Geometria (Reparado)

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Universidade Católica de Moçambique 
Instituto de Educação à Distância 
 
 
 
Trabalho de Campo 
 
 
 
Ismael Cassimo - 708216299 
 
 
 
 
Curso: Licenciatura em Ensino de Matemática 
Disciplina: Geometria Projectiva 
Ano de Frequência: 40 Ano 
 
 
 
Beira, abril, 2024 
Folha de Feedback 
Categorias Indicadores Padrões 
Classificação 
Pontuação 
máxima 
Nota 
do 
tutor 
Subtotal 
Estrutura 
Aspectos 
organizacionais 
• Capa 0.5 
 
• Índice 0.5 
• Introdução 0.5 
• Actividades 0.5 
Conteúdo 
Actividades2 
por unidade 
• Organização dos dados 
17.01 
 
• Indicação correta da 
fórmula 
 
• Passos da resolução 
• Resultado obtido 
Aspectos 
gerais 
Formatação 
• Paginação, tipo e 
tamanho de letra, 
paragrafo, espaçamento 
entre linhas 
1.0 
 
 
 
 
 
 
 
 
Folha para recomendações de melhoria: A ser preenchida pelo tutor 
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Sumário 
Introdução ................................................................................................................................................... 5 
Exercicío 1 .................................................................................................................................................. 7 
Exercicío 2 .................................................................................................................................................. 8 
Exercicío 3 .................................................................................................................................................. 9 
Conclusão .................................................................................................................................................. 11 
Referências Bibliográficas ........................................................................................................................ 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução 
A geometria projetiva é uma área da matemática que explora as propriedades que permanecem 
invariantes sob projeções, como exemplificado nos teoremas de Desargues e Staudt. Esses teoremas 
ilustram a habilidade da geometria projetiva de resolver problemas complexos através da perspectiva e 
interseção de linhas e planos, mantendo certas relações independentemente do ponto de vista. Aplicará-
se o teorema de Desargues para analisar a concorrência de linhas em triângulos em perspectiva e o 
teorema de Staudt para investigar a interseção de lados em um quadrilátero projetado. Ambos destacam 
o poder da geometria projetiva em unificar conceitos visuais com rigor matemático, oferecendo soluções 
elegantes para configurações geométricas que desafiam a compreensão imediata. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercicío 1 
Baseando-se no princípio de dualidade no espaço, formule as propriedades duais das seguintes: 
Resolução 
a) A uma reta passam infinitos planos. 
Dual: A um plano passam infinitas retas. 
b) Um plano e uma reta que não se pertencem intersectam-se em um ponto. 
Dual: Um ponto e uma reta que não se pertencem determinam um plano. 
c) Nem todos os planos contêm um único ponto. 
Dual: Nem todas as retas contêm um único ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercicío 2 
2. Dadas duas rectas a e b, tirar, por um ponto exterior P, uma recta que passe pelo ponto de encontro 
das outras duas, sem o conhecer. 
Resolução 
Para completar este exercício, é necessário desenhar uma terceira linha que se encontrará com as duas 
linhas previamente estabelecidas em um ponto que se situa fora da área visível do diagrama. 
Conhecemos apenas um ponto, P, nesta linha. Utilizando o conceito de Desargues, onde as duas linhas 
iniciais são consideradas como conectando vértices correspondentes de dois triângulos equivalentes, 
assinalamos os pontos A e A' na linha a, e B e B' na linha b. O ponto P é considerado o terceiro vértice, 
formando o triângulo ABP, correspondente ao triângulo A'B'P'. Segundo Desargues, as linhas que 
conectam vértices correspondentes se encontram em um ponto central, e os lados correspondentes 
cruzam-se em três pontos que residem na mesma linha, conhecida como o eixo de perspectividade. 
Deste modo, identificamos um ponto neste eixo, denominado L, onde os lados (AB) e (A'B') se cruzam, 
enquanto os outros dois pontos ainda precisam ser determinados. 
Para encontrar esses pontos, desenhamos o eixo passando por L e cruzando os lados (AP) e (BP), 
resultando nas intersecções nos pontos N e M, respectivamente. A posição exata do eixo é irrelevante, 
desde que cruze os lados (AP) e (BP), e por isso, na resolução, diferentes posições de eixo são 
exploradas para demonstrar que a linha (PP') é única. Em seguida, traçamos as linhas (A'N) e (B'M), que 
se cruzarão no ponto P', formando assim o terceiro vértice do triângulo A'B'P', que está em perspectiva 
com o triângulo ABP. Assim, conforme o teorema de Desargues, podemos afirmar com certeza que a 
linha (PP') intersectará as outras duas linhas, a e b, no mesmo ponto de concorrência. 
 
Exercicío 3 
3. dados dois pontos A e B e uma recta r, determinar a intersecção de r com (AB), sem traçar (AB). 
(dica: completar o quadrivertice ABCD e usar o teorema de Staudt tomando a recta r como eixo de 
perspectividade). 
Resolução 
Para abordar esse problema, vamos começar completando o quadrilátero ABCD e aplicando o teorema 
de Staudt. Utilizaremos a linha r como o eixo de perspectividade, o que exige a identificação ou 
construção dos pontos C e D para que ABCD se torne um quadrilátero completo, com a linha r cruzando 
aspectos relevantes do quadriláteropara localizar o ponto necessário. Primeiramente, desenhamos uma 
linha onde marcaremos cinco pontos, P1, P2, P3, P4 e P5, que são os pontos de interseção dos cinco 
pares de lados correspondentes. 
Começamos escolhendo um ponto e desenhando um lado, neste caso, o lado (AD) e o correspondente 
(A'D') que se encontram no ponto P3. Procedemos desenhando os lados (DB) e (D'B') que se encontram 
no ponto P2. A interseção dos lados (AD) e (DB) nos fornece o ponto comum D, e de forma similar, 
obtemos D' na interseção de (A'D') e (D'B'). Em seguida, traçamos o lado (DC) e (D'C') que se cruzam 
no ponto P1 e passam pelos pontos D e D', respectivamente. Traçamos então os lados (CB) e (C'B') que 
se cruzam no ponto P4 e cortam os lados (DC) e (D'C'), (DB) e (D'B') nos pontos C e C', B e B', 
respectivamente. Continuamos traçando os lados (AC) e (A'C') que passam pelos pontos C e C', 
respectivamente, e se cruzam no ponto P5, completando assim os quatro vértices do quadrilátero. 
Agora, precisamos verificar se os lados (AB) e (A'B') também se cruzam em um sexto ponto que se 
alinha à linha que une os outros cinco pontos. Isso estabelece que a linha AB cruza a linha r no ponto 
P6, conforme concluído. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão 
Em conclusão, a geometria projetiva, através dos teoremas de Desargues e Staudt, oferece uma 
perspectiva valiosa sobre as propriedades invariantes das figuras geométricas, sublinhando a 
consistência das relações mesmo sob transformações de projeção. A compreensão desses teoremas não 
só enriquece o nosso conhecimento teórico, mas também abre caminho para aplicações práticas em áreas 
como a visão computacional e a arte, evidenciando a utilidade da matemática em interpretar e 
transformar nosso mundo. Este estudo confirma que a geometria projetiva é fundamental na cadeia da 
matemática, conectando conceitos abstratos a aplicações concretas que moldam a nossa realidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
 MUCHANGA, F. A. Manual de Geometria Projectiva. Universidade Católica de Moçambique, Centro 
de Ensino à Distância, Ribeirão, Moçambique. 
SOUZA, Jayme Rios De. Elementos de Geometria Projectiva. Porto Editora Ltda.