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9ª Lista de Exercícios 1 - Seja Z uma variável aleatória com distribuição normal padrão, ou seja, Z ∼ N(0; 1). Calcule as seguintes probabilidades: a) P (0 ≤ Z ≤ 0, 83). b) P (−1, 57 ≤ Z ≤ 0). c) P (Z > 0, 44). d) P (Z ≥ −0, 23). e) P (Z < 1, 20). f) P (Z ≤ −0, 71). g) P (−1, 98 ≤ Z < 0, 49). h) P (0, 52 < Z ≤ 1, 22). i) P (−1, 75 < Z < −1, 04). 2 - Seja Z uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Encontre z em cada uma das situações a seguir. a) A área entre 0 e z é 0,4750. b) A área entre 0 e z é 0,2291. c) A área à direita de z é 0,1314. d) A área à esquerda de z é 0,67. e) A área à esquerda de z é 0,2119. f) A área entre −z e z é 0,9030. g) A área à esquerda de z é 0,9948. h) A área à direita de z é 0,6915. 3 - Seja X uma variável aleatória contínua tal que X ∼ N(10; 36). Calcule as seguintes probabili- dades: a) P (X > 5). b) P (X ≥ 17). c) P (X ≤ 8). d) P (X < 20). e) P (5 ≤ X ≤ 17). f) P (15 < X ≤ 25). g) P (1 ≤ X < 4). 4 - Seja X uma variável aleatória contínua tal que X ∼ N(100; 100), calcule: a) P (X < 115). b) P (X ≥ 80). c) P (|X − 100| ≤ 10). d) o valor de a, tal que P (100− a ≤ X ≤ 100 + a) = 0, 95. 5 - Os depósitos efetuados em um certo banco durante o mês de janeiro são distribuídos normal- mente, com média de $10000,00 e desvio padrão $1500,00. Um depósito é selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês em questão. Calcule a probabilidade de que o depósito seja a) $10000,00 ou menos. b) pelo menos $10000,00. c) maior do que $15000,00. d) menor do que $13000,00. e) um valor entre $12000,00 e $15000,00. 6 - A média de preço das ações das empresas que compõem a S&P 500 é $30 e o desvio padrão é $8,20 (Business Week, edição especial anual, primavera de 2003). Suponha que os preços das ações se distribuam normalmente. a) Qual é a probabilidade de uma empresa ter um preço de, no mínimo, $40 para suas ações? b) Qual é a probabilidade de uma empresa ter um preço de, no máximo, $20 para suas ações? c) Qual deve ser o preço das ações para que a empresa seja incluída entre as 10% maiores? 7 - Em janeiro de 2003 o trabalhador norte-americano passou em média 77 horas conectado à internet enquanto se encontrava no trabalho (CNBC, 15 de março de 2003). Suponha que os tempos estejam normalmente distribuídos e que a variância seja de 400 horas2. a) Qual é a probabilidade de um trabalhador de um trabalhador escolhido aleatoriamente passar menos de 50 horas conectado à internet? b) Qual porcentagem de trabalhadores passaram mais de 100 horas conectados à internet? c) Uma pessoa é classi�cada como forte usuário se estiver entre os 20% que fazem mais uso da internet. Quantas horas um trabalhador deve manter-se conectado à internet para ser classi�cado como forte usuário? 8 - De acordo com o Bureau of Labor Statistics, a remuneração média por semana dos trabalhadores norte-americanos do setor de produção foi de $441,84 (The World Almanac, 2000). Suponha que os dados disponíveis indiquem que a remuneração semanal dos trabalhadores do setor de produção é normalmente distribuída, com um desvio padrão de $90. a) Qual é a probabilidade de um trabalhador ter recebido uma remuneração semanal entre $400 e $500? b) Qual é a probabilidade de um trabalhador ter recebido menos de $250 por semana? c) Qual é a probabilidade de um trabalhador ter recebido, no mínimo, $300 por semana? d) Quanto um trabalhador do setor de produção teve de ganhar, por semana, para se colocar entre os 30% que receberam as maiores remunerações semanais? 9 - Uma pessoa deve obter uma pontuação entre os 2% melhores classi�cados da população em um teste de QI para a�liar-se à Mensa, uma sociedade internacional de pessoas com QI elevado (US Airways Attache, setembro de 2000). Se as pontuações de QI forem normalmente distribuídas com uma média igual a 100 e desvio padrão igual a 15, qual pontuação uma pessoa deve obter para poder a�liar-se à Mensa? 10 - O tempo necessário para concluir um exame �nal em determinado curso universitário está distribuído normalmente com uma média de 80 minutos e variância de 100 minutos2. a) Qual é a probabilidade um estudante concluir o exame em uma hora ou menos? b) Qual é a probabilidade de um estudante demorar entre 60 e 75 minutos para concluir o exame? c) Suponha que a classe tenha 60 alunos e que a duração do exame seja de 90 minutos. Qual o número esperado de estudantes que concluiriam o exame no tempo determinado? 11 - Uma enchedora automática de garrafas de refrigerantes está regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa seja de 1000 cm3 e o desvio padrão de 10 cm3. Pode-se admitir que a variável volume seja normal. a) Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 990 cm3? b) Qual é a porcentagem das garrafas em que o volume líquido não se desvia da média em mais que dois desvios padrões? 12 - Seja X a variável aleatória que indica a carga de ruptura de barras de aço obtidas em certo processo de fabricação e suponha que X ∼ N(100; 16). Caso a barra apresente carga de ruptura X ≥ 95, a mesma dá um lucro de R$ 25, 00 ao fabricante. Porém, se X < 95 a barra será utilizada para outra �nalidade e o lucro se reduz a R$ 10, 00. a) Determine a probabilidade de que a carga de ruptura de barra seja, no mínimo, 95 uni- dades. b) Se Y é a variável aleatória que denota o lucro, em reais, do fabricante, por barra, obtenha a distribuição de probabilidade da v.a. Y . c) Determine a esperança, a variância e o desvio padrão da v.a. Y . 13 - Uma empresa produz televisores e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de seis meses. Ela produz televisores do tipo A (comum) e do tipo B (luxo), com lucros respectivos de R$ 1000, 00 e R$ 2000, 00, caso não haja restituição; e com prejuízos de R$ 3000, 00 e R$ 8000, 00, se houver restituição. Suponha que o tempo para a ocorrência de algum defeito grave, para os produtos A e B, seja uma variável aleatória normal, com médias 9 meses e 12 meses, e variâncias 4 meses2 e 9 meses2, respectivamente. Se tivesse de planejar uma estratégia de marketing para a empresa, você incentivaria as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B? Justi�que sua resposta baseando-se no lucro médio associado a cada um dos produtos. 14 - Admita que o diâmetro D de um cabo elétrico seja uma variável aleatória normalmente distri- buída com média 0, 80 cm e variância igual a 0, 0004 cm2. a) Nessas condições, determine a probabilidade de que o diâmetro do cabo elétrico seja no mínimo 0, 81 cm. b) Admita que um cabo, do tipo enunciado, é defeituoso se o diâmetro do mesmo diferir da média por mais de 0, 025 cm. Sendo assim, dentre 12 cabos, qual é a probabilidade de que pelo menos um seja defeituoso? 15 - Estudos meteorológicos indicam que a precipitação pluviométrica mensal, em períodos de seca numa certa região, pode ser considerada como sendo uma v.a. seguindo a distribuição Normal de média 30 mm e variância 16 mm2. a) Calcule a probabilidade de ocorrer uma precipitação pluviométrica superior a 34 mm. b) Qual seria o valor da precipitação pluviométrica de modo que exista apenas 10% de pro- babilidade de haver uma precipitação inferior a esse valor? c) Construa um intervalo central em torno da média que contenha 80% dos possíveis valores de precipitação pluviométrica. d) Admitindo esse modelo válido para os próximos 50 meses, qual a probabilidade de que a precipitação pluviométrica supere 34 mm em 20% dos meses? e) Admitindo esse modelo válido para os próximos 50 meses, em quantos deles esperaríamos uma precipitação pluviométrica superior a 34 mm? Bom Trabalho! RESPOSTAS Questão 01: (a) 0,29673. (b) 0,44179. (c) 0,32997. (d) 0,59095. (e) 0,88493. (f) 0,23885. (g) 0,66408. (h) 0,1903. (i) 0,10911. Questão 02: (a) 1,96. (b) 0,61. (c) 1,12. (d) 0,44. (e) -0,80. (f) 1,66. (g) 2,56. (h) -0,50. Questão 03: (a) 0,79673. (b) 0,121. (c) 0,3707. (d) 0,95254. (e) 0,67573. (f) 0,19706. (g) 0,09185. Questão 04: (a) 0,93319.(b) 0,97725. (c) 0,68268. (d) 19,6. Questão 05: (a) 0,5. (b) 0,5. (c) 0,00043. (d) 0,97725. (e) 0,09133. Questão 06: (a) 0,11123. (b) 0,11123. (c) $40,496 ou mais. Questão 07: (a) 0,08851. (b) 12,507%. (c) 93,8 horas ou mais. Questão 08: (a) 0,41939. (b) 0,01659. (c) 0,94295. (d) $488,64 ou mais. Questão 09: 130,75 pontos ou mais. Questão 10: (a) 0,02275. (b) 0,28579. (c) Aproximadamente 50 alunos. Questão 11: (a) 15,866%. (b) 95,45%. Questão 12: (a) 0,89435. (b) Y = y 10 25 p(y) = P (Y = y) 0,10565 0,89435 (c) E(Y ) = 23,41525 reais; Var(Y ) ≃ 21,25982 reais2 e DP(Y ) ≃ 4,61084 reais. Questão 13: Incentivaria as vendas dos aparelhos do tipo B. Questão 14: (a) 0,30854. (b) 0,94206. Questão 15: (a) 0,15866. (b) 24,88 mm. (c) [24,88; 35,12]. (d) 0,10356. (e) Aproximadamente 8 meses.
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