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MATEMÁTICA FINANCEIRA REALIZAÇÃO ESCOLA DE NEGÓCIOS E SEGUROS SUPERVISÃO E COORDENAÇÃO METODOLÓGICA DIRETORIA DE ENSINO SUPERIOR ASSESSORIA TÉCNICA ILDEBRANDO NERES JUNIOR – 2022/2021 PRISCILA AGUIAR DA SILVA – 2022/2021/2020 PROJETO GRÁFICO E DIAGRAMAÇÃO ESCOLA DE NEGÓCIOS E SEGUROS – GERÊNCIA DE CONTEÚDO E PLANEJAMENTO PICTORAMA DESIGN Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Negócios e Seguros – ENS E73m Escola de Negócios e Seguros. Diretoria de Ensino Técnico. Matemática financeira / Coordenação metodológica da Diretoria de Ensino Técnico; assessoria técnica de Priscila Aguiar da Silva e Ildebrando Neres Júnior. -- 12.ed. -- Rio de Janeiro: ENS, 2022. 3,95 Mb ; PDF 1. Matemática financeira. I. Silva, Priscila Aguiar da. II. Neres Júnior, Ildebrando. III.Título. 0021-2589 CDU 511(072) É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, ou de partes dele, sob quaisquer formas ou meios, sem permissão expressa da Escola. 12ª EDIÇÃO RIO DE JANEIRO 2022 MATEMÁTICA FINANCEIRA A ENS, promove, desde 1971, diversas iniciativas no âmbito educacional, que contribuem para um mercado de seguros, previdência complementar, capitalização e resseguro cada vez mais qualificado. Principal provedora de serviços voltados à educação continuada, para profissionais que atuam nessa área, a Escola de Negócios e Seguros oferece a você a oportunidade de compartilhar conhecimento e experiências com uma equipe formada por especialistas que possuem sólida trajetória acadêmica. A qualidade do nosso ensino, aliada à sua dedicação, é o caminho para o sucesso nesse mercado, no qual as mudanças são constantes e a competitividade é cada vez maior. Seja bem-vindo à Escola de Negócios e Seguros. MATEMÁTICA FINANCEIRA 1. CONCEITOS BÁSICOS 7 A MATEMÁTICA FINANCEIRA 8 VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO 9 FLUXO DE CAIXA – CONCEITO E FUNCIONAMENTO 10 JURO(S) E TAXA DE JUROS – DIFERENÇAS E FORMA DE CÁLCULO 11 ESQUEMA 12 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA 13 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 13 CONCEITOS FINANCEIROS DIVERSOS 15 ERROS MAIS COMUNS 18 PONTOS DE ATENÇÃO 18 MÉTODO DE RESOLUÇÃO 19 A CALCULADORA HP-12C® – OPERAÇÕES 20 FIXANDO CONCEITOS 1 21 2. JUROS SIMPLES 23 JUROS SIMPLES 24 TAXAS PROPORCIONAIS 26 JUROS SIMPLES COMERCIAIS E JUROS SIMPLES EXATOS 29 VALOR FUTURO (A JUROS SIMPLES) 30 FIXANDO CONCEITOS 2 37 SUMÁRIO INTERATIVO MATEMÁTICA FINANCEIRA 3. JUROS COMPOSTOS 41 JUROS COMPOSTOS 42 CONVENÇÕES OU NOTAÇÕES UTILIZADAS EM JUROS COMPOSTOS 43 TAXAS EQUIVALENTES 48 FIXANDO CONCEITOS 3 63 4. DESCONTO E OPERAÇÕES DE CURTO E LONGO PRAZOS 65 O QUE É DESCONTO 66 DESCONTO A JUROS SIMPLES 67 Desconto comercial simples (ou “por fora”) 68 DESCONTO A JUROS COMPOSTOS 70 Desconto racional a juros compostos (ou “por dentro”) 70 FIXANDO CONCEITOS 4 72 5. SÉRIES DE PAGAMENTOS 73 SÉRIES DE PAGAMENTOS 74 CLASSIFICAÇÃO DAS SÉRIES 74 VALOR ATUAL DE UMA ANUIDADE OU SÉRIE DE PAGAMENTO 75 ANUIDADE TEMPORÁRIA POR “N” ANOS 76 ANUIDADE PERPÉTUA 82 VALOR DO MONTANTE OU VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE 85 MONTANTE DAS ANUIDADES POR PRAZO CERTO DE “N” ANOS 85 FIXANDO CONCEITOS 5 88 MATEMÁTICA FINANCEIRA ANEXOS 90 ANEXO 1 – Revisão de Matemática 90 REGRAS DE SINAIS NAS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 90 EXPRESSÕES NUMÉRICAS E AS REGRAS DE PONTUAÇÃO 91 O USO DE FRAÇÕES E A DIVISÃO 93 Frações Próprias e Impróprias 93 Frações Próprias 94 Frações Impróprias 95 FATORAR, EXPONENCIAR E RADICIAR 96 Fatorar 96 Exponenciação ou Potenciação 98 Radiciar 100 PORCENTAGENS 101 O Significado das Porcentagens 101 O Denominador 100 102 Maneiras de se Expressar as Porcentagens 103 Somar, Subtrair, Dividir e Multiplicar Porcentagens 103 EQUAÇÕES DO 1º GRAU 104 ANEXO 2 – Utilizando a calculadora HP-12C ® 105 ANEXO 3 – Matemática Financeira no Excel 115 GABARITO 125 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 138 MATEMÁTICA FINANCEIRA 7 UNIDADE 101 ■ Conhecer os conceitos de financeiros de Matemática Financeira mais utilizados, correlacionando-os com a prática no ramo de seguros. ■ Conhecer a calculadora financeira HP-12C® como um recurso na realização de cálculos financeiros, reconhecendo suas principais funções. Após ler esta unidade, você deverá ser capaz de: ⊲ A MATEMÁTICA FINANCEIRA ⊲ VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO ⊲ FLUXO DE CAIXA – CONCEITO E FUNCIONAMENTO ⊲ JURO(S) E TAXA DE JUROS – DIFERENÇAS E FORMA DE CÁLCULO ⊲ CONCEITOS FINANCEIROS DIVERSOS ⊲ ERROS MAIS COMUNS ⊲ A CALCULADORA HP-12C® – OPERAÇÕES ⊲ FIXANDO CONCEITOS 1 TÓPICOS DESTA UNIDADE ■ Conhecer os erros mais comuns em matemática financeira, evitando a ocorrência dos mesmos, na resolução prática de cálculos financeiros. CONCEITOS BÁSICOS MATEMÁTICA FINANCEIRA 8 UNIDADE 1 A MATEMÁTICA FINANCEIRA Qual é o primeiro pensamento quando você lê a palavra “matemática”? Alguns podem sentir receio devido a experiências anteriores não favoráveis. Se esse for o seu caso, o desafio é entender que essa ciência está presen- te em vários momentos de nossas vidas. Os conhecimentos básicos de matemática são os alicerces da Matemática Financeira, que fornece ferramentas para melhorar várias decisões finan- ceiras, como contrair um empréstimo habitacional, financiar um veículo ou mesmo um eletrodoméstico. A Matemática Financeira é o segmento da Matemática que cuida da saú- de patrimonial das instituições ou pessoas físicas, ou seja, sua utilidade preenche diversos âmbitos de nossas vidas, sendo um dos melhores ins- trumentos para ampliar ganhos e evitar gastos desnecessários. Ela permite estudar e avaliar as alterações ocorridas nos fluxos de caixa ao longo do tempo, isto é, entradas e saídas de dinheiro. Ela trata, essencialmente, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo, fornecendo técnicas para se compararem as quantias movimentadas em datas distintas, efetuando análises e comparações a partir de relações formais. Dominar os fundamentos básicos da Matemática Financeira, bem como conhecer e utilizar adequadamente suas ferramentas, capacita os usuários a tomarem decisões quanto a investimentos e empréstimos, otimizando seus recursos e avaliando as melhores alternativas disponíveis. Portanto, o estudo da Matemática Financeira nos ajuda a tomar decisões nos mais variados momentos de nossas vidas, como: MATEMÁTICA FINANCEIRA 9 UNIDADE 1 ■ Decidir qual é a melhor linha de crédito e como ela pesará no orçamento. ■ Compreender a lucratividade de investimentos. ■ Calcular quanto se deve poupar mensalmente para um plano futuro. ■ Determinar a viabilidade econômica de um investimento e seu retorno. ■ Proporcionar suporte na decisão de compra ou aluguel de bens móveis ou imóveis. No âmbito de seguros, a Matemática Financeira se faz presente o tempo todo, seja em cálculos de seguros, consórcios ou como suporte para deci- sões de investimentos por meio de adesão à Previdência Privada ou ao Seguro de Vida. Para o corretor, é muito importante entender o mecanismo de um cálculo de juros a fim de prestar a correta orientação ao segurado em relação ao parcelamento de seu seguro e em relação a diferenças entre valores à vista e parcelados, como também entender os cálculos de séries de paga- mentos para explicar ao segurado os ganhos futuros de uma previdência privada, seguro de vida ou consórcio. Para que essa ciência se torne mais amigável, é de vital importância que se conheçam os métodos para resolução dos diversos tipos de cálculo, para que esse conhecimento possa ser utilizado no momento de buscar as soluções matemáticas adequadas para atender a necessidade do cliente. VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Um dos fundamentos da atividade financeira é a variação do valor do dinheiro ao longo do tempo. Por exemplo: é melhor ter hoje R$ 100,00 do que dispor desse valorem uma data futura qualquer. Independentemente da existência de inflação, alguém que disponha de R$ 100,00 hoje, pode aplicá-los a uma certa taxa de juros, por menor que seja e, em uma data futura, ter os mesmos R$ 100,00, mais algum valor complementar. Como consequência disso, o dinheiro tem valor diferenciado ao longo do tempo, o que significa que somente podem ser comparados valores quando em uma mesma data. Essa data é conhecida como data focal. Saiba mais Caso sinta necessidade de rever conceitos fundamentais da Matemática, confira o Anexo 1, que aborda temas como sinais, frações e fatoração. MATEMÁTICA FINANCEIRA 10 UNIDADE 1 FLUXO DE CAIXA – CONCEITO E FUNCIONAMENTO Denomina-se fluxo de caixa o conjunto de recebimentos e pagamentos, ocorridos ou a ocorrer, durante certo intervalo de tempo. Para a represen- tação gráfica, os recebimentos (denominados entradas) são informados com uma seta voltada para cima, os pagamentos (denominados desem- bolsos) são representados com uma seta voltada para baixo e eles são distribuídos ao longo de uma linha horizontal (que representa o tempo). Fluxo de caixa é a representação gráfica de um conjunto de entradas e saídas de dinheiro, resultantes de uma operação financeira. Essa repre- sentação gráfica é um recurso amplamente empregado nas operações de Matemática Financeira, pois permite uma visão mais abrangente e mais precisa do horizonte financeiro do empréstimo/investimento. O diagrama de fluxo de caixa é representado por uma linha horizontal que mostra o horizonte financeiro da operação, isto é, o período de tempo. O momento inicial será indicado pelo ponto 0 e os demais pontos serão numerados conforme o período da operação (datas). As setas representam as movimentações financeiras. As setas para cima (1, 3, 4 e 5) indicam as entradas ou recebimentos, e as setas para baixo (0 e 2) indicam as saídas ou aplicações. FIGURA 1: REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA (DFC) 1 0 2 3 4 5 MATEMÁTICA FINANCEIRA 11 UNIDADE 1 Exemplo FIGURA 2: EXEMPLO DE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DIAGRAMA DFC O corretor João realizou um investimento de R$ 1.500,00 na instalação de um sistema para a digitalização dos processos e atividades do seu escritório. Esse investimento gerou ganhos nos meses 1, 3, 4 e 5 e gasto no mês 2. O gráfico acima representa as entradas e saídas desta operação. Abaixo, o cálculo para obter o saldo final da operação: T 0 = –1.500 T 1 = 1.000 T 2 = – 800 T 3 = 1.000 T 4 = 500 T 5 = 1.000 Total de gastos (T 0 , T 2 ) = – 1500 – 800 = – 2.300 Total de ganhos (T 1 , T 3 , T 4 , T 5 ) = 1.000 + 1.000 + 500 + 1.000 = + 3.500 Total líquido ganho no projeto = 3.500 – 2.300 = 1.200 1 0 1.500 1.000 1.000 500 1.000 800 2 3 4 5 JURO(S) E TAXA DE JUROS – DIFERENÇAS E FORMA DE CÁLCULO São os valores pagos ou recebidos pelo aluguel do capital, ou seja, quem possui dinheiro empresta para quem precisa, mediante uma espécie de “aluguel” daquele dinheiro. O dono do capital tem por objetivo, além do lucro da operação, que os juros trabalhem na compensação dos fatores de risco (por exemplo, inadimplência), custo de oportunidade (aquilo que ele abriu mão de ganhar para “emprestar” o dinheiro) e depreciação do capital (inflação). MATEMÁTICA FINANCEIRA 12 UNIDADE 1 O cálculo de juros faz parte de toda a atividade econômica. Quando se diz que um seguro custa R$ 600,00 à vista e é dividido em três parcelas de R$ 220,00, isso significa que a diferença entre o valor de R$ 660,00 do pagamento a prazo e os R$ 600,00 do pagamento à vista refere-se ao valor dos juros que o cliente está pagando (R$ 60,00). Mas por que se pagam juros? Porque alguém que tinha disponibilidade de dinheiro (capital) adiantou esse dinheiro para que o seguro estivesse à disposição do cliente. Por esse empréstimo, essa pessoa cobra um deter- minado valor, denominado juros. Se alguém recebe um determinado valor a título de juros, isso implica que outra pessoa pague o mesmo valor por esses juros. A taxa de juros é a razão entre os juros pagos no fim do período e o valor originalmente aplicado. É a remuneração do capital utilizado por um deter- minado período de tempo, que pode ser expresso em mês, semestre, ano etc. Matematicamente, é representada por i. Usa-se i para identificar a taxa de juros, que pode ser expressa em fração decimal ou na forma percentual (i = 5% ⊲ i = 5 ÷ 100 ⊲ i = 0,05). De forma resumida, podemos afirmar que é a velocidade de crescimento do capital durante o prazo da operação Exemplo O investidor aplica R$ 1.000,00, no 1º dia do mês, no Banco K. No primeiro dia do mês subsequente, o Banco K devolve ao investidor R$ 1.050,00. Juros = R$ 1.050,00 – R$ 1.000,00 = R$ 50,00 Taxa de Juros no Período = (50,00 ÷ 1.000,00) = 0,05 ou 5% — Esquema Note que, nesta operação, o valor dos juros é de R$50,00, enquanto a taxa de juros é de 5% no período. R$ 1.050,00 - Resgate (entrada de caixa) R$ 1.000,00 - Aplicação (saída de caixa) MATEMÁTICA FINANCEIRA 13 UNIDADE 1 — Formulação Matemática ■ Transforma-se uma taxa decimal em percentual multiplicando-se o valor da taxa por 100. ■ Transforma-se uma taxa percentual em decimal dividindo-se o valor da taxa por 100. TABELA 1: EXEMPLOS DE FORMAS IDÊNTICAS DE EXPRESSÃO DAS TAXAS DE JUROS TAXAS PERCENTUAL FORMA DECIMAL FRAÇÃO 2% ao mês 2% a.m. 0,02 a.m. 2/100 a.m. 15% ao ano 15% a.a. 0,15 a.a. 15/100 a.a. Embora os modos de expressão apresentados na tabela 1 sejam seme- lhantes, a forma mais comum de expressar uma taxa de juros é a forma percentual com o período abreviado. Exemplo: 2% a.m., 15% a.a. etc. — Regimes de Capitalização Regime de capitalização é como se percebe o crescimento do capital, que pode ser pelo regime de capitalização simples (linear) ou composta (exponencial) e mostram como os juros são formados e incorporados ao capital durante o período de tempo da operação. No regime de capitalização simples, os juros são calculados utilizando-se como base o capital inicial (VP ou P) e, no regime de capitalização com- posta, as taxas de juros são aplicadas sobre o capital acumulado dos juros. FIGURA 3: JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS Juros Simples Os juros de cada período são calculados sempre sobre o valor do principal. Juros Compostos Os juros gerados em cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. i = Juros ou i (%) = Juros x 100 Capital Capital MATEMÁTICA FINANCEIRA 14 UNIDADE 1 Exemplo Um empréstimo de R$ 1.000,00 é realizado pelo prazo de 6 meses, pelo regime de capitalização simples, a uma taxa de juros de 2% ao mês. A tabela abaixo ilustra a evo- lução desta operação: TABELA 2 MÊS TAXA DE JUROS (I) VALOR DOS JUROS (R$) SALDO DEVEDOR AO FINAL DO PERÍODO (R$) 1 2% 1.000,00 x 0,02 = 20,00 1.020,00 2 2% 1.000,00 x 0,02 = 20,00 1.040,00 3 2% 1.000,00 x 0,02 = 20,00 1.060,00 4 2% 1.000,00 x 0,02 = 20,00 1.080,00 5 2% 1.000,00 x 0,02 = 20,00 1.100,00 6 2% 1.000,00 x 0,02 = 20,00 1.120,00 Para a mesma operação, em um regime de capitalização a juros compostos, a evolução da operação seria a seguinte: TABELA 3 MÊS TAXA DE JUROS (I) VALOR DOS JUROS (R$) SALDO DEVEDOR AO FINAL DO PERÍODO (R$) 1 2% 1.000,00 x 0,02 = 20,00 1.020,00 2 2% 1.020,00 x 0,02 = 20,40 1.040,40 3 2% 1.040,40 x 0,02 = 20,81 1.061,21 4 2% 1.061,21 x 0,02 = 21,22 1.082,43 5 2% 1.082,43 x 0,02 = 21,65 1.104,08 6 2% 1.104,08 x 0,02 = 22,08 1.126,16 MATEMÁTICA FINANCEIRA 15 UNIDADE 1 CONCEITOS FINANCEIROS DIVERSOS Existem outros conceitos básicos em Matemática Financeira, os quais devem ficar claros, bem como a nomenclatura utilizada: Valor Presente (VP) ou Principal (P) Valor Atual ou Capital Inicial. Corresponde ao valor do dinheiro na data zero do fluxo de caixa, ou no instante presente,é o valor finan- ciado, expresso em unidade monetária. Em algumas literaturas e máquinas financeiras, adota-se a nomenclatura PV (Present Value). Valor Futuro (VF) ou Montante (F) Valor do dinheiro em uma data futura. Esse Valor Futuro é o Valor Principal acrescido do valor dos Juros (J) incorridos no período da operação. Em algumas literaturas e máquinas financeiras, adota-se a nomenclatura FV (Future Value). Juros (J) Remuneração do capital empregado: » Para o investidor: remuneração do investimento. » Para o tomador: custo do capital obtido no empréstimo. Tempo de Investimento (n) Como se denomina o número de períodos da aplicação (tempo). Período de Capitalização Conceito associado à quantidade de períodos sob os quais o capital inicial ficará submetido a determinada taxa de juros. É necessário que o período de tempo esteja expresso no mesmo tempo da taxa de juros. Exemplo: mensal, bimestral, trimestral, anual. Taxa de Juros (i) Coeficiente que determina a remuneração do capital em um deter- minado tempo (dia, mês, ano...), expressa em forma percentual. Prestações Uniformes (PMT) Valor de cada prestação, associado a séries uniformes. Desconto (D) Refere-se ao valor financeiro que deve ser subtraído do valor nomi- nal quando antecipamos o pagamento de um documento (título, nota promissória, cheque). Taxa de Desconto (id) Coeficiente de decréscimo do valor nominal de um documento quando antecipamos seu pagamento. MATEMÁTICA FINANCEIRA 16 UNIDADE 1 Ano Civil Período de 365 dias ou 366 (para os anos bissextos), com meses de 28 ou 29 (para os anos bissextos), 30 ou 31 dias, também cha- mado de ano-calendário. Ano Comercial Ano de 360 dias, considerando-se todos os meses com 30 dias. É muito utilizado em operações financeiras. TABELA 4: CONVENÇÕES/NOTAÇÕES DESCRIÇÃO NOMENCLATURA ADOTADA OUTRAS NOMENCLATURAS Valor Presente, Principal ou Capital Inicial P PV, VP, C Valor Futuro ou Montante F FV, VF, M Juros Simples ou Compostos J – Tempo n t Prazo de Carência m c Taxa de Juros i r, k Taxa de Juros Anual a.a. ao ano Taxa de Juros Semestral a.s. ao semestre Taxa de Juros Trimestral a.t. ao trimestre Taxa de Juros Mensal a.m. ao mês Desconto D – Taxa de Desconto i d forma decimal da taxa Prestações Uniformes PMT A, R ou G Recebimento R Rec, PMT Pagamento G pg, P, PMT Valor Atual de uma Série P A, PV Montante de uma Anuidade F S, FV Comentário No Brasil, adota-se normalmen- te o ano civil para a contagem dos dias e o ano comercial (com 360 dias) para o cálculo das taxas de juros. Esses juros são também conhecidos como juros bancários. Quanto aos meses, consideram-se todos os meses como tendo 30 dias. É, por exemplo, o caso da caderneta de poupança, que paga juros mensais, independentemente da quantidade de dias do mês, que pode variar de 28 a 31 dias. MATEMÁTICA FINANCEIRA 17 UNIDADE 1 Dicas É importante notar que as variáveis utilizadas em Matemática Financeira possuem diver- sas nomenclaturas e não podem ser confundidas. Valor Presente = P, PV, VP Valor Futuro = F, FV, VF Tempo = n, t Taxa de Juros = i Prestações ou Pagamentos = PMT Desconto = D Os termos grifados são as nomenclaturas que você encontrará na sua HP-12C®. Importante ■ Critérios adotados nos cálculos Neste material, todas as vezes em que surgirem operações com casas decimais, serão consideradas seis casas decimais para o cálculo da questão e o arredondamento deverá ocorrer apenas no final, para definição da resposta. Como padrão em opera- ções financeiras, a resposta final deve ser informada com duas casas decimais, exceto quando especificado o contrário. ■ Critério de arredondamento Para a resposta final, deverá ser adotado o critério internacional de arredondamento de valores: TABELA 5: CRITÉRIO INTERNACIONAL DE ARREDONDAMENTO DE VALORES ÚLTIMO DÍGITO RESULTADO EXEMPLO 0, 1, 2, 3, 4 Eliminar 125,852 ⊲ 125,85 5, 6, 7, 8, 9 Somar 1 ao que fica, após eliminar o último dígito 45,926 ⊲ 45,93 MATEMÁTICA FINANCEIRA 18 UNIDADE 1 ERROS MAIS COMUNS — Pontos de Atenção Existem erros bastante comuns cometidos pelos alunos de matemática. Para evitarmos isso, você deve ter atenção redobrada, pois esta pode ser a diferença entre errar e acertar uma questão. Listamos a seguir os erros mais comuns. FIGURA 4: ERROS MAIS COMUNS COMETIDOS PELOS ALUNOS DE MATEMÁTICA Português Financeiro Os problemas de matemática normalmente possuem um grande percentual de erros devido à leitura equivocada do enunciado. A leitura atenta e o entendimento do enunciado dos problemas evitam muitos erros em sua resolução. Dedo Torto A calculadora é um excelente auxiliar para resoluções matemáticas, porém toda digitação deve ser feita com muito cuidado, pois a digitação errada dos números na máquina de calcular pode acarretar erros difíceis de perceber e invalidar uma questão. Olho que não vê A calculadora agiliza muitos processos de cálculo e é uma excelente ferramenta, mas não podemos nos descuidar e perder a atenção! É fundamental ter muito cuidado na hora de transcrever os números. Ex.: o número no visor é 5.000 e lê-se o número 500. Recordar é viver A quantidade de erros de sinal e troca de números pode ser enorme. Portanto, uma conferência, assim que acabar a questão, é um bom método para rastrear pequenas faltas de atenção (vide o Passo 4 do método de resolução de problemas, que você verá logo a seguir). MATEMÁTICA FINANCEIRA 19 UNIDADE 1 Importante Nos cálculos de Matemática Financeira, tanto o prazo da operação quanto a taxa de juros devem estar expressos na mesma unidade de tempo. Se uma operação foi efetuada pelo prazo mensal e a taxa de juros informada foi expressa em taxa anual, você deve usar as fórmulas financeiras necessárias para, por exemplo, transformar uma taxa de juro anual em uma taxa mensal para o período de tempo definido na operação ou vice-versa, considerando o que for mais apropriado para o cálculo. Somente após essa operação, colocando o prazo e a taxa na mesma unidade de tem- po, é que os cálculos de Matemática Financeira poderão ser feitos. Nas unidades 2 e 3 iremos abordar com detalhes as transformações de taxa de juros. — Método de Resolução Criar um método pode ajudar a desenvolver melhor os exercícios de mate- mática. Segue, portanto, uma sugestão de método: Passo 1: leia todo o problema matemático duas vezes, da seguin- te forma: na primeira vez, somente leia e, na segunda leitura, cir- cule as variáveis. Passo 2: uma vez lidas e identificadas todas as variáveis do exer- cício, anote todos os dados dos problemas e coloque interrogação nas variáveis solicitadas. Passo 3: coloque as fórmulas e resolva a questão. Passo 4: confira a questão imediatamente após seu término. Passo 5: ao final da prova, não retorne para revisar a questão, pois existe uma boa chance de esquecer o raciocínio desenvolvido, e isso pode fazer com que você altere o que estava certo. MATEMÁTICA FINANCEIRA 20 UNIDADE 1 A CALCULADORA HP-12C ® – OPERAÇÕES Visando facilitar e trazer velocidade aos cálculos necessários no nosso dia a dia, foi desenvolvida a calculadora eletrônica como instrumento de produtividade. Atenção A calculadora HP-12C® será utilizada como ferramenta de auxílio aos cálculos durante as aulas e as provas/exames. É importante ressaltar que a calculadora HP-12C® é um agente facilitador para a maio- ria das questões, mas os cálculos podem ser feitos a partir das fórmulas descritas no decorrer desta disciplina. Caso não possua a HP-12C®, você pode utilizar no seu dia a dia um apli- cativo gratuito que funciona como se fosse uma HP-12C® real, fazendo o download no celular (qualquer sistema operacional). O aplicativo tem todas as funções da calculadora. Os usos específicos da calculadora HP-12C® para cada unidade desta apostila serão explicados à medida que os assuntosforem sendo desen- volvidos e conforme a necessidade de resolução de exercícios. Saiba mais Para conhecer as principais funções e saber como utilizar a calculadora HP-12C, consul- te o Anexo 2. No anexo 3 apresentamos o Microsoft Excel como mais uma ferramenta para auxiliar nos cálculos. Importante O Microsoft Excel não poderá ser utilizado na prova de matemática financeira. Importante No dia da prova/exame on-line, será disponibilizada a calculadora HP-12C® por meio do sistema de provas. Não será permitida a utilização de calculadora física e qualquer outro tipo de aplicativo ou programa. Fique atento! MATEMÁTICA FINANCEIRA 21 FIXANDO CONCEITOS FIXANDO CONCEITOS 1 1. Analise as proposições a seguir e depois marque a alternativa correta. I) Juros são uma quantia em dinheiro que deve ser paga por um deve- dor, pela utilização de dinheiro de um credor. II) A taxa de juros é o índice que determina a remuneração do capital em um determinado tempo. III) A Matemática Financeira estuda e avalia as alterações ocorridas nos fluxos de caixas ao longo do tempo. IV) Os regimes de capitalização são: juros simples e juros compostos. Assinale a alternativa correta: (a) Somente I e III são proposições verdadeiras. (b) Somente II e IV são proposições verdadeiras. (c) Somente I, II e III são proposições verdadeiras. (d) Somente I, II e IV são proposições verdadeiras. (e) I, II, III e IV são proposições verdadeiras. Marque a alternativa correta. 2. Sabendo que, no primeiro dia do mês, João aplicou uma quantia de dinheiro em uma capitalização no valor de R$ 3.000,00 e que, no final do mês, o valor da aplicação dele era de R$ 3.050,00, a taxa de juros utilizada foi: (a) 1,67%. (b) 2,52%. (c) 3,33%. (d) 4,12%. (e) 5,89%. 3. A corretora de seguros Maria realizou um investimento de R$ 5.000,00 na sua corretora para a compra de equipamentos. Esse investimento gerou um gasto de R$ 1.000,00 no mês 1 e um ganho de R$ 3.500,00 nos meses 2 e 3. Podemos afirmar que o saldo líquido dessa operação foi de: (a) R$ 1.000,00. (b) R$ 2.000,00. (c) R$ 3.000,00. (d) R$ 4.000,00. (e) R$ 5.000,00. MATEMÁTICA FINANCEIRA 22 FIXANDO CONCEITOS 4. Se meu Seguro de Automóvel custa R$ 1.500,00 e consegui um finan- ciamento que cobra uma taxa de juros de 4%, o total que pagarei pelo seguro será: (a) R$ 1.300,00. (b) R$ 1.560,00. (c) R$ 1.580,00. (d) R$ 1.600,00. (e) R$ 1.650,00. Consulte o gabarito clicando aqui. MATEMÁTICA FINANCEIRA 23 FIXANDO CONCEITOS MATEMÁTICA FINANCEIRA 24 UNIDADE 202 ■ Compreender a forma mais simples de uma operação financeira, com a aplicação de juros simples, considerando sua aplicação em operações de seguros. ■ Entender o cálculo da taxa proporcional no regime de juros de capitalização simples considerando a análise de casos práticos. Após ler esta unidade, você deverá ser capaz de: ⊲ JUROS SIMPLES ⊲ TAXAS PROPORCIONAIS ⊲ JUROS SIMPLES COMERCIAIS E JUROS SIMPLES EXATOS ⊲ VALOR FUTURO (A JUROS SIMPLES) ⊲ FIXANDO CONCEITOS 2 TÓPICOS DESTA UNIDADE ■ Compreender as diferenças entre juros simples exatos e juros simples comerciais analisando situações práticas do ramo de seguros. ■ Entender a relação das operações de juros simples com as operações de seguros considerando casos práticos da área. JUROS SIMPLES MATEMÁTICA FINANCEIRA 25 UNIDADE 2 JUROS SIMPLES No regime de capitalização a juros simples, os juros de cada período são calculados tendo sempre como base o valor do capital inicial, não ocorren- do “juros sobre juros”. Essa forma de cálculo de juros é mais utilizada em operações de curto prazo. FIGURA 5: ESQUEMA DE JUROS SIMPLES Exemplo: Um cliente investe R$ 1.000,00 no Banco A em 1º de janeiro de um determinado ano. O banco informa que esse capital será remunerado a 10% ao ano no regime de juros simples. Qual será o valor dos juros acu- mulado ao final de três anos? 10 R$ J (Juros) Valor PresenteP t2 3 4 5 ... MATEMÁTICA FINANCEIRA 26 UNIDADE 2 A tabela a seguir resume o rendimento do investimento: TABELA 6: RENDIMENTO DO INVESTIMENTO DATA BASE CÁLCULO (CAPITAL) JUROS DE CADA ANO SALDO FINAL Ano 1 1.000,00 10% de 1.000,00 = 100,00 1.100,00 Ano 2 1.000,00 10% de 1.000,00 = 100,00 1.200,00 Ano 3 1.000,00 10% de 1.000,00 = 100,00 1.300,00 Aplicação O capital (R$ 1.000,00) é multiplicado pela taxa (10%). Apura-se R$ 100,00. Em seguida, esse valor é multiplicado por três, que é o número de anos em que o dinheiro ficou aplicado, e encontramos os juros. Cálculo adotando a simbologia: J: juros simples. P: principal ou capital inicial (no exemplo, R$ 1.000,00). i: taxa de juros no período (no exemplo, 10%). n: tempo de aplicação (no exemplo, 3 anos). J = P × i × n Essa é a fórmula do cálculo dos juros simples. Importante No regime de capitalização por juros simples, o crescimento dos juros é linear. Juros = Capital × Taxa × Tempo de Aplicação Isto é básico Os cálculos só podem ser executados se o tempo de aplicação n for expresso na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa i, considerado: prazo em ano – taxa ao ano, prazo em mês – taxa ao mês etc. MATEMÁTICA FINANCEIRA 27 UNIDADE 2 TAXAS PROPORCIONAIS Denominam-se taxas proporcionais aquelas que, aplicadas a um mesmo valor presente (principal), geram um mesmo valor futuro (montante), para um mesmo intervalo de tempo. Deve-se lembrar que esse conceito só se aplica de forma direta ao regime de capitalização de juros simples. Conceito prático: ■ Para obtermos a taxa proporcional mensal, dividimos a taxa anual por 12. ■ Se quisermos passar uma taxa proporcional de capitalização men- sal para anual, basta que multipliquemos a taxa por 12. Aplicação 1. Uma pessoa fechou um seguro de R$ 2.000,00 pelo prazo de dois anos, à taxa de 40% ao ano. Qual é o valor dos juros simples a ser pago? Dados: P = 2.000 n = 2 anos i = 40% a.a. = 40 ÷ 100 = 0,4 a.a. Cálculo: J = P × i × n J = 2.000 × 0,40 × 2 = 1.600 Resposta: O valor dos juros simples a ser pago é de R$ 1.600,00. 2. Qual o valor dos juros simples a receber por uma aplicação de R$ 2.000,00, pelo prazo de três meses, à taxa de 1,5% ao mês? Dados: P = 2.000 n = 3 meses i = 1,5% a.m. = 1,5 ÷ 100 = 0,015 a.m. Cálculo: J = P × i × n J = 2.000 × 0,015 × 3 = 90,00 Resposta: O valor dos juros simples a receber é de R$ 90,00. MATEMÁTICA FINANCEIRA 28 UNIDADE 2 ■ Duas taxas são proporcionais quando os seus valores guardam uma proporção com o tempo a que elas se referem. Para fazer o cálculo, é preciso que a taxa e o prazo estejam na mesma unidade. ■ Problemas envolvendo taxas proporcionais podem ser resolvidos por meio de “Regra de Três”. ■ Tratando-se de juros simples, tanto se pode compatibilizar o perío- do (n) ou a taxa (i), alterando uma ou outra variável, uma vez que as relações são proporcionais. ■ Esses conceitos são válidos apenas e tão somente para taxas de juros simples. Exemplo Calcular a taxa mensal proporcional a 30% ao ano. O primeiro passo é reduzir o tempo a uma mesma unidade. Lembrando que um ano = 12 meses, temos: 30% está para 12 meses, assim como x está para 1 mês (é possível utilizar a regra de três). Ou seja: 30% ÷ 12 = x ÷ 1 x = 30% ÷ 12 = 2,5% TABELA 7: TAXA MENSAL PROPORCIONAL Logo: 2,5% é a taxa mensal proporcional a 30% ao ano MÊS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2,5% 2,5% 2,5 Ano MATEMÁTICA FINANCEIRA 29 UNIDADE 2 Aplicação 1. Calcule a taxa mensal proporcional a 300% ao ano. Como 1 ano = 12 meses, temos: 300% ÷ 12 = 25%. Resposta: 25% ao mês é proporcional a 300% ao ano. 2. Apurar a taxa anual proporcional a 6% ao trimestre. Como 1 ano = 4 trimestres, temos: 6% × 4 = 24%. Resposta: 6% ao trimestre é proporcional a 24% ao ano. 3. Qual a taxa semestral proporcional a 4% ao bimestre? Como 1 semestre = 3 bimestres, podemos escrever: 4% × 3 = 12%. Resposta: 12% ao semestre é proporcional a 4% ao bimestre.4. Qual é a relação de proporcionalidade entre as taxas de juros anuais (i.a.), semestrais (i.s.), trimestrais (i.t.), mensais (i.m.) e diárias (i.d.)? Resposta: i.a. = 2 × i.s.; i.a. = 4 × i.t.; i.a. = 12 × i.m.; i.a. = 360 × i.d. Atenção Para o cálculo de Juros Simples Comercial: QUADRO 1: JUROS SIMPLES COMERCIAL UM ANO 2 semestres 3 quadrimestres 4 trimestres 6 bimestres 12 meses 360 dias MATEMÁTICA FINANCEIRA 30 UNIDADE 2 JUROS SIMPLES COMERCIAIS E JUROS SIMPLES EXATOS Juros simples comerciais São os juros cujo cálculo considera o ano comercial (com 360 dias) e o mês comercial (com 30 dias). Juros simples exatos Nesse caso, considera-se o número exato de dias do ano (365 ou 366, caso o ano seja bissexto). Ano comercial versus ano exato O ano comercial existe para que os cálculos sejam simplificados, na medida em que, nos cálculos envolvendo muitos anos ou mui- tos meses, não haverá necessidade de descobrir se o ano é bis- sexto, se um determinado mês tem 28, 29, 30 ou 31 dias. Ou seja, todos os meses terão sempre 30 dias e todos os anos terão sem- pre 360 dias. No caso do ano exato, serão considerados dias diferentes para cada mês e/ou ano envolvido no cálculo. Aplicação 1. Uma capitalização de R$ 6.000,00, realizada em 20/07/2021, foi paga em 25/11/2021. Sendo a taxa de 18,25% ao ano, qual é o valor total dos juros simples exatos a ser recebido pelo cliente? Inicialmente, determina-se o número de dias: TABELA 8: JUROS SIMPLES EXATOS De 20/07 a 31/07 ⊲ 11 dias* 01/08 a 31/08 ⊲ 31 dias 01/09 a 30/09 ⊲ 30 dias 01/10 a 31/10 ⊲ 31 dias 01/11 a 25/11 ⊲ 25 dias Total: ⊲ 128 dias * No cálculo de períodos financeiros, para se apurar o valor dos juros ou do montante futuro, não se considera a data inicial. No exemplo, é o dia 20/07. Dados: P = 6.000,00 n = 128 dias; MATEMÁTICA FINANCEIRA 31 UNIDADE 2 VALOR FUTURO (A JUROS SIMPLES) No caso do cliente que aplicou R$ 1.000,00 em uma capitalização e obteve R$ 300,00 de juros, quando terminar o período de aplicação da capita- lização, ele terá R$ 1.300,00. Esse valor é chamado de Valor Futuro (ou montante) e engloba o valor presente do capital (P), acrescido dos juros auferidos no período (J). O Valor Futuro (F) é, portanto, a soma do capital investido ou aplicado mais os juros obtidos na aplicação durante um determinado período de tempo. Dessa forma: F = P + J Lembrando que J = P × i × n, então o valor futuro (F) é: F = P + (P × i × n) Colocando P em evidência, temos: F = P (1 + i × n) n = 128 ÷ 365 = 0,350685 anos i = 18,25% a.a. = 0,1825 a.a. Cálculo: J = 6.000 × 0,1825 × 0,350685 = 384,00 Resposta: O valor dos juros simples exatos a ser recebido é R$ 384,00. 2. A que taxa anual deve estar aplicada a quantia de R$ 66.000,00 para que, em 146 dias, obtenham-se juros simples exatos de R$ 11.000,00? (Considere ano civil não bissexto.) Dados: P = 66.000,00 J = 11.000 i = ?% a.a. n = 146 dias = 146 ÷ 365 = 0,4 ano Sendo os juros de R$ 11.000,00, pode-se escrever: J = P × i × n 11.000 = 66.000 × i × 0,4 11.000 = 26.400 × i i = 11.000 ÷ 26.400 i = 0,416667 a.a. = 41,67% Resposta: A taxa é de 41,67% ao ano. MATEMÁTICA FINANCEIRA 32 UNIDADE 2 Aplicação 1. Qual é o valor futuro que receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000,00 em uma capitalização durante 15 meses, à taxa de 3% ao mês, em regime de juros simples? Dados: P = 28.000 n = 15 meses i = 3% a.m. = 0,03 a.m. Como: F = P (1 + i × n) Então: F = 28.000 (1 + 0,03 × 15) F = 28.000 (1 + 0,45) F = 28.000 × 1,45 F = 40.600 Este problema poderia ser resolvido de outro modo. Como: J = 28.000 × 0,03 × 15 = 12.600 F = P + J F = 28.000 + 12.600 = 40.600 Resposta: F = R$ 40.600,00. 2. Qual é o valor necessário de uma capitalização para se ter um mon- tante de R$ 14.800,00 daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, em regime de juros simples? Dados: F = 14.800 n = 18 meses ÷ 12 = 1,5 anos i = 48% a.a. = 0,48 a.a. Sendo assim: F = P (1 + i × n) 14.800 = P (1 + 0,48 × 1,5) 14.800 = P (1 + 0,72) 14.800 = P (1,72) P = 14.800 ÷ 1,72 P = 8.604,65 Resposta: O capital inicial necessário é de R$ 8.604,65. MATEMÁTICA FINANCEIRA 33 UNIDADE 2 3. Quanto rende, a juros simples, uma capitalização de R$ 100.000,00, investida a 9% ao mês, durante oito meses? Dados: P = 100.000 i = 9% a.m. = 0,09 a.m. n = 8 meses Como: J = P × i × n J = 100.000 × 0,09 × 8 J = 72.000 Resposta: Rende R$ 72.000,00 de juros. 4. Quais são os juros simples que um Seguro de Vida deverá pagar a um cliente para o qual devia R$ 200.000,00, referentes a uma indenização, sabendo que a taxa foi de 4,8% ao mês, pelo prazo de dois anos, três meses e 12 dias? Dados: P = 200.000 i = 4,8 ÷ 100 = 0,048 ao mês n = 2 anos, 3 meses e 12 dias Ou seja: 720 dias + 90 dias + 12 dias = 822 dias 822 ÷ 30 = 27,4 meses O número de dias (822) é dividido por 30, para se apurar a quantidade de meses. Como a taxa é mensal, o tempo também terá que ser expresso em meses. Desse modo, apuram-se os juros simples da aplicação. J = 200.000 × 0,048 × 27,4 J = 263.040 Resposta: Os juros são de R$ 263.040,00. 5. Uma capitalização é aplicada a juros simples, a uma taxa de 3% ao mês. No final de um ano, quatro meses e seis dias, ela rendeu R$ 97.200,00 de juros. De quanto era essa capitalização? Dados: J = 97.200 i = 3 ÷ 100 a.m. = 0,03 a.m. n = 1 ano, 4 meses e 6 dias = 360 + 120 + 6 = 486 dias ÷ 30 = 16,2 meses Cálculo P = ? J = P × i × n 97.200 = P × 0,03 × 16,2 97.200 = P × 0,4860 P = 97.200 ÷ 0,4860 P = 200.000 Resposta: O capital era de R$ 200.000,00. MATEMÁTICA FINANCEIRA 34 UNIDADE 2 6. Um investidor empregou, durante dois anos, três meses e 20 dias, a quantia de R$ 70.000,00 em uma capitalização. Sabendo que essa aplicação rendeu juros simples de R$ 75.530,00, qual foi a taxa simples mensal da capitalização? Dados: P = 70.000 J = 75.530 n = 2 anos, 3 meses e 20 dias (720 + 90 + 20), ou seja, 830 dias n = 830 ÷30 = 27,666667 meses i = ? (mensal) Como: J = P × i × n 75.530 = 70.000 × i × 27,666667 75.530 = 1.936.666,667 × i i = 75.530 ÷ 1.936.666,667 i = 0,039 = 3,9% a.m. Resposta: A taxa mensal foi de 3,9%. 7. A partir de uma capitalização no valor de R$ 25.000,00, um clien- te acumulou, em um ano, quatro meses e 18 dias, um montante de R$ 47.410,00. Qual foi a taxa simples mensal utilizada? Dados: P = 25.000 F = 47.410 n = 1 ano, 4 meses e 18 dias = 360 + 120 + 18 = 498 dias ÷ 30 = 16,60 meses i = ? (mensal) Cálculo: F = P (1 + i × n) Então: 47.410 = 25.000 (1 + i × 16,60) 47.410 ÷ 25.000 = 1 + 16,60i 1,8964 = 1 + 16,60i 1,8964 – 1 = 16,60i 0,8964 = 16,60i i = 0,8964 ÷ 16,60 i = 0,054 = 5,4% a.m. Resposta: A taxa simples mensal foi de 5,4%. Esse problema também poderia ser resolvido pela fórmula: J = P x i x n J = F – P, logo: J = (47.410 – 25.000) = 22.410 J = P × i × n 22.410 = 25.000 × i × 16,60 22.410 = 415.000 × i i = 22.410 ÷ 415.000 i = 0,054 = 5,4% a.m. MATEMÁTICA FINANCEIRA 35 UNIDADE 2 8. Quanto rende de juros simples uma Previdência Privada na qual você investe R$ 12.000,00, aplicados a 84% a.a., durante somente três meses? Dados: P = 12.000 i = 84% a.a. = 0,84 a.a. n = 3 meses = 3 ÷ 12 anos = 0,25 ano Como: J = P × i × n Então: J = 12.000 × 0,84 × 0,25 J = R$ 2.520,00 Resposta: O valor dos juros é R$ 2.520,00. 9. Quantos meses uma capitalização de R$ 500,00, aplicada à taxa de 30% ao bimestre, leva para produzir R$ 1.050,00 de juros simples? Dados: P = 500 J = 1.050 i = 30 ÷ 100 = 0,30 a.b. n = ? Sendo: J = P × i × n Logo: 1.050 = 500 × 0,3 × n 1.050 = 150 n n = 1.050 ÷ 150 = 7 bimestres ou 7 × 2 meses = 14 meses Resposta: São necessários 14 meses para se obter esse valor de juros. 10. Qual é o valor a ser resgatado de uma capitalização de R$ 10.000,00, à taxa de 2,5% ao mês, durante três anos? Dados: P = 10.000 n = 3 anos = 3 × 12 = 36 meses i = 2,5% a.m.= 2,5 ÷ 100 = 0,025 a.m. Cálculo de F: Como F = P (1 + i × n) Então: F = 10.000 (1 + 0,025 × 36) F = 10.000 x 1,90 F = 19.000 Resposta: O Valor Futuro será R$ 19.000,00. MATEMÁTICA FINANCEIRA 36 UNIDADE 2 11. Uma capitalização de R$ 10.000,00 foi aplicada a uma taxa (juros simples) de 0,5% ao dia. O investimento foi feito por um prazo de 116 dias. Qual é o total de juros? Dados: P = 10.000 i = 0,5% a.d. = 0,005 a.d. n = 116 dias J = P × i × n Logo: J = 10.000 × 0,005 × 116 J = 5.800 Resposta: O total de juros é de R$ 5.800,00. 12. Em quantos anos um capital, aplicado a juros simples de 10% a.a., triplica? Dados: P = P (capital qualquer) F = 3 P (triplo do capital inicial) i = 10 ÷ 100 . = 0,1 a.a. n = ? Sendo: J = F – P J = 3 P – P = 2 P i = 10 ÷ 100 = 0,1 a.a. Como: J = P × i × n Logo: 2 P = P × 0,1 × n 2 = 0,1 n n = 20 Resposta: O capital triplicará em 20 anos. Observação: nos problemas em que não aparece o capital, você poderá usar o valor R$ 100,00 para facilitar sua resolução. Basta resolver a questão anterior usando este artifício: Dados: P = 100,00 F = 3 × P = 3 × 100 = 300,00 J = F – P J = 300 – 100 J = 200 i = 10 ÷ 100. = 0,1 a.a. n = ? MATEMÁTICA FINANCEIRA 37 UNIDADE 2 Como: J = P × i × n Logo: 200 = 100 × 0,1 × n 200 = 10 × n n = 200 ÷ 10 n = 20 Resposta: O capital triplicará em 20 anos. MATEMÁTICA FINANCEIRA 38 FIXANDO CONCEITOS FIXANDO CONCEITOS 2 Marque a alternativa correta: 1. Dada a taxa anual de 42%, a taxa mensal proporcional é de: (a) 3,5%. (b) 6%. (c) 7%. (d) 10,5%. (e) 12%. 2. A taxa anual proporcional a 8% ao trimestre é de: (a) 16%. (b) 24%. (c) 32%. (d) 36%. (e) 38%. 3. Sabendo que uma capitalização de R$ 10.000,00 foi aplicada à taxa simples de 3,5% ao mês, durante seis meses. No fim desse tempo, o capital acumulado (F) é de: (a) R$ 8.800,00. (b) R$ 9.300,00. (c) R$ 10.420,00. (d) R$ 11.380,00. (e) R$ 12.100,00. 4. Sabendo que a quantia de R$ 50.000,00 foi aplicada em uma Previdên- cia Privada durante cinco meses e rendeu R$ 7.500,00 de juros simples, a taxa mensal foi de: (a) 3%. (b) 4%. (c) 5%. (d) 6%. (e) 7%. MATEMÁTICA FINANCEIRA 39 FIXANDO CONCEITOS 5. Aplicando R$ 30.000,00 a uma taxa de 40% ao ano e obtendo R$ 24.000,00 de juros simples, o tempo de aplicação foi de: (a) Um ano. (b) Dois anos. (c) Três anos. (d) Quatro anos. (e) Cinco anos. 6. Sabendo que, para obter R$ 6.000,00 de juros simples, aplicou-se a quantia de R$ 10.000,00 por quatro anos, a taxa anual dessa aplicação foi de: (a) 5%. (b) 10%. (c) 15%. (d) 20%. (e) 25%. 7. Os juros simples do investimento que uma pessoa fez com uma capita- lização de R$ 60.000,00, durante 146 dias, à taxa de juros simples de 9% a.m., foram de: (a) R$ 22.530,00. (b) R$ 23.880,00. (c) R$ 26.280,00. (d) R$ 27.480,00. (e) R$ 28.260,00. 8. O capital que produziu um montante de R$ 86.400,00, investido a juros simples durante oito meses, a 138% a.a., é de: (a) R$ 30.000,00. (b) R$ 35.000,00. (c) R$ 40.000,00. (d) R$ 45.000,00. (e) R$ 50.000,00. MATEMÁTICA FINANCEIRA 40 FIXANDO CONCEITOS 9. Sabendo que o capital de R$ 740.000,00, aplicado a 3,6% a.m., gerou um montante de R$ 953.120,00, o total de meses em que esse capital foi aplicado a juros simples foi de: (a) Seis meses. (b) Sete meses. (c) Oito meses. (d) Nove meses. (e) Dez meses. 10. O prazo necessário para se duplicar um capital aplicado à taxa de juros simples de 4% a.m. é: (a) Vinte meses. (b) Vinte e dois meses. (c) Vinte e quatro meses. (d) Vinte e cinco meses. (e) Trinta meses. 11. O total de meses da aplicação de um capital de R$ 32.000,00 que, apli- cado à taxa de juros simples de 12% a.a., rende R$ 4.800,00 é: (a) Onze meses. (b) Doze meses. (c) Treze meses. (d) Quatorze meses. (e) Quinze meses. 12. Os juros simples de uma aplicação de R$ 350.000,00, à taxa de 4% a.m., aplicados por 72 dias, são de: (a) R$ 30.000,00. (b) R$ 31.200,00. (c) R$ 32.400,00. (d) R$ 33.600,00. (e) R$ 36.000,00. MATEMÁTICA FINANCEIRA 41 FIXANDO CONCEITOS 13. Os juros simples de um investimento em uma previdência privada de R$ 2.500,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de um ano, quatro meses e 10 dias, são de: (a) R$ 1.125,00. (b) R$ 1.150,00. (c) R$ 1.175,00. (d) R$ 1.225,00. (e) R$ 1.250,00. Consulte o gabarito clicando aqui. MATEMÁTICA FINANCEIRA 42 UNIDADE 303 JUROS COMPOSTOS ■ Compreender o mecanismo de cálculo envolvendo a aplicação de juros compostos e taxas equivalentes considerando sua aplicação em operações de seguros. ■ Compreender o conceito de juros compostos ou taxas equivalentes considerando a sua aplicabilidade no setor de seguros. Após ler esta unidade, você deverá ser capaz de: ⊲ JUROS COMPOSTOS ⊲ CONVENÇÕES OU NOTAÇÕES UTILIZADAS EM JUROS COMPOSTOS ⊲ TAXAS EQUIVALENTES ⊲ FIXANDO CONCEITOS 3 TÓPICOS DESTA UNIDADE ■ Entender a relação das operações de juros compostos com as operações de seguros considerando casos práticos do setor. MATEMÁTICA FINANCEIRA 43 UNIDADE 3 JUROS COMPOSTOS No regime de juros compostos, os juros de cada período são calculados sobre o montante existente no período anterior. Dessa forma, os juros do período anterior são incorporados ao capital. Pode-se dizer, então, que, no regime de juros compostos, “os juros rendem juros”. Esse é o regime mais utilizado. Exemplo Um capital de R$ 100,00, aplicado a 2% ao mês, tem a seguinte evolução no regime de juros compostos: Os juros produzidos no fim de cada período são somados ao capital que os produziu, passando os dois, capital e juros, a render juros no período seguinte. TABELA 9: JUROS COMPOSTOS – CRESCIMENTO MÊS JUROS COMPOSTOS MONTANTE (F) 1 100,00 × 0,02 × 1 = 2,00 102,00 2 102,00 × 0,02 × 1 = 2,04 104,04 3 104,04 × 0,02 × 1 = 2,08 106,12 Juros compostos são aqueles que, a partir do segundo período, são calculados sobre o montante relativo ao período anterior. Importante No regime de capitalização por juros compostos, o crescimento dos juros é exponencial. MATEMÁTICA FINANCEIRA 44 UNIDADE 3 CONVENÇÕES OU NOTAÇÕES UTILIZADAS EM JUROS COMPOSTOS J: Juros compostos P: Capital inicial Valor presente ou valor atual. F: Valor Futuro ou Montante Valor do capital inicial acrescido de juros compostos. i: Taxa de juros compostos Período de capitalização Ciclo de tempo necessário para gerar juros compostos. Exemplo: na cader- neta de poupança, esse ciclo é de 30 dias. n: Tempo de aplicação Quantidade de períodos de capitalização do investimento. Entendendo como calcular o montante (Valor Futuro) de um investimento Supondo um investimento cujo capital inicial seja P, aplicado a uma taxa de juros compostos igual a “i” durante “n” períodos de capitalização, temos a tabela a seguir: TABELA 10: JUROS COMPOSTOS PERÍODO JUROS MONTANTE 1o J1 = P × i F1 = P + J1 = P + P × i = P (1 + i) ⊲ F1 = P1 (1 + i) 2o J2 = F1 × i F2 = F1 + J2 = F1+ F1× i = F1 (1 + i) ⊲ F2 = P (1 + i) × (1 + i) ⊲ F2 = P (1 + i)2 Saiba mais Veja outras nomenclaturas na Tabela 4 da Unidade 1. Comentário Nos enunciados de exercícios e/ou aplicações práticas, quando não estiver definido o período de capitalização, este será entendido como sendo aquele apresentado no tempo de aplicação do investimento. MATEMÁTICA FINANCEIRA 45 UNIDADE 3 3o J3 = F2 × i F3 = F2 + J3 = F2+ F2× i = F2 (1 + i) ⊲ F3 = P (1 + i)2 × (1 + i) ⊲ F3 = P (1 + i)3 Analisando a sequência da tabela 10, podemos deduzir que, para “n” perío- dos, teremos: Fn = P (1 + i)n onde: F : Montante ou Valor Futuro P : Capital inicial i : Taxa de juros compostos n : Tempo de aplicação Calcular os Juros Compostos de um Investimento (J) Sabendo que, em qualquer investimento, o montante é sempre igual ao capital inicial adicionado aos juros, podemos escrever: Jn = Fn – P Substituindo a fórmula do montante temos que: Jn = P (1 +i)n– P Colocando o capital inicial em evidência: Jn = P [(1 + i)n – 1] Assim: Jn : Juros compostos P : Capital inicial Importante Essas fórmulas serão válidas exclusivamente se a taxa e o período estiverem na mesma unidade de tempo (ano, mês, dia...) Dicas da HP-12C® Os resultados financeiros da HP-12C® sempre apresentam sinais contrários. Por isso, as respostas envolvendo dinheiro sempre aparecerão com sinais contrários entre PV, FV e/ou PMT. Para alterar o sinal, aperta- se a tecla CHS. MATEMÁTICA FINANCEIRA 46 UNIDADE 3 i : Taxa de juros compostos n : Tempo de aplicação O fator (1 + i)n é chamado de fator de capitalização. Aplicação 1. Quais são o montante e os juros compostos de uma capitalização que começou com o valor R$ 4.000,00, a uma taxa de 2,5% a.m., pelo prazo de 14 meses, consi- derando o período de capitalização mensal? Resolução: P = 4.000,00 i = 2,5% a.m. = 2,5 ÷ 100 = 0,025 a.m. n = 14 meses Sabemos que Fn = P(1 + i)n F = 4.000 × (1 + 0,025)14 F = 4.000 × (1,025)14 F = 4.000 × 1,412974 F = 5.651,90 Logo: J = F – P J = 5.651,90 – 4.000,00 = 1.651,90 Outra forma de calcular os juros: J = P [(1 + i)n – 1] J = 4.000 [(1 + 0,025)14 – 1] J = 4.000 [0,412974] J = 1.651,90 Resposta: O montante do investimento é de R$ 5.651,90, e os juros compostos foram de R$ 1.651,90. 2. O montante de uma capitalização que começou com R$ 210.000,00, a uma taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, durante 3 trimestres, é de: Resolução: P = 210.000,00 i = 3% a.t. = 3 ÷ 100 = 0,03 a.t. Dicas da HP-12C® 4.000 ⊲ PV 2,5 ⊲ i 14 ⊲ n FV –5.651,90 CHS (para mudar o sinal) Resp.: 5.651,90 -------------------------------------- 210.000 ⊲ PV 3 ⊲ i 3 ⊲ n FV –229.472,67 CHS (para mudar o sinal) Resp.: 229.472,67 MATEMÁTICA FINANCEIRA 47 UNIDADE 3 n = 3 trimestres Sabemos que Fn = P(1 + i)n F = 210.000,00 (1 + 0,03)3 F = 210.000,00 (1,03)3 F = 210.000,00 × 1,092727 F = 229.472,67 Resposta: O montante do investimento é de R$ 229.472,67. 3. Um acordo com uma seguradora, a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, permitiu um pagamento em 10 meses gerando um montante de R$ 1.218,99. O valor inicial acordado é de: Resolução: F = 1.218,99 i = 2% a.m. = 2 ÷ 100 = 0,02 a.m. n = 10 meses Sabemos que Fn = P(1 + i)n 1.218,99 = P(1 + 0,02)10 1.218,99 = P(1,02)10 1.218,99 = P × 1,218994 P = 1.218,99 ÷ 1,218994 P = 1.000,00 Resposta: O valor aplicado é de R$ 1.000,00. 4. Os juros de uma aplicação em uma previdência priva- da de R$ 5.000,00, a uma taxa de juros de 1,5% ao mês, durante 24 meses, são de: Resolução: P = 5.000,00 i = 1,5% a.m. = 1,5 ÷ 100 = 0,015 a.m. n = 24 meses Sabemos que: F = P(1 + i)n F = 5.000,00 (1 + 0,015)24 F = 5.000,00 (1,015)24 F = 5.000,00 × 1,429503 F = 7.147,51 Como: J = F – P J = 7.146,51 – 5.000,00 J = 2.147,51 Usando a fórmula dos juros, teríamos: Dicas da HP-12C® 1.218,99 ⊲ FV 2 ⊲ i 10 ⊲ n PV –1.000 CHS (para mudar o sinal) Resp.: 1.000 ------------------------------------------- 5.000 ⊲ PV 1,5 ⊲ i 24 ⊲ n FV –7.147,51 CHS (para mudar o sinal) Resp.: 7.147,51 (montante) 7.147,51 ⊲ ENTER 5.000,00 ⊲ (–) Resp.: 2.147,51 MATEMÁTICA FINANCEIRA 48 UNIDADE 3 Dicas da HP-12C® Cálculos de “J” têm sua resolução na HP-12C® de forma parcial, sendo necessário utili- zar fórmula de juros, que não é feita de forma simplificada na HP-12C®. J = P [(1 + i)n – 1] J = 5.000,00 [(1 + 0,015)24 – 1] J = 5.000,00 [(1,015)24 – 1] J = 5.000,00 × 0,429503 J = 2.147,51 Resposta: Os juros da aplicação são de R$ 2.147,51. 5. Uma aplicação de um título de capitalização gera, em juros compostos, o valor de R$ 102,02 no fim de cinco meses, a uma taxa de juros de 1% ao mês. O montante dessa aplicação é de: Resolução: J = 102,02 i = 1% a.m. = 1 ÷ 100 = 0,01 a.m. n = 5 meses Sabemos que: J = P [(1 + i)n – 1] 102,02 = P [(1 + 0,01)5 – 1] 102,02 = P [(1,01)5 – 1] 102,02 = P × 0,05101 P = 102,02 ÷ 0,05101 P = 2.000,00 Como: F = P + J F = 2.000,00 + 102,02 F = 2.102,02 Resposta: O montante da aplicação é de R$ 2.102,02. Observe que, nos exercícios de aplicação, o período (n) e a taxa (i) estão na mesma unidade de tempo. Saiba mais Na utilização da HP-12C®, deve-se lembrar de limpar as memórias da calculadora para evitar pegar resultados antigos e incorporá-los ao exercício atual. A forma de resolver essa questão é utilizar as seguintes teclas: F FIN (limpar as memórias financeiras) e F REG (limpar as memórias de registros). MATEMÁTICA FINANCEIRA 49 UNIDADE 3 TAXAS EQUIVALENTES Denominam-se taxas equivalentes aquelas que, aplicadas a um mesmo capi- tal, geram um mesmo valor futuro (montante), no mesmo intervalo de tempo. Em juros compostos, calculamos a taxa equivalente utilizando a seguinte fórmula: ip = (1 + ic)np/nc – 1 Onde: ip: taxa de juros procurada. ic: taxa de juros conhecida. np: unidade de tempo procurada. nc: unidade de tempo conhecida. Importante Lembre-se de multiplicar o resultado por 100 para apresentar a taxa percentual. Importante As unidades das variáveis np e nc têm que ser iguais, ou seja, dia/dia, mês/mês etc. Dicas da HP-12C® Caso queira utilizar a HP-12C® para facilitar seus cálculos, existe uma forma que pode ser considerada um “macete” a ser usado: Exemplo 1: Transformar uma taxa de um período de capitalização menor para um maior (no caso abaixo, de mês para ano): Transformar a taxa de 2% a.m. para taxa anual. a) Transforme a taxa em decimal (dividindo por 100) 2 ⊲ ENTER 100 ⊲ ÷ 0,020000 b) Somar o numeral 1 0,02000 ⊲ ENTER 1+ 1,020000 c) Elevar a quantidade de períodos em que se deseja converter a taxa; no caso do exemplo, gostaríamos de converter a taxa de 1 mês (mensal) para 12 meses (anual) 1,020000 ⊲ ENTER MATEMÁTICA FINANCEIRA 50 UNIDADE 3 12 ⊲ yx 1,268242 d) Retira-se o numeral 1 e multiplica-se por 100 1,268242 ⊲ ENTER 1 ⊳ – 100 ⊲ (x) 26,8242 Resposta: 26,82% a.a. Exemplo 2: Para conversão de taxas de períodos maiores de capitalização para períodos menores (no exemplo a seguir, sairemos de um período de capitalização anual para um período mensal): Transformar a taxa de 26,82% ao ano para uma taxa mensal: a) Transforme a taxa em decimal (dividindo por 100) 26,82 ⊲ ENTER 100 ⊲ ÷ 0,2682 b) Somar o numeral 1 0,2682 ⊲ ENTER 1 ⊲ + 1,2682 c) Inverter o expoente 1,2682 ⊲ ENTER 12 ⊲ 1/x 0,083333 d) Elevar o resultado do expoente (sem mexer no resultado da conta anterior), digitar a Tecla yx 1,019997 e) Retirar o numeral 1 e multiplicar por 100 1,019997 ⊲ ENTER 1 ⊲ - 100 ⊲ x 1,99972 Resposta: 2,00% a.m. MATEMÁTICA FINANCEIRA 51 UNIDADE 3 Aplicação 1. Qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.? Dados: ip = ?% a.a. ic = 2% a.m. np = ano, ou seja, 12 meses nc = mês, ou seja, 1 mês Portanto: ip = (1 + ic)np/nc – 1 ip = (1 + 0,02)12/1 – 1 ip = (1,02)12 – 1 ip = 1,268242 – 1 ip = 0,268242 (você deve multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual) ip = 26,8242% a.a. Resposta: A taxa anual equivalente a 2% a.m. é de 26,82% a.a. 2. Qual a taxa mensal equivalente a 30% a.a.? Dados: ip = ?% a.m. ic = 30% a.a. np = mês, ou seja, 1 mês nc = ano, ou seja, 12 meses Portanto: ip = (1 + ic)np/nc – 1 ip = (1 + 0,30)1/12 – 1 ip = (1,30)1/12 – 1 ip (1,30)0,083333 - 1 ip = 1,022104 – 1 ip = 0,022104 (Você deve multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual) ip = 2,2104% a.m. Resposta: A taxa mensal equivalente a 30% a.a. é de 2,21% a.m. 3. Qual a taxa anual equivalente a 3% ao trimestre? Dados: ip = ?% a.a. ic = 3% a.t. np = ano, ou seja, 12 meses nc = trimestre, ou seja, 3 meses Dicas da HP-12C® Para calcular (1,02)12 na HP-12C®: 1,02 ⊲ ENTER 12 ⊲ yx 1,268242 Dicas da HP-12C® 1,30 ⊲ ENTER 12 ⊲ 1/x 0,083333 ⊲ yX 1,022104 ⊲ ENTER 1 ⊲ – 0,022104100 ⊲ x 2,2104 -------------------------------------------- 1,03 ⊲ ENTER 4 ⊲ yX 1,125509 1 ⊲ – 100 ⊲ x 12,5509. MATEMÁTICA FINANCEIRA 52 UNIDADE 3 Portanto: ip = (1 + ic)np/nc – 1 ip = (1 + 0,03)12/3 – 1 ip = (1,03)4 – 1 ip = 1,125509 – 1 ip = 0,125509 (Você deve multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual) ip = 12,5509% a.a. Resposta: A taxa anual equivalente a 3% a.t. é de 12,55% a.a. 4. Qual a taxa diária equivalente a 70% ao trimestre? Dados: ip = ?% a.d. ic = 70% a.t. np = dia, ou seja, 1 dia nc = trimestre, ou seja, 90 dias Portanto: ip = (1 + ic)np/nc – 1 ip = (1 + 0,70)1/90 – 1 ip = (1,70)0,011111– 1 ip = 1,005913 – 1 ip = 0,005913 (Você deve multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual) ip = 0,59% a.d. Resposta: A taxa diária equivalente a 70% a.t. é de 0,59% a.d. Comentários A solução de um problema de juros compostos passa pela observa- ção das unidades, apresentadas na taxa e no período de capitaliza- ção. Lembre-se sempre de converter a taxa para a mesma unidade do período de capitalização. Dicas da HP-12C® 1,70 ⊲ ENTER 90 ⊲ 1/x 0,011111 ⊲ yX 1,005913 1 ⊲ – 0,005913 100 ⊲ x 0,5913 MATEMÁTICA FINANCEIRA 53 UNIDADE 3 Importante Em caso de dúvida sobre como representar as unidades de np e nc, utilize a unidade DIA como unidade padrão. Exemplo: np = ano e nc = mês, utilize np/nc = 360/30 np = bimestre e nc = semestre, utilize np/nc = 60/180 np = trimestre e nc = quadrimestre, utilize np/nc = 90/120 Importante Em problemas de juros compostos que não envolvam série de pagamento, é muito mais fácil converter a unidade de tempo, ou seja, use a taxa (i) dada pelo problema e mude a unidade de tempo. Exemplo Qual será o valor final pago por um seguro de R$ 4.000,00, a juros compostos, a uma taxa de 2,5% ao mês, pelo prazo de sete bimestres? Resolução: P = 4.000,00 i = 2,5% a.m. = 2,5 ÷ 100 = 0,025 a.m. n = 7 bimestres = 14 meses F = ? Observação: como a questão não envolve série de pagamento, podemos converter o período de capitalização. Logo: F = P (1 + i)n Substituindo os dados já conhecidos, temos: F = 4.000 × (1 + 0,025)14 F = 4.000 × (1,025)14 F = 4.000 × 1,412974 F = 5.651,90 Resposta: O montante (Valor Futuro) será de R$ 5.651,90. Dicas da HP-12C® Podemos fazer também a conversão em períodos. Nesse caso, sete bimestres são iguais a 14 meses (n=14): 4000 ⊲ PV 2,5 ⊲ i 14 ⊲ n FV -5.651,90 ⊲ CHS 5.651,90 MATEMÁTICA FINANCEIRA 54 UNIDADE 3 Importante Relação entre as unidades de tempo Dia = um dia. Mês = um mês ou 30 dias. Bimestre = um bimestre ou dois meses ou 60 dias. Trimestre = um trimestre ou 1,5 bimestre ou três meses ou 90 dias. Quadrimestre = um quadrimestre ou dois bimestres ou quatro meses ou 120 dias. Semestre = um semestre ou 0,5 ano ou 1,5 quadrimestre ou dois trimestres ou três bimestres ou seis meses ou 180 dias. Ano = um ano ou dois semestres ou três quadrimestres ou quatro trimestres ou seis bimestres ou 12 meses ou 360 dias. Aplicação 1. Quais são os juros compostos de uma capitalização de R$ 20.000,00, a 4% ao ano, durante 8 meses? Dados: P = 20.000,00 J = ? n = 8 meses i = 4% a.a. Análise inicial O período de capitalização e a taxa não estão na mesma unidade (mês e ano, respectivamente). Portanto, devemos converter a taxa de ano para meses. ip = ?% a.m. ic = 4% a.a. np = mês, ou seja, 1 mês nc = ano, ou seja, 12 meses Portanto: ip = (1 + ic)np/nc – 1 ip = (1 + 0,04)1/12 – 1 ip = (1,04)0,083333– 1 ip = 1,003274 – 1 ip = 0,003274 (Você deve multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual) ip = 0,3274% a.m. Dicas da HP-12C® Nesse caso, 8 (oito) meses, quando convertidos para anos, seriam 0,66667 de um ano; portanto, pode-se calcular o valor do montante na calculadora e depois os juros: 20.000 ⊲ PV 4 ⊲ i 0,66667 ⊲ n FV – 20.529,84 ⊲ CHS 20.529,84 20.529,84 ⊲ ENTER 20.000,00 ⊲ (–) 529,84 Lembre-se de ativar a letra C no visor da calculadora HP-12C. Para ativar aperte a tecla STO e em seguida a tecla EEX. MATEMÁTICA FINANCEIRA 55 UNIDADE 3 Substituindo na fórmula do montante, temos: F = P (1 + i)n F = 20.000 × (1 + 0,003274)8 F = 20.000 × (1,003274)8 F = 20.000 × 1,026492 F = 20.529,84 Logo: J = F – P = 20.529,84 – 20.000,00 J = 529,84 Resposta: Os juros compostos são de R$ 529,84. 2. Qual é o montante produzido por um título de capi- talização de R$ 6.000,00, em regime de juros compostos, aplicado durante seis meses, à taxa de 3,5% ao mês? P = 6.000 F = ? i = 3,5 ÷ 100 = 0,035 ao mês n = 6 meses Como: F = P × (1 + i)n Logo: F = 6.000 (1 + 0,035)6 F = 6.000 (1,035)6 F = 6.000 × 1,229255 F = 7.375,53 Resposta: O montante (Valor Futuro) será de R$ 7.375,53. 3. Determine o valor original do seguro, sabendo que os juros compostos foram de 3,5% ao mês, por oito meses, e rendeu um valor total a pagar de R$ 19.752,14. F = 19.752,14 P = ? i = 3,5% a.m. n = 8 meses F = P × (1 + i)n 19.752,14 = P (1 + 0,035)8 19.752,14 = P (1,035)8 19.752,14 = P × 1,316809 19.752,14 ÷ 1,316809 = P P = 15.000 Resposta: O valor original do seguro foi de R$ 15.000,00. Dicas da HP-12C® Nesse caso, o período (n) está em meses, e a taxa também está expressa em meses. Assim, basta lançarmos os valores 6.000 ⊲ PV 3,5 ⊲ i 6 ⊲ n FV – 7.375,53 CHS ⊲ 7.375,53 Dicas da HP-12C® Nesse caso, o período (n) está em meses, e a taxa também está expressa em meses, bastando lançarmos os valores na calculadora: 19.752,14 ⊲ FV 3,5 ⊲ i 8 ⊲ n PV – 15.000,00 CHS ⊲ 15.000,00 MATEMÁTICA FINANCEIRA 56 UNIDADE 3 4. O capital de R$ 12.000,00 foi aplicado, a juros com- postos, por dois dias, à taxa de 36% ao ano. Qual o mon- tante obtido? P = 12.000,00 F = ? n = 2 dias i = 36% a.a. Análise inicial O período de capitalização e a taxa não estão na mesma unidade (dia e ano, respectivamente). Portanto, devemos converter a taxa de ano para dia. ip = ?% a.d. ic = 36% a.a. np = dia, ou seja, 1 dia nc = ano, ou seja, 360 dias Portanto: ip = (1 + ic)np/nc – 1 ip = (1 + 0,36)1/360 – 1 ip = (1,36)0,002778 – 1 ip = 1,000855 – 1 ip = 0,000855 (Você deve multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual) ip = 0,0855% a.d. Substituindo na fórmula do montante, temos: F = P (1 + i)n F = 12.000 × (1 + 0,000855)2 F = 12.000 × (1,000855)2 F = 12.000 × 1,001711 F = 12.020,53 Resposta: O montante (Valor Futuro) é de R$ 12.020,53. 5. O pagamento de um Seguro de Veículos foi financia- do para um cliente com valor original de R$ 1.500,00, sabendo que o seguro era, a juros compostos de 1,13% ao mês e com pagamento somente um semestre depois. Calcule os juros dessa operação. F = ? P = 1.500 i = 1,13% a.m. n = 1 semestre = 6 meses Como: F = P × (1 + i)n Dicas da HP-12C® Nesse caso, o período (n) está em dias, e a taxa (i) está considerada ao ano: 2 ⊲ ENTER 360 ⊲ ÷ 0,00556 12.000,00 ⊲ PV 36 ⊲ i 0,00556 ⊲ n FV – 12.020,53 CHS ⊲ 12.020,53. Obs.: Se você não conseguiu achar o valor exato dos centavos, verifique se utilizou todos os dígitos da conversão dos dois dias para ano. Lembre-se de ativar a letra C no visor da calculadora HP-12C. Para ativar aperte a tecla STO e em seguida a tecla EEX. Nesse caso, o período (n) está expresso em semestres. Como a taxa é mensal, devemos considerar que um semestre tem seis meses; portanto: 1.500,00 ⊲ PV 1,13 ⊲ i 6 ⊲ n FV – 1.604,62 CHS ⊲ 1.604,62. Como o valor encontrado 1.604,62 é o montante e o valor solicitado foi o de juros, ainda temos que calculá-lo: J = F – P J= 1604,62 – 1.500,00 J= 104,62 MATEMÁTICA FINANCEIRA 57 UNIDADE 3 Então: F = 1.500 (1 + 0,0113)6 F = 1.500 (1,0113)6 F = 1.500 × 1,069744 F = 1.604,62 Resposta: O valor dos juros é de 1.604,62 – 1.500 = R$ 104,62. 6. Qual é o montante de uma capitalização que come- çou com R$ 3.000,00, a juroscompostos de 2% ao mês, sabendo que, devido a problemas operacionais, teve que ser resgatado após somente um dia? P = 3.000,00 F = ? n = 1 dia (Período de capitalização = diário) i = 2% a.m. Análise inicial O período de capitalização e a taxa não estão na mesma unidade (dia e mês, respectivamente). Portanto, devemos converter a taxa de mês para dia. ip = ?% a.d. ic = 2% a.m. np = dia, ou seja, 1 dia nc = mês, ou seja, 30 dias Portanto: ip = (1 + ic)np/nc – 1 ip = (1 + 0,02)1/30 – 1 ip = (1,02)0,033333 – 1 ip = 1,000660 – 1 ip = 0,000660 (Você deve multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual) ip = 0,0660% a.d. Substituindo na fórmula do montante, temos: F = P (1 + i)n F = 3.000 × (1 + 0,000660)1 F = 3.000 × (1,000660)1 F = 3.000 × 1,000660 F = 3.001,98 Resposta: O montante (Valor Futuro) é de R$ 3.001,98. Dicas da HP-12C® Nesse caso, o período (n) está expresso em dias. Como a taxa é mensal, devemos descobrir quantos dias há em um mês, dividindo um dia por 30 dias, que representa 3.000,00 ⊲ PV 2 ⊲ i 0,033333 ⊲ n FV – 3.001,98 CHS ⊲ 3.001,98. Lembre-se de ativar a letra C no visor da calculadora HP-12C. Para ativar aperte a tecla STO e em seguida a tecla EEX. MATEMÁTICA FINANCEIRA 58 UNIDADE 3 7. Caso você pague o seguro de seu veículo, que custa R$ 8.000,00, com um prazo diferenciado, com juros com- postos, a uma taxa de 3% ao quadrimestre, durante dois trimestres, o valor total que custará seu seguro será um montante de: P = 8.000,00 F = ? n = 2 trimestres i = 3% a.q. Análise inicial O período de capitalização e a taxa não estão na mesma unidade (trimestre e quadrimestre, respectivamente). Portanto, devemos con- verter a taxa de quadrimestre para trimestre. ip = ?% a.t. ic = 3% a.q. np = trimestre, ou seja, 90 dias nc = quadrimestre, ou seja, 120 dias Portanto: ip = (1 + ic)np/nc – 1 ip = (1 + 0,03)90/120 – 1 ip = (1,03)0,75 – 1 ip = 1,022417 – 1 ip = 0,022417 (Você deve multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual) ip = 2,2417 % a.t. Substituindo na fórmula do montante, temos: F = P (1 + i)n F = 8.000 (1 + 0,022417)2 F = 8.000 (1,022417)2 F = 8.000 × 1,045336 F = 8.362,69 Resposta: O montante (Valor Futuro) que se pode produzir é de R$ 8.362,69. 8. Considerando que, por causa de um problema ope- racional, a seguradora demorou para pagar o valor que devia ao segurado, referente a uma indenização de R$ 1.500,00, calcule o montante obtido utilizando juros compostos, a uma taxa de 6% ao ano, sabendo que esse pagamento demorou um semestre: P = 1.500,00 F = ? n = 1 semestre i = 6% a.a. Dicas da HP-12C® Para calcular (1,03)90/120 na HP-12C®: 1,03 ⊲ ENTER 90 ⊲ ENTER 120 ⊲ ÷ 0,750000 ⊲ yX 1,022417 1 ⊲ - 0,022417 Dicas da HP-12C® O período está expresso em trimestre (90 dias) e a taxa em quadrimestre (120 dias), portanto, temos que igualar a unidade de tempo entre a taxa (i) e o período (n). Neste caso, vamos converter o período (n) de trimestre para quadrimestre: 90 ⊲ ENTER 120 ⊲ (÷) 0,75 (1 trimestre equivale a 0,75 de um quadrimestre). Lembre-se que são 2 trimestres; então: 0,75 ⊲ ENTER 2 ⊲ × 1,5 (Equivale a 1,5 quadrimestre) 8.000,00 ⊲ PV 3 ⊲ i 1,5 ⊲ n FV – 8.362,69 ⊲ CHS 8.362,69 Lembre-se de ativar a letra C no visor da calculadora HP-12C. Para ativar aperte a tecla STO e em seguida a tecla EEX. MATEMÁTICA FINANCEIRA 59 UNIDADE 3 Análise inicial O período de capitalização e a taxa não estão na mesma unidade (semestre e ano, respectivamente). Portanto, devemos converter a taxa de ano para semestre. ip = ?% a.s. ic = 6% a.a. np = semestre, ou seja, 6 meses nc = ano, ou seja, 12 meses Portanto: ip = (1 + ic)np/nc – 1 ip = (1 + 0,06)6/12 – 1 ip = (1,06)0,50 – 1 ip = 1,029563 – 1 ip = 0,029563 (você deve multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual) ip = 2,96563% a.s. Substituindo na fórmula do montante, temos: F = P (1 + i)n F = 1.500 (1 + 0,029563)1 F = 1.500 × 1,029563 F = 1.544,34 Observação: quando a questão não envolve séries de pagamentos, ou seja, não temos parcelas, podemos abrir mão do cálculo de taxa equivalente e converter o período de capitalização. Façamos a questão anterior dessa forma: P = 1.500,00 F = ? n = 1 semestre = 0,5 ano (período de capitalização = anual) i = 6% a.a. Substituindo na fórmula do montante, temos: F = P (1 + i)n F = 1.500 (1 + 0,06)0,5 F = 1.500 (1,006)0,5 F = 1.500 × 1,029563 F = 1.544,34 Resposta: O montante (Valor Futuro) obtido é de R$ 1.544,34. Dicas da HP-12C® O período (n) está expresso em semestre, e a taxa é anual (i); portanto, teremos um período que equivalerá à metade de um ano, ou seja, 0,5: 1.500,00 ⊲ PV 6 ⊲ i 0,5 ⊲ n FV -1.544,34 ⊲ CHS 1.544,34 Lembre-se de ativar a letra C no visor da calculadora HP-12C. Para ativar aperte a tecla STO e em seguida a tecla EEX. MATEMÁTICA FINANCEIRA 60 UNIDADE 3 9. Em uma capitalização com valor inicial de R$ 4.300,00, a juros compostos de 5% ao mês, durante seis dias, quanto se ganhará de juros? P = 4.300,00 J = ? n = 6 dias (período de capitalização = diário) i = 5% a.m. Análise inicial O período de capitalização e a taxa não estão na mesma unidade (dia e mês, respectivamente). Portanto, devemos converter a taxa de mês para dia. ip = ?% a.d. ic = 5% a.m. np = dia, ou seja, 1 dia nc = mês, ou seja, 30 dias Portanto: ip = (1 + ic)np/nc – 1 ip = (1 + 0,05)1/30 – 1 ip = (1,05)0,033333 – 1 ip = 1,001628 – 1 ip = 0,001628 (Você deve multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual) ip = 0,1628% a.d. Substituindo na fórmula do montante, temos: F = P (1 + i)n F = 4.300 × (1 + 0,001628)6 F = 4.300 × (1,001628)6 F = 4.300 × 1,009806 F = 4.342,16 Logo: J = F – P = 4.342,16 – 4.300,00 J = 42,16 Resposta: Os juros são de R$ 42,16. Dicas da HP-12C® O período (n) está expresso em dias e a taxa (i) em mês; então, o cálculo envolverá igualar a unidade de tempo entre o período e a taxa. Neste caso, será feita a equivalência de 6 dias em relação a 1 mês: 6/30 = 0,20. 4.300,00 ⊲ PV 5 ⊲ i 0,20 ⊲ n FV – 4.342,16 ⊲ CHS 4.342,16. Deve-se lembrar que o valor procurado é o dos juros J. J = F – P J = 4.342,16 – 4.300,00 J = 42,16 Lembre-se de ativar a letra C no visor da calculadora HP-12C. Para ativar aperte a tecla STO e em seguida a tecla EEX. MATEMÁTICA FINANCEIRA 61 UNIDADE 3 10. Sabendo que um Seguro Residencial, no valor origi- nal de R$ 1.260,00, foi financiado a juros compostos com uma taxa de 8% ao quadrimestre, durante dois meses, podemos dizer que o valor total pago pelo seguro foi de: P = 1.260,00 F = ? n = 2 meses (período de capitalização = mensal) i = 8% a.q. Análise inicial O período de capitalização e a taxa não estão na mesma unidade (mês e quadrimestre, respectivamente). Portanto, devemos conver- ter a taxa de quadrimestre para mês. ip = ?% a.m. ic = 8% a.q. np = mês, ou seja, 1 mês nc = quadrimestre, ou seja, 4 meses Portanto: ip = (1 + ic)np/nc – 1 ip = (1 + 0,08)1/4 – 1 ip = (1,08)0,25 – 1 ip = 1,019427 – 1 ip = 0,019427 (Você deve multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual) ip = 1,9427% a.m. Substituindo na fórmula do montante, temos: F = P (1 + i)n F = 1.260 × (1 + 0,019427)2 F = 1.260 × (1,019427)2 F = 1.260 × 1,039230 F = 1.309,43 Resposta: O montante (Valor Futuro) gerado é de R$ 1.309,43. 11. O Valor Futuro, obtido por um Título de Capitaliza- ção de R$ 6.000,00, que utilizou juros compostos a uma taxa de 1,5% ao trimestre durante três dias, será de: P = 6.000,00 F = ? n = 3 dias (período de capitalização = diário) i = 1,5% a.t. Análise inicial O período de capitalização e a taxa não estão na mesma unidade (dia e trimestre, respectivamente). Portanto, devemos converter a taxa de trimestre para dia. Dicas da HP-12C® O período (n) está expressoem meses e a taxa (i) em quadrimestre; então, o cálculo envolverá igualar a unidade de tempo entre o período e a taxa. Neste caso, será feita a equivalência de 1 mês em relação a 1 quadrimestre: 1/4 = 0,25. Como serão dois meses, teremos 0,25 × 2 = 0,5 1.260,00 ⊲ PV 8 ⊲ i 0,5 ⊲ n FV -1.309,43 ⊲ CHS 1.309,43 Lembre-se de ativar a letra C no visor da calculadora HP-12C. Para ativar aperte a tecla STO e em seguida a tecla EEX. MATEMÁTICA FINANCEIRA 62 UNIDADE 3 ip = ?% a.d. ic = 1,5% a.t. np = dia, ou seja, 1 dia nc = trimestre, ou seja, 90 dias Portanto: ip = (1 + ic)np/nc – 1 ip = (1 + 0,015)1/90 – 1 ip = (1,015)0,011111 – 1 ip = 1,000165 – 1 ip = 0,000165 (Você deve multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual) ip =0,0165% a.d. Substituindo na fórmula do montante, temos: F = P (1 + i)n F = 6.000 × (1 + 0,000165)3 F = 6.000 × (1,000165)3 F = 6.000 × 1,000496 F = 6.002,98 Resposta: O Valor Futuro (montante) será de R$ 6.002,98. 12. O montante obtido por uma indenização de seguro atualizada a juros compostos de R$ 240,00, a uma taxa de 3,5% ao mês, durante um semestre, será de: P = 240,00 F = ? n = 1 semestre i = 3,5% a.m. Análise inicial O período de capitalização e a taxa não estão na mesma unidade (semestre e mês, respectivamente). Portanto, devemos converter a taxa de mês para semestre. ip = ?% a.s. ic = 3,5% a.m. np = semestre, ou seja, 6 meses nc = mês, ou seja, 1 mês Portanto: ip = (1 + ic)np/nc – 1 ip = (1 + 0,035)6/1 – 1 ip = (1,035)6 – 1 ip = 1,229255 – 1 ip = 0,229255 (Você deve multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual) ip = 22,9255% a.s. Dicas da HP-12C® O período (n) está expresso em dias, e a taxa (i) em trimestres; então, o cálculo envolverá dividir dias por trimestre: 1/90 = 0,01111. Como serão três dias, teremos 0,01111 × 3 = 0,03333 6.000,00 ⊲ PV 1,5 ⊲ i 0,03333 ⊲ n FV –6.002,98 ⊲ CHS 6.002,98 Lembre-se de ativar a letra C no visor da calculadora HP-12C. Para ativar aperte a tecla STO e em seguida a tecla EEX. MATEMÁTICA FINANCEIRA 63 UNIDADE 3 Substituindo na fórmula do montante, temos: F = P (1 + i)n F = 240 (1 + 0,229255)1 F = 240 (1,229255)1 F = 240 × 1,229255 F = 295,02 Observação: como a questão não envolve série de pagamento, podemos converter o período de capitalização: P = 240,00 F = ? n = 1 semestre = 6 meses (período de capitalização = mensal) i = 3,5% a.m. Substituindo na fórmula do montante, temos: F = P (1 + i)n F = 240 (1 + 0,035)6 F = 240 (1,035)6 F = 240 × 1,229255 F = 295,02 Resposta: O montante (Valor Futuro) será de R$ 295,02. 13. Foi lançada uma nova capitalização por um banco no valor de R$ 20.000,00, a juros compostos de 17% ao ano, durante três anos. O valor dos juros recebidos ao final da capitalização é de: P = 20.000,00 J = ? n = 3 anos (período de capitalização = anual) i = 17% a.a. Análise inicial O período de capitalização e a taxa estão na mesma unidade; por- tanto, não há necessidade de converter a taxa. Substituindo na fórmula dos juros, temos: J = P [(1 + i)n – 1] J = 20.000 × [(1 + 0,17)3 – 1] J = 20.000 × [(1,17)3 – 1] J = 20.000 × [0,601613] J = 12.032,26 Resposta: Os juros recebidos foram de R$ 12.032,26. Dicas da HP-12C® O período (n) está expresso em semestre, e a taxa (i), é mensal. Como sabemos que um semestre consiste em seis meses, devemos trabalhar com n = 6 meses: 240,00 ⊲ PV 3,5 ⊲ i 6 ⊲ n FV -295,02 CHS ⊲ 295,02 Dicas da HP-12C® Não há conversão para fazer, pois o período (n) e a taxa (i) são anuais. 20.000,00 ⊲ PV 17 ⊲ i 3 ⊲ n FV – 32.032,26 CHS ⊲ 32.032,26. O exercício solicita J ( juros): J = F – P J = 32.032,26 – 20.000,00 J = 12.032,26. MATEMÁTICA FINANCEIRA 64 FIXANDO CONCEITOS FIXANDO CONCEITOS 3 Marque a alternativa correta. 1. O montante de uma aplicação em um título de capitalização de R$ 8.200,00, que tinha o prazo de oito meses para pagamento, no regime de juros compostos, à taxa de 1,5% ao mês, será de: (a) R$ 8.921,37. (b) R$ 9.020,38. (c) R$ 9.091,19. (d) R$ 9.189,28. (e) R$ 9.237,24. 2. O capital inicial, em regime de juros compostos, à taxa de 2,5% ao mês, durante quatro meses, que rendeu um montante de R$ 794,75, é de: (a) R$ 720,00. (b) R$ 730,00. (c) R$ 740,00. (d) R$ 750,00. (e) R$ 760,00. 3. Os juros de uma aplicação de R$ 2.000,00, a 4,5% ao mês, durante oito meses, são de: (a) R$ 802,98. (b) R$ 810,18. (c) R$ 824,20. (d) R$ 836,30. (e) R$ 844,20. 4. O montante de uma aplicação de R$ 12.000,00, à taxa de juros de 22% ao ano, durante oito meses, será de: (a) R$ 13.701,07. (b) R$ 16.521,37. (c) R$ 16.692,30. (d) R$ 17.308,21. (e) R$ 17.492,38. MATEMÁTICA FINANCEIRA 65 FIXANDO CONCEITOS 5. A taxa anual equivalente a 5% ao mês é de: (a) 0,40% a.a. (b) 59,79% a.a. (c) 60% a.a. (d) 69,79% a.a. (e) 79,59% a.a. 6. A taxa semestral equivalente a 36% ao ano é de: (a) 16,62% a.s. (b) 17,64% a.s. (c) 18% a.s. (d) 18,62% a.s. (e) 20% a.s. Consulte o gabarito clicando aqui. MATEMÁTICA FINANCEIRA 66 FIXANDO CONCEITOS04 DESCONTO e OPERAÇÕES de CURTO e LONGO PRAZOS ■ Reconhecer os diversos tipos de desconto e suas respectivas operações financeiras considerando casos práticos do ramo de seguros. ■ Entender as diferenças entre as operações de curto e de longo prazo considerando casos práticos do ramo de seguros. ■ Reconhecer a importância do conhecimento sobre as operações de desconto para o corretor de seguros considerando as nuances da comercialização de produtos de seguros. Após ler esta unidade, você deverá ser capaz de: ⊲ O QUE É DESCONTO ⊲ DESCONTO A JUROS SIMPLES ⊲ DESCONTO A JUROS COMPOSTOS ⊲ FIXANDO CONCEITOS 4 TÓPICOS DESTA UNIDADE ■ Compreender como funcionam as operações financeiras que envolvem descontos comerciais considerando a análise de situações práticas do ramo de seguros. ■ Aprender como efetuar operações que envolvem juros simples ou juros compostos analisando casos práticos do ramo de seguros. MATEMÁTICA FINANCEIRA 67 UNIDADE 4 O QUE É DESCONTO O desconto pode ser entendido como um “ganho” que o devedor tem ao antecipar o pagamento de um débito. Operações envolvendo desconto são tradicionais no mercado financeiro. Quando uma empresa ou um agente financeiro decide antecipar um paga- mento de título de crédito, nota promissória, letra de câmbio etc., o valor que será pago na antecipação não será o mesmo valor final, ou seja, o mesmo valor na data de vencimento. Essa diferença entre o Valor Final (F) e o valor pago na antecipação (P) é denominado DESCONTO (D). Importante O Valor Final (F) de um título também é chamado de Valor de Face, Valor Futuro ou Valor de Resgate. O valor pago na antecipação (P) de um título também é chamado de Valor Presente ou Valor Descontado. O prazo do desconto (número de períodos que o título é negociado antes de seu venci- mento) é indicado por n. FIGURA 6: ESQUEMA DE DESCONTO 0 P n F F D = F - P n Fonte: o autor (2021) MATEMÁTICA FINANCEIRA 68 UNIDADE 4 Os descontos são classificados de acordo com o regime de juros das ope- rações. Assim, temos: ■ Desconto simples, realizado sob o regime de juros simples e mais adotado em operações de curto prazo. ■ Desconto composto, realizado sob o regime de juros compostos e em operações de longo prazo. DESCONTO A JUROS SIMPLES O desconto realizado sob o regime de juros simples é classificado de duas formas: desconto racional simples (ou desconto “por dentro”) e descon- to comercial ou bancário simples (ou desconto “por fora”). Por questões conceituais e de usabilidade, abordaremos somente o desconto comercial simples (ou "por fora"). Saiba mais Embora a confusão entre juros e desconto seja frequente, lembramos que são dois critérios distintos. No cálculo de juros, a taxa da operação incide sobre o capital inicial
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