Resistencia dos Materiais Hibbeler - 13.7 Projeto de colunas para cargas excêntricas

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5 1 Q RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
*1 3 . 7 
cargas 
unas 
Às vezes, uma coluna terá de suportar uma carga 
que age em sua borda ou em uma cantoneira acoplada 
à sua lateral, como mostra a Figura 13 .31a. O momento 
fletor M = Pe causado pela carga excêntrica deve ser 
levado em conta no projeto da coluna. Há várias ma­
neiras aceitáveis de fazer isso na prática da engenha­
ria. Discutiremos dois dos métodos mais comuns. 
Util ização de fórmulas d isponíveis para 
colunas. A distribuição de tensão que age sobre a 
área da seção transversal da coluna mostrada na Fi­
gura 13.31a é determinada pela força axial P e pelo 
momento fletor M = Pe. Em particular, a tensão de 
compressão máxima é 
P Me 
O'máx = A + J (13.30) 
Um perfil de tensão comum é mostrado na Figura 
13 .31b. Se formos conservadores e considerarmos que 
toda a seção transversal está sujeita à tensão unifor­
me O' , como determinada pela Equação 13 .30, então 
pode:�s comparar O'máx com O'adm' que é determinada 
pelas fórmulas dadas na Seção 13.6. No cálculo de O' ct 
normalmente é usado o maior índice de esbeltez par� � 
coluna, independentemente do eixo em torno do qual 
ela sofre flexão. Esse requisito é normalmente especi­
ficado em códigos e manuais de projeto e, na maioria 
das vezes, resultará em um projeto conservador. Se 
(J máx :::; (J adm 
a coluna pode suportar a carga especificada. Se essa desi­
gualdade não valer, então a área da coluna, A, deverá ser 
aumentada e novas O' máx e O'actm' calculadas. Esse método de 
projeto é bastante simples de aplicar e funciona bem para 
colunas curtas ou de comptimento intermediário. 
Fórmula da interação. Quando projetamos 
uma coluna submetida à carga excêntrica, é desejável 
verificar como as cargas de flexão e axiais interagem, 
p p 
= Pe 
fTmax 
(a) (b) 
Figma 13.31 
de modo a conseguir equilíbrio entre esses dois efei­
tos. Para tal, consideraremos as contribuições isoladas 
dadas à área total da coluna pela força axial e pelo mo­
mento. Se a tensão admissível para a carga axial for 
(O' ) ct , então a área exigida para a coluna necessária 
pa;; ��portar a carga P é 
De maneira semelhante, se a tensão de flexão ad­
missível for (0'1)adm' visto que I = Ar2, a área exigida 
para a coluna necessária para suportar o momento ex­
cêntrico é determinada pela fórmula da flexão, isto é, 
Me Af = ----=­(O'f)actm r2 
A área total A para a coluna necessária para resis­
tir à carga axial e também ao momento exige que 
ou 
P Me 
A + Af = + < A a 
(O' a ) adm ( O'f) adm �"2 
-
P/A McjAr2 
+ :::; 1 
(O' a) adm (O' f) adm 
__ 0'---"--a- + O'f :::; 1 
(O' a)adm (O' f ) adm 
Nessas expressões 
(13.31) 
O' = tensão axial causada pela força P e deter­
a 
minada por O' = PI A, onde A é a área da 
a 
seção transversal da coluna 
O'f = tensão de flexão provocada por uma carga 
excêntrica ou por um momento aplicado 
M; 0'1 é determinada por O'f = Mel!, onde 
I é o momento de inércia da área da seção 
transversal calculado em torno do eixo de 
flexão ou do eixo neutro 
(O' ) ct = tensão axial admissível como definida por " a m 
fórmulas dadas na Seção 13.6 ou por outras 
especificações encontradas em códigos ou 
manuais de projeto. Para essa finalidade, 
use sempre o maior índice de esbeltez para 
a coluna, independentemente do eixo em 
torno do qual ela sofre flexão 
( 0'1) ct = tensão de flexão admissível como defini­a m 
da por especificações encontradas em có­
digos ou manuais de projeto. 
Em particular, se a coluna for submetida somente a 
uma carga axial, a razão referente à tensão de flexão 
na Equação 13.31 será igual a zero, e o projeto será ba­
seado somente na tensão axial admissível. Da mesma 
forma, quando não há nenhuma carga axial presente, a 
razão referente à tensão axial equivale a zero e o requi­
sito de tensão se baseará na tensão de flexão admissível. 
Por consequência, cada razão de tensão indica a contri­
buição da carga axial ou do momento fletor. Conside­
rando-se que a Equação 13.31 mostra como essas cargas 
interagem, às vezes ela é denominada fórmula da in­
teração. Essa abordagem de projeto exige um procedi­
mento de tentativa e erro no qual o projetista escolhe 
uma coluna disponível e, a seguir, verifica se a desigual­
dade é satisfeita. Em caso negativo, ele escolhe uma se­
ção maior e repete o processo. Uma escolha económica 
seria aquela na qual o lado esquerdo está próximo de 1 , 
porém é menor que ele. 
O método da interação é frequentemente especi­
ficado em códigos e manuais de projeto de elementos 
estruturais feitos de aço, alumínio ou madeira. Em 
particular, o American Institute of Steel Construction 
especifica o uso dessa equação somente quando a ra­
zão à tensão axial for O' !(O' ) ct :::; 0,15. Para outros 
a a a m 
valores dessa razão usa-se uma forma modificada da 
Equação 13 .31 . 
Os exemplos dados a seguir ilustram os métodos 
citados para projeto e análise de colunas submetidas a 
cargas excêntricas. 
A coluna na Figura 13.32 é feita de liga de alumínio 2014-
-T6 e é usada para suportar uma carga excêntrica P. Deter­
mine o valor de P que pode ser suportado, se a coluna estiver 
engastada na base e livre no topo. Use a Equação 13.30. 
Figura 13.32 
FLAMBAGEM DE COLUNAS 5 1 1 
Por inspeção, a Equação 13.26 deve ser usada. Assim, 
378.125 MPa 
(KL/1/ 
378.125 MPa 
= 4 92 MPa 
c2n.N 
' 
A tensão de compressão máxima verdadeira na coluna é de­
terminada pela combinação de carga axial e de flexão. Temos 
P (Pe)c 
O'máx = - + --
A I 
_
__ P __ + _P_(,_2_0_mm----'-)-'--( 4_0_m_m�)� 40 mm(80 mm) (1/12)( 40 mm)(80 mm)3 
= 0,00078125? 
Considerando que essa tensão é uniforme em toda a seção 
transversal, em vez de apenas no contorno externo, exige-se 
a adm = u máx; 
4,92 = 0,00078125? 
P = 6.297,6 N = 6,30 kN Resposta 
A coluna W150 x 30 de aço A-36 na Figura 13.33 está 
acoplada por pinos nas extremidades e está sujeita à carga 
excêntrica P. Determine o valor máximo admissível de P 
pelo método da interação, se a tensão de flexão admissível 
for (cr1)adm = 160 MPa. E = 200 GPa, CTe = 250 MPa. 
p 
p 
SOLUÇÃO Figma 13.33 
Pela Figura 13.12b, K = 2. O maior índice de esbeltez para a 
coluna é, portanto, SOLUÇÃO 
KL 
r 
2(1 .600 mm) 
= 277,1 J[(l/12)(80 mm)(40 mm?J/[(40 mm)80 mm] Aqui, K = 1 . As propriedades geométricas necessárias para a 
W150 x 30 são consultadas na tabela no Apêndice B. 
5 1 2 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
A = 3.790 mm2 I, = 17,1 x 106 mm4 �� = 38,2 mm d = 157 mm 
Consideraremos rY porque isso resultará no maior valor para 
o índice de esbeltez. Além disso, precisamos de I,, visto que 
ocorre flexão em torno do eixo x (c = 157 mm/2 = 78,5 mm). 
Para determinar a tensão de compressão admissível, temos 
Visto que 
KL l( 4 m)(l.OOO mm/m) = 104 7l 
r 38,2 mm ' 
21T2 (200)(103 ) MPa 
250 MPa 
= 125,66 
então, KL!r < (KL!Jt e, portanto, a Equação 13.23 deve ser 
usada. 
_ [1 - (KL/r)2 /2(KL/r); ]ae 
aadm - [(5/3) + [(3/8)(KL/r)/(KL/r),] - [(KL/r)3 /8(KL/r)�] 
[1 - (104,71)2 /2(125,66)2 ] 250 MPa 
((5/3) + [(3/8)(104,71)/(125,66)] - [(104,71)3 /8(125,66)3 ] 
= 85,59 MPa 
Aplicando a equação da interação (Equação 13.31), obtemos 
Pj3.790mm2 --'-----;;- + 
85,59 N/mm2 
(J (Jf -----"-a- + ::; 1 ( rra )adm ( rrf )adm 
P(750 mm)(157 mm/2)/17,1(106 ) mm4 
160 N/mm2 
= 1 
P = 40,65 kN Resposta 
Verificando a aplicaç.ão do método da interação para a 
seção de aço, exige-se 
% + 40,65(103) N/(3.790 mm2) = O 125 < O 15 OK ( rra )adm 85,59 N/mm2 ' 
' 
A coluna de madeira na Figura 13.34 é composta por 
duas tábuas pregadas de modo que a seção transversal tem 
as dimensões mostradas na figura. Se a coluna estiver en­
gastada na base e livre no topo, use a Equação 13.30 para 
determinar a carga excêntrica lP' que pode ser suportada. 
p 
Figma 13.34 
SOLUÇÃO 
Pela Figura 13.12b ,K = 2.Aqui. temos de calcular KL!d para 
determinar qual das equações de 13.27 a 13.29 deve ser usa­
da. Visto que rradm é determinada usando o maior índice de 
esbeltez, escolhemos d = 60 mm. Fazemosisso para obter o 
maior índice possível e, desse modo, obter a menor tensão 
axial admissível possível. Fazemos isso ainda que a flexão 
provocada por P seja em torno do eixo x. Temos 
KL 
d 
2 (1.200 mm) = 40 60 mm 
A tensão axial admissível é determinada pela Equação 13.29, 
visto que 26 < KL!d < 50. Logo, 
3.71 8 MPa 3.718MPa = 2 324 MPa rradm = 
(KL/ df 
= 
( 40)2 ' 
Aplicando a Equação 13.30 com cradm = crmáx' temos 
P Me CTadm = A + J 
2,324 N/mm2 P + P(80 mm)(60 mm) 
60mm(120 mm) (1/12)(600 mm)(120 mm)3 
P = 3 ,35 kN Resposta 
13.105. A coluna W360 x 79 de aço estrutural A-36 supor­
ta uma carga axial de 400 kN além de uma carga excêntrica 
P. Determine o valor máximo admissível de P com base nas 
equações AISC da Seção 13.6 e na Equação 13.30. Conside­
re que a coluna está engastada na base e que seu topo está 
livre para oscilar no plano x-z enquanto presa por pinos no 
plano y-z. 
z 
I 
400 kN P 
y x 250 mm 
3,6 m 
I 
Problema 13.105 
13.106. A coluna W310 x 67 de aço estruturalA-36 suporta 
uma carga axial de 400 kN além de uma carga excêntrica 
P = 300 kN. Determine se a coluna falhará com base nas 
equações AISC da Seção 13.6 e Equação 13.30. Considere que 
a coluna está engastada na base e que seu topo está livre para 
oscilar no plano x-z enquanto preso por pinos no plano y-z. 
y x 250 mm 
3,6 m 
Problema 13.106 
' 13.107. A coluna W200 x 22 de aço estrutural A-36 está 
engastada no topo e na base. Se suportar os momentos 
M = 7,5 kN·m nas extremidades, determine a força axial P 
que pode ser aplicada. Ocorre flexão em torno do eixo x-x. 
Use as equações AISC da Seção 13.6 e a Equação 13.30. 
FLAMBAGEM DE COLUNAS 5 1 3 
p 
X 
4,8 m 
tij 
p 
Problema 13.107 
13.108. A coluna W200 x 22 de aço estrutural A-36 está 
engastada no topo e na base. Se suportar os momentos M 
= 35 kN·m nas extremidades, determine a força axial P que 
pode ser aplicada. Ocorre flexão em torno do eixo x-x. Use a 
fórmula da interação com (o)adm = 168 MPa. 
p 
Problema 13.108 
13.109. A coluna W310 x 33 de aço estrutural A-36 está en­
gastada na base e é livre no topo. Determine a maior carga 
excêntrica P que pode ser aplicada usando a Equação 13.30 
e as equações AISC da Seção 13.6. 
13.110. A coluna W250 x 22 de aço estrutural A-36 está en­
gastada na base e é livre no topo. Determine a maior carga 
excêntrica P que pode ser aplicada usando a Equação 13.30 
e as equações AISC da Seção 13.6. 
'13.111. A coluna W250 x 22 de aço estrutural A-36 está 
engastada na base e é livre no topo. Se for submetida a uma 
carga P = 10 kN, determine se ela é segura com base nas 
equações AISC da Seção 13.6 e na Equação 13.30. 
5 1 4 RESISTÊNC:A DOS MATERIAIS 
13.112. A coluna W310 x 33 de aço estruturalA-36 está en­
gastada na base e é livre no topo. Se for submetida a uma 
carga P = 20 kN, determine se ela é segura com base nas 
equações AISC da Seção 13.6 e na Equação 13.30. 
l,S m 
Problemas 13.109/110/1111112 
13.113. Uma coluna de 6 m de comprimento é feita de liga 
de alumínio 2014-T6. Se estiver presa por pinos no topo e na 
base e uma carga de compressão P for aplicada no ponto A, 
determine o valor permissível máximo de P pelas equações 
da Seção 13.6 e pela Equação 13.30. 
p 
��������lO mm 
_...L_-f--,f x 200 mm 
�lO mm 
Problema 13.113 
13.114. Uma coluna de 6 m de comprimento é feita de liga de 
alunúnio 2014-T6. Se estiver presa por pinos no topo e na base e 
uma carga de compressão P for aplicada no ponto A, determine 
o valor máximo admissível de P pelas equações da Seção 13.6 e 
pela fórmula da interação com ( uf)actm = 140 MPa. 
p 
Pmblema 13.114 
'13.115. Verifique se a coluna de madeira é adequada Par·1 suportar a carga excêntrica P = 3 kN aplicada no topo. E !: está engastada na base e é livre no topo. Use as equaçõe� NFPA da Seção 13.6 e a Equação 13.30. 
13.116. Determine a carga excêntrica máxima admissível 
P que pode ser aplicada à coluna de madeira engastada na 
base e livre no topo. Use as equações NFPA da Seção 13.6 c 
a Equação 13.30. 
Problemas 13.115/116 
13.117. A coluna W360 x 64 de aço estrutural A-36 está en­
gastada na base e é livre no topo. Determine a maior carga 
excêntrica P que pode ser aplicada usando a Equação 13 .30 
e as equações AISC da Seção 13.6. 
13.118. A coluna W250 x 67 de aço estrutural A-36 está en­
gastada na base e é livre no topo. Se for submetida a uma 
carga P = lO kN, determine se ela é segura com base nas 
equações AISC da Seção 13.6 e na Equação 13.30. 
m 
Problemas 13.117/118 
13.119. A barra de 3 m de comprimento é feita de liga de 
alumínio 2014-T6. Se estiver engastada na base e presa por 
pinos no topo, determine a carga excêntrica máxima admis­
sível P que pode ser aplicada pelas fórmulas na Seção 13.6 e 
pela Equação 13.30. 
13.120. A coluna de 3 m de comprimento é feita de liga de 
alumínio 2014-T6. Se estiver engastada na base e presa por 
pinos no topo, determine a carga excêntrica máxima admis-
sível P que pode ser aplicada pelas equações da Seção 13.6 e 
pela fórmula da interação com (a)adm = 126 MPa. 
p 
Pmblemas 13.119/120 
13.121. O poste de utilidades de 250 mm de diâmetro suporta 
o transformador que pesa 3 kN e tem centro de gravidade 
em G. Se o poste estiver engastado no solo e livre no topo, 
determine se ele é adequado de acordo com as equações 
NFPA da Seção 13.6 e a Equação 13.30. 
5,4 m 
Problema 13.121 
FLAMBAGEM DE COLUNAS 5 1 5 
13.122. Usando as equações NFPA da Seção 13.6 e a Equa­
ção 13.30, determine a carga excêntrica máxima admissível P 
que pode ser aplicada à coluna de madeira. Considere que a 
coluna está presa por pinos no topo e na base. 
''13.123. Usando as equações NFPA da Seção 13.6 e a Equa­
ção 13.30, determine a carga excêntrica máxima admissível 
P que pode ser aplicada à coluna de madeira. Considere que 
ela está presa por pinos no topo e engastada na base. 
p 
Problemas 13.122/123 
-------.--------------------------------------------------
Flambagem é a instabilidade repentina 
que ocorre em colunas ou elementos 
estruturais que suportam uma carga 
axial. A carga axial máxima que um 
elemento estrutural pode suportar ime­
diatamente antes de ocorrer a flamba­
gem é denominada carga crítica P,r· 
5 1 6 RESISTENCI'\ DOS MATERIAIS 
A carga crítica para uma coluna ideal 
é determinada pela Equação ele Euler, 
onde K = 1 para apoios de pinos, K = 
0,5 para apoios fixos, K = 0,7 para um 
apoio ele pinos e um apoio engastado e 
K = 2 para um apoio engastado e uma 
extremidade livre. 1r2EI 
P = --cr (KL)2 
f--------------------------------1---------------�--------- ------------------------------------- - --
Se uma carga excêntrica for aplicada 
à coluna, a fórmula da secante deve­
rá ser usada para determinar a tensão 
máxima na coluna. 
r------------------------------- 1------------·----···+---·------- ---·------· 
Quando a carga axial tende a provocar 
o escoamento da coluna, deve-se usar 
o módulo tangente com a equação 
de Euler para determinar a carga de 
flambagem. Isso é denominado equa­
ção de Engesser. 
--------··---------- -------·-r-----····-------------------<--- -·------------------ 1 
Fórmulas empíricas baseadas em da-
dos experimentais foram desenvolvi­
das para utilização no projeto ele colu­
nas de aço, alumínio e madeira. 
13.124. A coluna ele madeira tem 4 m ele comprimento e 
eleve suportar a carga axial ele 25 kN. Se a seção transversal 
for quadrada, determine a dimensão a ele cada um ele seus la­
elos usando um fator ele segurança FS = 2,5 contra flambagem. 
Considere que a coluna está presa por pinos no topo e na base. 
Use a equação de Euler. Em = 11 GPa e u, = 10 MPa. 
1 
4 
Problema 13.124 
13.125. A coluna ele madeira tem 4 m ele comprimento e 
eleve suportar a carga axial ele 25 kN. Se a seção transversal 
for quadrada, determine a dimensão a ele cada um ele seus 
lados usando um fator ele segurança FS 1,5 contra fiam­
bagem. Considere que a coluna está engastacla no topo e na 
base. Use a equação eleEuler, Em = 11 GPa e u, = 10 MPa. 
m 
Problema 13.125 
13.126. O elemento estrutural feito de liga de alumínio 
2014-T6 tem seção transversal simétrica. Se estiver acoplado 
por pinos nas extremidades, determine a maior força que ele 
pode suportar. 
50 
p 12 mm 
p 
Pl'oblema 13.126 
m 
'"13.127. A coluna de aço tem comprimento de 5 m e é li­
vre em uma extremidade e engastada na outra. Se a área da 
seção transversal tiver as dimensões mostradas na figura, de­
termine a carga crítica. Eaço = 200 GPa e ue = 360 MPa. 
lO mm 
I lO mm 60 mm 
__j_ 
I-- 80 mm -----1 
Pl'oblema 13.127 
13.128. A carga distribuída é suportada por duas colunas aco­
pladas por pinos, cada uma com seção transversal circular maciça. 
Se AB for feita de alumínio e CD de aço, determine o diâmetro 
exigido para cada coluna, de modo que ambas estejam na imi­
nência de sofrer flambagem ao mesmo tempo. E,10 = 200 GPa, 
E.1 = 70 GPa, (ue)aço = 250 MPa e (ue)a1 = 100 MPa. 
18 kN/m 
Problema 13.128 
FLAMBAGEM DE COLUNAS 5 1 7 
13.129. O tubo de aço está engastado em ambas as extremi­
dades. Se tiver 4 m de comprimento e diâmetro externo de 50 
mm, determine a espessura exigida para que possa suportar 
uma carga axial P = 100 kN sem sofrer flambagem. Eaço = 
200 GPa e u = 250 MPa. e 
p 
! 
t p 
Problema 13.129 
13.130. Considere que a coluna está acoplada por pinos no 
topo e na base e totalmente escorada contra flambagem em 
torno do eixo y-y. Se for submetida a uma carga axial de 200 
kN, determine o momento máximo M que pode ser aplicado 
às suas extremidades sem provocar escoamento. Eaço = 200 
GPa e ue = 250 MPa. 
200 kN 
I M 
120 mm 15 mm --!Hf-15 mm 8 m �x T y- Tmm-y 
15 mm 
X 
Problema 13.130 
''13.131. Considere que a coluna está engastada no topo 
e na base e escorada contra flambagem em torno do eixo 
y-y. Se for submetida a uma carga axial de 200 kN, deter­
mine o momento máximo M que pode ser aplicado às suas 
extremidades sem provocar escoamento. Eaço = 200 GPa e 
ue = 250 MPa. 
5 1 8 RESISTÊNCI.L\ DOS MATERIAIS 
200 kN 
I M 
120 mm 15 mm -J/--;:--j f-- 15 mm 8 m fW' T y - lfü mm - y 
15 mm 
I M 200 kN 
X 
Problema 13.131 
13.132. A coluna W250 x 67 de aço suporta uma carga axial 
de 300 kN, além de uma carga excêntrica P. Determine o valor 
máximo admissível de P com base nas equações AISC da Seção 
13.6 e na Equação 13.30. Considere que, no plano x-z, K, = 1,0, 
e no plano )'-Z K = 2,0. E = 200 GPa, a = 350 MPa. ' y aço e 
y 
3 
Problema 13.132 
13.133. Uma barra de aço AB tem seção transversal re­
tangular. Se considerarmos que ela está acoplada por pinos 
nas extremidades, determine se o elemento estrutural AB 
sofrerá ftambagem, caso a carga distribuída seja IV = 2 kN/m. 
Use um fator de segurança FS = 1,5 contra ftambagem. 
E = 200 GPa e a = 360 MPa. aço e 
y 1 30 mm 
x -w� x 
�20mm y 
Problema 13.133 
c