Cap 4 - Lajes (1)

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Prof. Harley Francisco Viana – harley.viana@ulife.com.br
Estruturas de concreto, obras de arte e projetos viários
Lajes de concreto armado
2Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Introdução
28/03/2024
• Na teoria das estruturas, consideram-se elementos de superfície aqueles em 
que uma dimensão, usualmente chamada espessura, é relativamente pequena 
em face das demais. Nesta classe de elementos podemos ter as seguintes 
estruturas:
• Placa é um elemento estrutural laminar, uma dimensão (espessura) bem menor 
que as outras duas em planta, solicitada predominantemente por cargas 
normais ao seu plano. 
• Quando a placa é de concreto armado ela normalmente é chamada de laje. 
3Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Tipos de lajes
28/03/2024
1. Lajes em concreto armado: Nessas lajes, a região tracionada no elemento 
recebe armadura que responde a esse tipo de solicitação, e nas regiões 
comprimidas, o concreto é o responsável pela absorção desses esforços.
4Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Tipos de lajes
28/03/2024
1. Lajes em concreto armado
- As lajes em concreto armado podem ser do tipo maciças, treliçadas, lisas, 
cogumelos, nervuradas, entre outros. 
✓ Lajes maciças: as lajes maciças são as lajes mais usuais em edifícios 
residenciais, pois podem trabalhar com vãos maiores e suportar mais cargas 
que as lajes treliçadas. As lajes maciças são constituídas de concreto e aço, 
onde a união desses dois materiais contribui para a resistência dos esforços 
conjuntamente.
5Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Tipos de lajes
28/03/2024
1. Lajes em concreto armado
✓ Lajes lisas: são apoiadas diretamente sobre os pilares, sem a existência de 
vigas. Nesse tipo de laje, são necessários cuidados especiais com relação ao 
efeito de puncionamento que pode ocorrer na região de apoio da laje com o 
pilar.
6Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Tipos de lajes
28/03/2024
1. Lajes em concreto armado
✓ Lajes cogumelos: são uma variação das lajes lisas, pois possuem os capitéis, 
com a função de reforçar a região de ligação entre lajes e pilares por meio de 
um “engrossamento” da laje nessa região. Esse engrossamento é o responsável 
por conferir uma capacidade maior de suporte quanto a esforços de 
puncionamento que ocorrem nesse tipo de laje.
7Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Tipos de lajes
28/03/2024
8Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Tipos de lajes
28/03/2024
1. Lajes em concreto armado
✓ Lajes nervuradas: são lajes que possuem diversas nervuras em sua 
composição (lajes colmeia). Esse tipo de laje é recomendado para onde há 
necessidade de se vencerem grandes vãos com poucos apoios. É um tipo de 
laje bastante utilizado para edifício comerciais, onde a eliminação de apoios 
proporciona maior liberdade para os ambientes.
9Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Tipos de lajes
28/03/2024
1. Lajes em concreto armado
✓ Lajes treliçadas: são lajes usuais em edificações de menores portes, como 
residências e pequenos comércios. Nesse tipo de laje, são adotados alguns 
elementos de enchimento, como as lajotas cerâmicas ou blocos de isopor, com 
a finalidade de se reduzir peso próprio. Seu funcionamento se dá pelas 
treliças que funcionam como nervuras resistentes e que estão apoiadas em 
uma única direção.
10Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Tipos de lajes
28/03/2024
2. Lajes mistas: Também existem as lajes de aço e concreto (chamadas de lajes 
com forma de aço incorporada). Para esse tipo de laje, na fase inicial, antes de o 
concreto atingir 75% da resistência à compressão especificada, a forma de aço 
suporta isoladamente as ações permanentes e a sobrecarga de construção. 
- Nessas lajes mistas, não há armaduras introduzidas ao concreto, mas sim as 
próprias formas metálicas são responsáveis por resistirem aos esforços de 
tração que atuam nas lajes.
Armadura em tela soldada: para 
combate aos efeitos de retração e 
temperatura.
11Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Classificação das lajes
28/03/2024
• As lajes maciças podem ser classificadas 
de acordo com a direção ou direções da 
armadura principal.
• Existem dois casos: laje armada em uma 
direção ou laje armada em duas direções. 
onde λ é a relação dos lados da laje, ly é o maior vão da laje e lx é o menor vão 
da laje. 
Para λ > 2: laje armada em uma direção. .
Para λ ≤ 2 laje armada em duas direções.
12Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Vão efetivo
28/03/2024
• Segundo a ABNT NBR 6118 - 14.6.2.4, quando os apoios puderem ser 
considerados suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo 
deve ser calculado pela seguinte expressão: 
onde:
lef: vão efetivo da laje
lo: distância entre as faces de dois apoios (vigas) consecutivos
t: comprimento do apoio paralelo ao vão da laje analisada
h: espessura da laje
13Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Condições de contorno
28/03/2024
• Em resumo, podemos considerar três 
vinculações possíveis: 
✓ borda engastada: sem translações e rotação 
na extremidade;
✓ bordas simplesmente apoiada: sem 
translações, livre à rotação na extremidade;
✓ borda livre: nenhuma restrição de 
deslocamento na extremidade.
14Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Condições de contorno
28/03/2024
✓ bordas simplesmente apoiada: sem translações, livre à rotação na 
extremidade;
No caso de vigas de concreto de dimensões correntes, a rigidez da viga à torção 
é pequena, de modo que a viga gira e deforma-se, acompanhando as pequenas 
rotações da laje,.
15Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Condições de contorno
28/03/2024
✓ borda engastada: sem translações e rotação na extremidade;
O engaste perfeito surge no caso de lajes em balanço, como marquises, 
varandas, etc.. É considerado também nas bordas onde há continuidade entre 
duas lajes vizinhas.
16Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Condições de contorno
28/03/2024
• Quando sobre um apoio comum, duas lajes contínuas apresentarem diferentes 
dimensões, considera-se o engaste no vão maior se o apoio for igual ou 
superior a 2/3 do vão maior (Ver figura).
• Deve ser observado na figura que a laje L1 deverá sempre ser considerada como 
engastada na direção da laje L2. 
17Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Condições de contorno
28/03/2024
• Quando duas lajes contínuas têm espessuras muito diferentes, pode ser mais 
adequado considerar a laje de menor espessura (L2) engastada na de maior 
espessura (L1), e a laje com maior espessura apenas apoiada na borda 
comum as duas lajes.
18Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Condições de contorno
28/03/2024
• Engaste elástico: No caso de apoios intermediários de lajes contínuas 
surgem momentos fletores negativos devido à continuidade das lajes. A 
ponderação feita entre os diferentes valores dos momentos fletores que surgem 
nesses apoios conduz ao engastamento elástico. 
• No entanto, para efeito de cálculo inicial dos momentos fletores ML1 e ML2 , as 
lajes que apresentam continuidade devem ser consideradas perfeitamente 
engastadas nos apoios intermediários.
19Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Condições de contorno
28/03/2024
• Tipos de lajes: Em função das várias combinações possíveis de vínculos nas 
quatro bordas das lajes retangulares, as lajes recebem uma numeração, de 
modo a diferenciar as combinações de vínculos (Tabelas de Barés).
20Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Condições de contorno
28/03/2024
• Tipos de lajes:
21Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Ações a considerar
28/03/2024
• Nas lajes de edificações correntes geralmente as ações principais a serem 
consideradas são as ações permanentes (g) e as cargas variáveis (q).
✓ Ações permanentes diretas:
a) Peso próprio
gpp = peso próprio da laje (kN/m²); 
h = altura da laje (m). 
22Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Ações a considerar
28/03/2024
✓ Ações permanentes diretas:
b) Contrapiso
gcontr = carga permanente do contrapiso (kN/m²); 
e = espessura do contrapiso(m). 
e
23Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Ações a considerar
28/03/2024
✓ Ações permanentes diretas:
c) Revestimento Inferior da Laje 
grev.inf = carga permanente do revestimento inferior (kN/m²); 
e = espessura do revestimento (m). 
Na superfície inferior das lajes é padrão executar uma camada de revestimento de 
argamassa, sobreposta à camada fina de chapisco. Para essa argamassa, pode-se 
considerar o peso específico de 19 kN/m³, conforme a NBR 6120 (Tabela 1 do item 
5.3). De modo geral, recomenda-se adotar espessura não inferior a 1,5 ou 2 cm.
24Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Ações a considerar
28/03/2024
✓ Ações permanentes diretas:
d) Piso
O piso é o revestimento final na superfície superior da laje, assentado sobre a 
argamassa de regularização. A Tabela 1 da NBR 6120 fornece os pesos específicos 
de diversos materiais, valores estes que auxiliam no cálculo da carga de piso por 
metro quadrado de área de laje. 
25Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Ações a considerar
28/03/2024
✓ Ações permanentes diretas:
e) Paredes
• Método Básico
- O peso das paredes depende do tipo de tijolo e da 
espessura do reboco. 
- O peso de uma parede rebocada em ambas as faces 
pode ser representado por:
𝑃𝑝𝑎𝑟 = (𝛾𝑡𝑖𝑗𝑒𝑡𝑖𝑗 + 2𝛾𝑟𝑒𝑏𝑒𝑟𝑒𝑏). 𝑙𝑝𝑎𝑟 . ℎ𝑝𝑎𝑟
26Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Ações a considerar
28/03/2024
✓ Ações permanentes diretas:
e) Paredes
• Método da NBR 6120:2019 (Item 5.4)
- A Tabela 2 da NBR 6120 (item 5.4) fornece o peso específico de paredes de 
alvenaria estrutural e de vedação com alguns tipos de unidade e em função da 
espessura do revestimento das faces. 
Parte da Tabela 2 – NBR 6120:2019
27Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Ações a considerar
28/03/2024
- Exemplo: Determinar a carga de alvenaria de vedação constituída por bloco 
cerâmico vazado de 14 cm, com 2 cm de revestimento por face, e altura de 2,60 
m.
Parte da Tabela 2 – NBR 6120:2019
𝐶𝐴 = 𝑃𝑒𝑟𝑓 × 𝐻𝑎𝑙𝑣
𝐶𝐴 = 1,9 × 2,6 = 4,94 𝑘𝑁/𝑚
𝑃𝑒𝑟𝑓: Peso – espessura de revestimento por face
𝐻𝑎𝑙𝑣: Altura da alvenaria
28Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Ações a considerar
28/03/2024
- As cargas de paredes apoiadas em lajes de 
dupla curvatura podem ser consideradas como 
equivalentes a uma carga uniformemente 
distribuída em toda esta laje;
- Considera-se o peso total da parede e divide-se 
este valor pela área total da laje:
𝑙𝑦
𝑙𝑥
≤ 2
✓ Ações permanentes diretas:
e) Paredes
- Cargas de paredes em lajes de dupla curvatura
29Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Ações a considerar
28/03/2024
- As cargas de paredes apoiadas em lajes de uma 
só curvatura se situam em duas condições:
✓ paredes paralelas ao lado maior da laje; e
✓ paredes paralelas ao lado menor da laje.
- A carga de parede paralela ao lado maior é 
considerada como uma carga linear 
uniformemente distribuída ao longo de sua 
largura, cujo valor é dado por:
𝑙𝑦
𝑙𝑥
> 2
✓ Ações permanentes diretas:
e) Paredes
- Cargas de paredes em lajes de uma só curvatura
30Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Ações a considerar
28/03/2024
- A carga de parede paralela ao lado menor é 
considerada como uma carga uniformemente 
distribuída na área de dimensões lx por 2/3 lx 
cujo valor é dado por:
𝑙𝑦
𝑙𝑥
> 2
✓ Ações permanentes diretas:
e) Paredes
- Cargas de paredes em lajes de uma só curvatura
31Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
A figura apresenta um trecho de uma planta 
residencial, com destaque ao dormitório dessa 
residência, onde serão calculadas as cargas da 
laje (quadrada) dessa estrutura.
Será considerado para composição dos 
carregamentos:
-laje maciça em concreto armado com espessura 
de 11 cm;
-contrapiso sobre a laje realizado em argamassa 
de cimento e areia com espessura de 5 cm;
-sobre o contrapiso será assentado piso do tipo 
granito. A espessura da pedra granito usada como 
revestimento será de 2,5 cm;
-alvenaria sobre a laje realizada em bloco 
cerâmico vazado, com espessura de 14 cm e pé-
direito de 2,60 m;
-uso do ambiente: dormitório residencial.
32Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
• Cargas permanentes (g)
a) Peso próprio da laje:
b) Contrapiso:
c) Revestimento:
d) Alvenaria:
𝑔𝑎𝑙𝑣 =
𝛾𝑎𝑙𝑣 ∙ 𝑏𝑎𝑙𝑣. ∙ ℎ𝑎𝑙𝑣 ∙ 𝑙𝑎𝑙𝑣
Á𝑟𝑒𝑎𝑙𝑎𝑗𝑒
=
14 ∙ 0,14 ∙ 2,60 ∙ 1,15
3,905 ∙ 3,905
= 0,384 𝑘𝑁/𝑚²
Laje armada em duas direções: 
𝑙𝑦
𝑙𝑥
= 1 ≤ 2 
* Para pesos específicos, consultar tabela completa NBR 6120
33Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
• Cargas permanentes (g)
• Cargas acidentais (q)
Para o exemplo, as cargas acidentais atuantes são 
as provenientes do uso da edificação (ver tabela – 
sobrecarga).
q = 1,5 kN/m² (dormitório).
• Carga total na laje (p)
34Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
Determinar a carga das paredes atuantes na laje abaixo representada. A altura das 
paredes corresponde a 2,7 m e são constituídas de bloco cerâmico vazado de 9 cm, 
reboco de argamassa de cimento e areia com 1,5 cm em cada face. 
𝑝𝑝𝑎𝑟 = 14 × 0,09 + 2 × 21 × 0,015 = 1,9 𝑘𝑁/𝑚²
35Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
Determinar a carga das paredes atuantes nas lajes abaixo representadas. A altura 
das paredes corresponde a 2,7 m e são constituídas de bloco cerâmico vazado de 
11,5 cm, reboco de argamassa de cimento e areia com 1,5 cm em cada face.
36Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
Determinar a carga das paredes atuantes nas lajes abaixo representadas. A altura 
das paredes corresponde a 2,7 m e são constituídas de bloco cerâmico vazado de 
11,5 cm, reboco de argamassa de cimento e areia com 1,5 cm em cada face.
𝑝𝑝𝑎𝑟 = 14 × 0,115 + 2 × 21 × 0,015 = 2,24 𝑘𝑁/𝑚²
37Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
Determinar a carga das paredes atuantes nas lajes abaixo representadas. A altura 
das paredes corresponde a 2,7 m e são constituídas de bloco cerâmico vazado de 
11,5 cm, reboco de argamassa de cimento e areia com 1,5 cm em cada face.
38Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
Determinar a carga das paredes atuantes nas lajes abaixo representadas. A altura 
das paredes corresponde a 2,7 m e são constituídas de bloco cerâmico vazado de 
11,5 cm, reboco de argamassa de cimento e areia com 1,5 cm em cada face.
39Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Ações a considerar
28/03/2024
✓ Ações variáveis
Tabela 10 – NBR 6120
40Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Estimativa da altura
28/03/2024
• Para a definição da espessura da laje, é usual partir de um pré-
dimensionamento, isso é, estimar essa espessura da laje em função do vão. 
• Para o dimensionamento da laje, de posse dos esforços nela atuante, faz-se 
necessário a estimativa da sua altura. Existem vários e diferentes processos 
para essa estimativa.
𝛼: 2,4 para lajes em balanço
𝛼: 0,8 para lajes cm borda do vão menor engastada
𝛼: 1,0 para demais casos
𝑙𝑥: vão menor
ℎ ≥
𝛼 𝑙𝑥
30
41Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Estimativa da altura
28/03/2024
sendo
d: altura útil da laje, em cm
n: número de bordas engastadas
l*: o menor valor entre o vão efetivo (em metros)
• Com a altura útil d e supondo armadura em apenas uma camada, a altura h é:
• A altura útil d deve ser recalculada em função da altura h escolhida
lx
0,7ly
Com lx ≤ ly
Aproximar para o número inteiro mais próximo
𝜙𝑙 = 10 𝑚𝑚 (𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙)
42Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Cobrimento mínimo
28/03/2024
• A durabilidade das obras de concreto armado está diretamente relacionada com 
a proteção da armadura pelo cobrimento do concreto. 
• O cobrimento mínimo das armaduras deve ser observado conforme o prescrito 
na NBR 6118:2023, no item 7.4.7. Na figura ilustra-se cobrimento em lajes.
43Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Cobrimento mínimo
28/03/2024
• Na Tabela, visualiza-se as quatro classes de agressividadedos ambientes 
construídos relacionadas com o risco de deterioração.
44Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Cobrimento mínimo
28/03/2024
• Na Tabela, têm-se os cobrimentos nominais mínimos. 
Tabela 7.2 – NBR 6118
45Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Espessura mínima
28/03/2024
• Nas lajes maciças devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para a 
espessura h (item 13.2.4.1 – NBR 6118):
✓7 cm para lajes de cobertura não em balanço;
✓8 cm para lajes de piso não em balanço;
✓10 cm para lajes em balanço;
✓10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;
✓12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN.
✓15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, (l/42) para lajes de piso 
biapoiadas (l/50) para lajes de piso contínuas;
✓16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo, fora do capitel.
46Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Laje armada em uma direção
28/03/2024
• No caso de laje armada em uma direção considera-se simplificadamente que a 
flexão na direção do menor vão da laje é preponderante, de modo que a laje 
é suposta como uma viga com largura de um metro (100 cm), segundo a 
direção principal da laje.
𝑙𝑦
𝑙𝑥
> 2𝑙𝑥
𝑙𝑦
47Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Laje armada em uma direção
28/03/2024
• Para as diferentes condições de contorno, tem-se:
𝑙𝑥 𝑙𝑥 𝑙𝑥
𝑙𝑦
48Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Laje armada em uma direção
28/03/2024
Tipo de laje Reações e momentos Flecha imediata máxima
Apoiada-apoiada
𝑅 = 0,5𝑝𝑙𝑥
𝑎𝑖 =
5
384
𝑝𝑙𝑥
4
𝐸𝐼𝑅 = 0,5𝑝𝑙𝑥
Apoiada - engastada
𝑅𝐴 = 0,375𝑝𝑙𝑥
𝑎𝑖 =
1
185
𝑝𝑙𝑥
4
𝐸𝐼
𝑅𝐸 = 0,625𝑝𝑙𝑥
𝑀 = Τ𝑝𝑙𝑥
2 14,22
𝑋 = Τ𝑝𝑙𝑥
2 8
Engastada-engastada
𝑅 = 0,5𝑝𝑙𝑥
𝑎𝑖 =
1
384
𝑝𝑙𝑥
4
𝐸𝐼𝑀 = Τ𝑝𝑙𝑥
2 24
𝑋 = Τ𝑝𝑙𝑥
2 12
• Reações e momentos para laje armada em uma direção
49Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Laje armada em uma direção
28/03/2024
• Reações e momentos para laje armada em uma direção
✓ Lajes em balanço
𝑀
𝑅
𝑙𝑥
𝑙𝑦
𝑙𝑥
𝑀 =
𝑝𝑙𝑥
2
2
𝑅 = 𝑝𝑙𝑥
𝑝
50Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Laje armada em duas direções
28/03/2024
• Quando a relação entre os lados de uma laje retangular é menor ou igual a 2, 
considera-se a mesma armada em duas direções ou em cruz.
• Os tipos possíveis de lajes retangulares estão mostrados nas Tabelas 
desenvolvidas por Bares e adaptadas por PINHEIRO (1994).
51Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Laje armada em duas direções
28/03/2024
• Sob a ação de uma carga P a laje apoia-se nas bordas e os cantos, quando não 
restringidos, levantam-se do apoio, como mostrado na figura. 
Laje retangular com bordas simplesmente apoiadas nos quatro lados sob ação de força 
concentrada com e sem ancoragem de canto (Leonhardt e Mönnig, 1982). 
52Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Laje armada em duas direções
28/03/2024
• Momentos fletores
- Conforme as tabelas de Bares, os momentos fletores, negativos ou positivos, são 
calculados com a expressão:
𝑀 = momento fletor (kN.m/m); 
𝜇 = coeficiente tabelado, de acordo com cada tipo de laje e em função Τ𝜆 = 𝑙𝑦 𝑙𝑥, sendo: 
𝜇𝑥 e 𝜇𝑦 = coeficientes para cálculo dos momentos fletores positivos atuantes nas direções 
paralelas a 𝑙𝑥e 𝑙𝑦, respectivamente; 
𝜇′𝑥 e 𝜇′𝑦 = coeficientes para cálculo dos momentos fletores negativos atuantes nas bordas 
perpendiculares às direções 𝑙𝑥e 𝑙𝑦, respectivamente; 
𝑝 = valor da carga uniforme ou triangular atuante na laje (kN/m²); 
𝑙𝑥 = menor vão da laje (m). 
53Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Laje armada em duas direções
28/03/2024
• Reações de apoio
a) as reações em cada apoio são as correspondentes às cargas atuantes nos 
triângulos ou trapézios determinados através das charneiras plásticas 
correspondentes à análise efetivada com os critérios de 14.7.4, sendo que essas 
reações podem ser, de maneira aproximada, consideradas uniformemente 
distribuídas sobre os elementos estruturais que lhes servem de apoio;
54Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Laje armada em duas direções
28/03/2024
• Reações de apoio
b) quando a análise plástica não for efetuada, as charneiras podem ser 
aproximadas por retas inclinadas, a partir dos vértices com os seguintes ângulos:
✓ 45° entre dois apoios do mesmo tipo;
✓ 60° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado 
simplesmente apoiado;
✓ 90° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre”.
55Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Lajes contínuas
28/03/2024
• Compatibilização de momentos fletores
- Este é o item 14.7.6.2 da NBR-6118:2023, que trata da compensação de 
negativos entre lajes continuas.
- Quando houver predominância de cargas permanentes, as lajes vizinhas podem 
ser consideradas como isoladas, realizando-se compatibilização dos momentos 
sobre os apoios de forma aproximada. 
56Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Lajes contínuas
28/03/2024
• Compatibilização de momentos fletores
Deve-se considerar o maior valor entre:
 0,8 Xmax
XFinal ≥
 Xmed = (XL1 + XL2) /2
= (𝐗𝐋𝟐−𝐗𝐟𝐢𝐧𝐚𝐥)/𝟐
= (𝐗𝐋𝟏−𝐗𝐟𝐢𝐧𝐚𝐥)/𝟐 Alívio: Desprezado
57Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Lajes contínuas
28/03/2024
• Compatibilização de momentos fletores
58Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Lajes contínuas
28/03/2024
• Compatibilização de momentos fletores
59Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Laje armada em duas direções
28/03/2024
• Reações de apoio
- Pelas tabelas de Bares (ver Tabelas A-5 a A-7 no drive), que apresentam 
coeficientes que auxiliam o cálculo das reações de apoio para lajes armadas em 
duas direções, com carregamento uniformemente distribuído, pode-se determinar as 
reações de apoio por meio da expressão:
V = reação de apoio (kN/m); 
𝜈 = coeficiente tabelado em função de Τ𝜆 = 𝑙𝑦 𝑙𝑥 
𝜈𝑥 = reação na borda simplesmente apoiada perpendicular à direção de 𝑙𝑥; 
𝜈𝑦 = reação na borda simplesmente apoiada perpendicular à direção de 𝑙𝑦; 
𝜈′𝑥 = reação na borda engastada perpendicular à direção de 𝑙𝑥; 
𝜈′𝑦 = reação na borda engastada perpendicular à direção de 𝑙𝑦 ; 
𝑝 = valor da carga uniforme atuante na laje (kN/m²); 
𝑙𝑥 = menor vão da laje (m). 
60Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
Considerando a laje da figura, calcular os esforços solicitantes. Dado: F = 6,0 kN/m2 
(carga total uniformemente distribuída na área).
Tabelas – Apostila 
prof. Paulo Bastos
61Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
Para a forma ao lado de uma 
edificação residencial pede-se:
a) Calcular as reações de apoio 
e os momentos fletores no 
regime elástico das lajes, 
indicando-os em planta;
b) Realizar a compatibilização de 
momentos fletores, indicando-
os em planta.
DADOS: 
Revestimento = 1 kN/m² 
Sobrecarga = 2 kN/m²
62Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Cálculo da flecha em lajes retangulares
28/03/2024
- O cálculo da flecha em lajes retangulares deve naturalmente obedecer ao estado 
limite de serviço – ELS, nesse caso denominado ELS-DEF, ou seja, de 
deformações excessivas;
63Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Cálculo da flecha em lajes retangulares
28/03/2024
• Momento fletor de fissuração 
- Segundo a NBR 6118, “Nos estados-limites de serviço as estruturas trabalham 
parcialmente no estádio I e parcialmente no estádio II. A separação entre esses 
dois comportamentos é definida pelo momento de fissuração. 
onde:
α é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com 
a resistência à tração direta;
yt é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada;
Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto;
fct é a resistência à tração direta do concreto
α = 1,2 para seções T ou duplo T;
α = 1,3 para seções I ou T invertido;
α = 1,5 para seções retangulares;
64Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Cálculoda flecha em lajes retangulares
28/03/2024
• Momento de fissuração
- Na falta de ensaios, o valor médio da resistência à tração direta (fct,m) pode ser 
avaliado em função da resistência característica do concreto à compressão (fck), 
por meio das expressões (NBR 6118, item 8.2.5):
a) para concretos com fck ≤ 50 MPa
com:
b) para concretos com fck > 50 MPa
fck e fctk,m: em MPa
Sendo fckj ≥ 7 MPa 
65Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Cálculo da flecha em lajes retangulares
28/03/2024
• Estádio
- Se Mserv < Mr → Laje estará trabalhando no Estádio I (concreto trabalhando 
simultaneamente à tração e compressão – concreto não fissurado). As 
deformações podem ser determinadas com o momento de inércia da seção 
bruta de concreto.
- Se Mserv > Mr → a laje estará trabalhando no Estádio II (concreto trabalhando à 
compressão no regime elástico enquanto as tensões de tração são desprezadas 
– concreto fissurado). Neste caso deve-se considerar o módulo de elasticidade 
secante (Ecs) e a posição da linha neutra deve ser calculada no Estádio II.
66Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Cálculo da flecha imediata em lajes retangulares
28/03/2024
• A flecha imediata é aquela que ocorre quando é aplicado um primeiro 
carregamento importante na peça, e não leva em conta os efeitos da fluência. 
• A NBR 6118 (item 17.3.2.1.1) prescreve que “Para uma avaliação aproximada da 
flecha imediata em vigas, pode-se utilizar a expressão de rigidez equivalente”.
67Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Cálculo da flecha imediata em lajes retangulares
28/03/2024
• Rigidez equivalente
onde:
Ecs é o módulo de elasticidade secante do concreto;
Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto (Ic = bh³/12);
III é o momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II, calculada 
com a relação entre os módulos (𝜶𝒆 = Es / Ecs);
Ma é o momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo no 
vão para lajes biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para lajes em balanço, 
para a combinação de ações considerada nessa avaliação;
Mr é o momento de fissuração do elemento estrutural, cujo valor deve ser reduzido à 
metade no caso de utilização de barras lisas;
68Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Cálculo da flecha imediata em lajes retangulares
28/03/2024
• O módulo secante pode ser estimado pela expressão:
• Na falta de ensaios, o módulo de elasticidade tangente inicial aos 28 dias 
pode ser dado por:
Para concreto de classe até C50 Para concreto de classe maior que C50
sendo
𝜶𝑬 = 1,2 para basalto e diabásio
𝜶𝑬 = 1,0 para granito e gnaisse
𝜶𝑬 = 0,9 para calcário
𝜶𝑬 = 0,7 para arenito
onde
Eci e fck são dados em megapascal (MPa).
69Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Cálculo da flecha imediata em lajes retangulares
28/03/2024
• Para cálculo do momento fletor Ma deve ser considerada a combinação rara.
𝐹𝑑,𝑠𝑒𝑟 = ෍ 𝐹𝑔𝑖𝑘 + 𝐹𝑞1𝑘 + ෍ 𝜓1𝑗𝐹𝑞𝑗𝑘
𝐹𝑔𝑘 = ações permanentes características; 
𝜓1 = fator de redução de combinação frequente para ELS (ver Tabela 11.2 da NBR 
6118); 
𝐹𝑞1𝑘 = ação variável principal direta característica; 
𝐹𝑞𝑗𝑘 = demais ações variáveis características. 
70Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Cálculo da flecha imediata em lajes retangulares
28/03/2024
• Para o cálculo do momento de inércia no Estádio II é necessário conhecer a 
posição da linha neutra neste Estádio. Como a linha neutra passa pelo centro de 
gravidade da seção homogeneizada, xII tem a equação:
se A’s = 0 a equação torna-se: 
com b = 1 m = 100 cm no caso das lajes maciças 
71Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Cálculo da flecha imediata em lajes retangulares
28/03/2024
• O momento de inércia no Estádio II será:
se A’s = 0 a equação torna-se: 
72Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Cálculo da flecha diferida no tempo
28/03/2024
• A flecha diferida no tempo é aquela que leva em conta o fato do carregamento 
atuar na estrutura ao longo do tempo, causando a sua deformação lenta ou 
fluência. 
• Pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata 
pelo fator f:
A’s = área da armadura comprimida, se existir; 
b = largura da seção transversal; 
d = altura útil; 
 = coeficiente função do tempo
73Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Cálculo da flecha diferida no tempo
28/03/2024
• Coeficiente função do tempo 
- Pode ser calculado pelas expressões: 
t = tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida; 
t0= idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração, considerando-
se como t = 0 o momento da concretagem. No caso de parcelas da carga de longa duração 
serem aplicadas em idades diferentes, pode-se tomar para t0 o valor ponderado a seguir: 
Pi = parcelas de carga; 
t0i = idade em que se aplicou cada parcela Pi , em meses. 
O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por (1 + f).
74Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Cálculo da flecha diferida no tempo
28/03/2024
• Coeficiente função do tempo 
- Pode ser obtido diretamente na Tabela 17.1 (NBR6118)
75Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Flecha imediata em lajes armadas em duas direções
28/03/2024
• Para as lajes armadas em duas direções a flecha imediata pode ser calculada 
com auxílio dos coeficientes constantes das Tabelas A-1 a A-4, para 
carregamentos uniformes e triangulares. 
ai = flecha imediata; 
p = valor do carregamento na laje considerando a combinação quase permanente; 
𝑙𝑥 = menor vão; 
b = largura unitária da laje; 
𝛼 = coeficiente tabelado em função de 𝜆 ou 𝛾 (ver Tabelas A-1 a A-4); 
EI = rigidez da laje à flexão
𝐹𝑑,𝑠𝑒𝑟 = ෍ 𝐹𝑔𝑖𝑘 + ෍ 𝜓2𝑗𝐹𝑞𝑗𝑘
𝜓2 = fator de redução de combinação quase permanente para ELS (ver Tabela 11.2 da 
NBR 6118); 
76Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Flechas Máximas Admitidas
28/03/2024
77Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Flechas Máximas Admitidas
28/03/2024
78Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Flechas Máximas Admitidas
28/03/2024
79Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
Para a forma ao lado de uma 
edificação residencial pede-se:
a) Calcular a flecha final nas lajes 
L1 e L2;
DADOS: 
Revestimento = 1 kN/m² 
Sobrecarga = 2 kN/m²
fck = 20 MPa
Brita Gnaisse
80Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Dimensionamento da armadura longitudinal
28/03/2024
• Conhecidos os esforços solicitantes → cálculo da armadura da laje. Para isso, 
utilizam-se os coeficientes tabelados “tipo K”, onde o coeficiente Kc (relativo à 
resistência do concreto) é obtido pela equação:
onde o bw é a largura da laje, d é a altura útil do elemento e Md é momento fletor de 
cálculo (já majorado). 
• Para as lajes, bw é assumido como 100 (constante), pois se assume que, para as 
lajes, sempre o cálculo é realizado para uma faixa de 100 cm (1,0 m) de largura 
de laje.
81Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Dimensionamento da armadura longitudinal
28/03/2024
• No dimensionamento das lajes em balanço, os esforços solicitantes de cálculo a 
serem considerados devem ser multiplicados por um coeficiente adicional n , de 
acordo com o indicado na Tabela 13.2.”.
82Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Dimensionamento da armadura longitudinal
28/03/2024
• Após o cálculo do coeficiente Kc, deve-se verificar o limite para redistribuição dos 
esforços e condições de ductilidade (item 14.6.4.3 da NBR 6118). 
• Para proporcionar o adequado comportamento dúctil em vigas e lajes, o 
coeficiente βx no ELU deve obedecer aos seguintes limites:
✓βx = x/d  0,45 para concretos com fck  50 Mpa
✓βx = x/d  0,35 para concretos com 50 < fck ≤ 90 MPa.
onde x é a posição da Linha Neutra e d é a altura útil das lajes.
• Esse coeficiente está relacionado com a posição da Linha Neutra (LN) no 
elemento estrutural.
• Após essa verificação, determina-se o coeficiente tabelado Ks por meio de 
tabelas previamente produzidas (Tabela – Valores K). Deve-seconhecer 
previamente Kc.
83Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Dimensionamento da armadura longitudinal
28/03/2024
Tabela A-25 - Valores de Kc e Ks para o aço CA-50
84Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Dimensionamento da armadura longitudinal
28/03/2024
85Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Dimensionamento da armadura longitudinal
28/03/2024
• Logo após determinação de ks, calcula-se a armadura necessária, para 1m de 
laje:
86Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Dimensionamento da armadura longitudinal
28/03/2024
• De posse do valor de As, finaliza-se o dimensionamento consultando na Tabela a 
seguir o diâmetro das barras e seu espaçamento.
87Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Dimensionamento da armadura longitudinal
28/03/2024
• Armadura mínima
- Após o cálculo da armadura, deve-se verificar a quantidade mínima de armadura 
a ser adicionada nas lajes de concreto armado. Essa armadura mínima, definida 
no item 19.3.3.2 da NBR 6.118 (ABNT, 2014), deve atender à Equação a seguir: 
onde 𝒃𝒘 é a largura da faixa de cálculo das lajes (100 cm), 𝒉 é a altura total da laje 
e 𝝆𝒔 é a taxa de armadura mínima.
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 𝜌𝑠 ∙ 𝑏𝑤 ∙ ℎ
88Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Dimensionamento da armadura longitudinal
28/03/2024
• Armadura mínima
Valores mínimos para armaduras passivas aderentes (Tabela 19.1 da NBR 6118). 
89Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Dimensionamento da armadura longitudinal
28/03/2024
• Armadura mínima
Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas com seção transversal retangular. (Tabela 
17.3 da NBR 6118). 
90Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Dimensionamento da armadura longitudinal
28/03/2024
• Armadura máxima
- Sobre a armadura máxima, a NBR 6118 (17.3.5.2.4) diz que “A soma das 
armaduras de tração e de compressão (As + A’s) não pode ter valor maior que 4 
% Ac , calculada na região fora da zona de emendas, devendo ser garantidas as 
condições de ductilidade requeridas em 14.6.4.3.” 
91Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Detalhamento da armadura longitudinal
28/03/2024
• Além da verificação da armadura mínima e máxima, outros itens normativos 
devem ser observados no detalhamento das armaduras de uma laje:
• Diâmetro máximo da bitola de aço a ser adotada, conforme indicado no item 
20.1 da NBR 6.118:
• Espaçamentos das barras: para as barras de 
armadura principal de flexão, deve-se adotar 
como espaçamento (s) máximo entre barras o 
valor de 20 cm ou duas vezes a espessura da 
laje (o que for menor). 
Para barras com diâmetro maior ou igual a 20 mm, o 
espaçamento máximo pode ser igual a 15 vezes o 
diâmetro das barras.” 
92Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Detalhamento da armadura longitudinal
28/03/2024
• A armadura secundária de flexão deve corresponder à porcentagem de 
armadura igual ou superior a 20% da percentagem da armadura principal (Ver 
Tabela 19.1);
• Para as barras da armadura secundária, o espaçamento (s) máximo não deve 
superar 33 cm entre barras.
• A emenda dessas barras deve respeitar os mesmos critérios de emenda das 
barras da armadura principal.
Armadura secundária (ou de distribuição): 
serve para distribuir as tensões que surgem de 
cargas concentradas e também para controlar a 
fissuração.
93Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Detalhamento da armadura longitudinal
28/03/2024
• A norma não especifica valores para o espaçamento mínimo. A rigor, pode-se 
adotar o valor recomendado para as barras de uma mesma camada horizontal 
das armaduras longitudinais das vigas:
• O espaçamento mínimo deve ser aquele que não 
dificulte a disposição e amarração das barras da 
armadura, o completo preenchimento da peça pelo 
concreto e o envolvimento das barras pelo concreto. 
De modo geral, na prática adotam-se espaçamentos 
entre barras superiores a 7 ou 8 cm. 
94Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Detalhamento da armadura longitudinal
28/03/2024
• Armaduras positivas: são aquelas que absorvem os esforços dos momentos 
positivos da laje e, por esse motivo, são posicionadas na face inferior do 
elemento.
95Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Detalhamento da armadura longitudinal
28/03/2024
• Armaduras positivas
- Comprimento das barras: Nas lajes maciças armadas em uma ou duas 
direções, em que seja dispensada armadura transversal de acordo com 19.4.1, 
e quando não houver avaliação explícita dos acréscimos das armaduras 
decorrentes da presença dos momentos volventes nas lajes, toda a armadura 
positiva deve ser levada até os apoios, não se permitindo escalonamento desta 
armadura. A armadura deve ser prolongada no mínimo 4 cm além do eixo 
teórico do apoio.
96Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Detalhamento da armadura longitudinal
28/03/2024
• Armaduras positivas
- No caso de laje com quatro bordas engastadas, onde não ocorrem momentos 
volventes, pode-se fazer o detalhamento das armaduras positivas conforme 
indicado na figura, que é um detalhamento tradicional. Ou como opção e de 
modo a simplificar, estender todas as barras até os apoios.
97Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Detalhamento da armadura longitudinal
28/03/2024
• Armaduras positivas
98Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Detalhamento da armadura longitudinal
28/03/2024
• Armaduras negativas: são as armaduras que combatem os esforços 
provenientes de momento negativo e que são posicionadas na face superior 
das lajes, geralmente posicionadas nas regiões de apoios engastados desses 
elementos (sobre as vigas).
99Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Detalhamento da armadura longitudinal
28/03/2024
• Armaduras negativas
- Comprimento das barras: A NBR 6118 não especifica o comprimento das 
barras da armadura negativa. Por este motivo será adotado o critério 
recomendado na versão da norma NB-1 de 1978.
- É suposto um diagrama triangular para o momento fletor negativo sobre a borda 
comum às duas lajes. O triângulo tem a base com comprimento igual a (2 x 
0,25lx), onde lx é o maior vão entre os vãos menores das duas lajes.
𝑙𝑥1 𝑙𝑥2
𝑙𝑦
100Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Detalhamento da armadura longitudinal
28/03/2024
• Armaduras negativas
- Comprimento das barras
- A armadura negativa deve estender-se o 
comprimento de ancoragem básico (lb) além da 
seção de momento fletor nulo (Ver Tabelas A-27 e 
A-28);
- Nas extremidades, para garantir a perfeita 
ancoragem, as barras deverão ser dobradas com 
um comprimento (lganchos) igual a h – 2c;
- O comprimento de ancoragem deve ser 
considerado com gancho, porque geralmente faz-se 
o gancho nas extremidades das barras;
- O comprimento total para a barra negativa do arranjo 3 é:
Extensão da armadura negativa
101Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Detalhamento da armadura longitudinal
28/03/2024
• Armaduras negativas
- Comprimento das barras
- Quando a laje for em balanço, a armadura negativa deve ter o comprimento no 
mínimo igual a duas vezes o vão do balanço;
- Nas próximas tabelas encontram-se os comprimentos de ancoragem para os 
aços CA-50 e CA-60 em função da resistência do concreto.
102Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Detalhamento da armadura longitudinal
28/03/2024
• Ancoragem
B
it
o
la
s 
A
ço
 C
A
-5
0
Aço CA-50
fy = 500 MPa
No Superior: Má Aderência
No inferior: Boa Aderência
lb sem e com ganchos nas 
extremidades
As,ef: área de armadura efetiva
As,cal: área de armadura calculada
O comprimento de ancoragem deve 
ser maior do que o comprimento 
mínimo (lb,min)
103Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Detalhamento da armadura longitudinal
28/03/2024
• Ancoragem
Aço CA-60
fy = 600 MPa
No Superior: Má Aderência
No inferior: Boa Aderência
lb sem e com ganchos nas 
extremidades
As,ef: área de armadura efetiva
As,cal: área de armadura calculada
O comprimento de ancoragem deve 
ser maior do que o comprimento 
mínimo (lb,min)
B
it
o
la
s 
A
ço
 C
A
-6
0
104Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Detalhamentoda armadura longitudinal
28/03/2024
• Armaduras complementares
a) Lajes apoiadas em uma só direção.
105Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Detalhamento da armadura longitudinal
28/03/2024
• Armaduras complementares
b) Armadura construtiva entre laje e viga de apoio para diminuir as fissuras na 
ligação.
106Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Detalhamento da armadura longitudinal
28/03/2024
• Bordas Livres e Aberturas
- As bordas livres e as faces das lajes 
maciças junto as aberturas devem ser 
adequadamente protegidas por 
armaduras transversais e longitudinais. 
Os detalhes típicos sugeridos para 
armadura complementar mostrados na 
figura. 
107Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Detalhamento da armadura longitudinal
28/03/2024
• Bordas Livres e Aberturas
- Em lajes lisas ou lajes-cogumelo, a verificação de resistência e deformação 
previstas em 13.2.5 deve sempre ser realizada. Lajes de outros tipos podem ser 
dispensadas dessa verificação, quando armadas em duas direções e sendo 
verificadas, simultaneamente, as seguintes condições
a) as dimensões da abertura devem corresponder no máximo a 1/10 do vão menor 
(lx);
b) a distância entre a face de uma abertura e o eixo teórico de apoio da laje deve ser 
igual ou maior que ¼ do vão, na direção considerada; e
c) a distância entre faces de aberturas adjacentes deve ser maior que a metade do 
menor vão.”
108Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Detalhamento da armadura longitudinal
28/03/2024
• Bordas Livres e Aberturas
109Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Tabelas das armaduras
28/03/2024
110Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
Calcular as armaduras (As) e fazer o detalhamento das lajes. Laje maciça em 
concreto armado apoiada sobre vigas.
Aço CA-50.
Concreto C30.
Obra em São Paulo (SP)
Cargas permanentes sobre a laje (peso próprio + acabamentos ): 3,50 kN/m².
Cargas acidentais : uso das lajes Residencial (área de serviço): 2,00 kN/m².
Carga total = 3,50 + 2,00 = 5,50 kN/m².
→ Classe de agressividade II → c = 2,5 cm 
111Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
112Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
• Relação dos lados da laje – classificação:
Laje LM1
𝜆 =
302
210
= 1,44 < 2 (𝐿𝑎𝑗𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒çõ𝑒𝑠)
Laje LM2
𝜆 =
302
140
= 2,16 > 2 (𝐿𝑎𝑗𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜)
Obs.: No cálculo dos vãos foram consideradas as 
distâncias de eixo a eixo entre os apoios.
113Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
- Momento negativo
𝑋 = 10,92 𝑥
5,50 𝑥 2,102
100
= 2,65 𝑘𝑁𝑚
• Esforços
Laje LM1 (Tipo 2B)
- Momentos positivos
𝑀𝑥 = 5,12 𝑥
5,50 𝑥 2,102
100
= 1,24 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑦 = 2,19 𝑥
5,50 𝑥 2,102
100
= 0,53 𝑘𝑁𝑚
𝜇𝑥 = 5,12; 𝜇′𝑥 = 10,92 ; 𝜇𝑦 = 2,19 
114Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
- Momento negativo
𝑋 =
5,50 𝑥 1,42
8
= 1,35 𝑘𝑁𝑚
• Esforços
Laje LM2 (armada em 1 direção)
- Momento positivo
𝑀𝑥 =
5,50 𝑥 1,402
14,22
= 0,76 𝑘𝑁𝑚
Tipo de laje Reações e momentos
Apoiada-apoiada
𝑅 = 0,5𝑝𝑙𝑥
𝑅 = 0,5𝑝𝑙𝑥
Apoiada - engastada
𝑅𝐴 = 0,375𝑝𝑙𝑥
𝑅𝐸 = 0,625𝑝𝑙𝑥
𝑴 = Τ𝒑𝒍𝒙
𝟐 𝟏𝟒, 𝟐𝟐
𝑿 = Τ𝒑𝒍𝒙
𝟐 𝟖
Engastada-engastada
𝑅 = 0,5𝑝𝑙𝑥
𝑀 = Τ𝑝𝑙𝑥
2 24
𝑋 = Τ𝑝𝑙𝑥
2 12
115Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
𝑋𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 ≥ ቐ
0,8 𝑥 2,65 = 𝟐, 𝟏𝟐 𝒌𝑵. 𝒎
2,65 + 1,35
2
= 2 𝑘𝑁. 𝑚
• Compatibilização de momentos
𝑋𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 ≥ ቊ
0,8𝑋𝑚𝑎𝑥
𝑋1 + 𝑋2 /2
116Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
𝑋𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝟐, 𝟏𝟐 𝒌𝑵. 𝒎
• Momentos positivos
𝑀𝑥 (𝐿𝑀1) = 1,24 + 2,65 − 2,12 /2 = 1,51 𝑘𝑁. 𝑚
• Compatibilização de momentos
Alívio → Despreza-se
117Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
• Armação Laje LM1 (armada em 2 direções)
Armadura positiva na direção x
Mx = 1,51 kN.m
h = 9 cm
𝑑 = ℎ – 𝑐 − 𝜙𝑙 
/2 = 9 – 2,5 – 1/2 = 6 𝑐𝑚
𝑀𝑑 = 1,4. 𝑀𝑘 = 1,4 𝑥 1,51 = 2,11 𝑘𝑁. 𝑚 = 211 𝑘𝑁. 𝑐𝑚
𝑘𝑐 =
100. 𝑑2
𝑀𝑑
=
100. 62
211
= 17,06 𝑐𝑚2/𝑘𝑁
 
- Verificar pela tabela de coeficientes tipo K, para concreto C30 qual o coeficiente Ks.
- Para proporcionar um adequado comportamento dúctil nas lajes, o coeficiente βx = 
x/d deve ser menor ou igual a 0,45.
Deve ser usado em kN.cm
118Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
• Armação Laje LM1 (armada em 2 direções)
Armadura positiva na direção x
 
Com kc = 17,06 cm²/kN; Concreto C30 → kc = 17,4 cm²/kN 
Βx = 0,04 < 0,45 ok!
Ks = 0,023 cm²/kN 
119Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
• Armação Laje LM1 (armada em 2 direções)
Armadura positiva na direção x
Ks = 0,023 cm²/kN 
𝐴𝑠 =
𝑘𝑠. 𝑀𝑑
𝑑
=
0,023 ∙ 211
6
= 𝟎, 𝟖𝟏 𝒄𝒎𝟐/𝒎 
Armação positiva na direção y 
𝑀𝑑 = 1,4. 𝑀𝑘 = 1,4 𝑥 0,53 = 0,742 𝑘𝑁. 𝑚 = 74,20 𝑘𝑁. 𝑐𝑚
𝑘𝑐 =
100. 𝑑²
𝑀𝑑
=
100. 6²
74,20
= 48,52 𝑐𝑚2/𝑘𝑁 
Pela tabela de coeficientes tipo K, para concreto C30, temos o coeficiente Kc=34,6 cm²/kN, 
βx = 0,02 e Ks=0,023 cm²/kN.
𝐴𝑠 =
𝑘𝑠.𝑀𝑑
𝑑
=
0,023 . 74,20
6
= 𝟎, 𝟐𝟖 𝒄𝒎𝟐/𝒎 
120Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
• Armação Laje LM2 (armada em 1 direção)
Armadura positiva na direção x
𝑀𝑑 = 1,4. 𝑀𝑘 = 1,4 𝑥 0,76 = 1,064 𝑘𝑁. 𝑚 = 106,40 𝑘𝑁. 𝑐𝑚
𝑘𝑐 =
100. 𝑑²
𝑀𝑑
=
100. 6²
106,40
= 33,83 𝑐𝑚2/𝑘𝑁 
Pela tabela de coeficientes tipo K, para concreto C30, temos o coeficiente Kc=34,6 cm²/kN, 
βx = 0,02 e Ks=0,023 cm²/kN.
𝐴𝑠 =
𝑘𝑠. 𝑀𝑑
𝑑
=
0,023. 106,40
6
= 𝟎, 𝟒𝟏 𝒄𝒎𝟐/𝒎 
121Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
• Armação Laje LM1 e LM2
Armadura negativa na direção x
𝑀𝑑 = 1,4. 𝑀𝑘 = 1,4 𝑥 2,12 = 2,97 𝑘𝑁. 𝑚 = 297 𝑘𝑁. 𝑐𝑚
𝑘𝑐 =
100. 𝑑²
𝑀𝑑
=
100. 6²
297
= 12,12 𝑐𝑚2/𝑘𝑁 
Pela tabela de coeficientes tipo K, para concreto C30, temos o coeficiente Kc=11,7 cm²/kN, 
βx = 0,06 e Ks=0,024 cm²/kN.
𝐴𝑠 =
𝑘𝑠. 𝑀𝑑
𝑑
=
0,024. 297
6
= 𝟏, 𝟏𝟗 𝒄𝒎𝟐/𝒎 
122Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
• Verificação da armadura mínima
Para concreto C30: ρmin = 0,150 % (tabela 17.3 NBR 6123)
Armaduras positivas para Laje armada em duas direções (ρs ≥ 0,67.ρmin): Laje LM1
𝐴𝑠
𝑚𝑖𝑛
= 0,67 ∙
0,150
100
∙ 100 ∙ 9 = 0,90 𝑐𝑚2/𝑚 
Armaduras positivas para Laje armada em uma direção e Armadura negativa (ρs ≥ 
ρmin): Laje LM2 
𝐴𝑠
𝑚𝑖𝑛
=
0,150
100
∙ 100 ∙ 9 = 1,35 𝑐𝑚2/𝑚 
Todas as áreas de aço calculadas que resultaram em valores menores que 𝐴𝑠
𝑚𝑖𝑛 
devem ser 
adotadas como sendo 𝐴𝑠
𝑚𝑖𝑛
.
123Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
• Armação positiva (secundária) na direção y – Laje LM2
- 𝐴𝑠 ≥ 0,20 ∙ 1,35 𝑐𝑚²/𝑚 = 0,27 𝑐𝑚²/𝑚
-𝐴𝑠 ≥ 𝟎, 𝟗 𝒄𝒎²/𝒎
- (𝜌𝑠 ≥ 0,5𝜌min) 
𝐴𝑠 ≥ 0,5 ∙
0,150
100
∙ 100 ∙ 9 = 0,675 𝑐𝑚2/𝑚 
VER TABELA 19.1 – SLIDE 88 
124Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
• Diâmetro máximo da bitola de aço a ser adotada 
𝜑 ≤ ℎ/8 = 90/8 = 11,25 𝑚𝑚
• Espaçamento
s ≤ Min (20 𝑐𝑚 𝑜𝑢 2ℎ = 2 ∙ 9) = 18 cm
VER TABELA A-26
125Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
• Armação positiva na direção x – Laje LM1
𝐴𝑠 = 𝟎, 𝟖𝟏 𝒄𝒎𝟐/𝒎 → 0,91 cm²/m (6,3 c/18)
• Armação positiva na direção y – Laje LM1
𝐴𝑠 = 𝟎, 𝟐𝟖 𝒄𝒎𝟐/𝒎 → 0,91 cm²/m (6,3 c/18)
• Armação positiva na direção x – Laje LM2 
𝐴𝑠 = 𝟎, 𝟒𝟏 𝒄𝒎𝟐/𝒎 → 1,35 cm²/m (6,3 c/18)
• Armação positiva (secundária) na direção y – Laje LM2
𝐴𝑠 = 𝟎, 𝟗 𝒄𝒎𝟐/𝒎 (6,3 c/18)
• Armação negativa na direção x (LM1 e LM2)
𝐴𝑠 = 𝟏, 𝟏𝟗 𝒄𝒎𝟐/𝒎 → 1,35 cm²/m (6,3 c/18)
126Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
• Detalhamento
Armadura positiva da Laje LM1
N1: Cx = lo + bw1 + bw2 – 2Cnom = 190 + 20 + 20 – 2 x 2,5 = 225 cm
N2: Cy = lo + bw1 + bw2 – 2Cnom = 285+ 20 + 14 – 2 x 2,5 = 314 cm → 315 cm
Armadura positiva da Laje LM2
N3: Cx = lo + bw1 + bw2 – 2Cnom = 120 + 20 + 20 – 2 x 2,5 = 155 cm
N4: Cy = lo + bw1 + bw2 – 2Cnom = 285 + 20 + 14 – 2 x 2,5 = 314 cm → 315 cm
127Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
• Detalhamento
Armadura negativa
Maior entre os menores vãos: 210 cm
N5: C = 2 x 0,25 lx+ 2 lb + 2 (h-2c) = 2 x 0,25 x 210 + 2 x 15+2 (9 – 2 x 2,5)
C = 143 cm 
Ver tabela lb para Aço CA-50 (Slide 102)
128Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
Exemplo
28/03/2024
• Detalhamento
Fazer a Lista de Ferros!
Barra Φ Qtde
Comp. 
(cm)
N1 6,3 16 225
N2 6,3 11 315
N3 6,3 16 155
N4 6,3 7 315
N5 6,3 16 143
RESUMO AÇO CA-50
Φ Comp. (m) Peso (kg)
6,3 140,38 35,10
TOTAL 35,10
2
8
5
 c
m
190 cm 120 cm
Quantidades
N1: 285/18 = 16
N2: 190/18 = 11
N3: 285/18 = 16
N4: 120/18 = 7 (secundária)
N5: 285/18 = 16
Apostila Concreto Armado I – Departamento de Engenharia de Estruturas (DEES): 
Universidade Federal de Minas Gerais, 2014.
BASTOS, Paulo Sérgio. Fundamentos do concreto armado. UNESP - Campus de 
Bauru/SP: Departamento de Engenharia Civil e Ambiental.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto. 
NBR 6118, ABNT, 2023.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Cargas para o cálculo de estruturas 
de edificações. NBR 6120 ABNT, 2019 (versão corrigida), 61p.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Ações e segurança nas estruturas 
– Procedimento. NBR 8681, ABNT, 2003, 18p.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Forças devidas ao vento em 
edificações. NBR 6123, ABNT, 2013 (versão corrigida), 66p.
129
Bibliografia
28/03/2024 Capítulo 4 – Lajes de concreto armado
	Slide 1
	Slide 2: Introdução
	Slide 3: Tipos de lajes
	Slide 4: Tipos de lajes
	Slide 5: Tipos de lajes
	Slide 6: Tipos de lajes
	Slide 7: Tipos de lajes
	Slide 8: Tipos de lajes
	Slide 9: Tipos de lajes
	Slide 10: Tipos de lajes
	Slide 11: Classificação das lajes
	Slide 12: Vão efetivo
	Slide 13: Condições de contorno
	Slide 14: Condições de contorno
	Slide 15: Condições de contorno
	Slide 16: Condições de contorno
	Slide 17: Condições de contorno
	Slide 18: Condições de contorno
	Slide 19: Condições de contorno
	Slide 20: Condições de contorno
	Slide 21: Ações a considerar
	Slide 22: Ações a considerar
	Slide 23: Ações a considerar
	Slide 24: Ações a considerar
	Slide 25: Ações a considerar
	Slide 26: Ações a considerar
	Slide 27: Ações a considerar
	Slide 28: Ações a considerar
	Slide 29: Ações a considerar
	Slide 30: Ações a considerar
	Slide 31: Exemplo
	Slide 32: Exemplo
	Slide 33: Exemplo
	Slide 34: Exemplo
	Slide 35: Exemplo
	Slide 36: Exemplo
	Slide 37: Exemplo
	Slide 38: Exemplo
	Slide 39: Ações a considerar
	Slide 40: Estimativa da altura
	Slide 41: Estimativa da altura
	Slide 42: Cobrimento mínimo
	Slide 43: Cobrimento mínimo
	Slide 44: Cobrimento mínimo
	Slide 45: Espessura mínima
	Slide 46: Laje armada em uma direção
	Slide 47: Laje armada em uma direção
	Slide 48: Laje armada em uma direção
	Slide 49: Laje armada em uma direção
	Slide 50: Laje armada em duas direções
	Slide 51: Laje armada em duas direções
	Slide 52: Laje armada em duas direções
	Slide 53: Laje armada em duas direções
	Slide 54: Laje armada em duas direções
	Slide 55: Lajes contínuas
	Slide 56: Lajes contínuas
	Slide 57: Lajes contínuas
	Slide 58: Lajes contínuas
	Slide 59: Laje armada em duas direções
	Slide 60: Exemplo
	Slide 61: Exemplo
	Slide 62: Cálculo da flecha em lajes retangulares
	Slide 63: Cálculo da flecha em lajes retangulares
	Slide 64: Cálculo da flecha em lajes retangulares
	Slide 65: Cálculo da flecha em lajes retangulares
	Slide 66: Cálculo da flecha imediata em lajes retangulares
	Slide 67: Cálculo da flecha imediata em lajes retangulares
	Slide 68: Cálculo da flecha imediata em lajes retangulares
	Slide 69: Cálculo da flecha imediata em lajes retangulares
	Slide 70: Cálculo da flecha imediata em lajes retangulares
	Slide 71: Cálculo da flecha imediata em lajes retangulares
	Slide 72: Cálculo da flecha diferida no tempo
	Slide 73: Cálculo da flecha diferida no tempo
	Slide 74: Cálculo da flecha diferida no tempo
	Slide 75: Flecha imediata em lajes armadas em duas direções
	Slide 76: Flechas Máximas Admitidas
	Slide 77: Flechas Máximas Admitidas
	Slide 78: Flechas Máximas Admitidas
	Slide 79: Exemplo
	Slide 80: Dimensionamento da armadura longitudinal
	Slide 81: Dimensionamento da armadura longitudinal
	Slide 82: Dimensionamento da armadura longitudinal
	Slide 83: Dimensionamento da armadura longitudinal
	Slide 84: Dimensionamento da armadura longitudinal
	Slide 85: Dimensionamento da armadura longitudinal
	Slide 86: Dimensionamento da armadura longitudinal
	Slide 87: Dimensionamento da armadura longitudinal
	Slide 88: Dimensionamento da armadura longitudinal
	Slide 89: Dimensionamento da armadura longitudinal
	Slide 90: Dimensionamento da armadura longitudinal
	Slide 91: Detalhamento da armadura longitudinal
	Slide 92: Detalhamento da armadura longitudinal
	Slide 93: Detalhamento da armadura longitudinal
	Slide 94: Detalhamento da armadura longitudinal
	Slide 95: Detalhamento da armadura longitudinal
	Slide 96: Detalhamento da armadura longitudinal
	Slide 97: Detalhamento da armadura longitudinal
	Slide 98: Detalhamento da armadura longitudinal
	Slide 99: Detalhamento da armadura longitudinal
	Slide 100: Detalhamento da armadura longitudinal
	Slide 101: Detalhamento da armadura longitudinal
	Slide 102: Detalhamento da armadura longitudinal
	Slide 103: Detalhamento da armadura longitudinal
	Slide 104: Detalhamento da armadura longitudinal
	Slide 105: Detalhamento da armadura longitudinal
	Slide 106: Detalhamento da armadura longitudinal
	Slide 107: Detalhamento da armadura longitudinal
	Slide 108: Detalhamento da armadura longitudinal
	Slide 109: Tabelas das armaduras
	Slide 110: Exemplo
	Slide 111: Exemplo
	Slide 112: Exemplo
	Slide 113: Exemplo
	Slide 114: Exemplo
	Slide 115: Exemplo
	Slide 116: Exemplo
	Slide 117: Exemplo
	Slide 118: Exemplo
	Slide 119: Exemplo
	Slide 120: Exemplo
	Slide 121: Exemplo
	Slide 122: Exemplo
	Slide 123: Exemplo
	Slide 124: Exemplo
	Slide 125: Exemplo
	Slide 126: Exemplo
	Slide 127: Exemplo
	Slide 128: Exemplo
	Slide 129: Bibliografia