MATEMÁTICA- PREPARATORIO FALCON

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 » 90º , dizemos que os ângulos são complementares;
 » 180º, dizemos que os ângulos são suplementares.
Retas paralelas interceptadas por uma transversal – A 
“Regra do Zorro”
Estando nesta configuração, cada par de ângulos recebe 
um nome, a saber;
 » Correspondentes*: (α , α’), (β, β’), (γ, γ’), (δ, δ’);
 » Alternos internos*: (γ, α’), (δ, β’);
 » Alternos externos*: (α, γ’), (β, δ’);
 » Colaterais internos**: (δ, α’), (γ, β’);
 » Colaterais externos**: (α, δ’), (β, γ’);
 » Opostos pelo vértice (o.p.v.)*: (α, γ); (β, δ); (α’, γ’); (β’, 
δ’).
* ângulos congruentes (de mesma medida)
** ângulos suplementares
O que são polígonos regulares?
A definição de polígono regular está atrelada à definição 
de polígonos. Os polígonos são formas planas fechadas 
limitadas por uma cadeia de segmentos de reta. Em 
linguagem simples, são formas fechadas e com lados retos.
A diferença dos polígonos regulares é que todos seus 
lados são iguais e os ângulos formados por esses lados 
também são iguais. Dizemos que eles são equiláteros e 
equiângulos.
Propriedades dos polígonos regulares:
Todos os polígonos regulares podem ser girados em torno 
de um eixo de simetria, e ele ainda será igual;
Todo polígono regular pode ser circunscrito por 
um círculo que toca todos os seus vértices;
Todo polígono regular tem um círculo inscrito, ou seja, um 
círculo que toca os pontos médios de cada lado.
Cálculo do número de diagonais de um polígono regular
d = n · (n - 3) 
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Soma dos ângulos internos de um polígono
 S
i = (n - 2) · 180°
DEFINIÇÕES
Ponto: Um elemento do espaço que define uma posição.
Reta: Conjunto infinito de pontos. Dois pontos são 
suficientes para determinar uma reta, ou ainda um ponto 
e a inclinação da mesma.
Plano: Conjunto infinito de retas. Três pontos são 
suficientes para determinar um plano.
Semi-reta: Sai de um ponto determinado e se prolonga 
indefinidamente.
Segmento de reta: Trecho de reta que se inicia em 
um ponto determinado e tem fim em outro ponto 
determinado. Não se prolonga indefinidamente.
Ângulo: Formado pela união de semi-retas, ou mesmo por 
segmento de retas.
ESTUDO DOS ÂNGULOS
Medida de ângulos 
Existem três unidades de medidas de ângulos: graus (º), 
radianos (rad) e grados (gr). A correspondência entre essas 
medidas é a seguinte:
A medida de graus ainda é subdividida em minutos (‘) e 
segundos (“), na base hexadecimal.
Exemplos:
30º = p / 6 rad 60º = p / 3 rad 35,26º = 35º 15’ 36”
45º = p /4 rad 90º = p /2 rad 49,60º = 49º 36’ 00”
Definições
Dizemos que um ângulo é,
 » Raso, se, e somente se, é igual a 180º;
 » Nulo, se, e somente se, é igual a 0º;
 » Reto, se, e somente se, é igual a 90º;
 » Agudo, se, e somente se, é maior que 0º e menor que 
90º;
 » Obtuso, se, e somente se, é maior que 90º e menor 
que 180º.
Se a soma de dois ângulos resulta:
180º = p rad = 200 gr
1º = 60 ‘ = 3600 “
GEOMETRIA PLANA
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a) 90° b) 85° c) 80° d) 75° e) 60°
7- Nas figuras, as retas r e s são paralelas. Determine x em 
cada caso:
a) 
b)
 
c) 
8- Determine x abaixo:
9- Considerando um hexágono regular, determine:
a) gênero
b) soma dos ângulos internos
c) soma dos ângulos externos
d) número de diagonais que partem de cada vértice.
e) número total de diagonais
f) cada ângulo interno
g) cada ângulo externo
AB = AC = BC = kDE DF EFPara calcular o valor de cada ângulo INTERNO, basta pegar 
o valor da soma dos ângulos internos e dividir pelo número 
de lados, ou seja:
ai = Si 
 n
Soma dos ângulos externos de um polígono
A soma dos ângulos externos de um polígono é 
sempre igual a 360°.
Para calcular o valor de cada ângulo EXTERNO, basta 
pegar o valor da soma dos ângulos externos e dividir pelo 
número de lados, ou seja:
 a
e = 360° 
 n
NOMENCLATURA DE POLÍGONOS:
3 Triângulo
4 Quadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
11 Undecágono
12 Dodecágono
15 Pentadecágono
20 Icoságono
1- Os ângulos α = 3x – 12° e β = x + 46° são opostos pelo 
vértice. Calcule-os.
2- Dois ângulos complementares são expressos por 5x – 
10° e 2x + 30°. Calcule-os.
3- Dois ângulos suplementares são proporcionais a 5 e 13. 
Determine-os.
4- A soma de três ângulos é 200°. Calcule-os, sabendo que 
os dois primeiros são suplementares e os dois últimos são 
suplementares.
5- A soma de cinco ângulos é 550°. Calcule-os, sabendo 
que os dois primeiros são suplementares, os dois 
últimos são replementares, o segundo e o terceiro 
são complementares e o terceiro e o quarto são 
suplementares.
6- As retas r e s da figura são paralelas cortadas pela 
transversal t. Se o ângulo B é o triplo de A, então B – A vale:
GEOMETRIA PLANA
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Gabarito
1- α = β = 75°
2- 40° e 50°
3- 50° e 130°
4- 110°, 70° e 20°
5- 100°, 80°, 10°, 170° e 190°
6- A
7- a) 150° b) 70° c) 150°
8- 70°
9- a) 6 b) 720° c) 360° d) 3 e) 9 f) 120° g) 60°
10- 1800°
11- 44
12- 45°
13- 32cm
14- B
15- B
16- 18
17- polígono de 13 lados
18- 15
19- E
10- Quanto vale a soma dos ângulos internos de um 
dodecágono regular?
11- Quantas diagonais possui um undecágono regular?
12- Quanto vale cada ângulo externo de um octógono 
regular?
13- Os ângulos interno e externo de um polígono regular 
são dados, respectivamente, por 7x – 5° e 3x – 15°. Qual o 
perímetro desse polígono, visto que cada lado mede 4 cm?
14- O número de diagonais de um polígono cuja soma dos 
ângulos internos vale 1800° é igual a:
a) 48 b) 54 c) 36 d) 32 e) 56
15- O ângulo interno de um polígono regular vale 120°. O 
total de diagonais desse polígono é:
a) 0 b) 9 c) 6 d) 12
16- Em um polígono regular, a soma de um ângulo interno 
com todos os ângulos externos dá 520°. Calcule o gênero 
desse polígono.
17- Qual é o polígono cujo número de diagonais é o 
quíntuplo do número de lados?
18- Um polígono regular de n lados tem 90 diagonais. O 
valor de n é:
a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e) 21
19- O ângulo interno do polígono regular em que o 
número de diagonais excede de 3 o número de lados é:
a) 60° b) 72° c) 108° d) 150° e) 120°
EXERCÍCIOS
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Alguns casos de semelhança
Ângulo – ângulo (AA): Se dois ângulos são iguais, 
o terceiro também será. Logo, os triângulos são 
semelhantes.
Lado – ângulo – lado (LAL): Dados dois triângulos, sendo 
dois lados de um triângulo proporcionais a dois lados do 
outro triângulo e o ângulo entre estes lados semelhante 
nas duas formas geométricas, concluímos que os 
triângulos são semelhantes.
Lado – lado – lado (LLL): Dados dois triângulos cujos três 
lados de um são proporcionais aos três lados do outro, 
conclui-se que estes triângulos são semelhantes.
Teorema de Tales (Caso Geral da Semelhança de 
Triângulos)
Dadas retas paralelas interceptadas por duas transversais, 
podemos afirmar, segundo Tales, que existe uma 
proporcionalidade entre os trechos interceptados.
Elementos construtivos de um triângulo
Estes elementos são segmentos de reta que podem ser 
traçados sobre o triângulo e possuem propriedades 
específicas, sempre relacionando vértices, lados e ângulos.
Vale lembrar que todo triângulo possui três de cada um 
destes elementos, sempre relativo a cada vértice, a cada 
lado ou ainda a cada ângulo. Além disso, estes elementos 
relativos concorrem (“se encontram”) sempre em um 
Definição: Figura geométrica plana formada por três 
pontos, chamados vértices e a união das semi-retas que 
unem esse três pontos. Em resumo, é uma figura de três 
lados e que possui três ângulos.
Classificação dos triângulos quanto aos lados
 » Eqüilátero: possui os três lados (e consequentemente 
os três ângulos) iguais (congruentes);
 » Isósceles: possui dois lados iguais. O terceiro lado é 
chamado
 » base. Os ângulos formados pela base com os lados são 
iguais.
 » Escaleno: não possui nenhum lado 
(consequentemente nenhum ângulo) igual.
Classificação dos triângulosquanto aos ângulos
 » Acutângulo: Possui três ângulos internos agudos;
 » Obtusângulo: Possui um ângulo interno obtuso;
 » Retângulo: Formado por um ângulo interno reto. O 
lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa e 
os outros dois lados são chamados catetos.
Propriedades
 » A soma dos ângulos internos de todo e qualquer 
triângulo é 180º;
 » A soma dos ângulos externos de qualquer triângulo é 
360º;
 » Todo ângulo externo de um triângulo é igual a soma 
dos seus dois ângulos internos não adjacentes;
 » O maior lado do triângulo se opõe (“vê”, “está de 
frente”) ao maior ângulo e o menor lado se opõe ao 
menor ângulo;
 » Desigualdade triangular: a, b, c formam um triângulo 
se, e somente se, |a – b| < c < a + b.
Semelhança de triângulos
Um dos conceitos mais importantes da Geometria Plana.
 
Definição: Dados dois triângulos (ΔABC e ΔDEF), dizemos 
que estes são semelhantes se, e somente se, estes são 
formados pelos mesmos ângulos internos. Observado isso, 
podemos afirmar ainda que:
onde k é chamado razão de semelhança.
TRIÂNGULOS
AB = BC = AC 
DE EF DF
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Altura
Segmento que une o vértice ao lado oposto e é 
perpendicular à este lado.
ATENÇÃO: Não importa o ponto em que passa este 
segmento. Só importa que ele sai do vértice e forma 90º 
com o lado oposto.
Observe que as alturas 
concorrem no ponto H, 
chamado de ortocentro.
Sugestão: Desenhe um triângulo eqüilátero e encontre 
neste os pontos G, I, O e H. O que você observa? Quais 
outras características do triângulo eqüilátero (como são 
seus lados, quanto valem seus ângulos)?
Faça o mesmo com um triângulo isósceles.
Relações métricas no triângulo retângulo
Observe os triângulos:
Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos 
estabelecer algumas relações métricas importantes 
(SUGESTÃO: Tente fazer as demonstrações. Chega-se 
facilmente às relações apresentadas utilizando-se a 
semelhança de triângulos indicada)
Teorema de Pitágoras
“A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da 
hipotenusa”
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Estabelecem uma relação entre os ângulos (seno (sen), 
cosseno (cos) e tangente (tg)) e os lados de um triângulo 
retângulo.
H
b.c = a.h 
c² = a.n 
b² = a.m 
h² = m.n
a² = b² + c²
único ponto com propriedades específicas para cada 
elemento, conforme veremos a seguir. Os elementos são 
os seguintes:
Mediana
Segmento que une o vértice ao ponto médio do lado 
oposto.
ATENÇÃO: Não importa o ângulo formado entre este 
segmento e o lado, só importa que ele divide o lado em 
duas partes iguais.
Observe que as medianas 
concorrem no ponto G, 
chamado de baricentro.
Teorema: O baricentro 
divide a mediana numa 
razão 2:1, i.e., a distância 
do ponto G ao vértice é o 
dobro da distância de G ao ponto médio do lado oposto.
Bissetriz
Segmento que parte do vértice e divide o respectivo 
ângulo interno em duas partes iguais.
ATENÇÃO: Não importa onde este segmento intercepta o 
lado oposto, nem ângulo e nem ponto, só importa que ele 
divide o ângulo interno em dois ângulos iguais.
Observe que as bissetrizes 
concorrem no ponto I, 
chamado de incentro.
Observe ainda que o 
incentro é o centro da 
circunferência inscrita 
(“escrita dentro”) ao 
triângulo.
Mediatriz
Segmento perpendicular (“que forma um ângulo reto”) ao 
lado do triângulo, e passa ainda pelo seu ponto médio.
ATENÇÃO: Não importa se o segmento passa ou não pelo 
vértice do triângulo. Só importa que é perpendicular 
ao lado e divide o mesmo em duas partes iguais. Não 
confundir com mediana!
Observe que as mediatrizes 
concorrem no ponto O, 
chamado de circuncentro.
Observe ainda que o 
circuncentro é o centro da 
circunferência circunscrita ao 
triângulo.
G
I
O
TRIÂNGULOS
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EXERCÍCIOS
1- Determine o perímetro de um triângulo de lados 3 cm, 5 
cm e 6 cm. 
2- Os lados de um triângulo são expressos, em cm, por 
2x + 1, 4x – 2 e x + 9. Determine a medida do maior lado, 
sabendo que o perímetro do triângulo vale 29 cm.
3- A base de um triângulo isósceles e um outro lado estão 
na razão 2 para 3. Se o perímetro do triângulo vale 40 cm, 
determine as medidas de seus lados.
4- O perímetro de um triângulo isósceles mede 16 cm. O 
comprimento da base vale 3/5 da soma dos outros dois 
lados. A base mede:
a) 5 cm b) 6 cm c) 8 cm d) 10 cm e) 12 cm
5- Verifique em quais das opções abaixo, encontramos 
valores que servem como lados de um triângulo:
a) 7; 8 e 9 b) 6; 6 e 6 c) 7; 15 e 8
d) 8; 8 e 6 e) 4; 9 e 15 f) 4; 4 e 10
6- Um triângulo isósceles tem lados iguais a 7 e 16. Calcule 
o perímetro do triângulo.
7- Quais os valores possíveis de x, sabendo que 10, 8 e x + 
3 são lados de um triângulo?
8- Classifique, quanto aos lados e ângulos, os triângulos 
cujos ângulos medem:
a) 30º; 70º e 80º b) 30º; 60º e 90º
c) 40º; 40º e 100º d) 60º; 60º e 60º
e) 45º; 45º e 90º f) 20º; 80º e 80º
9- Classifique, quantos aos lados e ângulos, o triângulo 
cujos ângulos são expressos por 2x – 10º, x – 30º e x – 20º.
10- Os ângulos da base um triângulo isósceles são 
expressos em graus por 4x + 10º e 2x + 40º. Determine a 
medida do ângulo do vértice.
11- Um dos ângulos da base de um triângulo isósceles 
mede 52º 40’. O ângulo do vértice mede:
a) 62º 20’ b) 63º 40’ c) 74º 40’ d) 72º 40’ e) 75º 20’
Lei dos senos
Estabelece uma relação entre os lados de qualquer triângulo 
e seus ângulos opostos, através do valor dos senos.
É utilizada para encontrar as medidas dos lados, dados 
dois ângulos e outro lado, ou ainda um dos ângulos, dados 
dois lados e outro ângulo.
Lei dos co-senos
Estabelece uma relação entre os lados de qualquer 
triângulo e seus ângulos, através do valor dos co-senos.
É utilizada para encontrar as medidas de um lado, dados 
os outros dois lados e o ângulo entres estes, ou ainda 
encontrar um ângulo, dados os lados do triângulo.
Valores de seno, co-seno e tangente dos ângulos notáveis
30º 
(π/6)
45º 
(π/4)
60º 
(π/3)
0º
90º 
(π/2)
sen
1
2
2
2
3
2
0 1
cos
3
2
2
2
1
2
1 0
tg
3
3
1 3 0 ¥
TRIÂNGULOS
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19- Determinar a soma dos ângulos assinalados nas figuras 
a seguir:
a) 
b) 
c) 
20- Em um triângulo ABC, a soma das medidas dos ângulos 
externos em A e B vale 260º, enquanto que a soma 
das medidas dos ângulos externos em A e C vale 220º. 
Determine os ângulos internos desse triângulo.
21- Na figura, as retas r e s são paralelas. 
A medida y é igual a:
a) 70º b) 80º c) 90º d) 100º e) 110º
22- Em um triângulo ABC, o ângulo  está para o ângulo 
B assim como 7/3. Enquanto que o ângulo B está para o 
ângulo C assim como 3/5. Determine a medida do menor 
ângulo externo desse triângulo.
23- Na figura abaixo, AB = AC. Calcule a medida do ângulo x.
12- A soma das medidas dos ângulos internos de um 
triângulo é igual a 180º. Num triângulo, as medidas desses 
ângulos são diretamente proporcionais aos números 3, 4 
e 2, respectivamente. Então, os ângulos desse triângulo 
medem, em graus:
a) 100, 50 e 30 b) 60, 70 e 50
c) 60, 80 e 40 d) 60, 90 e 30
e) 50, 90 e 40
13- Os ângulos internos de um triângulo tem suas medidas 
proporcionais aos números 2, 3 e 4. O triângulo é:
a) retângulo b) isósceles
c) acutângulo d) eqüilátero
e) obtusângulo
14- Determine as medidas dos ângulos de um triângulo, 
sabendo que elas são inversamente proporcionais a 1, 2 e 6.
15- Observe a figura abaixo:
A reta r é paralela à reta s, então x + y é igual a:
a) 180º b) 230º c) 250º d) 260º e) 300º
16- Na figura abaixo, determine o valor de cbaS ˆˆˆ ++= .
17- Considere o quadrilátero da figura abaixo e calcule a 
medida do ângulo R em função das medidas de a, b e c.
18- O ângulo x da figura mede, em graus:
a) 100 b) 110 c) 120 d) 130 e) 140
EXERCÍCIOS
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30- O triângulo MNP é tal que M = 80º e P = 60º. A medida 
do ângulo formado pela bissetriz do ângulo interno N com 
a bissetriz do ângulo externoP é:
a) 20º b) 30º c) 40º d) 50º e) 60º
31- Em um triângulo isósceles as bissetrizes dos ângulos da 
base formam um ângulo que equivale ao triplo do ângulo 
principal. Determine os ângulos desse triângulo.
32- Num triângulo ABC, B – C = 90º. Calcular o menor dos 
ângulos formados pela bissetriz interna AD com BC.
33- Em um triângulo ABC as bissetrizes internas dos 
ângulos B e C formam um ângulo α = 4x – 30º e as 
bissetrizes externas de B e C formam um ângulo β = x + 
10º. Determine o valor de x.
34- Em um triângulo MNP, temos M = 80º e P = 70º. 
Determine a medida do ângulo formado pela bissetriz 
interna do ângulo M com a altura que parte do vértice M.
35- Em um triângulo retângulo, o maior ângulo é o 
quíntuplo do menor. Determine a medida do ângulo 
formado pela altura e mediana traçadas do vértice do 
ângulo reto.
36- Na figura abaixo, AH é a altura e AM é mediana, 
relativa à hipotenusa. Sabendo-se que a altura e a 
mediana fazem um ângulo de 14º, determine os ângulos B 
e C do triângulo.
37- Em um triângulo retângulo, a altura e a bissetriz 
relativas à hipotenusa formam um ângulo de 18º. Quanto 
mede o maior dos ângulos agudos?
38- Em um triângulo ABC, o ângulo formado pela altura 
e pela bissetriz interna traçadas do vértice B mede 5º, 
enquanto que aquele formado pela altura e pela bissetriz 
interna traçadas do vértice A mede 10º. Determine os 
ângulos desse triângulo.
39- Em um triângulo isósceles ABC, de base BC igual a 
7 cm, a soma das medianas relativas aos lados iguais é 
18 cm. Sendo G o ponto de encontro dessas medianas, 
determine o perímetro do triângulo GBC.
24- Na figura abaixo, os pontos A, B e C apresentam as 
posições de três casas construídas numa área plana de 
um condomínio. Um posto policial estará localizado num 
ponto P, situado à mesma distância das três casas. Em 
Geometria, o ponto P é conhecido com o nome de:
a) baricentro b) ortocentro c) circuncentro 
d) incentro e) ex-incentro
25- Em um triângulo ABC, um ponto D do lado BC é 
eqüidistante os três vértices do triângulo. Classifique, 
quanto aos ângulos, esse triângulo.
26- O ponto P interno ao triângulo ABC é eqüidistante de 
dois de seus lados e de dois de seus vértices. Certamente 
P é a interseção de:
a) uma bissetriz interna e uma altura desse triângulo.
b) uma bissetriz interna e uma mediatriz de um dos lados 
desse triângulo.
c) uma mediatriz de um lado e uma mediana desse 
triângulo.
d) uma altura e uma mediana desse triângulo.
e) uma mediana e uma bissetriz interna desse triângulo.
27- O ângulo do vértice de um triângulo isósceles mede 
67º 18’. O ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos da 
base desse triângulo mede:
a) 123º 39’ b) 132º 39’ c) 139º 23’ d) 139º 32’ e) 123º 32’
28- Na figura, CA e DA são, respectivamente, segmentos 
das bissetrizes dos ângulo C e D. sabendo que o ângulo Ê 
mede 30º, o valor do ângulo DÂC é:
a) 105º b) 75º c) 150º d) 30º
29- Considere o triângulo BAC da figura. Se a bissetriz 
interna do ângulo B forma com a bissetriz externa do 
ângulo C um ângulo de 50º, determine a medida do ângulo 
interno Â.
EXERCÍCIOS
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46- Na figura tem-se AB = AC e CD = CB = AD. Determine o 
ângulo α.
47- As dimensões do triângulo ABC são AB = 11, AC = 18 e 
BC = 20. Calcule o perímetro do triângulo AMN, sabendo-
se que MN é paralelo a BC, que OB é a bissetriz do ângulo 
ABC e que OC é a bissetriz do ângulo ACB.
48- Na figura abaixo AB = AC e AD = AE. Sendo BÂD = 20º, 
determine a medida do ângulo CDE.
49- Determine a medida do ângulo principal Â, sendo AF = 
EF = DE = BD = BC
50- O hexágono da figura abaixo é eqüiângulo. Determine 
o valor de x + y.
40- No interior de um triângulo isósceles ABC, constrói-se 
um triângulo eqüilátero BCD. O ângulo Â, ângulo principal 
do triângulo ABC, é igual ao dobro do ângulo ABD. 
Determine a medida do ângulo Â.
41- Considere um triângulo isósceles ABC, onde AB = AC. 
Prolongando-se o lado Ab de um segmento BM tal que 
med(ACM) – med(BMC) = 20º, podemos concluir que o 
ângulo BCM mede:
a) 10º b) 18º c) 15º d) 20º e) 9º
42- Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Sabendo-
se que AC = AE e BE = BD, determine a medida do ângulo 
CED.
43- No triângulo ABC, AB = AC e  = 80º. Os pontos D, E e F 
estão sobre os lados BC, AC e AB, respectivamente. Se CE = 
CD e BF = BD, então o ângulo EDF é igual a:
a) 30º b) 40º c) 50º d) 60º e) 70º
44- Na figura, BC = CA = DE = AD, o ângulo CÂD mede:
a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 60º
45- Na figura tem-se AB = AC e CD = CE. Determine x.
EXERCÍCIOS
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11
34- 20º
35- 54º
36- 52º e 38º
37- 63º
38- 60º, 70º e 50º
39- 19 cm
40- 30º
41- A
42- 90º
43- C
44- B
45- 60º
46- 36º
47- 29
48- 10º
49- 20º
50- 13
GABARITO
1- 14 cm
2- 12 cm
3- 10 cm, 15 cm e 15 cm
4- B
5- a, b e d
6- 39
7- – 1 < x < 15
8- 
a) escaleno e acutângulo
b) escaleno e retângulo
c) isósceles e obtusângulo
d) eqüilátero e acutângulo
e) isósceles e retângulo
f) isósceles e acutângulo
9- escaleno e obtusângulo
10- 40º
11- D
12- C
13- C
14- 108º, 54º e 18º
15- B
16- 130º
17- R = a + b + c
18- B
19- a) 360º / b) 180º / c) 360º
20- 60º, 40º e 80º
21- C
22- 96º
23- 30º
24- C
25- retângulo
26- B
27- A
28- A
29- 100º
30- C
31- 36º, 72º e 72º
32- 45º
33- 40º
EXERCÍCIOS
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12
LOSANGO
É o paralelogramo que possui os lados congruentes.
QUADRADO
Paralelogramo que possui os lados e ângulos 
respectivamente congruentes, valendo para ele todas 
as propriedades de paralelogramo, retângulo e losango, 
concluindo que o quadrado é simultaneamente retângulo 
e losango.
TRAPÉZIO
É o quadrilátero convexo que possui apenas dois lados 
paralelos
ABCD é trapézio pois AB // CD
PARALELOGRAMOS
Paralelogramo é o quadrilátero que apresenta os lados 
opostos paralelos.
AB // DC e AD // BC
PROPRIEDADES GERAIS
PARALELOGRAMOS IMPORTANTES
RETÂNGULO
É o paralelogramo que possui os ângulos congruentes.
QUADRILÁTEROS
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13
EXERCÍCIOS
1- Observe o quadrilátero ABCD da figura abaixo.
O número máximo de quadriláteros que podem ser 
visualizados na figura é:
a) 6 b) 8 c) 12 d) 14 e) 16
2- Dois ângulos de um paralelogramo diferem de 70º. 
Determine todos os seus ângulos.
3- Em um paralelogramo, a soma de dois ângulos vale 
220º. Determine os ângulos desse quadrilátero.
4- Em um losango, uma das diagonais forma um ângulo de 
37º com um dos lados. Determine seus ângulos.
5- Em um trapezóide, dois ângulos medem 70° e 130°. 
Determine as medidas dos demais, sabendo-se que uma 
delas é o triplo da outra.
6- Dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são 
expressos por 2x – 16° e 3x + 1°. Determine o valor da 
diferença entre eles.
7- Em um paralelogramo, um dos ângulos equivale à 
quinta parte da soma dos demais. Determine as medidas 
dos ângulos desse quadrilátero.
8- Dois ângulos opostos de um paralelogramo tem para 
medidas, em graus, as expressões 4x + 28° 17’ e 6x – 42° 
13’. Cada ângulo agudo do paralelogramo mede:
a) 10° 43’ b) 13° 40’ c) 14° 10’ d) 34° 16’ e) 16° 30’
9- Um dos ângulos de um trapézio isósceles mede 43°. 
Determine as medidas dos demais.
10- Dois ângulos de um trapézio isósceles diferem de 40°. 
Determine os ângulos desse trapézio.
11- Os ângulos de um trapezóide são dados por x + 38°, 2x 
– 14°, 3x – 6° e 2x + 6°. Calcule-os.
12- Em um paralelogramo um ângulo é o triplo do outro. 
Determine os ângulos desse quadrilátero.
CLASSIFICAÇÃO DOS TRAPÉZIOS
ISÓSCELES: lados não paralelos são congruentes.
ESCALENO: lados não paralelos não são congruentes.
RETÂNGULO: um dos lados oblíquos é perpendicular às bases.
TRAPEZÓIDE
É o quadrilátero convexo que não 
possui lados paralelos.
BASE MÉDIA DE UM TRIÂNGULO
É o segmento que une os pontos médios de dois lados 
desse triângulo, sendo paralelo ao terceiro lado e valendo 
a metade dele.
QUADRILÁTEROS
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25- Seja um paralelogramo, cujo perímetro é 80 cm, e o 
lado menor é 3/5 da medida do lado maior. Os lados do 
paralelogramo são:
a) 25 e 15 b) 28 e 12 c) 24 e 16
d) 30 e 10 e) 22 e 18
26- Dado um losango, traça-se uma de suas diagonais. 
Um dos triângulos isósceles assim obtidos tem ângulo da 
base igual a 35°. Determine as medidas dos ângulos desse 
losango.
27- No retângulo abaixo, o valor, em graus, de a + b é:
a) 50° b) 90° c) 120° d) 130° e) 220°
28- Num losango, a diagonal menor mede 5 dm e a soma 
dos ângulos obtusos é o dobro da soma dos agudos. O 
perímetro do losango vale:
a) 18 dm b) 20 dm c) 22 dm d) 25 dm e) 30 dm
29- Num losango de 8 cm de perímetro, os ângulos 
internos obtusos são o dobro dos ângulos internos agudos. 
A menor diagonal do losango mede:
a) 1 cm b) 2 cm c) 32 cm d) 3 cm e) 34 cm
30- Em um trapézio de bases iguais a 6 e 20, determine as 
medidas da base média e da mediana de Euller.
31- Determine a base média e a mediana de Euller de um 
trapézio de bases 13,5 e 25,5.
32- As bases de um trapézio são proporcionais a 11 e 5. 
Determine a medida da mediana de Euller, sabendo que a 
base média vale 32.
33- A base média de um trapézio vale 74,358092 cm e a 
mediana de Euller vale 25,641908 cm. Determine a medida 
da base maior desse trapézio.
34- Em um trapézio, a medida da base maior é o triplo 
da medida da base menor. Sabendo-se que a base média 
mede 12 cm, determine a medida da mediana de Euller.
35- A mediana de Euller de um trapézio, cuja base maior 
mede 17, mede 4. Determine a medida de sua base média.
13- Dois ângulos de um trapézio medem 76° e 93°. 
Determine as medidas dos outros dois.
14- Dois ângulos de um losango são complementares. 
Determine os ângulos desse quadrilátero.
15- Em um trapézio retângulo, o maior ângulo excede o 
menor em 42°. Determine os ângulos desse trapézio.
16- Os ângulos de um trapezóide são proporcionais a 5, 6, 
9 e 4. Determine-os.
17- A diferença entre dois ângulos de um paralelogramo é 
30°. Determine os ângulos desse quadrilátero.
18- Em um paralelogramo, um dos ângulos obtusos é o 
dobro da soma dos agudos. Determine o valor de cada 
ângulo obtuso desse quadrilátero.
19- Determine o maior ângulo de um trapézio isósceles no 
qual uma altura forma um ângulo de 32° com um dos lados 
não paralelos.
20- Em um quadrilátero ABCD, de ângulos opostos 
suplementares, o ângulo  é o triplo de B, e este é a terça 
parte de C. Determine os ângulos desse quadrilátero.
21- Em um retângulo, uma das diagonais forma 52° com 
um dos lados. Determine o maior ângulo formado por suas 
diagonais.
22- Nesta figura, os ângulos a, b, c e d medem, 
respectivamente, x/2, 2x, 3x/2 e x. O ângulo e é reto. Qual 
a medida do ângulo f?
a) 16° b) 18° c) 20° d) 22° e) 24º
23- Um dos lados de um losango mede 1,3 cm. Determine 
seu perímetro.
24- A razão entre a base e a altura de um retângulo é 2,4 
e seu perímetro mede 17 cm. Nessas condições, quanto 
mede a base desse retângulo?
EXERCÍCIOS
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15
45- As bases de um trapézio isósceles medem 12 e 8. 
Sabendo que dois de seus ângulos são complementares, 
determine a altura desse trapézio.
46- Em um trapézio isósceles de bases 4 e 9, as diagonais 
são bissetrizes dos menores ângulos. Determine o 
perímetro desse trapézio.
47- Na figura, ABCD é um retângulo, M é o ponto médio de 
CD e o triângulo ABM é equilátero. Calcule MS, sabendo 
que AB = 21 m.
48- Na figura, AD = DC = CB e DB = BA. Calcule o ângulo  
do trapézio ABCD.
49- As bases MQ e NP do trapézio da figura abaixo medem 
42 cm e 112 cm, respectivamente. Se o ângulo MQP é o 
dobro do ângulo PNM, então o lado PQ mede:
a) 154 cm b) 91 cm c) 70 cm d) 133 cm e) 77 cm
50- No quadrilátero ABCD da figura abaixo, são traçadas 
as bissetrizes CM e BN, que formam entre si o ângulo a. 
A soma dos ângulos internos A e D desse quadrilátero 
corresponde a:
a) 3a b) 2a c) a d) a/2 e) a/4
51- Um triângulo tem lados iguais a 6, 4 e 8. Determine o 
perímetro do triângulo que se obtém unindo os pontos 
médios dos lados desse triângulo.
52- Um triângulo tem lados medindo 6, 7 e 9. Determine 
o perímetro do triângulo que se obtém ao traçarmos de 
cada vértice uma paralela ao lado oposto.
36- A base média e a mediana de Euller de um trapézio 
medem, respectivamente, 20 e 2. Determine as medidas 
de suas bases.
37- Em um quadrilátero ABCD, tem-se  = 40° e B̂ = 30°. 
Calcule:
a) o ângulo formado pelas bissetrizes internas dos ângulos 
C e D.
b) o ângulo formado pelas bissetrizes externas nos vértices 
C e D.
38- Em um trapézio isósceles, um ângulo vale 110°. Calcule 
o ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos internos da 
base maior.
39- Determine o ângulo formado pelas bissetrizes internas 
de dois ângulos adjacentes a um mesmo lado obliquo de 
um trapézio.
40- Determine o ângulo formado pelas bissetrizes de dois 
ângulos consecutivos de um paralelogramo.
41- Em um quadrilátero MNPQ, o ângulo formado pelas 
bissetrizes internas de N e P mede 104°. Determine a 
medida do ângulo formado pelas bissetrizes externas nos 
vértices N e P.
42- Na figura, ABCD é um quadrado e AMB um triângulo 
equilátero. Determine a medida do ângulo AMD.
43- A, B, C e D são vértices consecutivos de um quadrado 
e PAB é um triângulo equilátero, sendo P interno ao 
quadrado. Qual é a medida do ângulo PCB?
a) 30° b) 45° c) 60° d) 75° e) 90°
44- Na figura, ABCD é um quadrado, DEC e BCF são 
triângulos equiláteros. Determine o ângulo θ.
EXERCÍCIOS
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16
60- Na figura, as retas r e s são paralelas e o segmento AB 
é perpendicular a elas. Sabendo que CD 2 AO e BÔC = 18°, 
calcule a medida do ângulo AÔB.
53- Em um triângulo retângulo a mediana relativa à 
hipotenusa forma com ela um ângulo que vale 70°. 
Determine a medida do menor ângulo agudo desse triângulo.
54- Na figura, ABC é um triângulo equilátero. Sabendo que 
os segmentos x, y e z são paralelos aos lados do triângulo e 
que x + y + z = 12, determine o perímetro desse triângulo.
55- Na figura, M é o ponto médio do lado BC, NA é 
bissetriz do ângulo BÂC e BN é perpendicular a NA. Se AB = 
14 e AC = 20, a medida do segmento MN é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
56- Considere o triângulo ABC em que AB = BC = 1. Seja 
D o ponto médio de AC e E o ponto médio de AB. O 
comprimento de DE vale:
a) 1/3 b) 2/3 c) 1/4 d) 1/2 e) ¾
57- Na figura abaixo, ABCD é um trapézio. Calcule x.
58- Em um paralelogramo ABCD, o lado AB é o dobro do 
lado BC. Sendo M o ponto médio do lado CD, determine a 
medida do ângulo AMB.
59- Na figura, os segmentos AB e CD são paralelos e o 
ângulo D vale o dobro do ângulo B. calcule o segmento AB, 
sabendo que AD = 6 cm e CD = 4 cm
GABARITO
1- D
2- 2 de 125° e 2 de 55°
3- 2 de 110° e 2 de 70°
4- 2 de 74° e 2 de 106°
5- 40° e 120°
6- 56°
7- 2 de 60° e 2 de 120°
8- A
9- 43°, 137° e 137°
10- 2 de 110° e 2 de 70°
11-80°, 70°, 120° e 90°
12- 2 de 45° e 2 de 135°
13- 104° e 87°
14- 2 de 45° e 2 de 135°
15- 69°, 111° e 2 de 90°
16- 75°, 90°, 135° e 60°
17- 2 de 75° e 2 de 105°
18- 144°
19- 2 de 58° e 2 de 122°
20- 90°, 30°, 90° e 150°
21- 104°
22- 18°
23- 5,2 cm
24- 6 cm
25- A
26- 2 de 70° e 2 de 110°
27- D
28- B
29- B
30- 13 e 7
31- 19,5 e 6
32- 12
33- 100 cm
34- 6 cm
35- 13
36- 22 e 18
37- a) 35° b) 145°
38- 110°
39- 90°
40- 90°
41- 76°
42- 75°
43- D
44- 45°
45- 2
46- 21
47- 7 cm
48- 72°
49- 70 cm
50- B
51- 9
52- 44
53- 35°
54- 36
55- B
56- D
57- 8
58- 90°
59- 10 cm
60- 54°
EXERCÍCIOS
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17
Teorema das secantes:
“Dados dois segmentos 
secantes (“que cortam”) 
a circunferência partindo 
de um mesmo ponto, 
o produto das partes 
internas a circunferência 
pelas externas a circunferência é igual em ambos 
segmentos.”
PQ.QR=TS.SR
Teorema da secante-tangente:
“Dado um segmento secante a 
circunferência e outro tangente 
a mesma, o quadrado da 
medida do segmento tangente 
é igual ao produto daparte 
interna do segmento que é 
secante pela sua parte externa”
(PA)2 = PB.BC
PROPRIEDADE IMPORTANTE: Todo e qualquer segmento 
tangente (“que toca em um, e apenas um ponto”) à 
circunferência é um segmento perpendicular ao raio da 
mesma.
Comprimentos
Circunferência (C)
Dada uma circunferência de raio 
r, o perímetro (comprimento) da 
mesma é:
C=2.π.r
Arco de circunferência (L)
Dado um arco de circunferência 
(AB representado pelo ângulo α, 
fazendo uma regra
de três temos: L = π .r. α / 180º
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES
1) O raio que passa pelo ponto de tangência é 
perpendicular à tangente.
Definição: O conjunto de todos os pontos que estão a 
exatamente uma determinada distância de um ponto dado 
do mesmo plano chama-se circunferência.
Elementos
Corda: Qualquer segmento 
interno a circunferência com 
extremidades em dois pontos 
pertencentes à mesma. Na figura 
ao lado, AB e CD são cordas da 
circunferência.
Diâmetro: Qualquer corda da circunferência que contenha 
o centro da mesma. É a maior corda da circunferência. CD 
representa um diâmetro da circunferência na figura.
Raio: Qualquer segmento 
que liga o centro a um ponto 
qualquer da circunferência. PC 
é raio da circunferência ao lado. 
Note que o raio é metade do 
diâmetro! (D = 2.R)
Arco: É uma parte da 
circunferência, definida por um 
ângulo central ma(AB) e um 
comprimento m(AB) (determinado 
por dois pontos da circunferência).
Teorema do ângulo central
Definição: Chamamos de ângulo central, todo e qualquer 
ângulo cujo vértice seja o centro da circunferência.
Teorema: “A medida de um 
ângulo inscrito num arco é igual 
a metade da medida angular do 
arco interceptado da mesma 
circunferência”.
Em outras palavras, um 
ângulo cujo vértice pertence a 
circunferência equivale a metade 
do ângulo central que “enxerga” o mesmo arco que este.
Relações métricas na circunferência
Teorema das cordas:
“Dada a interseção de duas cordas da 
circunferência, o produto das partes 
de uma corda é igual o produto das 
partes da outra corda”
AP.PC=BP.PD 
CIRCUNFERÊNCIA
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18
ÂNGULO INSCRITO
CONSEQUÊNCIAS DO ÂNGULO INSCRITO
1) Em todo quadrilátero inscritível dois ângulos opostos 
são suplementares.
2) Todo triângulo inscrito em um círculo que apresenta 
o diâmetro como um de seus lados é obrigatoriamente 
retângulo e tem o diâmetro como hipotenusa.
2) Quando traçarmos, por um ponto exterior, duas 
tangentes a uma mesma circunferência, os segmentos 
compreendidos entre o ponto exterior e os pontos de 
tangência são congruentes.
3) Cordas paralelas de um círculo determinam arcos 
congruentes.
4) Teorema de Pitot : em todo quadrilátero circunscritível, 
a soma de dois lados opostos é sempre igual à soma dos 
outros dois.
ÂNGULOS NO CÍRCULO
ÂNGULO CENTRAL
CIRCUNFERÊNCIA
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19
EXERCÍCIOS
1- Determine x em:
2- Determine a medida do menor arco subentendido pela 
corda AB, nos casos em que AB é:
a) o lado de um triângulo eqüilátero inscrito
b) o lado de um quadrado inscrito
c) o lado de um pentágono regular inscrito
d) o lado de um hexágono regular inscrito
e) o lado de um octógono regular inscrito
f) o lado de um icoságono regular inscrito
g) um diâmetro
3- Os lados de um ângulo excêntrico exterior 
subentendem na circunferência dois arcos expressos por 
4x + 11º e 2x – 21º. Determine o valor de x, sabendo-se 
que o referido ângulo mede 33º.
ÂNGULO DE SEGMENTO
ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERIOR
ÂNGULO EXCÊNTRICO EXTERIOR
TEOREMA DE HIPARCO
Em todo quadrilátero convexo, inscritível, o produto das 
diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos.
CIRCUNFERÊNCIA
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20
13- Sobre uma circunferência são marcados, nesta ordem, 
os pontos A, B C e D. Sabendo-se que as cordas AB, BC e 
CD são, respectivamente, os lados do triângulo eqüilátero, 
hexágono regular e quadrado inscritos, determine o(s) 
ângulo(s):
a) do quadrilátero ABCD
b) do triângulo ABC
c) do triângulo BCD
d) formado pelas diagonais do quadrilátero ABCD
e) formado pelos prolongamentos das cordas AB e DC
14- Sobre uma circunferência marcam-se os pontos A, B, 
C e D, nesta ordem. Sabendo-se que ADC = 80º e que BCD 
= 105º, determine a medida do ângulo P formado pelos 
prolongamentos das cordas AB e DC.
15- Num círculo tomam-se, no mesmo sentido de 
percurso, os arcos AB = 110º, BC = 60º e CD. Sabendo-se 
que o ângulo BAD = 65º, determine a soma dos ângulos E 
e F formados, respectivamente, pelos prolongamentos das 
cordas AB e CD e das cordas BC e AD.
16- Sobre uma circunferência são marcados os pontos 
A, B e C. Os menores arcos AB, BC e AC medem, 
respectivamente, 3x + 14º, 2x + 16º e 6x – 22º. Determine 
os ângulos do triângulo ABC.
17- Em um círculo, a corda AB é o lado de um decágono 
regular inscrito. Sua mediatriz intersecta a circunferência 
nos pontos C e D. Determine os ângulos dos triângulos ABC 
e ABD.
18- Um triângulo ABC está inscrito em um círculo cujo 
centro encontra-se no interior do triângulo. Se os lados 
AB e BC são, respectivamente, os lados do triângulo 
eqüilátero e do quadrado inscritos, determine os ângulos 
desse triângulo. Quais seriam os ângulos desse triângulo, 
se o centro do círculo estivesse em seu exterior?
19- Em um círculo de centro O, está inscrito o ângulo a. Se 
o arco AMB mede 130º, o ângulo a mede:
a) 25º b) 30º c) 40º d) 45º e) 50º
4- Um ângulo inscrito é formado por um diâmetro e 
uma corda, e mede 74°. Determine o valor do arco 
subentendido pela corda.
5- Calcular o ângulo inscrito formado por duas cordas que 
são os lados do quadrado e do hexágono regular inscritos.
6- Duas cordas intersectam-se no interior de um círculo 
formando um ângulo de 140º. Sabendo-se que um dos 
arcos equivale a 3/4 do outro, determine a medida do 
maior arco.
7- Um ângulo excêntrico interior mede 59º, e a diferença 
entre as medidas dos arcos por ele subentendidos na 
circunferência vale 46º. Determine as medidas desses 
arcos.
8- Por um ponto P, exterior a um círculo, traçam-se as 
secantes PAB e PCD, sendo esta diametral. Se os menores 
arcos AC, AB e BD são, nesta ordem, proporcionais a 1, 2 e 
3, determine a medida do ângulo BPD.
9- De um ponto P, exterior a um círculo, traçam-se 
as tangentes PM e PN. Os pontos M e N dividem a 
circunferência em dois arcos tais que a diferença entre o 
dobro da medida do maior e o triplo da medida do menor 
dá 20º. Determine a medida do ângulo MPN.
10- Em um círculo, a tangente t toca a circunferência no 
ponto P. A partir de P é traçada uma corda que divide 
a circunferência em dois arcos proporcionais a 7 e 2. 
Determine a medida do menor dos ângulos formados pela 
corda e a tangente.
11- Sobre uma circunferência são marcadas, nesta ordem, 
os pontos A, B, C e D, e os menores arcos AB, BC, CD e DA 
são expressos, respectivamente, por 4x – 8º, 5x – 20º, 6x – 
12º e 3x + 4º. Determine o(s) ângulo(s):
a) do triângulo BCD
b) do quadrilátero ABCD
c) formado pelas cordas AC e BD.
12- Sobre uma circunferência marcam-se, nesta ordem, 
os pontos A, B, C e D. Sabendo-se que AB é o lado de um 
pentágono regular, CD é o lado de um triângulo eqüilátero 
e que os menores arcos AD e BC estão na razão 3 para 4, 
determine:
a) as medidas dos ângulos do quadrilátero ABCD.
b) o ângulo formado pelas diagonais do quadrilátero ABCD.
c) o ângulo formado pelos prolongamentos das cordas DA 
e CB.
EXERCÍCIOS
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21
25- Na figura abaixo, AB é o lado do triângulo eqüilátero 
inscrito. Determine a medida do ângulo APB.
26- Na figura abaixo, o arco AB mede 80º. O ângulo APB, 
em graus, mede:
a) 20º b) 30º c) 40º d) 50º e) 60º
27- As semi-retas PM e PN são tangentes ao círculo da 
figura e o comprimento do arco MGN é 4 vezes o do arco 
MFN. O ângulo MPN vale:
a) 76º b) 80º c) 90 d) 108º e) 120º
28- A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência de 
centro O é:
a) 125º b) 110º c) 120º d) 100º e) 135º
20- Na figura, AB é diâmetroda circunferência. O menor 
dos arcos AC mede:
a) 100º b) 140º c) 120º d) 160º e) 150º
21- Na figura, o ângulo AÊC mede 80º e o arco AC mede 
100º. A medida do arco BD é:
a) 45º b) 50º c) 60º d) 75º e) 90º
22- Na figura, O é o centro da circunferência. Determine a 
medida do ângulo x.
23- Sendo AB = x e CD = y, o valor de x + y é:
a) 90º b) 120º c) 140º d) 150º e) 160º
24- Determine a medida do ângulo α da figura.
EXERCÍCIOS
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33- Na figura abaixo, PA e PB são tangentes, AB é o lado 
de um triângulo eqüilátero, CD é o lado de um hexágono 
regular inscrito no círculo e BAD = 50º. Assim, determine 
as medidas dos ângulos APB, AQB, BCD e ABC.
34- Na figura, AB é o diâmetro da circunferência de centro 
O; OX e OU são respectivamente bissetrizes de AOC e BOD. 
Desta forma, XOY mede:
a) 76º b) 96º c) 109º d) 138º e) 181º
35- Na figura abaixo, o arco AC mede 20º, o arco BC mede 
124º, o arco CD mede 36º e o arco DE mede 90º. Calcule o 
ângulo â.
36- Na figura, o ângulo central â mede 56º e o ângulo b 
mede 18º. O valor do ângulo x é
a) 10º b) 38º c) 20º d) 19º
29- Observe a figura:
Nessa figura, B e D são pontos da circunferência de centro 
O e diâmetro AC, M é ponto médio da corda AB e o ângulo 
ADM mede 35º. A medida x do ângulo BÂC, em graus, é:
a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 37,5
30- Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos 
ângulos x e y.
31- Na figura, sabe-se que ABD = x e CAB = y. Determine as 
medidas dos ângulos AQD e APD.
32- Na figura abaixo, o ângulo ABD mede 20º e o ângulo 
CPD mede 60º. Determine a medida do ângulo BAE.
EXERCÍCIOS
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23
40- Em relação à figura abaixo, considere:
I- AB é um diâmetro da circunferência de centro O;
II- a reta “t”, paralela à corda AR, é tangente à 
circunferência no ponto T;
III- o ângulo BÂR mede 20º.
Então, a medida do ângulo x formado pela reta t e pela 
corda AT é:
a) 25º b) 35º c) 40º d) 45º e) 60º
41- O valor de x na figura abaixo é:
a) 50º b) 60º c) 70º d) 80º e) 90º
42- Na figura abaixo, determine o valor do ângulo x.
43- Do trapézio da figura, sabe-se que  = 75º e que o arco 
CD mede 60º. O arco AB mede:
a) 90º b) 120º c) 170º d) 150º
e) o problema é indeterminado
37- Os pontos M, N, P, Q e R são vértices de um pentágono 
regular. A soma dos ângulos M + N + P + Q + R é:
a) 360º b) 330º c) 270º d) 240º e) 180º
38- Determine a medida do ângulo x na figura abaixo, 
onde são representados dois círculos de centros O
1 e O2.
39- Considere a figura, onde x e y são medidas de arcos e z 
é a medida do ângulo assinalado. Pode-se afirmar que x + 
y + z é igual a
a) 255º b) 265º c) 275º d) 285º e) 295º
EXERCÍCIOS
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24
50- Na figura abaixo, no triângulo ABC, de perímetro 32 
e base BC = 11, está inscrito um círculo de centro O. Se o 
segmento DE é tangente a esse mesmo círculo, determine 
o perímetro do triângulo ADE.
51- Determine o raio do círculo inscrito em um triângulo 
retângulo de lados 41, 40 e 9.
52- O raio do círculo inscrito em um triângulo retângulo 
vale 1. Determine as medidas dos lados desse triângulo, 
sabendo que eles são números inteiros e consecutivos.
53- De um ponto P são traçadas duas tangentes PA e PB 
a um círculo. Por um ponto T do menor arco AB é traçada 
uma tangente que intersecta PA em M e PB em N. Se o 
comprimento de PA é 17 cm, determine o perímetro do 
triângulo PMN.
54- Em um quadrilátero circunscritível, dois lados opostos 
medem 7 e 9. Determine as medidas dos outros, sabendo-
se que a medida de um deles é a terça parte da medida do 
outro.
55- Determine o valor de x na figura abaixo.
56- Em um quadrilátero convexo circunscritível ABCD, 
temos AB = 5x – 3, BC = 2x + 3, CD = x + 2 e DA = 3x – 1. 
Determine o valor de x.
57- As bases de um trapézio circunscritível medem 6 e 8. 
Determine o seu perímetro.
58- Determine o perímetro de um trapézio circunscrito a 
um círculo, sabendo-se que sua base média tem medida k.
59- Em uma circunferência são marcados os pontos A, B e 
C, sendo que A e B são extremos de um mesmo diâmetro. 
Sabendo-se que CÂB = 34º, determine a medida do ângulo CBA.
44- Determine os ângulos de um trapézio inscrito em um 
semi-círculo, sabendo-se que suas bases são os lados de 
um quadrado e de um pentágono regular inscritos.
45- Um dos lados oblíquos de um trapézio inscrito é o lado 
de um triângulo eqüilátero e uma das bases é o lado de um 
decágono regular. Determine os ângulos desse trapézio.
46- Um trapézio ABCD está inscrito em um círculo e suas 
bases AB e DC são, respectivamente, os lados do hexágono 
e do triângulo eqüilátero inscritos. Determine as medidas 
dos ângulos desse trapézio.
47- Determine o perímetro do triângulo da figura abaixo.
48- Na figura abaixo, AB = 7, BC = 8 e AC = 11. Determine 
as medidas dos segmentos AR, BS e CT.
49- Na figura abaixo, o círculo de centro O está inscrito 
no triângulo ABC, com pontos de contato M, N e P. 
Sabendo-se que as medidas dos lados BC, AC e AB são, 
respectivamente, 9, 11 e 10, determine:
a) AM
b) BN
c) CP
d) AP + BM + CN
EXERCÍCIOS
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66- Três círculos tangentes exteriores dois a dois, tem 
centros nos pontos M, N e P. Determine os seus raios, 
sabendo-se que MN = 8, MP = 13 e NP = 11.
67- Duas circunferências de raios 4 e 10 são tangentes 
exteriores e, simultaneamente, tangentes interiores a uma 
terceira circunferência de raio r. Determine o valor de r.
68- Duas circunferências concêntricas tem raios iguais a 
10 e 4. Determine os raios de duas outras circunferências 
simultaneamente tangentes a elas.
69- Determine os raios de duas circunferências 
concêntricas, sabendo que os raios de duas outras que as 
tangenciam medem 5 e 9.
70- Uma circunferência de raio 7 cm é tangente a 
duas circunferências concêntricas e envolve a menor. 
Determine o raio da menor, sabendo-se que o raio da 
maior é 10 cm.
71- Duas circunferências secantes são tais que cada uma 
delas passa pelo centro da outra. Se o raio de uma delas 
mede 3π cm, determine o perímetro do quadrilátero 
convexo obtido unindo-se os centros aos pontos de 
interseção das circunferências.
71- Em um pentadecágono regular ABC...OP, calcule o 
ângulo ACF.
73- Um pentágono convexo ABCDE está inscrito em 
um círculo de centro O. Determine o valor da soma das 
medidas dos ângulos B e E desse pentágono, sabendo-se 
que o ângulo CÔD mede 50º.
74- Na figura abaixo, sobre o lado AB do quadrado ABCD, 
constrói-se o triângulo retângulo ABP. Sendo O o centro do 
quadrado, determine a medida do ângulo OPB.
60- Um dos lados de um triângulo inscrito em um círculo 
é o diâmetro. Determine os ângulos desse triângulo, 
sabendo-se que o maior deles é o triplo do menor.
61- Um quadrilátero convexo está inscrito em um círculo. 
A soma dos ângulos a e b mostrados na figura é:
a) 45º b) 90º c) 180º d) 270º e) 360º
62- A diferença entre as medidas dos ângulos x e y na 
figura abaixo vale:
a) 30º b) 40º c) 50º d) 60º e) 70º
63- Num quadrilátero inscritível, um de seus ângulos é 
a sexta parte do seu ângulo oposto. Escrito em graus, 
minutos e segundos, o número da parte inteira de 
segundos, do referido ângulo, é:
a) 50 b) 51 c) 52 d) 53 e) 54
64- Na figura abaixo, determine a medida do segmento AC, 
sabendo-se que AB = BC = 6, CD = 5, AD = 7 e BD = 8
65- Duas circunferências tem raios R e r, e a distância entre 
seus centros é d. Verifique a posição relativa entre elas nos 
casos a seguir:
a) R = 7, r = 3 e d = 4
b) R = 9, r = 4 e d = 3
c) R = 7, r = 2 e d = 11
d) R = 5, r = 3 e d = 0
e) R = 6, r = 2 e d = 7
f) R = 8, r = 3 e d = 11
g) R = 7, r = 4 e d = 8
h) R = 9, r = 5 e d = 2
EXERCÍCIOS
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45- 2 de 78º e 2 de 102º
46- 2 de 75º e 2 de 105º ou 2 de 45º
47- 30
48- 5, 2, 6
49- a) 6 / b) 4 / c) 5 / d) 15
50- 10
51- 4
52- 3, 4 e 5
53- 34 cm
54- 4 e 12
55- 10
56- 3
57- 28
58- 4k
59- 56º 
60-30º, 60º e 90º
61- C
62- B
63- B
64- 9
65- a) tangentes interiores / b) interiores / c) exteriores
d) concêntricas / e) secantes / f) tangentes exteriores 
g) secantes / h) interiores
66- 3, 5 e 8
67- 14
68- 3 e 7
69- 14 e 4
70- 4 cm
71- 12π cm
72- 120º
73- 205º
74- 45º
GABARITO
1- a) 70º / b) 30º / c) 100º / d) 40º / e) 36º f) 108º / g) 
40ºh) 110º
2- a) 120º / b) 90º / c) 72º / d) 60º / e) 45º / f) 18º / g) 180º 
3- 17º
4- 32º
5- 15º ou 105º
6- 160º
7- 82º e 36º
8- 30º
9- 40º
10- 40º
11- a) 35º / b) 60º, 75º e 45º / c) 105º, 95º, 75º e 85º
12- a) 108º, 96º, 72º e 84º / b) 84º / c) 24º
13- a) 75º, 90º, 105º e 90º / b) 30º, 90º e 60º / c) 45º, 105º 
e 30º / d) 75º / e) 15º
14- 25º
15- 50º
16- 40º, 55º e 85º
17- 9º, 162º e 9º e 81º, 81º e 18º
18- 45º, 75º e 60º e 45º, 15º e 120º
19- A
20- A
21- C
22- 20º
23- E
24- 47º
25- 60º
26- B
27- D
28- A
29- A
30- 43º
31- x+ y e x – y
32- 20º
33- 60º, 90º, 50º e 40º
34- C
35- 37º
36- A
37- E
38- 15º
39- C
40- B
41- D
42- 44º
43- B
44- 2 de 40º 30’ e 2 de 139º 30’
EXERCÍCIOS
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6) CONCÊNTRICASConsideremos uma circunferência de centro O e raio R, e 
outra de centro O’ e raio r, de modo que OO=d. A partir 
daí, vamos analisar todas as posições relativas entre elas, 
supondo que R≥r.
1) EXTERIORES
2) TANGENTES EXTERIORES
3) SECANTES
Observe a necessidade da existência do triângulo OO’P. 
Daí a aplicação da condição de existência de um triângulo.
4) TANGENTES INTERIORES
5) INTERIORES
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
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79- Duas cordas cortam-se no interior de um círculo. Os 
segmentos da primeira são expressos por 3x e x + 1 e os 
segmentos da segunda por x e 4x – 1. O comprimento da 
maior corda, qualquer que seja a unidade, é expresso pelo 
número
a) 17 b) 19 c) 21 d) 30 e) 33
80- Duas cordas cortam-se no interior de um círculo 
conforme a figura abaixo. O valor de x é:
a) 3 b) 3,5 c) 4 d) 4,5 e) 5
81- Duas cordas cortam-se no interior de um círculo. Uma 
delas fica dividida em dois segmentos que medem 4 cm 
e 6 cm. Determine os segmentos em que a outra, cujo 
comprimento total é 11 cm, ficou dividida.
82- Num círculo, duas cordas se cortam. Os dois 
segmentos da primeira corda tem, respectivamente, 
18 m e 10 m. Os dois segmentos da outra corda, cujo 
comprimento total é 27 m, medem:
a) 14 m e 13 m b) 18 m e 9 m
c) 30 m e 7 m d) 10 m e 17 m
e) 15 m e 12 m
83- Num círculo, a corda CD é perpendicular ao diâmetro 
AB no ponto E. Se AE x EB = 3, a medida de CD é:
a) 3 b) 3 c) 32 d) 33 e) 4
84- Determine x em:
85- Na figura abaixo, PA é tangente em A ao círculo, PA = PC 
= CB, PD = 1 e DE = 8. Calcule a medida do segmento AC.
75- Determine o valor de x em:
76- O valor de x na figura abaixo é:
a) 3/5 b) 1 c) 4 d) 5 e) 20/3
77- Na figura, AB = 7 m, AD = 6 m e DE = 4 m. Então, BC é 
igual a
a) 5 m b) 12 m c) m d) m 
78- Na figura abaixo, o valor de x é igual a:
a) 6 b) 9 c) 8 d) 5 e) n.r.a.
EXERCÍCIOS
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91- Na figura, O é centro da circunferência. Se PE = 6 e OS 
= 9, o raio da circunferência é:
a) 9/4 b) 4 c) 6 d) 5/2 e) 5
92- Na figura abaixo, AB = 8 cm, BC = 10 cm, AD = 4 cm e 
o ponto O é o centro da circunferência. O perímetro do 
triângulo AOC mede, em cm:
a) 36 b) 45 c) 48 d)50 e) 54
93- Na figura, AB = 8 cm, BC = 9 cm, AD = 4 cm e o ponto 
O é o centro da circunferência. O perímetro do triângulo 
AOC, em cm, é:
a) 43 b) 47 c) 49 d) 51
94- Na figura abaixo, AB = 2 e BC = 6. Determine a medida 
do segmento MN.
95- Na figura, determine a medida do segmento TT’, sendo 
MA = 4 cm e AB = 5 cm.
86- Na figura abaixo, PA é uma secante a círculo, PT é uma 
tangente ao círculo e BC é uma corda do círculo.
Qual das relações abaixo sempre será válida?
87- O raio de um círculo mede 6 m. Por um ponto P, 
distante 10 m do centro, traça-se uma tangente. O 
comprimento da tangente, compreendido entre P e o 
ponto de contato, é:
a) 4 m b) 6 m c) 8 m d) 10 m e) 12 m
88- Por um ponto distante 15 cm do centro de uma 
circunferência, traçamos um segmento tangente de 9 cm. 
O diâmetro dessa circunferência, em cm, é:
a) 28 b) 24 c) 10 d) 26 e) 12
89- De um ponto situado a 3 m da circunferência de um 
círculo, traça-se uma tangente de comprimento igual a 9 
m. Qual a medida do raio do círculo?
90- Uma pessoa se encontra em um ponto P que dista 10 
m de u a piscina circular de raio 5 m, conforme indica a 
figura abaixo. Que distância essa pessoa percorrerá até o 
ponto Q, sabendo que Q é tangente à borda da piscina?
EXERCÍCIOS
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GABARITO
75- a) 6 / b) 2 / c) 22 / d) 6 / e) 5
76- A
77- C
78- A
79- B
80- A
81- 3 cm e 8 cm
82- E
83- C
84- 10
85- 4
86- A
87- C
88- B
89- 12 m
90- 210 m
91- D
92- E
93- D
94- 8
95- 12 cm
96- 8
97- A
98- E
96- Considere as cordas AB = 29 e CD = 20 de uma 
circunferência, que se intersectam em um ponto P; 
e um ponto Q da corda AB, tal que ACQD seja um 
paralelogramo. Marcado esse ponto Q, calcule AQ.
97- Considere as cordas AP = 13 e BD = 12 de uma 
circunferência, que se interceptam no ponto Q; e um 
ponto C na corda AP, tal que ABCD seja um paralelogramo. 
Determinado esse ponto C, AC mede:
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
98- O raio do círculo da figura abaixo, onde a2=bc, é igual a:
Dados:
Centro O
P ponto interior qualquer
Med(PM) = Med(MB) = a
AB é tangente ao círculo em A
EXERCÍCIOS
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3- HEXÁGONO REGULAR
2
3Ra =
 RL =
POLÍGONOS REGULARES CIRCUNSCRITOS
Todos os lados tangenciam a circunferência.
1- TRIÂNGULO EQUILÁTERO
2- QUADRADO
3- HEXÁGONO REGULAR
Como vimos anteriormente no capítulo de polígonos, 
um polígono é regular quando é eqüilátero (lados iguais) 
e eqüiângulo (ângulos iguais). Vejamos os principais 
polígonos regulares relacionando-os com os círculos 
inscrito e circunscrito.
Antes de iniciarmos as demonstrações das relações acima, 
é importante o conceito dos itens a seguir:
 » Raio de um polígono regular: é a distância do centro 
do polígono a qualquer um de seus vértices, sendo 
igual ao raio do círculo no qual o polígono é inscrito.
 » Apótema de um polígono regular: é a distância do centro 
do polígono a qualquer um de seus lados, sendo igual ao 
raio do círculo ao qual o polígono é circunscrito. Observe 
que o apótema divide o lado ao meio.
Vamos adotar a seguinte legenda:
 » Lado do polígono regular inscrito e circunscrito : L
 » Apótema do polígono regular inscrito: a
 » Apótema do polígono regular circunscrito: A
 » Raio do círculo : R
POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS
Todos os vértices estão na circunferência.
1- TRIÂNGULO EQUILÁTERO
2
Ra =
 
3RL =
 2
3Rh =
2- QUADRADO
2
2Ra =
 
2RL =
 
Rd 2=
POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS
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32
EXERCÍCIOS
1- Em um círculo de raio 6, determine:
a) lado do triângulo eqüilátero inscrito.
b) apótema do triângulo eqüilátero inscrito.
c) altura do triângulo eqüilátero inscrito.
d) lado do quadrado inscrito.
e) apótema do quadrado inscrito.
f) diagonal do quadrado inscrito.
g) lado do hexágono regular inscrito.
h) apótema do hexágono regular inscrito.
i) lado do triângulo eqüilátero circunscrito.
j) apótema do triângulo eqüilátero circunscrito.
l) altura do triângulo eqüilátero circunscrito.
m) lado do quadrado circunscrito.
n) apótema do quadrado circunscrito.
o) diagonal do quadrado circunscrito.
p) lado do hexágono regular circunscrito.
q) apótema do hexágono regular circunscrito.
2- O lado do hexágono regular inscrito em um círculo 
vale 4 cm. Determine a altura do triângulo eqüilátero 
circunscrito a esse círculo.
3- O perímetro do quadrado circunscrito a um círculo vale 
40 cm. Determine a altura do triângulo eqüilátero inscrito 
nesse círculo.
4- O apótema do hexágono regular inscrito a um círculo 
vale 35 cm. Determineo lado do quadrado inscrito.
5- O apótema de um hexágono regular de lado 4 cm, 
mede, em cm:
6- A altura de um triângulo eqüilátero circunscrito a 
um círculo mede 336 cm. Determine o apótema do 
hexágono regular inscrito nesse mesmo círculo.
7- Determine o apótema do quadrado inscrito em um 
círculo no qual o lado do triângulo eqüilátero circunscrito 
mede 56 cm.
 
8- Em um círculo estão inscritos um quadrado e um 
triângulo eqüilátero. Determine o perímetro do triângulo, 
sabendo-se que a diagonal do quadrado mede 8 cm.
9- Em um círculo estão inscritos um triângulo eqüilátero e 
um quadrado. Se o perímetro do triângulo mede 312 cm, 
determine a medida do apótema do quadrado.
Quadro de resumo
Polígonos regulares inscritos
L a
3R
2
R
2R
2
2R
R
2
3R
Polígonos regulares circunscritos
L a
32R R
R2 R
3
32R R
POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS
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33
QUESTÕES 
15- (Um triângulo, inscrito em uma circunferência, tem um 
ângulo de 30º oposto a um lado de 10 cm. O diâmetro da 
circunferência, em cm, é
a) 10 b) 15 c) 20 d) 25
16- Um quadrado e um triângulo eqüilátero estão inscritos 
em uma circunferência de raio R. A razão entre as medidas 
dos apótemas do quadrado e do triângulo é
a) 2 b) 3 c) 32 d) 
23
17- Um hexágono regular ABCDEF, de cm 3 30 de 
perímetro, está inscrito em um círculo de raio R. A medida 
de sua diagonal AC , em cm, é
a) 35 b) 5 c) 315 d) 15 
18- A razão entre as medidas dos apótemas do quadrado 
inscrito e do quadrado circunscrito numa circunferência de 
raio R é
a) 2
2
 b) 2
3
 c) 2 d) 
32
19- Num triângulo ABC, BC = 10 cm e med( CB̂A ) = 60°. Se 
esse triângulo está inscrito numa semicircunferência e BC 
é seu menor lado, então o raio dessa semicircunferência 
mede, em cm,
a) 5 b) 10 c) 210 d) 
310 
GABARITO
10- O lado de um triângulo eqüilátero inscrito mede 3 m. O 
lado do quadrado inscrito no mesmo círculo mede:
a) 2 m b) 3 m c) 2 m d) 6 m e) 4 m
11- Determine o perímetro do triângulo formado pelos 
prolongamentos, nos dois sentidos, de três lados 
alternados de um hexágono regular inscrito em um círculo 
de raio 5 cm.
12- Na figura abaixo, os pontos M, N e P são vértices 
de um triângulo eqüilátero e os pontos M, Q, R e S são 
vértices de um quadrado.
QN corresponde ao lado do:
a) hexágono regular b) octógono regular
c) eneágono regular d) decágono regular
e) dodecágono regular
13- A figura mostra um hexágono regular de lado a. A 
diagonal AB mede:
a) a2 b) 2a c) 2
3a
 d) 3a e) 3
22a
14- Em um círculo está inscrito um triângulo eqüilátero, 
e em outro está inscrito um quadrado. Determine a 
razão entre os comprimentos do menor e do maior raio, 
sabendo que os perímetros desses polígonos são iguais.
EXERCÍCIOS
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34
Quadriláteros
Retângulo
h
b
A=b.h
No caso especial em que b = h temos um quadrado (todos 
os lados iguais). Chamando o lado do quadrado de L, 
temos:
A=L2
D=L.2
Paralelogramo
Os lados são paralelos e de 
igual tamanho dois a dois. 
Os ângulos entre os lados 
dependem das medidas dos 
lados. A=b.h
Apesar de ser a mesma fórmula do retângulo, deve-se 
atentar que h neste caso não é a medida do lado da figura, 
mas sim perpendicular à base.
Losango
É um caso especial de 
paralelogramo, onde além da 
disposição paralela os lados são 
iguais. E, ainda, as diagonais 
são perpendiculares, porém 
os lados não paralelos não são 
perpendiculares entre si.
Trapézio
Triângulos
Casos particulares
Triângulo Eqüilátero
Fórmula de Heron
Seja p = a + b + c
 2 
Então: A=p.(p-a).(p-b).(p-c)
o semiperímetro do triângulo ao lado, 
a b
c
Dados dois lados e o ângulo entre eles
ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS
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35
Relação entre área e lados do triângulo e raio da 
circunferência inscrita e circunscrita ao mesmo.
Circunferência inscrita
É a circunferência “dentro” do triângulo.
Sugestão: Demonstre a fórmula acima.
Circunferência circunscrita
É a circunferência que “envolve” o triângulo.
Outros polígonos
Importante: A soma dos ângulos internos de um polígono 
qualquer depende do número de lados que este possui. A 
soma dos ângulos internos de um n – ágono é dada por:
S=(n-2).180º
Pentágono regular
É um polígono de 5 lados. Por ser 
regular tem todos os lados iguais e os 
ângulos internos também. Sua área 
pode ser calculada pela composição 
da de um triângulo isósceles e da de 
um trapézio igualmente isósceles. 
Sugestão: Faça a demonstração da área do pentágono 
regular de lado L.
Hexágono regular
Um polígono de 6 lados. Como é 
regular, também possui todos os lados 
e ângulos internos iguais. Facilmente 
observa que o mesmo é composto por 
6 triângulos eqüiláteros. Logo, a área do 
hexágono de lado L é dada por:
Círculo e seus subconjuntos
Definição: O conjunto de todos os pontos que estão até 
uma determinada distância de um ponto dado do mesmo 
plano chama-se círculo.
Círculo
Coroa circular
Utilizando o princípio da superposição de áreas, basta 
fazer a área do círculo maior menos a do círculo menor.
Setor circular
É a área de um pedaço do círculo, representado pelo 
ângulo q . Similar ao cálculo do comprimento de arco de 
circunferência, fazemos uma regra de três:
Segmento circular
O segmento circular é a área 
delimitada por uma corda e por 
um arco de circunferência. Na 
figura, está representada pela área 
hachurada em verde.
Observa-se que este segmento é 
obtido pela subtração do triângulo isósceles POQ do setor 
circular de centro O e arco PQ.
ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS
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36
8) O piso de uma sala possui a forma de um paralelogramo 
como na figura a seguir:
Determine a área desse piso, em m2. (considere √2 = 1,41)
GABARITO
1) 24(2-√3) cm2
2) D
3) B
4) D
5) C
6) D
7) 60°
8) 141m2
1) Na figura abaixo, o hexágono regular tem lado 4 cm. 
Determine a área da região hachurada. (considere p = 3)
2) Em um triângulo retângulo, o maior e o menor lado 
medem, respectivamente, 12 cm e 4 cm. Qual é a área 
desse triângulo?
a) 4√2 cm2 b) 16 cm2
c) 8√2 cm2 d) 16√2 cm2
e) 24 cm2
3) Deseja-se determinar a área de um trapézio, cuja base 
maior mede 1 metro a mais que a altura, e a base menor 
1 metro a menos que a altura. Sabendo que a altura desse 
trapézio mede 4 metros, qual é, em metros quadrados, a 
área desse trapézio?
a) 10. b) 16. c) 20. d) 25. e) 30.
4) Uma padaria produz e monta pizzas redondas cada uma 
com 40 cm de diâmetro e vende-as por R$ 30,00 o quilo. 
Por experiências anteriores, sabe-se que a cada cm2 da 
área da superfície de cada pizza tem-se, em média, um 
peso de 1,5 gramas. Utilizando-se essa relação, o valor 
pago por cada pizza é, em média, aproximadamente, 
Observação: Considerar π @ 3.
a) R$ 25,00. b) R$ 30,00. c) R$ 46,00. d) R$ 
54,00.
5) Na geometria, um trapézio retângulo é aquele que apresenta 
dois ângulos retos. Qual é a área do trapézio retângulo que tem 
um ângulo interno de 45° e bases 10 cm e 8 cm?
a) 36 cm2 b) 16 cm2
c) 18 cm2 d) 12 cm2
6) Um losango apresenta área igual a 60 m2. Sabendo 
que a diagonal menor mede 6m, encontre a medida da 
diagonal maior.
a) 5m b) 10m
c) 15m d) 20m
7) Sabendo que a área do triângulo acutângulo indicado na 
figura √3 cm2, determine o ângulo ß. é 100
EXERCÍCIOS
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37
Poliedros regulares
Prismas
Prismas são sólidos geométricos formados por uma face 
superior e por uma face inferior (chamadas de “base”) 
paralelas e congruentes ligadas por arestas. A nomenclatura 
do prisma depende do formato de suas bases. Quanto às 
suas arestas laterais, o prisma pode ser classificado como 
reto quando estas são perpendiculares a base ou oblíquo. 
Um prisma é chamado regular quando este é reto e suas 
bases são polígonos regulares (de lados iguais).
Os planos contidos entre duas arestas laterais são 
chamados de faces laterais. A distância entre os planos 
quecontém as bases do prisma é chamada de altura do 
prisma (note que esta distância é uma perpendicular entre 
esses planos, como no caso do paralelogramo).
Chamamos área lateral (A
L) a superfície formad a pelas 
faces laterais do prisma. Na figura, a área l Lateral do prisma 
triangular é a superfície pintada de vermelho.
Em cinza, esta a superfície que chamamos de área da base (AB).
Até este momento trabalhamos com apenas 2 dimensões, 
analisando as figuras planas. Neste tópico, passamos a 
considerar o mundo real, as 3 dimensões, e a analisar 
então planos distintos, fazendo o estudo volumétrico das 
figuras, por exemplo. Além da análise das medidas de 
comprimento e área, agora nos interessa também estudar 
as chamadas área lateral das figuras, a área total, área da 
base e volume.
Posição entre duas retas
Dadas duas retas (r e s) estas podem ser coplanares (estar 
no mesmo plano) ou não-coplanares.
As retas coplanares podem ainda ser concorrentes (se 
encontram em pelo menos um ponto, que não seja 
o infinito); coincidentes (r = s); paralelas distintas (“se 
encontram no infinito”).
As retas não-coplanares são chamadas de reversas (não 
estão no mesmo plano, nem concorrem em nenhum ponto)
Retas paralelas Retas concorrentes Retas reversas
Outras definições:
“Duas retas reversas são ditas ortogonais se o ângulo 
formado entre elas for um ângulo reto.”
“Uma reta é perpendicular a um plano se, e somente se, a 
reta for ortogonal a todas as retas do referido plano.”
“Um plano é perpendicular a outro plano se, e somente se, 
existir uma reta contida em deles que seja ortogonal ao 
outro plano.”
“Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é o 
pé da perpendicular do ponto pelo plano. A projeção 
ortogonal de uma figura é o conjunto das projeções 
ortogonais de todos os pontos da figura sobre o plano.”
“Diedro, ou ângulo diédrico, 
é o ângulo formado por 
dois semiplanos de origem 
comum. Pode ser medido 
através do ângulo plano 
obtido cortando o diedro 
com um plano perpendicular 
aos semiplanos.”
GEOMETRIA ESPACIAL
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38
a) 18 b) 30 c) 36 d) 38
1) Calcule a medida da terceira dimensão de um 
paralelepípedo, sabendo que duas delas medem 4 cm e 7 
cm e que sua diagonal mede √ cm.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Determine o volume, em cm3, de um cilindro de revolução 
de 10 cm de altura, sendo sua área lateral igual à área da 
base.
a) 40 b) 400 c) 4000 d) 40000 
Num poliedro convexo de 10 faces triangulares, quantas 
são as arestas? E os vértices?
Determine o número de vértices de um poliedro convexo 
fechado que tem 1 face pentagonal, 5 faces triangulares e 
5 faces quadrangulares.
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14
Sabendo-se que as dimensões de um paralelepípedo de 
área total 352 cm são k cm, 2k cm e 3k cm, determine o 
seu volume.
a) 384 cm3 b) 416 cm3 c) 524 cm3
d) 596 cm3 e) 616 cm3
O reservatório de tinta de uma caneta esferográfica tem a 
forma cilíndrica. Seu diâmetro é de 2 e o seu comprimento 
é de 12 . Quantos de tinta podem ser acondicionados 
nesse reservatório?
b) 60 c) 50 d) 48 e)36
Quantos cubinhos de 2 cm podem ser guardados numa 
caixa cúbica de aresta 10 cm?
a) 100 b) 125 c) 150 d) 175 e) 200
Um poliedro convexo tem 3 faces triangulares, 4 faces 
quadrangulares e 5 pentagonais. O número de vértices 
desse poliedro é:
a) 25 b) 12 c) 15 d) 9 e) 13
O tetra-hexaedro é um sólido convexo limitado por 4 faces 
triangulares e 6 hexagonais, todas regulares. O número de 
arestas e vértices desse sólido é:
a) A = 21 V = 13 b) A = 24 V = 16
c) A = 48 V = 40 d) A = 32 V = 24 e) A = 34 V = 24
Assim, temos as fórmulas generalizadas para os sólidos 
prismáticos:
Cilindros
Uma das figuras da 
geometria mais utilizadas 
no dia-a-dia. Muitos dos 
objetos que utilizamos têm 
exatamente o formato 
cilíndrico. Por isso, o estudo 
dos cilindros nos dá uma 
noção importante de espaço 
e de volume, por exemplo, 
de um copo d’água, uma 
panela, uma lata de tinta e 
outras coisas.
Dados dois círculos 
contidos em planos 
paralelos distintos, à união 
destes círculos no espaço 
tridimensional chamamos 
cilindro.
Os círculos são as bases do cilindro e a cada segmento 
que une um ponto do círculo com sua projeção no outro 
círculo chamamos geratriz. A reta que passa pelo centro 
das bases chama- se eixo. E a distância entre os planos das 
bases é a altura.
Se o eixo do cilindro é perpendicular as bases, então 
o cilindro é chamado de cilindro reto ou cilindro de 
revolução (porque a superfície lateral é obtida pela 
rotação de um segmento (a geratriz) em torno de uma 
reta (eixo)). Verifique que a lateral do cilindro reto quando 
planificada forma um retângulo!
Se o eixo não for perpendicular a base, o cilindro é oblíquo.
Sendo r o raio dos círculos da base de um cilindro, temos:
Se o cilindro for reto, temos ainda:
GEOMETRIA ESPACIAL
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39
Qual é o poliedro regular que tem 12 vértices e 30 arestas?
a) Hexaedro b) Octaedro
c) Dodecaedro d) Icosaedro
e) Tetraedro
A figura a seguir mostra a planificação da superfície lateral 
de um cilindro reto. Determine seu volume, em cm3.
a) 3768 b) 376,8 c) 37,68
d) 3,768 e) 0,3768
Achar a área total, em cm2, da superfície de um
EXERCÍCIOS
GABARITO
1. C
2. B
3. E
4. C
5. A = 15 e V = 7
6. A
7. A
8. E
9. B
10. B
11. B
12. C
13. C
14. B
15. D
16. A
17. C
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40
3) Uma piscina retangular de 10,0m x 15,0m e fundo 
horizontal está com água até a altura de 1,5m. Um 
produto químico em pó deve ser misturado à água à razão 
de um pacote para cada 4500 litros. O número de pacotes 
a serem usados é:
a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 e) 75
4) O sólido representado na figura a seguir é formado por 
um cubo de aresta de medida x/2 que se apoia sobre um 
cubo de aresta de medida x.
O volume de sólido representando é dado por:
a) 9x3/8 b) x3/8 c) 3x3 d) 3x3/2 e) 7x3
5) (FN) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são 
3x, y e (x+y) unidades de comprimento. Qual o polinômio 
que representa o volume desse paralelepípedo retângulo?
a) x2y + 3xy b) 3x2y + xy c) 3xy2 + 3xy
d) 3x2y + 3xy2 e) 3x2y2 + 3xy
6) (FN) Qual é a área da base de um paralelepípedo 
retângulo, cuja altura mede 15 dm e seu volume é 3720 
dm3?
a) 72 dm2 b) 124 dm2 c) 248 dm2
d) 496 dm2 e) 1860 dm2
7) Quanto mede a aresta de um cubo que tem 1000 dm3 
de volume?
a) 4 dm b) 6 dm c) 8 dm d) 10 dm
8) Quantos dados podem ser colocados em uma caixa 
cúbica de 20 cm de aresta, se esses dados forem cubos de 
2 cm de aresta?
a) 544 b) 769 c) 900 d) 1000 e) 1200
9) Na maquete de uma casa, feita na escala 1:500, uma 
sala tem 8 mm de largura, 10 mm de comprimento e 8 mm 
de altura. A capacidade, em litros, dessa sala é:
a) 640 b) 6400 c) 800 d) 8000 e) 80000
Conforme vimos no item 2.3, o paralelepípedo reto-
retângulo é um prisma reto com bases retangulares. a,b,c: 
lados do paralelepípedo
BH: uma diagonal do paralelepípedo
c
BE: uma diagonal de face
Temos:
2.3.1.1 Cubo
Um cubo é um paralelepípedo reto-retângulo cujas três 
dimensões são iguais (a = b = c).
d
face = a.√2
dcubo = a. √3
Sugestão: Verifique cada um destes resultados 
apresentados encontrando as diagonais e calculando 
também as áreas de base e áreas laterais.
Volume
1) Num paralelepípedo, as dimensões da base são 4 cm e 7 
cm. Se a altura do paralelepípedo é de 5 cm, determine o 
seu volume, em cm3.
a) 120 b) 130 c) 140 d) 150 e) 160
2) Quantos litros de água são necessários para encher uma 
caixa d’água cujas dimensões são: 1,20 m por 0,90 m por 1 m?
a) 900 l b) 1040 l c) 1060 l d) 1080 l
PARALELEPÍPEDO RETO-RETÂNGULO
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41
16) (FN) Num copo cabem 250cm3 de farinha. Quantos 
desses copos cheios de farinha são necessários para 
encher uma vasilha que tem 2dm3 de volume?
a) 4 b) 7 c) 8 d) 10 e) 15
17) Muitos prédios que estão sendo construídos em 
nossa cidade possuem caixas d’água com a forma de um 
paralelepípedo. Um construtorquer adquirir duas delas 
que tenham internamente a mesma altura, mas diferindo 
na base, que deverá ser quadrada em ambas. A primeira 
deverá ter capacidade para 16.000 litros, e a segunda para 
25.000 litros. A razão entre a medida do lado da base da 
primeira e a da segunda, em decímetros, é
a) 0,08 b) 0,60 c) 0,75 d) 0,80 e) 1,25
18) A piscina usada nas competições de natação 
das Olimpíadas Rio 2016 possui as medidas oficiais 
recomendadas: 50 metros de extensão, 25 metros de 
largura e 3 metros de profundidade. Supondo que essa 
piscina tenha o formato de um paralelepípedo retângulo, 
qual dos valores abaixo mais se aproxima da capacidade 
máxima de água que essa piscina pode conter?
a) 37.500 litros. b) 375.000 litros.
c) 3.750.000 litros. d) 37.500.000 litros.
e) 375.000.000 litros.
19) Um reservatório cúbico de 60 cm de profundidade está 
com 1/3 de água e precisa ser totalmente esvaziado. O 
volume de água a ser retirado desse reservatórioé de: 
a) 7,2 litros b) 72 litros
c) 21,6 litros d) 216 litros
e) 25 litros
20) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam 
passar por um processo de resfriamento. Para que isso 
ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, o 
que aconteceria com o nível de água se colocássemos no 
tanque um objeto cujo volume fosse de 2.400cm3?
a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm 
de altura.
b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de 
altura.
c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de 
altura.
d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar.
e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar.
10) Uma piscina de 8 m de comprimento por 3 m de 
largura e 3 m de profundidade está cheia até os 8 3 de sua 
capacidade. Quantos metros cúbicos de água ainda cabem 
na piscina?
a) 28 m3 b) 36 m3 c) 45 m3 d) 54 m3 e) 72 m3
11) (FN)
Observando a figura acima, quantos cubinhos de 1 cm 
de lado, isto é, um centímetro cúbico, precisaremos para 
construir um cubo de 3 cm de comprimento, 3 cm de 
largura e 3 cm de altura?
a) 9 b) 18 c) 27 d) 36 e) 54
12) Numa sala de 5 m por 3,20 m quer se colocar uma laje 
de concreto de 25 cm de espessura. Qual é o volume de 
concreto usado nessa laje, em m3?
a) 4 b) 40 c) 40
d) 40 000 e) 4 000 000
13) Um reservatório cúbico, de 50 cm de profundidade, 
está com água até a metade e precisa ser totalmente 
esvaziado. O volume de água a ser retirado desse 
reservatório é de:
a) 62,5 litros b) 125 litros
c) 250 litros d) 25 litros
14) Uma editora pretende despachar um lote de livros, 
agrupados em 100 pacotes de 20 cm x 20 cm x 30 cm. A 
transportadora acondicionará esses pacotes em caixas 
com formato de bloco retangular de 40 cm x 40 cm x 60 
cm. A quantidade mínima necessária de caixas para esse 
envio é:
a) 9 b) 11 c) 13 d) 15 e) 17
15) (FN) Uma das maneiras de calcular o volume de um 
objeto é mergulhá-lo num recipiente contendo água. 
O volume da água deslocada corresponde ao volume 
do objeto. Calcule, então, o volume de um peso para 
ginástica, sabendo que a base do recipiente mede 0,8m 
por 0,6m e que o nível da água sobe de 0,6 para 0,7m 
quando o peso é mergulhado.
a)0,336 m3 b)0,288 m3 c)0,240 m3 d)0,226 m3 
e)0,048 m3
EXERCÍCIOS
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42
Pirâmides
Considere uma região poligonal convexa (P) e um ponto 
fora do plano que contém essa região (V) e seja X um ponto 
qualquer de P. Ao conjunto de todos os segmentos VX dá-se 
o nome de pirâmide, sendo P sua base e V seu vértice.
Em outras palavras, pirâmide 
é todo poliedro formado 
por uma face inferior e 
um vértice comum a todas 
as faces laterais. As faces 
laterais de uma pirâmide são 
triangulares e o número de 
faces depende do número 
de lados do polígono da 
base. As pirâmides são 
ainda classificadas de acordo com o polígono da base. 
A distância do vértice ao plano que contém a base é 
chamada de altura da pirâmide.
Uma pirâmide é chamada reta quando possui todas as 
arestas laterais congruentes, ou ainda, quando a reta que 
une o vértice da pirâmide ao centro do polígono da base 
da mesma é perpendicular ao plano que contém a referida 
base. Se além de reta, sua base for um polígono regular 
dizemos então que a pirâmide é regular.
Na pirâmide regular todas as 
faces laterais são triângulos 
isósceles congruentes e as 
alturas relativas às bases das 
faces laterais são congruentes e 
recebem o nome de apótemas. 
Neste caso, temos:
r: apótema da base ap: apótema da pirâmide
r² + h² = (ap)²
Para as pirâmides, temos:
Note que a área total e o volume dependem do polígono 
da base da pirâmide e a área lateral será a soma das áreas 
dos triângulos que formam as faces da pirâmide.
Note ainda que a área total, diferente dos prismas, tem 
apenas uma área da base, o que é óbvio, dado que a 
pirâmide não possui face superior. Além disso, seu volume 
representa 1/3 do volume de um prisma. Verifique esta 
afirmação!
21) Uma fábrica produz barras de chocolates no 
formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo 
volume. As arestas da barra de chocolate no formato 
de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de 
comprimento e 4 cm de espessura.
Analisando as características das figuras geométricas 
descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o 
formato de cubo é igual a:
a) 5 cm. b) 6 cm. c) 12 cm.
d) 24 cm. e) 25 cm.
22) O condomínio de um edifício permite que cada 
proprietário de apartamento construa um armário em 
sua vaga de garagem. O projeto da garagem, na escala 
1: 100, foi disponibilizado aos interessados já com as 
especificações das dimensões do armário, que deveria 
ter o formato de um paralelepípedo retângulo reto, com 
dimensões, no projeto, iguais a 3cm, 1cm e 2cm. O volume 
real do armário, em centímetros cúbicos, será:
a) 6. b) 600. c) 6.000.
d) 60.000. e) 6.000.000.
GABARITO
1) C
2) D
3) B
4) A
5) D
6) C
7) D
8) D
9) E
10) C
11) C
12) A
13) A
14) C
15) E
16) C
17) D
18) C
19) B
20) C
21) B
22) E
EXERCÍCIOS
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43
9) (EsSA/15) Em uma pirâmide reta de base quadrada, de 
4m de altura, uma aresta da base mede 6m. A área total 
dessa pirâmide, em m2, é:
a) 144 b) 84
c) 48 d) 72
e) 96
10) Uma pirâmide de base hexagonal é tal que a altura 
mede 8cm e a aresta da base mede 2√3 cm. O volume 
dessa pirâmide, em centímetros cúbicos, é:
a) 24√3 b) 36√3
c) 48√3 d) 72√3
e) 86√3
11) Uma pirâmide tem altura H. A que distância do vértice 
deve-se passar um plano paralelo à base, para dividi-la em 
duas partes do mesmo volume?
a) H / 3√2 b) 3√H/2
c) 3√H d) H/3
e) 3H
12) (EsSA/09) A pirâmide de Quéops, em Gizé, no Egito, 
tem aproximadamente 90√2 metros de altura, possui 
uma base quadrada e suas faces laterais são triângulos 
equiláteros. Nessas condições, pode-se afirmar que, em 
metros, cada uma de suas arestas mede:
a) 90 b) 120
c) 160 d) 180
e) 200
13) Um vaso tem o formato de um tronco de pirâmide 
quadrangular regular invertido. A base inferior tem lado 
12cm e a superior lado 24cm. A distância entre as duas 
bases mede 27cm. Qual é o volume do vaso, em cm3?
a) 9011 b) 9025
c) 9052 d) 9060
e) 9072
14) As bases de um tronco de pirâmide são dois 
pentágonos regulares cujos lados medem 5 dm e 3 dm, 
respectivamente. Sendo essas bases paralelas e a medida 
do apótema do tronco da pirâmide 10 dm, determine a 
área lateral desse tronco.
a) 200 dm2 b) 400 dm2
c) 250 dm2 d) 450 dm2
e) 500 dm2
1) A base de uma pirâmide de 6cm de altura é um 
quadrado de 8cm de perímetro. O volume dessa pirâmide, 
em cm3, é:
a) 2 b) 4
c) 6 d) 8
e) 10
2) O volume de uma pirâmide de 12m de altura, sendo a 
base um losango cujas diagonais medem 6m e 10m, em 
m3, é:
a) 30 b) 60
c) 90 d) 120
e) 150
3) O volume da pirâmide quadrangular regular cuja aresta 
da base mede 6√2 cm e a aresta lateral mede 10cm, em 
cm3, é:
a) 190 b) 191
c) 192 d) 193
e) 194
4) Se uma pirâmide tem 9 faces, então essa pirâmide é:
a) eneagonal b) octogonalc) heptagonal d) hexagonal
5) Um tetraedro regular tem arestas medindo √6 cm. 
Então a medida de sua altura é igual a:
a) 1/2 cm b) 1 cm
c) 3/2 cm d) 2 cm
e) 4/5 cm
6) A soma das medidas de todas as arestas de um 
tetraedro regular é 72 cm. A área total do tetraedro, em 
cm2, é igual a:
a) 72 b) 144
c) 72√3 d) 122√3
e) 144√3
7) A área total, em cm2, de uma pirâmide regular cuja 
altura é 15 cm e cuja base é um quadrado de 16 cm de 
lado, é:
a) 544 b) 256
c) 289 d) 750
e) 800
8) A parte mais alta da torre de uma igreja é uma pirâmide 
quadrada. A aresta da base tem 6m e a altura da pirâmide 
é de 4m. Qual é a área lateral dessa parte da torre?
a) 60 b) 45
c) 30 d) 15
EXERCÍCIOS
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44
15) Um tronco de pirâmide tem como bases dois 
quadrados de lados 8 cm e 12 cm, respectivamente. A 
altura do tronco é 21 cm. O volume do tronco, em cm3, é:
a)2100 b)2128
c)2132 d)2000 e)1832
16) Uma estátua está colocada sobre um pedestal de 
concreto em forma de pirâmide hexagonal regular. As 
arestas das bases do pedestal medem 10m e 4m, e sua 
altura é 6m. O volume de concreto usado para construir o 
pedestal, em m3, é:
a) 468√3 b) 468
c) 475√3 d) 234√3 e) 234
17) O volume de um tronco de pirâmide de altura 6 cm 
cujas bases são quadrados de perímetros 56 cm e 32 cm é:
a) 288 cm3 b) 744 cm3
c) 568 cm3 d) 234 cm3
e) 372 cm3
18) (EsSA/14) O volume de um tronco de pirâmide de 4dm 
de altura e cujas áreas das bases são iguais a 36 dm2 e 144 
dm2 vale:
a) 330 cm3 b) 720 cm3
c) 330 m3 d) 360 m3
e) 336 dm3
GABARITO
1) D 2) D 3)C 4)B
5) D 6) E 7) E
EXERCÍCIOS
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45
Quanto a parte que sobra, a que não é semelhante ao 
sólido original, chamamos tronco. Para facilitar, quando 
falarmos em tronco de pirâmide e tronco de cone vamos 
admitir que as bases do tronco são paralelas (apesar de 
existirem troncos com bases não paralelas).
1) A geratriz de um cone reto mede 13 cm e o diâmetro da 
sua base é 10 cm. Determine a área total do cone, em cm2.
a) 288,5 b) 300 c) 282,6
d) 183,4 e) 204,1
2) Um filtro com a forma de cone circular reto, tem volume 
de 200 cm3 e raio da base de 5 cm. Usando π=3, pode se 
determinar que sua altura, em cm, é igual a:
a) 10 b) 9 c) 8 d) 6
3) Se um cone equilátero tem 50π cm2 de área lateral, 
então a soma das medidas de sua geratriz e do raio de sua 
base, em cm, é igual a:
a) 10 b) 15 c) 20 d) 25
4) Calcular a área lateral de um cone reto cujo volume é 
12π m3 e cujo o perímetro da base é 6π m.
a) 10π m2 b) 15π m2
c) 18π m2 d) 20π m2
5) A área lateral de um cone de revolução é 600π cm2 e 
sua geratriz tem 25cm. O raio de sua base é:
a) 20 cm b) 25 cm
c) 24 cm d) 27 cm
6) A razão entre a área total e a área lateral de um cone 
equilátero é:
a) 1/2 b) 2/3
c) 1 d) 3/2 e) 2
7) Dobrando o raio da base de um cone e reduzindo sua 
altura à metade, seu volume:
a) dobra.
b) quadruplica.
c) não se altera.
d) reduz-se à metade do volume original.
e) reduz-se a um quarto do volume original.
Considere um círculo (C), de centro O 
e raio r e um ponto V fora do plano 
que contém esse círculo e seja X um 
ponto qualquer de P. Ao conjunto de 
todos os segmentos VX dá-se o nome 
de cone circular, sendo C sua base e V 
seu vértice.
Note que a definição de cone é 
praticamente a mesma definição 
de pirâmide. De fato, são figuras 
muito semelhantes, se pensarmos 
que o cone é uma pirâmide cuja 
base é um polígono de infinitos 
lados.
O segmento que une o vértice V 
ao centro O da base é chamado 
eixo. A distância entre o vértice 
e o plano da base é a altura do cone. Todo segmento que 
une o vértice V a um ponto qualquer da circunferência 
da base é chamado de geratriz (g). Se o eixo não for 
perpendicular a base o cone é oblíquo.
Se o eixo do cone for perpendicular a base, dizemos que 
o cone é reto ou, de revolução. Neste caso, todas as 
geratrizes são congruentes e temos:
g² = h² + r²
Para os cones, temos:
Se o cone é reto, temos ainda:
Semelhança de sólidos
Dizemos que dois sólidos são semelhantes quando seus 
lados são proporcionais e seus ângulos poliédricos são 
congruentes. É a extensão no espaço tridimensional do 
conceito de semelhança na geometria plana. Se k é a razão 
de semelhança, temos que k² é a razão entre as áreas 
correspondentes (das faces, das bases, laterais, totais) e k³ 
é a razão entre os volumes dos dois sólidos.
Sólidos truncados
Uma seção paralela a base da pirâmide ou do cone divide 
o sólido em duas partes, sendo uma delas semelhante ao 
sólido original, e podemos então utilizar dos conceitos do 
item 2.7.
CONES
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46
GABARITO
1) C
2) C
3) B
4) B
5) C
6) D
7) A
8) A
9) D
10) E
11) D
12) A
13) B
14) C
15) A
8) Num tronco de cone, os perímetros das bases são 16 
cm e 8 cm e a geratriz mede 5 cm. Determine o volume do 
tronco.
a) 112 b) 116 c) 118 
d) 120 e) 122 
9) Um recipiente na forma de um cone reto invertido está 
preenchido com água e óleo, em duas camadas que não 
se misturam. A altura, medida na vertical, da camada de 
óleo é metade da altura da parte de água, como ilustrado 
a seguir. Se o volume do recipiente é 54cm3, qual o volume 
da camada de óleo?
a) 32 cm3 b) 34 cm3 c) 36 cm3
d) 38 cm3 e) 40 cm3
10) Um tanque subterrâneo tem a forma de um cone 
invertido. Esse tanque está completamente cheio com 
8dm3 de água e 56dm3 de petróleo. Petróleo e água não se 
misturam, ficando o petróleo na parte superior do tanque 
e a água na parte inferior. Sabendo que o tanque tem 12m 
de profundidade, a altura da camada de petróleo é:
a) 10m b) 9m c) 8m d) 7m e) 6m
11) Determine a área da secção meridiana do cone 
equilátero cuja base tem área 24p cm2.
a) 12√ cm2 b) 48 cm2
c) 36 cm2 d) 24√ cm2 e) 66 cm2
12) Os catetos de um triângulo retângulo medem b e 
c e a sua área mede 2m2. O cone obtido pela rotação 
do triângulo em torno do cateto b tem volume 16p m3. 
Determine o comprimento do cateto c.
a) 12m b) 15m c) 18m d) 20m e) 22m
13) O raio da base, a altura e a geratriz de um cone reto 
constituem, nessa ordem, uma PA de razão 1. Determine a 
área total do cone.
a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 60 
14) Um cone reto tem 13 cm de geratriz e 12 cm de altura. 
Determine o volume deste cone.
a) 250 b) 100 c) 314 d) 248 e) 112
15) A superfície lateral de um cone, ao ser planificada, 
gera um setor circular cujo raio mede 10 cm e cujo 
comprimento do arco mede 10p cm. O raio da base do 
cone, em cm, mede: 
a) 5 b) 10 c) 5π d) 10π
EXERCÍCIOS
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47
1) Se uma esfera tem 12 cm de diâmetro, qual é a área de 
sua superfície e o seu volume?
2) Calcule o volume de uma esfera, sabendo que a área de 
sua superfície é igual a 576π cm2.
3) Um plano intercepta uma esfera a uma distância do 
centro igual à medida do raio da seção que ele determina 
na esfera. Sabendo que o raio da esfera mede 4 cm, 
determine a área da seção.
4) A cuba de uma pia tem a forma de uma semiesfera de 
3dm de raio. A capacidade dessa cuba é π litros.
a) 12 b) 14
c) 16 d) 18
5) Considerando π = 3, utilizando 108cm3 de chumbo 
pode-se construir uma esfera de cm de diâmetro.
a) 7 b) 6
c) 5 d) 4
6) Uma esfera de raio R = 3cm foi cortada ao meio, 
gerando duas semiesferas. A área da superfície de cada 
semiesfera é π cm2.
a) 20 b) 22
c) 25 d) 27
7) Uma esfera inscrita em um cubo de diagonal 2√3m tem 
volume igual a
a) p m3
3
b) 2p m3
3
c) 4p m3
3
d) 32p m3
3
8) Um escultor irá pintar completamente a superfície de 
uma esfera de 6m de diâmetro, utilizando uma tinta que, 
para essa superfície, rende 3m2 por litro. Para essa tarefa, 
o escultor gastará, no mínimo, litros de tinta. (Considere π 
= 3)
a) 18 b) 24
c) 36 d) 48
9) A área de uma superfície esférica é 144π cm2. Em 
quantos centímetros deve-se aumentar a medida do raio 
para que a área da superfície passe a ser 256π cm2?
Você pode observar que as faces laterais dotronco de 
pirâmides são trapézios.
Seja S1 a base maior e S2 
a base menor, conforme 
figura ao lado e h a altura 
do tronco, é possível 
demonstrar por semelhança 
de pirâmides (sugestão:
demonstre!) que:
Tronco de cones
É importante notar que 
a superfície lateral é um 
segmento de coroa circular e 
a diferença entre os raios que 
definem a coroa é denominada 
geratriz do tronco.
Você pode demonstrar como no caso da pirâmide que:
Esfera e Superfície esférica Definições:
Esfera: Considere um ponto C no espaço. Dada uma 
distância R chamamos de esfera todos os pontos do 
espaço que estão a uma distância R ou menor que R de 
C. É uma extensão do conceito de círculo. A esfera é 
na verdade um círculo girado em torno de um de seus 
diâmetros.
Superfície esférica: Considere 
um ponto C no espaço. Dado uma 
distância R chamamos de superfície 
esférica todos os pontos do espaço 
cuja distância a C é exatamente 
R. É uma extensão do conceito de 
circunferência. A superfície esférica, 
similarmente a esfera, é a circunferência girada em torno 
de um dos diâmetros.
TRONCO DE PIRÂMIDES
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48
10) Um plano intercepta uma esfera determinando uma 
seção de área 36π cm2. Sabendo que a área da superfície 
dessa esfera é 400π cm2, determine a distância do centro 
da esfera ao plano.
11) Duas esferas de raio 4 cm e 3 61 cm fundem-se para 
formar uma esfera maior. Considerando que não houve 
perda de material das esferas durante o processo de 
fundição, a medida do raio da nova esfera é de:
a) 5 cm b) 5,5 cm
c) 4,5 cm d) 6 cm
e) 7 cm
12) Uma secção feita numa esfera por um plano alfa é 
um círculo de perímetro 2 π cm. A distância do centro da 
esfera ao plano alfa é 2√2 cm. Calcule a medida r do raio 
da esfera.
GABARITO
1) 144π e 288π 
2) 2304π
3) 8π
4) D
5) B
6) D
7) C
8) C
9) 2 cm
10) 8 cm
11) A
12) 3 cm
EXERCÍCIOS
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49
Equação da reta por dois pontos
Dados dois pontos A = (x1, y1) e B = (x2, y2), uma segunda 
maneira de determinar a equação da reta por A e B é 
resolvendo:
Posições de duas retas no plano
Podemos determinar as posições relativas entre duas retas 
no plano comparando seus coeficientes (angular e linear).
Dadas as seguintes retas:
r: y = m
r .x + b s: y = ms .x + c
Temos:
Distância entre dois pontos
Já sabemos que a 
menor distância 
entre dois pontos 
é uma reta. Vamos 
agora determinar 
esta distância entre 
dois pontos, dadas 
as coordenadas dos 
pontos.
Dados os pontos A = (x1;y1) e B = (x2; y2), a distância entre 
eles d(A;B) é:
Sugestão: Faça a demonstração desta fórmula a partir 
da figura ao lado. Como dica, utilize os conceitos da 
geometria plana, como o Teorema de Pitágoras.
A geometria analítica 
é o estudo da 
geometria através dos 
princípios da álgebra. 
É usado o sistema 
de coordenadas 
cartesianas para 
manipular equações 
para planos, retas, 
curvas e círculos no 
plano, no nosso caso.
Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no 
século XVII, e devem-se ao filósofo e matemático francês 
René Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas 
cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que 
permitiram a representação numérica de propriedades 
geométricas.
O eixo x é chamado eixo das abscissas e o eixo y eixo das 
ordenadas.
Equação geral da reta
Toda reta pode ser representada pela equação 
Ax + By + C = 0, com A e B não nulos.
Equação reduzida da reta
Uma reta não paralela a Oy pode ser escrita como: 
y = mx + b, onde chamamos m de coeficiente angular da 
reta e b de coeficiente linear da reta.
Como indicam os nomes, m 
determina a inclinação a da reta 
(em relação ao eixo x, sentido 
anti-horário como positivo) e 
b determina o ponto no qual 
a reta intercepta o eixo das 
ordenadas.
Temos ainda, pela figura:
Sendo assim, dados dois pontos de uma reta, ou ainda um 
único ponto (x
0; y0) e seu coeficiente angular (m), podemos 
determinar a equação da mesma fazendo:
y - y0 = m.(x – x0)
IMPORTANTE: Se m > 0, a reta é crescente. Se m < 0, a reta 
é decrescente.
GEOMETRIA ANALÍTICA
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50
10) (EEAR) Num triângulo ABC, o ponto médio do lado AB 
é M(4, 3). Se as coordenadas de B são ambas iguais a 2, 
então as coordenadas de A são: 
a) (7, 5) b) (6, 4)
c) (5, 3) d) (3, 4)
11) (ESSA) Dados três pontos colineares A(x, 8), B(-3, y) 
e M(3, 5), determine o valor de x + y, sabendo que M é 
ponto médio de AB:
a) 3 b) 11 c) 9 d) - 2,5 e) 5
12) (EEAR) Considere os segmentos de retas AB e CD, 
onde A(0, 10), B(2, 12), C(-2, 3) e D(4, 3). O segmento MN, 
determinado pelos pontos médios dos segmentos AB e CD 
é dado pelos pontos M e N, pertencentes respectivamente 
a AB e a CD . Assinale a alternativa que corresponde 
corretamente a esses pontos.
a) M(1/2 , 1) e N(-1, 3) b) M(-2, 10) e N(-1, 3)
c) M(1, -2) e N(1, 3) d) M(1, 11) e N(1, 3)
13) Determine os valores de x e y, sabendo que A(2,4), 
B(x,5) e C(5,y) são vértices de um triângulo cujo baricentro 
é o ponto G(2,3).
a) 0 e 2 b) 3 e 1
c) 5 e 4 d) -1 e 5 e) -1 e 0
14) Determine o comprimento da mediana AM do 
triângulo ABC cujos vértices são os pontos A (0,0), B (3,7) e 
C (5,-1).
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
15) (EEAR) O baricentro de um triângulo, cujos vértices são 
os pontos M(1, 1), N(3, -4) e P(-5, 2), tem coordenadas cuja 
soma é:
a) 2 b) 1 c)-2/3 d) -1/3
16) (EEAR) Os pontos M(-2, a), N(a, 5) e P(0, a) estão 
alinhados. Assim, o quadrante a que N pertence é:
a) 1º b) 2º c) 3º d) 4º
17) (EEAR) O valor de a para que os pontos A (-1, 3-a), B (3, 
a+1) e C (0, -1) sejam colineares é um número real
a) primo. b) menor que 1.
c) positivo e par. d) compreendido entre 2 e 5.
GABARITO
1. B 2. D 3. C 4. D 5. B 6. C 7. D
8. D 9. B 10. B 11. B 12. D 13. E 14. E
15. C 16. A 17. A
1) Determine os valores reais de k para os quais o ponto 
P(k2 – 9, 5) pertence ao eixo das ordenadas.
a) ± 1 b) ± 3 c) ± 5 d) ± 7 e) ± 9
2) Os pontos A (3, 5), B (2, m) e C (-4, n) pertencem a uma 
reta paralela ao eixo das abscissas. Determine m e n, 
respectivamente.
a) 4 e -2 b) 5 e 4
c) 0 e 0 d) 5 e 5 e) 2 e -4
3) Calcule a distância do ponto A(-5, 12) à origem do 
sistema cartesiano.
a) 3 b) 9 c) 13 d) 27
4) Seja um ponto Q, de ordenada -3, equidistante dos 
pontos A(0, 1) e B(2, 3). O produto das coordenadas do 
ponto Q é:
a) 3 b) -6 c) 12 d) -18
5) (EEAR) Em um plano cartesiano desenhado no chão, 
uma formiga, andando em linha reta, se deslocou do 
ponto A(2, -1) para o ponto B(-1,3), e depois para o ponto 
C(2, 3). Se cada unidade deste plano representa 1 cm, 
então a distância percorrida pela formiga, em cm, foi:
a) 4 b) 8 c) 10 d) 12
6) O triângulo cujos vértices estão localizados nos pontos 
A(2,2), B(-4,-6) e C(4,-12) pode ser classificado como:
a) escaleno e retângulo
b) equilátero e acutângulo
c) isósceles e retângulo
d) isósceles e acutângulo
e) escaleno e obtusângulo
7) O ponto B tem ordenada nula e dista 5 de A, que possui 
ambas as coordenadas iguais a 4. Ache a abscissa de B.
a) 2 ou 7 b) 3 ou 5 c) 1 ou 5 d) 1 ou 7
8) O centro de uma circunferência é o ponto (-1,3). 
Sabendo que o ponto (2,5) pertence à circunferência, 
determine a medida de seu diâmetro.
a) b) c) d) 
9) (ESSA) Os pontos M(-3,1) e P(1,-1) são equidistantes do 
ponto S(2,b). Desta forma, pode-se afirmar que b é um 
número:
a) primo b) múltiplo de 3
c) divisor de 10 d) irracional e) maior que 7
EXERCÍCIOS
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51
Equação reduzida da circunferência
Dada uma circunferência de centro C = (a;b) e raio r, a 
equação que determina a mesma é dada por:
(x – a)² + (y – b)² = r²
Equação geral da circunferência
Dada a equação Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0, esta 
representa:
Uma circunferência de centro (a;b) e raio r, se, e somente, se:
E ainda: 
O ponto (a;b) se:
Distância de um ponto a reta
A distância de um ponto a uma reta é a medida do 
segmento com extremidades no referido ponto e na reta, 
sendo perpendiculara mesma.
Dados o ponto P = (x1; y1) e a reta r de equação Ax + By + 
C = 0, com A e B não nulos, a distância d(P; r) é:
Ponto médio de um segmento
O ponto médio M = (xm; ym) de um segmento de 
extremidades A = (x1; y1) e B = (x2; y2) é dado por:
Baricentro (G) e área (S) de um triângulo
Dados os vértices de um triângulo A = (x1; y1), B = (x2; y2) 
e C = (x3; y3), temos:
DISTÂNCIA DE UM PONTO A RETA
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52
Parábola com diretriz paralela a um dos eixos 
coordenados
Suponha um eixo d e dois pontos F (foco) e V (vértice). 
A distância entre a reta d (diretriz) e o ponto V deve ser 
a igual à distância entre os pontos V e F. Determinamos 
então uma sequência de pontos os quais deverão estar à 
mesma distância de F e d.
A parábola é formada pela união de 
todos os pontos do plano que estão 
à mesma distância do ponto F e da 
reta d.Todos os pontos do plano 
que possuem essa característica 
pertencem à parábola.
Suponha uma parábola cuja diretriz é paralela ao eixo das 
abscissas.
A função y = ax² + bx + c, sendo a não nulo, determina esta 
parábola. (Note que a parábola é a
função que representa uma equação do segundo grau).
Temos assim, os seguintes pontos e equação importantes:
Além disso, os coeficientes a, b e c e o valor do D da 
equação da parábola ainda determinam as características 
da mesma:
coeficiente o que determina como determina
a concavidade
se a > 0, para cima È
se a < 0, para baixo Ç
D
raízes da função 
(pontos em que 
a parábola corta 
o eixo x)
se D > 0, duas e 
distintas
se D = 0, uma única se 
D < 0, nenhuma
b
posição do vértice 
em relação ao 
eixo vertical
se b/a > 0, está a 
esquerda de Oy.
se b/a < 0, está a 
direita de Oy.
c
ponto em que a 
parábola corta 
o eixo das ordenadas
dá o valor exato do 
ponto de interseção
Posições relativas entre uma reta e uma circunferência
Dada uma reta r por Ax + By + C = 0, com A e B não nulos 
e uma circunferência de raio R e centro O por x² + y² + Dx 
+ Ey + F = 0, sendo D²+E² - 4AF > 0. Resolvemos então o 
seguinte sistema:
Ax + By + C = 0
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
Isolando uma das variáveis na equação da reta e 
substituindo na equação da circunferência obtemos uma 
equação do segundo grau. E, então de acordo com o D da 
equação determinamos a posição da reta.
Determinando a distância d(r,O) da reta ao centro da 
circunferência e comparando a mesma com o raio R 
da circunferência, também conseguimos determinar a 
posição relativa da reta.
Assim temos:
Reta secante à circunferência se, e somente se:
Reta tangente à circunferência se, e somente se:
Reta exterior à circunferência se, e somente se:
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UMA RETA E UMA CIRCUNFERÊNCIA
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Relação Fundamental
Pela circunferência trigonométrica, podemos observar 
a relação fundamental entre seno e co-seno. Dado um 
ponto P qualquer que pertença à circunferência de tal 
modo que o raio da mesma forme um ângulo x com o eixo 
horizontal, pelo Teorema de Pitágoras, concluímos que:
Algumas Relações de Simetria
Faremos as comparações sempre fixando o ângulo a no 
primeiro quadrante.
TRIGONOMETRIA
Circunferência e funções trigonométricas
A circunferência trigonométrica consiste numa 
circunferência orientada de raio unitário centrada na 
origem de um plano cartesiano ortogonal. O sentido 
positivo de marcação dos arcos na circunferência é o 
sentido anti- horário, sendo o ângulo medido em relação 
ao eixo dos co-senos, sobre o qual se marca o ângulo 
inicial, 0º, no sentido positivo.
O seno de um ângulo é obtido pela projeção do raio da 
circunferência em relação ao eixo vertical, tendo este raio 
formado o referido ângulo em relação ao eixo horizontal. 
O co-seno de um ângulo é obtido pela projeção do raio em 
relação ao eixo horizontal.
Como a circunferência tem raio unitário e é centrada na 
origem, seno e co-seno variam entre -1 e 1.
É importante observar também que os sinais de cada 
função dependem do quadrante onde se encontra o ângulo:
Quadrante sen cos tg
1º ( 0<x< p 2 ) + + +
2º ( p 2 < x < p ) + - -
3º ( p < x < 3p 2 ) - - +
4º ( 3p 2 < x < 2p ) - + -
A partir destas duas funções (sen e cos) podemos obter as 
outras, pelas seguintes relações:
TRIGONOMETRIA
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Equações trigonométricas
Equações do tipo cos f(x) = cos g(x)
Equações do tipo sen f(x) = sen g(x)
Equações do tipo tg f(x) = tg g(x)
Equações do tipo cotg f(x) = cotg g (x)
Seno e cosseno da soma e da diferença
Sugestão: A partir destas fórmulas deduza as fórmulas 
para
Estudo da variação das funções trigonométricas
Gráfico de f(x) = k.g(p.(x + h)) + v
Este estudo é válido quando k e p são reais não nulos, h e v 
são reais e g é uma função circular (sen, cos ou tg).
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Equações do tipo cos f(x) = sen g(x)
Inequações trigonométricas
De maneira geral, podemos resolver as inequações 
seguindo os seguintes passos:
i. Determinamos as soluções da equação obtida da 
inequação em estudo;
ii. Marcamos na circunferência trigonométrica as soluções 
encontradas, considerando o intervalo [0, 2p ];
iii. Excluímos da circunferência pontos que correspondam a 
restrições da inequação, se houverem;
iv. Os pontos marcados (soluções ou excluídos) dividem 
a circunferência em arcos. Se um ponto de um arco 
satisfaz a inequação, então todos os outros também 
satisfazem, exceto talvez as extremidades (que devemos 
conferir). Se um ponto não satisfaz, os demais também 
não irão conter soluções da inequação, exceto talvez as 
extremidades.
Dado isso, sugere-se a seguinte estratégia: seleciona-
se, no interior de arco determinado, um ponto que 
represente, de preferência, valores conhecidos. Verifica-
se então se os mesmos satisfazem ou não a inequação. A 
reunião de arcos que satisfazem a inequação forma assim 
o conjunto verdade da mesma.
Funções trigonométricas inversas
As funções inversas (arcsen, arccos, arctg) podem ser lidas 
como “arco cujo (seno, co-seno, tangente) é x”.
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