Aula 6 - função exponencial e logaritmica

Prévia do material em texto

CÁLCULO - CONCEITOS
AULA 6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Flavia Sucheck Mateus da Rocha
CONVERSA INICIAL
No ano de 2020, o mundo passou por uma pandemia causada pelo coronavírus. Durante meses, as notícias de jornais apresentavam
os números relacionados à doença e o termo crescimento exponencial era visto com frequência. Buscava-se entender o crescimento do
número de pessoas infectadas ao longo do tempo. Quando estudamos as funções, vemos o comportamento de determinada relação,
assim como essa citada no exemplo da pandemia. Em alguns casos, as funções podem estar relacionadas a potenciações ou logaritmos,
sendo chamadas de funções exponenciais ou funções logarítmicas.
Nesta aula nos dedicaremos a estudar funções exponenciais e logarítmicas e abordaremos os seguintes temas:
Função exponencial e seu gráfico;
Problemas envolvendo funções exponenciais;
Funções logarítmicas;
Gráficos de funções logarítmicas;
Uso de log em funções exponenciais.
Ao final desta aula, esperamos que você possa modelar/representar graficamente, esboçar gráficos e resolver problemas que
envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas relacionadas a funções exponenciais e
logarítmicas.
TEMA 1 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E SEU GRÁFICO
Considere a seguinte situação: um grupo de estudantes está analisando o comportamento de uma colônia de bactérias. No
momento inicial de observação, a colônia possui 1.000 bactérias. Os estudantes percebem que a quantidade dobra a cada hora de
observação. Dessa forma:
Quando o tempo , temos 1000 bactérias.
Quando o tempo , temos 1000.2 = 2000 bactérias.
Quando o tempo , temos 1000.2.2 = 4000 bactérias.
Quando o tempo , temos 1000.2.2.2 = 8000 bactérias.
E assim sucessivamente. Essa situação pode ser escrita como uma função que indica o número de bactérias ao longo do tempo :
Esse é um exemplo de uma função exponencial. Repare que ela possui uma variável no expoente, em sua lei de formação. Desse
modo, podemos escrever uma definição para função exponencial: toda função   definida por , com
 e , é denominada função exponencial de base Observe que consideramos que a base da função deve
ser positiva e diferente de 1.
Agora, vamos ver como as funções exponenciais se comportam graficamente. Para isso, vamos construir o gráfico da função
, marcando alguns pontos no plano cartesiano:
Tabela 1 – Função
IMPORTANTE: você deve lembrar as regras de potenciação para resolver problemas que envolvam funções exponenciais. O
expoente negativo, por exemplo, inverte a base da potência.
Observe no plano os pontos encontrados: 
Unindo os pontos e considerando que a função tem como domínio todos os reais, teremos:
Observe o gráfico de uma função com base entre 0 e 1. Veja o exemplo da função :
Tais gráficos nos mostram dois comportamentos diferentes, um de crescimento exponencial e outro de decrescimento. De acordo
com a base da função, teremos:
Se , a função é decrescente;
Se , a função é crescente.
Se , não é função exponencial.
Além de análise gráfica, podemos resolver problemas relacionados às funções exponenciais ao analisar suas leis de formação.
Veremos isso mais adiante.
TEMA 2 – PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Para resolvermos problemas com funções exponenciais, precisamos lembrar como resolvemos equações exponenciais. Uma das
formas mais comuns de fazer isso é igualando as bases da equação. Assim:
Por exemplo, para resolvermos a equação  podemos fatorar o 32 para que se torne uma potência de base 2:
Vejamos a seguir algumas funções exponenciais que representam situações-problema.
2.1 SITUAÇÃO-PROBLEMA 1
O comportamento de uma aplicação financeira ao longo do tempo é dado por    Nessa função,  em
reais, indica o valor da aplicação em função do tempo em anos.  Depois de quanto tempo o valor investido inicialmente dobrará?
Vamos para a solução. Para saber o valor investido, devemos identificar o valor da função para o tempo 
Se a aplicação inicial é 1000, o valor de  será 2000, ou seja, o dobro do valor investido. Para calcular o tempo, fazemos:
Dessa forma, para que a aplicação dobre de valor, o tempo a ser transcorrido deve ser de 20 anos.
2.2 SITUAÇÃO-PROBLEMA 2
Uma colônia de bactérias aumenta com base na seguinte lei:  na qual  indica a quantidade de bactérias
em função do tempo   em horas. Quantas bactérias estarão na colônia após quatro horas da observação inicial? E qual o tempo
necessário para que a colônia possua 364.500 bactérias?
Vamos para a solução. Primeiramente, vamos substituir x por 4, para determinar a quantidade de bactérias após 4 horas:
Para saber o tempo para que a colônia tenha 364.500 bactérias, substituímos f(x) por esse valor:
Concluímos, assim, que após 4 horas haverá 40.500 bactérias e que, para que a colônia tenha 364.500 bactérias, deverá ter se passado
6 horas.
Em situações de crescimento exponencial, os números inicialmente podem não variar tanto, mas, à medida que o tempo passa,
sobem consideravelmente. Por isso, no caso de uma pandemia que tem crescimento exponencial, no início, os dados não parecem tão
alarmantes, mas, com o passar do tempo, o número de contaminados é bastante alto. O decrescimento exponencial também pode
aparecer em situações cotidianas, como a desvalorização de determinado preço.
TEMA 3 – FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
Inicialmente, vamos relembrar o conceito de logaritmo: trata-se da operação inversa à potenciação. Podemos escrever a definição
de logaritmo da seguinte maneira:
   para a e b positivos e para a ≠1.
a é a base do logaritmo.
b é o logaritmando.
x é o logaritmo.
Observe que , por exemplo, é igual a 3, pois  Também é importante lembrar algumas propriedades imediatas da
definição:
Nos logaritmos, quando a base é omitida, ela é 10.
Consideramos que uma função é logarítmica quando é escrita por   definida por , com
 e   Note que a base deve ser positiva e diferente de 1 e o logaritmando positivo. Vejamos dois exemplos
de função log.
1.  Considere a função dada por  Determine Solução:
Pela definição de log, buscamos o expoente de 3 que repercute em 81. Fatorando o 81, temos Portanto, 
2.   Conhecendo a função  calcule o valor de  sabendo que Solução:
Aplicando a definição de log, temos:
TEMA 4 – GRÁFICOS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
Os gráficos da função logarítmicas são curvas, com domínio O comportamento gráfico, varia conforme a
base da função. Teremos duas possibilidades:
Se , a função é crescente
Se , a função é decrescente
Figura 1 – Função crescente
Figura 2 – Função decrescente
As funções logarítmicas são relacionadas a alguns fenômenos naturais, como o comportamento de terremotos. Também são
usadas na química.
TEMA 5 – USO DE LOG EM FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Quando resolvemos equações exponenciais, tentamos igualar as bases para simplificá-las e usarmos apenas a igualdade dos
expoentes, mas nem sempre isso é possível. Veja um exemplo:
Nessa situação, como os dois números são primos, não conseguimos representá-los como potências de bases iguais. Um recurso
que pode ser utilizado, nesse caso, é usar a operação de log, em ambos os casos da igualdade:
Para que esse recurso seja útil, é importante que conheçamos as principais propriedades de log. Vamos recordá-las a seguir.
5.1 LOGARITMO DO PRODUTO
Em uma mesma base, o logaritmo do produto de dois números positivos será igual à soma do logaritmo de cada um desses
números. Ou seja:
Para      e        e   para      e   .
5.2 LOGARITMO DO QUOCIENTE
Em uma mesma base, o logaritmo do quociente de dois números positivos será igual à diferença entre o logaritmo de cada um
desses números. Ou seja:
Para      e      e   para      e   
5.3 LOGARITMO DE POTÊNCIA
Um logaritmo para o qual o seu logaritmando é uma potência pode ser reescrito de maneira que o expoente do logaritmando passe
a multiplicar o logaritmo dado, sem o expoente. Ou seja:
Para       e     e   para   
Para utilizar as propriedades logarítmicas dadas acima, é preciso que oslogaritmos estejam em uma mesma base, contudo existem
situações nas quais encontramos logaritmos com bases diferentes. Para trabalhar com esses logaritmos, precisamos primeiramente
transformá-los de maneira que suas bases fiquem iguais, para isso, fazemos um processo de mudança de base.
5.4 MUDANÇA DE BASE DE LOGARITMO
Sejam os números reais ,  e  positivos e      e      temos:
Exemplo: expresse na base 5 o logaritmo dado:
5.5 APLICAÇÃO EM EQUAÇÕES E FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Vamos retomar a equação proposta no início desse tópico:
Usando a propriedade de potência, temos:
Com o auxílio de uma calculadora, obtemos valores aproximados para esses logaritmos:
 aproximadamente.
Considere, agora, o seguinte exemplo de situação-problema com função exponencial: determinados estudos indicam que a
temperatura de um produto que acabou de sair do forno precisa reduzir para 65ºC para que ele possa ser tocado pelas mãos humanas,
sem que aconteçam queimaduras. A temperatura de um bolo de chocolate, por exemplo, é dada pela expressão:
Nessa expressão, T representa a temperatura e t o tempo transcorrido, em minutos, após a retirada do bolo do forno. Dado log 2 =
0,30, qual o tempo necessário para que se possa segurar um pedaço desse bolo, sem se queimar? Nesse caso, teremos o valor de T =
65ºC. Logo:
Nesse momento, podemos utilizar logaritmo:
NA PRÁTICA
Vejamos um exemplo de utilização da função log. Uma das escalas utilizadas para estimar a magnitude de um terremoto é
conhecida como MMS. Observe a função que relaciona o momento sísmico ( em dina.cm) e a magnitude alcançada ( :
Qual o momento sísmico de um terremoto que alcançou a magnitude 7,3?
Vamos à solução. Utilizando a função dada, temos:
Como a base do log é 10, temos que dina.cm.
FINALIZANDO
Nesta aula, estudamos a função logarítmica e a função exponencial. Veja a seguir algumas informações sintetizadas.
Quadro 1 – Resumo da aula