Resistencia dos Materiais Hibbeler - 14.7 Método das forças virtuais aplicado a vigas

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14.85. Determine o deslocamento vertical da articulação C. 
Cada elemento de aço A-36 tem área de seção transversal de 
2.800 mm2• 
14.86. Determine o deslocamento vertical da articulação 
H. Cada elemento de aço A-36 tem área de seção transversal 
de 2.800 mm2• 
30 kN 40 kN 30 kN 
Problemas 14.85/86 
*1 M étodo das forças 
virtuais ap l icado a vigas 
Nesta seção, aplicaremos o método das forças virtu­
ais para determinar o deslocamento e a inclinação em 
um ponto sobre uma viga. Para ilustrar os princípios, o 
deslocamento Ll do ponto A sobre a viga mostrada na 
Figura 14.34b será determinado. Esse deslocamento é 
provocado pela 'carga distribuída real' w e, visto que 
essa carga provoca cisalhamento e também momento 
no interior da viga, na verdade teremos de conside­
rar o trabalho virtual interno decorrente de ambas as 
cargas. No Exemplo 14.7, entretanto, mostramos que 
deflexões em vigas provocadas por cisalhamento são 
desprezíveis em comparação com as provocadas por 
flexão, em particular se a viga for comprida e esbelta. 
Como esse tipo de viga é muito usado na prática, con­
sideraremos somente a energia de deformação virtual 
decorrente de flexão (Tabela 14.1 ) . Portanto, aplicando 
a Equação 14.36, a equação do trabalho virtual é 
A 
1 
v 
�· 111 
�x� �dx 
r 
Carga virtuais 
(a) 
MÉTODOS DE ENERGIA 551 
lo· L 
1 · Ll = 
mM dx EI 
Nessa expressão, 
(14.42) 
1 carga virtual externa unitária que age sobre a 
viga na direção de ó. 
Ll deslocamento provocado pelas cargas reais que 
agem sobre a viga 
m momento virtual interno na viga, expresso em 
função de x e provocado pela carga virtual ex­
terna unitária 
M = momento interno na viga, expresso em função 
de x e provocado pelas cargas reais 
E módulo de elasticidade do material 
I momento de inércia da área da seção transver­
sal, calculado em torno do eixo neutro 
De modo semelhante, se tivermos que determinar 
a inclinação e da tangente em um ponto sobre a linha 
elástica da viga, um momento virtual unitário deve ser 
aplicado ao ponto, e o momento virtual interno corres­
pondente m0 tem de ser determinado. Se aplicarmos a 
Equação 14.37 para esse caso e desprezarmos o efeito 
de deformações por cisalhamento, temos 
1L m0M 1 · e = -- dx EI (14.43) 
Observe que a formulação das equações acima 
decorre naturalmente do desenvolvimento na Seção 
14.5. Por exemplo, a carga virtual externa unitária cria 
um momento virtual interno m na viga na posição x 
(Figura 14.34a). Quando a carga real w é aplicada, ela 
provoca uma deformação dx ou uma rotação por um 
ângulo de no elemento em x (Figura 14.34b ) . Contan­
to que o material responda elasticamente, então de é 
igual a (MIEI)dx. Por consequência, o trabalho virtual 
v 
rF=!:,d=:b=:b:f!il t M 
x� � dx 
R 
Cargas reais 
(b) 
1\' 
Figma 14.34 
552 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Cargas reais 
(a) 
w 
Carga virtual 
(b) 
Figura 14.35 
externo 1 ·6. é igual ao trabalho virtual interno para a 
viga inteira, .lm(M!EI)dx (Equação 14.42) . 
Diferentemente das vigas, como discutidas aqui, al­
guns elementos também podem estar sujeitos à signi­
ficativa energia de deformação virtual provocada por 
carga axial, cisalhamento e momento de torção. Quan­
do for esse o caso, devemos incluir nas equações an­
teriores os termos de energia para essas cargas, como 
formulado na Equação 14.38. 
Quando da aplicação das equações 14.42 e 14.43, 
é importante entender que as integrais no lado di­
reito representam a quantidade de energia de defor­
mação virtual por flexão que é armazenada na viga. 
Se forças concentradas ou momentos agirem sobre 
a viga ou a carga distribuída for descontínua, não 
poderemos efetuar uma integração única em todo o 
comprimento da viga. Em vez disso, teremos de esco­
lher coordenadas x separadas dentro de regiões que 
não apresentam descontinuidade de carga. Também 
não é necessário que cada x tenha a mesma origem; 
todavia, a coordenada x selecionada para determi­
nar o momento real M em uma determinada região 
deve ser a mesma coordenada x selecionada para de­
terminar o momento virtual m ou 1110 dentro da mes­
ma região. Por exemplo, considere a viga mostrada 
na Figura 14.35a. Para determinar o deslocamento 
em D, podemos usar x1 para determinar a energia 
de deformação na região AB, x2 para a região BC, 
x3 para a região DE e x4 para a região D C. Em qual­
quer caso, cada coordenada x deve ser selecionada 
de modo que ambos, M e m (ou m0) possam ser fa­
cilmente formulados. 
O seguinte procedimento fornece um método que pode ser usado para determinar o deslocamento e a inclinação 
em um ponto sobre a linha elástica de uma viga usando o método do trabalho virtual. 
Momentos virtuais m ou m0 
.. Coloque uma carga virtual unitária sobre a viga no ponto e oriente-a ao longo da linha de ação do deslocamento 
desejado. 
" Se a inclinação tiver ele ser determinada, coloque um momento unitário virtual no ponto. 
" Determine coordenadas x adequadas válidas dentro de regiões ela viga onde não houver nenhuma descontinuidade 
na carga real, nem na virtual. 
" Com a carga virtual no lugar e todas as cargas reais removidas ela viga, calcule o momento interno 111 ou 1110 em fun­
ção de cada coordenada x. 
" Considere que m ou m0 age na direção positiva ele acordo com a convenção ele sinal estabelecida para vigas (Figura 
6.3). 
Momentos reais 
<> Usando as mesmas coordenadas x estabelecidas para m ou m11, determine os momentos internos M provocados pelas 
cargas reais. 
'" Visto que consideramos que 111 ou 1110 positivo age na 'clireção positiva' convencional, é importante que M positivo 
aja nessa mesma direção. Isso é necessário uma vez que o trabalho virtual positivo ou negativo depende elo sentido 
ela clireção ela carga virtual definida por ±m ou ±m0, bem como do deslocamento, provocado por ±M. 
Equação do trabalho virtual 
'" Aplique a equação elo trabalho virtual para determinar o deslocamento � ou a inclinação () desejada. É importante 
conservar o sinal algébrico ele cada integral calculada dentro ele sua região especificada. 
" Se a soma algébrica de todas as integrais para a viga inteira for positiva, Ll ou () está na mesma clireção ela carga vir­
tual unitária ou elo momento virtual unitário, respectivamente. Se resultar um valor negativo, Ll ou () estão na direção 
oposta à ela carga virtual unitária ou momento. 
Determine o deslocamento do ponto B sobre a viga 
mostrada na Figura 14.36a. EI é constante. 
SOLUÇÃO 
Momento virtual m. O deslocamento vertical do ponto 
B é obtido colocando-se uma carga virtual unitária em B 
(Figura 14.36b ) . Por inspeção, não há nenhuma desconti­
nuidade de carga sobre a viga para a carga real, nem para 
a virtual. Assim, podemos usar uma única coordenada x 
para determinar a energia de deformação virtual. Essa co­
ordenada será selecionada com origem em B, visto que as 
reações em A não precisam ser determinadas para encon­
trar os momentos internos 111 e M. Pelo método das seções, 
o momento interno m é calculado como mostra a Figura 
14.36b. 
Momento real M. Usando a mesma coordenada x, o mo­
mento interno M é calculado como mostra a Figura 14.36c. 
Equação do trabalho virtual. Assim, o deslocamento ver­
tical em B é 
! mM 1L ( -1x)( -wx2/2) dx 
1· Ll = --dx = B EI o EI 
Resposta 
IV 
AF===' ========� 
l�x----j -------- L -------4 
j m = -l x j 
Cargas virtuais 
(b) 
(a) 
MÉTODOS DE ENERGIA 553 
Determine a inclinação no ponto B da viga mostrada na 
Figura 14.37a. EI é constante. 
SOLUÇÃO 
Momentos virtuais m8• A inclinação em B é determinada 
colocando-se um momento virtual unitário em B (Figura 
14.37b). Duas coordenadas x devem ser selecionadas para 
determinar a energia de deformação virtual total na viga. A 
coordenada X1 representa a energia de deformação dentro 
do segmento AB e a x2 representa a energia de deformação 
no segmento BC. Os momentos internos m0 dentro de cada 
um desses segmentos são calculados pelo método das seções 
como mostrado na Figura 14.37b.Momentos reais M. Usando as mesmas coordenadas x1 e 
x2 (por quê?), os momentos internos M são calculados como 
mostra a Figura 14.37c. 
Equação do trabalho virtual. Assim, a inclinação em B é 
l· Bs = 
Bs = Resposta 
O sinal negativo indica que (}n está na direção oposta à do 
momento virtual mostrado na Figura 14.37b. 
IV 
B 
v 
A 
Cargas reais 
(c) 
Figum 14.36 
554 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
\ mez = 1 \ 
c 
f..---- � ��--� 
1 
\ mel = O \ 
V? 1 
(a) 
f . 
l�xz�--- � ---1 
Cargas virtuais 
(b) 
p 
A 
Cargas reais 
(c) 
p 
f--x!---1 
Figura 14.37 
Determine o deslocamento do ponto A da viga de aço 
mostrada na Figura 14.38a. I = 175,8(10-6)m4, Eaço = 200 
GP a. 
SOLUÇÃO 
Momentos virtuais m. A viga está sujeita à carga virtual 
unitária em A e as reações são calculadas (Figura 14.38b ) . 
Por inspeção, duas coordenadas x1 e x2 devem ser escolhidas 
c 
(a) 
1 kN 
t 
Cargas virtuais 
(b) 
para abranger todas as regiões da viga. Para a finalidade de 
integração, é mais simples usar origens em A e C. Usando-se 
o método das seções, os momentos internos m são mostrados 
na Figura 14.38b. 
Momentos reais M. As reações na viga real são determi­
nadas em primeiro lugar (Figura 14.38a) . Então, usando as 
mesmas coordenadas x que usamos para m, os momentos 
internos M são determinados. 
Equação do trabalho virtual. Aplicando a equação do tra­
balho virtual à viga, temos 
45 kN/m 
� Af 4 C 
r -'t--1 t 213,75 kN r Xz=t 123,75 kN 
Cargas reais 
(c) 
Figura 14.38 
I mM d J3 (-1x1 )(-2,5x13 ) dx1 1 kN · ê. = -- x = :4 EI o EI 
+ J3 ( -0,5xz )(123,75x2 - 22,5x/ ) dx2 
o EI 
1 kN . L'. = 0,5(3)3 A EI 
20,625( 6? + 2,8125( 6)3 
-688,5 kN m3 
EI 
EI EI 
Substituindo E e I pelos dados numéricos, obtemos 
-688,5 kN·m3 
[200(106 ) kN/m2]175,8(10-6) m4 m 
= - 0,0196 m = - 19,6 mm Resposta 
O sinal negativo indica que o ponto A é deslocado para cima. 
14.87. Determine o deslocamento do ponto C e a inclina­
ção no ponto B. EI é constante. 
Problema 14.87 
'14.88. Determine o deslocamento no ponto C. EI é constante. 
14.89. Determine a inclinação no ponto C. EI é constante. 
14.90. Determine a inclinação no ponto A. EI é constante. 
Problemas 14.88/89/90 
14.91. Determine o deslocamento do ponto C da 
viga feita de aço A-36 com momento de inércia 
I = 21(106)mm4• 
'14.92. Determine a inclinação em B da viga feita de aço 
A-36 com momento de inércia I = 21(10fi) mm4• 
MÉTODOS DE ENERGIA 555 
40 kN 
t A B 
Problemas 14.91/92 
14.93. Determine o deslocamento do ponto C da viga de 
perfil W360 x 39 feita de aço A-36. 
14.94. Determine a inclinação em A da viga de perfil W360 
x 39 feita de A-36. 
� � � � 
t A B t 
I 2b:: · �� � · tn � 1,5 m -t-- 1,5 m+ 1,5 m -j- 1,5 m� 
Problemas 14.93/94 
14.95. Determine o deslocamento em B do eixo de aço 
A-36 de 30 mm de diâmetro. 
' 14.96. Determine a inclinação do eixo de aço A-36 de 30 
mm de diâmetro no mancai de apoio A. 
700 N 
700 N 
t 
1.600 N 1.600 N 
Problemas 14.95/96 
14.97. Determine o deslocamento na polia B. O eixo ele aço 
A-36 tem diâmetro de 30 mm. 
556 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Pmblema 14.97 
14.98. A viga simplesmente apoiada com seção transversal 
quadrada é submetida a uma carga uniforme w. Determine a 
deflexão máxima da viga causada somente por flexão e cau­
sada por flexão e cisalhamento. Considere E = 3G. 
)V fl l l l l l l l l l l l fi 
1-------- L ----------1 
Problema 14.98 
14.99. Determine o deslocamento no ponto C E! é constante. 
*14.100. Determine a inclinação em B. E! é constante. 
A B C M o �------��0�------�+ 
1-------- a ---1--- a � 
Pmblemas 14.99/100 
14.101. A viga de aço A-36 tem momento de inércia 
I = 125(106) mm4• Determine o deslocamento em D. 
14.102. A viga de aço A-36 tem momento de inércia 
I = 125(106) mm4. Determine a inclinação em A. 
14.103. A viga estrutural de aço A-36 tem momento de inér­
cia I = 125(106)mm4• Determine a inclinação da viga em B. 
18 kN·m 18 kN·m 
A ;: ; � I 
4 m� 3 m+ 3 m--)L- 4 m� 
Pmblemas 14.1011102/103 
'14.104. Determine a inclinação em A. E! é constante. 
IV 
Pmblema 14.104 
14.105. Determine o deslocamento em C E! é constante. 
14.106. Determine a inclinação em B. E! é constante. 
w 
Problemas 14.105/106 
14.107. A viga é feita de carvalho, para o qual E c = 1 1 GP a. 
Determine a inclinação e o deslocamento em A. 
Problema 14.107 
'14.108. Determine o deslocamento em B. E! é constante. 
A 
----1---- L -----1 2 
Pt·oblema 14.108 
14.109. Determine a inclinação e o deslocamento no ponto 
C E! é constante. 
lV \V 
Problema 14.109 
14.110. A barra ABC tem seção transversal retangular de 
300 mm por 100 mm. A haste acoplada DE tem diâmetro 
de 20 mm. Se ambos os elementos forem feitos de aço A-36, 
determine o deslocamento vertical do ponto C provocado 
pela carga . Considere somente o efeito da flexão em ABC e 
da força axial em D B. 
Problema 14.110 
14.111. A barra ABC tem seção transversal retangular de 
300 mm por 100 mm. A haste acoplada DB tem diâmetro de 
20 mm. Se ambos os elementos forem feitos de aço A-36, de­
termine a inclinação em A provocada pela carga. Considere 
somente o efeito da flexão em ABC e da força axial em DB. 
Problema 14.111 
"'14.112. Determine o deslocamento vertical do ponto A na 
cantoneira, resultante da força concentrada P. A cantoneira 
está engastada em seu apoio. EI é constante. Considere so­
mente o efeito da flexão. 
L 
Problema 14.112 
14.113. A estrutura em L é composta por dois segmentos, 
cada um com comprimento L e rigidez à flexão EI. Se for 
submetida à carga distribuída uniforme, determine o deslo­
camento horizontal da extremidade C. 
MÉTODOS DE ENERGIA 557 
14.114. A estrutura em L é composta por dois segmentos, 
cada um com comprimento L e rigidez à flexão EI. Se for 
submetida à carga distribuída uniforme, determine o deslo­
camento vertical do ponto B. 
c 
IV 
A 
Problema 14.113/114 
14.115. Determine o deslocamento horizontal do ponto C. 
EI é constante. Há um apoio fixo em A. Considere somente 
o efeito da flexão. 3 kN 
B 
l 
l,S m 
+4kN 
A T 
Problema 14.115 
'"14.116. O anel repousa sobre a superfície rígida e está su­
jeito à carga vertical P. Determine o deslocamento vertical 
em B. EI é constante. 
p 
B 
A 
Problema 14.116