4 lotes. 
b) 5 lotes. 
c) 6 lotes. 
d) 7 lotes. 
e) 8 lotes. 
 
 
 
 
11. (EsPCEx 2012) Sejam as funções reais f(x) = √𝑥2 + 4𝑥 
e g(x) = x - 1. O domínio da função f(g(x)) é: 
a) x ≤ -3 ou x ≥ 1 
b) x ≤ 1 
c) x ≤ 0 ou x ≥ 4 
d) – 3 ≤ x ≤ 1 
e) 0 ≤ x ≤ 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
Exercícios de Aplicação 
1. b = 2/3 e c = -2/3 e f(3) + 2f(1) = 83/3 
2- a) i) m > -9/16 e m ≠ 1 
 ii) m = -9/16 
 iii) m < -9/16 
 b) i) m < 17/16 e m ≠ 2 
 ii) m = 17/16 
 iii) m > 17/16 
3- m = 2 
4- 4 e 4 
5- x = 2 e z = 4 
 
6- a) 1 b) 0,75 metros 
7- a) 3 b) 125 d) 8 
8- C 
9- D 
10- A 
 
Exercícios de Aprofundamento e de Exames 
1- A 
2- B 
3- B 
4- D 
5- C 
6- A 
7- A 
8- C 
9- A 
10- D 
11- A 
 
 
 
 
 
 
79 
GEOMETRIA 
 Ramo da matemática cujo objetivo é o estudo do 
espaço e das figuras que podem ocupa-lo. 
 
ELEMENTOS FUNDAMENTAIS 
 Ponto: Não possui diensão nenhuma, e 
utilizamos letras em CAIXA ALTA para nomear 
os pontos 
 
 
 Reta: União de infinitos pontos, a reta não 
possui início e fim, e utilizamos um segmento 
paraconseguir demonstrar a reta. Utilizamos 
letras minúsculas para nomear uma reta. A reta 
possui uma dimensão. 
 
 
 Dois pntos determinam uma única reta. 
 
 
 
 Plano: Espaço definido por inifinitas retas, o 
plano possui duas dimensões. O plano também não 
possui começo e fim. A representação de um plano é 
feita por paralelogramos e para nomeá-los utilizamos 
de letras gregas. 
 
 
 
POLÍGONOS 
 Com origem nas palavras poli e gonos, seu 
significado é muitos ângulos. Os polígonos são figuras 
planas, formadas por retas, onde no encontro de duas 
retasforma um ângulo. O número de ângulos de um 
polígono é igual a quantidade de lados, e recebe seu 
nome de acordo com esta quantidade. 
 TRIÂNGULO 
 QUADRILÁTERO 
 PENTÁGONO 
 HEXÁGONO 
 ... 
 Polígonos convexos: Chamamos de polígono 
convexo o polígono que possui todos os vértices 
voltadas para o exterior. Ossegmentos que unem dois 
vértices de um polígono convexo são chamados de 
lados ou diagonais, e eles não passam pelo exterior 
do polígono. 
 Caso o segmento passar pela parte externa do 
polígono chamamos este polígono de não convexo ou 
côncavo. 
 
 
 
80 
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS 
 Independente do formato do polígono convexo, 
a soma de seus ângulos internos depende apenas 
da quantidade de lados que ele possui. 
A fórmula utilizada é 𝑆 = 180°(𝑛 − 2) 
 
DIAGONAIS DE UM POLÍGONO CONVEXO 
Descrevemos uma diagonal do polígono como um 
segmento que une dois vértices não consecutivos. 
A quantidade de diagonais que um polígono 
convexo possui depende da quantidade de lados 
que ele possui, e utilizamos a fórmula: 
𝐷 =
𝑛. (𝑛 − 3)
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
81 
TRANSFORMAÇÕES 
 Existem algumas transformações utilizadas na 
geometria comoforma de compor ou obter novas 
imagens. Estas transformações chamamos de 
simetrias. 
SIMETRIA DE REFLEXÃO 
Obtida através de uma linha de reflexão que faz a 
função de refletir de um de seus lados tudo que 
possui no outro lado. 
 
SIMETRIA DE ROTAÇÃO 
Obtida através de um ângulo de rotação, é quando 
existe um giro na imagem. 
 
 
SIMETRIA DE TRANSLAÇÃO 
 Simetria Obtida através do deslocamento de parte da 
figura, por exemplo quando temos uma sequência de 
imagens repetidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
82 
CIRCUNFERÊNCIA 
 União de todos os pontos equisdistantes de um 
ponto, chamado de centro da circunferência (O). A 
distância entre o centro (O) e um dos pontos da 
circunferência é a medida de seu raio (r). 
 
 
 
CARACTERÍSTICAS: 
 
 Um segmento que une dois pontos da 
circunferência é chamado de corda. Existem 
infinitas cordas em uma circunferência. 
 A maior corda da circunferência é obtida 
quando a corda passa pelo centro (O), e 
chamamos esta corda de diâmetro(d). 
Temos que d = 2.r 
 O comprimento da circunferência© é a medida 
linear da circunferência e pode ser obtida pela 
fórmula C=2.π.r. 
 
 
 
O NÚMERO π 
 
 Π é um número irracional, cuja aproximação é obtida 
pela divisão: 
𝑐
𝐷
= 𝜋 ≈ 3,14159 … 
 
 Na língua portuguesa temos a diferenciação dos 
termos CIRCUNFERÊNCIA e CÍRCULO, onde 
usamos círculo para indicar todo o interior da 
circunferência. 
 Calculamos o comprimento da circunferência e a área 
do círculo. 
 A área e um círculo é obtido através da fórmula 𝐴 =
𝜋. 𝑟² 
 
 
83 
POLÍGONOS REGULARES 
 RELAÇÕES MÉTRICAS 
 Chamamos de polígono regular o polígono que 
possui todos os lados com mesma medida e todos 
os ângulos são iguais. 
 
 Temos como características 
 Apótema: Distânciavdo centro do polígono 
até o ponto médio de um de seus lados. 
 
 
 OBS: O apótema é sempre perpendicular ao lado do 
polígono regular. 
 
 A distância entre o centro e um dos vértices 
do polígono é conhecido como raio, representa 
uma circunferência onde o polígono está inscrito. 
 
 
 
 OBS: O apótema é a altura do triângulo isósceles, 
cuja base é um dos lados do polígono regular. E o raio 
é a medida dos lados iguais neste mesmo triângulo. 
 
 Os principais polígonos regulares para estudar são: 
TRIÂNGULO EQUILÁTERO, QUADRADO E 
HEXÁGONO REGULAR. 
 TRIÂNGULO 
 
𝒉 =
𝒍√𝟑
𝟐
 𝒂 =
𝒍√𝟑
𝟔
 
𝒓 =
𝒍√𝟑
𝟑
 
 
 
 
84 
QUADRADO 
 
 d = diagonal do quadrado 
𝑎 =
𝑙
2
 ; 𝑑 = 𝑙√2; 𝑟
=
𝑙√2
2
 
 
HEXAGONO 
 
𝒂 =
𝒍√𝟑
𝟐
; 𝒓 = 𝒍 
 
 
 
 
85 
ÁREAS 
 
É o espaço determinado por uma figura plana 
fechada. Utilizamos fórmulas para calcular estes 
valores. A unidade da área possui expoente dois. 
(mm², cm², m², Km²). A seguir vamos ver algumas 
figuras: 
PARALELOGRAMO 
 
Polígono formado por dois pares de lados 
paralelos. 
 
 
𝐴 = 𝑏. ℎ 
 Todo quadrado é retângulo. 
 Todo retângulo é paralelogramo. 
TRIÂNGULO 
 
Polígono formado por três lados. 
 
 
 
𝐴 =
𝑏. ℎ
2
 
 
 TRAPÉZIO 
 
Polígono formado por dois lados paralelos e dois 
transversais 
 
 
𝐴 =
(𝐵 + 𝑏). ℎ
2
 
 
CÍRCULO 
 
Não é um polígono, para calcular sua área devemos 
utilizar o raio. 
 
𝐴 = 𝜋. 𝑟² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
86 
POLÍGONOS REGULARES 
 A área de um polígono regular de “n” lados pode 
ser obtida através da divisão deste polígono em “n” 
triângulos congruentes, cuja altura é o apótema (a) 
e a base é o lado do polígono (l). 
Temos então que a área do polígono regular é: 
𝑨 = 𝒏.
𝒍. 𝒂
𝟐
 
Como n.l é o perímetro da figura (2p), podemos 
dizer que a área é: 
𝑨 =
𝟐𝒑. 𝒂
𝟐
 
Simplificando a fração temos então que a Área do 
polígono regular é: 
𝑨 = 𝒑. 𝒂 
Onde p é o semi-perímetro, ou seja, metade do 
perímetro do polígono. 
 
 
 
87 
1) (SIMAVE). A logomarca de uma empresa é 
formada por um hexágono regular, um trapézio 
retângulo e um quadrado, como mostra a figura 
abaixo. 
 
Quanto mede o ângulo α, indicado nessa figura? 
(A) 30º 
(B) 45º 
(C) 60º 
(D) 90º 
 
 
2) Cristina desenhou quatro polígonos 
regulares e anotou dentro deles o valor da soma de 
seus ângulos internos. 
 
 
 
Qual é a medida de cada ângulo interno do 
hexágono regular? 
(A) 60º 
(B) 108º 
(C) 120º 
(D) 135º 
 
 
 
 
 
3) Carla desenhou um polígono regular de oito 
lados. 
 
Qual é a soma dos ângulos internos do octógono 
regular? 
(A) 1080º. 
(B) 900º. 
(C) 720º. 
(D) 540º. 
 
 
 
4) Mário desenhou quatro polígonos regulares e 
anotou dentro deles o valor da soma de seus ângulos 
internos. 
 
Qual é a medida de cada ângulo interno do pentágono 
regular? 
(A) 60º 
(B) 108º 
(C) 120º 
(D) 135º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
88 
5) Renata construiu todas as diagonais de 
hexágono regular. 
 
O número de diagonais presentes no hexágono é: 
 (A) 9 diagonais. 
 (B) 8 diagonais. 
 (C) 6 diagonais. 
 (D) 16 diagonais. 
 
6) (SPAECE). Lucas desenhou uma figura 
formada por dois hexágonos. Veja o que ele 
desenhou. 
 
Nessa figura, a soma das medidas dos ângulos α 
e β é: 
A) 60º 
B) 120º 
C) 240º 
D) 720º 
 
7) (Saresp 2005). Considere o polígono. (☻☻) 
 
 
A soma dos seus ângulos internos é: 
(A) 180º 
(B) 360
o 
 
(C) 720
o 
 
(D) 540
o 
 
8) (Saresp 2005). O número de diagonais da 
figura abaixo é: 
 
 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
 
9) (Saego 2011). A soma dos ângulos internos de um 
hexágono é 
(A) 1080º 
(B) 720º 
(C) 360º 
(D) 180º 
 
 
10) (GAVE). A figura seguinte é composta por dois 
quadrados e um triângulo equilátero. 
 
O valor do ângulo a é 
(A) 50º 
(B) 90º 
(C) 120º 
(D) 180º 
 
11) (GAVE). A figura mostra três polígonos que a 
Maria desenhou, juntando, por um dos seus lados, 
dois triângulos retângulos geometricamente iguais. 
 
 
 
 
89 
Os nomes dos três polígonos que a Maria desenhou 
foram 
(A) Losango, Triângulo e Pentágono. 
(B) Paralelogramo, Triângulo e Pentágono. 
(C) Losango, Triângulo e Hexágono. 
(D) Paralelogramo, Triângulo e Hexágono. 
 
12) (GAVE). O chão à volta deuma piscina está 
pavimentado com mosaicos todos iguais, como 
mostra a figura. 
 
 
O nome do polígono representado por cada um dos 
mosaicos da figura é 
(A) Hexágono 
(B) Pentágono 
(C) Retângulo 
(D) Triângulo 
 
13) (Supletivo 2011). A figura, abaixo, representa 
uma embalagem de pizza que tem a forma de um 
octógono regular. 
 
Nessa embalagem, qual é a medida do ângulo α? 
A) 45°. 
B) 60°. 
C) 120°. 
D) 135°. 
 
 
 
 
 
 
14) Na figura, os três ângulos indicados tem a mesma 
medida. O valor de x é: 
 
A) 60º 
B) 90º 
C) 120º 
D) 135º 
 
15) (Praticando matemática). Um triângulo pode ter os 
ângulos medindo: 
A) 70º, 70º e 70º 
B) 75º, 85º e 20º 
C) 75º, 85º e 25º 
D) 70º, 90º e 25 
 
 
 
16) (GAVE). O sólido representado na figura faz 
lembrar uma bola de futebol. 
 
O nome dos polígonos das faces deste sólido que 
estão visíveis na figura. 
(A) Quadriláteros e hexágonos 
(B) Hexágonos e pentágonos 
(C) Pentágonos e triângulos 
(D) Triângulos e octógonos 
 
17) (Projeto con(seguir)). A soma dos ângulos 
internos de um heptágono é: 
(A) 360º 
(B) 540º 
(C) 720º 
(D) 900º 
 
 
 
 
 
 
90 
18) (Projeto con(seguir)). A prefeitura de uma 
cidade do interior decidiu ladrilhar uma praça do 
centro da cidade com ladrilhos em forma de 
polígonos regulares, sendo todos do mesmo 
tamanho. O arquiteto responsável pela obra 
escolheu ladrilhos cujo ângulo interno mede 108º. 
Nesse caso, os ladrilhos escolhidos tem a forma de: 
(A) pentágono 
(B) hexágono 
(C) octógono 
(D) decágono 
 
19) (Projeto con(seguir)). O pentágono 
representado abaixo é regular. 
 
O valor do ângulo x é: 
(A) 18º 
(B) 36º 
(C) 72º 
(D) 108º 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1)A 2)C 3)A 4)B 
5)A 6)C 7)B 8)B 
9)B 10)C 11)B 12)A 
13)D 14)C 15)B 16)B 
17)D 18)A 19)C 
Exercícios 
1) Um triângulo equilátero possui seu lado igual a 10 
cm, determine: 
a. Sua altura; 
b. Seu apótema 
c. O raio da circunferência que passa pelos seus três 
vértices. 
 
2) Um quadrado de lado 10 cm está inscrito em uma 
circunferência. Determine o raio, o comprimento e a 
área da circunferência. 
 
3) O lado de um triângulo eqüilátero inscrito numa 
circunferência mede 2 cm. Determine a medida da 
altura do triângulo, do raio da circunferência, da área 
do triângulo e da área da circunferência. 
 
4) Um círculo de 5 cm de raio está inscrito em um 
hexágono regular. Determine o perímetro e a área do 
hexágono. 
 
5) O apótema do quadrado inscrito numa 
circunferência é igual a 2 cm. Determine a área do 
hexágono regular inscrito nessa mesma 
circunferência. 
 
6) O raio da circunferência inscrita num triângulo 
eqüilátero é igual a 4 cm. Determine: 
a) a altura do triângulo eqüilátero. 
b) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. 
d) o lado do triângulo. 
 
7) Determinar o raio da circunferência inscrita e o raio 
da circunferência circunscrita em um quadrado de 
lado 12 cm. 
 
 
GABARITO 
1) a) 5√3 b) 
5√3
3
 c) 
10√3
3
 
2) 𝒓 = 5√2 𝐶 = 10√2𝜋 𝐴 = 50𝜋 
3) ℎ = 3√2 𝑟 = 2√2 𝐴3 = 6√3 𝐴 = 8𝜋 
4) 2𝑝 = 20√3 𝐴 = 100√3 
5) 𝐴 = 12√3 
6)a) ℎ = 12 b)r = 8 c) 𝑙 = 8√3 
7) r = 6 𝑅 = 6√2 
 
 
91 
SEMELHANÇA E CONGRUÊNCIA 
 Duas figuras são chamadas de semelhantes 
quando possuem exatamente o mesmo formato, 
mas não necessariamente o esmo tamanho. 
 Figuras semelhantes possuem a mesma 
proporções quando fazemos a razão entre seus 
lados. Dada a proporção entre dois lados, 
podemos obter ou=s outros lados. 
 Se as figuras tiverem mesmo formato e mesmas 
medidas, ou seja, exatamente iguais, são 
chamadas de figuras congruentes. Podemos dizer 
que a proporção, ou a razão, entre as figuras é 
igual a 1. Pois quando dividimos um lado por um 
valor igual obtemos o número 1. 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE TALES 
Tales de Mileto foi um matemático e filósofo Grego do 
período pré-socrático que viveu em meados de 650 
A.C. Tales formulou um teorema que afirma: 
 “Se duas retas são transversais a um 
conjunto de três ou mais retas paralelas, 
então a razão entre os comprimentos de dois 
segmentos quaisquer determinados sobre 
uma delas é igual a razão entre os 
comprimentos dos segmentos 
correspondentes determinados sobre a 
outra.” 
 
 Dado um feixe de retas paralelas (r, s e t) e duas 
transversais (a e b) conseguimos algumas relações 
atravé do estudo de semelhança. 
 
 Temos como relacionar os segmentos formados por 
estas retas. 
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
=
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′
=
𝐴𝐶
𝐴′𝐶′
 
OBS: Devemos relacionar sempre com segmentos 
correspondentes. 
𝐴𝐵
𝐵𝐶
=
𝐴′𝐵′
𝐵′𝐶′
 
 
 
 
92 
EXERCÍCIOS DE EXAMES 
 
1) (Unicamp) Uma rampa de inclinação constante, 
como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em 
Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais 
alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota 
que após caminhar 12,3 metros sobre a rampa 
está a 1,5 metros de altura em relação ao solo. 
Calcule quantos metros a pessoa ainda deve 
caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa. 
 
2) (Unesp) Um obelisco de 12 m de altura projeta, 
num certo momento, uma sombra de 4,8 m de 
extensão. Calcule a distância máxima que uma 
pessoa de 1,80 m de altura poderá se afastar do 
centro da base do obelisco, ao longo da sombra, 
para, em pé, continuar totalmente na sombra. 
 
3) (Fuvest) Num terreno, na forma de um triângulo 
retângulo com catetos com medidas 20 e 30 
metros, deseja-se construir uma casa retangular 
de dimensões x e y, Utilizando parte dos catetos 
como lados do retângulo.. 
Para que valores de x e de y a área ocupada pela 
casa será máxima? 
 
 
 
4) (Cesgranrio) Certa noite, uma moça, de 1,50 m 
de altura, estava a dois metros de distância de um 
poste de luz de 4 m de altura. O comprimento da 
sombra da moça no chão era de: 
a) 0,75 m 
b) 1,20 m 
c) 1,80 m 
d) 2,40 m 
e) 3,20 m 
 
5) (Unesp) Na figura, B é um ponto do segmento de 
reta AC e os ângulos DAB, DBE e BCE são reto 
 
Se o segmento AD = 6 dm, o segmento AC = 11 dm 
e o segmento EC = 3 dm, as medidas possíveis de AB, 
em dm, são: 
a) 4,5 e 6,5. 
b) 7,5 e 3,5. 
c) 8 e 3. 
d) 7 e 4. 
e) 9 e 2. 
 
6) (Unirio) 
 
 
Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto 
voador não identificado, em forma de disco, que 
estacionou a 50 m do solo, aproximadamente. Um 
helicóptero do exército, situado a aproximadamente 
30 m acima do objeto, iluminou-o com um holofote, 
conforme mostra a figura anterior. Sendo assim, pode-
se afirmar que o raio do disco-voador mede, em m, 
aproximadamente: 
a) 3,0 
b) 3,5 
c) 4,0 
d) 4,5 
e) 5,0 
 
 
 
93 
7) (Puccamp) Os triângulos ABC e AED, 
representados na figura a seguir, são 
semelhantes, sendo o ângulo ADE congruente ao 
ângulo ACB 
 
Se BC = 16 cm, AC = 20 cm, AD = 10 cm e AE = 
10,4 cm, o perímetro do quadrilátero BCED, em 
centímetros, é 
a) 32,6 
b) 36,4 
c) 40,8 
d) 42,6 
e) 44,4 
 
 
8) (Unesp) A sombra de um prédio, num terreno 
plano, numa determinada hora do dia, mede 15 m. 
Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a 
sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m. 
 
A altura do prédio, em metros, é 
a) 25. 
b) 29. 
c) 30. 
d) 45. 
e) 75. 
 
 
 
9) (Unicamp) Um homem, de 1,80 m de altura, sobe 
uma ladeira com inclinação de 30°, conforme mostra 
a figura. No ponto A está um poste vertical de 5 metros 
de altura, com uma lâmpada no ponto B. Pede-se 
para: 
Calcular o comprimento da sombra do homem depois 
que ele subiu 4 metros ladeira acima. 
 
10) (PUCPR) 
A área do retângulo DEFB é: 
 
a) 24 
b) 160 
c) 120 
d) 20 
e) 180 
 
11) (Unesp) Um observador situado num ponto O, 
localizado na margem de um rio, precisa determinar 
sua distância até um ponto P, localizado na outra 
margem, sem atravessar o rio. Para isso marca, com 
estacas, outros pontos do lado da margem emque se 
encontra, de tal forma que P, O e B estão alinhados 
entre si e P, A e C também. Além disso, OA é paralelo 
a BC, OA = 25 m, BC = 40 m e OB = 30 m, conforme 
figura: 
 
A distância, em metros, do observador em O até o 
ponto P, é: 
a) 30. 
b) 35. 
c) 40. 
d) 45. 
e) 50. 
 
 
94 
12) (Fei) Se em um triângulo os lados medem 9, 
12 e 15 cm, então a altura relativa ao maior lado 
mede: 
a) 8,0 cm 
b) 7,2 cm 
c) 6,0 cm 
d) 5,6 cm 
e) 4,3 cm 
 
 
 
13) (Enem) 
 
 
 
Na figura acima, que representa o projeto de uma 
escada com 5 degraus de mesma altura, o 
comprimento total do corrimão é igual a 
a) 1,8 m. 
b) 1,9 m. 
c) 2,0 m. 
d) 2,1 m. 
e) 2,2 m. 
 
 
 
14)(FGV) As bases de um trapézio isósceles 
medem 20 m e 36 m, e a soma das medidas dos 
lados não paralelos é 20 m. A medida da altura 
desse trapézio é: 
a) 6 m 
b) 3 m 
c) 8 m 
d) 4 m 
e) 10 m 
 
 
 
GABARITO 
1) 20,5 
2) 4,08 
3) x = 15 e y = 10 
4) B 5)E 6)A 7)E 8)A 
9) 2,25 
10) C 11)E 12)B 13)D 14)A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
95 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
1) Nas figuras, a // b // c, calcule o valor de x. 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
96 
2) Um feixe de quatro retas paralelas determina 
sobre uma transversal três segmentos 
consecutivos, que medem 5 cm, 6 cm e 9 cm. 
Calcule os comprimentos dos segmentos 
determinados pelo feixe em outra transversal, 
sabendo que o segmento desta, compreendido 
entre a primeira e a quarta paralela, mede 60 cm. 
 
3) A planta abaixo no mostra três terrenos cujas 
laterais são paralelas. Calcule, em metros, as 
medidas x, y e z indicadas. 
 
 
4) Esta planta mostra dois terrenos. As divisas 
laterais são perpendiculares à rua. Quais as 
medidas das frentes dos terrenos que dão para a 
avenida. Sabendo – se que a frente total para essa 
avenida é de 90 metros? 
 
 
 
 
5) Nesta figura, os segmentos de retas AO , BP , 
CQ e DR são paralelos. A medida do segmento 
PQ , em metros, é: 
 
 
6) Um feixe de três retas paralelas determina 
sobre uma transversal a os pontos A, B e C, tal que 
AB = 10 cm e BC = 25 cm, e sobre uma transversal 
b os pontos M, N e P, tal que MP = 21 cm. Quais as 
medidas dos segmentos MN e NP determinados 
sobre a transversal? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1)a) x = 6 
b) x = 7 
c) x = 10,5 
d) x = 2 e y = 20 
e) x = 2 
f) x = 5 e y = 6 
2) 15, 18 e 27 
3) x = 16, y = 24 e z = 40 
4) x = 36 e y = 54 
5) 40 
6) MN = 6 e NP = 15 
 
 
97 
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO 
RETÂNGULO 
 O triângulo retângulo recebe este nome devido 
seu ângulo reto (90°). Este ângulo de noventa 
graus define o nome dos lados do triângulo, sendo 
dois lados chamados de catetos (lados que forma 
o ângulo de 90°) e um lado chamado de 
hipotenusa (oposto ao ângulo reto). 
 Dois triângulos retângulos semelhantes 
possuem os mesmo ângulos eos seus lados são 
proporcionais, logo, podemos relacionar seus 
lados. Um breve estudo nestes triângulos nos 
permite relacionar os lados segundo os ângulos 
agudos do triângulo. 
 Ao definir de qual ângulo iremos tratar, definimos 
também que há um cateto oposto a esteângulo e 
também um cateto adjacente a ele. 
 As razões entre os lados são chamadas de 
razões trigonométricas, onde temos: Seno, 
Cosseno e Tangente. 
 
LEMBRANDO: RAZÃO = DIVISÃO 
𝑆𝐸𝑁𝑂 𝛼 = 
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
𝐶𝑂𝑆 𝛼 = 
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
𝑇𝐺 𝛼 = 
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
 
ÂNGULOS NOTÁVEIS 
No estudo da trigonometria, assim como as razões 
trigonométricas, existem alguns ângulos que devemos 
saber o valor de suas razões, são chamados de 
ângulos notáveis. 
São os ângulo de 30°, 45° e 60°, com as razões 
segundo a tebela abaixo: 
 
 30° 45° 60° 
Sem 
1
2
 
√2
2
 
√3
2
 
Cos 
√3
2
 
√2
2
 
1
2
 
Tg 
√3
3
 1 √3 
 
 
98 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
1) Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um 
ângulo constante de 15º com a horizontal. A que 
altura está e qual distância percorrida, quando 
alcançar a vertical que passa por um prédio A 
situado a 2 km do ponto de partida? 
(Dados: sen 15º = 0,26, cos 15º = 0,97 e tg 15º = 
0,27). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC 
da figura, sabendo que 
5
3
cos  e o segmento BC 
é igual a 10 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Determine as medidas x e y indicadas no 
triângulo retângulo abaixo. 
 ( dados sen 35º = 0,574 cos 35º = 0,819 ) 
 
4) Uma rampa lisa com 10 m de comprimento faz 
ângulo de 15º com o plano horizontal. Uma pessoa 
que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente a 
quantos metros? 
 ( use: sen.15º = 0,26 , cos 15º = 0,97 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Determine as medidas dos catetos do triângulo 
retângulo abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) A uma distância de 40 m, uma torre é vista sob um 
ângulo de 20º, como nos mostra a figura. Determine a 
altura h da torre. ( sen 20º = 0,34 , cos 20º = 0, 94 
. tg 20º = 0, 36 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 cm 
35º 
x 
y 
x 
 
10 m 
15º 
50 cm 
30º 
A 
B 
C 
x 
y 
20º 
h 
 
 
99 
7) Uma escada de pedreiro de 10m está apoiada 
numa parede e forma com o solo um ângulo de 
40º. Qual a altura atingida pelo ponto mais alto da 
escada? Obs: sen 40º  0,64. 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Calcule o comprimento da sombra projetada por 
um poste de 6m de altura, no instante em que os 
raios solares que incidem sobre ele formam com o 
solo, horizontal, um ângulo de 60º. 
 
 
 
 
 
 
9) Determine as medidas dos segmentos 
____
BC e 
____
AC da figura abaixo. ABC é triângulo Retângulo? 
 
 
 
 
 
10) Uma pipa é presa a um fio esticado que forma 
um ângulo de 45º com o solo. O comprimento do fio 
é 80 m. determine a altura da pipa em relação ao 
solo. 
 
 
11) Qual é a largura do rio representado pela figura 
abaixo?(Use: sen 53º = 0,80; cos 53º = 0,60; tg 53º = 
1,32.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) O ângulo de elevação do pé de uma árvore ao topo 
de uma encosta é de 60º. Sabendo – se que a árvore 
está distante 50 m da base da encosta, que medida 
deve ter um cabo de aço para ligar a base da árvore 
ao topo da encosta? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
100 
13) Num exercício de tiro, o alvo se encontra numa 
parede cuja base está situada a 20 m do atirador. 
Sabendo que o atirador vê o alvo sob um ângulo 
de 10º em relação à horizontal, calcule a que 
distância o alvo se encontra do chão.(Dado: sen 
10º = 0,17; cos 10º = 0,98 e tg 10º = 0,18). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1) x = 540m e y = 2076,92m 
2) 2p = 28 
3) x = 3,444 e y = 4,914 
4) . 
5) . 
6) . 
7) . 
8) . 
9) . 
10) . 
11) . 
12) . 
13) 
 
 
 
101 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO 
RETÂNGULO 
 
 A principal relação métrica que existe no 
triângulo retângulo é conhecido como o 
TEOREMA DE PITÁGORAS, que pode ser 
traduzido como: 
𝑠² = 𝑏¹ + 𝑐² 
 Onde a é a hipotenusa do triângulo retângulo, e 
as letras b e c representam as medidas dos 
catetos. 
 
 Porém temos ainda outras relações métricas que 
envolvem os lados do triângulo, a altura relativa à 
hipotenusa e as projeções dos catetos. 
 
 
Onde m é a projeção do cateto b sobre a 
hipotenusa a, e o segmento n é a projeção do 
cateto c sobre a hipotenusa a. 
 
 
 
 
 
 
OBS: Podemos observar que a = m + n. 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS EM UM 
TRIÂNGULO QUALQUER 
 Existem duas relações trigonométricas que poderão 
ser aplicadas em um triângulo qualquer,são chamadas 
de LEI DOS SENOS e LEI DOS COSSENOS. 
 Qual das leis será utilizada vai depender dos dados 
conhecidos no triângulo, não sendo uma regra, mas 
muito comum. 
 Em triângulos que conhecemos dois lados e o ângulo 
formado entre eles nós utilizamdos a LEI DOS 
COSSENOS para calcular a medida do terceiro lado. 
 
LEI DOS COSSENOS 
 A fórmula utilizada é: 
𝑠² = 𝑏¹ + 𝑐² − 2. 𝑏. 𝑐. cos 𝛼 
 Onde α é o ângulo oposto ao lado a a ser calculado. 
 
 
LEI DOS SENOS 
 A lei do senos é uma relação entre os lados e o seno 
dos ângulos opostos. Costumamos utilizar a lei dos 
senos quando conhecemos dois ângulos e um dos 
lados. 
LEMBRANDO QUE: Se conhecemos dois ângulos de 
um triângulo, de forma direta conhecemos os três 
ângulos, pois a soma dos três ângulos do triângulo será 
sempre 180°. 
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝛼
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛𝛽
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝛾
 
 Vamos ver um exemplo do uso da lei dos senos: 
 
Existe uma relação da lei dos senos para um triângulo 
que esteja inscrito em uma circunferência, ou seja, 
seus três vértices estão na circunferência. 
 
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝛼
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛𝛽
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝛾
= 2𝑅 
 
 
102 
Exercícios 
1) Na figura abaixo, a distância da casa à estrada é 
1,2km. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Qual é a menor distância da árvore à caixa 
d’água? 
 
 
 
 
b) Qual é a menor distância da casa à árvore? 
 
 
 
 
c) Qual é a menor distância da casa à caixa 
d’água? 
 
 
 
 
 
2) A figura representa a vista frontal de uma casa. 
Determine as medidas x, y e h das dimensões do 
telhado dessa casa. 
 
 
 
3) Dado o triângulo retângulo ABC, reto em A, 
representado na figura abaixo, calcule os valores 
desconhecidos (x, m, n e h). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1) 
2) 
3) 
 
 
http://lh3.ggpht.com/_fSsSaKPmd2s/S_Vxr6UCQVI/AAAAAAAAAho/q0_aCNKzXdY/s1600-h/image[7].png
 
 
103 
EXERCÍCIOS 
1) Algebrópolis, Geometrópolis e Aritmetrópolis são 
cidades do país Matematiquistão, localizadas 
conforme a figura. A partir dos dados fornecidos, 
determine a distância aproximada de Geometrópolis 
a Algebrópolis. Considere 4,12  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) (UEPA) A figura abaixo mostra o corte lateral de 
um terreno onde será construída uma rampa reta, 
_____
AC , que servirá para o acesso de veículos à casa, 
que se encontra na parte mais alta do terreno. A 
distância de A a B é de 6 m, de B a C é de 10 m e 
o ângulo ABC mede 120º. 
Qual deve ser o valor do comprimento da rampa em 
metros? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Dado o triângulo ABC e sabendo que o lado a mede 16, 
o lado b mede 10 e o ângulo formado por estes lados é 60º, 
qual é o valor do lado c do triângulo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) DADO O TRIÂNGULO ABAIXO, E SABENDO QUE DOIS 
DE SEUS ÂNGULOS SÃO DE 15O E 45O 
RESPECTIVAMENTE E QUE O LADO EM COMUM MEDE 
18, QUAIS SÃO OS VALORES DOS LADOS B E C? 
DADOS: SEN15º = 0,26; SEN120º = 0,86 E SEN45º = 0,70 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) No paralelogramo desenhado abaixo, obtenha a 
medida da diagonal maior. 
 
 
 
 
 
 
 
104 
6) Sabendo que em um triângulo qualquer seus 
lados medem respectivamente 3, 5 e 7 , qual o valor 
do cosseno do ângulo C deste triângulo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Um triângulo é tal que AB = 32 cm e AC = 6cm. 
Calcule a medida do lado BC sabendo que os 
ângulos internos dos vértices B e C são tais que B = 
2C. (Dica: Sen2C = 2senCcosC) 
 
 
 
 
 
 
8) No triângulo da figura, x = 30º, y = 15º e AC mede 
215 . Calcule o lado BC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Calcule o cosseno do ângulo obtuso x do triângulo 
ABC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Calcule a soma dos lados AC e BC do triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Calcule o valor de cos x no triângulo da figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
105 
12) Uma certa propriedade rural tem o formato de 
um trapézio como na figura. As bases WZ e XY do 
trapézio medem 9,4 km e 5,7 km, respectivamente, 
e o lado YZ margeia um rio. Se o ângulo XYZ é o 
dobro do ângulo XWZ, a medida, em km, do lado 
YZ que fica à margem do rio é: 
(A) 7,5. 
(B) 5,7. 
(C) 4,7. 
(D) 4,3. 
(E) 3,7. 
 
13) Um topógrafo pretende medir a distância entre 
dois pontos (A e B) situados em margens opostas 
de um rio. Para isso, ele escolheu um ponto C na 
margem em que está, e mediu os ângulos BCA ˆ e 
BAC ˆ , encontrando, respectivamente, 45° e 75º. 
Determine 
_____
AB , sabendo que 
_____
AC mede 16 m. 
(Utilize
4,12  ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) Calcule a distância dos pontos A e B, entre os 
quais há uma montanha, sabendo que suas distâncias 
a um ponto fixo M são de 2km e 3km, 
respectivamente. A medida do ângulo BMA ˆ é igual a 
60º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
 
 
 
106 
EXERCÍCIOS 
01) Determine as medidas a, h, m e n no 
triângulo retângulo ABC a seguir. 
 A 
 
 3 4 
 hh 
 
 B C 
 m H n 
 a 
 
 
 
 
 
02) Determine os valores de b, c e h no triângulo 
retângulo ABC abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03) Em um retângulo ABCD, tem-se AB = 8 cm 
e BC = 6 cm. Determine: 
a) a medida da diagonal AC ; 
b) a distância do ponto B à diagonal AC ; 
c) a medida da projeção ortogonal do lado AB sobre 
a diagonal AC . 
 
 
 
 
 
 
 
04) Em um triângulo retângulo ABC, a 
hipotenusa BC e o cateto AB medem 30cm e 
18cm, respectivamente. Traça-se a altura AH . 
Calcule as medidas dos segmentos AC e AH . 
 
 
05) O perímetro de um triângulo equilátero mede 
15cm. Determine a medida da altura desse triângulo. 
 
 
 
 
 
 
06) Uma escada medindo 4m tem uma de suas 
extremidades apoiada no topo de um muro, e a outra 
extremidade dista 2,4 m da base do muro. Determine 
a altura desse muro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
07) Num trapézio retângulo, as bases medem 16cm 
e 4cm, respectivamente. O maior lado não paralelo 
mede 13cm. Qual o perímetro do trapézio? 
 
 
 
 
 
 
08) Determine a medida da diagonal de um 
quadrado que tem 15 cm de lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
09) Qual a área de um triângulo equilátero que tem 
32 cm de lado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h 
 
 
107 
10) Um dos catetos de um triângulo retângulo 
mede 20cm e o outro é igual a 
4
3
 do primeiro. 
Determine a medida da hipotenusa desse triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
11) Determine a medida da hipotenusa e o 
perímetro do triângulo: 
 
 7x + 1 
 3x + 3 
 
 
 8x – 4 
 
 
 
 
 
 
12) As extremidades de um fio de antena totalmente 
esticado estão presas no topo de um prédioe no 
topo de um poste, respectivamente, de 16m e 4m de 
altura. Considerando-se o terreno horizontal e 
sabendo-se que a distância entre o prédio e o poste 
é de 9m, o comprimento do fio, em metros, é 
 a) 12 b) 15 c) 20 d) 25 
 
 
 
 
 
13) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em Â. 
Sabendo-se que AD = 2, CD = 8 e BD = 5, a medida 
do lado BC é 
 
. a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 
 
 
14) Em uma residência, há uma área de lazer com 
uma piscina redonda de 5 m de diâmetro. Nessa área 
há um coqueiro, representado na figura por um ponto 
Q. 
 
 
 
Se a distância de Q (coqueiro) ao ponto de tangência 
T (da piscina) é 6 m, a distância d = QP, do 
coqueiro à piscina, é: 
 
 a) 4 m 
b) 4,5 m 
 c) 5 m 
d) 5,5 m 
e) 6 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
 
 
108 
POTÊNCIA DE PONTO 
Ou 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO CÍRCULO 
 No estudo de círculos podemos relacionar a 
distância de alguns segmentos de acordo com 
algumas situações como vemos abaixo: 
UM PONTO INTERNO AO CÍRCULO 
 Dado um ponto interno ao círculo e dois 
segmentos que cruzam por este ponto, podemos 
relacionar os segmentos formados. 
OBS: Utilizamos o produto entre os segmentos de 
uma mesma reta. 
 
 
 
UM PONTO EXTERNO AO CÍRCULO E DUAS 
RETAS SECANTES 
 De um ponto externo ao círculo traçamos dois 
segmentos secantes, ou seja, cada segmento 
possui dois pontos em comum com o círculo. 
Relacionamos os segmentos formados, utilizando 
os produtos entre o segmento externo e o 
segmento completo (do ponto externo ao segundo 
ponto). 
 
 
 
UM PONTO EXTERNO, UMA RETA SECANTE E 
UMA RETA TANGENTE 
Diferentemente do caso anterior, agora, apenas um 
dos segmentos possuem dois pontos em comum, 
enquanto o outro segmento é tangente, ou seja, 
possui apenas um ponto em comum. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
109 
EXERCÍCIOS 
1. (FRANCO) Calcule x na figura : 
 
 
a) 
 18 x 
 
 4 
 
 
 
b) 
 
 
 2x x 
 
 x+1 
 x-2 
 
 
 
 
 
c) 
 x x 
 
 4 
 12 
 
 
 
 
 
d) x x+2 
 
 
 3 
 1 
 
 
 
e) 
 
 15 10 
 
 x 
 
 
f) 
 
 
 x+2 
 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
x
102
 
 
110 
VOLUMES 
O espaço ocupado por um sólido, representa 
também a quantidade possível de ser armazenar 
algo dentro dos sólidos. Podemos separar os 
sólidos em alguns grupos. 
 
 PRISMAS 
 
Possui duas bases iguais e suas faces são 
formadas por retângulos. As bases são polígonos. 
O nome do prisma é dado de acordo com sua 
base. 
 
 Prisma triangular 
 Prisma retangular ou Bloco retangular ou 
Paralelepípedo 
 Prisma hexagonal 
 
 
 
𝑉 = 𝐴𝑏 . ℎ 
 
 
 CILINDRO 
 
Duas bases circulares paralelas 
 
 
 
 
O volume é dado pela fórmula: 
𝑉 = 𝐴𝑏 . ℎ 
𝑉 = 𝜋𝑟². ℎ 
 
 
 PIRÂMIDE 
 
Uma base poligonal e faces laterais triangulares 
 CONE 
 Uma base circular e a face lateral é um setor 
circular 
𝑉 =
𝐴𝑏 . ℎ
3
 
 
 
 
 
 
111 
EXERCÍCIOS 
1) (PAEBES). Para o abastecimento de água tratada 
de uma pequena cidade, foi construído um 
reservatório com a forma de um paralelepípedo 
retângulo, conforme a representação abaixo. 
 
A capacidade máxima de água desse reservatório é 
de 
(A) 135 m³ 
(B) 180 m³ 
(C) 450 m³ 
(D) 550 m³ 
(E) 900 m³ 
 
 
 
 
 
 
 
2) Um copo cilíndrico, com 4 cm de raio e 12 cm de 
altura, está com água até a altura de 8 cm. Foram 
então colocadas em seu interior n bolas de gude, e 
o nível da água atingiu a boca do copo, sem 
derramamento. 
Qual é o volume, em cm
3
, de todas as n bolas de 
gude juntas? 
(A) 32π 
(B) 48π 
(C) 64π 
(D) 80π 
(E) 96π 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) (PROEB). Para desenvolver a visão espacial 
dos estudantes, o professor ofereceu-lhes uma 
planificação de uma pirâmide de base quadrada como 
a figura: 
 
A área da base dessa pirâmide é 100 cm² e a área de 
cada face é 80 cm². 
A área total, no caso da pirâmide considerada, é igual 
a: 
 
(A) 320 cm² 
(B) 340 cm² 
(C) 360 cm² 
(D) 400 cm² 
(E) 420 cm² 
 
 
 
 
4) De um bloco cúbico de isopor de aresta 3a, 
recorta-se o sólido, em forma de H, mostrado na figura 
abaixo. 
 
O volume do sólido é: 
(A) 27a³. 
(B) 21a³. 
(C) 18a³. 
(D) 14a³. 
(E) 9a³. 
 
 
112 
5) Um empresário produz sólidos pedagógicos 
de plástico, como por exemplo, pirâmides. Ele quer 
embalá-las em caixas no formato de um cubo, 
sabendo que a pirâmide está inscrita, como mostra 
a figura abaixo. 
 
 
Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 6 m³, 
então o volume do cubo, em m³, é igual a: 
 
(A) 9 
(B) 12 
(C) 15 
(D) 18 
(E) 21 
 
 
6) Um cubo mágico de volume 512 cm³ foi 
montado com 64 cubos iguais, conforme a figura a 
abaixo. 
 
A medida do lado de cada um dos cubos menores, 
em centímetros, é: 
 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 5 
(E) 6 
 
 
 
 
7) Uma embalagem de talco de forma cilíndrica possui 
15 centímetros de altura e base com 3 centímetros de 
raio. Qual é o volume máximo, em cm³, de talco que 
essa embalagem comporta? 
 
A) 540 π 
B) 180 π 
C) 135 π 
D) 90 π 
E) 45 π 
 
 
 
 
 
 
8) (SPAECE). Na figura abaixo, o bloco retangular 
representa uma lata de tinta para paredes 
completamente cheia. Observe as dimensões dessa 
lata. 
 
 
O volume de tinta dessa lata, em decímetros cúbicos, 
é 
 
A) 12 
B) 15 
C) 18 
D) 24 
E) 26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
113 
9) (Enem 2010). A siderúrgica “Metal Nobre” 
produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. 
Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem 
o formato de um paralelepípedo retangular, de 
acordo com as dimensões indicadas na figura que 
segue 
 
 
 
O produto das três dimensões indicadas na peça 
resultaria na medida da grandeza 
(A) massa. 
(B) volume. 
(C) superfície. 
(D) capacidade. 
(E) comprimento. 
 
 
 
10) (ENEM 2010). Dona Maria, diarista na casa 
da família Teixeira, precisa fazer café para servir as 
vinte pessoas que se encontram numa reunião na 
sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma 
leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também 
cilíndricos. 
 
 
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista 
deseja colocar a quantidade mínima de água na 
leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. 
Para que isso ocorra, Dona Maria deverá 
(A) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um 
volume 20 vezes maior que o volume do copo. 
(B) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um 
volume 20 vezes maior que o volume do copo. 
(C) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um 
volume 10 vezes maior que o volume do copo. 
(D) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um 
volume 10 vezes maior que o volume do copo. 
(E) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um 
volume 10 vezes maior que o volume do copo. 
 
11) (ENEM 2010). Um porta-lápis de madeira foi 
construído no formato cúbico, seguindo o modelo 
ilustrado a seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta 
do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é 
interno, mede 8 cm. 
 
O volume de madeira utilizado na confecção desse 
objeto foi de 
(A) 12 cm³. 
(B) 64 cm³. 
(C) 96 cm³ 
(D) 1216 cm³ 
(E) 1728 cm³.12) (ENEM 2006). Uma artesã confecciona dois 
diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes 
feitos com cartões de papel retangulares de 20 cm x 
10 cm (conforme ilustram as figuras abaixo). Unindo 
dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a 
artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche 
completamente com parafina. 
 
Supondo-se que o custo da vela seja diretamente 
proporcional ao volume de parafina empregado, o 
custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do 
tipo II, será 
(A) o triplo. 
(B) o dobro. 
(C) igual. 
(D) a metade. 
(E) a terça parte. 
 
 
 
 
114 
13) (ENEM 2000). Uma empresa de transporte 
armazena seu combustível em um reservatório 
cilíndrico enterrado horizontalmente. Seu conteúdo 
é medido com uma vara graduada em vinte 
intervalos, de modo que a distância entre duas 
graduações consecutivas representa sempre o 
mesmo volume. 
 
 
A ilustração que melhor representa a distribuição 
das graduações na vara é: 
 
 
 
14) (Concurso público – PMO). As medidas 
internas da carroceria de certo caminhão são de 1 
metro de altura, 6 metros de comprimento e 3 
metros de largura. Esse caminhão transportará 
tijolos cujas medidas são mostradas na figura. 
 
 
 
Adote: 1 m3 = 1 000 000 cm3 
Capacidade = Produto das medidas do 
paralelepípedo 
 
 
O número total de tijolos que esse caminhão suporta 
carregar é igual a 
(A) 9 000. 
(B) 9 100. 
(C) 9 200. 
(D) 9 300. 
(E) 9 400. 
15) Uma pirâmide é mergulhada num aquário cúbico 
cheio d’água, como na figura. 
 
O número que expressa a relação entre a quantidade 
de água final no aquário e a inicial (antes de mergulhar 
a pirâmide) é de, aproximadamente, 
 
(A) 25% 
(B) 33% 
(C) 50% 
(D) 67% 
(E) 72% 
 
 
 
 
16) (Saresp 2007). Qual é a área total de um cubo 
cuja aresta mede 5 cm? 
 
 
(A) 20 cm2 
(B) 60 cm2 
(C) 90 cm2 
(D) 150 cm2 
 
 
17) O volume de um cubo de aresta 5 cm é, em cm3, 
(A) 150 
(B) 125 
(C) 100 
(D) 50 
 
 
 
 
 
 
115 
18) (Saresp 2007). A medida do diâmetro da base 
do reservatório 2, representado na figura, é o triplo 
da medida do diâmetro da base do reservatório 1, e 
ambos têm mesma altura. 
 
 
Se a capacidade do reservatório 1 é de 0,5 litro, qual 
é, em litros, a capacidade do reservatório 2? 
(A) 1,5 
(B) 3,0 
(C) 4,0 
(D) 4,5 
(E) 5,0 
 
 
 
 
116 
ESTATÍSTICA 
 Ramo da matemática que propõe-se em 
realização de pesquisas, tabulação, 
representações, análises e apresentações. 
 As definições básicas de estatística são: 
 POPULAÇÃO: É o conjunto de todos os 
elementos ou pessoas que irão participar da 
pesquisa. 
 AMOSTRA ALEATÓRIA: Quando é escolhido 
sem pré-definição alguns elementos para 
participarem da pesquisa para representar a 
população. 
 AMOSTRA ESTRATIFICADA: Quando a 
escolha dos elementos para pesquisa leva em 
conta as características da população. 
 VARIÁVEIS: Podemos dizer que as variáveis 
indicam quais as perguntas serão realizadas na 
pesquisa. Elas podem ser variáveis NOMINAIS, 
que não existe forma de colocar em ordem 
crescente (Sexo, Nome, Lazer favorito, matéria 
favorita, etc.), Variáveis ORDINÁRIAS, que 
podemos colocar em ordem crescente, mas não 
são exatamente um número (Grau de satisfação, 
intervalo de tempo que gasta para estudo, etc.). 
Variáveis QUANTITATIVAS, cuja a resposta é 
exatamente um número, ou seja, podemos colocar 
também em ordem crescente (idade, altura, peso, 
notas, ETC.). 
 FREQUÊNCIAS: Utilizada na representação 
de valores de uma pesquisa, podemos utilizar 
algumas formas de frequência, sendo as mais 
comuns: ABSOLUTA (Exatamente o valor que foi 
obtido na pesquisa) ou RELATIVA (trabalhado em 
porcentagem). 
 TABELAS: Forma de tabular as pesquisas 
onde podemos mostrar a quantidade de respostas 
que obtemos (Utilizamos as frequências). 
 GRÁFICOS: Representação gráfica de uma 
pesquisa, é forma de demonstrar o que as tabelas 
mostram. Entre os tipos de gráficos que podemos 
utilizar estão: LINHA, BARRA, COLUNA, 
SETORES E HISTOGRAMA. 
 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL: 
 
 Existem alguns cálculos que utilizamos para obter 
um valor aproximado do que a pesquisa está tentando 
nos mostrar. As três medidas estudadas são: 
 
MÉDIA 
O valor da média é obtido quando somamos todos os 
valores e a soma dividimos pela quantidade de valores 
somados. 
(Para obter a média de uma pesquisa com 20 valores, 
somamos os 20 valores e dividimos por 20). 
 
MODA 
É o valor que mais aparece na pesquisa. Se não existe 
um valor que se destaque, dizemos que a pesquisa é 
AMODAL. 
Se tiverem 2 valores que se destaquem iguais, 
chamamos de BIMODAL. 
 
MEDIANA 
Para obter a mediana de uma pesquisa é necessário 
produzir o ROL com as medidas. (ROL é colocar os 
valores em ordem crescente). A mediana é o termo 
central do ROL. 
 
 
 
 
 
117 
EXERCÍCIOS 
1. (ENEM) Depois de jogar um dado em forma de 
cubo e de faces numeradas de 1 a 6, por 10 vezes 
consecutivas, e anotar o numero obtido em cada 
jogada, construiu-se a seguinte tabela de 
distribuição de frequências. A média, mediana e 
moda dessa distribuição de frequências são 
respectivamente: 
 
a) 3, 2 e 1 
b) 3, 3 e 1 
c) 3, 4 e 2 
d) 5, 4 e 2 
e) 6, 2 e 4 
 
2. (ENEM) Os sistemas de cobrança dos serviços 
de táxi nas cidades A e B são distintos. Uma corrida 
de táxi na cidade A é calculada pelo valor fixo da 
bandeirada, que é de R$3,45, mais R$2,05 por 
quilômetro rodado. Na cidade B, a corrida é 
calculada pelo valor fixo da bandeirada, que é de 
R$3,60, mais R$1,90 por quilômetro rodado. Uma 
pessoa utilizou o serviço de táxi nas duas cidades 
para percorrer a mesma distância de 6 km. Qual o 
valor que mais se aproxima da diferença, em reais, 
entre as médias do custo por quilômetro rodado ao 
final das duas corridas? 
a) 0,75 
b) 0,45 
c) 0,38 
d) 0,33 
e) 0,13 
 
3. (FGV) A média das alturas dos 6 jogadores em 
quadra de um time de vôlei é 1,92m. Após substituir 
3 jogadores por outros, a média das alturas do time 
passou para 1,90m. Nessas condições, a média, 
em metros, das alturas dos jogadores que saíram 
supera a dos que entraram em: 
a) 0,03 
b) 0,04 
c) 0,06 
d) 0,09 
e) 0,12 
 
4. (ENEM) Os salários, em reais, dos funcionários 
de uma empresa são distribuídos conforme o 
quadro: 
 
 
 
A mediana dos valores dos salários dessa 
empresa é, em reais: 
 
 
 
a) 622,00 
b) 933,00 
c) 1 244,00 
d) 2 024,50 
e) 2 799,00 
 
5. (UFRJ) Na eleição para a prefeitura de certa 
medida, 30% dos eleitores votaram pela manhã e 70% 
à tarde. Os eleitores de manhã gastaram, em média, 
1 minuto e 10 segundos para votar, enquanto que os 
da tarde demoraram, em média, 1 minuto e 20 
segundos. Determine o tempo médio gasto por eleitor 
na votação. 
a) 2 min 
b) 1 mim 23s 
c) 1 min 15s 
d) 1 min 30s 
e) 1 min 17s 
 
6. (ENEM) Podemos estimar o consumo de energia 
elétrica de uma casa considerando as principais 
fontes desse consumo. Pense na situação em que 
apenas os aparelhos que constam da tabela abaixo 
fossem utilizados diariamente da mesma forma. 
Tabela: A tabela fornece a potência e o tempo efetivo 
de uso diário de cada aparelho doméstico. 
 
Supondo que o mês tenha 30 dias e que o custo de 
1KWh é de R$0,40, o consumo de energia elétrica 
mensal dessa casa, é de aproximadamente 
a) R$ 135 
b) R$ 165 
c) R$ 190 
d) R$ 210 
e) R$ 230 
 
7. (ENEM) Para as pessoas que não gostam de correr 
grandes riscos no mercado financeiro, a aplicação em 
cadernetade poupança é indicada, pois, conforme a 
tabela (período de 2005 até 2011), a rentabilidade 
apresentou pequena variação. Com base nos dados 
da tabela, a mediana dos percentuais de 
rentabilidade, no período observado é igual a: 
 
a) 6,2 
b) 6,5 
c) 6,6 
d) 6,8 
e) 7,0 
 
 
 
118 
8. (FGV) Um conjunto de dados numéricos tem 
variância igual a zero. Podemos concluir que: 
a) a média também vale zero 
b) a mediana também vale zero 
c) a moda também vale zero 
d) o desvio padrão também vale zero 
e) todos os valores desse conjunto são iguais a 
zero 
 
9. (ENEM) O gráfico abaixo mostra a precipitação 
de chuva (em cm), acumulada por mês, ocorrida 
em Cascavel, no período de 1 de janeiro de 2011 a 
30 de junho de 2011. 
 
Com base nas informações, do gráfico, é possível 
afirmar que: 
a) quatro meses registraram queda da quantidade 
de chuva em relação ao mês anterior. 
b) o segundo trimestre do ano foi mais chuvoso 
que o primeiro trimestre. 
c) fevereiro acumulou mais chuva do que todos os 
outros meses juntos. 
d) em maio não choveu. 
e) fevereiro acumulou mais chuva que os quatro 
meses seguintes. 
 
10. (FUVEST) Sabe-se que a média aritmética de 
5 números inteiros distintos, estritamente positivos, 
é 16. O maior valor que um desses inteiros pode 
assumir é: 
a) 16 
b) 20 
c) 50 
d) 70 
e) 100 
 
11. (PUC) Sabe-se que os números x e y fazem 
parte de um conjunto de 100 números, cuja média 
aritmética é 9,83. Retirando-se x e y desse 
conjunto, a média aritmética dos números restantes 
será 8,5. 
Se 3x – 2y = 125, então: 
a) x = 95 
b) y = 65 
c) x = 80 
d) y = 55 
e) x = 75 
GABARITO 
 
1) b. 
2) e. 
3) b. 
4) b.. 
5) e. 
6) e. 
7) d. 
8) d. 
9) e. 
10) d. 
11) b. 
 
 
 
119 
PROBABILIDADE 
 Antes de estudar a probabilidade, vamos dar 
uma olhada no conceito de Princípio Fundamental 
da Contagem, que nos permite de quantas formas 
conseguimos tomar algumas deisões, por 
exemplo, de quantas formas podemos nos vestir 
com uma quantidade de roupas, de quantas 
formas diferentes podemos escolher sabores de 
sorvete, entre outras ideias. 
Por exemplo: 
I) Se possuo 6 camisetas e 3 bermudas, para 
cada camiseta que eu escolher posso usar uma 
das três bermudas. Então o total de formas que 
posso me vestir será: 6.3=18 formas. 
 O estudo básico de probabilidade é um cálculo 
para determinar a chance de um fato acontecer. O 
resultado deste cálculo pode ser dado em 
porcentagem ou por um número decimal. Para 
podermos resolver estes cálculos devemos 
conhecer um conceito chamado de espaço 
amostral(Ω). Utilizamos o espaço amostral para 
determinar quantas possibilidades teríamos no 
caso estudado. 
 Por exemplo, se jogarmos uma moeda para o 
alto para ver se cai cara ou coroa, o nosso espaço 
amostral possui duas (2) possibilidades, ou cara, 
ou coroa. 
 Se jogamos um dado hexagonal, nosso espaço 
amostral conta com 6 seis possibilidades. 
 Para calcular a probabilidade de um evento 
acontecer temos que saber em quantas 
possibilidades o evento ocorre dentro do espaço 
amostral. 
A fórmula utilizada é 
𝑃 =
𝑃(𝐸)
𝑃(𝛺)
 
 Vamos ver alguns exemplos: 
II) Ao jogar a moeda para cima, qual a 
probabilidade de cair cara? 
 
𝑃 =
1
2
 = 50% 
III) Ao jogar um dado numerado de 1 a 6, qual a 
probabilidade de cair um número menor que 3? 
 
𝑃 =
2
6
 =33,33% 
 
 Alguns conceitos a serem considerados: 
 Um evento certo, possui probabilidade de 100%, 
e significa que ele vai ocorrer com certeza 
 Um evento impossível possui probabilidade igual 
0%, o que indica que não ocorrerá. 
 
 
 
 
 
120 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
 
1) - Quantas placas (distintas) de automóveis, 
poderão ser emitidas; com o sistema atual 
(LLLNLNN) de emplacamento? 
 
2) Obtenha o total de linhas telefônicas que podem 
ser instaladas, com o prefixo 436, se os telefones 
têm 7 algarismos (ex 436-0000). 
 
3) Quantos números ímpares de 3 algarismos 
distintos, são possíveis utilizando os algarismos: 1, 
3, 4, 5, 7, 8. ? 
 
4) Uma garota tem 3 saias e 4 blusas. De quantas 
maneiras ela poderá sair usando saia e blusa sem 
repetir o mesmo conjunto? 
 
5 ) Um rapaz dispõe de 6 calças, 9 camisas e 2 
pares de sapatos. Com estas peças, quantos 
conjuntos diferentes de calça, camisa e sapato ele 
pode formar para vestir-se? 
 
6) Para a diretoria de uma firma concorrem 4 
candidatos a presidente e 2 a vice-presidente. 
Quantas chapas podem ser formadas? 
 
7) Um salão possui 10 portas. Pergunta-se: 
a) quantas são as possibilidades de uma pessoa 
entrar no salão e sair dele? 
b) quantas são as possibilidades de uma pessoa 
entrar por uma porta e sair por outra diferente? 
 
8) Uma bandeira deve ser formada por três faixas 
de cores diferentes escolhidas entre 10 cores 
diferentes. 
De quantas maneiras essa bandeira pode ser 
composta? 
 
9) Quantos números de 3 algarismos podemos 
formar com os algarismos 1, 2, 4, 8 e 9? 
 
10) Quantos números de 4 algarismos distintos 
podemos formar com os algarismos 3, 5, 6, 7 e 8? 
 
11) Dados os algarismos 1,3, 4, 7 e 8, pergunta-se: 
a) quantos números de 3 algarismos podemos 
formar? 
b) quantos números de 3 algarismos, iniciando por 
8, podemos formar? 
c) quantos números de 3 algarismos, não iniciando 
por 4, podemos formar? 
d) quantos números de 3 algarismos distintos 
terminam por 3? 
 
12) Numa cidade os números de telefone tem 6 
algarismos. Determine: 
a) o número de telefones que podem ser formados, 
sabendo-se que os números não podem começar por 
zero; 
b) quantos telefones existem com prefixos 47; 
c) quantos telefones terminam por 3. 
 
13) (FGV/2005) Em uma gaveta de armário de um 
quarto escuro há 6 camisetas vermelhas, 10 
camisetas brancas e 7 camisetas pretas. Qual é o 
número mínimo de camisetas que se deve retirar da 
gaveta, sem que se vejam suas cores, para que: 
a) Se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de 
cores diferentes. 
b) Se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de 
mesma cor. 
c) Se tenha certeza de ter retirado pelo menos uma 
camiseta de cada cor. 
 
14)(UECE/99) Quantos números ímpares, cada um 
com três algarismos, podem ser formados com os 
algarismos 2,3,4,6 e 7, se a repetição de algarismos é 
permitida? 
a) 60 b) 50 c) 40 d) 30 
 
15) . Jade tem 5 blusas e 7 calças. De quantas 
maneiras diferentes Jade pode se vestir? 
 
16) Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 
50. Sorteando-se uma bolinha, a probabilidade de que 
o número observado seja múltiplo de 8 é: 
 
17) Uma das letras do alfabeto é escolhida ao acaso. 
Sabendo-se que ela é uma das 10 primeiras letras, 
qual a probabilidade de que seja uma vogal? 
 
18) Em uma escola estudam alunos de dois 
segmentos: no ensino médio são 400 meninos e 100 
meninas, e no ensino fundamental são 200 meninas e 
300 meninos. Ao sortear um aluno dessa escola, 
calcule a probabilidade de ser: 
a) Menino, sabendo que é aluno do ensino médio 
b) Aluno do ensino médio, sabendo que é menino 
 
 
GABARITO: 
1) 456976000 
2) 10000 3) 80 4) 12 
5)108 6) 8 7a) 100 7b) 90 
8) 720 9)125 10) 120 
11a) 125 11b) 25 11c) 100 11d) 12 
12a) 900000 12b)10000 12c) 100000 
13) a)11 b)4 c)18 
14)B 15) 35 16)12% 
17) 30% 18a) 80% 18b) 42,8% 
 
 
121 
FOCO NOS EXERCÍCIOS 
 Neste capítulo você vai encontrar alguns 
exercícios já aplicados nos exames. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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