livro_calculo-1-4

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10 Capítulo 0. Prefácio
integração por partes, utilizamos o método das frações parciais para deter-
minamos o movimento da suspensão de um veículo, o denominado sistema
massa-mola-amortecimento. Fechamos esse capítulo determinando o movi-
mento do pêndulo sem atrito e como utilizar a integral para obter fórmulas
para volumes de sólidos de revolução, comprimentos de gráficos e áreas de
superfícies de revolução.
Nos apêndices, apresentamos complementos de conteúdos utilizados na
parte principal do livro. Demonstramos a fórmula da soma dos termos de
uma progressão geométrica infinita, a fórmula do binômio de Newton, a exis-
tência de limite de sequência monótonas limitadas, as propriedades da área
e calculamos a área do círculo unitário através do Método de Exaustão.
AGRADECIMENTOS
Quero agradecer às seguintes pessoas, ressaltando que eventuais falhas rema-
nescentes no livro são de minha inteira responsabilidade. Agradeço ao amigo
e professor Lucas Seco por ter ajudado na primeira revisão geral do livro e
pelas inúmeras conversas que já tivemos relativas às melhorias do ensino do
Cálculo 1. Agradeço aos meus orientandos André Caldas e Fernando Lucatelli
pela ajuda com relação a formatação do livro. Agradeço ao meu estudante do
Cálculo 1 Jean Carlos Neri Cardoso por sua disposição em ajudar na revisão
do livro. Finalmente quero agradecer aos professores João Carlos de Pádua,
Lineu Araújo, Lucas Seco e Raderson Silva por terem ajudado na elaboração
da lista de exercícios de fixação.
C
A
P
Í
T
U
L
O
1
PRELIMINARES
1.1 NÚMEROS REAIS
Nesta primeira seção, indicamos como construir os números e suas opera-
ções a partir de conceitos e propriedades puramente geométricas. Para isso
fazemos uso dos resultados da geometria plana euclideana. Iniciamos com
a reta R determinada pelos dois pontos distintos 0 e 1, garantidos pelos pos-
tulados de existência e determinação, como mostra a Figura 1.1. O ponto 0 é
denominado zero ou origem e o ponto 1 é denominado um ou unidade. Os
pontos sobre a reta R são denominados números reais.
Figura 1.1: Reta real definida pelos pontos 0 e 1.
Existe uma ordem entre pares de números reais, denotada por < e deno-
minada à esquerda de ou menor que. Se a,b ∈ R, temos intuitivamente que
a < b se a está à esquerda de b, como ilustrado pela Figura 1.1. Podemos
definir a partir da ordem < as seguintes ordens:
11
12 Capítulo 1. Preliminares
(1) a > b se e só se b < a.
(2) a ≤ b se e só se a < b ou a = b.
(3) a ≥ b se e só se b ≤ a.
Existe também uma relação entre pares de segmentos, denotada por ≡ e
denominada congruência de segmentos. De maneira intuitiva, temos que dois
segmentos são congruentes se cada uma das duas pontas de um compasso
com sua abertura fixada podem ser colocadas sobre cada um dos dois extre-
mos de cada segmento.
Figura 1.2: Adição de a mais b.
Podemos então, como ilustrado na Figura 1.2 e a partir dos conceitos de
ordem e congruência e de suas propriedades, definir a operação de adição de
números reais, para todos a,b ∈R,
a+b =
{
c : c ≥ b e bc ≡ 0a, se a ≥ 0
c : c ≤ b e bc ≡ 0a, se a ≤ 0
Figura 1.3: O inverso aditivo de a.
Podemos também definir, como ilustrado na Figura 1.3, o oposto ou in-
verso aditivo, para todo a ∈R,
−a =
{
c : c ≤ 0 e 0c ≡ 0a, se a ≥ 0
c : c ≥ 0 e 0c ≡ 0a, se a ≤ 0