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Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Psicotécnico - 
Associações Lógicas
   2
A L F A C O N
Sumário
Psicotécnico - Associações Lógicas ����������������������������������������������������������������������������3
Psicotécnico - Associações Lógicas  3
A L F A C O N
Psicotécnico - Associações Lógicas
(FGV - 2022 - SEFAZ-BA - AGENTE DE TRIBUTOS ESTADUAIS)
1� As amigas Ana, Bia e Carol, têm idades diferentes. Uma delas é médica, outra é enfermeira e a outra é professora. 
Cada uma delas tem um animal de estimação diferente: gato, cachorro e peixe de aquário.
Sabe-se que:
• A mais nova é a professora.
• Ana adora seu cachorro.
• A enfermeira é a dona do gato.
• Carol não é a médica.
• Bia é a mais velha.
• A médica não é a mais velha.
É correto concluir que
a) Ana é a enfermeira.
b) Bia é a dona do peixe.
c) Carol é a mais velha.
d) Ana é a mais nova.
e) Bia é a dona do gato.
(FGV - 2022 - PREFEITURA DE MANAUS-AM - ESPECIALISTA EM SAÚDE)
2� Três amigos, Gael, Miguel e Gabriel moram em três bairros diferentes de Manaus. Um mora no Centro, outro mora 
em Flores e outro, em Aleixo.
Considere as seguintes informações:
• Gael é casado com a irmã de Gabriel e é mais velho do que quem mora em Aleixo.
• Quem mora em Flores é filho único e é o mais novo dos três amigos.
É correto concluir que
a) Gael mora em Flores.
b) quem mora no Centro é mais novo que Miguel.
c) Gabriel mora em Aleixo.
d) quem mora no Centro é mais novo que Gabriel.
e) o mais velho não mora no Centro.
Psicotécnico - Associações Lógicas  4
A L F A C O N
(FGV - 2022 - CBM-AM – OFICIAL)
3� Os amigos Abel, Breno e Caio são casados e suas esposas chamam-se Manuela, Nina e Paula. Sabe-se que:
• Duas dessas três moças são irmãs.
• Paula não é esposa de Abel.
• Breno é casado com a irmã de Paula.
• O casamento de Manuela ocorreu depois do casamento de Abel.
É correto concluir que
a) Caio é casado com Nina.
b) Manuela não é esposa de Breno.
c) Abel é casado com Nina.
d) Nina é a irmã de Paula.
e) Nina é esposa de Breno.
(VUNESP - 2022 - CÂMARA MUNICIPAL DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS-SP - TÉCNICO LEGISLATIVO)
4� Cinco poltronas, numeradas de 1 a 5, estão lado a lado em uma fileira. Ao lado da poltrona 1, só está a poltrona 2, ao 
lado da poltrona 5, só está a poltrona 4, e ao lado da poltrona 3, estão as poltronas 2 e 4. Cinco amigos, identificados 
apenas pelas inicias P, Q, R, S e T, irão se sentar nessas poltronas de acordo com as seguintes regras:
• Entre P e Q deve haver exatamente uma poltrona.
• Entre R e S deve haver exatamente duas poltronas.
• T não deve se sentar ao lado de Q e nem ao lado de S.
Obedecidas essas regras, quem irá se sentar na poltrona 3 é
a) P.
b) Q.
c) R.
d) S.
e) T.
Psicotécnico - Associações Lógicas  5
A L F A C O N
(VUNESP - 2022 - TJ-SP - PSICÓLOGO JUDICIÁRIO)
5� Hugo, Isabelly e Yasmin moram em cidades diferentes e praticam esportes diferentes, cada um praticando um único 
esporte. Eles moram nas cidades de São Paulo, São Pedro e São Vicente, não necessariamente, nessa ordem, e 
os esportes que praticam são mergulho, parapente e skate, também, não necessariamente, nessa ordem. Sabe-se 
que quem voa de parapente não mora em São Vicente; Yasmin não mergulha e não mora em São Paulo; Hugo mora 
em São Pedro e não voa de parapente; e quem mora em São Paulo não mergulha.
Com essas informações, conclui-se corretamente que
a) Isabelly pratica parapente.
b) quem mergulha mora em São Vicente.
c) quem mora em São Paulo pratica skate.
d) Yasmin mora em São Pedro.
e) Hugo pratica skate.
(CEFET-MG - 2022 - CEFET-MG - TÉCNICO LABORATÓRIO)
6� Antônia, Joana e Lúcia são amigas que moram em cidades distintas: Brasília, Belo Horizonte e São Paulo. Cada uma 
delas frequenta apenas um dos seguintes cursos: Engenharia, Direito e Arquitetura. Não há duas delas que moram 
na mesma cidade nem que frequentam o mesmo curso. Além disso, sabe-se que:
I� Antônia não mora em Belo Horizonte.
II� Joana não mora em São Paulo.
III� A amiga que mora em Belo Horizonte não cursa Direito.
IV� A amiga que mora em São Paulo cursa Arquitetura.
V� Joana não cursa Engenharia.
Com base nessas informações, é correto afirmar que Lúcia mora em __ e __ cursa .
Os termos que preenchem, correta e respectivamente, as lacunas são:
a) Brasília e Direito
b) Brasília e Engenharia
c) São Paulo e Arquitetura
d) Belo Horizonte e Engenharia
e) Belo Horizonte e Arquitetura
Psicotécnico - Associações Lógicas  6
A L F A C O N
(IPEFAE - 2022 - CÂMARA DE ESPÍRITO SANTO DO PINHAL-SP - COORDENADOR DE ADMINISTRAÇÃO E FINANÇAS)
7� Vera fez quatro atividades na última semana: lavou roupa, tocou guitarra, assistiu um filme e leu um livro. Cada 
atividade foi feita uma única vez na semana em dias diferentes que foram: segunda-feira, terça-feira, sexta-feira 
ou sábado. Em cada dia ela utilizou um adorno diferente na cabeça: boné, chapéu, tiara ou laço. Usando as pistas 
abaixo podemos afirmar que o dia da semana e o adorno de cabeça que ela utilizou quando assistiu um filme foram 
respectivamente:
Pistas:
I� Vera lavou roupa no sábado, mas não utilizou boné nesse dia.
II� Vera tocou guitarra depois de ter assistido um filme. Nesse dia ela utilizou um chapéu.
III� Vera usou um laço quando leu um livro, que não foi na segunda-feira.
IV� Vera não utilizou laço na sexta-feira
a) Segunda-feira e boné.
b) Terça-feira e laço.
c) Sexta-feira e chapéu.
d) Sábado e tiara.
Gabarito
1� E
2� C
3� C
4� A
5� A
6� D
7� A
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Psicotécnico - 
Correlacionamentos 
e Princípio da Casa de 
Pombos
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A L F A C O N
Sumário
Psicotécnico - Correlacionamentos e Princípio da Casa de Pombos �������������������������� 3
Psicotécnico - Correlacionamentos e Princípio da Casa de Pombos  3
A L F A C O N
Psicotécnico - Correlacionamentos e Princípio 
da Casa de Pombos
(FGV - 2022 - PREFEITURA DE MANAUS-AM - ESPECIALISTA EM SAÚDE)
1� Rafael fez certo percurso partindo do ponto A da figura a seguir, andando apenas sobre as linhas do quadriculado e 
fazendo diversos movimentos em sequência. A unidade de movimento de um percurso é o lado de um quadradinho.
Cada uma das quatro letras a seguir representa o movimento de 1 unidade em cada uma das quatro direções: N = 
norte, S = sul, L = leste e O = oeste.
Rafael fez, em sequência, os movimentos representados pelo código L L N L L L N N O N L N, chegando ao ponto B.
Um código que permite a Rafael sair de B e chegar em A é
a) O S S O O O S L S S O O
b) O O S S O S S O O
c) L S S S O S O O S O O
d) O O S S S O S S O O
e) O O S O S S L S O O O S
(FGV - 2022 - MPE-GO - SECRETÁRIA ASSISTENTE)
2� Cinco amigas, Ana, Bia, Carol, Deise e Elisa, foram ao cinema e sentaram-se em cinco cadeiras consecutivas.
Passados 5 minutos, Ana trocou de lugar com Deise e Carol trocou de lugar com Elisa. Passados mais 5 minutos, 
Bia trocou de lugar com Ana e Deise trocou de lugar com Elisa.
Após essas trocas, a ordem delas era: Ana, Elisa, Bia, Carol e Deise (AEBCD).
Representando cada uma delas pela letra inicial do respectivo nome, a ordem inicial em que elas estavam sentadas foi
a) BCAED.
b) DCBEA.
c) DAEBC.
d) EABDC.
e) BADEC.
Psicotécnico - Correlacionamentos e Princípio da Casa de Pombos  4
A L F A C O N
(FCC - 2022 - PGE-AM - ASSISTENTE PROCURATORIAL)
3� Em um jogo de futebol o vencedor ganha 3 pontos e o perdedor 0. Se houver empate, cada time ganha 1 ponto. As 
equipes A, B, C e D jogaram um torneio em que cada uma delas jogou exatamente uma vez contra a outra. Ao final 
do torneio, a equipe A obteve 7 pontos e as equipes B e C obtiveram 4 pontos cada uma. O número de pontos que 
a equipe D obteve foi:
a) 2
b) 0
c) 1
d) 4
e) 3
(INSTITUTO AOCP - 2022 - IPE PREV - ANALISTA EM PREVIDÊNCIA)
4� Na figura a seguir, há um quadro com nove células, com 3 linhas e 3 colunas, tal que os números em cada célula 
foram dispostos seguindo determinada regra, sendo que não foi identificado o número correspondenteà letra X, 
que ocupa a célula central do quadro:
Seguindo tal regra, o número inteiro e positivo que corresponde à letra X nesse quadro é igual a
a) 26.
b) 18.
c) 14.
d) 30.
e) 22.
(IBADE - 2022 - PREFEITURA DE SÃO PAULO-SP - GUARDA CIVIL METROPOLITANO)
5� Considere que em uma sala de aula há N alunos. O professor afirma aos alunos que há, pelo menos, 4 alunos diferentes 
fazendo aniversário no mesmo mês. Para tornar essa afirmação obrigatoriamente verdadeira, o valor mínimo de N é:
a) 4.
b) 12.
c) 48.
d) 25.
e) 37.
Psicotécnico - Correlacionamentos e Princípio da Casa de Pombos  5
A L F A C O N
(CEFET-MG - 2022 - CEFET-MG - TÉCNICO LABORATÓRIO)
6� Os amigos João, Carlos, Maria, Laura e Miguel têm diferentes idades. Sabe-se que:
I- Maria é mais nova que Miguel.
II- João e Miguel são mais novos que Carlos.
III- Laura é mais velha que Carlos.
IV- João é mais velho que Miguel.
Com base nessas informações, em ordem decrescente de idades, esses amigos podem ser corretamente ordenados 
da seguinte maneira:
a) Maria, Miguel, João, Carlos e Laura.
b) Maria, João, Miguel, Carlos e Laura.
c) Laura, Carlos, João, Miguel e Maria.
d) Laura, Carlos, João, Maria e Miguel.
e) Carlos, Laura, Miguel, João e Maria.
(CEFET-MG - 2022 - CEFET-MG - TECNÓLOGO)
7� Um código usado para decifrar mensagens é construído a partir da troca de letras. Considerando a ordem alfabética, 
cada letra será trocada, na sequência enviada, da seguinte forma: substitui-se cada consoante dessa sequência 
pela consoante anterior e cada vogal pela vogal posterior, dando assim origem à palavra recebida. Uma sequência 
de letras foi enviada e, após decifrada, deu origem à palavra PERIGO.
Dessa forma, a sequência de letras enviada foi
a) NIQOFU.
b) NAQEFO.
c) QASEHI.
d) QISOHU.
e) QFSJHP.
Psicotécnico - Correlacionamentos e Princípio da Casa de Pombos  6
A L F A C O N
(OBJETIVA - 2022 - PREFEITURA DE HORIZONTINA-RS - AGENTE COMUNITÁRIO DE SAÚDE)
8� No quadro abaixo, a segunda palavra foi obtida a partir da primeira, seguindo certa regra na remoção das suas sílabas. 
Sendo assim, assinalar a alternativa que contém a palavra que substitui o ponto de interrogação CORRETAMENTE:
a) LEGO
b) LEDO
c) LAGO
d) GELO
e) GADO.
Gabarito
1� E
2� E
3� C
4� C
5� E
6� C
7� C
8� E
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MUDE SUA VIDA! 
1 
 
RLM – PSICOTÉCNICO 
SEQUÊNCIAS LÓGICAS 
 (FGV - 2022 - SEFAZ-BA - AGENTE DE TRIBUTOS ESTADUAIS) 
1. Os números naturais foram escritos em uma tabela de 4 linhas como na figura a seguir. 
 
As linhas são numeradas de baixo para cima e as colunas são numeradas da esquerda para a 
direita. 
O número da linha e o número da coluna onde está o número 2022 são, respectivamente, 
a) (A) 2 e 253. 
b) (B) 3 e 253. 
c) (C) 2 e 506. 
d) (D) 3 e 506. 
e) (E) 4 e 524. 
 
(FGV - 2022 - MPE-GO - SECRETÁRIA ASSISTENTE) 
2. 11 pessoas, numeradas sequencialmente de 1 a 11 estão dispostas em torno de uma 
mesa circular de forma que a pessoa seguinte à pessoa 11 é a pessoa 1. 
Em um jogo, cada pessoa, na sua vez, deve dizer uma letra do alfabeto e, após isso, a pessoa 
seguinte deve dizer a letra seguinte do alfabeto. O jogo começou pela pessoa 1 que disse A. 
Dessa forma, a pessoa 2 disse B, a pessoa 3 disse C e assim por diante. Considere que, no 
alfabeto de 26 letras, a letra seguinte ao Z seja o A. 
A sexta letra Z foi dita pela pessoa 
a) 2. 
b) 5. 
c) 8. 
d) 9. 
e) 11. 
 
(VUNESP - 2022 - AL-SP - ANALISTA LEGISLATIVO) 
3. A sequência de números a seguir foi construída com um padrão lógico e é uma sequência 
ilimitada: 
1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 40, .... 
A partir dessas informações, identifique o termo da posição 74 e o termo da posição 95. A 
soma destes dois termos é igual a 
a) 266. 
b) 244. 
c) 277. 
d) 233. 
e) 255. 
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MUDE SUA VIDA! 
2 
 
 
(IBADE - 2022 - SEA-SC - ANALISTA DE INFORMÁTICA) 
4. A sequência numérica a seguir segue um padrão lógico matemático. O próximo elemento 
da sequência é: 
1 - 4 - 27 - 256 - … 
a) 512. 
b) 3.125. 
c) 1.024. 
d) 625. 
e) 2.048. 
 
(CS-UFG - 2022 - UFJ - TÉCNICO EM TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO) 
5. Qual é o próximo termo da sequência numérica 1, 7, 19, 37, 61, ...? 
a) 90 
b) 91 
c) 97 
d) 103 
e) 106 
 
(OBJETIVA - 2022 - PREFEITURA DE SÃO MARCOS-RS - MÉDICO) 
6. Analisando-se o padrão de construção da sequência numérica abaixo, assinalar a 
alternativa que apresenta o próximo termo dessa sequência, de modo que o padrão seja 
mantido: 
5, 15, 30, 90, 180, 540, 1080, ? 
a) 3.620 
b) 3.240 
c) 2.560 
d) 2.160 
 
(SELECON - 2022 - SEJUSP-MG - POLICIAL PENAL - AGENTE PENITENCIÁRIO) 
7. “Com a colaboração de comerciantes locais e da prefeitura municipal, o Presídio de 
Nepomuceno, no Sul de Minas, iniciou, na segunda quinzena de novembro, a fabricação de 
blocos de concreto.” 
(FONTE: http://www.seguranca.mg.gov.br/S.Acesso em 02/12/2021) 
Considera-se que, na tabela a seguir, esteja registrado o número de unidades de blocos de 
concreto que deverá ser produzido nos seis primeiros meses de 2022. 
 
Nesse planejamento, a quantidade a ser produzida em cada mês segue um determinado 
padrão. Se este padrão for mantido até o mês de dezembro de 2022, em outubro será 
produzida a seguinte quantidade de unidades de blocos de concreto: 
a) 1964 
b) 2000 
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MUDE SUA VIDA! 
3 
 
c) 2084 
d) 2176 
 
(METROCAPITAL SOLUÇÕES - 2022 - PREFEITURA DE NOVA ODESSA-SP - AGENTE 
COMUNITÁRIO DE SAÚDE) 
8. Observe a sequência numérica: 
 
O 8º termo da sequência, que completa a figura é: 
a) 55. 
b) 59. 
c) 61. 
d) 68. 
e) 71. 
 
(AVANÇA SP - 2022 - PREFEITURA DE LARANJAL PAULISTA-SP - PROFESSOR) 
9. Observe a sequência de números abaixo: 
 
Qual será o próximo número dessa sequência? 
a) 65. 
b) 68. 
c) 72. 
d) 79. 
e) 81. 
 
(FUNDEP - 2022 - CÂMARA DE PIRAPORA-MG - ASSESSOR JURÍDICO) 
10. Observe a sequência de números a seguir. 
 
Qual é o número que completa essa sequência? 
a) 330. 
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MUDE SUA VIDA! 
4 
 
b) 329. 
c) 326. 
d) 325. 
 
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MUDE SUA VIDA! 
5 
 
GABARITO
 
1. D 
2. A 
3. C 
4. B 
5. B 
6. B 
7. C 
8. C 
9. E 
10. C 
 
 
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Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Psicotécnico - Verdades e 
Mentiras
   2
A L F A C O N
Sumário
Psicotécnico - Verdades e Mentiras �����������������������������������������������������������������������������3
Psicotécnico - Verdades e Mentiras  3
A L F A C O N
Psicotécnico - Verdades e Mentiras
(FGV - 2022 - SSP-AM - ASSISTENTE OPERACIONAL)
1� Eva, Bia e Gal encontraram-se para almoçar e estavam com bolsas parecidas, mas com cores diferentes. Uma bolsa 
era cinza, outra era marrom e outra era preta.
Das afirmativas seguintes, somente uma é verdadeira:
• Eva está com a bolsa preta.
• Bia não está com a bolsa marrom.
• Gal não está com a bolsa preta.
É correto afirmar que
a) Eva tem a bolsa marrom.
b) Bia tem a bolsa preta.
c) Gal tem a bolsa marrom.
d) Eva tem a bolsa cinza.
e) Bia não tem a bolsa cinza.
(FGV - 2022 - SEFAZ-ES - CONSULTOR DO TESOURO ESTADUAL)
2� Na mesa de Antônio há três gavetas: A, B e C. Uma gaveta contém documentos, outra contém chocolates e a ter-
ceira contém dinheiro.
Sabe-se que das afirmativas a seguir sobre as gavetas somente uma é verdadeira.
• A tem dinheiro.
• B não tem chocolates.
• C não tem dinheiro.
Assim, é correto afirmar que
a) A tem chocolates.
b) B tem dinheiro.
c) C tem chocolates.
d) A tem documentos.
e) B não tem documentos.
Psicotécnico - Verdades e Mentiras  4
A L F A C O N
(CEFET-MG - 2022 - CEFET-MG - TECNÓLOGO)
3� Uma das questões de uma prova de concurso consistia em analisar três sentenças como sendo, cada uma delas, 
verdadeira (V)ou falsa (F). As respostas de três candidatos, Carlos, Daniel e Vânia, para essas sentenças, estão 
registradas no quadro a seguir:
Sobre as respostas desses candidatos a essas sentenças, sabe-se que um deles acertou todas elas, que um deles 
errou todas e que o outro respondeu corretamente a apenas duas delas.
Com base nessas informações, é correto afirmar que
a) Daniel errou todas as respostas.
b) Vânia errou apenas duas das respostas.
c) Carlos acertou apenas duas das respostas.
d) Daniel e Vânia acertaram, cada um, apenas uma resposta.
e) Carlos acertou todas as repostas e Daniel errou apenas uma das respostas.
(CEFET-MG - 2022 - CEFET-MG - TECNÓLOGO)
4� Beatriz, professora de Matemática, sabia que apenas um de seus alunos, dentre Clara, Pedro, Artur, Lara ou Júlia, 
tinha obtido a nota máxima em uma prova. Porém, ela não se lembrava do nome desse(a) aluno(a) e perguntou a 
eles, que, brincando com a professora, deram as seguintes respostas:
Clara: – “Eu não tirei a nota máxima”.
Pedro: – “Foi a Júlia quem obteve a nota máxima”.
Artur: – “Clara está dizendo a verdade”.
Lara: – “Pedro está mentindo”.
Júlia: – “Foi a Lara quem obteve a nota máxima”.
Sabendo que apenas um deles está mentindo, quem tirou a nota máxima foi
a) Arthur.
b) Pedro.
c) Clara.
d) Júlia.
e) Lara.
Psicotécnico - Verdades e Mentiras  5
A L F A C O N
(NUCEPE - 2022 - PM-PI - SOLDADO)
5� Manoela, Natacha e Perla são profissionais da área de segurança. Uma delas é policial militar; outra, agente de 
polícia civil e a outra, delegada; não necessariamente nessa ordem. Sabe-se que somente uma das afirmações 
seguintes é verdadeira:
Manoela é policial militar.
Natacha não é policial militar.
Perla não é agente de polícia civil.
Afirma-se, então, CORRETAMENTE, que
a) Manoela é policial militar, e Natacha é delegada.
b) Manoela é agente de polícia civil, e Perla é delegada.
c) Perla é policial militar, e Natacha é agente de polícia civil.
d) Natacha é delegada, e Perla é policial militar.
e) Perla é policial militar, e Manoela é agente polícia civil.
(VUNESP - 2021 - TJM-SP - DESENVOLVEDOR)
6� Em um congresso de matemáticos, Marcelo, Patrícia e Sabrina participaram de uma oficina de lógica. Em uma das 
atividades, eles deveriam ter um diálogo de maneira que cada um ou falasse apenas verdades ou apenas mentiras. 
O diálogo foi o seguinte:
Marcelo: Patrícia e Sabrina estão falando mentiras.
Patrícia: Amanhã será primeiro de março.
Marcelo: Hoje não é 29 de fevereiro.
Sabrina: Patrícia está mentindo.
Esses três matemáticos sabiam o dia correto da oficina, logo quem mentia era
a) apenas Marcelo.
b) apenas Patrícia.
c) Marcelo e Patrícia.
d) Marcelo e Sabrina.
e) Marcelo, Patrícia e Sabrina
Psicotécnico - Verdades e Mentiras  6
A L F A C O N
(FGV - 2021 - BANESTES - ANALISTA EM TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO)
7� Hugo, Lauro e Mário são funcionários de um escritório de investimentos e trabalham com áreas diferentes: um 
trabalha com mercado de ações, outro com previdência e outro com multimercado.
Dentre as afirmativas abaixo, somente uma é verdadeira:
• Hugo trabalha com previdência.
• Lauro não trabalha com previdência.
• Mário não trabalha com multimercado.
Assim, é correto afirmar que:
a) Hugo trabalha com multimercado;
b) Hugo trabalha com previdência;
c) Lauro trabalha com ações;
d) Lauro trabalha com multimercado;
e) Mário trabalha com previdência.
Gabarito
1� A
2� A
3� E
4� E
5� B
6� D
7� A
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Psicotécnico - Jogos, 
Calendários e Outros
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A L F A C O N
Sumário
Psicotécnico - Jogos, Calendários e Outros �����������������������������������������������������������������3
Psicotécnico - Jogos, Calendários e Outros  3
A L F A C O N
Psicotécnico - Jogos, Calendários e Outros
(FCC - 2022 - PGE-AM - ASSISTENTE PROCURATORIAL)
1� Beatriz quer escrever um número inteiro de 1 a 4 em cada um dos quadradinhos de um tabuleiro 4 × 4, de tal forma 
que não haja números repetidos na mesma linha ou na mesma coluna. A figura abaixo mostra alguns números que 
ela já escreveu.
Se Beatriz terminar de preencher o tabuleiro corretamente, a soma dos números que estarão nos quadradinhos 
destacados será:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9.
(FCC - 2022 - PGE-AM - ASSISTENTE PROCURATORIAL)
2� Um quadriculado 2 × 2 é preenchido com números do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, sem repetição. Em seguida, 
os números formados nas linhas e nas colunas são somados. Por exemplo, para o preenchimento do quadriculado 
abaixo, temos
Nessas condições, a maior soma possível é:
a) 339
b) 357
c) 348
d) 396
e) 354
Psicotécnico - Jogos, Calendários e Outros  4
A L F A C O N
(IBFC - 2022 - IBGE - AGENTE CENSITÁRIO DE ADMINISTRAÇÃO E INFORMÁTICA)
3� Paulo fez uma visita técnica a um estabelecimento no dia 12 de abril que foi numa quarta-feira, então, nesse mesmo 
ano, ao retornar a esse estabelecimento no dia 18 de setembro, o dia da semana será:
a) quinta-feira
b) segunda-feira
c) sábado
d) domingo
e) sexta-feira
(IBFC - 2022 - IBGE - COORDENADOR CENSITÁRIO DE ÁREA)
4� Em determinado ano, o dia 23 de maio foi numa terça feira. Desse modo, no mesmo ano, o dia 23 de novembro 
será numa:
a) quinta-feira
b) sexta-feira
c) sábado
d) domingo
e) segunda-feira
(FGV - 2022 - MPE-GO - SECRETÁRIA ASSISTENTE)
5� Renata, Sara e Tânia estão, nessa ordem, em uma fila. Sabe-se que há 10 pessoas na frente de Renata, 8 pessoas 
entre Renata e Sara e 7 pessoas depois de Tânia. Sabe-se ainda que Sara está no centro da fila.
O lugar que Tânia ocupa nessa fila é o
a) 30º.
b) 31º.
c) 32º.
d) 33º.
e) 34º.
Psicotécnico - Jogos, Calendários e Outros  5
A L F A C O N
(FCC - 2022 - TRT - 4ª REGIÃO (RS) - TÉCNICO JUDICIÁRIO)
6� Rafael, Jairo, Víctor e Verônica são amigos. Rafael é mais velho do que Verônica, Jairo é mais velho do que Víctor e 
mais novo do que Verônica. A lista ordenada, do mais jovem ao mais velho, é:
a) Víctor, Verônica, Rafael e Jairo.
b) Verônica, Víctor, Jairo e Rafael.
c) Jairo, Víctor, Verônica e Rafael.
d) Víctor, Jairo, Verônica e Rafael.
e) Víctor, Verônica, Jairo e Rafael.
(AOCP - 2021 - MPE-RS - TÉCNICO DO MINISTÉRIO PÚBLICO)
7� Em determinado ano, o mês de setembro terá 4 domingos e 5 sábados. Juliana precisa agendar uma reunião no mês 
de outubro desse ano e seu chefe só pode participar dessa reunião se ela cair em uma quinta-feira e na segunda 
quinzena. Dessa forma, as possibilidades de datas para essa reunião serão
a) 17 ou 24.
b) 18 ou 25.
c) 19 ou 26.
d) 20 ou 27.
e) 21 ou 28.
(CESPE/CEBRASPE - 2021 - IBGE - SUPERVISOR DE COLETA E QUALIDADE)
8� Os irmãos Pedro, Mateus e José foram entrevistados por um agente do IBGE que obteve deles as seguintes 
informações:
Pedro disse: “apenas um dos meus irmãos tem mais de 25 anos de idade.”;
Mateus disse: “apenas um dos meus irmãos tem mais de 30 anos de idade.”;
José disse: “meus dois irmãos têm mais de 28 anos de idade.”.
Considerando que as três afirmações estão corretas conclui-se, a respeito das idades dos três irmãos, que
a) Pedro tem menos de 30 anos, Mateus tem mais de 25 anos e José tem mais de 30 anos de idade.
b) Pedro tem mais de 28 anos, Mateus tem mais de 28 e José tem mais de 25 anos de idade.
c) Pedro tem 25 anos, Mateus tem 28 e José tem 30 anos de idade.
d) Pedro tem mais de 30 anos, Mateus tem mais de 28 anos e José tem no máximo 25 anos de idade
e) Pedro tem menos de 28 anos, Mateus tem mais de 30 anos e José tem mais de 25 anos de idade.
Psicotécnico - Jogos, Calendários e Outros  6
A L F A C O N
(CESPE/CEBRASPE - 2021 – CBM-AL – BOMBEIRO)
Em uma festa de confraternização do Corpo de Bombeiros, foi proposto um jogo para as crianças com as seguintes 
regras. Inicialmente, elas serão divididas em duas equipes: equipe cinza e equipe branca. Cada equipe receberá 
61 estrelas da mesma cor de sua equipe e um dado de seis faces, identificadas pelas seguintes letras: Z, P, P, I, I 
e D. Um tabuleiro com 120 posições seráutilizado. Cada equipe terá um capitão, e os capitães lançarão os dados 
simultaneamente na presença dos juízes. A cada nova rodada, cada capitão lançará o dado uma vez, e um número 
de estrelas será posicionado ou não no tabuleiro conforme a letra indicada como resultado do lançamento do 
dado, de acordo com a seguinte regra: Z = não colocar nenhuma estrela no tabuleiro; P = colocar duas estrelas no 
tabuleiro; I = colocar três estrelas no tabuleiro; D = colocar no tabuleiro a quantidade de estrelas correspondente 
ao dobro do valor do último lançamento de dado da equipe. A equipe vencedora será aquela que primeiro colocar 
as suas 61 estrelas no tabuleiro.
A figura a seguir ilustra um possível momento do jogo, em que as estrelas de cor cinza ocupam a parte superior do 
tabuleiro e as estrelas brancas ocupam a parte inferior.
Considerando essa situação hipotética, julgue os itens seguintes.
9� O número de estrelas brancas indicadas na figura poderá ser obtido com a seguinte sequência de resultados do 
lançamento do dado: P-P-I-Z-P-D-D-I.
Certo ( ) Errado ( )
10� É possível que uma equipe seja a vencedora do jogo após quatro lançamentos do dado.
Certo ( ) Errado ( )
11� Após 61 lançamentos do dado, uma equipe necessariamente vencerá o jogo.
Certo ( ) Errado ( )
Psicotécnico - Jogos, Calendários e Outros  7
A L F A C O N
Gabarito
1� B
2� B
3� B
4� A
5� C
6� D
7� C
8� D
9� Certo
10� Errado
11� Errado
Versão Condensada
RLM - Psicotécnico – 
Princípio da regressão ou 
reversão
   2
A L F A C O N
Sumário
RLM - Psicotécnico – Princípio da regressão ou reversão �������������������������������������������� 3
1. Princípio da regressão ou reversão ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
2. Na prática ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
RLM - Psicotécnico – Princípio da regressão ou reversão  3
A L F A C O N
RLM - Psicotécnico – Princípio da regressão ou 
reversão
1. Princípio da regressão ou reversão
É a resolução das questões de trás para frente, invertendo as operações envolvidas.
Se era para somar “indo”, então vai diminuir “voltando”. Se era pra multiplicar, vai diminuir, e se era para fazer “potên-
cia”, vai “tirar a raiz”, e vice-versa.
É um assunto 100% prático, aplicando apenas as operações matemáticas básicas.
2. Na prática
1� (FGV - 2023)
Dado um número racional N, diz-se que o seu inverso é o número racional M tal que N x M = 1. Considere a seguinte 
sequência de operações:
1ª Ao inverso de um número racional P, acrescenta-se 1.
2ª Ao inverso do resultado obtido na operação anterior, acrescenta-se 1.
3ª Ao inverso do resultado obtido na operação anterior, acrescenta-se 1.
Se o resultado obtido é 1,55, o valor de P está entre
a) 0 e 1.
b) 1 e 2.
c) 2 e 4.
d) 4 e 8.
2� (FCC - 2023)
O dobro do quadrado da metade de um número positivo vale 8. O número é:
a) 6
b) 8
c) 4
d) 5
e) 2
RLM - Psicotécnico – Princípio da regressão ou reversão  4
A L F A C O N
3� (Instituto Consulplan - 2023)
Júlio trabalha em uma instituição como responsável pelos pedidos de compras e licitações. Após uma mudança no 
sistema de cadastro das solicitações, Júlio precisa catalogar novamente todos os pedidos efetuados no último mês 
e reservou uma semana, exclusivamente, para isso. Na segunda- -feira, ele catalogou 1/5 dos pedidos mais 3. Já na 
terça-feira, ele catalogou 1/3 dos pedidos que sobraram mais 2. Considerando os pedidos restantes do dia anterior, 
1/6 deles foi catalogado por Júlio na quarta-feira. Sabendo-se que ainda faltam 30 pedidos para serem catalogados 
até o fim desta semana, quantos pedidos foram efetuados no último mês?
a) 45.
b)57.
c) 60.
d)75.
4� (FCC - 2022)
Na soma abaixo, letras iguais representam algarismos iguais e letras diferentes representam algarismos diferentes.
O valor de X é
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
e) 3.
5� (UNIOESTE - 2022)
Sabendo que a raiz quadrada, do produto de um número por 0,40, é igual a 88, é CORRETO afirmar que este número 
é igual a:
a) 19.360.
b) 17.744.
c) 12.025.
d) 14.040.
e) 13.960.
RLM - Psicotécnico – Princípio da regressão ou reversão  5
A L F A C O N
6� (FGV - 2022)
João foi a pé de sua casa até a casa de Maria. Para isso, ele caminhou duas quadras para o norte (N), uma quadra 
para o leste (L), mais uma quadra para o norte (N) e, finalmente, duas quadras para oeste (O). O caminho percorrido 
por João pode ser representado por: NNLNOO. João voltou para casa percorrendo o mesmo caminho em sentido 
contrário.
Usando o mesmo tipo de representação (use S para representar sul, se necessário), o caminho de volta para casa 
de João é representado por
a) SSOSLL.
b) OONLNN.
c) OOSLSS.
d) LLNLNN.
e) LLSOSS.
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Proposições - Conceitos e 
Negação
   2
A L F A C O N
Sumário
Proposições - Conceitos e Negação �����������������������������������������������������������������������������3
1. Conceitos Iniciais ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
1.1 O que é uma proposição .................................................................................................................................................... 3
1.2 Classificação ....................................................................................................................................................................... 3
1.3 Não são proposições ......................................................................................................................................................... 3
1.4 Princípios das proposições ............................................................................................................................................... 4
2. Negação de proposição (~) (¬) ‘modificador lógico’ ���������������������������������������������������������������������������������������������� 4
2.1 Dupla Negação ....................................................................................................................................................................5
3. Na prática ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5
Proposições - Conceitos e Negação  3
A L F A C O N
Proposições - Conceitos e Negação
1. Conceitos Iniciais
1.1 O que é uma proposição
Toda declaração (sentença declarativa – afirmação ou negação) que pode ser CLASSIFICADA em ou Verdadeiro 
(V) ou Falso (F).
Além disso as proposições têm verbo (ação) e o ‘sentido’ que gera a classificação
Obs�: o ‘sentido’ é ter sentido para a classificação, e não fazer sentido em si (em lógica dizemos que é o sentido 
completo ou a sentença fechada).
1.2 Classificação
Os valores lógicos das proposições são ou Verdadeiro (V) ou Falso (F).
Exemplos:
A: a educação muda o mundo.
P: os professores ensinam com amor.
b: 4 + 7 = 18.
q: o elefante voa.
Obs�: as proposições podem ser simbolizadas por letras do alfabeto, maiúsculas ou minúsculas.
1.3 Não são proposições
• Perguntas (?) – sentenças interrogativas
Ex.: qual a data da prova?
• Exclamações (!) – sentenças exclamativas
Ex.: prova muito fácil!
Proposições - Conceitos e Negação  4
A L F A C O N
• Ordens – sentenças imperativas
Ex.: Vá para casa e descanse.
• Frases sem verbo
Ex.: 12 de maio, dia do enfermeiro.
 ͫ Sentenças Abertas – sentenças com sujeito indefinido e que, por isso, não dá para classificar
Ex.: Aquele professor é inteligente.
Obs�: as perguntas, exclamações, ordens e frases sem verbo NUNCA serão proposições, contudo, as sentenças 
abertas podem virar proposição, paratanto basta “definir” o sujeito.
1.4 Princípios das proposições
• Princípio da Não Contradição: uma proposição NÃO pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
Ex: Eu sou mentiroso
• Princípio da Identidade: uma proposição verdadeira sempre será verdadeira, assim como uma proposição falsa 
sempre será falsa.
Ex: 2 é par
• Princípio do Terceiro Excluído: o valor logico de uma proposição ou é verdadeiro ou é falso, não existe uma ter-
ceira possibilidade.
2. Negação de proposição (~) (¬) ‘modificador lógico’
Negar uma proposição significa mudar o seu valor.
Então, se determinada proposição é verdadeira sua negação será falsa e vice-versa.
A outra ideia da negação de proposição é a negação do verbo ‘principal’ da proposição, ou seja, da ação (sem alterar 
o contexto da proposição ou mudar seus complementos).
Obs.: os símbolos da negação aparecem antes das letras que simbolizam as proposições e indicam que a proposição 
foi negada, logo, teve seu valor modificado.
Ex:
A: a lâmpada está acesa
~A: a lâmpada não está acesa
~A: a lâmpada está apagada
P: as apreensões da PRF aumentaram
~P: as apreensões da PRF não aumentaram
Q: as apreensões da PRF diminuíram
Proposições - Conceitos e Negação  5
A L F A C O N
Obs�: o uso de antônimos é possível na negação das proposições, porém é importante avaliar o contexto das pro-
posições para não cometer erros.
Obs.2: “não é verdade que”, “é mentira que”, “é falso que”, são indicativos de negação de proposição em alguns 
casos ou questões.
2.1 Dupla Negação
“Negar uma Negação é fazer uma Afirmação”.
~(~P) = P
Ex:
P: 3 é ímpar
~P: 3 não é ímpar
~(~P): 3 não é par = 3 é ímpar = P.
3. Na prática
(Quadrix - 2022)
Julgue o item.
A frase “Diga não às drogas!” não é um exemplo de proposição.
(Quadrix - 2022)
A frase “Qual será a vantagem de se ter uma ou duas corcovas?” é uma proposição interrogativa cuja negação é 
“Qual será a desvantagem de se ter uma ou duas corcovas?”.
(Quadrix - 2022)
Com relação a estruturas lógicas, julgue o item.
“Joinville é a cidade mais bonita do mundo” é a negação de “Florianópolis é a cidade mais bonita do mundo”.
Proposições - Conceitos e Negação  6
A L F A C O N
(SELECON - 2022)
Considere as três sentenças abaixo:
• O carro de João é preto.
• 2+ 3 = 4
• x + y/3 é um número inteiro.
O número de sentenças que podem ser consideradas proposições é igual a:
a) 3
b) 2
c) 1
d) 0
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Proposições - Tipos e 
Conectivos
   2
A L F A C O N
Sumário
Proposições - Tipos e Conectivos ��������������������������������������������������������������������������������3
1. Tipos de Proposições ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
2� Conectivos Lógicos ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 3
2.1 Conectivo E ......................................................................................................................................................................... 3
2.2 Conectivo OU ..................................................................................................................................................................... 4
2.3 Conectivo SE ..., ENTÃO ................................................................................................................................................... 4
2.4 Conectivo SE, E SOMENTE SE ......................................................................................................................................... 4
2.5 Conectivo OU ..., OU ......................................................................................................................................................... 4
3� Na prática ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5
Proposições - Tipos e Conectivos  3
A L F A C O N
Proposições - Tipos e Conectivos
1. Tipos de Proposições
As proposições podem ser simples ou compostas, dependendo da sua estrutura.
Proposições Simples são informações únicas que podem ser classificadas de imediato, não tem conectivos lógicos, 
não podem ser divididas e tem apenas 1 verbo.
Proposições Compostas tem mais de uma proposição simples em sua composição unidas pelos conectivos lógicos, 
podendo serem separadas/divididas e têm mais de 1 verbo.
Veja as principais características que diferenciam as proposições simples das proposições compostas:
Proposição Simples Característica Proposição Composta
CONECTIVO
DIVISÃO
Quantidade de VERBO
Ex:
A: Maria tem 3 anos (proposição simples)
P: Dan trabalha viajando (proposição simples)
M: Mano caminha diariamente e João joga futebol (proposição composta)
2. Conectivos Lógicos
São operadores lógicos usados para UNIR proposições simples e formar proposições compostas.
Ao todo são 5 os conectivos, veja:
2.1 Conectivo E
Nome: CONJUNÇÃO;
Símbolo: ∧;
Sinônimos: mas, porem e nem (e não);
Ideia: “tudo”
Ex: ser servidor público.
Proposições - Tipos e Conectivos  4
A L F A C O N
2.2 Conectivo OU
Nome: DISJUNÇÃO (normal ou inclusiva);
Símbolo: V;
Ideia: substituição, mas aceita “tudo”.
Ex: passar em um concurso público
2.3 Conectivo SE ..., ENTÃO
Nome: Condicional (ou implicação);
Símbolo: →;
Sinônimos: como, quando, pois, logo;
Ideia: condição, conclusão ou consequência.
Ex: “naturalidade” (pelo Estado)
2.4 Conectivo SE, E SOMENTE SE
Nome: Bicondicional (ou equivalência);
Símbolo: ↔;
Ideia: igualdade.
Ex: “naturalidade” (pela Cidade)
2.5 Conectivo OU ..., OU
Nome: DISJUNÇÃO EXCLUSIVA;
Símbolo: V;
Ideia: substituição, mas não pode “tudo”.
Ex: tomar posse em um cargo público
Obs�: a virgula pode ser sinônimo de qualquer conectivo dependendo do contexto, mas usualmente é mais sinônimo 
do E, OU, e SE, ENTÃO.
Quadro resumo:
Conectivo Nome Símbolo Sinônimo Ideia Simbolização da Proposição Composta
Proposições - Tipos e Conectivos  5
A L F A C O N
Conhecendo os termos do Condicional (e Bicondicional)
P então Q
P se, e somente se Q
3. Na prática
(Instituto Access - 2022)
Dentre as proposições a seguir, assinale a que é classificada como composta.
a) “José gosta de comer cenoura.”
b) “José trabalha e estuda.”
c) “Josué é muito inteligente.”
d) “Juca estuda no Rio do Janeiro.”.
(Instituto Access - 2022)
Dentre as proposições abaixo, assinale aquela que é classificada como simples.
a) “Amo minha mãe Maria de Fátima.”
b) “Mateus é filho do Beto ou do Golias.”
c) “Marina gosta de Batata e Cenoura.”
d) “Jussara é educada, não sai de casa sem escovar os dentes.”
Proposições - Tipos e Conectivos  6
A L F A C O N
(FUNDATEC - 2022)
O presidente dos Estados Unidos, se reuniu com o chanceler da Alemanha, na Casa Branca. O principal assunto do 
encontro foi a crise entre a Rússia e o Ocidente, à medida que as tensões e o acúmulo de tropas aumentam nas 
fronteiras ucranianas. Em entrevista coletiva ao final do encontro, o presidente americano afirmou que “Alemanha e 
EUA são parceiros e estão trabalhando juntos para encontrarmos uma solução diplomática”.
Disponível em: https://www.cnnbrasil.com.br/internacional. (Adaptado).
Considerando as informações acima, as letras proposicionais adequadas, os conectivos lógicos e a fala do presidente 
americano, assinale a opção correspondente à correta simbolização dessa fala.
a) P ∧ Q
b) P ∨ Q
c) P
d) P → Q
e) P ∨ ~Q
(Instituto Access - 2022)
Considere as proposições:
p: Vou estudar.
q: Não estou de folga do trabalho.
r: Estou bem de saúde.
Nesse caso, “se estou de folga do trabalho ou estou bem de saúde, então eu vou estudar”.
Assinale a opção que represente corretamente a proposição acima.
a) (qvr) → ¬p
b)(¬qvr) → p
c) (qʌr) → p
d)(¬qʌr) → p
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICOProposições - Tabela 
Verdade - Valores das 
Proposições Compostas
   2
A L F A C O N
Sumário
Proposições - Tabela Verdade - Valores das Proposições Compostas ����������������������� 3
1. Valores Lógicos das Proposições Compostas �������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
1.1 Tabela Verdade .................................................................................................................................................................... 3
1.2 Valor da Conjunção (P∧Q) ................................................................................................................................................. 4
1.3 Valor da Disjunção (PvQ) ................................................................................................................................................... 4
1.4 Valor da Condicional (P→Q) ...............................................................................................................................................5
1.5 Valor da Bicondicional (P↔Q) ...........................................................................................................................................5
1.6 Valor da Disjunção Exclusiva (PvQ) ...................................................................................................................................5
1.7 Quadro Resumo da Proposições Compostas ...................................................................................................................5
2. Tautologia, Contradição e Contingência ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 6
2.1 Tautologia .............................................................................................................................................................................6
2.2 Contradição .........................................................................................................................................................................6
2.3 Contingência .......................................................................................................................................................................6
3. Na prática ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 7
Proposições - Tabela Verdade - Valores das Proposições Compostas  3
A L F A C O N
Proposições - Tabela Verdade - Valores das 
Proposições Compostas
1. Valores Lógicos das Proposições Compostas
Os valores lógicos das proposições compostas dependem dos valores das proposições simples que a compõem e 
dos conectivos utilizados.
Se não tem os valores das proposições simples, o valor da proposição composta será dado pela TABELA VERDADE.
1.1 Tabela Verdade
Duas coisas importantes da tabela verdade:
• o número de linhas
Número de Linhas: 2n (em que “n” é o número de proposições simples diferentes)
Obs.: o número de linhas é importante pois como não se sabe os valores das proposições simples tem-se que tra-
balhar com todas as relações de valores entre elas.
• o preenchimento do cabeçalho e da tabela.
Cabeçalho e Tabela: o preenchimento do cabeçalho segue algumas regras, veja:
1. Proposições simples e suas negações (se houver)
2. Regra da expressão numérica (limitadores): (), [], {}
3. Conjunções e disjunções
4. Condicional
5. Bicondicional e disjunção exclusiva
6. Conectivo principal (o que é feito por último, o mais externo aos limitadores)
7. Última coluna (a última coluna da tabela verdade é a coluna de toda a proposição composta)
Proposições - Tabela Verdade - Valores das Proposições Compostas  4
A L F A C O N
Ex.: u → (~r v s)
1.2 Valor da Conjunção (P∧Q)
P Q PʌQ
1.3 Valor da Disjunção (PvQ)
P Q PvQ
Proposições - Tabela Verdade - Valores das Proposições Compostas  5
A L F A C O N
1.4 Valor da Condicional (P→Q)
P Q P→Q
1.5 Valor da Bicondicional (P↔Q)
P Q P↔Q
1.6 Valor da Disjunção Exclusiva (PvQ)
P Q P v Q
1.7 Quadro Resumo da Proposições Compostas
Conectivo Verdade quando... Falso quando...
Proposições - Tabela Verdade - Valores das Proposições Compostas  6
A L F A C O N
2. Tautologia, Contradição e Contingência
2.1 Tautologia
É a proposição composta que é TODA ou sempre VERDADEIRA, independente dos valores lógicos das proposições 
simples que a compõem.
Em outras palavras, é quando a última coluna da tabela verdade da proposição composta é toda verdadeira.
Ex: (P∧Q)→(PvQ)
2.2 Contradição
É a proposição composta que é TODA ou sempre FALSA, independente dos valores lógicos das proposições simples 
que a compõem.
Em outras palavras, é quando a última coluna da tabela verdade da proposição composta é toda falsa.
Ex: ~P∧(P∧~Q)
2.3 Contingência
É a proposição composta que não Tautologia nem Contradição.
Ex: os conectivos
Proposições - Tabela Verdade - Valores das Proposições Compostas  7
A L F A C O N
3. Na prática
(VUNESP - 2022)
Considere a afirmação: “Se Francisco é o diretor ou Ivete é a secretária, então Helena é a presidente.”
Essa afirmação é necessariamente FALSA se, de fato:
a) Francisco é o diretor.
b) Francisco é o diretor e Ivete é a secretária e Helena é a presidente.
c) Francisco não é o diretor e Ivete não é a secretária e Helena é a presidente.
d) Ivete não é a secretária e Helena é a presidente.
e) Ivete é a secretária e Helena não é a presidente.
(IBFC - 2022)
O camponês plantou na primavera e colheu no outono se, e somente se, o clima estava adequado ou o terreno 
estava apropriado, mas a semente não estava disponível. O total de proposição simples da frase é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
(IBFC - 2022)
Considerando o conectivo lógico bicondicional entre duas proposições, é correto afirmar que seu valor lógico é 
verdade se:
a) somente as duas proposições tiverem valores lógicos falsos
b) somente as duas proposições tiverem valores lógicos verdadeiros
c) uma proposição tiver valor lógico falso e outra proposição tiver valor lógico verdadeiro
d) as duas proposições tiverem valores lógicos iguais
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Proposições - 
Equivalências Lógicas e 
Negações de Proposições 
Compostas
   2
A L F A C O N
Sumário
Proposições - Equivalências Lógicas e Negações de Proposições Compostas ���������� 3
1� Equivalências Lógicas ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
1.1 Conjunção ............................................................................................................................................................................ 3
1.2 Disjunção ............................................................................................................................................................................. 3
1.3 Condicional ......................................................................................................................................................................... 3
1.4 Disjunção ............................................................................................................................................................................. 3
1.5 Bicondicional ....................................................................................................................................................................... 3
1.6 Disjunção Exclusiva ............................................................................................................................................................ 4
2� Negação de Proposição Composta ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 4
2.1 Conjunção ...........................................................................................................................................................................4
2.2 Disjunção ............................................................................................................................................................................ 4
2.3 Condicional ......................................................................................................................................................................... 4
2.4 Conjunção .......................................................................................................................................................................... 4
2.5 Bicondicional ...................................................................................................................................................................... 4
2.6 Disjunção Exclusiva ........................................................................................................................................................... 4
3� Propriedades das Conjunções e Disjunções ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5
3.1 Associativa ...........................................................................................................................................................................5
3.2 Distributiva ..........................................................................................................................................................................5
3.3 Absorção ..............................................................................................................................................................................5
3.4 Idempotência ......................................................................................................................................................................5
4� Na prática ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5
Proposições - Equivalências Lógicas e Negações de Proposições Compostas  3
A L F A C O N
Proposições - Equivalências Lógicas e 
Negações de Proposições Compostas
1. Equivalências Lógicas
Duas ou mais proposições compostas são ditas equivalentes quando são formadas pelas mesmas proposições 
simples e tem suas tabelas verdade iguais
Obs.: todas as equivalências são provadas pela tabela verdade.
Obs.2: equivalência de proposição simples: “2 é par” = “2 não é impar”
1.1 Conjunção
P∧Q = Q∧P (reciproca)
1.2 Disjunção
PvQ = QvP (reciproca)
1.3 Condicional
P→Q = ~Q→~P (troca e nega – contra positiva)
P→Q = ~PvQ (NEGA o antecedente ‘OU’ MANTEM o consequente)
1.4 Disjunção
PvQ = ~P→Q
PvQ = ~Q→P
1.5 Bicondicional
P ↔ Q = Q ↔ P (reciproca)
P ↔ Q = ~P ↔ ~Q (contraria)
P ↔ Q = ~Q ↔ ~P (contra positiva)
P ↔ Q = (P→Q) ∧ (Q→P) (condicional para os dois lados)
Proposições - Equivalências Lógicas e Negações de Proposições Compostas  4
A L F A C O N
1.6 Disjunção Exclusiva
P v Q = Q v P (reciproca)
P v Q = ~P v ~Q (contraria)
P v Q = ~Q v ~P (contra positiva)
P v Q = (P∧~Q) v (~P∧Q) (só P ou só Q)
2. Negação de Proposição Composta
2.1 Conjunção
~(P∧Q) = ~P v ~Q (Lei de Morgan)
2.2 Disjunção
~(PvQ) = ~P ∧ ~Q (Lei de Morgan)
2.3 Condicional
~(P→Q) = P ∧ ~Q (MANTEM o antecedente ‘E’ NEGA o consequente)
2.4 Conjunção
~(P∧Q) = P → ~Q
~(P∧Q) = Q → ~P
2.5 Bicondicional
~(P ↔ Q) = P v Q
~(P ↔ Q) = ~P ↔ Q
~(P ↔ Q) = P ↔ ~Q
2.6 Disjunção Exclusiva
~(P v Q) = P ↔ Q
~(P v Q) = ~P v Q
~(P v Q) = P v ~Q
Proposições - Equivalências Lógicas e Negações de Proposições Compostas  5
A L F A C O N
3. Propriedades das Conjunções e Disjunções
3.1 Associativa
A∧B∧C = (A∧B)∧C = A∧(B∧C)
AvBvC = (AvB)vC = Av(BvC)
3.2 Distributiva
A∧(BvC) = (A∧B) v (A∧C)
(A∧B)vC = (AvC) ∧ (BvC)
3.3 Absorção
A∧(AvB) = A
Av(A∧B) = A
3.4 Idempotência
A ∧ A = A
A v A = A
4. Na prática
(INSTITUTO AOCP - 2022)
Assinale a alternativa que apresenta uma sentença logicamente equivalente à sentença: “Se Beatriz for promovida, 
então Ana será demitida”.
a) “Beatriz será promovida ou Ana não será demitida”.
b) “Se Ana for demitida, então Beatriz não será promovida”.
c) “Se Beatriz não for promovida, então Ana não será demitida”.
d) “Se Ana não for demitida, então Beatriz não será promovida”.
e) “Beatriz será promovida ou Ana será demitida”.
Proposições - Equivalências Lógicas e Negações de Proposições Compostas  6
A L F A C O N
(FUNDATEC - 2022)
De acordo com as regras de equivalências lógicas, mais precisamente, as Leis de Morgan, a negação da sentença 
composta “3 é número primo ou 13 é número par” é:
a) 3 não é número primo e 13 é número par.
b) 3 é número primo e 13 não é número par.
c) 3 não é número primo ou 13 não é número par.
d) Se 3 é número primo, então 13 é número par.
e) 3 não é número primo e 13 não é número par.
(QUADRIX - 2022)
Julgue o item.
A negação de “Se amanhã for domingo, então vai ter churrasco” é “Amanhã será domingo e não haverá churrasco”.
(IBADE - 2022)
Considere a seguinte afirmação:
“Ou meu irmão casa esse ano ou terá um filho”.
A negação dessa afirmação é:
a) Se meu irmão não casa esse ano, então terá um filho.
b) Ou meu irmão não casa esse ano ou não terá um filho.
c) Ou meu irmão não casa esse ano ou terá um filho.
d) Se meu irmão não casa esse ano não terá um filho.
e) Se meu irmão casa esse ano, então terá um filho.
Proposições - Equivalências Lógicas e Negações de Proposições Compostas  7
A L F A C O N
(CESGRANRIO - 2022)
Considere a seguinte proposição:
Se Maria é advogada, então Joana é engenheira ou médica.
A proposição acima se equivale logicamente à proposição
a) Se Maria não é advogada, então Joana não é engenheira, ou não é médica.
b) Se Maria não é advogada, então Joana não é engenheira, nem médica.
c) Se Joana não é engenheira, nem médica, então Maria não é advogada.
d) Se Joana é engenheira ou médica, então Maria é advogada.
e) Maria é advogada, mas Joana não é engenheira e médica.
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Proposições - 
Quantificadores Lógicos - 
Proposições Categóricas
   2
A L F A C O N
Sumário
Proposições - Quantificadores Lógicos - Proposições Categóricas ��������������������������� 3
1� Quantificadores Lógicos ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
2� Relações entre os Quantificadores ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 3
2.1 Equivalência ........................................................................................................................................................................ 3
2.2 Negação ............................................................................................................................................................................. 3
2.3 Implicação .......................................................................................................................................................................... 3
2.4 Redundância ...................................................................................................................................................................... 3
2.5 DIFERENÇA ......................................................................................................................................................................... 4
3� Representação dos Quantificadores ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 4
3.1 Todo A é B ........................................................................................................................................................................... 4
3.2 Nenhum A é B ....................................................................................................................................................................4
3.3 Algum A é B (Algum A não é B) ........................................................................................................................................ 4
4� Na prática ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 4
Proposições - Quantificadores Lógicos - Proposições Categóricas  3
A L F A C O N
Proposições - Quantificadores Lógicos - 
Proposições Categóricas
1. Quantificadores Lógicos
Os quantificadores lógicos são:
TODO (∀ - quantificador universal)
ALGUM (∃ - quantificador existencial)
NENHUM (∄ - quantificador universal)
Além dos seus sinônimos.
Obs.: eles servem para transformar sentenças abertas em proposição.
Os quantificadores lógicos formam as chamadas proposições categóricas, e são assim conhecidos:
TODO A é B = quantificador universal positivo (ou afirmativo)
NENHUM A é B = quantificador universal negativo
ALGUM A é B = quantificador particular (ou existencial) positivo (ou afirmativo)
ALGUM A não é B = quantificador particular (ou existencial) negativo
2. Relações entre os Quantificadores
2.1 Equivalência
TODO A é B = NENHUM A não é B
NENHUM A é B = TODO A não é B
2.2 Negação
TODO A é B = ALGUM A não é B
NENHUM A é B = ALGUM A é B
2.3 Implicação
TODO A é B = Se A então B
2.4 Redundância
NENHUM A é B = NENHUM B é A
ALGUM A é B = ALGUM B é A
Proposições - Quantificadores Lógicos - Proposições Categóricas  4
A L F A C O N
2.5 DIFERENÇA
TODO A é B = TODO B é A
ALGUM A não é B = ALGUM B não é A
3. Representação dos Quantificadores
3.1 Todo A é B
3.2 Nenhum A é B
3.3 Algum A é B (Algum A não é B)
Obs.: Essas representações ajudam a resolver as questões de quantificadores.
4. Na prática
(SELECON - 2022)
A negação da proposição “À noite todos os homens dormem.” está corretamente indicada na seguinte opção:
a) À noite, existe pelo menos um homem que não dorme.
b) De dia, nenhum homem dorme.
c) De dia, todos os homens dormem.
d) À noite, nenhum homem dorme.
Proposições - Quantificadores Lógicos - Proposições Categóricas  5
A L F A C O N
(Instituto Access - 2022)
Considere que a proposição “Todos os Matemáticos já estudaram Raciocínio Lógico” seja verdadeira e analise as 
proposições a seguir:
1. Se André estudou Raciocínio Lógico, então ele é Matemático.
2. Se Cléber não é Matemático, então ele não estudou Raciocínio Lógico.
3. Se Marcelo não estudou Raciocínio Lógico, então ele não é Matemático.
Com base nas proposições acima, é correto concluir que
a) somente 1 e 2 são verdadeiras.
b) somente 2 e 3 são verdadeiras.
c) apenas a 2 é verdadeira.
d) apenas a 3 é verdadeira.
(IBFC - 2022)
Se a declaração “Todo professor é estudioso” for verdadeira, então a alternativa que corresponde a uma argumen-
tação correta é:
a) Paulo é estudioso, então é professor
b) João não é professor, então não é estudioso
c) Todo estudioso é professor
d) César não é estudioso, então não é professor
(QUADRIX - 2022)
Julgue o item.
A negação de “Todo cubo é um prisma” é “Nenhum cubo é um prisma”.
Proposições - Quantificadores Lógicos - Proposições Categóricas  6
A L F A C O N
(OBJETIVA - 2022)
Em um quadro, há figuras amarelas e azuis, sendo algumas redondas, outras retangulares e outras indefinidas. Não 
há figuras de outras cores ou de outros formatos. Considerando-se como verdadeira a afirmação “Qualquer figura 
amarela não é retangular.”, é CORRETO afirmar que:
a) Toda figura azul é retangular.
b) Toda figura retangular é azul.
c) Uma figura que não é redonda é certamente amarela.
d) Algumas figuras indefinidas são azuis.
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Argumento - Conceitos, 
Tipos e Classificação
   2
A L F A C O N
Sumário
Argumento - Conceitos, Tipos e Classificação ������������������������������������������������������������ 3
1. Conceitos ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
1.1 Representação dos Argumentos ....................................................................................................................................... 3
2. Tipos de Argumentos���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
2.1 Quanto ao Conteúdo .......................................................................................................................................................... 3
2.2 Quanto à Forma ................................................................................................................................................................. 4
3. Classificação – dos Argumentos ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5
4. Na prática ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5
Argumento - Conceitos, Tipos e Classificação  3
A L F A C O N
Argumento - Conceitos, Tipos e Classificação
1. Conceitos
Argumento é um conjunto de proposições, relacionadas entre si, divididas em PREMISSAS (proposições iniciais ou 
explicações) e CONCLUSÃO (proposições finais).
Obs.: PORTANTO, LOGO, COM ISSO, SENDO ASSIM, POR ISSO, POIS, etc, são termos usados para separar as pre-
missas das conclusões.
1.1 Representação dos Argumentos
P1
P2
P3
�
�
�
Pn
---------
C
ou
P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ��� ∧ Pn → C
ou
P1, P2, P3, ..., Pn ⊢ C
ou
P1, P2, P3, ..., Pn ∴ C
2. Tipos de Argumentos
2.1 Quanto ao Conteúdo
Deduções (partindo do geral para chegar no particular)
Ex.:
Todo professor é inteligente
Dan é professor
Logo, Dan é inteligente.
Argumento - Conceitos, Tipos e Classificação  4
A L F A C O N
Induções (partindo do particular para chegar no geral)
Ex.:
Fortaleza tem praia
Natal tem praia
João Pessoa tem praia
Recife tem praia
Maceió tem praia
Salvador tem praia
Portanto, as capitais do Nordeste têm praia.
Obs.: Quanto mais informações nas premissas, maiores as chances do argumento ser válido.
Analogias (comparações)
Ex.:
São Paulo é um dos estados mais prósperos do Brasil
O Brasil é um dos países mais prósperos da América do Sul
Logo, o Brasil está para a América do Sul como São Paulo está para o Brasil.
Obs.: as induções e analogias podem ser parecidas.
Falácias (argumento que parece verdadeiro, mas na verdade é falso)
Ex.:
Todo político é desonesto
Mano é desonesto
Portanto Mano é político.
2.2 Quanto à Forma
Silogismos (dedução composta de duas premissas e uma conclusão)
Ex.:
Todo turista é curioso (premissa maior)
Léo é turista (premissa menor)
Portanto, Léo é curiosa.
Obs.: Termo Maior = curioso; Termo Menor = Léo; Termo Médio (que se repete nas duas premissas, mas não aparece 
na conclusão) = turista.
Argumento - Conceitos, Tipos e Classificação  5
A L F A C O N
3. Classificação – dos Argumentos
Os argumentos podem ser classificados em VÁLIDOS (legítimo ou bem construídos) ou INVÁLIDOS (mal construídos).
A validade do argumento está atrelada a GARANTIA da relação existente entre as premissas e a conclusão. Se as 
premissas “garantem” a conclusão e se a conclusão é “garantida” pelas premissas, então o argumento é válido; caso 
contrário o argumento será inválido.
Obs.: premissas e/ou conclusões podem ser falsas, ou até mesmo absurdas, mas ainda assim o argumento poderá 
ser válido, pois o que vale a forma como o argumento foi construído e não seu conteúdo em si (não importa o que 
é dito, mas sim como é dito).
4. Na prática
(INSTITUTO AOCP - 2021)
Acerca de tipos de argumentos e lógica de argumentação, julgue o seguinte item.
Um argumento será válido, legítimo ou bem construído quando a conclusão for uma consequência do seu conjunto 
de premissas. Sendo as premissas de um argumentoverdadeiras, isso não implicará que a conclusão seja verda-
deira. A validade de um argumento não depende somente da relação existente entre as premissas e a conclusão.
(INSTITUTO AOCP - 2021)
Acerca de tipos de argumentos e lógica de argumentação, julgue o seguinte item.
Os elementos que formam um argumento são proposições. Conforme uma compreensão clássica, proposições 
podem ser verdadeiras ou falsas, segundo corretamente expressem, ou não, aquilo que “corresponde aos fatos”. 
Já os argumentos, sendo estruturas de proposições, também são passíveis de verdade ou falsidade.
(CESPE/CEBRASPE – 2021)
Considere o seguinte argumento.
Os grandes felinos africanos, que são animais, têm a pele esverdeada e sabem voar porque os animais africanos 
são répteis e vivem sobre as árvores. Além disso, todos os animais que vivem em árvores são capazes de voar, e 
todos os répteis têm a pele esverdeada.
Com relação a esse argumento, julgue os itens subsequentes.
A proposição “todos os animais que vivem em árvores são capazes de voar” é uma premissa desse argumento.
Argumento - Conceitos, Tipos e Classificação  6
A L F A C O N
(INSTITUTO AOCP - 2021)
Considerando o conteúdo e as características do raciocínio lógico e analítico, julgue o seguinte item.
Numa argumentação por analogia, ressaltamos características em comum entre duas ou mais situações com o 
intuito de inferir conclusões parecidas. Porém, seja qual for essa relevância, um argumento por analogia é sempre 
um argumento indutivo e nunca um argumento dedutivo, isto é, trata-se de um argumento que da verdade das pre-
missas infere a conclusão como provavelmente verdadeira, e não de um argumento no qual a verdade da conclusão 
se segue necessariamente da verdade das premissas.
(INSTITUTO AOCP - 2021)
Considerando o conteúdo e as características do raciocínio lógico e analítico, julgue o seguinte item.
Quando temos um argumento formado por três proposições, sendo duas premissas e uma conclusão, trata-se então 
de um silogismo.
(CESPE/CEBRASPE – 2020)
Considere o seguinte argumento: “O boto-cor-de-rosa possui asas e possui patas, pois todo animal amazônico 
possui patas, todo animal fluvial possui asas, e o boto-cor-de-rosa é um animal fluvial amazônico”.
Com base nessas informações, assinale a opção correta, com relação à lógica da argumentação.
a) A assertiva “todo animal amazônico possui patas” é uma proposição lógica composta.
b) A assertiva “o boto-cor-de-rosa é um animal fluvial amazônico” é a conclusão desse argumento.
c) Esse argumento possui três premissas.
d) Esse argumento é inválido, pois nem todas as espécies amazônicas possuem asas.
e) Esse argumento é inválido, pois sua conclusão é falsa.
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Argumento - Métodos de 
Validação – Diagramas 
Lógicos
   2
A L F A C O N
Sumário
Argumento - Métodos de Validação – Diagramas Lógicos ������������������������������������������� 3
1. Diagramas Lógicos �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
1.1 Representação dos quantificadores ................................................................................................................................. 3
1.2 Regras de Ouro dos Diagramas Lógicos (prof. Lauro Magrini) ..................................................................................... 4
2� Na prática ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 4
Argumento - Métodos de Validação – Diagramas Lógicos  3
A L F A C O N
Argumento - Métodos de Validação – 
Diagramas Lógicos
1. Diagramas Lógicos
O método de validação dos Diagramas Lógicos (método dos conjuntos) é utilizado quando o argumento é formado 
por premissas e conclusões que tem os Quantificadores Lógicos (TODO, ALGUM e NENHUM).
A regra de uso do método é: REPRESENTAR – desenhar – as premissas e JULGAR a conclusão.
O argumento será valido quando a conclusão estiver contida – presente – em todos as representações das pre-
missas. Contudo, se em alguma das representações das premissas a conclusão não estiver presente, o argumento 
será invalido.
Obs.: a ideia da garantia está mais que presente no método dos diagramas lógicos, pois como tem argumentos 
– premissas – com mais de uma possível representação, a garantia só existe quando a conclusão está em todas 
essas representações.
1.1 Representação dos quantificadores
TODO A é B
ou
NENHUM A é B
ALGUM A é B
ou
ou
ou
ALGUM A não é B
ou
ou
Argumento - Métodos de Validação – Diagramas Lógicos  4
A L F A C O N
1.2 Regras de Ouro dos Diagramas Lógicos (prof. Lauro Magrini)
Algumas questões de diagramas lógicos não necessitam dos desenhos, podem ser resolvidas de um jeito mais 
prático, desde que você domine as regras que iremos apresentar a seguir.
• REGRA: TODO – TODO
P1: Todo A é B
P2: Todo B é C
C: Todo A é C
• REGRA: TODO – ALGUM
P1: Todo A é B
P2: Algum A é C
C: Algum B é C
• REGRA: TODO – NENHUM
P1: Todo A é B
P2: Nenhum B é C
C: Nenhum A é C
• REGRA: ALGUM – NENHUM
P1: Algum A é B
P2: Nenhum B é C
C: Algum A não é C
2. Na prática
(FGV - 2022)
Sabe-se que:
• Todo A é B.
• Nem todo B é C.
É correto concluir que:
a) todo A é C;
b) nenhum A é C;
c) algum C não é B;
d) algum B não é C;
e) algum C não é A.
Argumento - Métodos de Validação – Diagramas Lógicos  5
A L F A C O N
(FUNDATEC - 2022)
Abaixo são apresentados três argumentos lógicos:
I. Todos os alunos de lógica foram vacinados. André foi vacinado. Logo, André é aluno de lógica.
II. Algum aluno de lógica foi vacinado. André é aluno de lógica. Portanto, André foi vacinado.
III. Todos os alunos de lógica foram vacinados. André é aluno de lógica. Consequentemente, André foi vacinado.
Em relação aos argumentos apresentados, podemos afirmar que:
a) Todos os argumentos são logicamente válidos.
b) Somente o argumento I é válido.
c) Somente o argumento II é válido.
d) Somente o argumento III é válido.
e) Nenhum dos argumentos é válido..
(IBFC - 2022)
Se todo X é Y e nenhum Y é Z, então é correto concluir que:
a) todo X é Z
b) pode haver X que é Z
c) nenhum X é Z
d) todo Y é X
(FUNDATEC - 2022)
Considerando que são verdadeiras as seguintes afirmações:
• Existem administradores que são contadores.
• Todos contadores são bons em matemática.
É possível concluir que:
a) Todos os administradores são bons em matemática.
b) Todos que são bons em matemática são administradores.
c) Nenhum contador é administrador.
d) Existem administradores bons em matemática.
e) Existem contadores que não são bons em matemática.
Argumento - Métodos de Validação – Diagramas Lógicos  6
A L F A C O N
(CEPUERJ - 2021)
Considere que as três sentenças a seguir sejam verdadeiras:
I – Nenhum médico é mentiroso
II – Meu tio é pescador
III – Todos os pescadores são mentirosos
A partir dessas informações, a sentença que será, necessariamente, verdadeira é:
a) meu tio não é médico
b) meu tio não é mentiroso
c) algum médico é pescador
d) alguns pescadores são médico.
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Argumento - Métodos de 
Validação – Premissas 
Verdadeiras
   2
A L F A C O N
Sumário
Argumento - Métodos de Validação – Premissas Verdadeiras������������������������������������� 3
1. Premissas Verdadeiras �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
1.1 Resumo do Método ............................................................................................................................................................. 3
2� Na prática ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
Argumento - Métodos de Validação – Premissas Verdadeiras3
A L F A C O N
Argumento - Métodos de Validação – 
Premissas Verdadeiras
1. Premissas Verdadeiras
Quando o argumento não tem os quantificadores lógicos as formas de validação serão as que utiliza os valores 
lógicos das proposições compostas.
No método das Premissas Verdadeiras a regra é admitir/afirmar que as premissas são verdadeiras, atribuir valores 
as proposições simples que compõem as premissas, e ao final determinar o valor da conclusão.
O argumento será valido quando a conclusão for verdadeira, mas se a conclusão for falsa o argumento será invalido.
Obs.: para o método das premissas verdadeiras é necessário que tenha uma proposição simples isolada ou uma 
conjunção nas premissas, pois esse será o ponto de partida para atribuir os valores das proposições que compõem 
as premissas.
1.1 Resumo do Método
Premissas Conclusão Argumento
Verdadeira Verdadeira Valido
Verdadeira Falsa Invalido
2. Na prática
(VUNESP - 2022)
Considere as afirmações:
I. Se Ana é delegada, então Bruno é escrivão.
II. Se Carlos é investigador, então Bruno não é escrivão.
III. Se Denise é papiloscopista, então Eliane é perita criminal.
IV. Se Eliane é perita criminal, então Carlos é investigador.
V. Denise é papiloscopista.
A partir dessas afirmações, é correto concluir que
a) Bruno é escrivão ou Eliane não é perita criminal.
b) Se Denise é papiloscopista, então Ana é delegada.
c) Carlos não é investigador e Ana é delegada.
d) Ana não é delegada ou Bruno é escrivão.
e) Eliane não é perita criminal e Carlos é investigador.
Argumento - Métodos de Validação – Premissas Verdadeiras  4
A L F A C O N
(INSTITUTO AOCP – 2022)
Considere as seguintes afirmações:
• Se Ana for atriz, então a mãe de Ana não conhecerá Paris.
• Se a mãe de Ana não conhecerá Paris, então Rita não será bailarina.
• Pedro passará no concurso ou a mãe de Ana não conhecerá Paris.
• Pedro não passará no concurso e Ana não será atriz.
A partir dessas afirmações, é correto afirmar que
a) Rita não será bailarina e Ana não será atriz.
b) Ana será atriz e a mãe de Ana conhecerá Paris.
c) A mãe de Ana conhecerá Paris ou Rita será bailarina.
d) Pedro passará no concurso ou a mãe de Ana conhecerá Paris.
e) Pedro não passará no concurso e Ana será atriz.
(CESPE/CEBRASPE - 2021)
As proposições lógicas P, Q e R, a seguir, constituem as premissas de um argumento.
• P: “Se João transportou carga irregular, então João falou com voz baixa ou João gesticulou muito”.
• Q: “Se João mentiu, então João falou com voz baixa”.
• R: “João não falou com voz baixa”.
Com base nessas informações, com relação à lógica argumentativa, assinale a opção que apresenta uma conclusão 
que torna esse argumento válido.
a) “João não transportou carga irregular”.
b) “João mentiu”.
c) “Se João gesticulou muito, então João transportou carga irregular”.
d) “Se João falou com voz baixa, então João transportou carga irregular”.
e) “Se João não gesticulou muito, então João não transportou carga irregular”.
Argumento - Métodos de Validação – Premissas Verdadeiras  5
A L F A C O N
(VUNESP – 2021)
Se Ana não é formada em Pedagogia ou Mauro não é formado em Sociologia, então Marcelo é engenheiro. Se 
Regiane é médica, então Ana não é formada em Pedagogia. Se Mauro não é formado em Sociologia, então Sérgio 
não é advogado e Orlando é bombeiro. Sabendo-se que Marcelo não é engenheiro, é correto afirmar que
a) Sérgio não é advogado.
b) Sérgio é advogado.
c) Orlando é bombeiro.
d) Regiane não é médica.
e) Regiane é médica.
(CESPE/CEBRASPE - 2020)
Considere a situação hipotética seguinte, que aborda compreensão de estruturas lógicas.
No processo de manutenção de um computador, as seguintes afirmações são válidas:
p: se aumentar o tamanho da memória ou instalar um novo antivírus, então a velocidade da internet aumentará;
q: se a velocidade da Internet aumentar, então os aplicativos abrirão mais rapidamente.
Concluída a manutenção, foi verificado que a velocidade da Internet não aumentou.
Nessa situação, é correto concluir que
a) os aplicativos não abrirão mais rápido.
b) o tamanho da memória não foi aumentado e também não foi instalado um novo antivírus.
c) ou o tamanho da memória não foi aumentado ou um novo antivírus não foi instalado.
d) o tamanho da memória pode ter sido aumentado, mas um novo antivírus não foi instalado.
e) um novo antivírus pode ter sido instalado, mas o tamanho da memória não foi aumentado.
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Argumento - Métodos de 
Validação – Conclusão 
Falsa
   2
A L F A C O N
Sumário
Argumento - Métodos de Validação – Conclusão Falsa ����������������������������������������������� 3
1. Conclusão Falsa ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 3
1.1 Resumo do Método ............................................................................................................................................................. 3
2. Na prática ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
Argumento - Métodos de Validação – Conclusão Falsa  3
A L F A C O N
Argumento - Métodos de Validação – 
Conclusão Falsa
1. Conclusão Falsa
Quando o argumento não tem os quantificadores lógicos as formas de validação serão as que utiliza os valores 
lógicos das proposições compostas.
No método da Conclusão Falsa a regra é admitir/afirmar que a conclusão é falsa, atribuir valores as proposições 
simples que compõem a conclusão, e após isso atribuir valores as proposições que compõe as premissas – supondo 
as premissas como verdade.
Caso as premissas fiquem verdadeiras o argumento será invalido, porem se pelo menos uma das premissas ficar 
falsa o argumento será valido.
Obs.1: o valor falso de pelo menos uma das premissas vai aparecer de forma compulsória, não precisa tentar ver se 
uma das premissas é falsa. Suponha sempre as premissas como verdadeiras.
Obs.2: para o método conclusão falsa é necessário que tenha uma proposição simples isolada, ou uma disjunção, 
ou um condicional na conclusão, pois esse será o ponto de partida para atribuir os valores das proposições.
1.1 Resumo do Método
Premissas Conclusão Argumento
Verdadeira Falsa Invalido
Falsa* Falsa Valido
2. Na prática
(FGV – 2022)
Sabe-se que as 3 sentenças a seguir são verdadeiras.
• Se Pedro é capixaba ou Raquel não é carioca, então Renata não é pernambucana.
• Se Pedro não é capixaba ou Renata é pernambucana, então Raquel é carioca.
• Se Raquel não é carioca, então Pedro é capixaba e Renata é pernambucana.
É correto concluir que
a) Pedro é capixaba.
b) Raquel é carioca.
c) Renata é pernambucana.
d) Pedro não é capixaba.
e) Raquel não é carioca.
Argumento - Métodos de Validação – Conclusão Falsa  4
A L F A C O N
(FGV – 2022)
Considere as seguintes premissas:
• Quem tem azar não sorri.
• Quem é maratonista não está doente.
• Quem não está doente, sorri.
A partir dessas premissas é correto concluir que
a) Quem não está doente é maratonista.
b) Quem está doente não sorri.
c) Quem não tem azar sorri.
d) Quem é maratonista não tem azar.
e) Quem sorri, não está doente.
(FGV – 2022)
Considere as seguintes afirmativas a respeito de um objeto chamado biba:
• Se biba é bala então não é bola.
• Se biba não é bala então é babalu.
É correto concluir que
a) se biba é bola então é babalu.
b) se biba é babalu então é bola.
c) se biba não é bola então é babalu.
d) se biba não é babalu então é bola.
e) se biba é bola então não é babalu.
Argumento - Métodos de Validação – Conclusão Falsa  5
A L F A C O N
(CESPE/CEBRASPE – 2021)
P1: Se a fiscalização foi deficiente, as falhas construtivas não foram corrigidas.
P2: Se as falhas construtivas foram corrigidas, os mutuários não tiveram prejuízos.
P3: A fiscalização foi deficiente.
C: Os mutuários tiveram prejuízos.
Considerandoum argumento formado pelas proposições precedentes, em que C é a conclusão, e P1 a P3 são as 
premissas, julgue o item a seguir.
Caso o argumento apresentado seja válido, a proposição C será verdadeira.
(CESPE – 2020)
No argumento seguinte, as proposições P1, P2, P3 e P4 são as premissas, e C é a conclusão.
P1: “Se há carência de recursos tecnológicos no setor Alfa, então o trabalho dos servidores públicos que atuam 
nesse setor pode ficar prejudicado.”.
P2: “Se há carência de recursos tecnológicos no setor Alfa, então os beneficiários dos serviços prestados por esse 
setor podem ser mal atendidos.”.
P3: “Se o trabalho dos servidores públicos que atuam no setor Alfa fica prejudicado, então os servidores públicos 
que atuam nesse setor padecem.”.
P4: “Se os beneficiários dos serviços prestados pelo setor Alfa são mal atendidos, então os beneficiários dos ser-
viços prestados por esse setor padecem.”.
C: “Se há carência de recursos tecnológicos no setor Alfa, então os servidores públicos que atuam nesse setor 
padecem e os beneficiários dos serviços prestados por esse setor padecem.”.
Considerando esse argumento, julgue os itens seguintes.
O argumento em questão é válido.
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Argumento - Raciocínio 
Crítico (Ou Analítico)
   2
A L F A C O N
Sumário
Argumento - Raciocínio Crítico (Ou Analítico) ������������������������������������������������������������� 3
1. Tipos de Argumento ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 3
1.1 Formais (lógica matemática-filosófica) ............................................................................................................................ 3
1.2 Informais (cotidiano) .......................................................................................................................................................... 4
2. Erros de Argumentação ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 5
2.1 Alguns outros tipos comuns de Erros ...............................................................................................................................5
Argumento - Raciocínio Crítico (Ou Analítico)  3
A L F A C O N
Argumento - Raciocínio Crítico (Ou Analítico)
Argumentar significa apresentar um conjunto de razões ou provas que fundamentem uma conclusão. É a capaci-
dade de relacionar fatos, teses, estudos, opiniões, problemas e possíveis soluções a fim de embasar determinado 
pensamento ou ideia.
Raciocínio crítico, tem a ver com todo o tipo de pensamento lógico, baseado em diferentes argumentos que possam 
justificar determinada ideia ou conclusão.
Aplicável a todas as áreas de conhecimento o raciocínio crítico é a construção de uma ideia mais objetiva, facilmente 
comprovada e objetivamente demonstrada aos demais. Envolve tanto as formas verbais (textuais e filosóficas) como 
os números (matemática). Em resumo, é uma interpretação direcionada, mas com o uso da lógica (argumento).
1. Tipos de Argumento
1.1 Formais (lógica matemática-filosófica)
• Raciocínio Dedutivo (dedução)
A dedução vai do geral para o particular (a conclusão está garantida pelas premissas).
Dentro dessa estrutura temos dois clássicos da dedução: o Modus Ponens (afirmação do consequente) e o Modus 
Tollens (negação do antecedente)
• Raciocínio Indutivo (indução)
A indução vai do particular para o geral (a conclusão não está garantida pelas premissas, por muitas a conclusão 
ultrapassa as premissas).
• Raciocínio por abdução (ou por hipótese)
A está entre a dedução e a indução (abdução é sugestão de algo que pode ser, pode se confundir com a falácia).
Ex.: de Charles Peirce: Todo professor é inteligente
• Raciocínio por Analogia
Analogias são comparações ou raciocínio por semelhança, é, em suma, um caso de indução, mas com caracterís-
ticas especificas.
• Falácias ou Sofismas
Falso argumento, ou argumento inválido, mas que parece válido (ou uma ideia abdutiva).
Argumento - Raciocínio Crítico (Ou Analítico)  4
A L F A C O N
1.2 Informais (cotidiano)
• Raciocínios com Premissas Não Declaradas (Entimema)
São aqueles em que uma ou mais premissas não aparecem explicitas no texto, mas estão subtendidas na ideia do 
argumento.
Ex.:
(Cespe) O período “Eu não posso beber bebida alcoólica porque tenho a intenção de dirigir” constitui um argumento 
que tem uma premissa não formulada.
• Argumento de Autoridade (apelo à autoridade)
É utilizado quando recorremos a opinião de um especialista em determinada área para justificar uma afirmação. Se 
bem utilizado, é um argumento difícil de ser refutado.
Ex.: concurso público – Evandro Guedes.
• Argumento de Exemplificação
A exemplificação consiste no relato de fatos – reais – aumentando a credibilidade da opinião.
Ex.: concurso público.
• Argumento de Provas Concretas
Ao empregarmos os argumentos baseados em provas concretas, busca-se evidenciar a tese por meio de informa-
ções concretas, extraídas da realidade. Podem ser usados dados estatísticos ou fatos notórios (de domínio público).
Ex.: homicídios no Brasil.
• Argumento por Causa e Consequência (Causa e Efeito)
Para comprovar uma tese, você pode buscar as relações de causa (os motivos, os porquês) e de consequência (os 
efeitos). O Princípio de Causa e Efeito contém a verdade que nada acontece por acaso
Ex.: segurança pública.
• Apelo popular
Sustenta uma proposição por ser defendida pela população ou parte dela. Sugere que quanto mais pessoas defen-
dem uma ideia mais verdadeira ou correta ela é.
Ex.: futebol.
Argumento - Raciocínio Crítico (Ou Analítico)  5
A L F A C O N
2. Erros de Argumentação
Nos estudos da lógica, a falácia é um erro de raciocínio ou argumentação, mas que parece estar correto.
Nas chamadas “falácias formais”, o erro de argumentação pode ser facilmente identificado pela forma das propo-
sições e premissas de um silogismo. Por sua vez, nas “falácias não formais”, os erros podem ser identificados não 
por sua forma, mas pelo seu conteúdo.
• Sofisma
Trata-se de um erro, uma argumentação falsa que é cometida intencionalmente com o intuito de persuadir seu 
interlocutor. Assim, ele gera uma ilusão de verdade.
Ex.: tempo – dinheiro
• Paralogismo
Paralogismo é um conceito relacionado com a falácia, mas se trata de um erro lógico involuntário.
Ex.: direito é só o que está na lei
2.1 Alguns outros tipos comuns de Erros
• Apelo à emoção
Apelos à emoção são relacionados a medo, inveja, ódio, pena, orgulho, entre outros.
Você tenta manipular uma resposta emocional no lugar de um argumento válido ou convincente.
Ex.: remédios – doenças.
• Apelo à natureza
Você argumenta que só porque algo é “natural”, aquilo é válido, justificado, inevitável ou ideal.
Ex.: poligamia entre os bichos, predatismo entre os bichos.
• Argumento baseado no senso comum
Basear-se no senso comum também pode ser uma estratégia argumentativa bem-sucedida. Proposições como: “a 
alimentação ajuda a manter a saúde” “cuidado no trânsito diminui os acidentes” são tidas por todos como verdadeiras.
Por outro lado, deve-se tomar cuidado com opiniões sem validade científica, preconceituosas, etnocêntricas.
Ex.: politica-corrupção
• Dilema
Situação, normalmente problemática, constituída por duas soluções que são contraditórias entre si, mas ambas 
aceitáveis.
Ex.: atividade física.
• Ambiguidade
Argumento - Raciocínio Crítico (Ou Analítico)  6
A L F A C O N
Você usa duplo sentido ou linguagem ambígua para apresentar a sua verdade de modo enganoso.
Ex.: “gosto do frio”.
• Ad hominem
Ataca o caráter ou traços pessoais do oponente em vez de refutar o argumento dele.
Ataques “ad hominem” assumem a forma de golpes pessoais e diretos contra alguém, ou mais sutilmente jogar 
dúvida no seu caráter ou atributos pessoais.
Ex.: politica
• Tu quoque (você também)
Responder críticas comcríticas.
• Noção de totalidade
Quando há uma generalização.
Ex.: TODO homem é machista.
• Noções semiformalizadas
Quando se emprega palavras sem o devido saber do sentido “acadêmico”.
Ex.: fascismo.
• Noção confusa
Emprego de palavras que podem ter significados ou finalidades diferentes dependo da forma que for usada.
Ex.: democracia
• Argumento de fuga
É o argumento de que se vale o retórico para escapar à discussão central, onde seus argumentos não prevalecerão. 
Apela-se, em regra, para a subjetividade.
Ex.: assassino-julgamento.
• Apelo à ignorância
Usa-se o desconhecimento de fatos para justificar as afirmações.
Considerando algo difícil de se entender, pose-se afirmar o que achar mais conveniente.
Ex.: vida em outros planetas.
Argumento - Raciocínio Crítico (Ou Analítico)  7
A L F A C O N
• Defeito de argumentação pelo exemplo, ilustração ou modelo
Ocorre quando conclusões não condizem com o que foi exposto anteriormente.
Ex.: vacinas modernas.
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Teoria de Conjuntos - 
Conceitos e Definições
   2
A L F A C O N
Sumário
Teoria de Conjuntos - Conceitos e Definições ������������������������������������������������������������� 3
1� Conceitos ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
1.1 Representação ..................................................................................................................................................................... 3
1.2 Tipos de conjuntos ............................................................................................................................................................. 3
1.3 Simbologia ........................................................................................................................................................................... 4
2� Conjuntos das partes ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 4
3� Operações com Conjuntos ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 4
3.1 União .................................................................................................................................................................................... 4
3.2 Interseção ............................................................................................................................................................................5
3.3 Diferença .............................................................................................................................................................................5
4� Relação entre os Conjuntos e os Conectivos ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� 6
5� Na prática ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 6
Teoria de Conjuntos - Conceitos e Definições  3
A L F A C O N
Teoria de Conjuntos - Conceitos e Definições
1. Conceitos
É o agrupamento ou reunião de elementos com alguma característica em comum.
1.1 Representação
• Diagramas
A
• Chaves
B = {2, 3, 5, 7}
1.2 Tipos de conjuntos
• Unitário
Conjunto que tem apenas 1 elemento.
Ex.: estados brasileiros que fazem fronteira com o Uruguai.
• Vazio
Conjunto com nenhum elemento.
Pode ser representado por: ∅ ou { }.
Ex.: estados do Nordeste que fazem fronteira com São Paulo
• Universo
Conjunto que reúne TODOS os elementos com determinada(s) características
Ex.: alfabeto
Teoria de Conjuntos - Conceitos e Definições  4
A L F A C O N
• Subconjunto
O subconjunto é uma parte do conjunto.
Ex.: as vogais é um subconjunto do alfabeto; os números primos são um subconjunto dos números naturais.
1.3 Simbologia
• Pertence (∈)
Relacionado aos ELEMENTOS que pertencem aos conjuntos.
• Está Contido (⊂)
Relacionado aos SUBCONJUNTOS que estão contidos nos conjuntos.
• Contem ( )
Relacionados aos CONJUNTOS que contém os elementos e os subconjuntos.
2. Conjuntos das partes
É o total de subconjuntos de um conjunto.
Nº de subconjuntos: 2n, em que “n” é número de elementos do conjunto.
Obs.: o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto e todo conjunto é subconjunto de si mesmo (são os 
chamados subconjuntos não próprios – são esses 2 e apenas esses 2).
Ex.: qual o conjunto das partes do conjunto A = {2, 3, 5, 7}
3. Operações com Conjuntos
3.1 União
A União de conjuntos (⋃) relaciona TODOS os elementos pertencentes aos conjuntos envolvidos na união.
B = {2, 3, 5, 7}
C = {2, 4, 6, 8}
B⋃C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Teoria de Conjuntos - Conceitos e Definições  5
A L F A C O N
3.2 Interseção
A Interseção de conjuntos (⋂) relaciona os elementos COMUNS (que pertencem ao mesmo tempo aos conjuntos) 
aos conjuntos envolvidos na interseção.
B = {2, 3, 5, 7}
C = {2, 4, 6, 8}
B⋂C = {2}
3.3 Diferença
A Diferença de conjuntos (–) relaciona os elementos EXCLUSIVOS a um dos conjuntos envolvidos na interseção.
B = {2, 3, 5, 7}
C = {2, 4, 6, 8}
B – C = {3, 5, 7}
C – B = {4, 6, 8}
• Complementar (CA ou AC ou A’ ou A/U ou A/Ω)
O complementar é uma diferença específica entre um conjunto Universo e um subconjunto desse universo.
Teoria de Conjuntos - Conceitos e Definições  6
A L F A C O N
4. Relação entre os Conjuntos e os Conectivos
• E
O conectivo E está relacionado com a interseção de conjuntos
• OU
O conectivo OU está relacionado com a união de conjuntos
• OU, OU
O conectivo OU, OU está relacionado com a diferença de conjuntos
• SE, ENTÃO
O conectivo SE, ENTÃO está relacionado com o subconjunto
• NEGAÇÃO
A negação está relacionada com o complementar
5. Na prática
(IDIB - 2022)
Tem-se (A ∪ B) = {x| x ∈ A ou x ∈ B}. Se x ∈ (A ∪ B), então, obrigatoriamente
a) O elemento x está somente em A ou somente em B ou em A ∩ B.
b) O elemento x está em B, mas não está em A.
c) O elemento x está simultaneamente em A e B.
d) O elemento x está no complementar de A ∩ B.
(QUADRIX - 2022)
Sendo A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 6, 7, 9}, A ∩ B = {0, 1, 2, 3} e A − B = {7}, julgue o item.
O conjunto dos subconjuntos de B tem 65 elementos.
Teoria de Conjuntos - Conceitos e Definições  7
A L F A C O N
(QUADRIX - 2022)
A figura a seguir representa uma operação envolvendo conjuntos, em que a região hachurada corresponde à reso-
lução dessa operação.
A operação representada pode ser relacionada a uma proposição lógica composta, que é chamada de
a) conjunção.
b) disjunção.
c) condicional.
d) bicondicional.
(IBFC - 2021)
Sobre o conjunto Q = {a, b, {a, c}} é correto afirmar que:
a) {c} ⊂ Q
b) {b,{a, c}} ⊂ Q
c) {a} ∈ Q
d) {b, c} ∈ Q
Teoria de Conjuntos - Conceitos e Definições  8
A L F A C O N
(IBFC - 2021)
Uma maneira de representar os conjuntos de forma gráfica, ou por imagem, é usando os diagramas de Venn. Analise 
o diagrama abaixo.
Assinale a alternativa que apresenta a que conjunto se refere o diagrama
a) (A ∪ B) ∩ (B ∪ C)
b) (B ∩ A) ∪ (B ∩ C)
c) B ∪ (A ∩ C)
d) C ∪ B ∪ A.
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Teoria de Conjuntos 
- Operações (União, 
Intersecão, Diferença e 
Complementar)
   2
A L F A C O N
Sumário
Teoria de Conjuntos - Operações (União, Intersecão, Diferença e Complementar)���� 3
1. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
1.1 União ..................................................................................................................................................................................... 3
1.2 Interseção ...........................................................................................................................................................................3
1.3 Diferença ............................................................................................................................................................................. 3
2. Número de elementos da União de Conjuntos ������������������������������������������������������������������������������������������������������� 4
2.1 com dois conjuntos ............................................................................................................................................................ 4
2.2 com três conjuntos ............................................................................................................................................................ 4
3. Na prática ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������5ßßß
Teoria de Conjuntos - Operações (União, Intersecão, Diferença e Complementar)  3
A L F A C O N
Teoria de Conjuntos - Operações (União, 
Intersecão, Diferença e Complementar)
1. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
1.1 União
TODOS os elementos.
1.2 Interseção
Elementos COMUNS (que pertencem ao mesmo tempo aos conjuntos).
1.3 Diferença
Elementos EXCLUSIVOS.
Ex.:
A = {a, e, i, o, u}
B = {a, b, c, d, e}
A⋃B = {a, b, c, d, e, i, o, u}
A⋂B = {a, e}
A – B = {i, o, u}
B – A = {b, c, d}
Teoria de Conjuntos - Operações (União, Intersecão, Diferença e Complementar)  4
A L F A C O N
2. Número de elementos da União de Conjuntos
2.1 com dois conjuntos
• Com interseção entre eles
n(A⋃B) = n(A) + n(B) – n(A⋂B)
• Sem interseção entre eles (conjuntos disjuntos)
n(A⋃B) = n(A) + n(B)
2.2 com três conjuntos
• Com interseção de dois em dois
n(A⋃B⋃C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A⋂B) – n(B⋂C)
Teoria de Conjuntos - Operações (União, Intersecão, Diferença e Complementar)  5
A L F A C O N
• Com interseção dos 3
n(A⋃B⋃C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A⋂B) – n(A⋂C) – n(B⋂C) + n(A⋂B⋂C)
Obs.: termos como SÓ, SOMENTE, APENAS e seus sinônimos ou ideias são determinantes para a organização dos 
dados e resolução das questões de conjuntos.
3. Na prática
(IBADE - 2022)
A diretoria de RH de uma empresa de engenharia divulgou o resultado de uma enquete que foi feita com todos 
os 75 funcionários da empresa. A enquete tratava-se sobre a vontade dos funcionários de voltar a trabalhar pre-
sencialmente, continuar no trabalho remoto ou então adotar o modelo híbrido, ou seja, adotar os dois métodos ao 
mesmo tempo. 20 funcionários não responderam, pois estavam de férias. Sabe-se que 10 pessoas escolheram o 
modelo híbrido e que 42 pessoas escolheram o modelo remoto. O número de pessoas que escolheu penas o modelo 
presencial é:
a) 13.
b) 14.
c) 15.
d) 16.
e) 17.
(Instituto Access - 2022)
Um grupo de 140 alunos foi imunizado com as vacinas Pfizer ou AstraZeneca. 60 tomaram só a Pfizer e 80 tomaram 
a AstraZeneca. Se 30 tomaram as duas, o número de alunos que tomaram apenas um tipo de vacina foi
a) 50.
b) 60.
c) 90.
d) 110.
Teoria de Conjuntos - Operações (União, Intersecão, Diferença e Complementar)  6
A L F A C O N
(FUNDEP - 2022)
Em um campeonato regional juvenil, estudantes de uma escola se inscreveram para participar de competições em 
três modalidades, conforme mostra a tabela a seguir.
Considerando os dados apresentados pela tabela, pode-se afirmar que o número de inscritos foi de
a) 140 estudantes.
b) 265 estudantes.
c) 393 estudantes.
d) 545 estudantes.
(CESPE - 2022)
A seguir, são apresentadas informações obtidas a partir de uma pesquisa realizada com 1.000 pessoas.
• 480 possuem plano de previdência privada;
• 650 possuem aplicações em outros tipos de produtos financeiros;
• 320 não possuem aplicação em nenhum produto financeiro.
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens seguintes.
Há mais pessoas que não possuem aplicações em nenhum produto financeiro que pessoas que possuem simulta-
neamente plano de previdência privada e aplicações em outros produtos financeiros.
Teoria de Conjuntos - Operações (União, Intersecão, Diferença e Complementar)  7
A L F A C O N
(FGV - 2022)
Em um grupo de 48 pessoas, há 35 advogados e 32 policiais.
Nesse grupo, o número mínimo de pessoas que são ao mesmo tempo advogados e policiais é
a) 13.
b) 16.
c) 19.
d) 32.
e) 35.
Versão Condensada
Relações entre proposição 
e conjuntos
   2
A L F A C O N
Sumário
Relações entre proposição e conjuntos ������������������������������������������������������������������������3
1� Relação dos conjuntos com as proposições ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
1.1 Resumo das relações .......................................................................................................................................................... 4
2� Relação dos conjuntos com os conjuntos numéricos �������������������������������������������������������������������������������������������� 4
3� Na prática ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5
Relações entre proposição e conjuntos  3
A L F A C O N
Relações entre proposição e conjuntos
1. Relação dos conjuntos com as proposições
É importante também termos algumas noções da relação dos conjuntos com outros assuntos da lógica ou da 
matemática, veja:
Os conectivos, os quantificadores e a teoria dos conjuntos têm uma relação entre si e vamos verificar isso a partir 
de agora.
• 1ª relação: negação e complementar:
A negação de proposição está relacionada nos conjuntos pelo complementar.
A: as vogais do alfabeto
~A: as consoantes do alfabeto
• 2ª relação: conjunção e interseção de conjuntos:
O conectivo E se relaciona nos conjuntos com a interseção.
Ex.: Número Primo E Par ⇨ PʌQ = A∩B
• 3ª relação: disjunção e união de conjuntos:
O conectivo OU se relaciona nos conjuntos com a união.
Número Primo OU Par ⇨ PvQ = AUB
• 4ª relação: disjunção exclusiva e diferença de conjuntos:
O conectivo OU..., OU se relaciona nos conjuntos com a diferença.
OU Número Primo OU Par ⇨ P v Q = A – B ou B – A
• 5ª relação: condicional e subconjuntos e quantificador TODO:
O conectivo SE..., ENTÃO se relaciona nos conjuntos com o subconjunto.
P→Q = TODO A é B = A B = B A
• 6ª relação: bicondicional e igualdade de conjuntos:
O conectivo SE, E SOMENTE SE se relaciona nos conjuntos com igualdade de conjuntos.
P↔Q = A = B (A B e B A A∩B = AUB)
Relações entre proposição e conjuntos  4
A L F A C O N
1.1 Resumo das relações
Proposição Conjuntos
Negação = ~ Complementar
Conjunção = E = ʌ Interseção = ⋂
Disjunção = OU = v União = U
Disjunção Exclusiva = OU, OU = v Diferença de conjuntos = –
Condicional = SE, ENTÃO = → = está contido = subconjunto
Ɐ = TODO Ɐ = para todo
Ǝ = ALGUM Ǝ = existe
= NENHUM = não existe
2. Relação dos conjuntos com os conjuntos numéricos
≠ = diferente de;
> = maior que;
< = menor que;
≥ = maior ou igual;
≤ = menor ou igual;
x│x ∈ = x, tal que, x pertence ao conjunto dos números naturais;
[1,4] = intervalo fechado = 1 ≤ x ≤ 4 = {1, 2, 3, 4};
]1,4[ = intervalo aberto = 1 < x < 4 = {2, 3} (os parênteses - ( ) - também servem para expressar o intervalo aberto);
= conjunto dos números naturais;
= conjunto dos números inteiros;
= conjunto dos números racionais;
= conjunto dos números reais;
* = conjunto dos números naturais sem o zero (o * retira o zero do conjunto dos números);
*+ = conjunto dos números inteiros positivos (o * junto com o sinal de + ou de – restringe o conjunto aos números 
positivos ou negativos).
Relações entre proposição e conjuntos  5
A L F A C O N
3. Na prática
1� (CESPE/CEBRASPE - 2023)
Texto CB2A3-I
Se estudo para concurso e vou bem nas provas, tiro boas notas.
Se tiro boas notas, sou aprovado.
Logo, sou aprovado.
Considerando que, com base no argumento apresentado no texto CB2A3-I, tenha sido elaborado um diagramaem 
que um retângulo representa o conjunto de todos os candidatos de concursos e dois balões (A e B) representam, 
respectivamente, o conjunto de candidatos que estudam para concursos e o conjunto de candidatos que vão bem 
nas provas, assinale a opção que mostra o diagrama em que a área mais escura representa corretamente a propo-
sição “O candidato estuda para concurso e vai bem nas provas.”.
a) 
b) 
c) 
d) 
Relações entre proposição e conjuntos  6
A L F A C O N
2� (UNESC - 2023)
Qual das alternativas dadas descreve uma sentença lógica do diagrama abaixo?
a) Se B, então A.
b) Nenhum A é B.
c) Nem todo B é A.
d) Nenhum B é A.
e) Se A, então B.
3� (FUNDATEC - 2023)
A união entre os intervalos ]-1, 4] ∪ [0, 6] é representada por:
a) ]0, 4[
b) [0, 4]
c) [-1 , 6]
d) ]-1, 6]
e) ]-1, 6[
4� (CESPE/CEBRASPE - 2022)
Texto CG1A2-I
P: “Deus ajuda quem cedo madruga.”
Indicam-se, respectivamente, por X, Y e Z os conjuntos das pessoas para as quais são verdadeiras as afirmações 
“Deus ajuda essa pessoa”, “essa pessoa cedo madruga” e a afirmação presente em P, sendo os referidos conjuntos 
supostamente não vazios, e indica-se por CWS o complementar de S em W.
Assinale a opção em que é corretamente apresentada a relação determinada, no texto CG1A2-I, pela proposição P 
sobre os conjuntos X e Y.
a) X ∩ Y = { }
b) X ⊂ Y
c) Y ⊂ X
d) X ∪ Y = Z
e) CZY ⊂ CZX
Relações entre proposição e conjuntos  7
A L F A C O N
5� (CESPE/CEBRASPE - 2022)
Em certa associação, há três dirigentes: uma presidente, uma secretária executiva e um tesoureiro, designados, 
respectivamente, pelas letras a, b e c.
Insatisfeito com a forma de administração dessa associação, um dos associados assim expressou sua revolta:
P1: Todos os dirigentes dessa associação são incompetentes.
P2: Nessa associação, existem dirigentes que atuam de má fé.
P3: Quem é incompetente e atua de má fé faz mau uso do dinheiro.
P4: Se alguém faz mau uso do dinheiro, o interesse coletivo fica prejudicado.
C: Logo, o interesse coletivo fica prejudicado.
Com base nessa situação hipotética, e considerando D = {a, b, c} o conjunto dos dirigentes da referida associação, 
julgue o item seguinte.
Indicando-se por M o conjunto daqueles dirigentes da referida associação que fazem mau uso do dinheiro, por I o 
conjunto dos que são incompetentes, e por F o conjunto dos que atuam de má fé, a veracidade da proposição P3 
pode ser verificada pela avaliação da inclusão M ⊂ I ∩ F.
6� (CESPE/CEBRASPE - 2022)
Dada uma equipe de dez servidores, entre eles Alberto e Bruna, W é o conjunto de todas as listas que podem ser 
formadas com exatamente três servidores.
A partir das informações anteriores, e sabendo que, nessa hipótese, A é o conjunto de todas as listas em que consta 
o nome de Alberto e B, o conjunto daquelas em que consta o nome de Bruna, julgue o item que se segue.
O conjunto de listas que não apresentam os nomes de Alberto nem de Bruna pode ser corretamente representado 
por W−A∩B.
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Análise Combinatória - 
Definições, Fatorial e P.F.C
   2
A L F A C O N
Sumário
Análise Combinatória - Definições, Fatorial e P.F.C ..................................................... 3
1. Fatorial (!) ................................................................................................................................................................ 3
2. P.F.C (Princípio Fundamental da Contagem) ......................................................................................................... 3
3. Na prática ................................................................................................................................................................ 4
Análise Combinatória - Definições, Fatorial e P.F.C  3
A L F A C O N
Análise Combinatória - Definições, Fatorial e 
P.F.C
Análise combinatória é a disciplina dentro do RLM usada para “contar” ou “quantificar” de quantas maneiras deter-
minado evento pode acontecer sem que seja necessário demonstrar todas essas maneiras.
Ex.: Placas de automóveis
1. Fatorial (!)
Fatorial de um número – natural – é a multiplicação desse número por todos os seus antecessores em ordem até 
o número 1.
Ex.: 0! = 1
1! = 1
2! = 2∙1 = 2
3! = 3∙2∙1 = 6
4! = 4∙3∙2∙1 = 24
5! = 5∙4! = 5∙24 = 120
Outros exemplos:
2. P.F.C (Princípio Fundamental da Contagem)
O P.F.C é a técnica mais antiga da análise combinatória. Consiste basicamente na disposição dos dados, em quan-
tidade, e suas multiplicações ou somas, dependendo se esses dados estão ligados por E ou por OU.
Ex.:
Quantas números impares de 4 algarismos podemos formar?
Um executivo dispõe no seu guarda roupa de 5 ternos completos, 4 pares de sapatos, 8 camisas sociais e 6 calcas 
sociais. De quantas maneiras diferentes esse executivo pode se vestir?
Análise Combinatória - Definições, Fatorial e P.F.C  4
A L F A C O N
3. Na prática
1. (COPESE-UFPI - 2022) Uma pequena loja de roupas possui disponíveis três tipos de blusa, três tipos de bermuda 
e três tipos de calçados; os modelos de calçados disponíveis são tênis, sandália e alpargata. Lucas chegou à loja 
para comprar uma blusa, uma bermuda e um calçado, sabendo que em relação ao calçado, Lucas vai comprar uma 
alpargata ou um tênis. De quantas maneiras distintas Lucas pode realizar a sua compra?
a) 3
b) 6
c) 9
d) 12
e) 18
2. (QUADRIX - 2022) O cardápio de um restaurante apresenta quatro tipos de entrada, seis tipos de prato principal e 
três tipos de sobremesa. Para participar de determinada promoção nesse restaurante, cada cliente deverá escolher 
um item de cada uma dessas três categorias.
Com base nesse caso hipotético, julgue o item.
Há menos de setenta formas de um cliente participante da promoção escolher seus pratos.
3. (IBFC - 2022) A senha de um banco é formada por três consoantes distintas, considerando o alfabeto de 26 letras. 
Nessas condições, o total de senhas possíveis de serem formadas é igual a:
a) 1330
b) 7980
c) 3990
d) 15600
Análise Combinatória - Definições, Fatorial e P.F.C  5
A L F A C O N
4. (QUADRIX - 2022) O número que permanece igual quando lido de trás para a frente é chamado de palíndromo. 
Considerando essa informação, é correto afirmar que existem
a) 72 números naturais palíndromos de 3 dígitos.
b) 81 números naturais palíndromos de 3 dígitos.
c) 90 números naturais palíndromos de 3 dígitos.
d) 100 números naturais palíndromos de 3 dígitos.
5. (AGIRH - 2022) Considere o sistema de placas veiculares formadas por 3 letras entre as 26 do alfabeto, seguidas 
de 4 algarismos entre os 10 algarismos de 0 a 9. Quantas placas palíndromo distintas poderão ser construídas 
seguindo esse modelo?
a) 58.500 placas
b) 66.700 placas
c) 172.600 placas
d) 110.600 placas
6. (UFES - 2021) A quantidade de números inteiros positivos de 4 algarismos distintos, sendo que os 4 algarismos não 
são todos pares e nem são todos ímpares, é igual a
a) 3840
b) 4130
c) 4320
d) 4410
e) 4480
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Análise Combinatória - 
Arranjos, Combinações e 
Permutações
   2
A L F A C O N
Sumário
Análise Combinatória - Arranjos, Combinações e Permutações ��������������������������������� 3
1� Arranjo ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
2� Combinação ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 3
3� Permutação ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
4� Na prática ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 4
Análise Combinatória - Arranjos, Combinações e Permutações3
A L F A C O N
Análise Combinatória - Arranjos, 
Combinações e Permutações
As técnicas que veremos agora são usadas quando os elementos não se repetem, importando saber se a ordem 
desses elementos gera resultados diferentes ou não.
1. Arranjo
É a técnica de contagem usada quando a ordem dos elementos envolvidos no cálculo gera resultados diferentes 
(ordem FAZ diferença).
Calculamos o arranjo pela formula:
An,p = n!/(n – p)!
Em que n = todos os elementos disponíveis para serem usados, p = elementos utilizados.
Exemplo: classificação de 1º, 2º, e 3º lugares.
Obs�: as questões de Arranjo podem ser resolvidas por P.F.C
2. Combinação
É a técnica de contagem usada quando a ordem dos elementos envolvidos no cálculo não gera resultados diferentes 
(ordem NÃO FAZ diferença).
Calculamos a combinação pela formula:
Cn,p = n!/p!∙(n – p)!
Em que n = todos os elementos disponíveis para serem usados, p = elementos utilizados.
Exemplo: grupos ou comissões sem cargos ou funções definidas.
3. Permutação
É a técnica de contagem usada quando são ORGANIZADOS TODOS os elementos, logo a ordem dos elementos 
gera resultados diferentes. A diferença da permutação para o arranjo é que no arranjo não são usados todos os 
elementos, já na permutação são usados e “organizados” todos os elementos.
Calculamos a permutação pela formula:
Pn = n!
Em que n = todos os elementos disponíveis para serem usados.
Exemplo: anagramas de palavras (anagrama = reorganização de todas as letras de uma palavra para formar novas 
palavras).
Obs.: a permutação é um arranjo, mas com a especificidade de utilizar TODOS os elementos.
Análise Combinatória - Arranjos, Combinações e Permutações  4
A L F A C O N
4. Na prática
(AMAUC - 2022)
Uma turma de 10 amigas vai brincar de pular corda, então precisam formar trios para ordenar as jogadas, pois duas 
batem a corda enquanto uma pula. De quantas maneiras diferentes esses trios podem ser formados?
a) Esses trios podem ser formados de 219 maneiras diferentes.
b) Esses trios podem ser formados de 120 maneiras diferentes.
c) Esses trios podem ser formados de 237 maneiras diferentes.
d) Esses trios podem ser formados de 480 maneiras diferentes.
e) Esses trios podem ser formados de 351 maneiras diferentes.
(UPENET/IAUPE - 2022)
Para compor a Comissão de Ética em um setor de hospital, é necessário escolher três médicos, um representante 
da administração e dois representantes dos servidores. Existem, nesse setor do hospital, cinco médicos, dois 
administradores e dez servidores.
De quantas formas distintas podemos, nestas condições, compor a Comissão de Ética?
a) 6
b) 100
c) 900
d) 1.800
e) 3.600
(Instituto Access - 2022)
Seis amigos se posicionam, um ao lado do outro, para tirar uma foto.
Entre eles, estão Adão e Eva. O fotógrafo pediu para que os seis amigos se posicionassem para a foto de modo 
que Adão ficasse separado de Eva.
O número de maneiras de isso ocorrer é
a) 600.
b) 560.
c) 540.
d) 480.
Análise Combinatória - Arranjos, Combinações e Permutações  5
A L F A C O N
(AMEOSC - 2022)
Na eleição para a mesa diretora de um clube, doze pessoas se candidataram para as vagas de presidente, vice-
-presidente, primeiro secretário, segundo secretário e tesoureiro. De quantas maneiras distintas essa mesa pode 
ser formada?
a) Essa mesa pode ser formada de 95.040 maneiras distintas.
b) Essa mesa pode ser formada de 79.413 maneiras distintas.
c) Essa mesa pode ser formada de 48.298 maneiras distintas.
d) Essa mesa pode ser formada de 82.370 maneiras distintas.
(QUADRIX - 2022)
Quanto aos anagramas da palavra EUFORIA, julgue o item.
Podem ser formados 5.040 anagramas.
(QUADRIX - 2022)
Para a realização de uma dinâmica de grupo, deseja-se selecionar 6 pessoas de um conjunto de 10 pessoas (entre 
elas Anderson e Bárbara).
Com base nessa situação hipotética, julgue o item.
Se Anderson e Bárbara são um casal inseparável, essa dinâmica de grupo pode ser realizada de 98 maneiras distintas.
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Análise Combinatória - 
Casos Especiais
   2
A L F A C O N
Sumário
Análise Combinatória - Casos Especiais ����������������������������������������������������������������������3
1� Combinação com Repetição ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 3
2� Permutação com Repetição ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 3
3� Permutação Circular ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
4� Na prática ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 4
Análise Combinatória - Casos Especiais  3
A L F A C O N
Análise Combinatória - Casos Especiais
1. Combinação com Repetição
É a técnica de contagem usada quando a ordem dos elementos envolvidos no cálculo não gera resultados diferentes 
(ordem NÃO FAZ diferença), mas temos elementos repetidos.
Calculamos a combinação com repetição pela formula:
Cr(n,p) = (n+p-1)!/p!∙(n – 1)!
Em que n = todos os elementos disponíveis para serem usados, p = elementos utilizados.
Exemplo: montar uma banana split.
2. Permutação com Repetição
É a técnica de contagem usada quando são ORGANIZADOS TODOS os elementos, logo a ordem dos elementos gera 
resultados diferentes, e temos repetição dos elementos.
Calculamos a permutação com repetição pela formula:
Pn
a,b,c,��� = n!/a!∙b!∙c!...
Em que n = todos os elementos disponíveis para serem usados, a e b e c são as quantidades de elementos que se 
repetem
Exemplo: anagramas de palavras (anagrama = reorganização de todas as letras de uma palavra para formar novas 
palavras).
3. Permutação Circular
É a técnica de contagem usada quando são ORGANIZADOS TODOS os elementos “ao redor de” ou “em torno de”. A 
ideia presente na permutação circular é de que os elementos giram, mas não necessariamente munda de posição.
Na permutação circular o que interessa é a mudança de posição, não a mudança de lugar.
Calculamos permutação circular pela formula:
Pc(n) = (n – 1)!
Em que n = todos os elementos disponíveis para serem usados.
Exemplo: mesa do bar.
Análise Combinatória - Casos Especiais  4
A L F A C O N
4. Na prática
(UFRJ - 2022)
Um grupo composto por seis Assistentes em Administração estava em uma sala de reunião mobiliada com uma 
mesa para analisar diversos Termos de Compromisso de Estágio de alunos de graduação de uma unidade acadê-
mica da UFRJ, a fim de verificar se esses documentos atendiam a todos os requisitos previstos nas normas legais 
que regulamentam e autorizam a realização do estágio. Nesse cenário em que todos dispunham de uma cadeira, o 
número de maneiras que esses servidores podem se sentar em torno dessa mesa é:
a) 480
b) 720
c) 120
d) 60
e) 360
(FGV - 2022)
O número de anagramas da palavra ASSADO que não têm as 2 letras S juntas é:
OBS.: Anagramas de uma palavra são as permutações das letras dessa palavra.
a) 720;
b) 360;
c) 120;
d) 84;
e) 72.
Análise Combinatória - Casos Especiais  5
A L F A C O N
(QUADRIX - 2022)
Uma família composta de 6 pessoas, que são os pais e seus quatro filhos, visitou uma feira gastronômica realizada 
na cidade de Tijucas do Sul. Lá chegando, eles ocuparam uma mesa redonda de 6 lugares, sendo que os pais 
informados juntos, lado a lado.
Com base nesse caso hipotético, é correto afirmar que os membros da família podem se sentar em torno da mesa, 
de modo que o pai e a mãe sempre ficassem juntos, de
a) 24 modos diferentes.
b) 48 modos diferentes.
c) 72 modos diferentes.
d) 120 modos diferentes.
e) 720 modos diferentes.
(CESPE/CEBRASPE - 2022)
Julgue os itens que se seguem, a respeito de contagem, probabilidade e estatística.
Considere que três amigos farão umadinâmica de grupos e precisarão se sentar em uma roda com outras 5 pessoas. 
Considere ainda que os três amigos fazem questão de ficarem juntos. Nessa situação, a roda poderá ser formada 
de 720 maneiras distintas, sem haver repetição das posições.
(QUADRIX - 2022)
Bárbara quer comprar 10 croissants em uma padaria onde há 3 tipos de croissant (presunto e queijo, pera com 
gorgonzola e chocolate).
Com base nessa situação hipotética, é correto afirmar que ela poderá fazer isso de
a) 44 maneiras distintas.
b) 55 maneiras distintas.
c) 66 maneiras distintas.
d) 77 maneiras distintas.
e) 88 maneiras distintas.
Análise Combinatória - Casos Especiais  6
A L F A C O N
(QUADRIX - 2022)
Gustavo está perdidamente apaixonado por Rafaela e, para demonstrar o seu amor, escreveu, sequencialmente, o 
nome dela 2.022 vezes em uma folha de cartolina.
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens.
O número de anagramas da palavra RAFAELA é igual a 840.
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Probabilidade - Conceitos 
e Cálculos
   2
A L F A C O N
Sumário
Probabilidade - Conceitos e Cálculos ���������������������������������������������������������������������������3
1. conceitos ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
1.1 Experimento Aleatório ........................................................................................................................................................ 3
1.2 Espaço Amostral (Ω) ou (U) .............................................................................................................................................. 3
1.3 Evento .................................................................................................................................................................................. 3
2. Calculo da Probabilidade ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
2.1 Probabilidade Complementar ........................................................................................................................................... 3
3. Na prática ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 4
Probabilidade - Conceitos e Cálculos  3
A L F A C O N
Probabilidade - Conceitos e Cálculos
Probabilidade é a CHANCE de algo acontecer.
1. conceitos
1.1 Experimento Aleatório
É o experimento que pode ser feito repetidas vezes sob as mesmas condições e ainda assim o resultado não tem 
como garantir.
Ex.: moeda, dado e baralho
Obs.: pode-se ate acertar o resultado, mas nunca garantir o resultado
1.2 Espaço Amostral (Ω) ou (U)
São todos os resultados possíveis para o experimento aleatório.
1.3 Evento
Parte do espaço amostral que se quer determinar a chance de acontecer.
2. Calculo da Probabilidade
A probabilidade é calculada pela razão (divisão) entre o evento e o espaço amostral, em outras palavras, o que se 
QUER dividido por TUDO que se TEM.
Ex.: chance de retirar uma “letra” do baralho.
Obs.1: os resultados da probabilidade são expressos em fração, decimal ou porcentagem.
Obs.2: os resultados da probabilidade variam de 0 a 1 (ou de 0% a 100%). Quando a probabilidade é 0 (0%) diz-se 
que o evento é impossível (a chance de ter um número no alfabeto). Quando a probabilidade é 1 (100%) diz-se que 
o evento é certo ou garantido (a chance de ter uma letra no alfabeto)
2.1 Probabilidade Complementar
A chance de um evento ACONTECER somado a chance desse evento NÃO ACONTECER é sempre igual a 1 ou a 100%.
PA + PA’ = 1 (100%)
Ex.: chance de retirar um “número” do baralho.
Probabilidade - Conceitos e Cálculos  4
A L F A C O N
Obs.: a probabilidade complementar é bem importante em questões que os dados disponíveis são para calcular a 
chance de algo acontecer, mas o pedido da questão é desse algo não acontecer.
3. Na prática
(Instituto UniFil - 2022)
Considerando que dois dados, não viciados, foram lançados ao mesmo tempo, assinale a alternativa que representa 
a probabilidade de dois números iguais ficarem voltados para cima.
a) 10,30%
b) 12,56%
c) 16,67%
d) 18,10%
(OBJETIVA - 2022)
Em uma urna, há 7 bolas azuis, 8 bolas amarelas, 6 bolas verdes e 9 bolas brancas. Sorteando-se, ao acaso, uma 
das bolas dessa urna, a probabilidade de, na primeira retirada, ela sair verde é de:
a) 1/6
b) 1/5
c) 1/4
d) 1/2
Probabilidade - Conceitos e Cálculos  5
A L F A C O N
(COPESE-UFPI - 2022)
Em uma pesquisa, 847 professores de Matemática e 597 professores de Física especificaram qual sua atividade 
favorita: Pesquisa ou Ensino. O resultado pode ser visto na tabela abaixo. Com base nessa tabela, pode-se afirmar 
que a probabilidade de escolher, aleatoriamente, dentre todos os professores, um professor de Física cuja atividade 
favorita seja ensinar é, aproximadamente:
a) 0,26
b) 0,53
c) 0,62
d) 0,89
e) 1
(QUADRIX - 2022)
Uma loja de doces decidiu fazer uma grande liquidação e, para isso, estabeleceu que seria possível comprar duas 
jujubas pelo preço de uma e 3 pirulitos pelo preço de 1, mas o chiclete não entraria na promoção. O preço original 
de cada doce era de R$ 1,00 e Léo foi para a loja com R$ 5,00. Sabe-se que a chance de ele escolher cada um dos 
doces é igual, que doces iguais são indistinguíveis e que ele saiu com pelo menos 1 doce.
Com base nesse caso hipotético, julgue o item.
Se Léo tiver levado para casa 1 chiclete, duas jujubas e 3 pirulitos, então a probabilidade de ele retirar aleatoriamente 
uma jujuba de sua mochila é de 1/3.
(IBFC - 2022)
Considere as letras da palavra “COMBINATÓRIA”, então se tivesse que se escolher uma única letra, a probabilidade 
de ela ser a letra A é, aproximadamente igual a:
a) 23%
b) 32%
c) 17%
d) 13%
Probabilidade - Conceitos e Cálculos  6
A L F A C O N
(UNIOESTE - 2022)
Você comprou 6 rifas de um sorteio com 200 números. Será sorteado apenas 1 número. Qual é a sua chance de 
ser sorteado?
a) 0%
b) 1%
c) 2%
d) 3%
e) 10%
(AGIRH - 2022)
Uma sala de aula tem 8 meninos e 12 meninas. Ao escolher um aluno ao acaso para ser o representante, qual é a 
probabilidade desse aluno ser um menino?
a) 2/3
b) 3/2
c) 2/5
d) 3/5
(AMEOSC - 2022)
Um sorteio será feito na empresa onde Heitor, sua esposa e seus dois filhos trabalham. Se, contando com eles, 250 
funcionários participaram do sorteio, qual é a probabilidade deste prêmio ir para a casa deles?
a) A probabilidade é de 2,3%.
b) A probabilidade é de 7%.
c) A probabilidade é de 1,6%.
d) A probabilidade é de 4,5%.
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Probabilidade - Casos 
Especiais
   2
A L F A C O N
Sumário
Probabilidade - Casos Especiais �����������������������������������������������������������������������������������3
1. Eventos Independentes e Eventos Sucessivos ������������������������������������������������������������������������������������������������������ 3
2. Probabilidade Condicional �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
3. Probabilidade da União de Eventos ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 3
4� Probabilidade Binomial ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 4
5. Na prática ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 4
Probabilidade - Casos Especiais  3
A L F A C O N
Probabilidade - Casos Especiais
1. Eventos Independentes e Eventos Sucessivos
Em muitas questões acontece de serem calculadas mais de umaprobabilidade pelos eventos pedidos.
Quando os eventos estiverem ligados por E devemos MULTIPLICAR essas probabilidades, já quando os eventos 
estiverem ligados por OU devemos SOMAR as probabilidades.
Os eventos, quando se calcula mais de uma probabilidade, em regra, são sucessivos ou independentes, e nisso o 
que pode implicar é uma variação dos valores de eventos e espaços amostrais.
Quando os eventos são independentes e sucessivos em regra o espaço amostral não muda. Já quando os eventos 
sucessivos não são independentes há que se vislumbrar uma diminuição do espaço amostral.
Ex.1: ao jogar um dado e retirar uma carta do baralho, qual a probabilidade de ser um número primo e uma letra?
Ex.2: ao retirar duas cartas do baralho, qual a probabilidade das duas cartas serem letras?
Obs.: pode acontecer dos eventos serem mutuamente excludentes, e quando for assim, ao acontecer um dos 
eventos o outro não poderá acontecer.
2. Probabilidade Condicional
Probabilidade condicional é a probabilidade de um evento acontecer sabendo que a aconteceu outro evento antes.
Em termos práticos o que ocorre é uma redução do espaço amostral devido a “condição” imposta.
A fórmula para o cálculo da probabilidade condicional é:
PA/B = PA∩B/PB
Em que PA/B = probabilidade de acontecer o evento A sabendo que aconteceu o evento B; PA∩B = probabilidade dos 
eventos A e B; PB = probabilidade do evento B.
Obs.: não se prenda a fórmula, lembre-se da redução do espaço amostral.
Ex.: qual a probabilidade de ao retirar uma carta do baralho e ela ser uma letra sabendo que é uma carta vermelha?
3. Probabilidade da União de Eventos
Também chamada da probabilidade do “OU”.
É a probabilidade de acontecer um evento, OU outro evento, OU os dois eventos.
A fórmula do cálculo dessa probabilidade é:
P(A ou B) = PA + PB – P(A e B)
Em que P(A ou B) = probabilidade de acontecer o evento A OU o evento B; P(A e B) = probabilidade de acontecer o evento 
A E o evento B; PA = probabilidade do evento A; PB = probabilidade do evento B.
Ex.: qual a probabilidade de escolher um algarismo e esse ser impar ou primo?
Probabilidade - Casos Especiais  4
A L F A C O N
4. Probabilidade Binomial
Também chamada da probabilidade do “sucesso”.
É a probabilidade de um determinado evento especifico acontecer, uma quantidade determinada de vezes, como 
sucesso, dentre todas as vezes que o evento acontece.
A fórmula do cálculo dessa probabilidade é:
P = Cn,s ∙ Ps
S ∙ Pf
F
Em que C = combinação; n = número de repetições do evento; S = quantidade de sucessos do evento; F = quanti-
dade de insucessos do evento; Ps = probabilidade do sucesso do evento; Pf = probabilidade do insucesso do evento.
Ex.: ao lançar uma moeda 7 vezes, qual a probabilidade dos resultados apresentar 3 caras?
5. Na prática
(FUNDATEC - 2022)
Um cliente chega em uma padaria onde tem 20 pães, sendo 6 deles do dia anterior e 10 sucos, sendo 2 deles ven-
cidos. A probabilidade desse cliente comprar um pão do dia e um suco dentro da validade é de:
a) 1/2.
b) 12/20.
c) 14/25.
d) 3/2.
e) 6/8.
(FGV - 2022)
ALESSANDRA escreveu em 10 cartões diferentes cada uma das 10 letras do seu nome e colocou esses cartões em 
uma urna. A seguir, ela retirou, aleatoriamente e em sequência, 3 cartões da urna.
A probabilidade de que ALESSANDRA tenha retirado os 3 cartões com a letra “A” é:
a) 1/120;
b) 7/120;
c) 1/40;
d) 3/10;
e) 3/7.
Probabilidade - Casos Especiais  5
A L F A C O N
(QUADRIX - 2022)
Em uma equipe de competição de jiu-jitsu, há 6 faixas brancas, 1 faixa azul, 4 faixas roxa, 2 faixas marrons e 1 faixa 
preta.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item.
Suponha-se que um competidor tenha sido selecionado ao acaso. Nesse caso, sabendo-se que ele não é faixa 
branca, a probabilidade de ele ser faixa preta é de 6,25%.
(QUADRIX - 2022)
A probabilidade de o canal Math4ever publicar um novo vídeo é de 0,1, todo dia.
Com base nesse caso hipotético, é correto afirmar que, em um período de quatro dias, a probabilidade de apenas 
um vídeo ter sido lançado é de
a) 7,29%.
b) 20%.
c) 29,16%.
d) 34,39%.
e) 65,61%.
(CESPE - 2022)
Julgue os itens que se seguem, a respeito de contagem, probabilidade e estatística.
Considere que seja preciso comprar duas peças p1 e p2 para um projeto de satélite. Considere ainda que a probabi-
lidade de ter a peça p1 no estoque na distribuidora é de 1/3 e a probabilidade de ter a peça p2 no estoque na mesma 
distribuidora é de 3/5. Nesse caso, a probabilidade de que pelo menos uma das peças esteja no estoque é de 11/15.
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Sequências Numéricas 
- Conceitos, Leis de 
Formação e Curiosidades
   2
A L F A C O N
Sumário
Sequências Numéricas - Conceitos, Leis de Formação e Curiosidades ���������������������� 3
1. Conceitos ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
1.1 Sequência............................................................................................................................................................................. 3
1.2 Sequências Numéricas ...................................................................................................................................................... 3
2. Lei de Formação de uma Sequência ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
3. Curiosidades das SequÊncias �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 4
4. Na prática ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 4
Sequências Numéricas - Conceitos, Leis de Formação e Curiosidades  3
A L F A C O N
Sequências Numéricas - Conceitos, Leis de 
Formação e Curiosidades
1. Conceitos
1.1 Sequência
Sequência é continuação, a partir de algo que já teve um início, seguindo o padrão estabelecido.
1.2 Sequências Numéricas
São as sequências em que os elementos são números, definidos e organizados por uma lei de formação.
Ex.: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, ...
Nas sequências numéricas os termos são representados por:
a1 = 1º termo;
a2 = 2º termo;
an = Último termo (ou termo geral).
(a1, a2, a3, a4, ..., an) Sequência finita.
(a1, a2, a3, a4, ..., an, ...) Sequência infinita.
2. Lei de Formação de uma Sequência
As leis de formação de uma sequência é o que define como será a sequência. As leis de formação pode ser as mais 
diversas possíveis.
Ex.: a sequência definida pela lei an = 2∙an-1 + 1, com “n” ϵ N, “n” ≥ 2 e a1 = 1, cujo an é o termo que ocupa a n-ésima 
posição na sequência é:
a1 = 1
Para n = 2: a2 = 3,
Para n = 3: a3 = 7,
Para n = 4: a4 = 15,
Para n = 5: a5 = 31,
E assim sucessivamente.
Sequências Numéricas - Conceitos, Leis de Formação e Curiosidades  4
A L F A C O N
3. Curiosidades das SequÊncias
Algumas sequências são bem famosas e bastante conhecidas.
A sequência de Fibonacci é uma sequência que a partir do 3º termo seus termos são a soma dos dois termos 
antecessores, logo, o 3º termo é a soma do 1º com o 2º, o 4º termo é a soma do 2º com o 3º, o 5º termo é a soma 
do 3º com o 4º, e assim por diante.
Ex.:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, ...
As progressões, aritméticas e geométricas, também são sequencias com características bem especificas. Nas P.A 
(progressões aritméticas) os termos são obtidos por somas ou subtrações de uma parcela fixa. Já nas P.G (pro-
gressões geométricas) os termos são obtidos por multiplicações ou divisões.
Ex.:
P.A: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, ...
P.G: 5, 15, 45, 135, 405, ...
P.A e P.G ao mesmo tempo: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
4. Na prática
(VUNESP - 2022)
Considere a sequência de infinitos termos (8, 10, 70, 74, 690, 696, 6890, 6898, …), que segueum padrão definido pela 
posição em que cada elemento, do segundo em diante, se encontra. O décimo segundo elemento dessa sequência é
a) 688902.
b) 68992.
c) 69700.
d) 690700.
e) 689762.
(OBJETIVA - 2022)
A sequência abaixo foi criada seguindo certo padrão. Sendo assim, assinalar a alternativa que apresenta o próximo 
termo dessa sequência, de modo que o padrão seja mantido:
3, 9, 12, 36, 39, 117, 120, 360, ?
a) 361
b) 363
c) 930
d) 1.080
Sequências Numéricas - Conceitos, Leis de Formação e Curiosidades  5
A L F A C O N
(VUNESP - 2022)
A sequência numérica: 1000, 900, 801, 703, 606, 510, …, foi criada com um padrão. O número 92 não faz parte dessa 
sequência. O número da sequência que é mais próximo do número 92 ocupa, na sequência, a posição de número
a) 8.
b) 11.
c) 9.
d) 12.
e) 10.
(VUNESP - 2022)
A sequência a seguir foi criada com um padrão lógico e é ilimitada.
1, 3, 5, 7, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 31, 33, 35, 37, 40, 41, …
Identifique os seguintes números que pertencem a esta sequência:
•  O número que antecede o 90.
•  O número que é o sucessor do 127.
•  O número que antecede o 503.
A soma desses três números identificados apresenta como algarismo da unidade, o algarismo
a) 9.
b) 6.
c) 3.
d) 1.
e) 8.
(IBADE - 2022)
A sequência numérica a seguir segue um padrão lógico matemático.
O próximo elemento da sequência é:
1 - 4 - 27 - 256 - …
a) 512.
b) 3.125.
c) 1.024.
d) 625.
e) 2.048.
Sequências Numéricas - Conceitos, Leis de Formação e Curiosidades  6
A L F A C O N
(Avança SP - 2022)
Observe a sequência de números abaixo:
Qual será o próximo número dessa sequência?
a) 65.
b) 68.
c) 72.
d) 79.
e) 81.
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Sequências Numéricas 
- P.A (Progressão 
Aritmética)
   2
A L F A C O N
Sumário
Sequências Numéricas - P.A (Progressão Aritmética) ................................................. 3
1. Definição .................................................................................................................................................................. 3
1.1 representação de uma P.a genérica ................................................................................................................................. 3
2. Termo Geral da P.A .................................................................................................................................................. 3
3. Soma dos termos da P.A ......................................................................................................................................... 4
4. Propriedades das P.A .............................................................................................................................................. 4
4.1 Termos equidistantes ......................................................................................................................................................... 4
4.2 média aritmética ................................................................................................................................................................ 4
5. Interpolação Aritmética .......................................................................................................................................... 4
6. Na prática ................................................................................................................................................................ 5
Sequências Numéricas - P.A (Progressão Aritmética)  3
A L F A C O N
Sequências Numéricas - P.A (Progressão 
Aritmética)
1. Definição
Progressão aritmética é toda sequência numérica em que de um termo para outro ocorre uma soma (ou subtração) 
por uma parcela fixa e constante chamada de razão (r).
Ex.:
3, 7, 11, 15, 19, 23, ...
28, 24, 20, 16, 12, 8, ...
4, 4, 4, 4, 4, 4, ...
As P.A podem ser crescentes, decrescentes ou constantes.
Obs.: para achar a razão basta subtrair um termo – a partir do segundo – pelo seu antecessor.
1.1 representação de uma P.a genérica
Com 3 termos:
a – r , a , a + r
Com 4 termos:
a – 3r , a – r, a + r, a + 3r
Com 5 termos:
a – 2r , a – r, a, a + r, a + 2r
2. Termo Geral da P.A
Para achar o termo geral – qualquer termo – da P.A, conhecendo algum termo e a razão da P.A, basta utilizar a 
formula do termo geral da P.A.
an = a1 + (n – 1)∙r
Em que:
an = termo que se quer determinar (ou termo dado na questão)
a1 = primeiro termo da P.A
n = posição do termo a ser determinado (ou dado na questão)
r = razão da P.A
Ex.: qual o 8º termo da P.A em que o 3º termo é 10 e a razão é 3?
Sequências Numéricas - P.A (Progressão Aritmética)  4
A L F A C O N
3. Soma dos termos da P.A
Para somar os termos da P.A devemos conhecer o primeiro termo o ultimo termo e a quantidade de termos. Com 
essas informações usa-se a formula:
Sn = (a1 + an)∙n/2
Em que:
Sn = soma dos “n” termos de uma P.A
an = último termo da P.A
a1 = primeiro termo da P.A
n = quantidade de termos da P.A
Ex.: qual a soma dos 8 primeiros termos da P.A em que o 3º termo é 10 e a razão é 3?
4. Propriedades das P.A
4.1 Termos equidistantes
A soma de termos equidistantes (mesma distância do referencial) é sempre igual.
Ex.: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, ...
4.2 média aritmética
Qualquer termo – a partir do segundo – é a média aritmética do seu antecessor e seu sucessor.
Ex.: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, ...
5. Interpolação Aritmética
Interpolar significa “colocar entre”.
Interpolação aritmética é colocar termos entre termos já conhecidos, de modo que a sequência formada pelos 
números seja uma P.A.
Para fazer a interpolação é necessário o uso da fórmula do termo geral da P.A.
Ex.: interpolar 4 termos entre o 5 e o 25 de modo que a sequência formada seja uma P.A.
Sequências Numéricas - P.A (Progressão Aritmética)  5
A L F A C O N
6. Na prática
(OBJETIVA - 2022)
Dada a PA (11, 14, 17, 20, ...), assinalar a alternativa que apresenta a soma dos 15 primeiros termos:
a) 180
b) 280
c) 380
e) 480
(VUNESP - 2022)
Os elementos de uma sequência são tais que, do segundo elemento em diante, cada um é igual ao anterior somado 
a uma constante positiva r. Sabendo que essa sequência tem 100 números e que os dois menores elementos são 
iguais a –21 e –16, o valor da soma de r com o maior termo dessa sequência é igual a
a) 479.
b) 464.
c) 469.
d) 484.
e) 474.
(UFPR - 2022)
Uma pessoa montou uma sequência de figuras, de modo que os 3 passos iniciais são:
A cada passo, ela sempre acrescenta a mesma quantidade de bolinhas à figura seguinte. Então, no passo 11, a figura 
terá quantas bolinhas?
Sequências Numéricas - P.A (Progressão Aritmética)  6
A L F A C O N
a) 31.
b) 33.
c) 34.
d) 36.
e) 37.
(AMEOSC - 2022)
Em uma dinâmica utilizada para ensinar progressão aritmética, a professora Joana formou uma fila com 4 de seus 
33 alunos e deu a cada um, do primeiro para o quarto, uma plaquinha com os números (2, 5, 8, 11, ...). Desta forma, 
se ela colocar todos os alunos nessa fila, qual será o número da plaquinha do último deles?
a) O número da plaquinha do último deles será 76.
b) O número da plaquinha do último deles será 53.
c) O número da plaquinha do último deles será 109.
d) O número da plaquinha do último deles será 98.
(OBJETIVA - 2022)
Três números formam uma PA de razão 3 cuja soma é igual a 18. Nessas condições, o termo central é igual a:
a) 12
b) 9
c) 6
d) 3
Versão Condensada
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
Sequências Numéricas 
- P.G (Progressão 
Geométrica)
   2
A L F A C O N
Sumário
Sequências Numéricas - P.G (Progressão Geométrica) ............................................... 3
1. Definição .................................................................................................................................................................. 3
1.1 representação de uma P.G genérica.................................................................................................................................3
2. Termo Geral da P.G .................................................................................................................................................. 3
3. Soma dos termos da P.G Finita ............................................................................................................................... 4
4. Soma dos termos da P.G inFinita ............................................................................................................................ 4
5. Propriedades das P.G .............................................................................................................................................. 4
5.1 Termos equidistantes ......................................................................................................................................................... 4
5.2 média geométrica .............................................................................................................................................................. 4
6. Interpolação Geométrica ........................................................................................................................................ 5
7. Produto dos termos da P.G ...................................................................................................................................... 5
8. Na prática ................................................................................................................................................................ 5
Sequências Numéricas - P.G (Progressão Geométrica)  3
A L F A C O N
Sequências Numéricas - P.G (Progressão 
Geométrica)
1. Definição
Progressão geométrica é toda sequência numérica em que de um termo para outro ocorre uma multiplicação (ou 
divisão) por uma parcela fixa e constante chamada de razão (q).
Ex.:
3, 12, 48, 192, ...
27, 9, 3, 1/3, 1/9, ...
7, 7, 7, 7, 7, 7, ...
4, -12, 36, -108, 324, ...
As P.G podem ser crescentes, decrescentes, constantes ou oscilante.
Obs.: para achar a razão basta dividir um termo – a partir do segundo – pelo seu antecessor.
1.1 representação de uma P.G genérica
Com 3 termos:
a/q , a , a∙q
2. Termo Geral da P.G
Para achar o termo geral – qualquer termo – da P.G, conhecendo algum termo e a razão da P.G, basta utilizar a 
formula do termo geral da P.G.
an = a1∙q(n – 1)
Em que:
an = termo que se quer determinar (ou termo dado na questão)
a1 = primeiro termo da P.G
n = posição do termo a ser determinado (ou dado na questão)
q = razão da P.G
Ex.: qual o 7º termo da P.G em que o 2º termo é 12 e a razão é 2?
Sequências Numéricas - P.G (Progressão Geométrica)  4
A L F A C O N
3. Soma dos termos da P.G Finita
Para somar os termos da P.G finita devemos conhecer o primeiro termo, a quantidade de termos e a razão da P.G. 
Com essas informações usa-se a formula:
Sn = a1∙(qn – 1)/(q – 1)
Em que:
Sn = soma dos “n” termos de uma P.G
a1 = primeiro termo da P.G
n = quantidade de termos da P.G
q = razão da P.G
Se for conhecido ou determinado o ultimo termo da P.G pode-se usar a seguinte formula também:
Sn = (an∙q – a1)/(q – 1)
Em que:
an = último termo da P.G
Ex.: qual a soma dos 7 primeiros termos da P.G em que o 2º termo é 10 e a razão é 2?
4. Soma dos termos da P.G inFinita
Uma P.G é infinita quando a razão está entre 0 e 1 (0 < q < 1)
Para somar os termos da P.G infinita devemos conhecer o primeiro termo e a razão da P.G. Com essas informações 
usa-se a formula:
Sn = a1/(1 – q)
Em que:
Sn = soma dos termos da P.G
a1 = primeiro termo da P.G
q = razão da P.G
Ex.: qual a soma dos termos da P.G: 25, 5, 1, 1/5, 1/25, ...?
5. Propriedades das P.G
5.1 Termos equidistantes
O produto de termos equidistantes (mesma distância do referencial) é sempre igual.
Ex.: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, ...
5.2 média geométrica
Qualquer termo – a partir do segundo – é a média geométrica do seu antecessor e seu sucessor.
Ex.: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, ...
Sequências Numéricas - P.G (Progressão Geométrica)  5
A L F A C O N
6. Interpolação Geométrica
Interpolar significa “colocar entre”.
Interpolação geométrica é colocar termos entre termos já conhecidos, de modo que a sequência formada pelos 
números seja uma P.G.
Para fazer a interpolação é necessário o uso da fórmula do termo geral da P.G.
Ex.: interpolar 3 termos entre o 6 e o 486 de modo que a sequência formada seja uma P.G.
7. Produto dos termos da P.G
Para calcular o produto dos termos de uma P.G usa-se a formula:
Pn = ±√(a1∙an)n
Em que:
Pn = produto dos “n” termos de uma P.G
a1 = primeiro termo da P.G
an = último termo da P.G
n = quantidade de termos da P.G
Ex.: qual o produto dos termos da P.G: 5, 10, 20, 40?
8. Na prática
(MetroCapital Soluções - 2022)
Considere a sequência numérica presente na seguinte figura:
É correto afirmar que os valores numéricos que preencheram a 3º e a 6º posição, respectivamente, são:
a) 120 e 600
b) 400 e 50
c) 600 e 50
d) 120 e 400
e) 400 e 600
Sequências Numéricas - P.G (Progressão Geométrica)  6
A L F A C O N
(Avança SP - 2022)
Observe a sequência de números abaixo.
4, 8, 16, 32, 64 …
Nesse sentido, é correto afirmar que o 12º item dessa sequência é:
a) 1024
b) 2048
c) 3072
d) 4096
e) 8192
(OBJETIVA - 2021)
Considerando-se uma progressão geométrica, em que o primeiro termo é igual a 3 e que a sua razão é igual a 7, 
assinalar a alternativa que apresenta o 6º termo dessa progressão:
a) 352.947
b) 50.421
c) 7.203
d) 1.029
e) 12.357
(Instituto Consulplan - 2021)
Uma determinada progressão geométrica de razão 2 possui 10 termos e o último termo é igual a 1.536. Dessa forma, 
é correto afirmar que a soma dos oito primeiros termos desta progressão é:
a) 384
b) 765
c) 1.533
d) 3.069
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
– NÚMEROS NATURAIS E 
INTEIROS: OPERAÇÕES
2
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Os números são divididos em Naturais (N), Inteiros (Z), racionais (Q), irracionais (I) e Reais (R).
Os números naturais são: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., +∞}
Os números inteiros são: Z = {-∞, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., +∞}
OPERAÇÕES COM NÚMEROS
As operações com números são: Soma, Subtração, Multiplicação, Divisão e Potenciação.
SOMAS (+) E SUBTRAÇÕES ( - ) SÃO OPERAÇÕES “IRMÃS”:
2 + 7 = 9
2 – 7 = -5
-2 + 7 = 5
-2 – 7 = -9
(veja que com sinais iguais basta somar os valores e conservar o sinal, já com sinais diferentes 
faz-se uma subtração e coloca o sinal do maior numero em valor absoluto)
Obs.:
par + par = par
par + impar = impar
impar + par = impar
impar + impar = par
Ex.:
269 + 782
MULTIPLICAÇÃO ( ∙ ) E DIVISÃO (÷) SÃO OPERAÇÕES “IRMÃS”.
NA MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO TEM QUE FAZER O JOGO DE SINAIS:
Jogo de sinais:
+ + +
+ – –
– + –
– – +
4 x 6 = 24
2 x -6 = -24
-2 x 6 = -24
-2 x -6 = 24
 3
39 ÷ 13 = 3
39 ÷ -13 = -3
-39 ÷ 13 = -3
-39 ÷ -13 = 3
Obs.:
par ∙ par = par
par ∙ impar = par
impar ∙ par = par
impar ∙ impar = impar
Ex.:
27 x 73
396/18
A POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (POTENCIAÇÃO COM EXPOENTE 
FRACIONÁRIO) FICAM:
an = a∙a∙a∙a∙...∙a (multiplica o “a” tantas vezes quanto for o valor de n; em que a = base e n = 
expoente)
25 = 2∙2∙2∙2∙2 = 32
É importante conhecer algumas propriedades das potencias:
a0 = 1 (com a ≠ 0)
a1 = a
am ∙ an = am+n
am ÷ an = am-n
(am)n = am∙n
=
a-m = (1/a)m
-am = negativo
(-a)m = positivo de “m” par e negativo se “m” impar
am/n =
1/√a = (1/√a)∙(√a/√a) = √a/a
4
EXPRESSÕES NUMÉRICAS:
Para resolver as expressões numéricas:
- primeiro resolve o que está dentro dos parênteses, depois o que está dentro dos colchetes 
e por fim o que estiver dentro das chaves
- após isso, a prioridade entre as operações são: primeiros as potências, depois as multiplica-
ções e divisões e por fim as somas e subtrações.
Obs.: se tiver uma soma dentro de um parêntese e uma potência fora do parêntese primeiro 
você faz a soma, já que primeiro resolve os parênteses, só após resolver os parênteses resolve 
a potência (o mesmo vale para os colchetes e chaves)
Ex.:72 + {40 ÷ 8 – [4 ∙ 5 – (17 – 19)]} =
NA PRÁTICA
1. (VUNESP - 2022)
O número inteiro pode também ser representado como
a) 9.
b) 8.
c) 7.
d) 5.
e) 6.
2. (FUNDATEC - 2022)
O resultado de -32 -22 +33 +2/(-3 +5)2 é:
a) 16.
b) 10,5.
c) -4.
d) 4.
e) -16.
3. (Instituto UniFil - 2022)
Assinale a alternativa que corresponde ao resultado de X + Y, considerando que X e Y foram 
usados para substituir números nas equações apresentadas.
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
 5
4. (Avança SP - 2022)
Resolva a expressão matemática abaixo:
E assinale a alternativa correta com seu valor.
a) 10.
b) 11.
c) 12.
d) 13.
e) 14.
CONJUNTOS NUMÉRICOS – 
MÚLTIPLOS, DIVISORES E 
DIVISIBILIDADE
2
MÚLTIPLOS E DIVISORES
MÚLTIPLOS
Múltiplos de um número é o resultado da multiplicação de um número por todos os números 
naturais.
Os múltiplos de 4 são, por exemplo:
0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, ...
DIVISORES
Divisores de um número são os números que dão resultados exatos ao dividir um número 
qualquer por eles.
Os divisores de 36 são:
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
DIVISIBILIDADE
Divisibilidade é saber se um número é divisível por outro ou não.
Os múltiplos de um número são divisíveis por esse número, e esse número é divisor de seus 
múltiplos.
As regras de divisibilidade são:
POR 2:
Um número é divisível por 2 quando ele é par.
Ex.:
22 é divisível por 2, pois 22 é par
POR 3:
Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos for divisível por 3 (múltiplo 
de 3).
Ex.:
231 é divisível por 3, pois 2+3+1=6 e 6 é múltiplo de 3, logo divisível por 3.
POR 4:
Um número é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos são 00 ou são múltiplos de 4.
Ex.:
316 é divisível por 4, pois 16 é múltiplo de 4.
 3
POR 5:
Um número é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou em 5.
Ex.:
225 é divisível por 5, pois termina em 5.
POR 6:
Um número é divisível por 6 quando ele é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
Ex.:
84 é divisível por 6, pois é par e 8 + 4=9.
POR 8:
Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos são 000 ou são múltiplos de 8.
Ex.:
3000 é divisível por 8, pois termina em 000.
POR 9:
Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for divisível por 9 (múltiplo 
de 9).
Ex.:
693 é divisível por 9, pois 6+9+3=18 e 18 é múltiplo de 9, logo divisível por 9.
POR 10:
Um número é divisível por 10 quando ele termina em 0.
Ex.:
650 é divisível por 10, pois termina em 10.
POR 12:
Um número é divisível por 12 quando ele é divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo.
Ex.:
4128 é divisível por 12, pois 4+1+2+8=15 e 28 é múltiplo de 4 (4128/12 = 344).
POR 7:
Um número é divisível por 7 quando multiplicando seu último algarismo por 2 e diminuindo 
esse resultado do restante do número sem o ultimo algarismo o resultado for múltiplo de 7.
Ex.:
4
665 é divisível por 7, pois 5∙2 = 10 e 66 – 10 = 56 (665/7 = 52).
POR 11:
Um número é divisível por 11 quando a soma dos algarismos de ordem par “menos” a soma 
dos algarismos de ordem impar for múltiplo de 11.
Ex.:
2849 é divisível por 11, pois 8+9=17; 2+4=6; e 17 – 6 = 11 (2849/11 = 259).
NA PRÁTICA
(QUADRIX - 2022)
Na matemática, um número inteiro positivo n é dito deficiente se a soma de todos os seus 
divisores positivos for menor que o seu dobro. A partir dessa informação, assinale a alternativa 
que apresenta um número deficiente.
a) 36
b) 30
c) 24
d) 21
e) 18
(QUADRIX - 2022)
Entre os números inteiros de 42 a 2.022, são divisíveis por 9
a) 220 números.
b) 219 números.
c) 218 números.
d) 217 números.
e) 216 números.
(Quadrix - 2022)
Julgue o item.
2.022 possui 8 divisores positivos.
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
– NÚMEROS PRIMOS, 
FATORAÇÃO, MMC E MDC
2
NÚMEROS PRIMOS
Os números primos são números naturais que tem apenas 2 divisores, o 1 e ele mesmo:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...
NÚMEROS COMPOSTOS
São os números resultados da multiplicação dos números primos (ou seja, os números que 
não são primos, logo têm mais de dois divisores).
FATORES PRIMOS (FATORAÇÃO)
Todo número pode ser expresso em fatores primos, para tanto é preciso fatorar esse número. 
Fatorar é dividir um número pelos números primos com divisões exatas até o resultado das 
divisões chegar em 1.
Ex.: 54
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)
MMC entre dois ou mais números é o menor número que é múltiplo ao mesmo tempo desses 
números. Para determinar o MMC basta fazer a fatoração – simultânea – desses números e 
multiplicar todos os fatores primos.
Ex:
MMC de 24 e 36
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)
MDC entre dois ou mais números é o maior número que divide ao mesmo tempo esses núme-
ros. Para determinar o MDC basta fazer a fatoração – simultânea – desses números e multiplicar 
os fatores primos que dividiram ao mesmo tempo os números.
Ex:
MDC de 24 e 36
Obs.: o produto do MMC e do MDC de dois números é igual a multiplicação desses números.
QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO
Para determinar a quantidade de divisores de um numero basta fazer a sua fatoração, olhar 
para os expoentes dos fatores primos e seguir a seguinte regra:
Ex.: 54
Para determinar esses divisores:
 3
NA PRÁTICA
(FUNDATEC - 2022)
A fatoração de um número em fatores primos é muito usada e possui inúmeras aplicações em 
computação. Dentre as alternativas abaixo, a única que possui um número com fator primo 
diferente de 2, 3 ou 7 é a de:
a) 42.
b) 70.
c) 84.
d) 126.
e) 294.
(UPENET/IAUPE - 2022)
O MDC dos números 120, 280 e 252 é
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 7
(QUADRIX - 2022)
Por definição, todo número primo possui quantos divisores?
a) Nenhum divisor.
b) 1 divisor.
c) 2 divisores.
d) 3 divisores.
e) 4 divisores.
(FGV - 2022)
Considere um número N, inteiro e positivo, tal que 36 e 54 são ambos divisíveis por N.
A soma dos possíveis valores de N é
a) 27.
b) 32.
c) 36.
d) 39.
e) 54.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
2
NÚMEROS RACIONAIS - OPERAÇÕES E DECIMAIS
Os números são divididos em Naturais (N), Inteiros (Z), racionais (Q), irracionais (I) e Reais (R).
Os números racionais são as frações: Q = {a/b; com a e b ∈ Z e b ≠ 0; a = numerador e b = 
denominador}.
Compõem também o conjunto dos números racionais os números decimais (aqueles escritos 
com a vírgula e cujo denominador são as potências de 10) e as dizimas periódicas (números 
em que a parte decimal de repete infinitamente)
FRAÇÕES
Fração é a parte de um todo que foi dividido.
Por exemplo: 3/7 quer dizer que um todo foi dividido em 7 partes e dessas 7 partes foram 
“pegas” 3 partes.
As frações podem ser próprias (numerador menor que o denominador), improprias (numerador 
maior que o denominador), aparentes (numerador múltiplo do denominador), mistas (tem 
uma parte inteiras e uma parte própria) e equivalentes (frações que podem ser simplificadas).
4/13 = própria
7/2 = impropria
30/6 = aparente
5 = mista
45/75 (simplificando por 3) = 15/25 (simplificando por 5) = 3/5 (irredutível) = equivalentes
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
Para somar ou subtrair frações com denominadores iguais basta repetir o denominador e somar 
ou subtrair os numeradores. Para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes 
tem que fazer o MMC dos denominadores, fazer as frações equivalentes e somar ou subtrair 
os numeradores.
4/18 + 11/18 =
3/4 – 5/7 (MMC de 4 e 7 = 28) =
Para multiplicar frações basta multiplicar numeradores com numeradores e denominadores 
com denominadores.
4/11 ∙ 7/8 =
Para dividir frações a regra é “conservar” a primeira fração e multiplicar pelo “inverso” da 
segunda fração.
14/23 / 6/26 =
NÚMEROS RACIONAIS - OPERAÇÕES E DECIMAIS 3
NÚMEROS DECIMAIS
Números decimais são os números “com virgula”.
OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS
Para somar ou subtrair os números decimais basta igualar as casas decimais dos números e 
fazer a soma ou subtração.
2,71 + 13,4 =
30,8 – 22,56 =
Para dividir os números decimais basta igualar as casas decimais dos números, retirar as vir-
gulas e fazer a divisão.
141,7/44,18=
Para multiplicar os números decimais basta multiplicar os números e ao final da multiplicação 
contar quantas casas decimais tem ao todo depois das virgulas e aplicar essa quantidade de 
casas no resultado.
18,4 ∙ 22,28 =
NA PRÁTICA
1. (UNIOESTE - 2022)
Os números racionais são os números que podem ser escritos na forma de fração. Sabendo 
disso, qual das opções a seguir não representa o número racional 45?
a) 135/3.
b) 90/2.
c) -90/-2.
d) 45/-1.
2. (IBADE - 2022)
Analise as afirmativas abaixo.
I. (-3/4) + (-1/4) = -1
II. (2/3)3 = 4/9
III. 0,8 ∙ 0,65 = 0,52
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s):
a) I, apenas.
b) II, apenas.
c) III, apenas.
d) I e II, apenas.
e) I e III, apenas.
4
3. (MetroCapital Soluções - 2022)
Assinale a alternativa que apresenta o resultado para a seguinte operação matemática com 
números decimais:
109,8 x 1,3 + 11,7
a) 154,44
b) 152,03.
c) 152,40.
d) 153, 89
e) 153,90
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
2
NÚMEROS RACIONAIS - DIZIMAS PERIÓDICAS
DIZIMAS PERIÓDICAS
São números decimais que tem na sua parte decimal (após a virgula) uma repetição infinita.
Ex.: 7,228282828... é uma dizima periódica pois tem na sua parte decimal o 28 repetido 
infinitamente.
OPERAÇÕES COM DÍZIMAS
Com as dizimas periódicas a ideia é transformar as dizimas em fração para poder “operar” 
com elas.
Para transformar dizimas em frações as regras são:
ͫ	 Olhando para a parte decimal ver quantas “casas” tem a parte da dizima e quantas forem 
essas casas serão a quantidade de 9 no denominador; ainda na parte decimal se tiver 
casas não periódicas essas serão 0 no denominador.
ͫ	 Para o numerador basta escrever todo o número até a primeira “casa” da dizima e subtrair 
do que não for dizima.
Ex.:
0,777777... =
0,27272727... =
0,144144144144... =
0,14444... =
9,303030... =
8,288888... =
7,1813131313... =
NA PRÁTICA
1.	 (Quadrix - 2022)
Julgue o item.
20,4242… = 674/33
2.	 (FGV - 2022)
Ao prestar suporte na manutenção de um computador um agente censitário verificou que era 
necessário realizar a soma entre os números x = 0,222... e y = 0,666..., pois o dispositivo só 
admitia números na forma fracionária. Nessas condições, a fração correta a ser transmitida é:
a) 8/11
b) 8/10
NÚMEROS RACIONAIS - DIZIMAS PERIÓDICAS 3
c) 7/8
d) 8/9
e) 7/12
3.	 (FGV - 2022)
Ao transmitir dados num computador, um supervisor verificou que era necessário realizar o 
produto entre os números x = 0,333... e y = 0,777..., pois o dispositivo só admitia números na 
forma fracionária. Nessas condições, a fração correta a ser transmitida é:
a) 7/30
b) 7/18
c) 5/17
d) 5/13
e) 7/27
4.	 (CESGRANRIO - 2022)
M = 6,6666... é uma dízima periódica de período 6; N = 2,3333... é uma dízima periódica de 
período 3.
Dividindo M por N, encontra-se o mesmo resultado que dividindo
a) 20 por 7
b) 65 por 23
c) 29 por 9
d) 66 por 23
e) 37 por 13
CONJUNTOS NUMÉRICOS
2
NÚMEROS IRRACIONAIS E NÚMEROS REAIS E 
NOTAÇÃO CIENTIFICA
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Os números são divididos em Naturais (N), Inteiros (Z), racionais (Q), irracionais (I) e Reais (R).
Os números naturais são: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., +∞}
Os números inteiros são: Z = {-∞, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., +∞}
Os números racionais são as frações: Q = {a/b; com a e b ∈ Z e b ≠ 0; a = numerador e b = 
denominador}.
Obs.: Compõem também o conjunto dos números racionais os números decimais (aqueles 
escritos com a vírgula e cujo denominador são as potências de 10) e as dizimas periódicas 
(números em que a parte decimal de repete infinitamente)
Os números irracionais são as dizimas não periódicas e as raízes não exatas, ou seja, são 
números decimais, não-periódicos e que não podem ser representados por frações.
Os números reais é a união dos números racionais e irracionais.
NÚMEROS IRRACIONAIS
Ex.:
π = 3.14159265359...
√2 = 1.41421356237...
NOTAÇÃO CIENTIFICA
Todos os números podem ser expressos em função das potências de 10, ou seja, em notação 
cientifica, veja:
220000 = 2,2∙105
0,039 = 3,9∙10-2
0,0013 = 1,3∙10-3
58 = 5,8∙101
Note que quando a virgula “anda casas” para trás – para a esquerda – o valor do expoente 
do 10 aumenta de acordo com a quantidade de casas que essa virgula “anda”; já quando a 
virgula “anda casas” para frente – para a direita – o expoente do 10 diminui de acordo com a 
quantidade de casas que essa virgula “anda”.
Obs.: algarismos significativos são os algarismos que importam em um número. Em 0,000800 
os zeros antes do 8 não são significativos e os zeros após o 8 são significativos.
NÚMEROS IRRACIONAIS E NÚMEROS REAIS E NOTAÇÃO CIENTIFICA 3
OPERAÇÕES COM NOTAÇÕES CIENTIFICAS
Para somar e subtrair as notações cientificas é necessário que as potencias do 10 apresentem 
o mesmo expoente.
Ex.:
0,039 + 0,0013
0,039 – 0,0013
Para multiplicar as notações cientificas basta multiplicar a parte decimal e somar os expoentes
Ex.:
220000 × 0,039
Para dividir as notações cientificas basta dividir a parte decimal e subtrair os expoentes
Ex.:
58 ÷ 0,0013
NA PRÁTICA
1. (CESGRANRIO - 2022)
Usando somente os algarismos significativos, o registro 0,007500 m é equivalente a
a) 0,7500 x 10-2m
b) 0,75 x 10-2m
c) 7,500 x 10-3m
d) 7,5 x 10-3m
e) 75 x 10-4m
2. (CESPE/CEBRASPE - 2021)
Acerca das operações com números reais e suas propriedades, julgue o item a seguir.
A soma de dois números irracionais positivos é sempre um número irracional.
Certo ( ) Errado ( )
3. (Avança SP – 2021)
Analise as afirmações a seguir:
I. Todo número negativo é um número inteiro.
II. Todo número natural é um número real.
III. Um número real pode ser racional ou irracional.
4
Dentre as afirmações apresentadas, indique a resposta correta:
a) Somente a I é falsa.
b) Somente a II é falsa.
c) Somente a III é falsa.
d) Somente a II é verdadeira.
e) Somente a III é verdadeira.
4. (Quadrix – 2021)
Conhecendo os conjuntos numéricos N (números naturais), Z (números inteiros), Q (números 
racionais) e Q’ (números irracionais) e considerando as proposições acima, julgue o item.
Sabendo-se que 5 dividido por 17 é igual a 0,2941176470..., é correto afirmar que 5/17 é um 
número irracional.
5. (CETREDE – 2021)
Calcular:
Marque a opção CORRETA.
a) 5.250.
b) 52,50.
c) 5,250.
d) 0,525.
e) 1.
SISTEMA LEGAL DE 
MEDIDAS
2
COMPRIMENTO, MASSA E VOLUME/CAPACIDADE
UNIDADES DE MEDIDA
Unidades de medidas são os padrões que se usa para entender os valores do que se mede, 
pesa ou quantifica.
No SI (sistema internacional) os padrões são o metro, metro quadrado, metro cubico, grama, 
litro, segundo, grau ou radiano e para o brasil o dinheiro é o real.
COMPRIMENTO (DISTÂNCIA)
Medido em metro e seus múltiplos e submúltiplos.
km 
(quilomet-
ro)
hm 
(hectômet-
ro)
dam 
(decâmetro) m (metro) dm 
(decímetro)
cm 
(centímet-
ro)
mm 
(milímetro)
Multiplica por 10 a cada casa a direita
Divide por 10 a cada casa a esquerda
ÁREA (M2)
Medido em metro e seus múltiplos e submúltiplos.
km2
(quilomet-
ro 
quadrado)
hm2
(hectômet-
ro 
quadrado)
dam2
(decâmet-
ro 
quadrado)
m2
(metro 
quadrado)
dm2
(decímet-
ro 
quadrado)
cm2
(centímet-
ro 
quadrado)
mm2
(milímet-
ro 
quadrado)
Multiplica por 100 a cada casa a direita
Divide por 100 a cada casa a esquerda
MASSA (PESO)
Medido em grama e seus múltiplos e submúltiplos.
kg (quilo-
grama)
hg (hecto-
grama)
dag (deca-
grama) g (grama) dm 
(decigrama)
cm (centi-
grama)
mm 
(miligrama)
Multiplica por 10 a cada casa a direita
Divide por 10 a cada casa a esquerda
COMPRIMENTO, MASSA E VOLUME/CAPACIDADE 3
VOLUME OU CAPACIDADE
Medido em litro ou em metros cúbicos e seus múltiplos e submúltiplos.
kl 
(quilolitro)
hl 
(hectolitro)
dal 
(decalitro) l (litro) dl 
(decilitro)
cl 
(centilitro)
ml 
(mililitro)
Multiplica por 10 a cada casa a direita
Divide por 10 a cada casa a esquerda
km3
(quilomet-
ro cubico)
hm3
(hectômet-
ro cubico)
dam3
(decâmet-
ro cubico)
m3
(metro 
cubico)
dm3
(decímet-
ro cubico)cm3
(centímet-
ro cubico)
mm3
(milímet-
ro cubico)
Multiplica por 1000 a cada casa a direita
Divide por 1000 a cada casa a esquerda
Obs.: existe uma relação entre o litro e o metro cubico que é: 1m3 = 1000 litros.
NA PRÁTICA
1. (IBFC – 2022)
Ao realizar o censo numa região, o agente verificou que percorreu, em um dia, a distância de 
4,8 quilômetros, e no dia seguinte, percorreu 1,2 quilômetros a menos que o dia anterior. Nes-
sas condições, a soma entre as distâncias percorridas nesses dois dias por esse agente foi de:
a) 8.400 decímetros
b) 84 decâmetros
c) 6 centímetros
d) 60 metros
e) 840.000 centímetros
2. (IBFC – 2022)
Uma garrafa de água tem capacidade para 1.500 mL (mililitros). Assinale a alternativa que 
apresenta quantos litros (L) de água equivalem a 30 garrafas iguais a essa.
a) 30 L
b) 45 L
c) 30.000 L
d) 45.000 L
4
3. (VUNESP – 2022)
Considere as seguintes igualdades:
15 m = ______mm.
2,5 km = _______dm.
0,2 cm2 = ______m2.
0,01 m3 = _______cm3.
Assinale a alternativa que contém os valores que preenchem, correta e respectivamente, as 
lacunas.
a) 1500 ... 2500 ... 0,002 ... 100
b) 15000 ... 25000 ... 0,002 ... 100
c) 1500 ... 2500 ... 0,00002 ... 10000
d) 15000 ... 25000 ... 0,00002 ... 10000
e) 15000 ... 25000 ... 0,002 ... 1
4. (Avança SP – 2022)
Calcule a soma a seguir e assinale a alternativa correta em centímetros.
0,0350 Km + 0,05 hm + 1,7 dam + 2m + 4dm + 90cm + 3000 mm =
a) 3180
b) 4800
c) 6240
d) 6330
e) 9030
SISTEMA LEGAL DE 
MEDIDAS
2
ÂNGULOS E TEMPO
UNIDADES DE MEDIDA
Unidades de medidas são os padrões que se usa para entender os valores do que se mede, 
pesa ou quantifica.
No SI (sistema internacional) os padrões são o metro, metro quadrado, metro cubico, grama, 
litro, segundo, grau ou radiano e para o brasil o dinheiro é o real.
TEMPO
O tempo é medido em segundo e seus múltiplos (minutos, horas, dias, ...), mas não varia de 
10 em 10, nem de 100 em 100, e sim de 60 em 60 e depois segue outras variações.
1 segundo
1 minuto = 60 segundos
1 hora = 60 minutos = 3600 segundos
12 horas = meio dia
24 horas = 1 dia
7 dias = 1 semana
15 dias = 1 quinzena
30 dias = 1 mês
2 meses = 1 bimestre
3 meses = 1 trimestre
6 meses = 1 semestre
12 meses = 1 ano
10 anos = 1 década
100 anos = 1 século
1000 anos = 1 milênio
0,1 segundo = 1 decimo de segundos
0,01 segundo = 1 centésimo de segundos
0,001 segundo = 1 milésimo de segundos
ÂNGULOS E TEMPO 3
ÂNGULOS
Os ângulos são medidos em graus ou radianos.
360° = 2π radianos (ângulo completo ou de 1 volta)
180° = π radianos (ângulo raso)
90° = π/2 radianos (ângulo reto)
60° = π/3 radianos
45° = π/4 radianos
30° = π/6 radianos
120° = 2π/3 radianos
270° = 3π/2 radianos
Ângulos agudos são aqueles cuja medida são maiores que 0° e são menores que 90°
Ângulos obtusos são aqueles cuja medida são maiores que 90° e menores que 180°
Ângulos côncavos são aqueles cuja medida são maiores que 180° e menores que 360°
Dois ângulos são complementares quando a soma desses ângulos da 90°.
Dois ângulos são suplementares quando a soma desses ângulos da 180°.
Dois ângulos são replementares quando a soma desses ângulos da 360°.
NA PRÁTICA
1. (UNIOESTE – 2022)
Um ângulo α é suplementar a um ângulo de 160º e complementar a um ângulo β. Então, a 
medida do ângulo β é de:
a) 20°.
b) 70°.
c) 37°.
d) 67°.
e) 58°.
2. (AGIRH – 2022)
Durante uma competição, André completou a prova de natação nadando 50 metros em 21,320 
segundos. Qual a posição ocupada pelo algarismo 3 nesse registro de tempo?
a) unidades de segundos.
b) décimos de segundos.
c) centésimos de segundos.
d) milésimos de segundos.
4
3. (Avança SP – 2022)
Sobre ângulos, assinale aquilo que for correto.
a) É chamado de raso o ângulo que possui medida igual a 90°
b) É chamado de reto o ângulo que possui medida igual 180°
c) Dois ângulos são complementares quando a sua soma for igual a 360º°
d) Dois ângulos são replementares quando a sua soma for igual a 180º
e) Um ângulo é classificado como agudo quando a sua medida for menor do que 90º
4. (MetroCapital Soluções – 2022)
Assinale a alternativa que apresenta a correta quantidade de minutos presentes em 22 horas 
e 20 minutos:
a) 780.
b) 890.
c) 1100.
d) 1210.
e) 1340.
5. (Avança SP – 2022)
Na escola de Eduarda, as aulas começam às 13 horas. Em um dia são ministradas 6 aulas, cada 
uma com 50 minutos de duração. Se há um intervalo de 25 minutos entre a terceira e a quarta 
aula, a que horas do dia Eduarda voltará para casa?
a) 15h55min
b) 16h45min
c) 17h35min
d) 18h25min
e) 18h35min
SISTEMA LEGAL DE 
MEDIDAS
2
SISTEMA MONETÁRIO
UNIDADES DE MEDIDA
Unidades de medidas são os padrões que se usa para entender os valores do que se mede, 
pesa ou quantifica.
No SI (sistema internacional) os padrões são o metro, metro quadrado, metro cubico, grama, 
litro, segundo, grau ou radiano e para o brasil o dinheiro é o real.
SISTEMA MONETÁRIO
O sistema monetário brasileiro é o Real (R$).
O sistema monetário internacional é balizado pelo dólar (US$).
Outras moedas existem no mundo e a ideia é a conversão de uma moeda em outra, o que 
depende dos valores de cada moeda no momento da conversão.
Ex.:
Se hoje 1 dólar vale 5,50 reais, então 200 dólares valem 1100 reais (200∙5,50 = 1100).
Os dinheiros (cédulas ou moedas) existentes hoje no Brasil são:
Moedas:
0,05 centavos
0,10 centavos
0,25 centavos
0,50 centavos
1,00 real
Cédulas:
2,00 reais
5,00 reais
10,00 reais
20,00 reais
50,00 reais
100,00 reais
200,00 reais
SISTEMA MONETÁRIO 3
NA PRÁTICA
1. (Avança SP – 2022)
Gabriel é um colecionador de moedas. Sua coleção possui 80 moedas de 5 centavos, 65 moe-
das de 10 centavos, 40 moedas de 25 centavos, 35 moedas de 50 centavos e 22 moedas de 1 
real. Quantos reais Gabriel possui ao todo em sua coleção?
a) R$ 54,00
b) R$ 60,00
c) R$ 96,00
d) R$ 118,50
e) R$ 150,00
2. (OBJETIVA – 2022)
Avião militar com design insólito, o bombardeiro estratégico Northrop Grumman B-2 Spirit é 
de longe a aeronave mais cara já construída. A Força Aérea dos Estados Unidos adquiriu 21 
unidades do B-2, cada um deles avaliado em US$ 2,1 bilhões (R$ 11,55 bilhões na cotação 
atual). (Fonte: CNN Brasil)
Considerando-se as informações dadas, a cotação do real frente ao dólar, empregada na con-
versão de moedas, é de, aproximadamente:
a) R$ 5,50 = 1 US$
b) R$ 5,00 = 1 US$
c) R$ 5,75 = 1 US$
d) R$ 5,25 = 1 US$
3. (OBJETIVA - 2022)
Uma marca de shampoo fez a seguinte promoção:
VALOR ORIGINAL: Shampoo 325mL por R$ 8,67.
PROMOÇÃO: Na compra de 4 unidades, pague R$ 26,00.
O valor unitário da promoção tem um custo de:
a) R$ 0,64 superior ao preço unitário original.
b) R$ 0,98 inferior ao preço unitário original.
c) R$ 2,17 inferior ao preço unitário original.
d) R$ 3,21 inferior ao preço unitário original.
e) R$ 8,67 e não sofreu alteração.
4
4. (FGV - 2022)
Doze amigos foram a um restaurante e resolveram dividir a conta igualmente entre eles. Como 
um deles estava sem dinheiro, cada um dos outros onze amigos teve que pagar um adicional 
de R$ 5,40.
O valor total da conta foi de
a) R$ 724,80.
b) R$ 712,80.
c) R$ 684,00.
d) R$ 674,40.
e) R$ 653,40.
5. (CONTEMAX - 2022)
Na livraria Ouse Criar, comprando 2 lápis e 1 caderno você paga R$ 22,50. Se comprar 1 lápis e 2 
cadernos o valor passa para R$ 33,00. A soma dos valores de aquisição de 1 lápis e 1 caderno é:
a) R$ 10,50
b) R$ 14,50
c) R$ 16,00
d) R$ 17,80
e) R$ 21,00
6. (CESPE/CEBRASPE – 2022)
Na compra de dois coletes e três caixas de munições, um policial pagou R$ 340; outro policial 
comprou três coletes e duas caixas de munições por R$ 360. Considerando-se que os preços 
unitários dos referidos produtos tenham sido os mesmos nas duas compras, é correto afirmar 
que um policial que compre um colete e uma caixa de munições pagará
a) R$ 60.
b) R$ 70.
c) R$ 80.
d) R$ 140.
e) R$ 700.
PROPORCIONALIDADE
2
GRANDEZAS, RAZÃO E PROPORÇÃO
Proporcionalidade é grandezas.
GRANDEZASGrandeza é tudo que pode ser medido, contado ou quantificado. As grandezas podem ser de 
mesma “espécie” ou de espécies diferentes.
As grandezas podem ser diretamente ou inversamente proporcionais.
RAZÃO
Razão é uma comparação entre grandezas.
É uma fração a/b com b ≠ 0, em que a = antecedente e b = consequente.
As razões podem ser de grandezas de mesma espécie ou de grandezas de espécie diferentes.
PROPORÇÃO
Proporção é uma igualdade de razões.
a/b = c/d
As proporções geralmente são utilizadas para determinar o valor de alguma grandeza pela 
variação das outras grandezas que estão sendo comparadas.
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES
A propriedade fundamental das proporções é: o produto dos meios é igual ao produto dos 
extremos (multiplicação cruzada = “cruz credo”).
a/b = c/d
(b e c são os meios, veja que na igualdade eles estão no meio; já a e d são os extremos)
b∙c = a∙d
Ex.:
ͫ	 As proporções têm algumas outras propriedades bem comuns:
1ª PROPRIEDADE
A soma do antecedente e do consequente de uma razão está para o seu antecedente ou o 
seu consequente assim como a soma do antecedente com o consequente da outra razão está 
para o seu antecedente ou consequente.
a+b/a = c+d/c
a+b/b = c+d/d
GRANDEZAS, RAZÃO E PROPORÇÃO 3
EX.:
2ª PROPRIEDADE
A diferença do antecedente e do consequente de uma razão está para o seu antecedente ou o 
seu consequente assim como a diferença do antecedente com o consequente da outra razão 
está para o seu antecedente ou consequente.
a – b/a = c – d/c
a – b/b = c – d/d
Ex.:
3ª PROPRIEDADE
A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como cada antecedente 
está para o seu consequente.
a+c/b+d = a/b
a+c/b+d = c/d
Ex.:
4ª PROPRIEDADE
A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes assim como cada ante-
cedente está para o seu consequente.
a – c/b – d = a/b
a – c/b – d = c/d
Ex.:
5ª PROPRIEDADE
O produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes assim como o quadrado 
de cada antecedente está para o quadrado do seu consequente.
a∙c/b∙d = a2/b2
a∙c/b∙d = c2/d2
Ex.:
4
NA PRÁTICA
1. (OBJETIVA – 2022)
Na disciplina de Matemática Discreta, estão matriculados 80 acadêmicos. No final do semestre, 
o professor observou que 64 alunos foram aprovados. Nessas condições, a razão entre o número 
de acadêmicos reprovados e o número de acadêmicos aprovados, nessa ordem, é igual a:
a) 1/3
b) 1/4
c) 1/5
d) 3/5
2. (VUNESP – 2022)
A razão entre o número de servidores recém-contratados e o número de servidores que já 
atuavam em certo órgão público é 1/5. Se, contando todos esses servidores, tem-se, ao todo, 
168 funcionários, então a diferença entre o número de servidores que já atuavam no órgão e 
o número de servidores recém-contratados é
a) 112.
b) 118.
c) 114.
d) 120.
e) 116.
3. (Quadrix - 2022)
Joaquim demora 42 minutos para organizar e arquivar 24 documentos.
A partir dessa situação hipotética, julgue o item, considerando que Joaquim sempre organiza 
e arquiva documentos no mesmo ritmo.
A quantidade de tempo necessária para Joaquim organizar e arquivar os documentos é dire-
tamente proporcional à quantidade de documentos que se deseja organizar e arquivar.
4. (Prefeitura de Cândido de Abreu-PR - 2022)
O médico receitou um remédio, mas orientou ao paciente para tomar 8 gotas para cada 12 kg 
de sua massa. Se o paciente tem 72 kg, ele deve tomar:
a) 96 gotas.
b) 48 gotas.
c) 78 gotas.
d) 36 gotas.
PROPORCIONALIDADE
2
DIVISÃO PROPORCIONAL
DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS
Dividir em partes proporcionais pode ser tanto em partes diretamente proporcionais – em 
que quem tem mais fica com mais e quem tem menos fica com menos, como em partes 
inversamente proporcionais – em que quem tem mais fica com menos e quem tem menos 
fica com mais.
Para dividir em partes proporcionais é importante conhecer a constante proporcional (k), que 
será usada nos cálculos.
EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Certa carga de 500kg será distribuída em três partes de maneira proporcional aos números 2, 
3 e 5. Sendo assim, qual a quantidade de carga correspondente a cada parte?
EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Uma obra está orçada em, aproximadamente, R$ 146.400,00, o valor orçado será dividido 
entre 3 construtoras de forma inversamente proporcional a 10, 2 e 5, respectivamente. O valor 
correspondente a cada construtora é igual a?
REGRA DAS TORNEIRAS
É um caso especifico de divisão proporcional aplicado quando determinada situação é feita 
em tempos diferentes quando feitas separadas e por outro tempo quando feitas juntas.
1/tT = 1/t1 + 1/t2
tT = t1∙t2/(t1 + t2)
Ex.:
Uma torneira enche um balde em 6 min. Outra torneira enche o mesmo balde em 4 min. Em 
quanto tempo as duas torneiras juntas encherão o balde?
NA PRÁTICA
1. (FCC – 2022)
Em um processo de partilha de herança entre Ana, Beatriz e Clara, ficou decidido que os valores 
recebidos serão diretamente proporcionais às suas respectivas idades. Sabe-se que Ana tem 
o triplo da idade de Clara que, por sua vez, tem a metade da idade de Beatriz. Clara receberá 
100 mil reais. O valor total da herança é de:
a) R$ 700.000,00
b) R$ 400.000,00
c) R$ 600.000,00
d) R$ 900.000,00
e) R$ 500.000,00
DIVISÃO PROPORCIONAL 3
2. (FAUEL – 2022)
Ao dividir 180 em partes proporcionais a 1, 3 e 5, a maior parte é igual a:
a) 100.
b) 60.
c) 20.
d) 10.
e) 5.
3. (IBFC - 2022)
Ao analisar os pagamentos realizados aos recenseadores, um coordenador verificou que o 
valor pago a três deles foi um total de R$ 8.100,00. Se o tempo de trabalho de cada um foi 
de 2, 3 e 4 meses e o total pago foi diretamente proporcional ao tempo trabalhado, então o 
menor valor recebido por um dos recenseadores foi de:
a) R$ 2.700,00
b) R$ 1.800,00
c) R$ 3.600,00
d) R$ 900,00
e) R$ 2.100,00
4. (UFES - 2021)
Uma certa quantia de dinheiro, em reais, foi dividida entre João, Marcos e Mateus, em partes 
inversamente proporcionais a 3, 2 e 5, respectivamente. Marcos recebeu 10000 reais a mais 
do que João. O valor total da quantia, em reais, que foi dividida é igual a
a) 62000
b) 62250
c) 62500
d) 63000
e) 63500
5. (CETREDE - 2021)
Uma caixa-d’água suporta 360 litros. Há dois motores conectados a ela. Um enche em 15 horas 
e o outro a esvazia em 20 horas. Ligando os dois motores simultaneamente, em quantas horas 
a caixa-d’água ficará cheia?
a) 10.
b) 15.
c) 20.
d) 30.
e) 60.
PROPORCIONALIDADE
2
REGRA DE TRÊS
REGRA DE TRÊS
Regra de três é um dispositivo ou mecanismo prático para calcular proporções.
REGRA DE TRÊS SIMPLES
A regra de 3 é simples quando compara apenas 2 grandezas.
O ”segredo” é descobrir se as grandezas comparadas são direta ou inversamente proporcionais 
e fazer o cálculo pedido.
Ex.1:
Uma máquina produz 25 brinquedos por dia. O número de brinquedos que essa máquina 
produzirá em 12 dias será?
Ex.2:
A reforma de uma casa será realizada em 30 dias por 3 funcionários. Em quantos dias 5 fun-
cionários fariam a mesma reforma?
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
A regra de 3 é composta quando compara mais de 2 grandezas.
Determinando quais grandezas são direta e inversamente proporcionais é só fazer o cálculo 
pedido (a comparação das grandezas é feita sempre com a grandeza que se quer descobrir o 
valor).
Ex.:
8 máquinas iguais, de mesmo rendimento, trabalhando simultaneamente durante 9 horas 
por dia, produzem 100 unidades de peças em 10 dias. Nas mesmas condições, o número de 
máquinas necessárias para produzir 50 unidades dessa peça em 9 dias, trabalhando 8 horas 
por dia, será igual a?
NA PRÁTICA
1. (FGV – 2022)
18 advogados devem examinar 400 contas bancárias dos envolvidos em um processo de fraude. 
Em 14 dias esses advogados examinaram 150 contas e, nesse momento, 4 advogados foram 
transferidos para outro trabalho.
Os advogados restantes terminaram de examinar as contas em
a) 20 dias.
b) 24 dias.
c) 28 dias.
d) 30 dias.
e) 35 dias.
REGRA DE TRÊS 3
2. (VUNESP – 2022)Para a fabricação de 100 peças de determinado produto em 4 horas, são necessárias três 
impressoras 3D, idênticas, trabalhando juntas e ininterruptamente, com igual capacidade 
de produção. Se a mesma quantidade de peças for fabricada por 5 dessas impressoras, nas 
mesmas condições anteriormente identificadas, a redução do tempo será de
a) 2 horas e 00 minutos.
b) 1 hora e 54 minutos.
c) 2 horas e 12 minutos.
d) 1 hora e 36 minutos.
e) 1 hora e 45 minutos.
3. (Quadrix - 2022)
Com 20 funcionários, a empresa de festas de Mariana demora 5 horas para preparar uma 
festa para 80 convidados.
A partir dessa situação hipotética, julgue o item, considerando que todos os funcionários 
trabalham em um mesmo ritmo e que o número de convidados e o tempo necessário para 
preparar a festa são grandezas diretamente proporcionais.
Em 28 horas e 30 minutos de trabalho, a empresa de Mariana prepara uma festa para 460 
convidados.
4. (FUNDATEC - 2022)
O cachorro de Ana pesa 11 kg. Para tratar uma infecção, o veterinário receitou um antibiótico 
cuja dosagem é de 3,6 ml para cada 4 kg de peso corporal. Quantos ml de antibiótico Ana 
deve dar ao seu cachorro?
a) 11 ml.
b) 9,9 ml.
c) 9,7 ml.
d) 9 ml.
e) 7 ml.
5. (MPE-GO - 2022)
Dois atendentes atendem 32 clientes em 2 horas e 40 minutos. Com a mesma eficiência, três 
atendentes atenderão 60 (sessenta) clientes em:
a) 2 horas e 40 minutos.
b) 2 horas e 48 minutos.
c) 3 horas e 10 minutos.
d) 3 horas e 20 minutos.
PROPORCIONALIDADE
2
PORCENTAGEM - ACRÉSCIMOS E DESCONTOS
PORCENTAGEM
É uma razão/fração cujo denominador é igual a 100.
TAXA PERCENTUAL
É o valor que vem acompanhado do símbolo da porcentagem %.
Ex.:
7% = 7/100
28% = 28/100
CALCULO DE PORCENTAGEM
É a aplicação da taxa percentual a determinado valor.
Essa aplicação da taxa percentual é feita por regra de 3 (sempre de forma diretamente 
proporcional)
Ex.:
30% de 1400
PORCENTAGENS SUCESSIVAS
Quando aplicamos a porcentagem sucessivas vezes devemos ficar atentos para incidir a taxa 
percentual sobre os valores corretos, principalmente após alguma taxa já ter incidido sobre 
os valores.
Ex.:
Dois aumentos seguidos de 20%
Dois descontos seguidos de 20%
Um aumento de 20% seguido de um desconto de 20%
Um desconto de 20% seguido de um aumento de 20%
NA PRÁTICA
1. (FCC – 2022)
Carlos tem uma caixa com bolinhas de gude. O primo de Carlos perdeu quatro bolinhas de 
gude que estavam na caixa. Carlos verificou que o total de bolinhas da caixa se reduziu a 90% 
do que ele tinha na caixa. Nessas condições, é correto afirmar que o número de bolinhas na 
caixa antes da perda era
a) 40
PORCENTAGEM - ACRÉSCIMOS E DESCONTOS 3
b) 60
c) 80
d) 32
e) 44
2. (FGV – 2022)
Considere que X representa 40% de Y.
A porcentagem que Y representa de X é
a) 25%.
b) 60%.
c) 75%.
d) 150%.
e) 250%.
3. (Quadrix - 2022)
José pretende ganhar massa muscular. Para isso, o nutricionista recomendou que ele ingerisse, 
diariamente, 160 gramas de proteína.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item.
Uma refeição contendo 22 gramas de proteína equivale a 13,75% da quantidade de proteína 
diária recomendada pelo nutricionista.
4. (UNICENTRO - 2022)
Uma pesquisa revelou que o brasileiro permanece em média conectado à internet 5,4 horas 
do seu dia, seja para utilização do trabalho ou lazer. Qual é o valor percentual corresponde do 
dia que o brasileiro passa conectado à internet?
a) 18,50%.
b) 22,50%.
c) 24,75%.
d) 26,45%.
e) 28,20%.
5. (MPE-GO - 2022)
Um tênis custa R$400,00 e é vendido com descontos sucessivos de 10% e 7%. Qual é o preço 
de venda do tênis após esses descontos?
a) R$332,00
b) R$334,80
c) R$468,00
d) R$360,00
PROPORCIONALIDADE
2
PORCENTAGEM - LUCRO E PREJUÍZO
PORCENTAGEM
É uma fração cujo denominador é igual a 100.
TAXA PERCENTUAL
É o valor que vem acompanhado do símbolo da porcentagem %.
Ex.:
2% = 2/100
31% = 31/100
CALCULO DA PORCENTAGEM
É a aplicação da taxa percentual a determinado valor.
(para fins de cálculo, usa-se a taxa percentual em forma de fração com denominador 100 ou 
em número decimal)
Ex.:
7% de 1300
45% de 220
LUCRO E PREJUÍZO (NA COMPRA OU NA VENDA)
Lucro (ou ganho) e prejuízo (ou perda) são os resultados das operações financeiras envolvendo 
compras e vendas.
Conceitos importantes:
Custo (C): é o quanto é “gasto” para comprar algo.
Venda (V): é o quanto se “ganha” pela venda de algo.
Lucro (L): Quando o “ganho” é maior do que o “gasto”.
Prejuízo (P): Quando o “gasto” é maior do que o “ganho”.
Fórmulas do Lucro e do Prejuízo:
L = V – C
P = C – V
Obs.: para calcular o lucro ou o prejuízo, na venda ou no custo, basta substituir na formula do 
lucro ou do prejuízo a porcentagem do custo ou da venda.
Ex.1.:
Uma bicicleta foi comprada por R$ 3600,00 e revendida com lucro de 30% sobre a venda. Qual 
o preço de venda?
PORCENTAGEM - LUCRO E PREJUÍZO 3
Ex.2:
Um celular foi vendido por R$ 4500,00 com prejuízo de 12% sobre a venda. Por qual valor 
esse celular foi comprado?
NA PRÁTICA
1. (IESES – 2022)
Uma mercadoria é vendida com margem de lucro de 25%. Qual seria o custo da mercadoria 
vendida sabendo-se que o preço de venda é de $ 160,00?
a) $ 132,00
b) $ 128,00
c) $ 125,00
d) $ 120,00
2. (Avança SP – 2022)
Em uma loja, uma bolsa é vendida por R$ 200,00. A dona da loja paga uma comissão de 7% 
sobre o preço de venda, para a funcionária que vende a bolsa, e ganha 50% sobre o seu valor 
de custo. Desse modo, qual é o valor de custo da bolsa?
a) R$ 119,00.
b) R$ 124,00.
c) R$ 128,00.
d) R$ 184,00.
e) R$ 279,00.
3. (CETREDE - 2021)
Na venda de uma camiseta, um comerciante teve um lucro de R$ 30,00, correspondente a 25% 
do preço de venda. O preço de custo desse produto para o comerciante foi
a) R$ 90,00.
b) R$ 45,00.
c) R$ 60,00.
d) R$ 75,00.
e) R$ 120,00.
4. (AEVSF/FACAPE - 2021)
Um aparelho celular foi comprado por um determinado valor. Em seguida o comprador reven-
deu esse aparelho por R$ 492,80. Sabendo que ao revender por esse preço ele está lucrando 
12% sobre o valor pelo qual comprou, então, o valor que ele pagou ao comprar o aparelho 
celular foi:
a) R$ 433,66
4
b) R$ 420,00
c) R$ 440,00
d) R$ 480,80
e) R$ 480,00
5. (CETREDE - 2021)
Sabendo que eu quero lucrar 26% sobre o preço de venda dos meus produtos, de quanto, 
aproximadamente, deve ser o acréscimo sobre o preço de compra?
a) 15%.
b) 19%.
c) 27%.
d) 35%.
e) 41%.
EQUAÇÕES
2
EQUAÇÕES
EQUAÇÕES DO 1° GRAU
EQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU:
É a equação que tem a incógnita – valor desconhecido (o “x”) – no 1º grau. 
Escrita na forma genérica por:
ax + b = 0
Obs.: A ideia é achar o valor de x, somando, subtraindo, multiplicando ou dividindo os 
valores. Geralmente as equações do 1º grau são obtidas pelos problemas matemáticos 
mais simples.
Ex.:
O triplo da idade de Maria somado mais 2 anos da a idade de Luiza. Se Luiza tem 11 anos, 
qual a idade de Maria?
NA PRÁTICA
1. (FAUEL – 2022)
Assinale a equação que tem x = 9 como solução.
a) x – 16 = 2x + 8 
b) 5x + 5 = 59 – x
c) 3x + 7 = -x – 29
d) 9x + 1 = 10
e) 4x – 9 = 9x – 9
EQUAÇÕES DO 1° GRAU 3
2. (VUNESP – 2022)
Qual o valor da incógnita x que torna a igualdade 2x + 8 = 3x – 25 verdadeira? 
a) 6
b) 17
c) 23
d) 29
e) 33
3. (Prefeitura de Cândido de Abreu-PR - 2022)
A quantidade de parafusos na caixa de ferramentas de certo mecânico corresponde ao 
valor de x, que satisfaz a equação abaixo. Sendo assim, ao todo, quantos parafusos esse 
mecânico possui em sua caixa de ferramentas:
2x + 369 = 531 – x 
a) 48 
b) 50
c) 52
d) 54
4. (FGV - 2022) 
Na equação
5x − 1 = 2x + 71
o valor de x é
a) 23.
b) 24.
c) 25.
d) 26.
e) 27.
5. (FGV - 2022) 
O valor de x que satisfaz a equação 
é tal que 
4
a) x > 10.
b) 0 < x < 10. 
c) −10 < x < 0. 
d) −20 < x < −10.
e) x < −20.
6. (VUNESP - 2022) 
A distância entre as cidades A e B é 154 km. Entre elas, há um posto da políciarodoviária 
(PR) e um posto de combustíveis (PC), conforme mostra a figura.
Sabendo que a distância entre o posto de combustíveis e a cidade B é 5 vezes a distância 
entre o posto da polícia rodoviária e o posto de combustíveis, então a distância entre o 
posto de combustíveis e a cidade B é igual a 
a) 12 km.
b) 24 km.
c) 36 km.
d) 48 km.
e) 60 km.
EQUAÇÕES
2
EQUAÇÕES
SISTEMA DE EQUAÇÕES COM 2 VARIÁVEIS
SISTEMA DE EQUAÇÕES (DO 1º GRAU)
Nos sistemas de equações temos duas incógnitas (variáveis) a serem descobertas. 
Escrito na forma genérica fica:
 
Os métodos para resolver o sistema de equação são o método da adição e o método da 
substituição.
Obs.: Os sistemas de equações são obtidos por problemas matemáticos.
Ex.:
Em uma fazenda tem 25 animais entre galinhas e porcos. Ao todo os amimais tem 64 patas. 
Quantas são as galinhas e os porcos?
RESOLVENDO O SISTEMA PELO MÉTODO DA ADIÇÃO:
RESOLVENDO O SISTEMA PELO MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO:
SISTEMA DE EQUAÇÕES COM 2 VARIÁVEIS 3
NA PRÁTICA
1. (OBJETIVA – 2022)
Dado que  . Nessa condição, é correto afirmar que:
a) x – y = – 1
b) y – x = – 1
c) x = 3
d) y = 4
2. (IESES – 2022)
Considere dois números inteiros p, q tais que p + q = 12 e p – q = 20. Nesse caso, assinale 
a alternativa correta:
a) p é negativo. 
b) Ambos p e q são divisí�veis por 4. 
c) q é maior do que p.
d) p e q são positivos.
3. (FAUEL - 2022)
Sejam x e y números que resolvem CORRETAMENTE o sistema
Assinale a alternativa que apresenta x/y.
a) -1,5.
b) 1,5.
c) -2,5. 
d) 2,5.
4. (FGV - 2022) 
x e y são tais que 4x + 5y = 80 e 6x + 7y = 116.
O valor de 2x + 3y é
a) 38.
b) 40.
c) 42.
d) 44.
e) 46.
4
5. (FGV - 2022) 
Rafael possui no bolso exatamente 16 notas, umas de 2 reais, as outras de 5 reais, totali-
zando a quantia de 53 reais.
O número de notas de 2 reais que Rafael tem no bolso é
a) 5. 
b) 6.
c) 7. 
d) 8.
e) 9.
EQUAÇÕES
2
EQUAÇÃO DO 2° GRAU
EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU
É a equação que tem a incógnita – valor desconhecido (o “x”) – no 2º grau (x2). 
Escrita na forma genérica por:
ax2 + bx + c = 0
Obs.: Como a incógnita está no 2º grau ele pode assumir até 2 valores no conjunto dos 
números reais.
FORMULA DE BHASKARA 
Para achar os valores de “x” usa-se a formula de Bhaskara e calcula-se em duas etapas:
1º calcula o discriminante (vulgo delta “Δ”)
Δ = b2 – 4∙a∙c
Depois calcula as raízes:
x = (-b ±√Δ)/2∙a
x’ = (-b + √Δ)/2a
x” = (-b – √Δ)/2a
Ex.:
Quais os valores de “x” na equação x2 – 7x + 5 = -7?
Obs.: 
quando Δ > 0 a equação tem duas raízes reais diferentes; 
quando Δ = 0 a equação tem duas raízes reais iguais; 
EQUAÇÃO DO 2° GRAU 3
quando Δ < 0 a equação tem suas raízes no conjunto dos números complexos.
RELAÇÃO ENTRE A SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES 
Existe uma relação entre as raízes da equação de 2º grau com a equação do 2º grau, que é:
Relação entre a soma e produto das raízes:
ax2 + bx + c = 0
Soma = S = x’ + x” = -b/a
Produto = P = x’ ∙ x” = c/a
x2 – Sx + P = 0
Ex.: x2 – 7x + 5 = -7
NA PRÁTICA
1. (UECE-CEV – 2022)
Considerando a sequência dos seis primeiros múltiplos positivos do número 5, assinale a 
opção que corresponde à equação do 2º grau que tem raízes, o primeiro e o último termo 
dessa sequência.
a) x2 – 35x + 150 = 0.
b) x2 – 35x – 150 = 0.
c) x2 + 35x + 150 = 0.
d) x2 + 35x – 150 = 0.
2. (Quadrix – 2022)
Considerando a equação, na incógnita x, x2 + 5x + m = 0, julgue o item.
Se uma das raízes é igual a −4, então m = 4.
4
3. (Quadrix – 2022)
Considerando a equação, na incógnita x, x2 + 5x + m = 0, julgue o item.
Se m = -14, então a equação admite raízes iguais a -2 e 7.
4. (CESGRANRIO - 2022) 
Para b ∈ ℝ, considere a equação 2x + b = x2 - 2x - 4.
A equação dada possui 2 raízes reais distintas quando, e apenas quando,
a) b < 8
b) b > -8 
c) b = -8 
d) b < 0 
e) b ≠ -4.
5. (VUNESP - 2021) 
Considere a equação do 2º grau:
2x2 – 3x – 2 = 0
Se x1 e x2 são as raízes dessa equação e x1 > x2, então é verdadeiro que x1/x2 é igual a
a) –4
b) –3
c) 3/2
d) 2/3
e) 3/4
EQUAÇÕES
2
EQUAÇÕES
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS E 
BIQUADRADAS
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Equações exponenciais são as equações em que as incógnitas – valor desconhecido (o 
“x”) – estão nos expoentes.
Obs.: Para resolver questões com essas equações usa-se as propriedades das potencias.
Ex.: 
1252x – 1 = 3125x+1
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Para falar de equações logarítmicas é preciso primeiro conhecer os logaritmos.
Logaritmo está relacionado com as equações exponenciais. 
Por definição logaritmo é expresso por:
Loga
b = x
ax = b
em que a = base, b = logaritmando, e a > 0 e a ≠ 1 e b > 0
As propriedades dos logaritmos são:
Loga
1 = 0
Loga
a = 1
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS E BIQUADRADAS 3
Loga
(b∙c) = Loga
b + Loga
c
Loga
(b/c) = Loga
b – Loga
c
 = n∙Loga
b 
 = 1/n ∙ Loga
b 
 = b
Loga
b = Logc
b / Logc
a
Loga
b ∙ Logb
a = 1
Obs.: sempre que a base não aparece no logaritmo, essa base é o 10 (log2 = log10
2). Dito 
isto, os logaritmos de 10 e das potencias de 10 serão os números inteiros, veja:
log10 = 1
log100 = = 2;
log0,001 = = -3.
As equações logarítmicas são aquelas que tem a incógnita – valor desconhecido (o “x”) – 
no logaritmando.
Ex.: 
 = 2
EQUAÇÕES BIQUADRADAS
São as equações escritas na forma: ax4 + bx2 + c = 0. 
A ideia é transformar a equação biquadrada em uma equação do 2º grau e resolver a 
partir daí.
Trocando x2 por y, a equação fica:
ay2 + by + c = 0
4
Resolve a equação do 2º grau (acha os valores de y) e após encontrar os valores de y iguala 
a x2 para chegar na solução definitiva da equação.
Ex.: 
x4 – 13x2 + 36 = 0
NA PRÁTICA
1. (CESPE – 2021)
A quantidade de soluções reais da equação log3
(x³) + log3
(1/2) = log3
(4) é igual a
a) 4.
b) 0.
c) 1.
d) 2.
e) 3.
2. (CPCON – 2021)
Resolvendo a equação é CORRETO afirmar que o seu conjunto solução 
S é igual a:
a) S = {-4,3}
b) S = {5,-2}
c) S = {-2,-5}
d) S = {-5,2}
e) S = {4,-3}
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS E BIQUADRADAS 5
3. (CESPE – 2017) 
Se X1 e X2, em que X1 < X2, são as raízes positivas da equação x4 – 164x2 + 6.400 = 0, então 
a diferença X2 – X1 é igual a
a) 2.
b) 1.
c) 36.
d) 18.
e) 4.
GEOMETRIA PLANA
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PONTO, RETA, PLANO, PARALELISMO, 
PERPENDICULAR ISMO E TEOREMA DE TALES
PONTO, RETA E PLANO
São elementos básicos da geometria, servem de base para tudo o que trata a geometria.
Ponto é uma posição no espaço, que não possui comprimento, área ou volume.
Reta é a união de vários pontos que formam uma linha infinita.
Plano é a união de infinitas retas, sem espaço entre elas, formando uma superfície plana sem 
curvas.
PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE
Paralelismo e perpendicularidade são posições relativas entre retas.
Duas ou mais retas são paralelas quando estão no mesmo plano, não possuem pontos em 
comum e todos os pontos de cada reta mantêm a mesma distância para os pontos das outras 
retas.
Duas retas são perpendiculares quando no ponto em que elas se cruzam o ângulo formado 
entre elas é de 90°.
Quando as retas se cruzam em um ponto, mas o ângulo formado entre as retas não é de 90°, 
são chamadas de concorrentes ou transversais.
TEOREMA DE TALES
O Teorema de Tales, aplicado na geometria, diz que o cruzamento de retas paralelas com retas 
transversais forma segmentos proporcionais.
Obs.: Esse teorema é muito importante, pois com ele pode-se calcular (ou determinar) as 
semelhanças de figuras geométricas.
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PONTO, RETA, PLANO, PARALELISMO, PERPENDICULAR ISMO E TEOREMA DE TALES 3
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NA PRÁTICA
1. (COPESE-UFPI - 2022)
Paulo marcou três pontos em uma folha de papel, de forma que elesnão estavam todos con-
tidos em uma mesma reta, ou seja, eram não colineares. Em seguida, Paulo pediu a André 
que traçasse todas as retas que fossem equidistantes aos três pontos. A quantidade de retas 
que André traçou foi:
a) 1 reta
b) 2 retas
c) 3 retas
d) 4 retas
e) Não é possível traçar uma reta equidistante aos três pontos.
2. (OBJETIVA - 2021)
Considerando-se que as retas r, s e t são paralelas, assinalar a alternativa que apresenta o valor 
de x que satisfaz a figura abaixo:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
3. (FUNDATEC - 2021)
Na figura a seguir, temos que a ∕∕ b ∕∕ c e as medidas são dadas em unidades de comprimento. 
Com os dados informados, qual o valor de x?
a) 40.
b) 60.
c) 80.
d) 100.
e) 120.
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4. (Instituto Consulplan - 2021)
Sobre um rio de margens paralelas foi construída uma ponte PA, cujo comprimento é 32 
metros. Devido a problemas estruturais nessa ponte, foi necessário construir uma segunda 
ponte PB, conforme a figura:
Levando em consideração que o problema em PA foi identificado a 8 metros, medidos ao 
longo da ponte e que o ponto correspondente na outra ponte está a 10 metros, qual será o 
comprimento da ponte PB sobre esse rio?
a) 34 m
b) 36 m
c) 38 m
d) 40 m
5. (FGV - 2021)
Considere a figura:
Sabe-se que a razão a/b é igual a 3/2.
A razão x/y é igual a
a) 3/2.
b) 2/3.
c) 2/5.
d) 3/5.
e) 5/3.
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PONTO, RETA, PLANO, PARALELISMO, PERPENDICULAR ISMO E TEOREMA DE TALES 5
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6. (VUNESP - 2020)
A figura a seguir é uma representação aproximada da região de Ilhabela em que as ruas Prof. 
Malaquias e Rondônia se encontram na Rio Grande do Sul:
Considerando que na representação aproximada a Rua Maranhão e a Rua Pará são paralelas, 
o trecho da Rua Rondônia entre elas medirá
a) 88 m.
b) 106 m.
c) 248 m.
d) 290 m.
e) 346 m.
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GEOMETRIA PLANA
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ÂNGULOS - CONCEITOS, DEFINIÇÕES E CÁLCULOS
ÂNGULOS
Ângulo é a área entre duas semirretas com a mesma origem (vértice).
Os ângulos são medidos em graus (°) ou radianos (rad).
RELAÇÃO ENTRE GRAU E RADIANO
360° = 2π rad
180° = π rad
90° = π/2 rad
60° = π/3 rad
45° = π/4 rad
30° = π/6 rad
CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
Nulos (iguais a 0°)
Agudos (menores que 90°)
Retos (iguais a 90°)
Obtusos (maiores que 90°)
Rasos (iguais a 180°)
Côncavos (maiores que 180° e menores que 360°)
Inteiro ou completo (iguais a 360°).
Ângulos complementares: a soma de dois ângulos dá 90°.
Ângulos suplementares: a soma de dois ângulos dá 180°.
Ângulos replementares: a soma de dois ângulos dá 360°.
ÂNGULOS FORMADOS POR RETAS PARALELAS E TRANSVERSAIS
Ângulos opostos pelo vértice – AOPV (ângulos iguais):
Ângulos correspondentes (ângulos iguais):
Ângulos alternos internos (ângulos iguais):
Ângulos alternos externos (ângulos iguais):
Ângulos colaterais internos (ângulos suplementares):
Ângulos colaterais externos (ângulos suplementares):
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ÂNGULOS - CONCEITOS, DEFINIÇÕES E CÁLCULOS 3
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NA PRÁTICA
1. (Avança SP - 2022)
Considere as retas paralelas cortadas por uma transversal abaixo:
Os valores de x e y, respectivamente, são:
a) 20º e 72º
b) 12º e 60º
c) 52º e 20º
d) 72º e 20º
e) 60º e 52º.
2. (MetroCapital Soluções - 2022)
A figura abaixo representa os ângulos formados por duas retas m e n paralelas cortadas por 
uma reta transversal t.
Os valores de a e b são, respectivamente:
a) 5º e 42º
b) 30º e 42º
c) 15º e 12º
d) 42º e 30º
e) 18º e 5º
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3. (UNIOESTE - 2022)
Um ângulo α é suplementar a um ângulo de 160º e complementar a um ângulo β. Então, a 
medida do ângulo β é de:
a) 20°.
b) 70°.
c) 37°.
d) 67°.
e) 58°.
4. (Avança SP - 2022)
Sobre ângulos, assinale aquilo que for correto.
a) É chamado de raso o ângulo que possui medida igual a 90°
b) É chamado de reto o ângulo que possui medida igual 180°
c) Dois ângulos são complementares quando a sua soma for igual a 360º°
d) Dois ângulos são replementares quando a sua soma for igual a 180º
e) Um ângulo é classificado como agudo quando a sua medida for menor do que 90º
5. (Fenaz do Pará - 2022)
Três semi-retas partem de um mesmo ponto P, formando três ângulos que envolvem todo o 
plano e são proporcionais aos números 11, 12, e 13. O suplemento do menor dos três núme-
ros é:
a) 60º.
b) 75º.
c) 65º.
d) 68º.
e) 70º.
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GEOMETRIA PLANA
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TRIÂNGULOS
CLASSIFICAÇÃO, SEMELHANÇA, SOMA DOS ÂNGULOS
TRIÂNGULOS
CONCEITO, ELEMENTOS E CLASSIFICAÇÃO
Triângulo é o polígono com 3 lados, 3 ângulos e 3 vértices.
Obs.1: o triângulo tem também uma base e uma altura.
Obs.2: condição de existência de um triangulo: qualquer lado é maior que a diferença dos 
outros dois e menor do que a soma dos outros dois.
De acordo com OS LADOS, o triângulo pode ser classificado em:
 » escaleno (todos os lados diferentes)
 » isósceles (2 lados iguais)
 » equilátero (os 3 lados iguais).
De acordo com OS ÂNGULOS, o triângulo pode ser classificado em:
 » acutângulo (os 3 ângulos agudos – menores que 90°)
 » retângulo (um ângulo de 90°)
 » obtusângulo (um ângulo maior que 90°).
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DO TRIÂNGULO
A soma dos ângulos do triângulo é 180°.
Si = 180°
CONGRUÊNCIA E SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dois ou mais triângulos são congruentes quando são iguais, tanto os lados como os ângulos.
Dois ou mais triângulos são semelhantes quando seus lados são proporcionais.
Os casos de semelhanças de triângulos são:
 » LLL = lado, lado, lado.
 » LAL = lado, ângulo, lado.
 » ALA = ângulo, lado, ângulo.
 » LAAo = lado, ângulo, ângulo oposto.
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CLASSIFICAÇÃO, SEMELHANÇA, SOMA DOS ÂNGULOS 3
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NA PRÁTICA
1. (CESPE - 2022)
Julgue o item que se segue, relacionados a geometria plana e espacial.
Considere que um triângulo ABC tenha lados com as seguintes medidas: 3 cm, 5 cm e 7 cm. Se 
o triângulo DEF é semelhante ao triângulo ABC e tem perímetro 25 cm, então o menor lado 
do triângulo DEF é 5 cm.
(Avança SP - 2022)
Os ângulos internos de um determinado triângulo são proporcionais aos números 4, 5 e 6. 
Considerando que a soma de todos esses ângulos seja igual a 180ᵒ, é correto afirmar que o 
maior ângulo mede:
a) 50º
b) 68º
c) 72º
d) 75º
e) 80º
2. (OMNI - 2021)
Se a figura abaixo representa um triângulo isósceles, qual é a medida (X) dos ângulos da base?
a) X = 55°
b) X = 60°
c) X = 45°
d) X = 70°
3. (FGV - 2021)
Euclides dispõe de 20 varetas cujos comprimentos, em centímetros, são,respectivamente, 
os números inteiros de 1 a 20. Ele pega as varetas de comprimentos 6 cm e 13 cm e deseja 
formar um triângulo em que essas varetas sejam dois dos lados. Entre as varetas restantes, o 
número de escolhas que Euclides tem para o terceiro lado do triângulo é
a) 18.
b) 12.
c) 11.
d) 10.
e) 9.
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4. (OMNI - 2021)
Se os triângulos ABC e DEF possuem os mesmos ângulos, mas tamanhos diferentes significa que:
a) Eles não são semelhantes, mas possuem lados proporcionais.
b) Eles são congruentes e não são semelhantes.
c) 1Eles são semelhantes e seus lados proporcionais
d) Nenhuma das alternativas.
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GEOMETRIA PLANA
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GEOMETRIA PLANA
TRIÂNGULOS
PERÍMETRO E ÁREA E FORMULA DE HEBRON
Área e perímetro do triângulo
Perímetro
Perímetro é a soma dos lados de um polí�gono, logo, no triângulo, é a soma dos seus 3 lados.
2p = a + b + c
Área
Área é o espaço ocupado pelo polígono no plano. 
A área do triângulo é: base “vezes” altura, “dividido” por 2.
Obs.1: no triângulo retângulo, a área pode ser calculada multiplicando um cateto pelo outro 
e dividindo o resultado da multiplicação por 2.
Obs.2: no triângulo equilátero, a área do triângulo será determinada por: A = l2√3/4. (a altura 
do triângulo equilátero também pode ser determinada por: h = l√3/2).
 
Outra forma de determinar a área de qualquer triângulo é pela fórmula de Heron:
A = √p∙(p – a)∙(p – b)∙(p – c)
Na prática
1. (UNIOESTE - 2022)
Em um triângulo equilátero de altura 9, qual a medida do seu lado?
a) 3
b) 9
c) 3√3
d) 6√3
2. (UNESPAR - 2022)
Na figura abaixo, med(AC) = 10 cm, med(BC) = 12 cm e med(DE) = 6 cm. Qual é a área do 
quadrilátero DBCE? 
a) 15
b) 20
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 3
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c) 30
d) 45
e) 60
3. (FAU - 2022)
Uma área que vai ser destinada a construção de uma praça na cidade de Marimar, tem 
forma de um triângulo equilátero, com 30 metros de comprimento cada lado. Conhecendo 
estas informações foi calculada a área total que a praça vai ocupar que é aproximadamente 
igual a: (use 31/2 = 1,732) 
a) 368,4 m2.
b) 379,5 m2. 
c) 389,7 m2.
d) 398,9 m2. 
e) 406,2 m2.
4. (FGV - 2021)
Dado um triângulo equilátero ABC, prolonga-se o lado AB, no sentido de A para B, até um 
ponto D, tal que a medida de BD seja igual à medida do lado do triângulo ABC.
A razão entre a área do triângulo ACD e a área do triângulo BCD é
a) 4.
b) 3.
c) 2.
d) √3
e) √2.
5. (FCC - 2019)
Os seis triângulos que aparecem na figura são equiláteros, com bases no segmento AB 
que mede 36 cm.
A soma dos perí�metros dos triângulos, em cm, é:
a) 36
b) 54
c) 72
d) 90
e) 108
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GEOMETRIA PLANA
TRIÂNGULOS
TEOREMA DE PITÁGORAS E RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIANGU-
LO RETÂNGULO
TEOREMA DE PITÁGORAS 
A principal relação no triângulo retângulo é o famoso Teorema de Pitágoras que diz: a hipote-
nusa (a) ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos (b e c).
Obs.: triângulos pitagóricos famosos
cateto, cateto, hipotenusa
3, 4, 5 (e seus múltiplos)
5, 12, 13 (e seus múltiplos)
8, 15, 17 (e seus múltiplos)
Outras relações métricas no triângulo retângulo 
No triângulo retângulo existem algumas relações bem conhecidas e que ajudam a 
resolver as questões que abordam esse assunto.
Essas relações são:
a∙h = b∙c
h2 = m∙n
b2 = a∙m
c2 = a∙n
Na prática
1. (FUNDATEC - 2022)
No triângulo retângulo ABC, apresentado na imagem abaixo, temos que a medida do seg-
mento AB é igual a c, a medida do segmento BC é a, AD é igual a 3,6, a medida do segmento 
CD é 6,4 e a medida do segmento BD é igual a 4,8. Podemos dizer então que (a + c)2 é igual a:
a) 36.
b) 64.
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GEOMETRIA PLANA 3
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c) 100.
d) 144.
e) 196.
2. (Avança SP - 2022)
Deseja-se subir em um muro com 32 metros de altura. Para isso apoia-se uma escada, a 
24 metros de distância desse muro, como pode ser observado na figura abaixo.
Desse modo, a altura dessa escada, em metros, é de:
a) 28 m.
b) 30 m.
c) 40 m.
d) 45 m.
e) 56 m.
3. (CESPE - 2021)
Julgue o item a seguir, relativo à trigonometria do triângulo retângulo.
A distância entre os pontos A e B na figura seguinte é maior que 10 cm.
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4. (VUNESP - 2021)
Para ir do ponto A até o ponto D, seguindo o trajeto indicado em negrito na figura, em que 
as distâncias são dadas em metros, Gonçalo percorre um total de 300 m. 
É� correto afirmar que, se Gonçalo caminhasse do ponto A até o ponto B, e do ponto B 
diretamente ao ponto D pelo trajeto indicado na figura pela linha pontilhada, ele iria 
percorrer um total de
a) 210 m.
b) 240 m. 
c) 250 m.
d) 260 m.
e) 280 m.
5. (FUNDEP - 2021)
A figura a seguir apresenta quatro triângulos e as respectivas medidas dos seus lados. 
Sabe-se que três desses triângulos possuem uma caracterí�stica em comum, enquanto um 
dos triângulos não tem essa caracterí�stica.
O triângulo que não possui essa caracterí�stica é o:
a) I
b) II
c) III
d) IV
6. (FADESP - 2021)
Em um triângulo retângulo em que os catetos medem 6m e 4,5m a altura relativa à hipo-
tenusa medirá
a) 5,4m.
b) 5,2m.
c) 4,8m.
d) 4,2m.
e) 3,6m.
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GEOMETRIA PLANA 5
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7. (IDIB - 2021)
Seja o triângulo ABC, dado na imagem abaixo. Com base nas relações métricas do triângulo 
retângulo, assinale o item que corresponde à altura h.
a) h = √m. n
b) h = c2 + b2
c) h = m∙a2
d) h = a∙b
8. (FAUEL - 2021)
No triângulo ABC abaixo, os ângulos BAC e ADC medem 90° e as medidas dos segmentos 
estão em centí�metros (cm).
 
Determine a medida do segmento AB. 
a) 3 cm
b) 5 cm
c) 5,76 cm
d) 9 cm
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GEOMETRIA PLANA
QUADRILÁTEROS
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GEOMETRIA PLANA - CARACTERÍSTICAS, 
ELEMENTOS, SOMA DOS ÂNGULOS, CLASSIFICAÇÃO
QUADRILÁTEROS
Quadriláteros são os polígonos com 4 lados, 4 ângulos, 4 vértices e 2 diagonais.
SOMA DOS ÂNGULOS
A soma dos ângulos dos quadriláteros é 360°.
Si = 360°.
CLASSIFICAÇÃO
Os quadriláteros podem ser classificados como paralelogramos (lados opostos paralelos) ou 
como trapézios (apenas as bases são paralelas).
Obs.: quando nenhum dos lados for paralelo, os quadriláteros podem ser classificados como 
trapezoides.
Os paralelogramos se dividem em:
ͫ	 Quadrados
	» Quatro lados igual
	»Quatro ângulos iguais
	» Diagonais iguais, perpendiculares e se cortam ao meio
ͫ	 Retângulos
	» Lados paralelos igual
	» Quatro ângulos iguais
	» Diagonais iguais e se cortam ao meio
ͫ	 Losangos
	» Quatro lados igual
	» Ângulos opostos iguais
	» Diagonais perpendiculares e se cortam ao meio
ͫ	 Paralelogramos - propriamente ditos.
	» Lados paralelos igual
	» Ângulos opostos iguais
	» Diagonais se cortam ao meio
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GEOMETRIA PLANA - CARACTERÍSTICAS, ELEMENTOS, SOMA DOS ÂNGULOS, CLASSIFICAÇÃO 3
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Os	trapézios	podem	ser:
ͫ	 Isósceles
ͫ	 Retângulos
ͫ	 Escalenos.
NA PRÁTICA
(FAUEL - 2022)
Assinale a alternativa que apresenta CORRETAMENTE uma propriedade dos retângulos.
a) Em todo retângulo, as diagonais são perpendiculares.
b) Em todo retângulo, as diagonais têm a mesma medida.
c) Em todo retângulo, dois lados consecutivos têm a mesma medida.
d) Em todo retângulo, as diagonais têm medidas diferentes.
(Quadrix - 2022)
Poliana, uma amante da matemática, traçou 2 segmentos de reta, paralelos, na areia da praia 
de Boa Viagem. Depois, ela marcou 5 pontos distintos em cada um dos segmentos.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item.
Com vértices nos pontos marcados na areia, Poliana pode construir 210 quadriláteros.
(OMNI - 2021)
Qual é a característica comum a todas as três figuras geométricas dadas abaixo?
a) São três quadrados.
b) São três retângulos.
c) São três losangos.
d) São três quadriláteros.
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4
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(Prefeitura de Bombinhas-SC - 2021)
Um quadrado é:
a) Um retângulo;
b) Um paralelogramo;
c) Um Polígono
d) Todas as alternativas estão corretas.
(CETREDE - 2021)
Analise a figura a seguir.
Assinale a alternativa que mostra corretamente a medida do ângulo X desenhado na figura.
a) 45°.
b) 60°.
c) 90°.
d) 120°.
e) 180°.
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GEOMETRIA PLANA - CARACTERÍSTICAS, ELEMENTOS, SOMA DOS ÂNGULOS, CLASSIFICAÇÃO 5
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(IBADE - 2020)
A professora levou o desenho da bandeira do município para os estudantes colorirem. O dese-
nho apresenta um retângulo decomposto em um triângulo e mais duas figuras geométricas.
Sobre essas figuras geométricas, é correto afirmar que são:
a) losangos.
b) paralelogramos.
c) pentágonos.
d) retângulos.
e) trapézios.
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GEOMETRIA PLANA
QUADRILÁTEROS
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GEOMETRIA PLANA
QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS, PERÍMETROS E ÁREAS
QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS
Os quadriláteros notáveis são o quadrado (quadrilátero perfeito), o retângulo, o losango, o 
paralelogramo e o trapézio.
PERÍMETRO E ÁREA
Perímetro (2p) é a soma dos lados de um polígono, então no quadrilátero é a soma dos quatro 
lados.
ͫ	 Se quadrado e losango:
2p = 4L
ͫ	 Se retângulo e paralelogramo:
2p = 2a + 2b
ͫ	 Se trapézio:
2p = B + b + a + c
A área é o espaço ocupado pelo polígono no plano, logo as áreas dos quadriláteros são:
ͫ	 Se quadrado:
A = L2
	» A diagonal do quadrado é dada por:
D = L√2
ͫ	 Se retângulo:
A = b∙h ou a∙b
	» A diagonal do retângulo é dada por:
D = √a2 + b2
ͫ	 Se losango:
A = D∙d/2
ͫ	 Se paralelogramo:
A = b∙h
ͫ	 Se trapézio:
A = (B+b)∙h / 2
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QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS, PERÍMETROS E ÁREAS 3
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NA PRÁTICA
(VUNESP - 2022)
Em um terreno, no formato de quadrado, será reservada uma área retangular de 5600 m2 
para a construção de um imóvel, com todos os seus anexos, conforme representado na figura.
Sabendo-se que o restante do terreno será destinado para área verde, essa área será de:
a) 5425 m2
b) 6500 m2
c) 7625 m2
d) 8800 m2
e) 9925 m2
(Quadrix - 2022)
A razão entre as medidas da altura e do comprimento de uma bandeira é igual a 0,6. Se o 
perímetro dessa bandeira é igual a 4,8 metros, então a sua altura é igual a
a) 9 decímetros.
b) 12 decímetros.
c) 15 decímetros.
d) 18 decímetros.
e) 21 decímetros.
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(FGV - 2022)
Um quadrado foi cortado em 4 retângulos iguais como mostra a figura.
A soma dos perímetros dos retângulos é maior que o perímetro do quadrado em
a) 50%.
b) 100%.
c) 150%.
d) 180%.
e) 200%.
(FGV - 2022)
A figura abaixo mostra um polígono sombreado desenhado sobre um quadriculado (papel 
coberto com linhas horizontais e verticais formando pequenos quadrados iguais).
O perímetro do polígono é de 132 cm.
A área desse polígono, em cm2, é igual a
a) 468.
b) 504.
c) 540.
d) 576.
e) 612.
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QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS, PERÍMETROS E ÁREAS 5
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(COPESE-UFPI - 2022)
Flávio possui uma fazenda cujo terreno tem a forma de um trapézio. Porém, devido a alguns 
ajustes da prefeitura, cada base do trapézio que compõe o terreno da fazenda teve uma redu-
ção de 25%. Para compensar, a prefeitura aumentou a altura do trapézio em 100%. Acerca da 
área do terreno, pode-se afirmar que:
a) A área da fazenda não mudou.
b) A área da fazenda duplicou.
c) A área da fazenda diminuiu em 50%.
d) A área da fazenda aumentou em 25%.
e) A área da fazenda aumentou em 50%.
(VUNESP - 2021)
Um jardim com a forma de um losango ABCD, cuja diagonal menor mede 10 m, foi dividido 
em 4 canteiros (I, II, III e IV) congruentes, conforme mostra a figura.
Se o jardim tem perímetro igual a 52 m, então a área de cada canteiro é igual a
a) 30 m².
b) 32 m².
c) 34 m².
d) 36 m².
e) 40 m².
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GEOMETRIA PLANA
CIRCUNFERÊNCIA E 
CÍRCULO
2
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GEOMETRIA PLANA
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
Circunferência é a figura geométrica que reúne todos os pontos que estão a uma mesma 
distância de “outro” ponto.
Esse “outro” ponto é chamado de centro da circunferência e a distância aos outros pontos é 
denominada raio (r).
Círculo é a área dentro da circunferência.
Quando dois pontos da circunferência são ligados por um segmento de reta, esse segmento 
é chamado de corda.
Obs.: Uma corda que passa pelo centro da circunferência é chamada de diâmetro. A medida 
do diâmetro é o dobro do raio.
SETOR E COROA CIRCULAR
O setor circular é a área delimitada entre dois raios da circunferência.
A coroa circular é a área determinada entre duas circunferências de mesmo centro e raios de 
tamanhos diferentes.
COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA E DO ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA
O comprimento da circunferência é dado por:
C = 2πr
O comprimento do arco da circunferência é proporcional aoângulo determinado pelos raios 
que limitam o arco.
ÁREA DO CÍRCULO, DO SETOR CIRCULAR E DA COROA CIRCULAR
A área do círculo é dada por:
A = πr2
A área do setor circular é proporcional ao ângulo – central – determinado pelos raios que 
determinam o setor.
A área da coroa circular é calculada pela diferença entre o círculo de raio maior e o círculo de 
raio menor.
A = π∙(R2 – r2)
ÂNGULOS CENTRAL E INSCRITO
Um ângulo é central quando seu vértice (sua origem) está no centro da circunferência.
Um ângulo é inscrito quando seu vértice está na circunferência.
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GEOMETRIA PLANA 3
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Quando dois ângulos, um central e um inscrito, têm o mesmo arco, pode-se afirmar que a 
medida do ângulo inscrito é metade da medida do ângulo central (ou que o ângulo central é 
o dobro do ângulo inscrito).
NA PRÁTICA
(UNIOESTE - 2022)
Um teatro de Arena na cidade de “Risolândia” tem a forma de uma circunferência. Sabendo 
que essa circunferência tem o diâmetro de 54 metros e considerando π = 3,14, qual é o raio 
da circunferência e a sua respectiva área?
a) Raio = 54 m e Área = 2.222,07 m2.
b) Raio = 27 m e Área = 2.289,06 m2.
c) Raio = 54 m e Área = 2.543,07 m2.
d) Raio = 27 m e Área = 2.212,06 m2.
(FUNDATEC - 2022)
Considere que o quadrado ABCD da imagem abaixo tenha um perímetro de 36 unidades de 
medida. Observação: Use π = 3,14.
Então, a área da circunferência inscrita nesse quadrado é igual a:
a) 50,24 unidades de área.
b) 63,585 unidades de área.
c) 78,5 unidades de área.
d) 113,04 unidades de área.
e) 254,34 unidades de área.
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(Unilavras - 2022)
A união dos infinitos pontos no plano equidistantes de um ponto referencial (origem), gera 
um(a):
a) reta.
b) semirreta.
c) plano.
d) circunferência.
(Instituto Access - 2022)
Uma antena foi instalada no ponto A em um terreno retangular conforme figura abaixo:
A cobertura desta antena descreve uma trajetória circular, conforme representação hachurada 
(cinza) da figura.
É correto afirmar que a área aproximada (em m²) do terreno que não terá cobertura da antena 
é de
a) 10.
b) 21.
c) 26.
d) 31.
(Prefeitura de Bataguassu–MS - 2021)
Se um arco de 120º de um dado círculo tem comprimento de 8π cm, o seu raio tem 
comprimento.
a) 2π cm
b) 12 cm
c) 2 cm
d) 32 cm
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GEOMETRIA PLANA
POLÍGONOS
2
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GEOMETRIA PLANA
POLÍGONOS
Polígono é uma figura geométrica – fechada – com muitos lados ou ângulos.
Os polígonos podem ser côncavos ou convexos; regulares ou irregulares.
De acordo com a quantidade de lados o polígono tem um nome:
3 lados → Triângulo
4 lados → Quadrilátero
Pentágono → 5 lados
Hexágono → 6 lados
Heptágono → 7 lados
Octágono → 8 lados
Eneágono → 9 lados
Decágono → 10 lados
Undecágono (ou hendecágono) → 11 lados
Dodecágono → 12 lados
...
Icoságono → polígono de 20 lados”
NÚMERO DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO QUALQUER
Diagonal de um polígono é o segmento de reta que une um vértice ao outro, desde que esses 
vértices não sejam adjacentes.
O número de diagonais de um polígono depende do número de lados do polígono e é definido 
pela fórmula:
d = n ∙ (n – 3)/2
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS (E EXTERNOS) DE UM POLÍGONO 
QUALQUER
A soma dos ângulos internos de um polígono também depende do número de lados do 
polígono.
É definida pela fórmula: Si = (n – 2) ∙ 180ᵒ
O ângulo interno do polígono é definido pela divisão da soma dos ângulos internos pela quan-
tidade de lados desse polígono: ai = Si/n
A soma dos ângulos externos de um polígono não depende do número de lados do polígono, 
ela é sempre igual a 360°.
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GEOMETRIA PLANA 3
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NA PRÁTICA
(OBJETIVA - 2022)
Conforme as figuras geométricas a seguir, assinalar a alternativa que apresenta, na ordem em 
que aparecem, o nome de cada uma:
a) Pentágono, triângulo, retângulo e hexágono.
b) Pentágono, retângulo, triângulo e hexágono
c) Hexágono, retângulo, triângulo e pentágono.
d) Hexágono, triângulo, retângulo e pentágono.
(IVIN - 2022)
Qual polígono possui o número de diagonais igual ao número de lados somado a metade do 
próprio número de lados?
a) Pentágono.
b) Hexágono.
c) Octógono.
d) Decágono.
e) Dodecágono.
(Quadrix - 2022)
O tetracontacaidígono é um polígono com 42 lados e 42 vértices. Considerando essa infor-
mação, julgue o item.
O tetracontacaidígono possui 819 diagonais.
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4
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(FGV - 2021)
A figura a seguir mostra dois polígonos regulares com um lado comum.
O ângulo ABC, assinalado na figura mede
a) 16º.
b) 18º.
c) 20º.
d) 22º.
e) 24º.
(IBFC - 2021)
Um polígono convexo de p lados possui o número de diagonais calculado pela equação D(p) 
= p2−3p/2. Este polígono contém 9 diagonais, então seu número de lados é:
a) 6
b) 4
c) 9
d) 8
(FAUEL - 2021)
Sobre polígonos convexos, é CORRETO afirmar que:
a) O perímetro de qualquer polígono convexo é determinado pela soma de todos os seus 
vértices.
b) Um polígono convexo é aquele que possui ângulos internos maiores que 180°.
c) Um pentágono regular pode ser dividido em cinco triângulos equiláteros.
d) O número de diagonais de um polígono convexo pode ser maior ou menor que a quantidade 
de lados que possui.
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GEOMETRIA PLANA
POLÍGONOS
2
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GEOMETRIA PLANA
POLÍGONOS
PERÍMETROS E ÁREAS
Perímetro é a soma dos lados, então no polígono é a soma de todos os seus lados.
Para calcular as áreas, trataremos apenas dos polígonos regulares.
Lembrando: polígonos regulares são os que têm todos os lados iguais e todos os ângulos iguais 
(os principais polígonos regulares são: triângulo equilátero, quadrado, hexágono regular).
Para calcular a área de um polígono regular, basta multiplicar o semiperímetro (p) pelo apó-
tema (a).
A = p∙a
Obs.: Apótema de um polígono é a distância do centro desse polígono a qualquer dos seus 
lados, formando um ângulo de 90° com esse lado.
HEXÁGONO – REGULAR
Polígono de 6 lados, formado pela junção de 6 triângulos equiláteros num mesmo vértice.
O perímetro do hexágono é: 2p = 6 ∙ L
A área do hexágono é 6 “vezes” a área do triangulo equilátero que lhe forma: A = 6 ∙ L2 ∙ √3 / 4
NA PRÁTICA
(CESPE - 2022)
A figura a seguir apresenta um hexágono regular, que ilustra parte do mapa de uma cidade. 
Cada lado desse hexágono corresponde a uma rua com 100 metros de comprimento, enquanto 
cada diagonal corresponde a uma rua com 200 metros de comprimento.
Durante uma perseguição a pé, policial e suspeito corriam pela rua AB. O suspeito decidiu 
seguir pelas ruas BC, CD e DE, enquanto o policial, que estava alguns metros atrás, seguiu 
pelas ruas BO e OD. No ponto D, percebendo que o suspeito já havia passado por lá, o policial 
correu em direçãoao ponto E, onde prendeu o suspeito.
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GEOMETRIA PLANA 3
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Considerando-se essa situação hipotética, é correto afirmar que, desde o ponto B até o ponto 
em que ocorreu a prisão, o policial percorreu
a) a mesma distância que o suspeito.
b) 100 m a mais que o suspeito.
c) 200 m a mais que o suspeito.
d) 600 m a mais que o suspeito.
e) 300 m a mais que o suspeito.
(Prefeitura de Cândido de Abreu-PR - 2022)
As lutas de MMA (Mixed Martial Arts) têm sido cada vez mais adoradas no mundo todo. O UFC 
(Ultimate Fighter Championship) é o maior dos campeonatos desse esporte e cada vez ele é 
mais visto em todas as regiões do planeta. O octógono de MMA é o palco dos gladiadores do 
mundo moderno e com a popularização desse esporte, muitas pessoas começaram a praticar 
esse tipo de luta e tornar-se um profissional é um sonho bastante comum entre os jovens. 
Essas lutas ocorrem dentro de um octógono que é um polígono regular com oito lados de 
mesma medida como a representação a seguir:
Se cada lado do octógono é cercado por uma tela de aproximadamente 3,9 metros de com-
primento e 2,0 metros de altura, a medida do perímetro do octógono é:
a) 31,2 metros.
b) 16 metros.
c) 23,4 metros.
d) 5,9 metros.
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4
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(FUNDATEC - 2021)
Um hexágono regular de perímetro 18 tem a área de:
a) 9√3
b) 18√3
c) 23√3/2
d) 25√3/2
e) 27√3/2
(SELECON - 2021)
A superfície de uma peça de metal plana tem a forma de um hexágono regular ABCDEF e está 
representada na figura abaixo.
Se a distância entre os vértices A e D mede 60 cm, a área, em cm², desse hexágono é igual a:
a) 1200√3
b) 1350√3
c) 1400√3
d) 1550√3
(FUNDATEC - 2020)
Considere o hexágono regular de vértices ABCDEF representado na figura abaixo.
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GEOMETRIA PLANA 5
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Se a área do hexágono é 24 √3, então a medida do segmento EB é:
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
e) 8.
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GEOMETRIA ESPACIAL
2
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POLIEDROS CONVEXOS, REGULARES, DE PLATÃO E 
RELAÇÃO DE EULER
POLIEDROS CONVEXOS
Poliedros são figuras geométricas tridimensionais formadas pela união de polígonos regulares, 
compostas por vértices, arestas e faces – unidas entre si.
https://www.infoescola.com/geometria-espacial/poliedros/
Os vértices são as “pontas”, as arestas são as “linhas” e as faces são os planos (os polígonos).
Obs.: um poliedro é convexo quando qualquer segmento de reta dentro do poliedro está todo 
contido no poliedro.
https://www.preparaenem.com/matematica/poliedros.htm
POLIEDROS REGULARES
Um poliedro é regular quando tanto suas arestas quanto suas faces são iguais, é também 
chamado de poliedro de Platão.
Os poliedros de Platão são:
ͫ	 Tetraedro: 4 faces triangulares;
ͫ	 Hexaedro: 6 faces quadrangulares;
ͫ	 Octaedro: 8 faces triangulares;
ͫ	 Dodecaedro: 12 faces pentagonais;
ͫ	 Icosaedro: 20 faces triangulares.
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POLIEDROS CONVEXOS, REGULARES, DE PLATÃO E RELAÇÃO DE EULER 3
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https://www.estudopratico.com.br/poliedros-platao-euler-e-outros-poliedros/
RELAÇÃO DE EULER
Nos poliedros convexos é possível determinar a quantidade de suas faces, arestas e vértices 
pela Relação de Euler.
Na Relação de Euler, o número de faces somado ao número de vértices é igual ao número de 
arestas “mais” 2.
V + F = A + 2
em que:
V = quantidade de vértices;
F = quantidade de faces;
A = quantidade de arestas.
Obs.: cada aresta do poliedro pertence a duas faces desse poliedro, logo o número de arestas 
do poliedro é a metade no número de arestas dos polígonos que formam esse poliedro.
NÚMERO DE DIAGONAIS DE UM POLIEDRO
Para determinar o número de diagonais de um poliedro, usaremos a formula:
D = [V∙(V–1)/2] – A – S
em que:
D = quantidade de diagonais do poliedro;
V = quantidade de vértices;
A = quantidade de arestas;
S = soma das diagonais das faces do poliedro.
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4
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NA PRÁTICA
1.	 (Prefeitura de Bombinhas-SC - 2022)
Tetraedro não é:
a)	 Um poliedro regular;
b)	 Composto por 4 faces;
c)	 Composto de 6 arestas;
d)	 Composto por 6 vértices.
2.	 (AGIRH - 2021)
Podemos afirmar que só existem ___________ tipos de sólidos geométricos que podem ser 
classificados como poliedros de Platão. O número que completa a lacuna corretamente é:
a)	 dois
b)	 quatro
c)	 cinco
d)	 sete
3.	 (AGIRH - 2021)
A relação de Euler é usada para relacionar o número de faces, vértices e arestas de poliedros 
convexos. Das alternativas abaixo, qual representa corretamente essa relação?
a)	 F + V = A + 2
b)	 F – V = A – 2
c)	 F + V + A = 2
d)	 F + V = A – 2
4.	 (CETREDE - 2021)
Quantas arestas possui o poliedro regular a seguir?
a)	 4.
b)	 8.
c)	 10.
d)	 12.
e)	 14.
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POLIEDROS CONVEXOS, REGULARES, DE PLATÃO E RELAÇÃO DE EULER 5
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5.	 (CONTEMAX - 2021)
Os sólidos platônicos, ou poliedros regulares, são conhecidos desde a antiguidade. O filosofo 
Platão os relacionou aos elementos clássicos: Terra, Fogo, Água e Ar.
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lido_plat%C3%B3nico.
O astrônomo Johannes Kepler, no século XVI, tentou associá-los aos seis planetas conhecidos 
até então. A relação entre vértices (V), faces (F) e arestas (A) dos sólidos platônicos pode ser 
verificada pela fórmula de Euler:
V + F – A = 2
Considere as seguintes afirmações sobre os poliedros regulares:
I – O octaedro possui 6 vértices, 12 arestas e 8 faces;
II – O dodecaedro possui 20 vértices, 30 arestas e 12 faces;
III – O icosaedro possui 12 vértices, 30 arestas e 20 faces.
A respeito das afirmações, pode-se é correto declarar que:
a)	 Apenas I e II são verdadeiras
b)	 Apenas I e III são verdadeiras
c)	 Apenas II e III são verdadeiras
d)	 Todas são verdadeiras
e)	 Nenhuma é verdadeira
6.	 (Quadrix - 2021)
Um cuboctaedro é um poliedro convexo composto por oito faces triangulares regulares e seis 
faces quadradas. Considerando essa informação, julgue o item.
O cuboctaedro possui 24 arestas.
Certo ( ) Errado ( )
7.	 (Quadrix - 2021)
Um cuboctaedro é um poliedro convexo composto por oito faces triangulares regulares e seis 
faces quadradas. Considerando essa informação, julgue o item.
O número de vértices do cuboctaedro é igual a 12.
Certo ( ) Errado ( )
8.	 (Quadrix - 2021)
Um cuboctaedro é um poliedro convexo composto por oito faces triangulares regulares e seis 
faces quadradas. Considerando essa informação, julgue o item.
Esse poliedro tem quarenta e duas diagonais.
Certo ( )Errado ( ) 
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GEOMETRIA ESPACIAL
2
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PRISMAS
PRIMAS
Prisma é um poliedro convexo, com duas bases iguais e paralelas e faces laterais que são 
paralelogramos.
https://www.maisbolsas.com.br/enem/matematica/elementos-e-classificacao-do-prisma
Alguns prismas são bem conhecidos, como o cubo (dado) e o paralelepípedo (tijolo).
ELEMENTOS
Os elementos dos prismas são as faces (bases e faces laterais), arestas (da base e laterais) e 
vértices.
Outros elementos do prisma são sua altura com relação às bases (distância entre as bases).
CLASSIFICAÇÃO
Prismas retos: as faces laterais são perpendiculares às bases
Prisma oblíquo: os ângulos entre as bases e as faces laterais não são de 90°.
https://www.todamateria.com.br/prisma/
Prismas regulares são aqueles em que suas bases são polígonos regulares, são prismas retos.
Um prisma também será classificado de acordo com sua base:
 » se a base for um triângulo, então o prisma será triangular;
 » se a base for um quadrado, será um prisma quadrangular;
 » se a base for um pentágono, será um prisma pentagonal;
 » e assim por diante.
ÁREAS E VOLUMES (E DIAGONAIS DO CUBO E DO PARALELEPÍPEDO)
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PRISMAS 3
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As áreas dos prismas são as áreas da base, as áreas laterais e a área total.
ͫ	 As áreas das bases (duas bases) dependem da figura geométrica da base;
ͫ	 As áreas laterais são áreas retangulares (ou quadrangulares) na quantidade da figura 
geométrica da base.
ͫ	 A área total do prisma será a soma das duas áreas da base mais a soma das áreas laterais.
O volume do prisma será um produto da área da base pela altura – em relação a base – do 
prisma.
As áreas, o volume e as diagonais do cubo e do paralelepípedo são definidas pela relação com 
suas arestas.
ͫ	 No cubo:
ͫ	
http://enemex-matematica.com.br/estudos/geometria/geometria-espacial/aula-2-prisma
 » Área lateral:
 » Diagonal da face:
 » Área total:
 » Diagonal do cubo:
 » Volume:
ͫ	 No paralelepípedo:
ͫ	
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/paralelepipedos.htm
 » Área total
 » Diagonal
 » Volume
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4
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NA PRÁTICA
1. (IBADE - 2022)
Observe a figura geométrica abaixo.
É correto afirmar que:
a) possui 5 faces.
b) apresenta 10 arestas.
c) tem 15 vértices.
d) é um prisma de base pentagonal.
e) é um prisma de base hexagonal.
2. (VUNESP - 2022)
Uma caixa de papelão, na forma de um prisma reto de base retangular, tem suas medidas 
indicadas na figura.
Essa caixa está com 3/5 de sua capacidade total preenchida com sabão em pó. Se todo esse 
sabão for dividido em porções de 125 cm3 cada uma, o número de porções obtidas será
a) 8.
b) 12.
c) 15.
d) 18.
e) 20.
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PRISMAS 5
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3. (VUNESP - 2022)
Uma peça de madeira, no formato de um prisma reto de base retangular, tem 20 cm de altura. 
Dessa peça foi cortada uma “fatia” paralela à base, conforme mostra figura.
Após o corte, o volume que restou da peça foi 1728 cm3. A altura h, da “fatia” cortada era de
a) 2,5 cm.
b) 2,0 cm.
c) 1,5 cm.
d) 1,0 cm.
e) 0,5 cm.
4. (Prefeitura de Bauru-SP - 2022)
Na casa de Paulo há uma caixa d´água, na forma de bloco retangular, que possui 3,5 m de 
comprimento e 2,5 m de largura. Para que a caixa d´água tenha capacidade total para 48.125 
litros, qual deverá ser a altura dessa caixa d´água? Assinale a alternativa CORRETA.
a) 5,5 m
b) 6 m
c) 6,25 m
d) 4,12 m
5. (IESES - 2022)
Suponha que uma caixa de papelão sem tampa tenha formato de paralelepípedo com base 
quadrangular. Supondo que a base tenha área 81 cm2 e que a caixa tenha de 12 cm de altura, 
a área total da superfície da caixa será de:
a) 594 cm2.
b) 405 cm2.
c) 432 cm2.
d) 513 cm2.
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GEOMETRIA ESPACIAL
2
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PIRÂMIDES
PIRÂMIDES
Pirâmide é um poliedro convexo, com uma base poligonal e faces triangulares unidas em um 
ponto a certa altura da base – chamado de vértice da pirâmide.
https://www.infoescola.com/geometria-espacial/piramide/
ELEMENTOS
Os elementos das pirâmides são a base, as faces laterais, arestas (da base e laterais), vértices 
da base, vértice da pirâmide e altura da pirâmide em relação à base.
CLASSIFICAÇÃO
Pirâmides retas: a projeção do seu vértice na base coincide com o ponto central da base
Prisma oblíquo: a projeção do seu vértice na base não coincide com o ponto central da base.
Uma pirâmide também será classificada de acordo com sua base:
SE A BASE FOR UM TRIÂNGULO, ENTÃO A PIRÂMIDE SERÁ 
TRIANGULAR;
SE A BASE FOR UM QUADRADO, SERÁ UMA PIRÂMIDE QUA-
DRANGULAR;
SE A BASE FOR UM PENTÁGONO, SERÁ UMA PIRÂMIDE PENTA-
GONAL;
E ASSIM POR DIANTE.
ÁREAS E VOLUMES
As áreas da pirâmide são a área da base, as áreas laterais e a área total.
ͫ	 A área da base depende da figura geométrica da base;
ͫ	 As áreas laterais são áreas triangulares na quantidade da figura geométrica da base;
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PIRÂMIDES 3
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	» Obs.: para determinar a área lateral é necessário calcular a altura do triângulo da 
face lateral (geratriz da pirâmide ou apótema da pirâmide), e essa altura será obtida 
por uma relação pitagórica entre o apótema da base e a altura da pirâmide.
	»
https://cursoenemgratuito.com.br/area-da-piramide/
ͫ	 A área total da pirâmide será a soma da área da base mais a soma das áreas laterais.
ͫ	 At	=	Ab	+	n∙Al
O volume da pirâmide será o produto de 1/3 da área da base pela altura da pirâmide.
V	=	Ab∙h/3
TRONCO DE PIRÂMIDES
Tronco de pirâmide é o sólido geométrico resultante quando na pirâmide é realizada uma 
secção transversal, paralela a base, a qualquer altura.
https://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial22.php
ÁREAS E VOLUMES DO TRONCO DE PIRÂMIDE
As áreas do tronco de pirâmide são a área da base maior, a área da base menor, as áreas 
laterais e a área total.
ͫ	 As áreas das bases dependem da figura geométrica das bases;
ͫ	 As áreas laterais são as áreas dos trapézios resultantes, na quantidade da figura geométrica 
da base;
ͫ	 A área total do tronco pirâmide será a soma das áreas das bases mais a soma das áreas 
laterais.
ͫ	 At = AB + Ab + n∙Al
O volume do tronco de pirâmide será determinado pela diferença entre o volume da pirâmide 
maior e da pirâmide menor – determinada pela secção transversal.
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NA PRÁTICA
1.	 (Avança SP - 2022)
A figura abaixo representa a planificação de um sólido geométrico.
Sobre esse sólido, é possível afirmar que:
a)	 É um prisma de base triangular
b)	 Possui 15 arestas
c)	 Éformado por 6 triângulos
d)	 Possui 10 vértices
e)	 É uma pirâmide de base pentagonal
2.	 (CESPE - 2022)
Julgue o item que se segue, relacionados a geometria plana e espacial.
Uma pirâmide de altura h= 2√3 cm com base dada por um hexágono regular de lado ℓ = 3 cm 
tem volume V = √3 cm3.4
Certo ( ) Errado ( )
3.	 (ADVISE - 2022)
Um objeto deverá ser construído em isopor como molde para uma peça de ferro fundido no 
formato de uma pirâmide com base quadrada. Se o lado da base desta pirâmide é de 5 cm e 
sua altura de 15 cm, qual o volume necessário de isopor a ser utilizado?
a)	 125 cm3
b)	 375 cm3
c)	 250 cm3
d)	 225 cm3
e)	 75 cm3
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PIRÂMIDES 5
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4.	 (AGIRH - 2022)
Um engenheiro de tráfego solicita ao setor de planejamento e obras da Prefeitura onde tra-
balha, que seja construído uma sapata em forma de um tronco de pirâmide regular com as 
seguintes dimensões:
• aresta da base menor com 1m;
• aresta da base maior com 2m; e
• altura igual a 2m.
Sobre a sapata será colocado um tótem de sinalização de trânsito. O volume da sapata será:
a)	 7/5 m3
b)	 12/5 m3
c)	 14/3 m3
d)	 15/2 m3
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GEOMETRIA ESPACIAL
2
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CILINDROS
CILINDRO
Cilindro é uma figura geométrica tridimensional, de formato circular (um corpo redondo), que 
possui o mesmo diâmetro ao longo de todo o seu comprimento/altura.
https://www.infoescola.com/geometria-espacial/cilindro/
ELEMENTOS E CLASSIFICAÇÃO
Os elementos do cilindro são as bases, o raio das bases, a altura e a área lateral, além da 
geratriz (quando o cilindro é reto a geratriz coincide com a altura, quando o cilindro é obliquo 
a geratriz é a lateral do cilindro).
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/cilindro.htm
ÁREAS E VOLUMES
As áreas do cilindro são as áreas das bases, a área lateral e a área total.
ͫ	 As áreas das bases são as áreas dos círculos que formam a base.
ͫ	 A área lateral é a área do retângulo constituído pelo comprimento da circunferência que 
forma a base e pela altura do cilindro.
ͫ	 A área total do cilindro será a soma das áreas das bases mais a área lateral.
https://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial16.php
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CILINDROS 3
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Ab = πr2
Al = 2πr∙h
At = 2Ab + Al
O volume do cilindro será o produto da área da base pela altura do cilindro.
V = Ab∙h
V = πr2∙h
NA PRÁTICA
1.	 (FUNDATEC - 2022)
Um cilindro circular reto possui altura igual a 0,05 m e diâmetro igual a 4 cm. Considerando π 
= 3,14, o volume, em cm3, desse cilindro é:
a)	 0,628 cm3.
b)	 6,28 cm3.
c)	 31,4 cm3.
d)	 62,8 cm3.
e)	 628 cm3.
2.	 (Quadrix - 2022)
A moeda de chocolate é um doce cilíndrico muito popular entre as crianças. Uma confeitaria 
produz moedas de chocolate de 3 cm de diâmetro e 5 mm de espessura. Quando derretida, 
uma tonelada desse chocolate ocupa um volume de 1 m3.
Com base nesse caso hipotético, julgue o item.
O volume de cada moeda de chocolate é menor que 63/16 cm3.
3.	 (Quadrix - 2022)
Dados dois cilindros de volumes iguais, sabendo-se que o raio da base do primeiro é quatro 
vezes maior que o raio da base do segundo, é correto afirmar que a razão entre as alturas do 
primeiro e do segundo cilindro é igual a
a)	 16.
b)	 4.
c)	 0,25.
d)	 0,15.
e)	 0,0625.
4.	 (FADCT - 2022)
Um cilindro tem seu raio quadruplicado e sua altura reduzida a quarta parte. O novo volume, 
em relação ao volume inicial é:
a)	 Aumenta 4 vezes
b)	 Aumenta 2 vezes
c)	 Diminui 2 vezes
d)	 Equivalente
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5.	 (Quadrix - 2022)
Antônio trabalha com desenhos computacionais de aparelhos cirúrgicos. Para fazer o modelo 
de um sólido, ele fez a revolução completa de um retângulo em torno do eixo que passa pelo 
seu maior lado, de 10 centímetros. O outro lado do retângulo mede 0,25 centímetros.
Com base nesse caso hipotético, assinale a alternativa que corresponde ao valor numérico do 
volume do sólido de revolução gerado em centímetros cúbicos.
a)	 0,625π
b)	 1,25π
c)	 2,5π
d)	 3
e)	 5
6.	 (Quadrix - 2022)
Uma garrafa térmica é construída a partir de dois frascos cilíndricos de mesma altura e raios 
diferentes, colocados um dentro do outro. Na parte de dentro do cilindro interno, fica o líquido 
cuja temperatura se deseja manter; durante o processo de fabricação da garrafa, o espaço 
entre os dois frascos é evacuado de ar e lacrado.
Com base nessa situação hipotética, considerando que essa garrafa térmica seja formada por 
dois reservatórios cilíndricos perfeitos e concêntricos, de altura igual a 30 cm e raios iguais a 
45/π2 cm e 50/π2 cm, julgue o item.
Dobrando-se a altura de ambos os reservatórios que formam a garrafa térmica, o volume da 
região entre os reservatórios dobrará.
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GEOMETRIA ESPACIAL
2
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CONES
CONES
Cone é uma figura geométrica tridimensional (um corpo redondo), de base circular, que se 
assemelha a uma pirâmide, mas sua área lateral é apenas de “UM triângulo” (setor circular) 
que faz uma rotação sobre essa base.
https://www.infoescola.com/geometria-espacial/cone/
ELEMENTOS
Os elementos do cone são a base, o raio da base, o vértice do cone, a altura com relação à 
base (distância entre a base e o vértice do cone) e a geratriz do cone (segmento de reta que 
une o vértice a qualquer ponto da circunferência da base).
https://matematicahistoria.wordpress.com/2017/12/15/cone-geometria-espacial/
CLASSIFICAÇÃO
O cone pode ser reto, quando seu vértice está alinhado com o centro da circunferência da 
base, ou oblíquo, quando o vértice não está alinhado com o centro da circunferência.
O cone também pode ser equilátero, quando ele é reto e a geratriz é igual ao diâmetro da base.
https://www.algosobre.com.br/matematica/geometria-espacial-cone.html
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CONES 3
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ÁREAS E VOLUMES
As áreas do cone são a área da base, a área lateral e a área total.
ͫ	 A área da base é a área do círculo da base.
Ab = πr2
ͫ	 A área lateral do cone é a área determinada pelo produto da geratriz do cone com o raio 
da base, além de pi (π).
Al = πrg
ͫ	 A área total do cone será a soma da área da base mais a soma da área lateral.
At = Ab + Al
O volume do cone será o produto de da área da base pela altura do cone.
V = Ab∙h/3
V = πr2∙h/3
TRONCO DE CONES
Tronco de cone é o sólido resultante quando no cone é realizada uma secção transversal, 
paralela à base, a qualquer altura.
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/tronco-de-cone.htm
ÁREAS E VOLUMES DO TRONCO DE PIRÂMIDE
As áreas do tronco de cone são a área da base maior, a área da base menor, as áreas laterais 
e a área total.
ͫ	 As áreas das bases maior e menor são as áreas de dois círculos, cada um com seu raio;
ͫ	 Aárea lateral resulta da planificação do tronco (sem as bases), e usa a geratriz do cone;
	» Geratriz do tronco de cone:
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	»
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/tronco-de-cone.htm
	» Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, temos que:
	» g² = h² + (R – r)²
	» Área Lateral do Tronco de Cone:
	» Al = πg∙(R + r)
ͫ	 A área total do tronco de cone será a soma das áreas das bases mais a soma da área lateral.
ͫ	 At = AB + Ab + Al
O volume do tronco de cone será determinado pela diferença entre o volume cone maior e 
do cone menor – determinada pela secção transversal.
NA PRÁTICA
1.	 (UPENET/IAUPE - 2022)
Um cone reto tem 4,0 cm de altura e diâmetro da base igual a 6,0 cm. Logo a geratriz deste 
cone mede
a)	 7,0 cm
b)	 6,0 cm
c)	 5,0 cm
d)	 4,0 cm
e)	 3,0 cm
2.	 (Quadrix - 2022)
A Catedral Basílica de Maringá é considerada a mais alta catedral da América Latina. O corpo 
principal da catedral é um cone de 114 m de altura e 50 m de diâmetro de base. A partir dessas 
informações, julgue o item, considerando π = 3.
O volume total do corpo principal é igual a 71,25 dam3.
3.	 (Quadrix - 2022)
A Catedral Basílica de Maringá é considerada a mais alta catedral da América Latina. O corpo 
principal da catedral é um cone de 114 m de altura e 50 m de diâmetro de base. A partir dessas 
informações, julgue o item, considerando π = 3.
Se o diâmetro da base da catedral fosse duas vezes maior, o volume do monumento também 
seria dobrado.
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CONES 5
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4.	 (AGIRH - 2022)
Um cone circular é considerado reto quando a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da 
base é o ponto central da base. Ele pode ser chamado de também de cone de revolução, por 
ser formado pela rotação de um triângulo retângulo em volta de um de seus catetos.
Sabendo que neste cone, r = 3m e g = 5m, então, o seu volume é:
a)	 3π m3
b)	 5π m3
c)	 9π m3
d)	 12π m3
5.	 (FGV - 2022)
Um reservatório tem o formato de um cone reto. Ele está invertido, com o vértice para baixo 
e a base para cima. Um líquido é despejado no reservatório a uma vazão constante. Após uma 
hora, o líquido atinge uma altura igual à metade da altura do reservatório.
O número de horas adicionais necessárias para encher todo o reservatório é igual a
a)	 1.
b)	 3.
c)	 5.
d)	 7.
e)	 8.
6.	 (Quadrix - 2022)
Assinale a alternativa que apresenta a área da base de um cone que tem 33,7 cm de altura e 
2.022 cm3 de volume.
a)	 20 cm2
b)	 60 cm2
c)	 180 cm2
d)	 270 cm2
e)	 540 cm2
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GEOMETRIA ESPACIAL
2
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ESFERAS
ESFERAS
Esfera é uma figura geométrica tridimensional (corpo redondo), resultado da rotação de semi-
círculo pelo eixo do seu diâmetro.
https://matematicabasica.net/esfera/
ELEMENTOS E PARTES DA ESFERA
Os elementos da esfera são o centro, o raio, os meridianos e os paralelos, os polos e o equador.
https://escolakids.uol.com.br/matematica/esfera.htm
As partes da esfera são a cunha (faz parte da esfera) e o fuso esférico (faz parte da superfície 
da esfera, relacionada com a cunha).
Temos, ainda, a seção da esfera (corte transversal feito na esfera por um plano) e a calota 
esférica determinada por essa seção.
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ESFERAS 3
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https://conhecimentocientifico.com/esfera/
ÁREAS E VOLUMES
As áreas e os volumes da esfera são determinados pelo raio da esfera.
https://calculareconverter.com.br/area-da-esfera/
A = 4πr2
V = 4πr3/3
A área do fuso e a área e o volume da cunha são determinados pelo ângulo de rotação do 
semicírculo em torno de seu eixo.
NA PRÁTICA
1. (Quadrix - 2022)
Considerando uma esfera com 36 π metros cúbicos de volume, julgue o item.
O raio dessa esfera é igual a 3 metros.
2. (Quadrix - 2022)
Considerando uma esfera com 36 π metros cúbicos de volume, julgue o item.
Se se duplicar o raio dessa esfera, o seu volume aumentará em 700%.
3. (Quadrix - 2022)
Considerando uma semiesfera cujo volume é igual a 16/3π m3, julgue o item.
O raio dessa semiesfera é igual a 2 m.
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4
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4. (UPENET/IAUPE - 2022)
O volume de uma esfera é 32π/3cm3. Logo o raio e a área da superfície esférica são, 
respectivamente,
a) 1,0 cm e 8,0 π cm2
b) 2,0 cm e 16,0 π cm2
c) 3,0 cm e 24,0 π cm2
d) 4,0 cm e 32,0 π cm2
e) 5,0 cm e 40,0 π cm2
5. (OMNI - 2021)
Um artesão vai fazer uma bola de couro com 20cm de diâmetro. Qual será a área (A) da super-
fície desta bola? (Faça π = 3,14)
a) A = 1230cm².
b) A = 950,7cm².
c) A = 1000,5cm².
d) A = 1256cm².
6. (FUNDATEC - 2021)
Sejam duas esferas concêntricas em que a maior possui raio R e a menor possui raio 7/8 R. 
Podemos afirmar que o volume da “casca” (volume compreendido fora da menor e dentro 
na maior) é dado por:
a) 7/8 πR3
b) 343/512 πR3
c) 7/16 πR3
d) 15/64 πR3
e) 169/384 πR3
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GEOMETRIA ANALÍTICA - 
PONTO
2
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PONTO
Na reta possui um valor (coordenada do ponto), que é a distância do entre o dado ponto e a 
origem da reta (o zero da reta).
No plano é representado por um par de números (par ordenado: x, y) que são as coordenadas 
do ponto.
No espaço é representado por três números, o terno ordenado do ponto (x, y, z).
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/geometria-analitica.htm#:~:text=A%20base%20da%20geometria%20
anal%C3%ADtica,relacionado%20com%20o%20n%C3%BAmero%20zero.
ESTUDO ANALÍTICO DO PONTO
É o estudo do ponto no plano cartesiano e suas relações com outros pontos.
ͫ	 Plano Cartesiano:
ͫ	 É o sistema cartesiano ortogonal (coordenada x = abscissa e coordenada y = ordenada), 
usado para localizar cada ponto no plano (par ordenado: x, y).
https://www.somatematica.com.br/emedio/retas/retas1.php
ͫ	 Distância entre dois pontos:
ͫ	 A distância entre dois pontos, no plano cartesiano, é o comprimento do segmento que 
une estes dois pontos, dada por:
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 3
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ͫ	 dAB = 
ͫ	 Ponto Médio entre dois pontos:
ͫ	 É o valor da abscissa XM e da ordenada YM correspondente a média aritmética entre as 
coordenadas dos pontos A e B.
ͫ	 XM = XA + XB / 2
ͫ	 YM = YA + YB / 2
ͫ	 Condição de alinhamento de três pontos:
ͫ	 Três pontos estarão alinhados se o determinante da matriz formada por suas coordena-
das for nulo.
NA PRÁTICA
1.	 (FGV - 2022)
Em um plano cartesiano, define-se a “distância do taxista” entre dois pontos P1 (x1, y1) e P2 
(x2, y2), representada por d(P1, P2), como sendo d(P1, P2) = |x1 − x2| + |y1 − y2|. Dados os 
pontos A (1, 6), B (2, 2) e C (4, 4), é correto afirmarque
a)	 d(A, B) > d(A, C) > d(B, C).
b)	 d(A, B) = d(A, C) > d(B, C).
c)	 d(A, B) < d(A, C) = d(B, C).
d)	 d(A, B) > d(A, C) = d(B, C).
e)	 d(A, B) = d(A, C) = d(B, C).
2.	 (IBADE - 2022)
Qual deve ser o valor de k e q, nessa ordem, para que o ponto A(-1/2, -9/2) seja ponto médio 
do segmento de extremos em B(k², q²) e C(-2k, 6q)?
a)	 1 e 3
b)	 -1 e 3
c)	 -3 e 1
d)	 1 e -3
e)	 -1 e -3
3.	 (IBADE - 2022)
Duas cidades A e B, distantes entre si X metros, estão localizadas em coordenadas (c, 5) e (3, 
c). Sabendo que há um posto de gasolina no ponto médio entre as duas cidades localizado no 
ponto M(2, 3), qual é o valor de X?
a)	 √20
b)	 √35
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c)	 √7
d)	 √32
e)	 √40
4.	 (COTEC - 2021)
Considere A(-m, 2m) e B(3m, -2m) dois pontos do plano cartesiano, em que m é um número 
real negativo. Assinale a alternativa cuja expressão representa a distância d do ponto A ao 
ponto B em função de m.
a)	 d =4√2m
b)	 d = -4√2m
c)	 d = -2√5m
d)	 d = 2√5m
e)	 d = 2√10m
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GEOMETRIA ANALÍTICA - 
RETA
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RETA
Conjunto infinito de pontos, formando uma linha infinita.
EQUAÇÃO GERAL DA RETA
Uma reta pode ser determinada pela condição de alinhamento de três pontos.
Dados os pontos A e B com coordenadas conhecidas e um ponto P, pertencente a reta que passa 
por A e B, de coordenadas x e y desconhecidas, a equação da reta que passa por A, B e P será:
 (YA – YB)x + (XB – XA)y + (XAYB – XBYA) = 0
Com a = (YA – YB), b = (XB – XA) e c = (XAYB – XBYA), então:
ax + by + c = 0 (equação da reta)
Substituindo as coordenadas do ponto P na equação:
Se ax + by + c = 0, então P pertence a reta, caso contrário P não pertence a reta.
COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA
O coeficiente angular “m” de uma reta é a tangente do ângulo formado pela reta em relação 
ao eixo X.
https://www.todamateria.com.br/geometria-analitica-resumo/
m = tg α
m = (YB – YA)/(XB – XA)
m = –a/b
EQUAÇÃO DA RETA SABENDO UM PONTO A E O COEFICIENTE ANGULAR
Dado o ponto A (XA, YA) a equação da reta fica:
Y – YA =m(X – XA)
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EQUAÇÃO REDUZIDA
DA RETA
Dado – ou conhecendo/calculando – o coeficiente angular “m” e o coeficiente linear “n” (ponto 
onde a reta passa/corta pelo eixo Y) da reta, sua equação pode ser determinada por:
y = mx + n
lembrando que n = –c/b
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE AS RETAS
Duas ou mais retas podem ser paralelas (coeficientes angulares iguais), concorrentes (coeficien-
tes angulares diferentes) ou perpendiculares (concorrentes cujo ângulo entre elas é de 90ᵒ).
Dadas duas retas “r” e “s”, se:
mr = ms, elas são paralelas
mr ≠ ms, elas são concorrentes
mr ∙ ms = –1, elas são perpendiculares
Obs.: quando as retas são concorrentes, o ponto de interseção entre elas será a solução do 
sistema formado pelas suas equações.
DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO E UMA RETA
Dado um ponto A (XA, YA) e uma reta “s” (ax + by + c = 0), a distância entre o ponto A e a reta 
“s” será dada por:mas
d = ∣a∙XA + b∙YA + c∣/ 
NA PRÁTICA
1. (FADENOR - 2022)
Considere as retas r e s de equações 3x + 2y – 7 = 0 e x – 2y – 9 = 0, respectivamente, e um ponto 
P de intersecção entre essas retas. Assim, pode-se afirmar que as coordenadas do ponto P são
a) (–4, 5/2).
b) (–4, –5/2).
c) (–4, 2/5).
d) (4, –5/2).
e) (4, –2/5).
2. (COTEC - 2022)
A equação da reta r, que passa pelo ponto P (1,0) e é perpendicular à reta s: x+2y-3=0, é
a) a) x – 2y + 2 = 0.
b) b) x – 2y +3 = 0.
c) c) x + 2y + 3 = 0.
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d) 2x – y – 2 = 0.
e) 2x – y + 2 = 0.
3. (CESPE - 2021)
Em um mesmo plano, a reta r passa pelos pontos A = (0, 0) e B = (3, 2), e a reta s passa pelos 
pontos C = (6, 10) e D = (0, 19).
Acerca dessas retas, assinale a opção correta.
a) As retas r e s fazem interseção no ponto (9, 6).
b) As retas r e s são paralelas.
c) As retas r e s são perpendiculares.
d) As retas r e s são concorrentes, mas não são perpendiculares.
e) As retas r e s são coincidentes.
4. (Quadrix - 2021)
Dados os pontos A(4,11), B(4,4) e C(28,4), julgue o item.
A distância do ponto B até a reta definida pelos pontos A e C é igual a 6,72.
Certo ( ) Errado ( ) 
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GEOMETRIA ANALÍTICA - 
CIRCUNFERÊNCIA
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CIRCUNFERÊNCIA
Circunferência é uma figura geométrica plana formada pela união – ou o conjunto – de todos 
os pontos equidistantes a um ponto fixo, chamado de centro da circunferência.
Podemos dizer também que circunferência é o lugar geométrico no plano em que todos os 
pontos P(x, y) estão a mesma distância r do seu centro C(a, b), onde r é a medida de ser raio.
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
Sendo C(a, b) o centro da circunferência e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a dis-
tância de C a P é o raio dessa circunferência, e com isso sua equação fica:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 
POSIÇÃO DO PONTO EM RELAÇÃO A CIRCUNFERÊNCIA
Em relação a uma circunferência de centro C(a, b), um ponto P(x, y) pode ser externo, interno 
ou pertencer a circunferência.
Veja cada caso:
Se (x – a)2 + (y – b)2 = r2, P pertence a circunferência
Se (x – a)2 + (y – b)2 > r2, P é externo a circunferência
Se (x – a)2 + (y – b)2 < r2, P é interno a circunferência
POSIÇÃO DA RETA EM RELAÇÃO A CIRCUNFERÊNCIA
Podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência calculando a 
distância da reta ao centro da circunferência.
Dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência de centro C(a, b): (x - a)2 + (y - b)2 = r2, tem-se:
d = |A∙a + B∙b + C|/
Se d > r, a reta é exterior a circunferência;
Se d = r, a reta é tangente a circunferência;
Se d < r, a reta é secante a circunferência;
ͫ	 Relação entre Reta e Circunferência (Condição de Tangência)
 » Se P pertence a circunferência, então por P passa apenas uma reta tangente a 
circunferência;
 » Se P é exterior a circunferência, então por P passam 2 retas tangentes a circunferência;
 » Se P está dentro da circunferência, então por P não passa reta tangente a 
circunferência;
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
Para determinar a posição entre duas circunferências basta calcular a distância entre seus 
centros e comparar com a soma (e subtração) dos seus raios.
CA (OA, rA) e CB (OB, rB)
Se d (OA, OB) > rA + rB, as circunferências são externas (não tem pontos em comum)
Se d (OA, OB) = rA + rB, as circunferências são tangentes externas
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Se d (OA, OB) = rA – rB, as circunferências são tangentes internas
Se d (OA, OB) < rA – rB, as circunferências são internas
Se rA – rB < d (OA, OB) < rA + rB, as circunferências são secantes
Se d (OA, OB) = 0, as circunferências têm o mesmo centro
NA PRÁTICA
1. (Prefeitura de Bauru-SP - 2022)
Sejam r: x –y = 0 e λ: x² + y² = 4, uma reta e uma circunferência, respectivamente. Qual é o 
ponto de interseção de r e λ no primeiro quadrante?
a) (√2; √ 2)
b) (2; 2)
c) (1; 1)
d) (√2;2)
2. (OMNI - 2021)
Qual a medida do raio (r) da circunferência dada no gráfico abaixo?
a) r = √3
b) r = 5
c) r = 2
d) r = 2 √2
3. (FUNDATEC- 2021)
Os valores da A para que a reta y = a – x interseccione a circunferência x2 + y2 = 4 em apenas 
um único ponto são:
a) 2 e −2
b) 3 e −3
c) 2√2 e - 2√2
d) √3 e - √3
e) 2√3 e - 2√3
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4. (OMNI - 2021)
Um grupo de amigos, decidiram realizar um acampamento. Para esse acampamento, com-
praram um kit com 4 rádios comunicadores, que funcionam até uma distância de 15 km um 
do outro, e decidiram que um dos rádios ficaria sempre no lugar onde estavam acampando 
e outro em uma torre de comando, onde marcaram a saída para o acampamento. Com isso, 
decidiram encontrar, em um mapa com escala 1:500 000 (em centímetros), um lugar para 
acampar, que satisfizesse duas condições:
• A distância do acampamento até a torre de controle, devia ser menor que 15 km.
• A distância do acampamento até o lugar onde buscariam água, também deveria ser menor 
que 15 km.
Fizeram então um plano cartesiano no mapa, utilizando o centímetro como a unidade de 
distância, com origem na torre de controle, e marcaram o ponto onde buscariam a água na 
coordenada (3,4). Para encontrar os possíveis lugares onde poderiam montar o acampamento, 
fizeram, no mapa, duas circunferências, uma com centro na torre de controle e a outra com 
centro no ponto onde buscariam a água. As duas circunferências foram desenhadas, de forma 
que os raios de ambas as circunferências, no terreno onde iriam acampar, equivalem a 15 km. 
Marque a alternativa que mostra corretamente a equação das duas circunferências no mapa.
a) x2 + y2 = 9 e x2 + y2 – 6x – 8y – 16 = 0.
b) x2 + y2 = 9 e x2 + y2 – 6x + 16 = 0.
c) x2 + y2 = 9 e x2 + y2 – 6x – 8y + 16 = 0.
d) x2 + y2 = 9 e x2 + y2 – 5x – 8y – 9 = 0.
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GEOMETRIA ANALÍTICA - 
CÔNICAS
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CÔNICAS
As cônicas são a elipse, a hipérbole e a parábola.
ELIPSE
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ͫ	 Elementos da Elipse:
	» Focos: F1 e F2;
	» Centro da elipse é o ponto O (ponto médio entre F1 e F2);
	» Vértices da elipse: A1 e A2, B1 e B2;
	» Eixo maior A1A2 = 2a.
	» Eixo menor B1B2 = 2b.
	» Distância focal da elipse: 2c;
	» Excentricidade “e” (0 < e < 1): e = c/a.
ͫ	 Equação Reduzida da Elipse:
	» Centro da elipse na origem do plano cartesiano e eixo AA em “x”
	» x2/a2	+	y2/b2	=	1
	» Centro da elipse na origem do plano cartesiano e eixo AA em “y”
	» x2/b2	+	y2/a2	=	1
	» Centro da elipse C(xo, yo) fora da origem do plano cartesiano e eixo AA paralelo a “x”
	» (x	–	xo)
2/a2	+	(y	–	yo)
2/b2	=	1
	» Centro da elipse C(xo, yo) fora da origem do plano cartesiano e eixo AA paralelo a “y”
	» (x	–	xo)
2/b2	+	(y	–	yo)
2/a2	=	1
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HIPÉRBOLE
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ͫ	 Elementos da Hipérbole:
	» Focos: F1 e F2;
	» Vértices: A1 e A2;
	» Centro da hipérbole é o ponto O (ponto médio entre A1 e A2 ou entre F1 e F2);
	» Eixo real A1A2 (contém os focos) = 2a.
	» Eixo imaginário B1B2 = 2b.
	» Distância focal da hipérbole: 2c;
	» Excentricidade “e”: e = c/a.
ͫ	 Equação Reduzida da Hipérbole:
	» Centro da hipérbole na origem do plano cartesiano e eixo AA em “x”
	» x2/a2	−	y2/b2	=	1
	» Centro da hipérbole na origem do plano cartesiano e eixo AA em “y”
	» y2/a2	−	x2/b2	=	1
	» Centro da hipérbole C(xo, yo) fora da origem do plano cartesiano e eixo AA paralelo 
a “x”
	» (x	–	xo)
2/a2	−	(y	–	yo)
2/b2	=	1
	» Centro da hipérbole C(xo, yo) fora da origem do plano cartesiano e eixo AA paralelo 
a “y”
	» (y	–	yo)
2/a2	−	(x	–	xo)
2/b2	=	1
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PARÁBOLA
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ͫ	 Elementos da Parábola:
	» Focos: F;
	» Vértices: V;
	» Diretriz = d.
	» Eixo de simetria = perpendicular a “d”.
	» Parâmetro: p (distância entre F e V ou entre V e d);
ͫ	 Equação Reduzida da Parábola:
	» Com vértice na origem do plano cartesiano, eixo de simetria “y” e concavidade 
para cima
	» x2	=	4py
	» Com vértice na origem do plano cartesiano, eixo de simetria “y” e concavidade 
para baixo
	» x2	=	−4py
	» Com vértice fora da origem do plano cartesiano, eixo de simetria paralelo a “y”
	» (x	–	xo)
2	=	4p(y	–	yo)
	» Com vértice na origem do plano cartesiano, eixo de simetria “x” e concavidade para 
a direita
	» y2	=	4px
	» Com vértice na origem do plano cartesiano, eixo de simetria “x” e concavidade para 
a esquerda
	» y2	=	−4px
	» Com vértice fora da origem do plano cartesiano, eixo de simetria paralelo a “x”
	» (y	–	yo)
2	=	4p(x	–	xo)
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NA PRÁTICA
1.	 (Prefeitura de Bauru-SP - 2022)
Seja x2/25 + y2/9 = 1 uma elipse conforme a figura a seguir.
Considere um triângulo B1F1F2, tal que B1 é um dos vértices do eixo menor dessa elipse, e F1 
e F2 são seus focos. Qual é a área desse triângulo em unidades de área?
a)	 8
b)	 9
c)	 10
d)	 12
2.	 (OMNI - 2021)
O item que contém a equação da elipse da figura, é:
a)	
b)	
c)	
d)	
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3.	 (IDECAN - 2019)
Dados dois pares ordenados (2,-4) e (2,0) que representam os vértices de um hipérbole de 
foco (2, -2 + √13), calcule a equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas.
a)	 4x2 - 9y2 - 16x - 36y +16 = 0
b)	 2x2 - 3y2 - 16x - 36y + 16 = 0
c)	 4x2 - 9y2 + 16x - 36y - 16 = 0
d)	 4x2 − 5y2 − 16x - 36y + 16 = 0
e)	 4x2 - 16x - 36y + 16 = 0
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	1.1 - PSICOTÉCNICO
	Psicotécnico - Associações Lógicas
	1.2 - PSICOTÉCNICO
	PSICOTÉCNICO - CORRELACIONAMENTOS E PRINCÍPIO DA CASA DE POMBOS
	1.3 - PSICOTÉCNICO
	1.4 - PSICOTÉCNICO
	Psicotécnico - Verdades e Mentiras
	1.5 - PSICOTÉCNICO
	Psicotécnico - Jogos, Calendários e Outros
	1.6 - PSICOTÉCNICO
	RLM - Psicotécnico – Princípio da regressão ou reversão
	1. Princípio da regressão ou reversão
	2. Na prática
	1.7 - PROPOSIÇÃO
	Proposições - Conceitos e Negação
	1. Conceitos Iniciais
	1.1 O que é uma proposição
	1.2 Classificação
	1.3 Não são proposições
	1.4 Princípios das proposições
	2. Negação de proposição (~) (¬) ‘modificador lógico’
	2.1 Dupla Negação
	3. Na prática
	1.8 - PROPOSIÇÃO
	Proposições - Tipos e Conectivos
	1. Tipos de Proposições
	2. Conectivos Lógicos
	2.1 Conectivo E
	2.2 Conectivo OU
	2.3 Conectivo SE ..., ENTÃO
	2.4 Conectivo SE, E SOMENTE SE
	2.5 Conectivo OU..., OU
	3. Na prática
	1.9 - PROPOSIÇÃO
	Proposições - Tabela Verdade - Valores das Proposições Compostas
	1. Valores Lógicos das Proposições Compostas
	1.1 Tabela Verdade
	1.2 Valor da Conjunção (P∧Q)
	1.3 Valor da Disjunção (PvQ)
	1.4 Valor da Condicional (P→Q)
	1.5 Valor da Bicondicional (P↔Q)
	1.6 Valor da Disjunção Exclusiva (PvQ)
	1.7 Quadro Resumo da Proposições Compostas
	2. Tautologia, Contradição e Contingência
	2.1 Tautologia
	2.2 Contradição
	2.3 Contingência
	3. Na prática
	1.10 - PROPOSIÇÃO
	Proposições - Equivalências Lógicas e Negações de Proposições Compostas
	1. Equivalências Lógicas
	1.1 Conjunção
	1.2 Disjunção
	1.3 Condicional
	1.4 Disjunção
	1.5 Bicondicional
	1.6 Disjunção Exclusiva
	2. Negação de Proposição Composta
	2.1 Conjunção
	2.2 Disjunção
	2.3 Condicional
	2.4 Conjunção
	2.5 Bicondicional
	2.6 Disjunção Exclusiva
	3. Propriedades das Conjunções e Disjunções
	3.1 Associativa
	3.2 Distributiva
	3.3 Absorção
	3.4 Idempotência
	4. Na prática
	1.11 - PROPOSIÇÃO
	Proposições - Quantificadores Lógicos - Proposições Categóricas
	1. Quantificadores Lógicos
	2. Relações entre os Quantificadores
	2.1 Equivalência
	2.2 Negação
	2.3 Implicação
	2.4 Redundância
	2.5 DIFERENÇA
	3. Representação dos Quantificadores
	3.1 Todo A é B
	3.2 Nenhum A é B
	3.3 Algum A é B (Algum A não é B)
	4. Na prática
	1.12 - ARGUMENTO
	Argumento - Conceitos, Tipos e Classificação
	1. Conceitos
	1.1 Representação dos Argumentos
	2. Tipos de Argumentos
	2.1 Quanto ao Conteúdo
	2.2 Quanto à Forma
	3. Classificação – dos Argumentos
	4. Na prática
	1.13 - ARGUMENTO
	Argumento - Métodos de Validação – Diagramas Lógicos
	1. Diagramas Lógicos
	1.1 Representação dos quantificadores
	1.2 Regras de Ouro dos Diagramas Lógicos (prof. Lauro Magrini)
	2. Na prática
	1.14 - ARGUMENTO
	Argumento - Métodos de Validação – Premissas Verdadeiras
	1. Premissas Verdadeiras
	1.1 Resumo do Método
	2. Na prática
	1.15 - ARGUMENTO
	Argumento - Métodos de Validação – Conclusão Falsa
	1. Conclusão Falsa
	1.1 Resumo do Método
	2. Na prática
	1.16 - ARGUMENTO
	Argumento - Raciocínio Crítico (Ou Analítico)
	1. Tipos de Argumento
	1.1 Formais (lógica matemática-filosófica)
	1.2 Informais (cotidiano)
	2. Erros de Argumentação
	2.1 Alguns outros tipos comuns de Erros
	1.17 - TEORIA DOS CONJUNTOS
	Teoria de Conjuntos - Conceitos e Definições
	1. Conceitos
	1.1 Representação
	1.2 Tipos de conjuntos
	1.3 Simbologia
	2. Conjuntos das partes
	3. Operações com Conjuntos
	3.1 União
	3.2 Interseção
	3.3 Diferença
	4. Relação entre os Conjuntos e os Conectivos
	5. Na prática
	1.18 - TEORIA DOS CONJUNTOS
	Teoria de Conjuntos - Operações (União, Intersecão, Diferença e Complementar)
	1. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
	1.1 União
	1.2 Interseção
	1.3 Diferença
	2. Número de elementos da União de Conjuntos
	2.1 com dois conjuntos
	2.2 com três conjuntos
	3. Na prática
	1.19 - PROPOSIÇÃO E CONJUNTOS
	Relações entre proposição e conjuntos
	1. Relação dos conjuntos com as proposições
	1.1 Resumo das relações
	2. Relação dos conjuntos com os conjuntos numéricos
	3. Na prática
	1.20 - ANÁLISE COMBINATÓRIA
	Análise Combinatória - Definições, Fatorial e P.F.C
	1. Fatorial (!)
	2. P.F.C (Princípio Fundamental da Contagem)
	3. Na prática
	1.21 - ANÁLISE COMBINATÓRIA
	Análise Combinatória - Arranjos, Combinações e Permutações
	1. Arranjo
	2. Combinação
	3. Permutação
	4. Na prática
	1.22 - ANÁLISE COMBINATÓRIA
	Análise Combinatória - Casos Especiais
	1. Combinação com Repetição
	2. Permutação com Repetição
	3. Permutação Circular
	4. Na prática
	1.23 - PROBABILIDADE
	Probabilidade - Conceitos e Cálculos
	1. conceitos
	1.1 Experimento Aleatório
	1.2 Espaço Amostral (Ω) ou (U)
	1.3 Evento
	2. Calculo da Probabilidade
	2.1 Probabilidade Complementar
	3. Na prática
	1.24 - PROBABILIDADE
	Probabilidade - Casos Especiais
	1. Eventos Independentes e Eventos Sucessivos
	2. Probabilidade Condicional
	3. Probabilidade da União de Eventos
	4. Probabilidade Binomial
	5. Na prática
	1.25 - SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
	Sequências Numéricas - Conceitos, Leis de Formação e Curiosidades
	1. Conceitos
	1.1 Sequência
	1.2 Sequências Numéricas
	2. Lei de Formação de uma Sequência
	3. Curiosidades das SequÊncias
	4. Na prática
	1.26 - SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
	Sequências Numéricas - P.A (Progressão Aritmética)
	1. Definição
	1.1 representação de uma P.a genérica
	2. Termo Geral da P.A
	3. Soma dos termos da P.A
	4. Propriedades das P.A
	4.1 Termos equidistantes
	4.2 média aritmética
	5. Interpolação Aritmética
	6. Na prática
	1.27 - SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
	Sequências Numéricas - P.G (Progressão Geométrica)
	1. Definição
	1.1 representação de uma P.G genérica
	2. Termo Geral da P.G
	3. Soma dos termos da P.G Finita
	4. Soma dos termos da P.G inFinita
	5. Propriedades das P.G
	5.1 Termos equidistantes
	5.2 média geométrica
	6. Interpolação Geométrica
	7. Produto dos termos da P.G
	8. Na prática
	2.1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
	2.2 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
	2.3 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
	2.4 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
	2.5 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
	2.6 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
	2.7 - SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS
	2.8 - SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS
	2.9 - SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS
	2.10 - PROPORCIONALIDADE
	2.11 - PROPORCIONALIDADE
	2.12 - PROPORCIONALIDADE
	2.13 - PROPORCIONALIDADE
	2.14 - PROPORCIONALIDADE
	2.15 - EQUAÇÕES
	2.16 - EQUAÇÕES
	2.17 - EQUAÇÕES
	2.18 - EQUAÇÕES
	2.19 - GEOMETRIA PLANA
	2.20 - GEOMETRIA PLANA
	2.21 - GEOMETRIA PLANA
	2.22 - GEOMETRIA PLANA
	2.23 - GEOMETRIA PLANA
	2.24 - GEOMETRIA PLANA
	2.25 - GEOMETRIA PLANA
	2.26 - GEOMETRIA PLANA
	2.27 - GEOMETRIA PLANA
	2.28 - GEOMETRIA PLANA
	2.29 - GEOMETRIA ESPACIAL
	2.30 - GEOMETRIA ESPACIAL
	2.31 - GEOMETRIA ESPACIAL
	2.32 - GEOMETRIA ESPACIAL
	2.33 - GEOMETRIA ESPACIAL
	2.34 - GEOMETRIA ESPACIAL
	2.35 - GEOMETRIA ANALÍTICA
	2.36 - GEOMETRIA ANALÍTICA
	2.37 - GEOMETRIA ANALÍTICA
	2.38 - GEOMETRIA ANALÍTICA
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