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ÍNDICE Unidade 1 3 Unidade 2 10 Unidade 3 18 Unidade 4 26 Unidade 5 36 Unidade 6 44 Unidade 7 51 Unidade 8 57 Matemática VOLUME 7 Unidade 1 Múltiplos, divisores, potências e raízes 3 Múltiplos e divisores Um número natural é múltiplo de outro caso o primeiro seja resultado da multiplicação do segundo por um número natural qualquer. 84 é múltiplo de 7, pois 7 · 12 = 84 Um número natural é divisor ou fator de outro caso a divisão do segundo pelo primeiro seja exata. 7 1 2 - 1 4 8 4 7 - 1 4 0 0 84 é múltiplo de 12, pois 12 · 7 = 84 7 é divisor de 84, pois 84 : 7 = 12 e resto 0 12 é divisor de 84, pois 84 : 12 = 7 e resto 0 4 Números primos e números compostos Número primo Número natural maior que 1 que possui apenas dois divisores: o 1 e o próprio número. 2 0 6 6 - 1 3 1 3 3 1 2 - 1 2 0 1 3 0 4 4 - 1 3 1 2 - 1 2 0 1 1 3 3 5 0 2 6 - 3 3 1 0 - 3 0 0 3 1 3 3 7 0 1 9 - 6 3 0 7 - 6 3 0 0 1 3 3 133 é primo ou composto? 133 é composto, pois 1, 7, 19 e 133 são seus divisores. Número composto Número natural maior que 1 possui que mais de dois divisores. 5 Mínimo Múltiplo Comum O mínimo múltiplo comum entre dois números naturais é o menor número, diferente de zero, que é múltiplo comum desses números. O mínimo múltiplo comum entre dois números naturais a e b pode ser indicado por mmc (a, b). Múltiplos de 3 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, ... Múltiplos de 5 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ... Múltiplos de 10 0, 10, 20, 30, 40, ... mmc (3, 5, 10) = 30 Também podemos obter o mínimo múltiplo comum entre três ou mais números naturais. 6 Máximo Divisor Comum O máximo divisor comum de dois números naturais é o maior número que é divisor comum deles. O máximo divisor comum de dois números naturais a e b pode ser indicado por mdc (a, b). Divisores de 28 1, 2, 4, 7, 14, 28 Divisores de 42 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 Divisores de 63 1, 3, 7, 9, 21, 63 mdc (28, 42, 63) = 7 Também podemos obter o máximo divisor comum entre três ou mais números naturais. 7 Potências Para representar uma multiplicação de fatores iguais, podemos utilizar a potenciação. 2 3 2 · 2 · 2 = = 8 O expoente 3 também pode ser lido usando a expressão ao cubo. 5 2 5 · 5 = = 25 O expoente 2 também pode ser lido usando a expressão ao quadrado. 8 Raízes Ao determinar o número que multiplicado por ele mesmo resulta em 36, obtemos a raiz quadrada de 36. Ao determinar o número a em que a3 = 8, obtemos a raiz cúbica de 8. 9 Matemática VOLUME 7 Unidade 2 Números inteiros 10 Os números negativos Chama-se saldo de gols a diferença entre o número de gols marcados e o número de gols sofridos por uma equipe em um torneio de futebol. Saldo de gols positivo Saldo de gols negativo 11 Os números negativos Um termômetro marca uma temperatura de 10 graus Celsius (10 °C) afastados do zero. +10° –10° 12 Os números inteiros -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 O conjunto formado pelos inteiros positivos, pelos inteiros negativos e pelo zero é chamado conjunto dos números inteiros e é representado pela letra 13 A distância de um ponto à origem da reta Chama-se módulo (ou valor absoluto) de um número inteiro a distância ou o afastamento desse número até o zero, na reta numérica. O módulo é representado por: | | O módulo de +6 é 6, e indica-se: |+6| = 6. O módulo de – 4 é 4, e indica-se: |– 4| = 4. 14 Comparação de números inteiros ... -5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 ... 15 -2 -1 2 0 1 Adição e subtração de números inteiros Quando adicionamos números inteiros com mesmo sinal, a soma é obtida adicionando seus módulos e mantendo o sinal. Quando adicionamos dois números inteiros de sinais diferentes, a soma é obtida efetuando-se a diferença entre seus módulos e mantendo o sinal do número que está mais distante da origem. (-16) + (+20) = +4 (+4) + (+5) = +9 (-2) + (-4) = -6 (-100) + (+42) = -58 Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo. (+13) - (+2) = (+13) + (-2) = +11 (+7) - (+15) = (+7) + (-15) = -8 16 Multiplicação e divisão de números inteiros A multiplicação de dois números inteiros positivos dá um número inteiro positivo. A multiplicação de um número inteiro positivo por um número inteiro negativo, em qualquer ordem, resulta em um número inteiro negativo. (+6) . (+4) = 6 · 4 = 24 A multiplicação de dois números inteiros negativos resulta em um número inteiro positivo. Quando efetuamos uma divisão exata entre dois números inteiros não nulos, o quociente será um número inteiro positivo se o dividendo e o divisor tiverem mesmo sinal; caso contrário, o quociente será um número inteiro negativo. (+20) : (-5) = -4 (-20) : (+5) = -4 (-20) : (-5) = 4 (+6) · (-4) = 6 · (-4) = -24 (-6) · (-4) = -(+6) · (-4) = -(-24) = 24 17 Matemática VOLUME 7 Unidade 3 Figuras geométricas planas 18 Ângulos Ângulos formados por retas paralelas e uma transversal Quando uma reta transversal cruza um par de retas paralelas, podemos classificar alguns pares de ângulos formados de acordo com a posição que ocupam em relação às retas. Ângulos opostos pelo vértice Ângulos correspondentes Ângulos alternos Ângulos colaterais 19 O plano cartesiano O plano cartesiano é composto de duas retas numeradas e perpendiculares entre si. A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixo x), a reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y) e o ponto em que elas se cruzam é a origem. 20 Polígonos no plano cartesiano A(–1, 4); B(– 5, –3); C(3, –2). Vértices do triângulo no plano cartesiano 21 Triângulos A construção de um triângulo é possível apenas quando a medida do maior lado é menor que a soma das medidas dos outros dois lados. A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. a, b, c são as medidas dos ângulos internos; x, y, z são as medidas dos ângulos externos. 22 Medidas dos ângulos internos de um polígono regular Para determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono qualquer, podemos decompô-lo em triângulos. 23 O círculo e a circunferência Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que têm a mesma distância de um ponto fixo desse plano. O círculo é a figura geométrica formada pela circunferência e por todos os pontos de seu interior. 24 Simetria Quando duas imagens são reflexo uma da outra e esse reflexo se dá em relação a uma linha, dizemos que há simetria de reflexão e a linha é seu eixo de reflexão ou ainda que as figuras são simétricas. Duas imagens podem ser sobrepostas de uma maneira que elas coincidam, no entanto, diferentemente da simetria de reflexão, uma imagem não é reflexo da outra. Nesse caso, dizemos que as duas figuras são simétricas e que há entre elas uma simetria de translação. Duas imagens obtidas podem ser sobrepostas de maneira que elas coincidam, embora não tenhamos simetria de reflexão nem simetria de translação. Nesse caso, dizemos que as duas figuras são simétricas e que há entre elas uma simetria de rotação. 25 Matemática VOLUME 7 Unidade 4 Os números racionais 26 Os racionais na forma de fração Todo número racional pode ser escrito na forma , com a e b inteiros e b ≠ 0. 27 Os racionais na forma de fração Podemos obter frações equivalentes multiplicando ou dividindo o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número natural, diferente de zero. 28 Os racionais na forma de fração Ao dividir o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número natural, maior do que 1, estamos fazendo a simplificação da fração. fração irredutível 29 Comparação de frações Como os denominadores das frações são iguais, a maior fração é aquela que possui o numerador maior. Como os numeradores das frações são iguais, a maior fração é aquela que possui odenominador menor. 30 Comparação de frações Ao comparar frações com numeradores e denominadores diferentes, será preciso reduzi-las a um mesmo denominador. 31 Adição e subtração de frações Em uma adição (ou subtração) de frações com denominadores iguais, adiciona-se (ou subtrai-se) os numeradores e mantêm-se os denominadores. 5 24 1 24 + = 6 24 1 4 = Em uma adição (ou subtração) de frações com denominadores diferentes, obtém-se as frações equivalentes a elas com denominadores iguais e realiza-se a adição (ou subtração) com as frações obtidas. 1 4 1 6 + = 1 4 2 8 = 3 12 = 1 6 2 12 = 3 12 2 12 + = 5 12 32 Multiplicação e divisão de frações Para multiplicar um número inteiro por um número racional na forma de fração, multiplicamos o número inteiro pelo numerador da fração e conservamos o denominador. Para multiplicar números racionais na forma de fração, multiplicam-se os numeradores entre si e multiplicam-se os denominadores entre si. Para dividir uma fração por outra fração, diferente de zero, multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda. 33 Números racionais na forma decimal A leitura de um número racional na forma decimal auxilia a escrita desse número na forma de fração. Para obter a forma decimal de um número racional na forma de fração, podemos determinar uma fração decimal equivalente. 85 100 0,85 = 17 20 = 2 5 = 4 10 = 0,4 Para comparar as massas de dois desses pacotes, primeiro comparamos a parte inteira em quilograma. Caso a parte inteira seja igual, comparamos a parte decimal: inicialmente os décimos, depois os centésimos, e assim por diante. 34 Números racionais na forma decimal adição, subtração, multiplicação e divisão 35 Matemática VOLUME 7 Unidade 5 Expressões algébricas e equações 36 Expressões algébricas Expressões matemáticas que apresentam números e letras, ou somente letras, envolvendo operações são denominadas expressões algébricas. Em certa pizzaria, a taxa de entrega é calculada da seguinte maneira: um valor fixo de R$ 3,00 mais R$ 1,25 por quilômetro de deslocamento. As letras das expressões algébricas representam números e são chamadas de variáveis. 37 Sequências Nessa sequência numérica, podemos indicar o primeiro termo por a1, o segundo por a2, o terceiro por a3, e assim por diante. 38 Sequências Podemos usar a expressão an = 2n + 1 para obter um termo qualquer da sequência numérica (3, 5, 7, 9, ...) sem necessariamente conhecermos o termo anterior. Assim, dizemos que essa expressão define a sequência de maneira não recursiva. 39 Equações Equação é toda sentença matemática expressa por uma igualdade em que letras representam números desconhecidos. 2p + 24 = 50 Equação p = 13 Raiz ou solução Verificação 2 · 13 + 24 = 50 26 + 24 = 50 50 = 50 Resolver uma equação consiste em obter suas raízes ou soluções, ou seja, determinar o número correspondente a cada incógnita que torna a sentença verdadeira. Essas letras são chamadas incógnitas. 40 Equações do 1° grau Resolver a equação significa obter sua solução no universo dado, caso exista. Vamos resolver a equação 5x + 1 = 36, sendo U = Na prática Como 7, temos que 7 é a raiz ou solução da equação. 41 Equações do 1° grau Agora, vamos resolver a equação 7x = 4x + 5, sendo U = Na prática Como , temos que é a raiz ou solução da equação. 42 Equações do 1° grau Vamos resolver a equação 9x - 7 = 5x + 13, sendo U = Na prática Como 5 , temos que 5 é a raiz ou solução da equação. 43 Matemática VOLUME 7 Unidade 6 Proporcionalidade e simetria 44 Razão A razão pode ser lida: razão de a para b ou a está para b ou a para b. Sendo a e b dois números racionais, com b ≠ 0, denomina-se razão entre a e b ou razão de a para b o quociente ou a : b. A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que exprimem as suas medidas, sempre tomadas na mesma unidade. 45 Razão A razão entre dois números ou entre duas grandezas (mesmo de espécies diferentes) também pode ser expressa na forma decimal. Além da forma fracionária e da forma decimal, a razão pode ser representada na forma percentual, com o símbolo %. = 45 90 5 10 = 1 2 0,5 = Clarice acertou 45 questões de um exame composto de 90 questões. O desempenho de Clarice é medido pela razão entre o número de acertos e o total de questões. 30 100 = 0,30 30% = 46 Proporção Quando a razão entre os números a e b, nessa ordem, e a razão entre os números c e d, nessa ordem, são iguais, elas formam uma proporção. Nesse caso, é uma proporção que pode ser lida da seguinte maneira: a está para b, assim como c está para d. Dizemos que os números a, b, c e d são os termos da proporção. Além disso, os números a e d (primeiro e último termos) são os extremos da proporção. Já os números b e c (segundo e terceiro termos) são os meios da proporção. Em uma proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. 47 Relação entre grandezas Os números racionais x, y e z são diretamente proporcionais aos números racionais a, b e c, quando se tem: Uma torneira é aberta para encher um reservatório. De tempos em tempos, a altura da água no reservatório é medida, e os resultados dessas medições encontram-se na tabela a seguir. 48 Relação entre grandezas Os números racionais x, y e z são inversamente proporcionais aos números racionais a, b e c, quando se tem: x · a = y · b = z · c. Uma bolinha deve se deslocar de um ponto A até um ponto B. A velocidade da bolinha e o tempo correspondente que ela gasta nesse deslocamento estão indicados na tabela seguinte: 49 Relação entre grandezas Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra também dobra; triplicando uma delas, a outra também triplica, e assim por diante. Quando duas grandezas variam sempre na mesma razão, dizemos que essas grandezas são diretamente proporcionais. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra se reduz para a metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte, e assim por diante. Quando duas grandezas variam uma na razão inversa da outra, dizemos que essas grandezas são inversamente proporcionais. 50 Matemática VOLUME 7 Unidade 7 Medidas de superfície 51 Medidas de superfície Área do retângulo Área do quadrado 52 Medidas de superfície Área do paralelogramo Área do triângulo 53 Medidas de superfície Área do trapézio 54 Medidas de volume Volume do paralelepípedo Volume do cubo 55 Unidades de medidas de volume A unidade de medida de volume do Sistema Internacional de Unidades (SI) é o metro cúbico (m³). Um metro cúbico corresponde ao volume de um cubo com a medida da aresta 1 m. Um decímetro cúbico (1 dm3) corresponde ao volume de um cubo com a medida da aresta 1 dm. Um centímetro cúbico (1 cm3) corresponde ao volume de um cubo com a medida da aresta 1 cm. 56 Matemática VOLUME 7 Unidade 8 Estatística e probabilidade 57 Estatística Média aritmética 58 Tabelas simples de dupla entrada Pesquisa Estatística Medidas de centralidade Gráficos de colunas de barras de segmentos de setores Estatística Tabelas simples 59 Estatística Tabelas de dupla entrada 60 Estatística Gráfico de colunas 61 Estatística Gráfico de barras 62 Estatística Gráfico de setores Gráfico de segmentos 63 Estatística Média A média ou média aritmética é uma medida de tendência central que pode ser usada para apresentar de maneira resumida um conjunto de dados. 64 Pesquisa estatística O conjunto de todos os elementos, que tem a característica do interesse da pesquisa, é chamado de população. Uma amostra é um subconjunto dos elementos da população. Em Estatística, temos dois tipos de pesquisa, a censitária e a amostral. Na pesquisa censitária, todosos elementos de determinada população são pesquisados. A pesquisa amostral é feita com uma parte predeterminada da população de interesse. 65 Elaboração do questionário Definição do público entrevistado Coleta de dados Organização dos dados Apresentação dos resultados Probabilidade Ao lançarmos uma moeda honesta, conhecemos todos os resultados possíveis (cara ou coroa), mas não sabemos qual será o resultado antes do lançamento. Esse tipo de experimento, que, mesmo repetido várias vezes sob as mesmas condições, apresenta resultados imprevisíveis, é chamado de experimento aleatório. A probabilidade (P) é dada pela razão entre o número de possibilidades favoráveis e o número total de possibilidades. Todos os resultados possíveis de um experimento aleatório formam um conjunto chamado espaço amostral, e cada subconjunto do espaço amostral é chamado de evento. 66 image1.png image2.png image3.png image4.emf image5.emf image6.emf image7.emf image8.emf image9.emf image10.emf image11.emf image12.png image13.emf image14.emf image15.emf image16.png image16.emf image17.emf image18.emf image19.emf image20.emf image21.emf image22.emf image23.emf image24.emf image25.emf image26.emf image27.emf image28.emf image29.emf image30.emf image31.emf image32.emf image33.emf image34.emf image36.png image35.emf image36.emf image37.emf image38.emf image39.emf image40.emf image41.emf image42.emf image43.emf image44.emf image45.emf image46.emf image47.emf image48.emf image49.emf image50.emf image51.emf image52.emf image53.emf image54.emf image55.emf image56.emf image57.emf image58.emf image59.emf image60.emf image61.emf image62.emf image63.emf image64.emf image65.emf image66.emf image67.emf image65.png image68.emf image69.emf image70.emf image71.emf image70.png image71.png image74.png image72.emf image73.emf image74.emf image75.emf image79.png image76.emf image77.emf image78.emf image79.emf image80.emf image81.emf image86.png image82.emf image83.emf image85.png image84.emf image85.emf image86.emf image87.emf image93.png image88.emf image89.emf image90.emf image91.emf image92.emf image93.emf image94.emf image95.emf image96.emf image97.emf image98.emf image99.emf image100.emf image101.emf image102.emf image103.emf image104.emf image105.emf image106.emf image107.emf image108.emf image109.emf image110.emf image111.emf image112.emf image113.emf image114.emf image115.emf image116.emf image117.emf image118.emf image119.emf image120.emf image121.emf image122.emf image123.emf image124.emf image125.emf image126.emf image127.emf