Binômio De Newton e Aplicações

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1-O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio. Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. Há um sem-número de calculadoras digitais que permitem o cálculo da função fatorial. Nesses casos, é então possível calcular o número combinatório (n/p) utilizando a conhecida expressão:
(n/p) = n!/(n-p)!p
Assim, utilizando alguma calculadora com o recurso da função fatorial, calculando (20/7), temos:
RESPOSTA:
77.520
EXPLICAÇÃO:
Basta calcular a expressão 20!/13!x7! na calculadora.
2-O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio. Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. Qual o coeficiente de x^6 no desenvolvimento de (x^2 + x)^3?
RESPOSTA:
1
EXPLICAÇÃO:
Para resolver essa questão, precisamos desenvolver o binômio (x^2 + x)^3 utilizando o binômio de Newton. O binômio de Newton nos permite expandir a potência de um binômio de maneira sistemática. Ao expandir (x^2 + x)^3, obtemos x^6 + 3x^5 + 3x^4 + x^3. O coeficiente de x^6 é 1, que é a resposta correta para essa questão. Portanto, a alternativa correta é a letra A.
3-O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio. Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. Desenvolvendo (x+1)^14 como um polinômio na variável , qual a soma dos coeficientes numéricos desse polinômio? Dentre os números combinatórios da forma (200/k), onde k varia de 0 a 200, o maior dentre eles corresponde a k igual a:
RESPOSTA:
101
EXPLICAÇÃO:
O binômio de Newton é uma ferramenta poderosa para expandir expressões polinomiais. No caso apresentado, estamos procurando o maior número combinatório da forma (200/k), onde k varia de 0 a 200. Os números combinatórios, também conhecidos como coeficientes binomiais, têm a propriedade de serem simétricos. Isso significa que o maior coeficiente binomial ocorre no meio da sequência. Como temos 201 números combinatórios (de 0 a 200), o maior deles ocorre no meio, que é quando k é igual a 101. Portanto, a alternativa correta é a letra D.
4-O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio. Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. O número binomial 
(n/p) = C n/p = n!/(n-p)!p! pode ser calculado em qualquer uma das planilhas usuais - seja a planilha do Google, do LibreOffice ou do Microsoft Office (Excel) por meio da digitação, em qualquer célula, da função =COMBIN(n;p). Assim, o valor do número binomial (20/7) é igual a:
RESPOSTA:
77.520
EXPLICAÇÃO:
Para encontrar o valor do número binomial (20/7), é necessário utilizar a função 
=COMBIN(20;7) em qualquer célula de uma das planilhas mencionadas no enunciado. Após digitar a função, pressione a tecla enter. O resultado que será exibido é 77.520, que corresponde à alternativa A. Portanto, o valor do número binomial (20/7) é 77.520.
5-O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio. Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. Sendo n um natural ímpar, assinale a relação verdadeira:
RESPOSTA:
Σ n-1/2/k=0 = (n/k) = 2^n-1
EXPLICAÇÃO:
Note que quando n é impar, há um número par de números combinatórios nessa linha, que são iguais 2 a 2. Então, a soma desses números binomiais até o termo central corresponde a k=n-1/2 é igual a soma dos seguintes. Logo que soma é a metade de 2^n que vale = 2^n-1.
6-O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio. Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. A Relação de Stifel justifica qual igualdade?
RESPOSTA:
(100/50)+(100/49)=(101/50)
EXPLICAÇÃO:
A relação de Stifel estabelece que (n-1/p)+(n-1/p-1)=(n/p)
7-O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio. Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. Imagine que dispomos de 4 homens e 7 mulheres para formar uma comissão de 5 pessoas. O número total de comissões é, naturalmente, igual à C 11/5, pois dispomos de 11 pessoas. Mas podemos contar a quantidade de comissões separando a análise pelo número de mulheres das comissões. Comissões com zero mulheres (que nem é possível, pense a respeito...), uma mulher..., até 5 mulheres. Obteríamos a expressão:
RESPOSTA:
Σ k=5/k=1 C 7/k C 4/5-k
EXPLICAÇÃO:
A alternativa correta é a letra A. A expressão matemática correta para calcular o número de comissões possíveis, considerando a quantidade de mulheres, é dada por 
Σ k=5/k=1 C 7/k C 4/5-k. Nessa expressão, o termo C 7/k representa a escolha de k mulheres dentre as 7 disponíveis, enquanto o termo C 4/5-k representa a escolha dos 5-k homens, a partir dos 4 homens disponíveis. A soma é feita para k variando de 1 a 5, que corresponde ao número de mulheres na comissão, desde uma mulher até cinco mulheres.
8-O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio. Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. O somatório Σ k=100/k=0 (100/k)^2 pode ser interpretado da seguinte forma: Como (100/k) = (100/100-k), podemos, a partir dessa igualdade, imaginar que dispomos de 100 homens e 100 mulheres para formar comissões. Então, após uma análise cuidadosa, podemos concluir que o somatório fornecido é igual a (100/k) = (100/k)(100/100-k).
RESPOSTA:
(200/100)
EXPLICAÇÃO:
A interpretação correta do somatório fornecido é que estamos lidando com uma situação em que temos 200 pessoas (100 homens e 100 mulheres) e queremos formar comissões de 100 pessoas. Portanto, a resposta correta é a alternativa A, que representa o número de maneiras de escolher 100 pessoas de um grupo de 200, ou seja, (200/100).
9-O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio. Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. Uma das relações interessantes envolvendo os números combinatórios é a relação que se segue:
Um dos problemas concretos que podemos criar para justificar essa igualdade, é:
1(n/1) + 2(n/2) + ... + n(n/n) = n.2^n-1
"Dispomos de pessoas para definir comissões com pelo menos 1 funcionário, de tal forma que...":
RESPOSTA:
cada comissão deve possuir um líder e é suposto que comissões com as mesmas pessoas, mas com líderes diferentes sejam, também, comissões diferentes.
EXPLICAÇÃO:
Note que em uma comissão com k pessoas das n pessoas disponíveis uma dessas k pessoas pode ser o líder. Então, comissões com k pessoas (onde uma qualquer pode ser líder) é um total de kC n/k. Logo a soma para k variando de 1 a n é o total de comissões. Mas imaginando que escolhemos, primeiro, uma pessoa das n pessoas disponíveis como líder, devemos "junta-lo" a qualquer um dos 2^n-1 subconjuntos dos n-1 funcionários restantes. Logo, essa contagem também é igual a n.2^n-1.
10-O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio. Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. O desenvolvimento de (x^4+x^2+1)^6 possui termos...
RESPOSTA:
Em x^8 e em x^2
EXPLICAÇÃO:
Para entender a resposta correta, é importante lembrar que o binômio de Newton é usado para expandir a potência de um binômio. No caso do enunciado, estamos lidando com (x^4+x^2+1)^6. Quando multiplicamos um
total de 6 termos dentre os termos x^4, x^2 e 1, não é possível obter parcelas do tipo x^impar. Portanto, a alternativa correta é a B, que apresenta os termos em x^8 e em x^2, ambos com potências pares.