Esperança e Variância

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Atividade 1
Atividade 2
Aula 3 Probabilidade e Estatística 65
Qual é a nossa esperança matemática se ganhamos R$10 quando um dado 
apresenta as faces 1 ou 6, e perdemos R$ 5 se o dado apresenta uma das faces 
2, 3, 4 ou 5? (Admita que o dado é equilibrado e que foi jogado aleatoriamente). 
Resposta: E(X) = 0.
A agência de uma companhia aérea, em certo aeroporto, tem as probabilidades.
0,06 0,21 0,24 0,18 0,14 0,10 0,04 0,02 0,01
de receber 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8 reclamações sobre desvios de bagagem 
por dia. Quantas reclamações a agência espera receber por dia? 
Resposta: E(X) = 2,75.
Vimos que a esperança matemática, E(X), de uma v.a. X nos informa sobre a tendência 
central da distribuição dessa variável aleatória. Entretanto, além dessa importante informação, 
é preciso, para caracterizar o comportamento de uma v.a., uma outra medida que esclareça 
como os possíveis valores assumidos pela variável X estão situados em relação à sua média, 
ou seja, ao redor de E(X). Um parâmetro que mede a dispersão dos valores de uma v.a em 
torno de seu valor médio é a variância, cuja notação é V(X) ou σ2.
Embora as distribuições de probabilidade nos falem do comportamento de uma v.a., 
esses dois parâmetros, média e variância, são medidas que de modo análogo a (X
_
) e (σ2) 
(média e variância amostral, respectivamente) também concentram muita informação e nos 
ajudam a caracterizar e compreender o comportamento de v.a.’s a elas associadas.
Agora, vamos definir a variância de uma v.a. discreta.
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Aula 3 Probabilidade e Estatística66
Variância (σ2) e desvio padrão 
(σ) de v.a.’s discretas
A variância de uma v.a. discreta X com média E(X) é denotada por V(X) ou σ2 e 
definida como sendo:
V(X) = σ2 = E [X − E(X)]2.
Entretanto, essa expressão pode ser transformada para facilitar os cálculos desse 
parâmetro. Para isso, adotamos o seguinte procedimento algébrico:
σ2 = V(X) = E [X−E(X)]2
E[X − E(X)]2 = E{X2 − 2X · E(X) − [E(X)]2}
= E (X2) − 2E(X)E(X) − E{[E(X)]2}
= E (X2) − 2E(X)E(X) − [E(X)]2
= E (X2) − [E(X)]2
∴ V(X) = E (X2) − [E(X)]2
onde E(X2) =
∑
i
x2
i P (xi) e E(X) =
∑
i
xiP (xi).
Em geral, a expressão V(X) = E(X2) − [E(X)]2 simplifica bastante os cálculos dessa 
medida.
Desvio padrão ⇒ σ ou σx.
Desde que a variância para ser calculada considera os valores ao quadrado, isso significa 
que a unidade de medida dos mesmos ficará também ao quadrado. Às vezes, inclusive, fica 
até sem sentido, como, por exemplo, se a grandeza for minutos, o que é (minutos)2? Em 
termos práticos, isso não existe. Porém esse impasse é resolvido quando calculamos o 
desvio padrão. Ele é uma medida de dispersão, como a variância, ou seja, quanto mais 
próximo de zero o seu valor, mais concentrados os valores da v.a. estão em torno de sua 
média. Obviamente, quanto mais se afasta do zero, mais dispersos estão esses valores. O 
desvio padrão é definido como sendo o resultado positivo da raiz quadrada da variância.
Isto é, o desvio padrão de uma v.a. X é:
σ = σx = +
√
V (X)
Vamos ver alguns exemplos para esclarecer melhor esse assunto?
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