Aula 5 - função modular e função trigonometrica

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CÁLCULO - CONCEITOS
AULA 5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Flavia Sucheck Mateus da Rocha
CONVERSA INICIAL
Nesta aula, daremos continuidade ao estudo de funções, com foco nas funções modulares e nas funções trigonométricas. As
funções modulares usam o conceito de módulo ou valor absoluto. Já as funções trigonométricas usam as relações trigonométricas em
suas leis de formação.
Para estudar as funções trigonométricas, é necessário que você domine os conceitos básicos relacionados ao ciclo trigonométrico e
ao comportamento das principais relações: seno, cosseno e tangente. Chamamos de função trigonométrica a função real em que cada
arco do ciclo trigonométrico de medida  se associa a um número real  que expressa uma relação trigonométrica qualquer. Embora
existam outras funções trigonométricas, dedicaremos esta aula ao estudo das três principais. Veja a seguir os temas que serão abordados:
Função modular e seu gráfico;
Função seno;
Função cosseno;
Função tangente;
Aplicações das funções trigonométricas.
Ao final desta aula, você deve ser capaz de representar graficamente funções modulares e trigonométricas, interpretar o gráfico
desse tipo de função e resolver problemas com base nos dados presentes em tais gráficos.
TEMA 1 – FUNÇÃO MODULAR E SEU GRÁFICO
Função modular é toda função  em que:
ou seja, 
Antes de continuarmos o estudo sobre função modular, vamos lembrar como definimos módulo de um número qualquer:
Vejamos alguns exemplos:
O módulo também é chamado de valor absoluto e representa a distância do número em relação à origem da reta numérica.
Observemos, agora, a função . Pela definição, teremos que:
Temos que para ou  a função é dada por  Para , ou a função será
dada por  Veja a seguir o gráfico dessa função modular .
A função muda de comportamento no ponto , que é a raiz da função afim original .
Veremos agora o comportamento de uma função modular de 2º grau. Considere a função . Suas raízes
são 1 e 7. Note o que ocorre com o gráfico da função modular:
Nesse caso, houve alteração do comportamento da função quadrática original no intervalo de 1 a 7, que são as raízes da função.
Observe, por fim, um exemplo de função modular quadrática, cujo coeficiente  é negativo:
Gráfico da função  e da função modular:
Nesse caso, os valores da função para x menores que 2 e maiores que 5 foram alterados. 2 e 5 são as raízes da função quadrática em
questão.
TEMA 2 – FUNÇÃO SENO
Para estudarmos o comportamento da função seno, vamos lembrar alguns valores notáveis dessa relação trigonométrica.
Tabela 1 – Valores notáveis da função seno
Quando consideramos o plano cartesiano, sabemos que seus valores são numéricos, não em radianos ou graus. Então, para marcar
cada par ordenado no plano, devemos considerar o valor do ângulo de forma numérica. Assim, substituímos o valor numérico de .
Vamos considerar um valor aproximado de 3,14. Nesse caso, teremos os seguintes pares ordenados:
Vamos marcar esses pontos no plano cartesiano:
Unindo os pontos, teremos a onda senoidal:
São características dessa onda:
Os valores de  variam de -1 até 1, já que são os valores mínimos e máximos que o seno admite. Ou seja: 
O período da onda equivale a 
O domínio da função corresponde ao conjunto dos números reais.
A função seno pode ter variações. Veja a seguir alguns exemplos:
Passemos, agora, a analisar o que ocorre com essa função para cada tipo possível de variação. Considere uma função
trigonométrica genérica:
A função  possui valores de ,    e :
1º efeito: translação vertical da curva
Quando somamos um dado valor à função , a curva sofrerá uma alteração vertical para cima, quando , ou para baixo,
quando  Veja a seguir o exemplo de uma curva com adição de 2 unidades 
Perceba que, nesse caso, a imagem foi alterada de [-1,1] para [1,3].
2º efeito: alteração da amplitude da curva
Se multiplicamos a função por uma constante qualquer, a amplitude da curva é alterada proporcionalmente. Acompanhe o
exemplo com a multiplicação pela constante 3 (
No exemplo acima, a imagem foi alterada de [-1,1] para [-3,3].
3º efeito: alteração do período da curva
Ao multiplicarmos o ângulo por determinado valor, o período da curva é alterado de forma inversamente proporcional. Temos que
 Veja o exemplo a seguir que ilustra uma função seno cujo ângulo foi multiplicado por 2 ( .
Essa alteração no ângulo repercute na mudança do período de  para 
4º efeito: defasamento da curva
Quando é somada uma constante ao ângulo, a curva translada horizontalmente, sem sentido contrário ao sinal da constante. Se
somarmos um valor positivo, a curva defasará para a esquerda. Se, por outro lado, somarmos ao ângulo um valor negativo, a curva
defasará para a direita. No exemplo a seguir, temos a função  
Nesse caso, não há alteração do período nem da imagem. Por fim, para concluirmos essa percepção sobre as alterações possíveis no
gráfico da função seno, vejamos um exemplo no qual todos os coeficientes foram alterados.
Perceba que, nesse exemplo, haverá alteração do período e da imagem da função seno original:
TEMA 3 – FUNÇÃO COSSENO
Assim como fizemos para a função seno, vamos lembrar os principais valores do cosseno.
Tabela 2 – Valores notáveis da função cosseno
Marcamos os pontos com os valores aproximados dos pares ordenados:
 
A união dos pontos e a continuidade da função nos mostra a curva a seguir:
Perceba as características da curva cosseno:
Possui período igual a 
Domínio = 
Imagem = 
A curva cosseno pode sofrer as mesmas alterações citadas para a função seno. Veja o exemplo da representação gráfica da função
Um aspecto importante com relação às funções  e  é que esses valores serão no máximo 1, independentemente do
valor do ângulo. Isso pode auxiliar na resolução de alguns problemas trigonométricos.
Vamos a mais um exemplo: um satélite emite um sinal e sua mensagem percorre determinada distância, em quilômetros, em
função do tempo , dado em segundos. A distância percorrida pela mensagem é dada por:
Qual a distância máxima que essa mensagem pode alcançar? Vamos para a solução. Como sabemos, os valores do cosseno variam
de -1 a 1. Assim, podemos considerar dois valores extremos para 
Se  temos:
Se , temos:
Portanto, a distância máxima a ser alcançada pelo satélite é de aproximadamente 1.728 quilômetros.
TEMA 4 – FUNÇÃO TANGENTE
Os valores da tangente possuem uma particularidade. Para alguns ângulos, não existe tangente. Observe a tabela a seguir.
Tabela 3 – Valores notáveis da função tangente
Outra especificação com relação à tangente é que ela corresponde à razão entre o seno e o cosseno:
Como a função tangente não possui valores para alguns ângulos, seu gráfico não é contínuo, mas a função é periódica. Observe:
As principais características da função são:
O período da função tangente é 
O domínio é dado por 
A imagem da função é o conjunto dos números reais.
TEMA 5 – APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Os problemas relacionados às funções trigonométricas normalmente se referem a movimentos periódicos. Encontramos aplicações
de funções trigonométricas na engenharia e na física, por exemplo. Para resolver esse tipo de problema, precisamos conhecer os valores
das relações trigonométricas para ângulos notáveis. Veja a tabela a seguir:
Tabela 4 – Razão trigonométrica
Além disso, como já mencionamos, é importante lembrar que valores de seno e cosseno variam de -1 a 1. Também é preciso
lembrar outras relações trigonométricas, como:
Alguns problemas podem também mencionar os quadrantes dos ângulos, por isso, vale lembrar os sinais para cada relação:
A relação trigonométrica fundamental  pode auxiliar na resolução de alguns problemas. Veja um exemplo
de situação-problema que envolve funções trigonométricas: um exame de alta complexidade detecta o fluxo de ar nos pulmões de um
paciente em função do tempo. Tal volume, em litros, é dado pela fórmula:
Qual o volume de ar após dois segundos de controle? Vamos para a solução. Substituindopor 2, teremos:
NA PRÁTICA
Um professor de física está fazendo um experimento com seus estudantes, analisando o comportamento de uma onda que obedece
a seguinte função:
Sabendo que x corresponde ao tempo em segundos, qual a altura máxima atingida pela onda e quanto tempo decorre para que a
onda conclua seu movimento completo?
Vamos para a solução: apenas observando a função, podemos perceber que tivemos variações na função original 
 Lembrando as possibilidades estudadas, temos:
No caso da função acima, A amplitude da onda foi alterada, sendo sua nova imagem [-8,8].
Portanto a altura máxima atingida pela onda é de 8 unidades. O período também foi alterado:  Assim, concluímos que a
onda demora 2 segundos para concluir seu movimento. Graficamente, temos:
A cada intervalo de duas unidades no eixo das abcissas, há uma nova onda. A amplitude também pode ser identificada como 8.
FINALIZANDO
Nesta aula, estudamos a função modular e as principais funções trigonométricas. Veja a seguir informações sintetizadas.
Quadro 1 – Resumo da aula