Geometria espacial

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Geometria espacial
Prismas
Prismas
Tome dois planos α e β paralelos entre si
Em um dos planos, tome a região poligonal R
Tome uma reta l secante aos planos que não passe por R
Para cada ponto pertencente a R, tome uma reta que seja paralela a l
A união de todos os segmentos é chamada de prisma
Prismas
As faces das regiões poligonais nos planos são chamadas de bases
As faces restantes são chamadas de faces laterais
Se a reta l for perpendicular ao plano α, o prisma é reto
Se suas bases forem polígonos regulares, o prisma é regular
Prismas - seções
A interseção de um prisma com um plano paralelo às bases determina uma seção transversal
A interseção de um prisma com um plano perpendicular às arestas laterais determina uma seção reta
A interseção de um prisma com um plano paralelo às arestas laterais determina uma seção longitudinal
Prisma reto
Prisma reto: arestas laterais perpendiculares à base
Suas faces laterais são retângulos
Sua altura h tem a mesma medida da aresta lateral
Prisma oblíquo
Prisma oblíquo: arestas laterais não são perpendiculares à base
Sua altura h relaciona-se com o comprimento l da aresta lateral e o ângulo α de inclinação do prisma
Paralelepípedo
Prisma cujas bases são paralelogramos
Sua superfície total é a reunião de seis paralelogramos
Paralelepípedo reto: prisma reto cuja base é um paralelogramo
Paralelepípedo reto-retângulo ou ortoedro: prisma reto cuja base é um retângulo
Cubo: paralelepípedo retângulo cujas arestas são congruentes
Paralelepípedo retângulo
Total de 12 arestas: 4 de comprimento a, 4 de comprimento b, 4 de comprimento c
Diagonal d: d² = e² + c²
Diagonal e: e² = a² + b²
Logo, d = √a² + b² + c²
Paralelepípedo retângulo
Área da face: A1 = a . b; A2 = a . c; A3 = b . c
At = 2 (ab + ac + bc)
V = a . b . c
Princípio de Cavalieri
Dados alguns sólidos e um plano, se todo plano paralelo ao plano dado que intercepta um dos sólidos interceptar também os outros e se as seções assim obtidas tiverem áreas iguais, então os sólidos têm volumes iguais
Quando as seções têm sempre a mesma área (seções equivalentes), os sólidos têm sempre o mesmo volume (sólidos equivalentes)
Volume do prisma é dado pelo produto da área da base pela sua altura
Prisma regular triangular
Área da base:
Prisma regular triangular
Área total:
Prisma regular triangular
Volume:
Prisma regular hexagonal
Área da base:
Prisma regular hexagonal
Área total:
Volume:
Prisma regular hexaedro
Área da base:
Área total:
Volume:
Questão 1. A aresta da base de um prisma regular hexagonal mede 4m; a altura desse prisma tem a mesma medida do apótema da sua base. Calcule a área total e o volume do prisma.
Questão 2. Calcule o volume de um prisma regular quadrangular cuja altura é o dobro da aresta da base e cuja área lateral mede 200cm².
Questão 3. Calcule o volume de ar contido em um galpão cuja forma e dimensões são dadas pela figura abaixo.
Questão 4. Qual o volume de concreto utilizado na construção de uma laje de 80 centímetros de espessura em uma sala com medidas iguais a 4 metros de largura e 6 metros de comprimento?
Questão 5. Um prisma de base quadrangular possui volume igual a 192 cm³. Determine sua altura sabendo que ela corresponde ao triplo da medida da aresta da base.
Questão 6. Uma caixa de papelão será fabricada por uma indústria com as seguintes medidas: 40 cm de comprimento, 20 cm de largura e 15 cm de altura. Essa caixa irá armazenar doces na forma de um prisma com as dimensões medindo 8 cm de comprimento, 4 cm de largura e 3 cm de altura. Qual o número de doces necessários para o preenchimento total da caixa fabricada? 
Questão 7. (UFOP–MG) A área total de um cubo cuja diagonal mede 5√3 cm é: 
a) 140 cm²
b) 150 cm²
c) 120√2 cm²
d) 100√3 cm²
e) 450 cm²
Questão 8. (FEI–SP) As medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo são proporcionais a 2, 3 e 4. Se sua diagonal mede 2√29 cm, seu volume, em centímetros cúbicos, é:
a) 24
b) 24√29
c) 116
d) 164
e) 192
Questão 9. (FGV–SP) Em uma piscina retangular com 10 m de comprimento e 5 m de largura, para elevar o nível de água em 10 cm são necessários: 
a) 500l de água
b) 5.000l de água
c) 10.000l de água
d) 1.000l de água
e) 50.000l de água
Pirâmides
Considere um polígono convexo no plano α e um ponto V fora de α
Ligando-se o ponto V às arestas do polígono, obtém-se uma pirâmide
Pirâmides – seção transversal
É a interseção de uma pirâmide por um plano paralelo à base
Razão de semelhança:
Pirâmides
Superfície lateral = reunião das faces laterais da pirâmide
Superfície total = reunião da superfície lateral com a área da base da pirâmide
Pirâmides reta e regular
Pirâmide reta: quando o vértice V é equidistante dos vértices da base
Pirâmide regular: aquela cuja base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base
Em uma pirâmide regular, as arestas laterais são congruentes e as faces laterais são triângulos isósceles
Apótema de uma pirâmide regular = altura de uma face lateral, também chamado de geratriz
Apótema da base = apótema do polígono
Pirâmides
Tetraedro
Pirâmide triangular
Possui 6 arestas congruentes entre si
Pirâmides - volume
Decomposição de um prisma em 3 pirâmides triangulares
Pirâmides - volume
As três pirâmides possuem o mesmo volume
Pirâmides - volume
O volume da pirâmide será um terço do volume do prisma
Pirâmide regular triangular
Área da base
Área total
Pirâmide regular triangular
Volume
Tetraedro regular 
Área da base
Área total
Tetraedro regular 
Volume
Tronco de pirâmide
Dada uma pirâmide regular de vértice V, considere uma seção paralela à base e a uma distância h da base
Obtém-se outra pirâmide regular de vértice V
O sólido obtido pela eliminação da pirâmide de altura h é chamado de tronco de cone
Questão 1. Uma pirâmide possui base formada por um triângulo retângulo que tem catetos medindo 6 centímetros e 8 centímetros e altura igual a 10 centímetros. Então, o volume dessa pirâmide, em cm³, é igual a:
A) 160 cm³
B) 240 cm³
C) 50 cm³
D) 70 cm³
E) 80 cm
Questão 2. Uma das Sete Maravilhas do Mundo Moderno é o Templo de Kukulkán, localizado na cidade de Chichén Itzá, no México. Geometricamente, esse templo pode ser representado por um tronco reto de pirâmide de base quadrada. As quantidades de cada tipo de figura plana que formam esse tronco de pirâmide são:
a) 2 quadrados e 4 retângulos.
b) 1 retângulo e 4 triângulos isósceles.
c) 2 quadrados e 4 trapézios isósceles.
d) 1 quadrado, 3 retângulos e 2 trapézios retângulos.
e) 2 retângulos, 2 quadrados e 2 trapézios retângulos.
Questão 3. Uma pirâmide reta possui base quadrada, com 6 metros de lado e altura igual a 4 metros. Sabendo disso, podemos afirmar que o comprimento da sua geratriz é igual a:
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 10
Questão 4. A geratriz de uma pirâmide reta é de 25 cm. Sabendo a distância da projeção da altura na base até o lado da pirâmide, que é de 7 cm, então, a altura da pirâmide é de:
A) 21 cm
B) 22 cm
C) 23 cm
D) 24 cm
E) 20 cm
Questão 5. Analisando as pirâmides a seguir, julgue as afirmativas:
1. As pirâmides I e II são, respectivamente, pirâmide de base hexagonal e pirâmide de base pentagonal.
2. A pirâmide I possui 12 arestas, já a pirâmide II possui 10 arestas.
3. A pirâmide I possui 6 vértices, já a pirâmide II possui 5 vértices.
Marque a alternativa correta:
A) 1. V; 2. V; 3. V
B) 1. V; 2. F; 3. V
C) 1. F; 2. F; 3. V
D) 1. V; 2. V; 3. F
E) 1. F; 2. F; 3. F
Questão 6. O octaedro é um sólido geométrico formado pela união de duas pirâmides, como na imagem a seguir. Sabendo que a distância do vértice da pirâmide superior até o vértice da pirâmide inferior é de 24 cm, e que os lados do quadrado que é o encontro das duas pirâmides têm 8 cm, qual é o volume desse sólido geométrico?
A) 768 cm³
B) 584 cm³
C) 242 cm³
D) 512 cm³
E) 310 cm³
Questão 7. Uma embalagem, no formato de uma pirâmide com base quadrada, está sendo produzidapor uma fábrica. Sabendo que a geratriz dessa embalagem tem 30 cm, e que o lado da base mede 12 cm, a área total dessa pirâmide é de:
A) 864 cm²
B) 1440 cm²
C) 1684 cm²
D) 964 cm²
E) 832 cm²
Questão 8. Julgue as afirmativas a seguir sobre pirâmides:
I – O cone é uma pirâmide de base circular.
II – Toda pirâmide é um poliedro.
III – Dados um prisma e uma pirâmide com mesma altura e mesma área da base, o volume do prisma é o triplo do volume da pirâmide.
São verdadeiras:
A) Somente a afirmativa I
B) Somente a afirmativa II
C) Somente a afirmativa III
D) Somente as afirmativas I e II
E) Somente as afirmativas II e III
Questão 9. Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura. Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?
A) 156 cm³
B) 189 cm³
C) 192 cm³
D) 216 cm³
E) 540 cm³
Questão 10. Uma fábrica decidiu fazer mudanças em sua embalagem de perfume. A embalagem antes era formada por um prisma de base hexagonal, e tinha a capacidade de 360 ml. Uma nova embalagem será feita com a mesma base, mesma altura, mas no formato de uma pirâmide. O volume dessa nova base será de:
A) 200 ml
B) 175 ml
C) 120 ml
D) 180 ml
E) 50 ml
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